अधिकतम और न्यूनतम मूल्य जानें। विवचेन्या ग्राफिक फ़ंक्शन। परवलयिक शीर्ष निर्देशांक

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वास्तव में, फ़ंक्शन के अधिकतम और कम से कम मूल्य की गणना करने के लिए अक्सर बाधाओं को हराना आवश्यक होता है। हम vikonuemo tse diyu todi, यदि यह आवश्यक है, तो vitrati को कैसे कम करें, लाभ बढ़ाएं, virobnitstva और अन्य के इष्टतम विकास का अनुकूलन करें। इसे सही ढंग से करने के लिए, सबसे अधिक और कम से कम महत्वपूर्ण कार्य क्या है, इसकी अच्छी समझ होना आवश्यक है।

ध्वनि mi vyznaєmo tsі मान डेयागो की सीमाओं पर अंतराल x है, जो अपनी स्वयं की रेखा के साथ योगो भाग के कार्य के सभी क्षेत्रों को दिखा सकता है। त्से मोझे बूटी याक vіdrіzok [ए; बी], मैं निर्दिष्ट अंतराल (ए; बी), (ए; बी), [ए; बी), अनंत अंतराल (ए; बी), (ए; बी), [ए; बी) या अनिश्चित अंतराल - ; ए , (- ; ए ), [ ए ; + ), (- ; + ) ।

प्रत्येक सामग्री के लिए, यह संभव है कि एक चर y=f(x) y = f(x) के साथ स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मानों की गणना कैसे करें।

मुख्य नियुक्तियां

आइए इसे, एक नियम के रूप में, मुख्य नियुक्तियों के सूत्र से करते हैं।

नियुक्ति 1

वर्तमान अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे बड़ा मान मान m a x y = f (x 0) x X (x0) है।

नियुक्ति 2

वर्तमान अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे छोटा मान m i n x X y = f (x 0) का मान है, इसलिए किसी भी मान x X, x ≠ x 0) ≥ f(x0) के लिए .

क्यूई vyznachennya dosit स्पष्ट। अधिक सरलता से, आप यह कह सकते हैं: फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान दिए गए अंतराल पर abscissa x 0 पर सबसे बड़ा मान है, और कम से कम - कम से कम मान उसी अंतराल पर x 0 पर लिया जाता है।

नियुक्ति 3

स्थिर बिंदु फ़ंक्शन के तर्क के ऐसे मान कहलाते हैं, जिसके लिए इसके 0 तक जाने की संभावना है।

हमें यह जानने की जरूरत है कि स्थिर बिंदु क्या हैं? सही परिपथ के लिए, आपको फ़र्मेट के प्रमेय का अनुमान लगाना होगा। यह स्पष्ट है कि एक स्थिर बिंदु एक ऐसा बिंदु है, जिसमें एक फ़ंक्शन का चरम होता है जिसे विभेदित किया जा सकता है (जो कि स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम है)। इसके अलावा, स्थिर बिंदुओं में से एक में गायन अंतराल पर ही समारोह सबसे कम या सबसे महत्वपूर्ण है।

एक अन्य फ़ंक्शन शांत बिंदुओं पर सबसे अधिक या कम से कम महत्वपूर्ण हो सकता है, जिसके लिए फ़ंक्शन स्वयं गा रहा है, लेकिन यह पहला नहीं है।

सबसे पहले, यदि आप उन्हें निम्नलिखित बिंदुओं पर दोष देते हैं: हम सभी मोड में किसी दिए गए स्कोर के लिए किसी फ़ंक्शन का सबसे अधिक या कम से कम मान क्या निर्दिष्ट कर सकते हैं? हाँ, हम ऐसा नहीं कर सकते, भले ही दिए गए अंतराल के बीच रिक्ति निर्दिष्ट क्षेत्र की सीमाओं के बीच हो, अन्यथा हम इसे अनिश्चित अंतराल के साथ सही कर सकते हैं। और इसलिए, कि किसी दिए गए संदर्भ में, या अनंत पर कार्य, असीम रूप से छोटे या असीम रूप से बड़े मान लेता है। इन स्थितियों में, अधिकतम और/या न्यूनतम मान निर्दिष्ट करना असंभव है।

रेखांकन पर छवि के बाद सबसे अधिक दिमाग उड़ाने वाले क्षण बन जाते हैं:

पहला छोटा हमें फ़ंक्शन दिखाता है, रेल पर फैले स्थिर बिंदुओं पर उच्चतम और निम्नतम मान (m a x y m i n y) कैसे प्राप्त करें [- 6 ; 6].

रिपोर्ट के अनुसार, हम किसी अन्य शेड्यूल के लिए प्रकार, नियुक्तियों का विश्लेषण करेंगे। हम [1] पर तर्क का मान बदलते हैं; 6] और यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य बिंदु पर एब्सिसा के साथ सही अंतराल पर, और कम से कम स्थिर बिंदु पर पहुंचा जा सकता है।

तीसरे छोटे एब्सिस्सा पर, बिंदु vіdrіzka की सीमा बिंदु है [-3; 2]. बदबू दिए गए फ़ंक्शन का उच्चतम और निम्नतम मान देती है।

आइए अब चौथे छोटों पर आश्चर्य करें। एक नए फलन के लिए, यह एक विस्तृत अंतराल (-6; 6) पर स्थिर बिंदुओं पर m a x y (सबसे बड़ा मान) और m i n y (न्यूनतम मान) लेता है।

हम अंतराल कैसे लेते हैं [1; 6) हम कह सकते हैं कि एक नए के लिए एक फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा। हम सबसे बड़ा मूल्य नहीं जान पाएंगे। फ़ंक्शन x पर सबसे अधिक मान ले सकता है, जो कि 6 होगा, लेकिन x = 6 अंतराल के भीतर होगा। चार्ट 5 पर शिखर को चिह्नित किया गया है।

ग्राफ 6 पर, सही अंतर-अंतराल (- 3 ; 2 ) के फलन को न्यूनतम मान दिया गया है, और उच्चतम मान के बारे में, हम वही vysnovkіv नहीं जोड़ सकते।

छोटे एक 7 बाचिमो पर, कि स्थिर बिंदु पर फ़ंक्शन मैटिम m a x y है, कि भुज 1 के बराबर है। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान दाईं ओर के अंतराल की पहुंच के भीतर है। माइनस असंगति पर, फ़ंक्शन के मान असम्बद्ध रूप से y = 3 तक पहुंचते हैं।

हम अंतराल x ∈ 2 कैसे ले सकते हैं; + , तो यह संभव है कि दिए गए फ़ंक्शन को नवीनतम या सबसे छोटे, या सबसे बड़े मान के लिए स्वीकार नहीं किया गया हो। यदि x सही 2 है, तो फलन का मान असंगति को घटाकर व्यावहारिक है, रेखा x = 2 की स्केलिंग ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है। हालांकि एब्सिस्सा प्लस असंगतता तक सही है, फिर भी फ़ंक्शन का मान एसिम्प्टोटिक रूप से y = 3 तक अनुमानित है। विपदोक के नर को एक शिशु के रूप में दर्शाया गया है 8.

इस बिंदु पर, हम diy के एक क्रम का परिचय देंगे, क्योंकि गायन की आवाज़ पर फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मान को चिह्नित करना आवश्यक है।

हम असाइन किए गए फ़ंक्शन के दायरे को जानते हैं। पेरेवेरिमो, ची को अपने कार्यों से पहले मलबे के दिमाग के लिए प्रवेश करने के लिए।
अब हम उन बिंदुओं को गिन सकते हैं जो इस हवा में पाए जा सकते हैं, किसी पहले स्थान पर। सबसे अधिक बार, फ़ंक्शन का उपयोग करना संभव है, जिसमें तर्क है कि कौन सी प्रविष्टियां मॉड्यूल के संकेत के तहत हैं, लेकिन राज्य कार्यों के लिए, जिसका संकेतक एक भिन्नात्मक परिमेय संख्या है।
Dali z'yasuєmo, yakі स्थिर बिंदु vіdrіzok के कार्यों पर खर्च करने के लिए। जिसके लिए आपको बाकी फंक्शन की गणना करने की जरूरत है, फिर इसे 0 के बराबर करें और अंतर बराबर है, जो परिणाम में हुआ, जिसके बाद आप उपयुक्त रूट का चयन करते हैं। चूंकि हमें कोई स्थिर बिंदु नहीं दिखता है, अन्यथा हमें ब्रीच के कार्यों से बदबू नहीं आएगी, हम आक्रामक मगरमच्छ की ओर बढ़ते हैं।
महत्वपूर्ण रूप से, यदि फ़ंक्शन का मान दिए गए स्थिर बिंदुओं (जैसे बदबू ), या शांत बिंदुओं पर स्वीकार किया जाता है, जिसमें यह पहली बार नहीं है (जैसे बदबू є), या x = के लिए मान x = b है .
5. हमारे पास कई फ़ंक्शन मान हैं, जिनमें से अब सबसे अधिक और कम से कम चुनना आवश्यक है। सबसे अधिक और कम से कम महत्वपूर्ण कार्य क्या होंगे जिन्हें हमें जानना आवश्यक है।

हमें आश्चर्य होता है कि दिन में पहली बार एल्गोरिथम को कितनी सही ढंग से लोड किया जाता है।

बट 1

उमोव:फलन y = x3+4x2 दिया गया है। सबसे महत्वपूर्ण और सबसे कम महत्वपूर्ण vіdrіzkah [1; 4] मैं [-4; -एक]।

समाधान:

आइए इस समारोह को सौंपे गए क्षेत्र के महत्व को देखें। और यहाँ मैं सभी वास्तविक संख्याओं का अवैयक्तिक होगा, क्रिम 0 । दूसरे शब्दों में, डी (वाई): एक्स (- ∞; 0) 0; +∞. मन में दिए गए अपराध निर्धारित क्षेत्र के मध्य में मिलेंगे।

अब हम भिन्न विभेदन के नियम के अनुसार निम्नलिखित फलनों की गणना कर सकते हैं:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x 4 = x 3 - 8 एक्स 3

हमने पाया कि उद्घाटन में सभी बिंदुओं पर समान कार्य उपलब्ध हैं [1; 4] मैं [-4; -एक]।

अब हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने की आवश्यकता है। अतिरिक्त सहायता x 3 - 8 x 3 \u003d 0 के लिए Zrobimo tse। नई जड़ में केवल एक ही वास्तविक जड़ होती है, जो प्रिय है 2. Vіn कार्य का एक स्थिर बिंदु होगा और पहले vіdrіzok [1] पर भोजन करेगा; चार]।

आइए पहले बिंदु के फ़ंक्शन के मान की गणना करें और दूसरे बिंदु पर, टोबो। x = 1, x = 2 और x = 4 के लिए:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

हमने फलन m a x y x ∈ [1; का सबसे बड़ा मान निकाल लिया; 4 ] = y (2) = 3 x = 1 में पहुंच जाएगा, और कम से कम m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - x = 2 के लिए।

दूसरी शाखा में कोई स्थिर बिंदु शामिल नहीं है, इसलिए हमें केवल दी गई शाखा के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है:

y(-1) = (-1) 3 + 4 (-1) 2 = 3

तो, एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4।

सुझाव: Vіdrіzka के लिए [1; 4] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 विपरीत के लिए [ - 4 ; - 1] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4।

एक छोटे से के लिए:

इससे पहले, कैसे सीखें, आपको दोहराने के लिए, असंगतता के बीच और बीच में एक तरफा की सही गणना कैसे करें, साथ ही उनकी पहचान के मुख्य तरीकों के बारे में जानें। किसी दिए गए या अनिश्चित अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और/या कम से कम मान जानने के लिए, क्रमिक रूप से ऐसा करना आवश्यक है।

कोब के लिए, इस पर पुनर्विचार करना आवश्यक है, यदि कार्य होंगे, तो कार्यों के लिए निर्दिष्ट क्षेत्र द्वारा अंतराल को उप-विभाजित किया जाएगा।
गौरतलब है कि सभी बिंदु, जो आवश्यक अंतराल में स्थित हैं, जिनमें कोई पहला परिवर्तन नहीं है। कार्यों की बदबू ध्वनि, डी तर्क मॉड्यूल के संकेत पर रखा गया है, और राज्य कार्यों के लिए एक आंशिक रूप से तर्कसंगत संकेतक के साथ। साथ ही vіdsutnі के अंक, आप आक्रामक मगरमच्छ के पास जा सकते हैं।
अब यह महत्वपूर्ण है, दिए गए अंतराल तक खर्च करने के लिए स्थिर बिंदु। सिर का पिछला भाग 0 के बराबर होता है, समान होता है और जड़ लिया जाता है। यदि हमें एक उपयुक्त स्थिर बिंदु नहीं मिलता है, या बदबू कार्यों से अंतराल नहीं लेती है, तो हम तुरंत आगे के कार्यों के लिए आगे बढ़ेंगे। Їx अंतराल निर्धारित करता है।

मैं अंतराल को कैसे देख सकता हूँ [a; b) , तो आपको lim x → b - 0 f (x) के बीच x = a i वन-वे बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि हम अंतराल (ए; बी] देखें, तो हमें बिंदु x = b और एक तरफा सीमा lim x → a + 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि हम अंतराल (ए; बी) को देखते हैं, तो हमें एकतरफा इंटर लिम एक्स → बी - 0 एफ (एक्स), लिम एक्स → ए + 0 एफ (एक्स) की गणना करने की आवश्यकता है।
मैं अंतराल को कैसे देख सकता हूँ [a; + ∞) , तो आपको प्लस विसंगतियों lim x → + ∞ f (x) के बीच बिंदु x = a i के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
अंतराल कैसा दिखता है (- ; b) , बिंदु x = b पर मान की गणना माइनस इनफिनिटी lim x → - ∞ f (x) पर की जाती है।
यक्षो - ; b , फिर lim x → b - 0 f (x) और ऋण असंगतता lim x → - ∞ f (x) के बीच एक तरफा
यक्षो डब्ल्यू - ; + ∞ , फिर हम माइनस i प्लस विसंगतियों को ध्यान में रखते हैं lim x → + f (x), lim x → - f (x)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के मूल्य को दूर करने और बीच में विस्नोवोक को विकसित करना आवश्यक है। यहां कोई विकल्प नहीं हैं। इसलिए, भले ही यह असंगति के सबसे महत्वपूर्ण ऋण या असंगति के प्लस के बीच एक तरफा सीमा है, फिर भी मैंने महसूस किया कि कम से कम और सबसे महत्वपूर्ण कार्यों के बारे में कुछ भी कहना असंभव है। नीचे हम एक विशिष्ट बट का विश्लेषण करेंगे। विस्तृत विवरण आपको यह समझने में मदद करेंगे कि क्या हो रहा है। यदि आवश्यक हो, तो आप सामग्री के पहले भाग में छोटे 4 - 8 में बदल सकते हैं।

बट 2

उमोव: एक फंक्शन दिया गया है y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4। अंतराल में सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों की गणना करें - ∞ ; - 4, - ; - 3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; +∞, [4; +∞).

समाधान

हम असाइन किए गए फ़ंक्शन के दायरे से अवगत हैं। भिन्न के बैनर पर एक वर्ग त्रिपद है, जो 0 की ओर मुड़ने का दोषी नहीं है:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 D (y) : x ∈ (- ; - 3) (- 3 ; 2) (2 ; + )

जब तक सभी नियुक्तियां इस अवधि के भीतर नहीं हो जाती, तब तक हमने निर्दिष्ट कार्य का क्षेत्र छीन लिया।

अब हम कार्यों के विभेदन को देख सकते हैं और उन्हें दूर कर सकते हैं:

वाई "= 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4" = 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 "= 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 1 एक्स 2 + एक्स - 6" == 3 ई 1 एक्स 2 + x - 6 1" x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + एक्स - 6 2

Otzhe, pokhіdnі funktsії issnuyut vsіy क्षेत्र znachennya।

आइए स्थिर बिंदुओं के महत्व पर चलते हैं। Pokhіdna फ़ंक्शन x = - 1 2 पर 0 से नीचे जाते हैं। यह एक स्थिर बिंदु है, क्योंकि यह अंतराल (-3; 1] और (-3; 2) में है।

हम अंतराल के लिए x = - 4 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं (- ∞ ; - 4 ], साथ ही माइनस असंगति के लिए अंतराल:

y (- 4) \u003d 3 ई 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 ई 1 6 - 4 - 0। 456 लिम एक्स → - 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 = 3 ई 0 - 4 = - 1

Oskіlki 3 e 1 6 - 4 > - 1 , इसलिए m a x y x (- ; - 4 ) = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4। यह हमें विशिष्ट रूप से न्यूनतम मान निर्धारित करने की क्षमता नहीं देता है। समारोह। विस्नोवोक की वृद्धि, जो फ्रिंज -1 के नीचे है, फ़ंक्शन के स्केलिंग को इसके मूल्य तक ही असंगतता के ऋण से असम्बद्ध रूप से संपर्क किया जाता है।

दूसरे अंतराल की ख़ासियत वे हैं जो नए में हैं, एक ही तेज सीमा के कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं। साथ ही, फलन के न तो सबसे बड़े और न ही सबसे छोटे मान की गणना की जा सकती है। बाईं ओर -3 तक के तर्क के साथ माइनस असंगति द्वारा सीमा को चिह्नित करने के बाद, हम केवल अंतराल मान लेते हैं:

लिम एक्स → - 3 - 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 - 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 3) - 4 = 3 ई 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + लिम एक्स → - ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

मतलब समारोह के मूल्यों को अंतराल में विस्तारित किया जाएगा - 1; +∞

तीसरे अंतराल के लिए फलन का सबसे बड़ा मान जानने के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि स्थिर बिंदु का मान x = - 1 2 हो, इसलिए x = 1। इसके अलावा, हमें उस विपदका के लिए एकतरफा सीमा जानने की जरूरत है, अगर तर्क दाईं ओर से -3 तक का है:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 । 444 y (1) = 3 ई 1 1 2 + 1 - 6 - 4 - 1। 644 लिम x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (-3 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (- 0) - 4 = 3 ई - - 4 = 3 0 - 4 = - 4

हमने देखा है कि फलन का सबसे बड़ा मान स्थिर बिंदु m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 पर होगा।

अंतराल के लिए (- 3; 2), हम आगे की गणना के परिणाम लेते हैं और एक बार फिर, हम प्रशंसा करते हैं कि बाईं ओर से 2 तक व्यायाम करते समय एक तरफा सीमा बेहतर क्यों है:

वाई - 1 2 = 3 ई 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 ई - 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 लिम x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = 3 ई 1 - 0 - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

फिर, m a x y x (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 और सबसे छोटे मान की गणना नहीं की जा सकती है, और फ़ंक्शन के मान को नीचे से संख्या - 4 से विभाजित किया जाता है।

पिछली दो गणनाओं में हमारे पास जो था उसके आधार पर, हम पुष्टि कर सकते हैं कि अंतराल पर [1; 2) फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान x = 1 पर स्वीकार किया जाता है, लेकिन कम से कम जानना असंभव है।

अंतराल (2 ; + ) पर, फलन न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान तक पहुंचता है, अर्थात। अंतराल का मान नहीं लेगा - 1; +∞.

लिम एक्स → 2 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + लिम एक्स → + ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

यह गणना करने के बाद कि x = 4 के लिए फलन का मान अधिक महत्वपूर्ण क्यों है, यह स्पष्ट है कि m a x y x [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 i प्लस इन्फिनिटी पर फ़ंक्शन को एसिम्प्टोटिक रूप से सीधी रेखा y = - 1 तक पहुंचने के लिए सेट किया गया है।

Porіvnyaєmo जिन्हें हमने स्किन काउंट में देखा है, असाइन किए गए फ़ंक्शन के शेड्यूल के साथ। एक छोटा स्पर्शोन्मुख एक बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है।

हम सबसे बड़े और सबसे छोटे कार्यों के महत्व के बारे में जानना चाहते थे। ये क्रम, जो हम लाए हैं, आपको आवश्यक गणनाओं को जल्द से जल्द और सरलता से पूरा करने में मदद करेंगे। लेकिन याद रखें, कि आप अक्सर सिर के पिछले हिस्से को मोड़ते हैं, कुछ अंतराल पर कार्य बदलता है, और कुछ वृद्धि पर, जिसके बाद आप दूर तक काम कर सकते हैं। इसलिए अधिक से अधिक और कम से कम कार्यों को अधिक सटीक रूप से निर्धारित करना और परिणामों को कम करना संभव है।

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समस्या कथन 2:

समारोह दिया जाता है, असाइन किया जाता है और गायन अंतराल को बिना किसी रुकावट के दिया जाता है। प्रत्येक स्थान के लिए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (न्यूनतम) मान जानना आवश्यक है।

सैद्धांतिक संस्थापना।
प्रमेय (Weierstrass के अन्य प्रमेय):

जैसा कि फ़ंक्शन असाइन किया गया है और एक बंद स्थान में बिना किसी रुकावट के, यह अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य तक पहुंच जाएगा।

फ़ंक्शन अपने उच्चतम और निम्नतम मूल्यों तक पहुंच सकता है या तो अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर या अन्य सीमाओं पर। हम सभी संभावित विकल्पों का वर्णन करते हैं।

व्याख्या:
1) फ़ंक्शन बिंदु पर बाएं इंटरस्पेस पर अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुंचता है, और बिंदु पर दाएं इंटरस्पेस पर इसका सबसे छोटा मान।
2) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने सबसे बड़े मान (अधिकतम तक बिंदु) तक पहुंचता है, और बिंदु पर सही अंतराल पर इसका सबसे छोटा मान।
3) फ़ंक्शन बिंदु पर बाएं इंटरस्पेस पर अपने सबसे बड़े मान तक पहुंचता है, और बिंदु पर इसका सबसे छोटा मान (संपूर्ण बिंदु न्यूनतम है)।
4) समारोह promizhku, tobto पर बन गया है। अंतरिम में किसी भी बिंदु पर अपने न्यूनतम और अधिकतम मूल्य तक नहीं पहुंचेगा, इसके अलावा, न्यूनतम और अधिकतम मूल्य एक दूसरे के बराबर हैं।
5) फ़ंक्शन एक बिंदु पर अपने सबसे बड़े मान तक पहुंचता है, और एक बिंदु पर इसका सबसे छोटा मान (उनसे पहले, कि फ़ंक्शन में अधिकतम और न्यूनतम हो सकता है)।
6) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने सबसे बड़े मान तक पहुँच जाता है (बिंदु अधिकतम है), और इसका सबसे छोटा मान बिंदु पर है (बिंदु न्यूनतम है)।
आदर:

"अधिकतम" और "अधिकतम मूल्य" - विभिन्न भाषण। असाइनमेंट से "अधिकतम मूल्य" वाक्यांश की उस सहज तार्किक समझ के अधिकतम तक कारण स्पष्ट है।

डिकूपिंग कार्यों के लिए एल्गोरिदम 2.

4) घटाव में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) का मान चुनें और अंतर लिख लें।

उदाहरण 4:

फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करें vіdrіzku पर।
समाधान:
1) उपयुक्त कार्यों को जानें।

2) स्थिर बिंदु खोजें (i अंक, चरम के लिए संदिग्ध), virishivshi बराबरी। अपने सम्मान को उन बिंदुओं की ओर मोड़ें, जिनमें जीवन का दोतरफा अंत नहीं है।

3) स्थिर बिंदुओं पर और अंतराल की सीमाओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

4) घटाव में से सबसे बड़ा (सबसे छोटा) का मान चुनें और अंतर लिख लें।

वह फ़ंक्शन जिस पर विंडो निर्देशांक के साथ बिंदु पर अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुँचती है।

वह फ़ंक्शन जिस पर दृश्य निर्देशांक के साथ बिंदु पर सबसे छोटे मान तक पहुंचता है।

गणना की शुद्धता पर पुनर्विचार किया जा सकता है, पूर्ण कार्य के ग्राफ पर आश्चर्यजनक।

आदर:फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान अधिकतम बिंदु पर है, और सबसे छोटा बिंदु बिंदुओं के बीच है।

ओकेरेमी एक झटका है।

यह स्वीकार्य है, हवा के लिए वर्तमान फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम मूल्य जानना आवश्यक है। एल्गोरिथ्म के पहले पैराग्राफ के उल्लंघन के बाद, tobto. यह स्पष्ट हो जाता है कि, उदाहरण के लिए, यह हर दृष्टि से और अधिक नकारात्मक अर्थ नहीं लेता है। याद रखें, यदि यह नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बदल जाता है। हमने ले लिया कि फ़ंक्शन हर तरह से बदलता है। यह स्थिति स्टेट के कोब पर ग्राफ नंबर 1 पर दिखाई गई है।

फ़ंक्शन एक अलग, टोबो में बदल जाएगा। उसका कोई चरम बिंदु नहीं है। छवि से यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन का न्यूनतम मान विंडो के दाईं ओर लिया गया है, और सबसे अधिक मान बाईं ओर है। अगर यह हवा के समान है, यह हर जगह सकारात्मक है, तो कार्य बढ़ता है। न्यूनतम मान विंडो के बाईं ओर है, सबसे अधिक - दाईं ओर।

इस लेख में, मैं आपको के बारे में बताऊंगा सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिथ्मकार्य, न्यूनतम और अधिकतम बिंदु।

हमें सिद्धांतों की आवश्यकता है मेज़і भेदभाव के नियम. इस तालिका में सभी समान:

सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिथम।

मैं एक विशिष्ट उदाहरण पर अधिक स्पष्ट रूप से समझा सकता हूं। चलो एक नज़र डालते हैं:

बट:फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें y=x^5+20x^3–65x रिवर्स पर [–4;0]।

क्रोक 1.चलो दूर चलते हैं।

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

क्रोक 2हम चरम बिंदुओं को जानते हैं।

क्रापकॉय एक्स्ट्रीममहम ऐसे बिन्दुओं को कहते हैं, जिनके लिए फलन अपने उच्चतम या निम्नतम मान तक पहुँच जाता है।

चरम बिंदुओं को जानने के लिए, आपको एक समान फ़ंक्शन को शून्य (y" = 0) के बराबर करना होगा

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

अब यह स्पष्ट है कि वर्ग बराबर है और यह कि मूल ज्ञात है और हमारे चरम बिंदु हैं।

मैं इस समीकरण को एक प्रतिस्थापन t = x^2, फिर 5t^2 + 60t - 65 = 0 से खोल दूंगा।

जल्दी से 5 से बराबर करो, लो: t^2 + 12t - 13 = 0

डी = 12^2 - 4 * 1 * (-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

रोबिमो ज़ावोरोत्नु ज़मेनु x^2 = टी:

X_(1 और 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 में 4) = ± वर्ग (-13)

साथ में: x_(1) = 1 में x_(2) = -1 - यह हमारे चरम बिंदु हैं।

क्रोक 3सबसे महत्वपूर्ण कम से कम महत्वपूर्ण है।

प्रतिस्थापन विधि।

मन के लिए, हमें एक vіdrіzok [b] [–4; 0] दिया गया था। बिंदु x=1 को इस शाखा में प्रवेश नहीं करना चाहिए। ओत्ज़े हम नहीं देखते हैं। अंक x=-1 के अलावा, हमें अपने vіdrіzka के बीच बाएँ और दाएँ देखने की भी आवश्यकता है, फिर अंक -4 और 0. जिसके लिए हम आउटपुट फ़ंक्शन पर सभी तीन बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। vihіdnu का सम्मान करें - tse, जैसा कि मन में दिया गया है (y=x^5+20x^3–65x), deyakі pokhіdnu पर थोपना शुरू करें ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [बी] 44 और यह बिंदु [बी] -1 तक पहुंचता है, क्योंकि इसे शीर्ष पर फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है [-4; 0]।

हम vyrishili और otrimali vіdpovіd, mi अच्छे साथियों, आप आराम कर सकते हैं। अले रुको! आप नहीं जानते कि y(-4) कितना अच्छा माना जाता है? एक आज्ञाकारी घंटे के दिमाग में, एक अलग तरीके से गति करना बेहतर है, मैं योग को इस तरह कहता हूं:

संकेतों के मार्ग के माध्यम से।

एक आकस्मिक समारोह के लिए अंतराल की संख्या जानने के लिए, हमारे b_kvadratnogo बराबर के लिए।

मैं इस तरह काम करता हूं। Vіdrіzok की छोटी सीधी। मैं बिंदुओं को सेट करता हूं: -4, -1, 0, 1. उन पर आश्चर्य न करें कि 1 प्रविष्टियों के कार्यों में शामिल नहीं है, परिचित के अंतराल को सही ढंग से नामित करने के लिए सभी को असाइन किया जाना चाहिए। आइए 1 से अधिक संख्या लें, मान लें कि 100, आइए कल्पना करें कि हमारे द्विघात समीकरण 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65 में। नविट नो क्रिम स्पष्ट हो जाता है कि बिंदु 100 पर फ़ंक्शन में प्लस चिह्न होता है . और इसका मतलब है कि 1 से 100 जीते गए वादों के लिए एक प्लस चिन्ह है। 1 से गुजरने पर (हम दाएं हाथ के बाएं हैं), फ़ंक्शन साइन को माइनस में बदल देगा। बिंदु 0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन अपना चिन्ह सहेजता है, शार्प vіdrіzka की सीमा से कम होते हैं, और ची बराबर की जड़ नहीं होती है। -1 से गुजरते समय, फ़ंक्शन धन चिह्न को फिर से बदल देगा।

सिद्धांत से, हम जानते हैं कि वहां क्या कार्य हैं (और हमने इसके लिए खुद को तैयार नहीं किया है) साइन को प्लस से माइनस में बदलें (हमारे विपद में बिंदु -1)समारोह उपलब्ध इसका स्थानीय अधिकतम (y(-1)=44, जैसा कि पहले बफ़ किया गया था)इस vіdrіzku पर (यह तार्किक रूप से अधिक उचित है, फ़ंक्शन बढ़ना बंद हो गया है, शार्क अपने अधिकतम तक पहुंच गए हैं और बदलना शुरू हो गए हैं)।

जाहिर है, कुछ उपयोगी कार्य हैं साइन को माइनस से प्लस में बदलें, पहुंच योग्य समारोह का स्थानीय न्यूनतम. तो, इसलिए, हम स्थानीय न्यूनतम 1 के बिंदु को भी जानते हैं, और y(1) - शीर्ष पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान, यह -1 से +∞ तक अनुमेय है। बहुत सम्मान दें, जो केवल एक स्थानीय न्यूनतम है, फिर एक गायन हवा पर न्यूनतम। तो वास्तविक (वैश्विक) न्यूनतम फ़ंक्शन यहां कैसे पहुंचा जा सकता है, -∞।

एक नज़र में, पहला तरीका सैद्धांतिक रूप से सरल है, और दूसरा अंकगणितीय क्रियाओं की एक नज़र से सरल है, लेकिन सिद्धांत की नज़र से अधिक समृद्ध है। यहां तक कि अगर फ़ंक्शन समान रूट से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है, तो यह कभी-कभी स्थानीय और वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम दोनों के साथ खो सकता है, आपके पास एक प्रोफ़ाइल ईडीआई क्यों है जो विरिशुवती त्से ज़वदन्या)। अले अभ्यास और कम अभ्यास एक बार और सभी के लिए आपको यह सिखाने के लिए कि यह कार्य कैसे करना है। और आप हमारी वेबसाइट पर प्रशिक्षण ले सकते हैं। एक्सिस।

यक्ष्चो विनिक्ली याकिस पिटन्या, लेकिन स्कोस अनुचित रूप से - ओबोव'याज़कोवो एनर्जाइज़। मुझे आपको देखकर खुशी हुई और लेख में बदलाव करते हुए बदलाव करूंगा। याद रखें, mi robimo इस साइट को एक बार में!

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, सबसे दिलचस्प फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के समान मूल्य की भिन्नता है। यह संबंधित क्यों है? लाभ को अधिकतम करना, विट्रेट को कम करना, स्थापना की इष्टतम लागत का निर्धारण ... ऐसा लगता है कि जीवन के समृद्ध क्षेत्रों में जो भी पैरामीटर अनुकूलित करने के कार्य का उल्लंघन करना आवश्यक है। और लक्ष्य फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान का मान निर्दिष्ट करना है।

अगला, निर्दिष्ट करें कि सबसे बड़ा और कम से कम महत्वपूर्ण फ़ंक्शन कौन सा है, अंतराल X पर ध्वनि, जो फ़ंक्शन असाइनमेंट का संपूर्ण क्षेत्र या असाइनमेंट का आंशिक क्षेत्र है। एक्स अंतराल अपने आप में एक अलग, महत्वपूर्ण अंतराल हो सकता है , अटूट संभोग।

इस लेख में, हम एक चर y=f(x) के स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के महत्व के बारे में बात करते हैं।

किनारे पर नेविगेशन।

सबसे महत्वपूर्ण और कम से कम महत्वपूर्ण कार्य पदनाम, चित्र हैं।

स्टाइलस को मुख्य पदनामों पर तेज किया जाता है।

फ़ंक्शन का उच्चतम मूल्य , किसके लिए हो निष्पक्ष nerіvnіst।

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान y=f(x) अंतराल X . के लिए , किसके लिए हो निष्पक्ष nerіvnіst।

मूल्य का मूल्य सहज रूप से उचित है: फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (न्यूनतम) मान एब्सिस्सा के साथ विश्लेषण किए गए अंतराल पर सबसे बड़ा (छोटा) मान है।

स्थिर बिंदु- तर्क का मूल्य, उनमें से कुछ के लिए, कार्य शून्य हो जाते हैं।

हमें उच्चतम और निम्नतम मूल्यों वाले स्थिर बिंदुओं की आवश्यकता क्यों है? फ़र्मेट का प्रमेय प्रमाण देता है। प्रमेय के बिंदु से, यह स्पष्ट है कि एक फ़ंक्शन के रूप में, एक अंतर के रूप में, एक वास्तविक बिंदु पर एक चरम (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) होता है, तो यह बिंदु स्थिर होता है। इस तरह, फ़ंक्शन अक्सर इस अंतराल के स्थिर बिंदुओं में से एक पर अंतराल X पर अपना सबसे बड़ा (न्यूनतम) मान लेता है।

साथ ही, अक्सर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान उन बिंदुओं पर लिया जा सकता है जिनमें पहले समान फ़ंक्शन नहीं होता है, लेकिन फ़ंक्शन स्वयं असाइन किया जाता है।

आइए इस विषय पर सबसे व्यापक डेटा में से एक को देखें: "आप किसी फ़ंक्शन के सबसे (कम से कम) मान की गणना क्या कर सकते हैं"? इंतजार मत करो। कभी-कभी X के अंतराल के बीच फ़ंक्शन को सौंपे गए क्षेत्र की सीमाओं से zbіgayutsya होते हैं, या X का अंतराल सीमित नहीं होता है। और असंगति पर और नियुक्ति के क्षेत्र की सीमाओं पर समारोह के डीकन असीम रूप से बड़े, इतने छोटे मूल्य के हो सकते हैं। इन मामलों में, सबसे कम और सबसे महत्वपूर्ण कार्यों के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

स्पष्टता के लिए, मैं एक ग्राफिक चित्रण दूंगा। छोटों को देखें - और बड़े पैमाने पर साफ करें।

Vіdrіzku . पर

पहले बच्चे पर, फ़ंक्शन स्थिर बिंदुओं पर सबसे अधिक (अधिकतम y) और कम से कम (न्यूनतम y) मान लेता है, जो सर्कल के बीच में होते हैं [-6; 6].

आइए विपदोक को देखें, एक और छोटे के चित्र। आइए इसे बदल दें। इस उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का न्यूनतम मान स्थिर बिंदु पर पहुंच जाता है, और सबसे अधिक - एब्सिस्सा के साथ बिंदु पर, जो सही अंतर-अंतराल दिखाता है।

छोटी संख्या 3 पर, क्रॉस के सीमा बिंदु [-3; 2] भुज बिंदु हैं जो फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के अनुरूप हैं।

एक निर्दिष्ट अंतराल पर

चौथे छोटे पर, फ़ंक्शन स्थिर बिंदुओं के अधिकतम (अधिकतम y ) और न्यूनतम (न्यूनतम y ) मान लेता है, जो खुले अंतराल (-6; 6) के बीच में होते हैं।

सबसे महत्वपूर्ण के अंतराल पर, कोई परिवर्तन संभव नहीं है।

असंगति पर

बट में, सोमा बेबी पर प्रस्तुत, फ़ंक्शन एब्सिसा x = 1 के साथ स्थिर बिंदु पर सबसे बड़ा मान (अधिकतम y) लेता है, और सबसे छोटा मान (न्यूनतम y) सही अंतराल पर पहुंच जाता है। असंगति के माइनस में, फ़ंक्शन के मान असम्बद्ध रूप से y = 3 तक पहुंचते हैं।

अंतराल पर, फ़ंक्शन न तो सबसे छोटे तक पहुंचता है और न ही सबसे बड़ा मान। जब फ़ंक्शन का मान x=2 तक दायां हाथ होता है, तो फ़ंक्शन का मान ऋण असंगतता माना जाता है (सीधी रेखा x=2 लंबवत स्पर्शोन्मुख है), और जब एब्सिस्सा प्लस असंगतता तक सही है, फलन का मान असम्बद्ध रूप से y=3 तक पहुंचता है। छोटे बट नंबर 8 के बट का एक ग्राफिक चित्रण।

एक वाइन्डर पर एक गैर-स्थायी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम।

आइए एक एल्गोरिथम लिखें जो आपको इनपुट पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को जानने की अनुमति देता है।

हम असाइन किए गए फ़ंक्शन के दायरे को जानते हैं और इसे फिर से सत्यापित किया जाता है, ताकि पूरे vdrіzok को इससे हटाया जा सके।
हम उन सभी बिंदुओं को जानते हैं, जिनमें पहला मामला नहीं है, और जिसमें पहला खो गया है, और जिसमें वे हवा के पास हैं (इस तरह से ध्वनि को मापांक के तहत एक तर्क के साथ कार्यों के लिए उठाया जाता है) आंशिक-तर्कसंगत घातांक के साथ संकेत और स्थिर कार्यों के लिए)। चूंकि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, इसलिए हम आक्रामक बिंदु पर जाते हैं।
सभी स्थिर बिंदु दिखाई दे रहे हैं, जो हवाओं में हैं। किसके लिए इसे शून्य के बराबर करके, बराबर को छोड़ देना और उसी मूल को चुनना बेहतर है। कई स्थिर बिंदु नहीं हैं, लेकिन आप उन्हें हवा के झोंकों पर बर्बाद नहीं कर सकते हैं, चलो आक्रामक बिंदु पर चलते हैं।
चयनित स्थिर बिंदुओं (जैसे ) पर फ़ंक्शन के मान की गणना, उन बिंदुओं पर, जिनमें पहली पंक्ति नहीं है (जैसे ), और x=a और x=b पर भी।
फ़ंक्शन के मान को दूर करने के लिए, सबसे अधिक और कम से कम चुनें - वे स्पष्ट रूप से फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मान होंगे।

आइए एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें जब हम फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मान को शीर्ष पर लागू करते हैं।

बट

किसी फ़ंक्शन का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करें

vіdrіzku पर;
रिवर्स करने के लिए [-4; -1]।

समाधान।

फ़ंक्शन का दायरा अवैयक्तिक वास्तविक संख्या, शून्य की क्रीम, टोबो है। निर्दिष्ट क्षेत्र से अपराध किए जाते हैं।

हम इसी तरह के कार्यों को जानते हैं:

जाहिर है, चौराहे और [-4;-1] के सभी बिंदुओं पर समान कार्य मौजूद हैं।

स्थिर बिंदु काफी अधिक समान हैं। एकमात्र वास्तविक जड़ є x=2 है। Tsya स्थिर बिंदु का सेवन पहले vіdrіzok पर किया जाता है।

पहले प्रकार के लिए, कट के सिरों पर और स्थिर बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना की जाती है, इसलिए x=1, x=2 और x=4 पर:

वही, सबसे महत्वपूर्ण कार्य x=1 पर पहुंच योग्य और सबसे छोटा मान - जब एक्स = 2.

दूसरे तरीके से, फ़ंक्शन के मूल्य की गणना केवल संकुचन के सिरों पर की जाती है [-4; -1] (स्केलिंग वाइन एक ही स्थिर बिंदु का बदला नहीं लेती हैं):

समाधान।

आइए असाइन किए गए फ़ंक्शन के क्षेत्र से शुरू करें। भिन्न के बैनर पर वर्ग ट्रिनोमियल शून्य में बदलने का दोषी नहीं है:

यह अनुमान लगाना आसान है कि सभी अंतरालों को असाइन किए गए फ़ंक्शन के क्षेत्र में झूठ माना जाना चाहिए।

प्रजनन समारोह:

जाहिर है, समारोह सभी क्षेत्रों में समान है।

हम स्थिर बिंदुओं को जानते हैं। Pokhіdna शून्य पर बदल जाता है। यह स्थिर बिंदु अंतराल (-3; 1) और (-3; 2) में खपत होता है।

और अब आप स्किन पॉइंट पर फंक्शन ग्राफ से परिणाम ले सकते हैं। नीली बिंदीदार रेखाएँ स्पर्शोन्मुख दिखाती हैं।

जिस पर आप फंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के मान से समाप्त कर सकते हैं। इन आँकड़ों द्वारा विकसित एल्गोरिदम, आपको न्यूनतम diy के साथ परिणाम लेने की अनुमति देते हैं। हालांकि, हाथ की पीठ पर, वृद्धि में वृद्धि और फ़ंक्शन में परिवर्तन और एक ही अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और कम से कम महत्व के बारे में विस्नोव्का का केवल थोड़ा और काम। यह कुल परिणामों के योग की एक स्पष्ट तस्वीर देता है।

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