आगे सम्मान

1. स्टीरियोमेट्री में ज्यामितीय निकायों और विशाल आंकड़े होते हैं, जिनमें से सभी बिंदु एक ही विमान में नहीं होते हैं। छोटों की मदद के लिए कुर्सी पर विस्तृत आंकड़े चित्रित किए गए हैं, जैसे कि आंख पर गर्जना लगभग आकृति के समान ही है। क्यूई छोटों गायन के नियमों का पालन करते हैं, जो आंकड़ों की ज्यामितीय शक्ति पर आधारित होते हैं।
फ्लैट पर विशाल आकृतियों को चित्रित करने के तरीकों में से एक को दूर (§ 54-66) इंगित किया जाएगा।

ROZDIL फर्स्ट स्ट्रेट एंड फ्लैट

I. विमान की स्थिति

2. क्षेत्र की छवि।रोजमर्रा की जिंदगी में, एक आयताकार आकार बनाने के लिए कुछ अनुमान लगाने वाले ज्यामितीय विमान के शीर्ष पर बहुत सारी वस्तुएं होती हैं: एक किताब का एक पैलेट, एक गलती, एक लेखन तालिका के शीर्ष पर, आदि। समांतर चतुर्भुज का आकार बनाएं। इसलिए, कुर्सी पर विमान को समांतर चतुर्भुज 1 के रूप में चित्रित करने की प्रथा है। Tsyu क्षेत्र ध्वनि का अर्थ है एक अक्षर, उदाहरण के लिए, "क्षेत्र M" (चार्ट 1)।

1 क्षेत्र की निर्दिष्ट छवियों का क्रम संभव है और वही, जैसे आर्मचेयर 15-17 और इन पर।
(सं. नोट)

3. सतह की मुख्य विशेषताएं।मान लीजिए कि फ्लैट की शक्ति, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है, एक स्वयंसिद्ध है:

1) यदि एक सीधी रेखा के दो बिंदु एक समतल पर स्थित हों, तो एक सीधी रेखा पर एक त्वचा बिंदु समतल पर स्थित होता है।

2) यदि दो फ्लैट जलती हुई जगह बनाते हैं, तो उस बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा में बदबू आती है।

3) इसके माध्यम से क्या तीन बिंदु हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, एक विमान खींचना संभव है, और उससे पहले केवल एक ही है।

4. विरासत।शेष प्रस्ताव से, आप निम्नलिखित दर्ज कर सकते हैं:

1) एक सीधी रेखा और उसके पीछे एक बिंदु के माध्यम से, आप एक विमान (और एक से अधिक) खींच सकते हैं। दरअसल, सीधी रेखा के साथ कुछ दो बिंदुओं के साथ मुद्रा का बिंदु सीधा होता है, तीन बिंदु जोड़े जाते हैं, याक के माध्यम से एक विमान खींचना संभव है (और उससे पहले, एक)।

2) दो सीधी रेखाओं के माध्यम से जो आपस में जुड़ती हैं, एक फ्लैट (और केवल एक) खींचना संभव है। प्रभावी रूप से, क्रॉसबार के बिंदु और त्वचा पर एक और बिंदु सीधी रेखा, या तीन बिंदुओं को लेते हुए, याकी के माध्यम से एक विमान (और उससे पहले, एक) खींचना संभव है।

3) दो समानांतर सीधी रेखाओं के माध्यम से केवल एक विमान खींचना संभव है। दरअसल, नियुक्तियों के पीछे सीधी रेखाओं के समानांतर, एक ही विमान में झूठ बोलते हैं; यह तल एक है, ताकि एक समानांतर और दूसरे बिंदु के माध्यम से एक से अधिक विमान खींचना संभव न हो।

5. क्षेत्र को सीधी रेखा के चारों ओर लपेटें। खुली जगह में सीधे त्वचा के माध्यम से एक अनंत क्षेत्र खींचना संभव है।

सच में, इसे सीधा होने दो एक (शैतान 2)।

आइए इसके पीछे बिंदु A को लेते हैं। बिंदु A और सीधे . के माध्यम से एक एक ही तल से गुजरें (§ 4)। हम इसे समतल M कहते हैं। समतल M के बाद एक नया बिंदु लीजिए। बिंदु B और सीधी रेखा से होकर जाता है एक अपने कालेपन के साथ फ्लैट से गुजरने के लिए। इसे समतल N कहा जाता है। यह sp_vpada z M कर सकता है, इस पर चट्टानें बिंदु Y पर स्थित हैं, जिससे कि समतल M स्थित है। एक एक नई सतह पास करें। इसे R कहा जाता है। वॉन M से, N से N से नहीं बचता है, क्योंकि इसमें एक बिंदु C है, इसलिए यह या तो M क्षेत्र तक या N क्षेत्र तक नहीं है। सभी नए को हटा दें और नए विमान जो सीधी रेखा से गुजरते हैं एक . ऐसा कोई क्षेत्र नहीं होगा। इन सभी विमानों को एक और एक ही तल की विभिन्न स्थितियों के रूप में देखा जा सकता है, जो सीधे चारों ओर लपेटता है एक .

हम विमान की एक और शक्ति दिखा सकते हैं: विमान अपने आप को चारों ओर लपेट सकता है, चाहे वह सीधा हो, जो इस विमान के पास स्थित हो।

6. खुले स्थान के भ्रमण के लिए नियुक्ति।मूंछें, जो प्लैनीमेट्री में हाथापाई करती थीं, आर्मचेयर टूल्स की मदद से उसी विमान में विजयी हुईं। खुली जगह के पास पोबुडोव के लिए, आर्मचेयर उपकरण पहले से ही अस्वीकार्य हो गए हैं, इसलिए खुली जगह के पास के आंकड़े को कुर्सी पर रखना असंभव है। इसके अलावा, जब अंतरिक्ष में एक नया तत्व होता है, तो एक नया तत्व होता है - फ्लैट, जो अगर अंतरिक्ष में है, तो फ्लैट पर सीधी रेखा की तरह, साधारण ताले के साथ फर्श पर नहीं रखा जा सकता है।

इसलिए, जब खुली जगह के पास पोबुडोव, यह सटीक रूप से निर्धारित करना आवश्यक है कि इसका क्या मतलब है कि ची इंशा पोबुडोवु कि, ज़ोक्रेमा, जिसका अर्थ है खुली जगह के पास फ्लैट को जगाना। अंतरिक्ष में सभी अवसरों पर, हम अनुमति देते हैं:

1) कि विमान को प्रेरित किया जा सकता है, क्योंकि तत्व पाए जाते हैं जो अंतरिक्ष में इन स्थितियों को दर्शाते हैं (§ 3 और 4), ताकि हम विमान को तीन दिए गए बिंदुओं से एक सीधी रेखा और उसके पीछे एक बिंदु से गुजरने के लिए प्रेरित कर सकें। , या दो दो समानांतर रेखाओं के माध्यम से;

2) यदि दो समतल ओवरलैप हैं, तो उनकी लेन की एक रेखा दी गई है, ताकि हम दो विमानों की लेन की रेखा को जान सकें;

3) जैसे अंतरिक्ष में एक विमान दिया जाता है, तो हम उसमें जीत सकते हैं, रुक सकते हैं, जैसे कि हमें प्लैनिमेट्री से पीटा गया हो।

अंतरिक्ष में विकोनती याक-नेबुडोवा पोबुडोवा - त्से का अर्थ है मुख्य नियुक्तियों के दिन के अंत तक योगो को बुलाना। इन मुख्य कार्यों की मदद से आप तह कार्यों को खोल सकते हैं।

इन भाषणों में स्टीरियोमेट्री की आवश्यकता के साथ समस्याएं हैं।

7. खुले स्थान पर रहने के लिए एक कार्य का बट।
प्रबंधक। दी गई सीधी रेखा का क्रॉसिंग बिंदु ज्ञात कीजिए एक (चार्ट 3) आर के केंद्र से।

एक बिंदु A के रूप में समतल P को लें। बिंदु A और एक सीधी रेखा के माध्यम से एक प्रवाहकीय रूप से विमान Q. वह अभिनय सीधी रेखा के साथ विमान P को पार करती है बी . समतल Q पर, हम सीधी रेखाओं की अवधि के बिंदु 3 को जानते हैं एक і बी . त्स्या डॉट और एक शुकना बनें। कितना सीधा एक і बी समानांतर दिखाई देते हैं, तो कार्य कोई समाधान नहीं है।

एक सीधी रेखा का संरेखण, जैसे कि दो तलों की एक पेरिटीना की रेखा:

त्वचा के माध्यम से सीधे खुली जगह में एक अवैयक्तिक क्षेत्र पारित करने के लिए। उनसे हो-याक, बदलते हुए, वे अंतरिक्ष में का संकेत देते हैं। ओत्ज़े, अगर दो समान फ्लैट होते, जिन्हें एक साथ देखा जाता है, तो वे सीधी रेखाओं के बराबर होते हैं।

वज़ागली दो समानांतर विमानों की तरह नहीं है

एक सीधी रेखा निर्दिष्ट करें। क्यूई बराबर कहा जाता है जंगली ईर्ष्यासीधा।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का संरेखण:

दिए गए बिंदु A(x 1 ;y 1) और B(x 2 ;y 2) दीजिए। बिंदुओं A (x 1; y 1) और B (x 2; y 2) से गुजरने के लिए एक सीधी रेखा का संरेखण इस तरह दिख सकता है:

यदि दिए गए बिंदु A और B अक्ष O x (y 2 -y 1 \u003d 0) या अक्ष O y (x 2 - x 1 \u003d 0) के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो सीधी रेखा का संरेखण रेखा माता के समान होगी \u003d y 1 या x = x 1

उदाहरण 4. बिंदुओं A(1;2) और B(-1;1) से गुजरने के लिए सीधी रेखाएँ बिछाएँ।

हल: संरेखण (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; वाई 2 \u003d 1
तारे या तो 2y-4=x-1, या फिर x-2y+3=0

प्रामाणिक रूप से सीधी रेखाएँ:

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को समतल पर स्थिर होने दें ऑक्सी. आइए अपने लक्ष्य निर्धारित करें: एक सीधी रेखा लें एक, यक्षो - एक सीधी रेखा का डेक बिंदु एकमैं - प्रत्यक्ष वेक्टर एक.

नेहाई - फ्लोटिंग पॉइंट स्ट्रेट है एक. तब सदिश एक सीधी रेखा का प्रत्यक्ष सदिश होता है एकऔर maє निर्देशांक (यदि आवश्यक हो, तो निर्देशांक बिंदुओं के माध्यम से वेक्टर के निर्देशांक की स्थिति पर आश्चर्य करें)। यह स्पष्ट है कि एक विमान पर एक अवैयक्तिक बिंदु को एक सीधी रेखा सौंपी जाती है, ताकि एक सीधा वेक्टर एक बिंदु से गुजर सके I केवल और केवल तभी जब वेक्टर संरेखित हों।

आइए दिमाग के लिए वैक्टर की आवश्यक और पर्याप्त संपार्श्विकता लिखें:। निर्देशांक रूप की शेष समानता देखी जा सकती है।

यक्षो मैं, तब हम लिख सकते हैं

मन के बराबर ओट्रीमेन को कहा जाता है विहित रेखाएं सीधे फ्लैट परएक आयताकार समन्वय प्रणाली में ऑक्सी. रिव्न्यानिया को . भी कहा जाता है विहित रूप में सीधी रेखा के बराबर.

फिर से, मन के तल पर एक सीधी रेखा का विहित संरेखण एक आयताकार समन्वय प्रणाली द्वारा दिया जाता है ऑक्सीएक सीधी रेखा जो एक बिंदु से होकर गुजरती है और एक प्रत्यक्ष सदिश हो सकती है।

हम फ्लैट पर विहित सीधी रेखा के बट को निर्देशित करेंगे।

उदाहरण के लिए, विहित रूप की सीधी रेखा के बराबर। सीधी रेखा, जो बिंदु से गुजरना संभव बनाती है, और - एक प्रत्यक्ष वेक्टर है। नीचे एक ग्राफिक चित्रण है।

महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण तथ्य:

· यक्षो-सीधी वेक्टर सीधी रेखाएँ और सीधी रेखाएँ एक बिंदु की तरह गुजरती हैं, इसलिए यह एक बिंदु से होती है, फिर विहित रूप से बराबर लिखा जा सकता है, इसलिए;

· यदि यह एक सीधी रेखा का प्रत्यक्ष सदिश है, तो क्या कोई सदिश भी दी गई सीधी रेखा का प्रत्यक्ष सदिश है, तो क्या यह एक सीधी रेखा के विहित दृश्य में एक सीधी रेखा के बराबर है।

पैरामीट्रिक सीधी रेखा संरेखण:

प्रमेय। सीधी रेखाओं की प्रणाली पैरामीट्रिक सीधी रेखाओं के साथ आगे बढ़ रही है:

डी - किसी दी गई सीधी रेखा के काफी निश्चित बिंदु के निर्देशांक, - किसी सीधी रेखा के काफी प्रत्यक्ष वेक्टर के सामान्य निर्देशांक, टी - पैरामीटर।

सबूत। Vidpovidno vyznachennya शाम तक, चाहे वह समन्वय स्थान के बिंदुओं को गुणा कर रहा हो, हम उस बराबर लाने के लिए ज़िम्मेदार हैं (7) दूसरी तरफ से सीधी रेखा एल के सभी बिंदुओं को संतुष्ट करते हैं, बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करते हैं , जो एक सीधी रेखा पर नहीं होता है।

आइए एक अच्छी बात करते हैं। समान सदिश और निम्नलिखित दो सदिशों की संरेखता के बारे में संरेख और प्रमेयों के प्रयोजन के लिए, जो दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं, वह। ऐसी संख्या है, क्या। वैक्टर की समानता और निर्देशांक की सटीकता:

शिक्षा विभाग

वापस, बिंदु पर आओ। फिर, सदिशों की संरेखता के बारे में प्रमेय के अनुसार, तब दूसरे के माध्यम से रैखिक व्यंजक हो सकते हैं। मैं चाहता हूं कि समानता (7) में से एक जीत न जाए। इस क्रम में, बराबर (7) कम शांत बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होते हैं, जैसे सीधी रेखा L पर लेटना और केवल थोड़ी सी बदबू आदि।

प्रमेय पूरा हो गया है।

क्षेत्र का सामान्य संरेखण:

पर वेक्टर फॉर्मक्षेत्र की समतलता दिख सकती है

इसी तरह, क्षेत्र का सामान्य वेक्टर एकल है,

यहां तक ​​कि क्षेत्र की समतलता को भी दर्ज किया जा सकता है

(सामान्य सपाटता).

- निर्देशांक के सिल से समतल की ओर ले जाएँ, , , - सामान्य की प्रत्यक्ष कोज्या

डी - विमान के सामान्य और निर्देशांक के अक्षों के बीच उसी तरह से कट जाता है।

समतल के ऊर्ध्वाधर तल (8) को सामान्यीकरण कारक से गुणा करके सामान्य रूप में लाया जा सकता है, भिन्न के सामने का चिन्ह मुक्त पद (8) के चिन्ह के विपरीत होता है।

V_dstan v_d विमान की ओर इशारा करता है(8) बिंदु को सामान्य संरेखण में प्रतिस्थापित करके लिए गए सूत्र के पीछे हो

समतल की गहरी समतलता के बाद समतल की गहरी समतलता:

तुच्छ स्थान के लिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सीज़ी, तो त्रिवि-विश्व समन्वय प्रणाली में समान विमानों को ट्रिपल के बराबर कहा जाता है एक्स, आपі जेडमैं तल के सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट हूं और किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं हूं। दूसरे शब्दों में, विमान के पहले बिंदु के निर्देशांक की पुष्टि करते समय, विमान की समानता को हटा दिया जाता है, और निर्देशांक के समान विमान को प्रतिस्थापित करते समय, चाहे वह दूसरा बिंदु हो, समानता गलत है।

सबसे पहले, विमान के केंद्रीय तल को लिखें, विमान के लंबवत सीधी रेखा का अनुमान लगाते हुए: सीधी रेखा विमान के लंबवत होती है, जैसे कि यह इस विमान पर स्थित सीधी रेखा के लंबवत हो। किस पद से यह स्पष्ट है कि क्या इस तल के निकट स्थित किसी शून्येतर सदिश के लंबवत तल का कोई सामान्य सदिश है। यह तथ्य हमलावर प्रमेय के प्रमाण की नकल करता है, क्योंकि यह क्षेत्र की जंगली समतलता की उपस्थिति निर्धारित करता है।

प्रमेय।

मन के समान बनो, दे ए, बी, सीі डी- Deyakі dіysnі संख्या, इसके अलावा लेकिन, परі सीएक बार में शून्य के बराबर नहीं, किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में क्षेत्र को निर्दिष्ट करना ऑक्सीज़ीतुच्छ स्थान के पास, और चाहे वह एक आयताकार समन्वय प्रणाली के पास एक विमान हो ऑक्सीज़ीएक तुच्छ स्थान में वे संख्याओं के एक निश्चित समूह के साथ मन के बराबर होते हैं ए, बी, सीі डी.

सबूत।

बाकाइट की तरह, प्रमेय दो भागों से बना है। पहले भाग में, हमें एक स्तर दिया गया है और हमें इसे सतह पर लाने की जरूरत है। दूसरे भाग में, हमें समतलता का एक ड्यूस दिया गया था और यह लाना आवश्यक है कि हम संख्याओं के एक साधारण विकल्प के साथ बराबरी को क्या असाइन कर सकते हैं लेकिन, पर, वूі डी.

आइए केवल प्रमेय के पहले भाग की पुष्टि करें।

ओस्कैल्की नंबर लेकिन, परі वूरातोंरात शून्य के बराबर नहीं है, तो बिंदु, जिसके निर्देशांक तुल्यता से संतुष्ट हैं, इसलिए समानता उचित है। Vіdnіmemo lvu और otrimanoї rivnostі vіdpovіdno vіd lіvoї और pravaі भागों के vnyannja, tsomu otmáєmo ravnyannja vіdnіvnіnya vіdіvalentno vihіdnomu का दाहिना भाग। अब, जैसा कि हम जानते हैं, यह समतल को बराबर करता है, तो इसे लाया जाएगा, जो कि इसके बराबर है, समान त्रिविम अंतरिक्ष के लिए दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली के विमान को भी चिह्नित करता है।

समता सदिशों की आवश्यक और पर्याप्त मानसिक लंबवतता है। दूसरे शब्दों में, एक फ़्लोटिंग पॉइंट के निर्देशांक समान रूप से संतुष्ट होते हैं, और केवल एक बार, यदि वेक्टर लंबवत होते हैं। फिर, इस तथ्य का उल्लंघन करते हुए, प्रमेय से पहले प्रेरण, हम पुष्टि कर सकते हैं कि समानता सत्य है, फिर एक अवैयक्तिक बिंदु एक विमान को परिभाषित करता है, एक सामान्य वेक्टर जैसे , इसके अलावा, यह विमान एक बिंदु से गुजरता है। दूसरे शब्दों में, संरेखण एक आयताकार समन्वय प्रणाली का संकेत है ऑक्सीज़ीत्रिविमिर विस्तार के पास, एक बड़ा क्षेत्र सौंपा गया है। ओत्ज़े, समान रूप से, क्षेत्र को ही बराबर करता है। प्रमेय का पहला भाग पूरा हो चुका है।

आइए दूसरे भाग की पुष्टि के लिए आगे बढ़ें।

आइए हमें एक सामान्य वेक्टर के साथ एक बिंदु से गुजरने के लिए एक विमान दिया जाता है, जो कि है। बता दें कि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली ऑक्सीज़ीїї मन के स्तर की स्थापना।

जिसके लिए हम समतल का पर्याप्त बिंदु लेते हैं। मुझे बात बनने दो। तब सदिश i लंबवत होगा, फिर, अदिश twіr शून्य के बराबर होगा: . स्वीकार करना, देखने के लिए उत्सुक। Tse बराबर और हमारे क्षेत्र को इंगित करें। फिर से, प्रमेय की फिर से पुष्टि की जाती है। (संख्याओं के पहले मूल्यों के लिए लेकिन, पर, वूі डी);

आइए शेष वाक्यांश को स्पष्ट करने के लिए एक बट को लक्षित करें।

निश्चित आयताकार समन्वय प्रणाली के पास तुच्छ विस्तार के पास के क्षेत्र की छवियों से छोटों पर चमत्कार करें ऑक्सीज़ी. Tsіy ploshchinі vіdpovіdaє rіvnyannya, उस scho के लिए आप प्लाजा के किसी भी बिंदु के निर्देशांक से प्रसन्न हैं। दूसरी ओर, संरेखण दिए गए समन्वय प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है ऑक्सीज़ीएक अवैयक्तिक बिंदु, जिसकी छवि एक छोटा सा फ्लैट है।

खिडकियों पर क्षेत्र की समतलता:

बता दें कि तुच्छ स्थान में एक समकोण समन्वय प्रणाली है ऑक्सीज़ी.

एक आयताकार समन्वय प्रणाली के लिए ऑक्सीज़ीमन के बराबर एक तुच्छ विस्तार में, de एक, बीі सी- शून्य के रूप में वर्तमान संख्या कहलाती है विंडब्रेक के क्षेत्र के बराबर. ऐसा नाम विपदकोवा नहीं है। संख्याओं का निरपेक्ष मान एक, बीі सीसमन्वय अक्षों पर विमान vіdrіzkіv vіdzhina के बराबर, yakі vіdsіkaє विमान बैल, आहाі आउंसनिर्देशांक के vіdpovіdno, rahuyuchi vіd cob। संख्या चिह्न एक, बीі सीदिखाता है, एक सीधी रेखा (सकारात्मक और नकारात्मक) में निर्देशांक अक्षों पर कोष्ठक होते हैं। निश्चित रूप से, निर्देशांक बिंदु हवाओं के तल को संतुष्ट करते हैं:

छोटों को देखें, जो पल की व्याख्या करते हैं।

बिंदु से गुजरने वाले समतल का स्तर सदिश के लंबवत है:बता दें कि तुच्छ स्थान में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है। हम निम्नलिखित कार्य तैयार करते हैं:

इस बिंदु से गुजरने के लिए समतल तलों को मोड़ें
एम(एक्स 0 , आप 0 , जेड 0) दिए गए वेक्टर के लंबवत →एन = {ए, बी, सी} .

समाधान।चलो भी पी(एक्स, आप, जेड) - अंतरिक्ष के लिए पर्याप्त बिंदु। डॉट, धब्बेदार पीयदि वेक्टर
एमपी = {एक्स − एक्स 0 , आप − आप 0 , जेड − जेड 0) ओर्थोगोनल वेक्टर → एन = {ए, बी, सी) (चित्र एक)।

इन सदिशों की मानसिक ऑर्थोगोनैलिटी लिख कर (→ एन, एमपी) = 0 निर्देशांक रूप के लिए, वैकल्पिक।

क्षेत्र।

नियुक्ति।कोई भी शून्येतर सदिश, तल के लंबवत्, . कहलाता है सामान्य वेक्टर, और इंगित किया गया है।

नियुक्ति।मन की सतह के बराबर डी गुणांक - पर्याप्त प्रभावी संख्या, एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं, कहलाती है क्षेत्र के zagalnym फ्लैट।

प्रमेय।लेवलिंग उस क्षेत्र को निर्धारित करता है जो सामान्य वेक्टर बिंदु से गुजर सकता है।

नियुक्ति।रिव्न्यानिया दिमाग

डे - पर्याप्त, शून्य के बराबर नहीं, वास्तविक संख्या, जिसे कहा जाता है पवनचक्की के क्षेत्र के बराबर।

प्रमेय।चलो - हवा के झोंकों पर फ्लैट की समतलता। टोडी - समन्वय बिंदु क्रॉसबार समन्वय अक्षों के साथ।

नियुक्ति।क्षेत्र की गहरी समतलता कहलाती है राशनया सामान्यक्षेत्रफल के बराबर, जैसे

वह ।

प्रमेय।आम तौर पर, विमान के संरेखण को - दिए गए विमान के निर्देशांक के कॉलम में - सामान्य वेक्टर के प्रत्यक्ष कोसाइन के रूप में लिखा जा सकता है ).

नियुक्ति। सामान्यीकरण गुणकसमतल क्षेत्र की संख्या कहलाती है मुक्त सदस्य के विपरीत चिन्ह द्वारा डी चिन्ह का चयन किया जाता है डी.

प्रमेय।चलो - एक गुणक जो सामान्य करता है, क्षेत्र की जंगली समतलता। Todi rivnyannya राशनिंग rivnyannyam दिया गया क्षेत्र।

प्रमेय।वेदस्तान डीस्पेक का प्रकार फ्लैट तक .

परस्पर रोटाशुवन्न्या दो फ्लैट।

दो विमान या तो चलते हैं, या वे समानांतर हैं, या वे एक सीधी रेखा के साथ जुड़ते हैं।

प्रमेय।सतही कार्यों को ओवरहेड होने दें: . टोडी:

1) यक्षो फिर फ्लैट zbіgayutsya;

2) यक्षो तब विमान समानांतर हैं;

3) अन्यथा विमानों को सीधी रेखाओं के साथ रंगा जाता है, जिसके बराबर समान प्रणाली कार्य करती है: .

प्रमेय।चलो - दो विमानों के सामान्य वैक्टर, फिर दिए गए विमानों के बीच दो कटों में से एक अधिक है:।

अंतिम।चलो भी ,- दो दिए गए क्षेत्रों के सामान्य वैक्टर। एक अदिश जोड़ के रूप में, दिए गए क्षेत्र लंबवत हैं।

प्रमेय।निर्देशांक स्थान के तीन अलग-अलग बिंदुओं के दिए गए निर्देशांक दें:

टोडी नदी –समान तल जो ची तीन बिंदुओं से होकर गुजरते हैं.

प्रमेय।दो फ्लैटों की आंधी का डेटा दें, जो ओवरलैप: इसके अलावा। टोडी:

– गोस्ट्री डुहेड्रल कुटो के द्वि-क्षेत्रीय क्षेत्र का समतलन, इन फ्लैटों के पेराटिन से जड़ी;

– एक कुंद डायहेड्रल कट के द्वि-क्षेत्रीय क्षेत्र का संरेखण.

Zv'yazuvannya फ्लैटों की बीम।

नियुक्ति। Zv'yazuvannyam फ्लैट्ससभी विमानों की अवैयक्तिकता को कहा जाता है, कि कोई एक उज्ज्वल बिंदु देख सकता है, जैसा कि इसे कहा जाता है लिंकेज सेंटर.

प्रमेय।चलो चलते हैं - तीन फ्लैट जो एक उज्ज्वल बिंदु बनाते हैं फ्लैटों के zv'yazuvannya की बराबरी.

प्रमेय। Rivnyannya, de dovilnі deisnі पैरामीटर, एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं, जोड़ने के केंद्र के साथ विमानों को जोड़ने के बराबरबिंदु पर

प्रमेय।आइए मैं आपको तीन फ्लैटों के हिमनद स्तर का डेटा देता हूं:

-їх vidpovіdnі सामान्य वैक्टर। तीन दिए गए विमानों के लिए एक बिंदु में ओवरलैप करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है, ताकि दो सामान्य वैक्टरों के बीच का अंतर शून्य तक न पहुंचे:

इस तरह, एकल केंद्रीय बिंदु के निर्देशांक समीकरण प्रणाली के एकल समाधान हैं:

नियुक्ति। फ्लैटों का एक गुच्छाअवैयक्तिक विमानों को कहा जाता है, जो एक ही सीधी रेखा के साथ जुड़े हुए हैं, पूरे बीम का शीर्षक।

प्रमेय।दो फ्लैटों को एक सीधी रेखा में आपस में जुड़ने दें। Todі vnyannja, de dovіlnі dіisnі पैरामीटर एक बार शून्य के बराबर नहीं, विमानों के बीम का संरेखणबीम के ऊपर से

प्रत्यक्ष।

नियुक्ति।चाहे वह एक शून्येतर सदिश हो, एक सीधी रेखा दी गई संरेख को . कहा जाता है प्रत्यक्ष वेक्टर, और इंगित किया गया है

प्रमेय। पैरामीट्रिक सीधी रेखाएंअंतरिक्ष में: किसी दी गई सीधी रेखा के काफी निश्चित बिंदु के निर्देशांक, और किसी दिए गए सीधी रेखा पैरामीटर के काफी प्रत्यक्ष वेक्टर के सामान्य निर्देशांक।

अंतिम।बराबरी की प्रणाली आगे बढ़ रही है, खुले स्थान में सीधे बराबर होती है और कहलाती है विहित बराबर सीधेअंतरिक्ष में: डी - किसी दी गई सीधी रेखा के काफी निश्चित बिंदु के निर्देशांक, - किसी दी गई सीधी रेखा के काफी प्रत्यक्ष वेक्टर के सामान्य निर्देशांक।

नियुक्ति।प्रत्यक्ष दृश्य के कैननिकल समकक्ष - बुलाया सीधी रेखाओं का विहित संरेखण जो दो अलग-अलग दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरता है

पारस्परिक रूप से खुली जगह में दो सीधी रेखाएँ roztashuvannya।

खुली जगह के पास दो सीधी रेखाओं के सड़ने के 4 ढलान होना संभव है। वे सीधे हो सकते हैं, समानांतर हो सकते हैं, एक बिंदु या क्रॉस पर पार कर सकते हैं।

प्रमेय।मुझे दो सीधी रेखाओं का विहित समीकरण देना चाहिए:

डी - सीधे वैक्टर, - पर्याप्त निश्चित बिंदु जो सीधी रेखाओं पर स्थित होते हैं। टोडी:

і ;

और जीतो मत अगर समानता में से केवल एक

;

, फिर।

4) सीधे क्रॉस, जैसे , फिर।

प्रमेय।चलो भी

- खुली जगह के पास दो बल्कि सीधी रेखाएं, पैरामीट्रिक संरेखण द्वारा निर्धारित। टोडी:

1) सिस्टम बराबर कैसे है

यदि एक ही समाधान है, तो वे सीधे एक बिंदु में आपस में जुड़े हुए हैं;

2) यदि प्रणाली समान है, तो कोई समाधान नहीं है, तो इसे सीधे समानांतर में पार किया जाता है।

3) यदि सिस्टम एक से अधिक rozvyazku के बराबर है, तो सीधे zbіgayutsya।

खुली जगह में दो सीधी रेखाओं के बीच में खड़े हो जाएं।

प्रमेय।(दो समानांतर रेखाओं के बीच का सूत्र।): दो समानांतर रेखाओं के बीच जाएँ

डी - ओवरहेड प्रत्यक्ष वेक्टर, - іх सीधी रेखाओं के बिंदु, सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

या

प्रमेय।(क्रॉस करने के लिए दो सीधी रेखाओं के बीच सूत्र।): पार करने के लिए दो सीधी रेखाओं के बीच खड़े हों।

इस सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

डे - प्रत्यक्ष वैक्टर के मिश्रित निर्माण का मॉड्यूल і वेक्टर है, प्रत्यक्ष वैक्टर के वेक्टर निर्माण का मॉड्यूल।

प्रमेय।चलो - दो फ्लैटों का संरेखण जो ओवरलैप करते हैं। फिर सीधी रेखाओं के संरेखण और संरेखण की प्रणाली आती है, जो विमानों से जुड़ी होती हैं: . प्रत्यक्ष वेक्टर एक वेक्टर के रूप में काम कर सकता है , डे ,- दिए गए क्षेत्रों के सामान्य वैक्टर।

प्रमेय।इसे एक विहित सीधी रेखा दें: डे । फिर बराबर की प्रणाली साथ आती है, और बराबर को दो विमानों की अवधि द्वारा दी गई सीधी रेखाएं दी जाती हैं: .

प्रमेय।एक बिंदु से गिराए गए लंबवत का संरेखण सीधा देख सकते हैं डी - वेक्टर निर्माण के निर्देशांक, - सीधी रेखा को दिए गए प्रत्यक्ष वेक्टर के निर्देशांक। लंबवत की लंबाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती है:

प्रमेय।दो सीधी रेखाओं के लंबवत लंबवत का संरेखण, जिसे पार किया जा सकता है, देखा जा सकता है: डे।

पारस्परिक रूप से खुली जगह के पास सीधी रेखाएँ और फ्लैट roztashuvannya।

उस क्षेत्र के विस्तार के निकट एक सीधी रेखा के पारस्परिक विस्तार के तीन संभावित तरीके हैं:

प्रमेय।मान लीजिए कि समतल सीधी रेखाओं को दिया गया है, और सीधी रेखा को विहित या पैरामीट्रिक रेखाओं को दिया गया है abo, de वेक्टर क्षेत्र का सामान्य वेक्टर है - एक सीधी रेखा के काफी निश्चित बिंदु के निर्देशांक, - एक सीधी रेखा के काफी सीधे वेक्टर के सामान्य निर्देशांक। टोडी:

1) यक्षो, फिर हम सीधे उस बिंदु के विमान को पार करते हैं, जिसके निर्देशांक को समीकरण प्रणाली से जाना जा सकता है

2) अगर मैं, तो सीधे फ्लैट पर लेट जाओ;

3) यदि i, तो रेखा तल के समांतर होती है।

अंतिम।यदि सिस्टम (*) का एक ही समाधान है, तो यह सीधे फ्लैट से बह रहा है; यदि निकाय (*) का कोई हल नहीं है, तो यह समतल के सीधे समानांतर है; यदि सिस्टम (*) एक अवैयक्तिक निर्णय हो सकता है, तो यह सीधे विमान पर झूठ बोलने के लिए है।

विरिश्ण्य विशिष्ट कार्य।

प्रबंधक №1 :

वैक्टर के समानांतर बिंदु से गुजरने के लिए समतल विमानों को मोड़ें।

हम क्षेत्र के सामान्य वेक्टर को जानते हैं:

= =

क्षेत्र के एक सामान्य वेक्टर के रूप में, आप भविष्य में समान विश्व स्तर पर समान क्षेत्र के वेक्टर को देख सकते हैं:

जानने के लिए, उन बिंदुओं के निर्देशांक को बदलना आवश्यक है जिनके साथ विमान स्थित है।

प्रबंधक №2 :

घन के दो फलक तलों पर स्थित होते हैं और घन की कुल संख्या की गणना करते हैं।

जाहिर है, विमान समानांतर हैं। क्यूब के डोविज़िना किनारे vіdstan mіzh फ्लैट्स। Vibero पहले तल पर एक बिंदु पर: आइए जानें नहीं।

हम जानते हैं कि विमानों के बीच कैसे चलना है, एक बिंदु से दूसरे विमान तक कैसे चलना है:

ओत्ज़े, घन का आयतन अच्छा है ()

प्रबंधक №3 :

जानिए चेहरों और पिरामिड की चोटियों के बीच का कट

विमानों के बीच कट - इन विमानों तक सामान्य वैक्टर के बीच सीई कट। हम क्षेत्र के सामान्य वेक्टर को जानते हैं: [,];

, या

उसी प्रकार

प्रबंधक №4 :

विहित रूप से समान सीधी रेखाएँ बिछाएँ .

ओत्ज़े,

वेक्टर सीधी रेखा के लंबवत है, to

ओत्ज़े, विहित रूप से बराबर, मैं सीधे आगे देखूंगा।

प्रबंधक №5 :

जानिए सीधी रेखाओं के बीच का अंतर

і .

सीधे समानांतर, क्योंकि їх प्रत्यक्ष वैक्टर और असंभव। बिंदु पर आओ पहली पंक्ति पर स्थित है, और बिंदु दूसरी रेखा पर स्थित है। हम सदिशों के आधार पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जानते हैं।

[,];

Shukanoi vіdstannyu समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई, बिंदुओं से छोड़ा गया:

प्रबंधक №6 :

सीधी रेखाओं के बीच सबसे छोटी दूरी की गणना करें:

यह दिखाया जाएगा कि यह सीधे पार करना है, टोबो। वैक्टर, और वे एक ही विमान पर झूठ बोलते हैं: ≠ 0.

1 रास्ता:

एक और सीधी रेखा के माध्यम से हम पहली सीधी रेखा के समानांतर एक विमान खींचते हैं। शुकानो के क्षेत्र के लिए v_domі tі, scho to झूठ वेक्टर। सामान्य क्षेत्र वेक्टर वेक्टर tvir vectorіv, .

साथ ही, क्षेत्र के सामान्य वेक्टर के रूप में, आप भविष्य में उस क्षेत्र के संरेखण के वेक्टर ले सकते हैं, यदि आप जानते हैं कि क्षेत्र पर झूठ बोलने का बिंदु पाया जा सकता है और संरेखण लिख सकता है:

शुकाना v_dstan - tsya vіdstan पहली सीधी रेखा के बिंदु से विमान तक सूत्र द्वारा जाना जाता है:

13.

2 रास्ते:

वैक्टर i पर हम एक समानांतर चतुर्भुज बनाएंगे।

शुकाना वेदस्तान' - वैक्टर के आधार पर, योगो के आधार पर बिंदुओं से छोड़े गए समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई।

नतीजा: 13 सिंगल्स।

प्रबंधक №7 :

एक विमान पर एक बिंदु के प्रक्षेपण को जानें

क्षेत्र का सामान्य वेक्टर सीधी रेखा का सीधा वेक्टर है:

हम सीधी रेखा का क्रॉसिंग पॉइंट जानते हैं

वह क्षेत्र:

.

समतल तल में प्रतिस्थापित करना, हम जानते हैं, और तब

आदर।एक बिंदु को जानने के लिए जो विमान के समान एक बिंदु के सममित है, यह आवश्यक है (आगे के कार्यों के समान) विमान पर बिंदु के प्रक्षेपण को जानने के लिए, फिर vіdіzok को vіdomimikobkami बीच के साथ देखें, साथ फुहार सूत्र,,.

प्रबंधक №8 :

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु से गिराए गए लंबवत के संरेखण का पता लगाएं .

1 रास्ता:

2 रास्ते:

कार्य अलग तरीके से लिखे गए हैं:

क्षेत्र दी गई रेखा के लंबवत है, इसलिए रेखा का सीधा वेक्टर क्षेत्र का सामान्य वेक्टर है। विमान के सामान्य वेक्टर और विमान पर एक बिंदु को जानने के बाद, हम її बराबर लिखते हैं:

हम पैरामीट्रिक रूप से लिखे गए विमान के क्रॉस पॉइंट और सीधी रेखा को जानते हैं:

,

आइए बिंदुओं से गुजरने के लिए एक सीधी रेखा बनाएं i:

.

सुझाव: .

ऐसे ही आप पौरुष और एक ही कार्य कर सकते हैं:

प्रबंधक №9 :

एक बिंदु खोजें जो एक सीधी रेखा की तरह एक बिंदु के सममित है .

प्रबंधक №10 :

सबसे ऊपर के साथ डेनिश ट्रिकॉट ऊंचाई के स्तर को जानें, ऊपर से पीछे की ओर नीचे की ओर।

शीर्षक पिछले कार्यों के बिल्कुल अनुरूप है।

सुझाव: .

प्रबंधक №11 :

दो सीधी रेखाओं के लंबवत लंबवत के संरेखण को नामित करें:।

0.

व्रखोवुची, स्को एक बिंदु से गुजरते हैं, हम विमान के संरेखण को लिखते हैं:

बात लेटने की है, मैं देखूंगा कि बराबर क्षेत्रफल वाला दिखेगा:।

सुझाव:

प्रबंधक №12 :

एक बिंदु से गुजरने के लिए सीधी रेखाओं को मोड़ें और सीधी रेखाओं को पार करें .

उस बिंदु से गुजरने वाली पहली सीधी रेखा जो प्रत्यक्ष सदिश हो सकती है; अन्य - बिंदुओं से गुजरने के लिए और वेक्टर को निर्देशित कर सकते हैं

यह दिखाया गया है कि क्यूई लाइनें ऐसी हैं कि उन्हें पार किया जा सकता है, जिसके लिए हम मध्यस्थ को मोड़ते हैं, जिसकी पंक्तियाँ वैक्टर के निर्देशांक हैं, सदिश एक ही तल पर अतिव्यापन नहीं करते हैं।

आइए स्पेक के माध्यम से एक विमान बनाएं और सीधे आगे बढ़ें:

चलो - एक ही वैक्टर, और शिकायतकर्ता के विमान का पर्याप्त बिंदु। क्षेत्र की समतलता दिख सकती है:।

इसी तरह, हम विमान की समतलता को मोड़ सकते हैं, जो कि धब्बों से होकर गुजर सकता है और दूसरा सीधा: 0.

शुकाना फ्लैटों की सीधी अवधि है, टोबटो।

उनके द्वारा दिए गए परिणाम का प्रबुद्ध परिणाम घटकों का निर्माण, प्रवेश द्वार पर बयान, दो स्तरों पर दक्षताओं (कुलीनता, मन, शक्ति) की समग्रता है: दहलीज और अभियोजन। थ्रेशोल्ड रेवेन मूल्यांकन "संभवतः" देता है, स्टिकिंग रेवेन आकलन को "अच्छा" या "उल्लेखनीय" देता है, केस-टास्क के परिणामों में परती है।

इन घटकों के स्व-निदान के लिए, आपको अगले चरण दिखाए जाएंगे।

इंस्टाप

अध्याय 1

1 समतल के साथ एक सीधी रेखा का क्रॉस पॉइंट

1 अंतरिक्ष में सीधी रेखा की स्थिति में बदलाव

2 कुट मिज़ सीधे और सपाट

विस्नोवोक

DZHEREL जीत की सूची

इंस्टाप

निर्देशांक x, y, z . के पहले चरण का Be-yaké समीकरण

+ सीजेड + डी = 0 . द्वारा

क्षेत्र और अब सेट करता है: चाहे वह क्षेत्र बराबर द्वारा दर्शाया जा सकता है, क्योंकि इसे क्षेत्र के बराबर कहा जाता है।

सदिश n (A, B, C), तल का ओर्थोगोनल, तल का अभिलंब सदिश कहलाता है। बराबर गुणांक ए, बी, सी एक ही समय में 0 के बराबर नहीं होते हैं।

D = 0, Ax+By+Cz = 0 - तल निर्देशांकों के कोब से होकर गुजरता है।

सी \u003d 0, कुल्हाड़ी + बाय + डी \u003d 0 - विमान ओज़ अक्ष के समानांतर है।

सी = डी = 0, कुल्हाड़ी + बाय = 0 - सभी ओज से गुजरने वाला क्षेत्र।

बी = सी = 0, कुल्हाड़ी + डी = 0 - विमान ओयज विमान के समानांतर है।

निर्देशांक विमानों का संरेखण: x=0, y=0, z=0.

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा दी जा सकती है:

) दो विमानों को पार करने के लिए एक रेखा के रूप में, टोबो। रिव्यान प्रणाली:

ए 1 एक्स+बी 1 वाई+सी 1 जेड+डी 1= 0, ए 2 एक्स+बी 2 वाई+सी 2z + डी 2 = 0;

) इसके दो बिंदुओं M . के साथ 1(एक्स 1, यू 1, ज़ू 1) और एम 2(एक्स 2, यू 2, ज़ू 2), भले ही यह सीधा हो, उनमें से क्या गुजरना है, बराबर द्वारा दिया जाता है:

=;

) बिंदु एम 1(एक्स 1, यू 1, ज़ू 1), जो th झूठ है, वह वेक्टर a (m, n, р), th संरेख है। टोडी को सीधे बराबरी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है:

समीकरणों को विहित सीधी रेखाएँ कहते हैं।

सदिश a को सीधी रेखा का प्रत्यक्ष सदिश कहा जाता है।

सीधी रेखा के पैरामीट्रिक संरेखण को हटा दिया जाता है, त्वचा को आंख से पैरामीटर t के बराबर किया जाता है:

एक्स 1+एमटी, वाई = वाई 1+ एनटी, जेड = जेड1 + पं.

रैखिक संरेखण की एक प्रणाली की तरह रज़वाज़्यूची प्रणाली, जहां अज्ञात x और y, अनुमानों में या सीधी रेखाओं को इंगित करने के लिए सीधी रेखाओं पर आते हैं:

एमजेड + ए, वाई = एनजेड + बी

आप त्वचीय रैंक से z को जानकर और मान जोड़कर, विहित रैंक पर जा सकते हैं:

ऊपरी स्तरों (3.2) में, यह जानने के लिए कि क्या सीधी रेखा का रेखा बिंदु और प्रत्यक्ष वेक्टर n = , de n, कोई अन्य तरीके से विहित एक को पास कर सकता है 1(ए 1, बी 1, सी 1) और n 2(ए 2, बी 2, सी 2) दिए गए क्षेत्रों के सामान्य सदिश हैं। यदि m, n और r में से एक बराबर (3.4) में से एक शून्य के बराबर है, तो दोहरे अंश की संख्या को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए, अर्थात। व्यवस्था

समान प्रणाली ; ऐसी रेखा ऑक्स अक्ष के लंबवत है।

व्यवस्था प्रणाली समान रूप से मजबूत है x = x 1,वाई = वाई 1; ओज़ अक्ष के समानांतर सीधी रेखा।

कोर्स वर्क का उद्देश्य:उस समतल क्षेत्र को खुले स्थान से सीधा ऊपर करें।

पाठ्यक्रम के प्रमुख:खुली जगह के पास के क्षेत्र को देखें, बराबर, और खुली जगह के पास के फ्लैट को देखें।

पाठ्यक्रम कार्य की संरचना:प्रविष्टि, 2 अध्याय, विस्नोवोक, vikoristanih dzherel की सूची।

अध्याय 1

.1 समतल के साथ एक सीधी रेखा का क्रॉसिंग पॉइंट

क्षेत्र Q को घुमावदार प्रकार दिया जाए: Ax+By+Cz+D=0, और रेखा L को पैरामीट्रिक प्रकार: x=x 1+mt, y=y 1+एनटी, जेड=जेड 1+pt, अन्यथा, रेखा L और समतल Q के क्रॉस पॉइंट को जानने के लिए, पैरामीटर t का मान जानना आवश्यक है, जिसके लिए रेखा का बिंदु समतल पर स्थित है। x, y, z के मानों को प्रतिस्थापित करने पर तल बराबर होता है और t प्राप्त करके हम घटाते हैं

t का मान समान होगा, क्योंकि तल सीधा और समानांतर नहीं है।

सीधी रेखा और तल की समांतरता और लंबवतता को धो लें

एल पर सीधे देख रहे हैं:

और सपाटता?

सीधी रेखा एल और विमान? :

ए) एक से एक के लंबवत या एक से कम, यदि सीधा वेक्टर सीधा है और सामान्य वेक्टर समरेखीय विमान, टोबो।

बी) एक के समानांतर और उसी से कम, यदि वैक्टर і लंबवत, अर्थात्।

मैं हूँ + बीएन + р = 0।

.2 कुट मिज़ सीधे और सपाट

कुटो ?क्षेत्र के सामान्य वेक्टर के बीच मैं एक प्रत्यक्ष वेक्टर द्वारा निम्नलिखित सूत्र के अनुसार गणना की जा सकती है:

फ्लैटों की बीम

दी गई सीधी रेखा L से गुजरने वाले सभी तलों का योग तलों का बंडल कहलाता है, और सीधी रेखा L को संपूर्ण बंडल कहा जाता है। मान लें कि पूरा बीम बराबर द्वारा दिया गया है

हम दूसरे सिस्टम की रैंक को टर्म से टर्म से गुणा करते हैं और हम इसे पहले रैंक के साथ स्टोर करते हैं:

ए 1एक्स+बी 1वाई+सी 1जेड+डी 1+ ?(ए 2एक्स+बी 2वाई+सी2 जेड+डी 2)=0.

त्से बराबर पहला कदम x, y, z i होना चाहिए, फिर, किसी भी संख्यात्मक मान के लिए ?क्षेत्र को परिभाषित करें। इसलिए, जैसा कि दिया गया समीकरण दो बराबर में से अंतिम है, तो बिंदु के निर्देशांक, जो इन बराबर से संतुष्ट हैं, इस बराबर से संतुष्ट हैं। पिता, जो भी संख्यात्मक मान ?दी गई सीधी रेखा से गुजरने वाले तलों के संरेखण को देखते हुए। ओट्रिमेन रिव्न्यानिया विमानों के बीम का संरेखण.

बटबिंदु M . से गुजरने वाले समतल तल को लिखिए 1(2, -3, 4) रेखाओं के समानांतर

समाधान।हम बिंदु M1 . से गुजरने वाले विमानों के कनेक्शन के संरेखण को लिखते हैं :

ए (एक्स - 2) + बी (वाई + 3) + सी (जेड - 4) = 0।

चूँकि समतल की आवश्यकता होती है लेकिन इन रेखाओं के समानांतर होता है, तो सामान्य सदिश दोनों रेखाओं के लंबवत होने के कारण होता है। tsikh सीधी रेखाएँ। इसलिए, एक वेक्टर N के रूप में, आप एक वेक्टर tv_r vector_v ले सकते हैं:

इसके अलावा, ए \u003d 4, बी \u003d 30, सी \u003d - 8. ए, बी, जेड के ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करना

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) = 0 या 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

बटरेखा के बिंदु का पता लगाएं वह क्षेत्रफल 2x + 3y-2z + 2 = 0.

समाधान।आइए पैरामीट्रिक दृश्य के साथ इस सीधी रेखा के संरेखण को लिखें:

आइए x, y, z समतल के समीकरण के लिए qi vrazi की कल्पना करें:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 टी = 1।

कल्पना कीजिए t = सीधी रेखा का 1 पैरामीट्रिक संरेखण। ले लेना

साथ ही, सीधी रेखा बिंदु M(3, 2, 7) पर प्रतिच्छेद करती है।

बटजानिए कुटो ?एक सीधी रेखा के बीच वह क्षेत्र है 4x-2y-2z+7=0. समाधान।आइए हम सूत्र (3.20) को ठीक करें। तो याकी

फिर

पिता, = 30°।

खुली जगह में सीधी रेखा संकरी नहीं होती है, इसलिए आप इसे किसी मित्र की सहायता से अधिक आसानी से पूछ सकते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति के स्कूल पाठ्यक्रम से, एक स्वयंसिद्ध है, "अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के माध्यम से आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, इससे पहले, केवल एक।" साथ ही, आरेख पर, दो ललाट और बिंदुओं के दो क्षैतिज प्रक्षेपणों द्वारा सीधी रेखा दी जा सकती है। लेकिन अगर यह एक सीधी रेखा है - यह एक सीधी रेखा है (और वक्र नहीं), तो पूर्ण आधार के साथ हम एक सीधी रेखा में बिंदुओं को जोड़ सकते हैं और एक सीधी रेखा का ललाट और क्षैतिज प्रक्षेपण ले सकते हैं (चित्र 13)।

सबूत उलटा है: अनुमानों वी और एच के विमानों में, दो अनुमान "बी" और एबी दिए गए हैं (चित्र 14)। हम उनके माध्यम से विमान खींचते हैं, प्रक्षेपण वी और एच (छवि 14) के विमानों के लंबवत, विमानों के पेरिटीना की रेखा सीधी रेखा एबी होगी।

.1 विभिन्न ढलान

जिन ढलानों पर हमने देखा, सीधी रेखाएँ न तो समानांतर थीं, न ही प्रक्षेपण विमानों V, H, W के लंबवत थीं। बदबू विशदनिमी या कम (स्वतंत्र रूप से rozіbratisya) हो सकती है।

अंजीर पर। 17 तीन अनुमानों द्वारा निर्धारित सीढ़ी की सीधी रेखा को दर्शाता है। आइए सीधी रेखाओं के परिवार को देखें, जो महत्वपूर्ण अधिकारी हो सकते हैं - सीधी रेखाएं, प्रक्षेपण विमान के समानांतर हों।

अंजीर पर। 17 तीन अनुमानों द्वारा निर्धारित सीढ़ी की सीधी रेखा को दर्शाता है।

आइए सीधी रेखाओं के परिवार को देखें, जो महत्वपूर्ण अधिकारी हो सकते हैं - सीधी रेखाएं, प्रक्षेपण विमान के समानांतर हों।

a) क्षैतिज सीधी रेखा (नक्शे - क्षैतिज, सीधी क्षैतिज रेखा)। यह अनुमानों के क्षैतिज तल के समानांतर सीधी रेखा का नाम है। भूखंड पर स्थान के निकट का प्रतिबिम्ब अंजीर में दिखाया गया है। अठारह।

"आड़ में" भूखंड पर क्षैतिज को पहचानना आसान है: ललाट प्रक्षेपण हमेशा अक्ष के समानांतर होता है। समग्र रूप से, सबसे महत्वपूर्ण क्षैतिज शक्ति निम्नानुसार तैयार की जाती है:

क्षैतिज पर - ललाट प्रक्षेपण अक्ष के समानांतर होता है, और क्षैतिज प्रक्षेपण प्राकृतिक आकार का होता है। अधिमानतः आरेख पर क्षैतिज का एक क्षैतिज प्रक्षेपण आपको कट को विमान वी (कट बी) और विमान डब्ल्यू (वाई) - अंजीर .18 में नामित करने की अनुमति देता है।

बी) ललाट सीधी रेखा (ललाट, ललाट संरेखण की सीधी रेखा) - सीधे नहीं, अनुमानों के ललाट तल के समानांतर। हम वास्तविक छवियों के उदाहरण नहीं हैं, लेकिन युगों (चित्र 19) द्वारा दिखाए गए हैं।

ललाट आरेख विशेषता है, जो एक्स और जेड अक्षों के समानांतर क्षैतिज और प्रोफ़ाइल अनुमान है, और ललाट प्रक्षेपण काफी फैलता है और ललाट के प्राकृतिक आकार को दर्शाता है। अधिमानतः आरेख पर, क्षैतिज (ए) और प्रोफ़ाइल (फ्लैट) अनुमानों के सीधे आगे काटें। ओत्ज़े, एक बार और:

ललाट पर, क्षैतिज प्रक्षेपण अक्ष के समानांतर है, और ललाट प्रक्षेपण प्राकृतिक आकार है

ग) प्रोफ़ाइल सीधी रेखा। जाहिर है, यह सीधा है, अनुमानों के प्रोफाइल प्लेन के समानांतर (चित्र। 20)। यह भी स्पष्ट है कि प्रोजेक्शन के प्रोफाइल प्लेन पर प्रोफाइल स्ट्रेट लाइन का प्राकृतिक मूल्य (प्रोजेक्शन ए "बी" - अंजीर। 20) और यहां आप एच (ए) और वी (ए) और वी ( बी)।

सीधी रेखाओं का एक परिवार आ रहा है, वांछित और महत्वपूर्ण बिछाने, सीधी रेखाओं की तरह - सीधी रेखाओं को प्रक्षेपित नहीं करना।

अनुमानों के विमानों के लंबवत सीधी रेखाओं को प्रोजेक्टिंग कहा जाता है (प्रोजेक्टिंग परिवर्तनों के अनुरूप - चित्र 21)।

एवी वर्ग एच - सीधे क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित; वर्ग वी - सीधे सामने पेश करना; वर्ग डब्ल्यू - सीधे प्रोफाइल-प्रोजेक्टिंग।

2.2 कुट मिज़ सीधे और सपाट

फ्लैट स्क्वायर कट त्रिकुटनिक

आयताकार ट्रिकआउट विधि

सीधे zagalnogo शिविर, जैसा कि हमने कहा, एक प्रकार के पूर्ण कुट के तहत अनुमानों के विमानों के लिए एड़ी।

सीधी रेखा और उस तल के बीच का कट कट द्वारा प्रक्षेपित होता है, हम समतल पर उस प्रक्षेपण में सीधी रेखा जोड़ते हैं (चित्र 22)। Kut a vyznaє kut nakhily vіdrіzka AB to pl। एच डब्ल्यू अंजीर। 22: एबी1 | 1pl एच; बीबी1 = बीबी - एए = जेड 22

एक सीधे कटे हुए त्रिकोट ABb1 में, टाँग AB1 का एक सामान्य क्षैतिज प्रक्षेपण ab है; और दूसरा चरण Bb1 वर्ग में सबसे महंगा खुदरा बिंदु A और B है। N. चूंकि सीधी रेखा ab के क्षैतिज प्रक्षेपण पर बिंदु लंबवत खींचे जाते हैं और नए मान Z पर डालते हैं, तो बिंदु a को लिए गए बिंदु b0 के साथ लेते हुए, हम कर्ण ab0 लेते हैं, जो प्राकृतिक मान के बराबर होता है एबी. आरेख पर यह इस तरह दिखता है (माल। 23):

इसी तरह, सीधी रेखा अनुमानों के ललाट तल तक फैली हुई है (बी) - अंजीर। 24.

सम्मान देने के लिए: क्षैतिज प्रत्यक्ष प्रक्षेपण पर पोबुडोव के मामले में, हम अतिरिक्त प्रत्यक्ष मूल्य Z में जोड़ते हैं; जब पूर्वकाल प्रक्षेपण पर - Y का मान।

आगे की ओर देखने की विधि को स्ट्रेट-कट ट्राइकटनिक कहा जाता है। योग की सहायता से, आप किसी भी प्रकार की दरार का प्राकृतिक आकार निर्धारित कर सकते हैं जो हमें रुलाती है, साथ ही योग को अनुमानों के विमानों में बीमार रूप से काटती है।

परस्पर एक सीधी रेखा

पहले, हमने एक सीधी रेखा के एक बिंदु के पोषण मूल्य को देखा: यदि कोई बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित है, तो अनुमान एक सीधी रेखा के एक-आयामी अनुमानों पर होते हैं (संबंधित का नियम, div। चित्र 14)। ज्यामिति के हाई स्कूल पाठ्यक्रम से, यह अनुमान लगाना संभव है: दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु में आपस में जुड़ती हैं (अन्यथा: यदि दो सीधी रेखाएँ एक दोहरा बिंदु बनाती हैं, तो बदबू दूसरे बिंदु में आपस में जुड़ती है)।

सीधी रेखाओं के अनुमान, जो आपस में जुड़े हुए हैं, आरेख पर एक स्पष्ट रूप से स्पष्ट संकेत हो सकता है: चलने वाले बिंदु के अनुमान लिंक की एक ही रेखा पर स्थित हैं (चित्र 25)। यह स्पष्ट है: बिंदु K AB और CD पर स्थित है; भूखंड पर, बिंदु k बिंदु k से जोड़ने वाली एक ही रेखा पर स्थित है।

सीधे एबी और सीडी - फिर से आकार दें

संभावित आपसी roztashuvannyah से खुले में दो सीधी रेखाएँ आ रही हैं - सीधे पार। यदि सीधी रेखाएँ समानांतर न हों, लेकिन वे ओवरलैप न हों, तो गिरना संभव है। ऐसी सीधी रेखाएँ दो समांतर तलों पर रखी जा सकती हैं (चित्र 26)। इसका मतलब यह भी नहीं है कि दो सीधे हैं, कि वे दो समानांतर विमानों पर ओब्याज़कोवो को पार करते हैं; और इससे भी कम कि उनके माध्यम से दो समानांतर विमान खींचे जा सकते हैं।

प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं के अनुमान अतिव्यापन कर सकते हैं, लेकिन उनके अतिव्यापन के बिंदु लिंक की एक ही रेखा पर नहीं होते हैं (चित्र 27)।

प्रतिस्पर्धी बिंदुओं के पोषण को देखना महत्वपूर्ण है (चित्र 27)। क्षैतिज प्रक्षेपण पर दो बिंदु (ई, एफ) होते हैं, लेकिन ललाट की बदबू में वे एक (ई "एफ") में बदल जाते हैं, इसके अलावा, यह अनुचित है, क्योंकि बिंदु दिखाई दे रहा है, क्योंकि यह दिखाई नहीं दे रहा है (प्रतिस्पर्धी बिंदु) )

दो बिंदु, जिनके ललाट प्रक्षेपण ढह रहे हैं, ललाट-प्रतिस्पर्धा कहलाते हैं।

हमने पहले ऐसा मोड़ देखा था (चित्र 11), लेकिन उन लोगों द्वारा "दो बिंदुओं को आपस में जोड़ना"। इसलिए, नियम स्थिर है:

दो प्रतिस्पर्धी बिंदुओं से, जो दिखाई देता है वह वह होता है जिसका समन्वय बड़ा होता है।

3 अंजीर। 27 यह देखा जा सकता है कि बिंदु E (e) का क्षैतिज प्रक्षेपण OX अक्ष से दूर है, निचला बिंदु f है। फिर, बिंदु "ई" का वाई निर्देशांक बड़ा है, बिंदु एफ पर कम है; बाद में, बिंदु E दिखाई देगा। सामने के प्रक्षेपण पर, बिंदु f "को मेहराब में अदृश्य के रूप में रखा गया है।

एक और बात: बिंदु ई सीधी रेखा एबी के प्रक्षेपण पर स्थित है, और टीएसई का मतलब है कि ललाट प्रक्षेपण पर सीधी रेखा "बी" सीधी रेखा सी "डी" के "शीर्ष पर" खींची जाती है।

समानांतर रेखाएं

भूखंड पर समानांतर रेखाएं दिखने में आसान होती हैं, लेकिन दो समानांतर रेखाओं के एक-आयामी अनुमान समानांतर होते हैं।

सम्मान देना: वही! टोबटो। ललाट अनुमान आपस में समानांतर होते हैं, और क्षैतिज अनुमान आपस में (चित्र 29) होते हैं।

प्रमाण: चित्र 28 में, दो समानांतर रेखाएँ AB और CD अंतरिक्ष में दी गई हैं। आइए हम उनके माध्यम से प्रक्षेपित विमानों क्यू और टी को खींचते हैं - वे समानांतर दिखाई देंगे (जैसे कि दो सीधी रेखाएं जो ओवरलैप करती हैं, एक विमान एक सीधी रेखा के साथ दो ओवरलैप के समानांतर, दूसरा विमान, फिर ऐसे विमान समानांतर होते हैं)।

आरेख 30a पर, कार्य सीधी रेखाओं के समानांतर होते हैं, आरेख 30b पर, सीधी रेखाएँ पार की जाती हैं, हालाँकि उसमें, और एक अलग दिशा में, ललाट और क्षैतिज अनुमान परस्पर समानांतर होते हैं।

हालांकि, मैं एक चाल का उपयोग करता हूं, जिसकी मदद से तीसरे अनुमानों में जाने के बिना, दो प्रोफ़ाइल सीधी रेखाओं के पदों को पारस्परिक रूप से असाइन करना संभव है। जिसके लिए अतिरिक्त रेखाओं के साथ दो अनुमानों का होना पर्याप्त है, जैसा कि चित्र 30 में दिखाया गया है। ऐसा प्रतीत होगा कि इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु कनेक्शन की एक ही रेखा पर स्थित हैं - प्रोफ़ाइल लाइनें एक दूसरे के समानांतर हैं - अंजीर। 30ए. यक्षो nі - प्रोफ़ाइल सीधी रेखाएँ क्रॉस (चित्र। 306)।

सीधी रेखा के गिरने की विशेषताएं:

प्रत्यक्ष कटौती के अनुमान

जैसे कि स्टेव की दो सीधी रेखाएं एक सीधे कट के नीचे टिकी हुई हैं, उनके अनुमान 90° (चित्र 31) के बराबर कट नहीं बनाते हैं।

क्रॉसबार में तीसरे के दो समानांतर विमानों के क्रॉसबार पर शार्ड्स सीधी रेखाओं के समानांतर दिखाई देते हैं, फिर क्षैतिज प्रक्षेपण ab और cd समानांतर होते हैं।

ऑपरेशन को दोहराने के लिए और प्रक्षेपणों के ललाट तल पर सीधी रेखाएं AB और CD प्रोजेक्ट करने के लिए, हम वही परिणाम लेंगे।

एक विशेष ढलान दो प्रोफ़ाइल सीधी रेखाएँ हैं, जो ललाट और क्षैतिज अनुमानों द्वारा निर्धारित की जाती हैं (चित्र 30)। जैसा कि कहा गया था, प्रोफ़ाइल लाइनों में, ललाट और क्षैतिज अनुमान परस्पर समानांतर, प्रोटे हैं, इस संकेत के लिए तीसरे प्रक्षेपण को प्रेरित किए बिना दो प्रोफ़ाइल लाइनों के समानांतरवाद का न्याय करना असंभव है।

प्रबंधक। एक समकोण त्रिभुज ABC का प्रयास कीजिए जिसका पाद BC सीधे MN पर पड़ा हो (चित्र 34)।

समाधान। आरेख से यह देखा जा सकता है कि सीधी रेखा MN क्षैतिज है। और मन के पीछे त्रिकुटनिक सीधा कटा हुआ है।

प्रत्यक्ष कुट के प्रक्षेपण की शक्ति की गति बिंदु "ए" से प्रक्षेपण एमएन (वर्ग एच पर, हमारे प्रत्यक्ष कुटा को सृजन के बिना प्रक्षेपित किया जाता है) से छोड़ा जाता है - अंजीर। 35.

एक अतिरिक्त सीधी रेखा के रूप में, जिसे सीधे कट के नीचे कट के अंत से इस बिंदु तक ले जाया जाना है, हम सीधी रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण का हिस्सा जीतते हैं, और बीएम स्वयं (चित्र 36)। आइए सामने के प्रक्षेपण से लिए गए Z निर्देशांक में अंतर के मूल्य को देखें, और हटाए गए विंडो के अंत से बिंदु "a" लें। हम पैर AB का वास्तविक आकार लेते हैं (ab ; एबी)।

आंकड़े 31 और 32 दो सीधी रेखाएँ दिखाते हैं जो एक कोने की स्थिति के साथ होती हैं, जो उनके बीच 90 ° कट बनाती हैं (चित्र 32 में, सीधी रेखाएँ एक ही समतल P में स्थित हैं)। याक बचिमो, कुट के आरेखों पर, सीधी रेखाओं के अनुमान, 90 ° तक नहीं।

आइए आक्रामक कारण से प्रत्यक्ष कूट के प्रक्षेपण को देखकर दुनिया की शक्ति को संजोएं:

चूँकि सीधे कूटा का एक पक्ष प्रक्षेपण तल के समानांतर है, तो सीधा कूटा बिना किसी रोक-टोक के इस तल पर प्रक्षेपित होता है (चित्र 33)।

हम एक ही स्थिति की ओर नहीं ले जाते हैं (इसे स्वतंत्र रूप से उत्पादित करते हैं), लेकिन हम बाधाओं को देख सकते हैं, जैसे कि आप इस नियम का पालन कर सकते हैं।

नासम्परेड, यह महत्वपूर्ण है कि मन के पीछे प्रत्यक्ष कूटा का एक पक्ष समानांतर है चाहे वह प्रक्षेपण विमान हो, फिर, एक पक्ष या तो ललाट होगा, या क्षैतिज (शायद एक प्रोफ़ाइल सीधी रेखा) - अंजीर। 33.

और आरेख पर ललाट और क्षैतिज "भेस में" को पहचानना आसान है (अनुमानों में से एक अक्ष के समानांतर है), या आप इसे आवश्यकतानुसार आसानी से प्रेरित कर सकते हैं। इसके अलावा, ललाट रेखा में सबसे महत्वपूर्ण शक्ति है: ओबोव की भाषा के अनुमानों में से एक जैसा दिखता है

नमी के नियम के अनुसार, हम बिंदु बी के ललाट प्रक्षेपण को "सहायक लाइन लिंक के पीछे जानते हैं। हमारे पास पैर एबी (ए" बी "; एबी) है।

पैर बीसी को एमएन की तरफ रखने के लिए, पीठ पर एबी बांह के प्राकृतिक आकार को नामित करना आवश्यक है (ए डी ; एबी)। जिसके लिए एक तेज है, हमारे पास पहले से ही स्ट्रेट-कट ट्राइकटनिक का नियम है।

विस्नोवोक

Zagalni rіvnyannya सीधे आगे

सीधी रेखा के संरेखण को दो विमानों के पेरिटीना की रेखा के संरेखण के रूप में देखा जा सकता है। जैसा कि अधिक देखा गया था, वेक्टर फॉर्म का क्षेत्रफल बराबर सेट किया जा सकता है:

× + डी = 0, डी

सामान्य सतह; - त्रिज्या - विमान के एक छोटे से बिंदु का सदिश।

अंतरिक्ष को दो विमान सेट करने दें: × + डी 1= 0 और × + डी 2= 0, सामान्य वैक्टर और निर्देशांक: (ए 1, बी 1, सी 1), (ए 2, बी 2, सी 2); (एक्स, वाई, जेड)। वेक्टर रूप में सीधी रेखाओं के लिए समान वक्र:

समन्वय रूप में Zagalnі vnyannya सीधी रेखा:

जिसके लिए आपको संख्याओं m, n, p की सीधी रेखा का पूरा बिंदु जानना होगा। यदि ऐसा है, तो एक प्रत्यक्ष वेक्टर को दिए गए विमानों के सामान्य में वेक्टर के वेक्टर विस्तार के रूप में जाना जा सकता है।

अंतरिक्ष के पास के क्षेत्र की समतलता

डेटा पॉइंट भेजें और गैर-शून्य वेक्टर (टोबटो , डे

बहा ले जाना सामान्य वेक्टर है।

यक्षो , , , ..., फिर बराबर देखने के लिए बदला जा सकता है . नंबर , і , і

चलो भी - विमान के एक बिंदु के रूप में, - विमान के लंबवत वेक्टर। टोडी नदी є सतह के बराबर।

गुणक , ; बराबर क्षेत्र के पास विमान के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक।

विमान को वेक्टर की लंबाई के बराबर संख्या से कैसे विभाजित करें , तो हम सामान्य रूप के क्षेत्र की समतलता को दूर करते हैं।

समतल का सपाट होना, जैसे किसी बिंदु से गुजरना मैं एक गैर-शून्य वेक्टर के लंबवत है, .

बे-याक पहले चरण के बराबर निर्देशांक स्थान को एक एकल तल पर सेट करता है, जो निर्देशांक के साथ वेक्टर के लंबवत है।

रिव्न्यानिया उस समतल के बराबर जो बिंदु से होकर जाता है मैं एक शून्येतर सदिश के लंबवत हूं।

त्वचा क्षेत्र आयताकार निर्देशांक की एक प्रणाली में सेट करें , , मन के बराबर।

ध्यान रहे, औसत गुणांक क्या हैं , , गैर-शून्य, आयताकार निर्देशांक की प्रणाली के क्षेत्र के लिए स्थान निर्धारित करता है। अंतरिक्ष के पास का क्षेत्र आयताकार निर्देशांक की प्रणाली में सेट है , , मन के बराबर , माइंड यू, थानेदार।

सही है कि दृढ़ता की वापसी: मन के बराबर बहा ले जाना आयताकार निर्देशांक की प्रणाली के लिए स्थान निर्धारित करें।

डे , , , , ,

अंतरिक्ष के पास का क्षेत्र बराबर को सौंपा गया है , डे , , , - दशमलव संख्या, इसके अलावा , , 0 के बराबर न हों और वेक्टर के निर्देशांक एक साथ सेट करें , इस विमान के लंबवत और सामान्य वेक्टर कहा जाता है।

डेटा पॉइंट भेजें और गैर-शून्य वेक्टर (टोबटो ) एक ही वेक्टर फ्लैट क्षेत्र , डे - विमान का पर्याप्त बिंदु) जैसा दिखता है - बिंदु और सामान्य वेक्टर के पीछे के क्षेत्र का संरेखण।

पहले चरण की त्वचा को समतल करना बहा ले जाना एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रखें एक एकल विमान, जिसके लिए वेक्टर सामान्य वेक्टर है।

यक्षो , , , , फिर बराबर देखने के लिए बदला जा सकता है . नंबर , і कुल्हाड़ियों पर rivnі vіdzhina vіdrіzkіv, yakі vіdsіkayut फ्लैट , і स्पष्टतः। उस बराबर करने के लिए "हवाओं पर" क्षेत्र के बराबर कहा जाता है।

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दो समानांतर विस्तार पर सीधे हैं, मानो एक फ्लैट में पड़े रहने की बदबू ओवरलैप न हो।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं पार करती हैं, मानो ऐसा कोई क्षेत्र नहीं है, जिसमें लेटने से बदबू आती हो।

सीधी रेखाओं को पार करने के संकेत। यदि दो सीधी रेखाओं में से एक डेकी और लैग्नोस्टी पर स्थित है, और दूसरी सीधी रेखा एक बिंदु पर विमान को पार करती है, यदि पहली सीधी रेखा ओवरलैप नहीं होती है, तो सीधी रेखाएं पार हो जाती हैं।

विमान सीधा है, ताकि विमान, समानांतर, ओवरलैप न हो, ताकि बदबू सोने के बिंदुओं को मफल न करे।

सीधी रेखा और समतल के समांतरता का चिन्ह। अगर यह सीधा है, अगर यह विमान को ओवरलैप नहीं करता है, अगर यह समानांतर है, अगर यह सीधा है, अगर यह विमान को ओवरलैप करता है, तो यह विमान के समानांतर है।

समतल की शक्ति और सीधी रेखा, समतल के समानांतर:

1) यदि समतल को दूसरे तल के समानांतर सीधा ले जाना है, और यदि यह समतल को पार करता है, तो तलों की रेखा इस सीधी रेखा के समानांतर होती है;

2) यदि त्वचा के माध्यम से दो समानांतर सीधी रेखाओं से, समतल जो ओवरलैप करते हैं, तो उनकी रेखा की रेखा इन सीधी रेखाओं के समानांतर होती है।

दो विमान समानांतर हैं, जैसे कि बदबू नींद के बिंदु नहीं हो सकती।

समतलों की समांतरता के लक्षण, मानो एक ही तल के दो सीधे तल, जो अतिव्यापन करते हैं, दो सीधे तलों के समांतर प्रतीत होते हैं, तो दो तल समानांतर होते हैं।

सीधी रेखा समतल के लंबवत होती है, मानो वह सीधी रेखा के लंबवत हो, ताकि तल स्थित हो।

एक सीधी रेखा और एक तल के लंबवतता के संकेत: यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं के लंबवत है जो ओवरलैप करती हैं, विमान के पास स्थित हैं, तो यह विमान के लंबवत है।

एक सीधी रेखा का प्रभुत्व, समतल के लंबवत।

1) यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक तल पर लंबवत है, तो दूसरी रेखा तल के केंद्र के लंबवत है;

2) सीधे, दो समानांतर विमानों में से एक के लंबवत, दूसरे तल के लंबवत।

विमानों की लंबवतता का संकेत। यदि विमान को दूसरे तल पर लंबवत चलना है, तो वह उस तल के लंबवत है।

एक सीधी रेखा जो समतल को पार करती है, लेकिन उस पर लंबवत नहीं है, तल की दुर्बलता कहलाती है।

तीन लंबवत के बारे में प्रमेय। इसके सीधे होने के लिए, जो फ्लैट के पास स्थित है, तुला बीमारी के लिए लंबवत है, यह आवश्यक और पर्याप्त है, ताकि यह फ्लैट पर बीमार के प्रक्षेपण के लंबवत हो।

बच्चे पर 1 सीधा बी-खिला से फ्लैट तक, सीधा सी- प्रक्षेपण एक┴ एच, फिर एक┴ बी

कमज़ोरी और सपाटता के बीच के कुटोम को कमज़ोरी और फ़्लैट पर प्रक्षेपण के बीच का कट कहा जाता है। छोटे पर 2 सीधे बी- पोखिला से फ्लैट तक, सीधा एक- फ्लैट पर चिलोई का प्रक्षेपण, α - चिलो और फ्लैट के बीच काटा।

दो विमानों के अतीत में दो-मुंह वाले kutvoryutsya। दो तलों की अवधि के अंत तक कटी हुई सीधी रेखा को दो तरफा कट का किनारा कहा जाता है। दो pіvploschini iz zagalny पसली को दो-मुंह वाले कुट के चेहरे कहा जाता है।

उस क्षेत्र को नपवे, जिसके बीच दो-मुंह वाले कुटा के किनारे के साथ zbіgaytsya और दो-तरफा कुट को दो समान कुटी में कैसे विभाजित किया जाए, इसे द्वि-सेक्टर फ्लैट कहा जाता है।

दो-मुंह वाले कट को एक समान रैखिक कट में घटाया जाता है। दो तरफा कट के रैखिक कट को त्वचा के चेहरे से किनारे तक खींचे गए लंबवत के बीच का कट कहा जाता है।

चश्मे

बगाटोहेड्रोन, एक नदी के दो किनारे एन- कोसिंसी, जो समानांतर फ्लैटों के पास स्थित है, और रेश्टा एनचेहरे - समांतर चतुर्भुज, कहा जाता है एन- वुगेल्नॉय प्रिज्म।

दो एन- kosintsya पॉडस्टावमी प्रिज्म, समांतर चतुर्भुज - bіchnymi चेहरे। फलकों के किनारों को प्रिज्म का किनारा कहा जाता है, और किनारों के सिरों को प्रिज्म का शीर्ष कहा जाता है।

प्रिज्म की ऊंचाई को लंब की ऊंचाई कहा जाता है, प्रिज्म के आधारों के बीच की व्यवस्था।

प्रिज्म के विकर्ण को एक क्रॉस कहा जाता है, जो आधारों के दो शीर्षों को जोड़ता है, जो एक ही फलक पर नहीं होते हैं।

एक सीधा प्रिज्म एक प्रिज्म है, जिसकी पसलियां आधारों के तलों के लंबवत होती हैं (चित्र 3)।

एक कमजोर प्रिज्म को प्रिज्म कहा जाता है, जिसकी पसलियां नींव की समतलता से कमजोर होती हैं (चित्र 4)।

ऊंचाई के प्रिज्म की सतह के क्षेत्र और क्षेत्र को सूत्रों द्वारा जाना जाता है:

सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है।

आयतन वह सतह क्षेत्रकमजोर प्रिज्म (चित्र 4) की गणना भी इसी तरह से की जा सकती है: डी PNK - ओवरकट, किनारे से लंबवत एल।

एक दाहिने प्रिज्म को एक सीधा प्रिज्म कहा जाता है, जिसका आधार एक नियमित बैगाटोकुटनिक होता है।

एक प्रिज्म को समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है, और इसके सभी चेहरों को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है।

एक सीधा समानांतर चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है, जिसकी पसलियाँ आधारों के तलों के लंबवत होती हैं।

एक सीधे समानांतर चतुर्भुज को एक सीधा समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है, जिसका आधार एक सीधा कट होता है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की शक्ति

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग तीन योगो विमिरिव के वर्गों का योग है: डी² = एक² + बी² + सी, डी ए, बी, सी-दोज़िना पसलियाँ जो एक शीर्ष से निकलती हैं, डी- समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण (चित्र 3)।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन सूत्र से ज्ञात होता हैवी = एबीसी।

एक घन को समान पसलियों वाला एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है। एक घन के सभी फलक वर्ग होते हैं।

एक किनारे वाले घन का आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल और विकर्ण सूत्रों द्वारा जाना जाता है:

वी = एक³, एस = 6एक² डी= 3 एक².

पिरामिड

एक बैगाटोहेड्रॉन, जिसका एक पहलू एक बैगाटोकुटनिक है, और दूसरे चेहरे एक खड़ी चोटी से त्रिकुटनिक हैं, पिरामिड कहलाते हैं। बैगाटोकुटनिक को पिरामिड का आधार कहा जाता है, और त्रिकुटनिक को बिचनी चेहरे कहा जाता है।

पिरामिड की ऊंचाई पिरामिड के शीर्ष से आधार की सतह तक खींचे गए लंब की ऊंचाई कहलाती है।

यदि पिरामिड के सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, या वे एक ही कुट के नीचे आधार की समतलता के लिए एड़ी हैं, तो ऊंचाई वर्णित हिस्सेदारी के केंद्र तक उतरती है।

यदि पिरामिड के किनारों को एक ही कुट (बराबर खड़े होने पर डबल-मुंह वाली कुटी) के नीचे आधार के तल पर एड़ी कर दिया जाता है, तो ऊंचाई खुदे हुए हिस्से के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड को सही कहा जाता है, क्योंकि इसका आधार सही बैगाटोकुतनिक है, और ऊंचाई बैगाटोकुतनिक के खुदा और वर्णित हिस्से के केंद्र में आती है, जो पिरामिड के आधार पर स्थित है। चोटियों से खींचे गए दाहिने पिरामिड के बिचने पहलू की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, छोटे 5 पर सही ट्राइकोट पिरामिड दर्शाया गया है एसएबीसी(टेट्राहेड्रॉन): अब= ईसा पूर्व= एसी= एक, ओडी = आर- त्रिकुटनिक में अंकित हिस्सेदारी की त्रिज्या एबीसी, ओए=आर- दांव की त्रिज्या, ट्रिकॉट का वर्णित सफेद रंग एबीसी, इसलिए=एच- विसोटा

पिरामिड, एसडी = एलएपोथेम, - कुट नखिली

पसलियां एसएआधार के तल पर, - साइड फेस के ढलान को काटें एसबीसीपिरामिड के आधार तक।

ट्राइकॉट पिरामिड को टेट्राहेड्रोन कहा जाता है। टेट्राहेड्रोन को नियमित कहा जाता है, जैसे कि इसके किनारे बराबर थे।

Obsyag piramidi उस क्षेत्र її सूत्रों के लिए सतही रूप से जानते हैं:

डे एच- पिरामिड की ऊंचाई।

नियमित पिरामिड की सतह के वर्ग का क्षेत्रफलसूत्र के पीछे जानने के लिए, डी - पिरामिड का एपोथेम।

एक काटे गए पिरामिड को बैगाटोहेड्रोन कहा जाता है, जिसके शीर्ष पिरामिड के आधार के शीर्ष के रूप में कार्य करते हैं और पिरामिड के आधार के समानांतर विमान में कटे हुए के शीर्ष होते हैं। एक छोटा पिरामिड जमा करें - एक बैगाटोकुतनिकी की तरह।

ऑब्सयाग ने पिरामिडी को काट दिया, जानिए फॉर्मूला के पीछे , डी - आधार का क्षेत्र, एच - काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।

सही बैगाटोहेड्रोन

एक नियमित बैगाटोहेड्रॉन को पफी बैगाटोहेड्रॉन कहा जाता है, जिसमें सभी चेहरे होते हैं - समान संख्या में पक्षों के साथ नियमित बैगाटोकुटनिकी और समान संख्या में पसलियां बैगाटोहेड्रॉन के त्वचा के शीर्ष में परिवर्तित होती हैं।

एक नियमित बैगाटोहेड्रॉन के चेहरे या तो समान-पक्षीय त्रिकुटनिक, या वर्ग, या नियमित पाइटिकुटनिक हो सकते हैं।

जिस तरह एक नियमित बैगाटोहेड्रॉन के चेहरे होते हैं - नियमित ट्रिकट, तो नियमित बैगाटोहेड्रोन में एक नियमित टेट्राहेड्रोन (vin maє 4 चेहरे), एक नियमित ऑक्टाहेड्रोन (vin maє 8 चेहरे), एक नियमित icosahedron (vin maє 20 चेहरे) होते हैं।

यदि एक नियमित बैगाटोहेड्रोन में वर्गाकार फलक होते हैं, तो बैगाटोहेड्रोन को घन या हेक्साहेड्रोन कहा जाता है (6 फलक हो सकते हैं)।

यदि एक नियमित बैगाटोहेड्रोन में नियमित पाइटिकुटनिक के साथ चेहरे होते हैं, तो बैगाटोहेड्रोन को डोडेकेहेड्रॉन कहा जाता है (12 चेहरे हो सकते हैं)।

सिलेंडर

एक आकृति को एक बेलन कहा जाता है, और परिणामस्वरूप, एक आयत को एक तरफ लपेटा जाता है।

छोटे पर 6 सीधा है - सभी लपेटना; - विसोटा, मैं- संतुष्टि देने वाला; ए बी सी डी- सिलेंडर का अक्षीय खंड, किनारे पर आयत के लपेटकर काट दिया। बेलन के उस पृष्ठीय क्षेत्रफल का आयतन सूत्रों से ज्ञात होता है:

, , , , डे आर-आधार त्रिज्या, एच- विसोटा, मैं- सिलेंडर को ठीक करें।

शंकु

एक आकृति को एक शंकु कहा जाता है, और एक कैथेटर के बगल में सीधे कटे हुए ट्रिकॉट की लपेट काट दी जाती है। छोटे पर 7 सीधे ओबी- सभी लपेटना; ओबी = एच- विसोटा, मैं- संतोषजनक; एबीसी- शंकु का अक्षीय कट, स्ट्रेट-कट ट्राइकुटनिक के रैपिंग को काट दें अन्य पिछड़ा वर्गपैर के पास ओबी.