Pirmyn pagarba

1. Stereometrija turi geometrinius kūnus ir erdvias figūras, kurių ne visi taškai yra vienoje plokštumoje. Ant fotelio mažųjų pagalbai pavaizduotos ekspansyvios figūros, tarsi riaumojimas į akį yra maždaug toks pat, kaip ir pati figūrėlė. Či mažieji laikosi dainavimo taisyklių, kurios grindžiamos geometrine figūrų galia.
Vienas iš erdvių figūrų vaizdavimo bute būdų bus nurodytas toli (§ 54-66).

ROZDIL PIRMAS TISIUS IR PLOKŠČIAS

I. PLOKŠTUVOS PADĖTIS

2. Teritorijos vaizdas. Kasdieniame gyvenime yra daug objektų, ant kokios nors spėliojančios geometrinės plokštumos, suformuojant stačiakampę formą: knygos paletė, klaida, ant rašomojo stalo ir t.t., nubrėžkite lygiagretainio formą. Todėl įprasta plokštumą ant fotelio pavaizduoti kaip lygiagretainį 1. Tsyu srities garsas reiškia vieną raidę, pavyzdžiui, „sritis M“ (1 diagrama).

1 Priskirtų teritorijos vaizdų tvarka galima ir tokia pati, kaip ant fotelių 15-17 ir іn.
(Red. pastaba)

3. Pagrindinės paviršiaus savybės. Tarkime, kad buto galia, priimta be įrodymų, turi būti aksioma:

1) Jei du tiesės taškai yra plokštumoje, tai odos taškas tiesioje linijoje yra plokštumoje.

2) Jei du butai daro degimo tašką, tada smarvė tiesia linija sklinda per tą vietą.

3) Per tai, ar yra trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, galima nubrėžti plokštumą, o prieš tai yra tik viena.

4. Paveldas. Iš likusios pasiūlymo dalies galite įvesti:

1) Per tiesią liniją ir tašką už jos galite nubrėžti plokštumą (ir daugiau nei vieną). Išties pozos taškas iš karto tiesus su kažkokiais dviem taškais išilgai tiesės, pridedami trys taškai, per jaką galima nubrėžti plokštumą (o prieš tai vieną).

2) Per dvi tiesias linijas, kurios susipina, galima nubrėžti plokščią (ir tik vieną). Efektyviai paėmus skersinio tašką ir dar vieną tašką ant odos tiesės, arba tris taškus, per jaką galima nubrėžti plokštumą (o prieš tai vieną).

3) Per dvi lygiagrečias tieses galima nubrėžti tik vieną plokštumą. Iš tiesų, lygiagrečiai tiesioms linijoms už paskyrimų, yra toje pačioje plokštumoje; Ši plokštuma yra viena, todėl per vieną iš lygiagrečių ir kaip kitos tašką galima nubrėžti ne daugiau kaip vieną plokštumą.

5. Apvyniokite sritį aplink tiesią liniją. Per odą tiesiai atviroje erdvėje galima nubrėžti begalinį plotą.

Tikrai, tegul būna tiesiai A (velnias 2).

Paimkime tašką A už jo. Per tašką A ir tiesiai A pereiti per vieną plokštumą (§ 4). Mes tai vadiname plokštuma M. Paimkite naują tašką po plokštumos M. Per tašką B ir tiesę A praeiti pro butą su savo juodumu. Ji vadinama plokštuma N. Ji gali sp_vpada z M, uolienos jame guli taške Y, todėl plokštuma M guli. A pereiti naują paviršių. Jis vadinamas її R. Vaughn nepabėga nuo M, N iš N, nes jame yra taškas C, todėl jis neguli nei iki M srities, nei iki N. atimti visus naujus ir naujų plokštumų, kurios eina per tiesią liniją A . Tokių sričių nebus. Visos šios plokštumos gali būti vertinamos kaip skirtingos vienos ir tos pačios plokštumos, kuri apgaubia tiesiai, padėtis A .

Galime parodyti dar vieną plokštumos galią: plokštuma gali apsivynioti aplink, kad ir tiesi, kuri yra šalia šios plokštumos.

6. Susitikimas su vizitu į atvirą erdvę. Toje pačioje plokštumoje už fotelio įrankius nugalėjo planimetrijoje besikrapštantys ūsai. Pobudovams prie atviros erdvės fotelio įrankiai jau tampa nepriimtini, todėl figūrų sėdėti šalia atviros erdvės neįmanoma. Be to, kai erdvėje yra naujas elementas, atsiranda naujas elementas - butas, kuris, jei yra erdvėje, negali būti klojamas ant grindų su paprastais užraktais, kaip tiesi linija ant buto.

Todėl, kai pobudov šalia atviros erdvės, reikia tiksliai nustatyti, ką reiškia vikonuoti, kad chi іnsha pobudovu, kad, zokrema, o tai reiškia, kad butą prikelti šalia atviros erdvės. Visomis progomis erdvėje leidžiame:

1) kad plokštuma gali būti indukuota, nes randami elementai, žymintys šias pozicijas erdvėje (§ 3 ir 4), kad galėtume paskatinti plokštumą praeiti per tris duotus taškus, per tiesę ir tašką už jos. , arba per dvi dvi lygiagrečias linijas;

2) jei yra dvi plokštumos, kurios persidengia, tai duota jų juostos linija, kad galėtume žinoti dviejų plokštumų juostos liniją;

3) kadangi erdvėje duota plokštuma, tai mes galime joje laimėti, išlikti, tarsi būtume sumušti planimetrijos.

Vikonati yak-nebudova pobudova erdvėje - tse reiškia skambinti jogui iki pagrindinių susitikimų dienos pabaigos. Šių pagrindinių užduočių pagalba galite atsieti sulankstomas užduotis.

Šiose kalbose kyla problemų dėl stereometrijos poreikio.

7. Užduoties užpakalis likti atviroje erdvėje.
Vadovas. Raskite nurodytos tiesės susikirtimo tašką A (3 diagrama) nuo R centro.

Paimkite plokštumą P kaip tašką A. Per tašką A ir tiesią A laidžiai plokštuma Q. Ji kerta plokštumą P išilgai veikiančios tiesės b . Plokštumoje Q žinome tiesių tarpo tašką 3 A і b . Tsya taškas ir būk šukana. Kaip tiesiai A і b atrodo lygiagrečiai, tada užduotis nėra sprendimas.

Tiesios linijos lygiavimas kaip dviejų plokštumų pereina linija:

Per odą tiesiai atviroje erdvėje praeiti beasmenę sritį. Be-yakі iš jų, besikeičiant, jie reiškia її erdvėje. Otzhe, jei būtų du vienodi butai, kurie žiūrimi kartu, jie yra lygūs tiesioms linijoms.

Vzagali be-kaip dvi nelygiagrečios plokštumos

pažymėkite tiesią liniją. Qi lygūs vadinami laukinis pavydas tiesiai.

Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygiavimas:

Pateikite duotus taškus A(x 1 ;y 1) ir B(x 2 ;y 2). Tiesios linijos, einančios per taškus A (x 1; y 1) ir B (x 2; y 2), išlygiavimas gali atrodyti taip:

Jei duoti taškai A ir B yra tiesėje, lygiagrečiai ašiai O x (y 2 -y 1 \u003d 0) arba ašiai O y (x 2 - x 1 \u003d 0), tada tiesės išlygiavimas eilutė bus panaši į motinos, žiūrinčios į \u003d y 1 arba x = x 1

4 pavyzdys. Nutieskite tiesias linijas, kurios eitų per taškus A(1;2) ir B(-1;1).

Sprendimas: Lygiavimo pakeitimas (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 \u003d 1
žvaigždės arba 2y-4=x-1, arba x-2y+3=0

Kanoniškai tiesios linijos:

Tegul Dekarto koordinačių sistema yra fiksuota plokštumoje Oxy. Iškelkime savo tikslus: eikite tiesia linija a, yakscho – tiesios linijos Dejako taškas a i – tiesioginis vektorius a.

Nehai – slankusis kablelis yra tiesus a. Tada vektorius yra tiesioginis tiesės vektorius a ir maє koordinatės (jei reikia, pasigrožėkite vektoriaus koordinačių būsena per koordinačių taškus). Akivaizdu, kad beasmeniui plokštumos taškui priskiriama tiesė, todėl tiesioginis vektorius gali eiti per tašką i can tik ir tik tada, kai vektoriai yra kolinearūs.

Užrašykime protui būtiną ir pakankamą vektorių kolinariškumą: . Galima matyti likusią koordinačių formos lygybę.

Yakscho i , tada galime užsirašyti

Otrimane lygus protui vadinamas kanoninės linijos tiesiai ant plokščio stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy. Rivnyannia taip pat vadinama lygus tiesei linijai pagal kanoninį vaizdą.

Vėlgi, kanoninį tiesės išlygiavimą proto plokštumoje suteikia stačiakampė koordinačių sistema Oxy tiesi linija, kuri eina per tašką ir gali būti tiesioginis vektorius.

Kanoninės tiesios linijos užpakalį nukreipsime ant plokščio.

Pavyzdžiui, lygus kanoninės išvaizdos tiesei linijai. Tiesi linija, leidžianti pereiti per tašką , ir - її yra tiesioginis vektorius. Žemiau yra grafinė iliustracija.

Labai svarbūs faktai:

· yakscho-tiesios vektorinės tiesės ir tiesės eina kaip per tašką, taigi і per tašką, tada її kanoniškai lygus gali būti parašytas kaip, taigi і;

· jei tai yra tiesioginis tiesės vektorius, tai ar kuris nors iš vektorių taip pat yra tiesioginis tam tikros tiesės vektorius, tada, ar jis lygus tiesei kanoniniame tiesės vaizde.

Parametrinis tiesios linijos lygiavimas:

Teorema. Tiesių linijų sistema tobulėja parametrinėmis tiesiomis linijomis:

de – duotosios tiesės gana fiksuoto taško koordinatės, – duotosios tiesės gana tiesioginio vektoriaus bendrosios koordinatės, t – parametras.

Įrodymas. Vidpovidno iki vyznachennya lygumo, nesvarbu, ar tai būtų koordinačių erdvės taškų dauginimas, mes esame atsakingi už tai, kad lygus (7) atitiktų visus tiesės L i taškus, iš kitos pusės, neatitinka taško koordinačių , kurios nėra tiesioje linijoje.

Turime gerą mintį. Tie patys vektoriai ir є kolineariniam tikslui ir teoremos apie dviejų sekančių vektorių kolineariškumą, kurios tiesiškai išreiškiamos per kitą, kad. yra toks skaičius, ką. Vektorių lygybė ir koordinačių tikslumas:

Ch.t.d.

Grįžk, imk taško. Tada pagal teoremą apie vektorių kolineariškumą gali būti tiesinės išraiškos per kitą, tada. Noriu, kad viena iš lygybių (7) nelaimėtų. Šia tvarka lygūs (7) tenkinami ne tokių tylių taškų koordinatėmis, kaip gulėjimas tiesėje L ir tik nedidelis kvapas ir pan.

Teorema baigta.

Įprastas srities išlyginimas:

IN vektorinė forma plotas gali atrodyti lygus

Taip pat normalus ploto vektorius yra vienas,

net ploto lygumas gali būti fiksuojamas kaip

(normalus lygumas).

– pereiti nuo koordinačių burbuliuko į plokštumą, , , – tiesioginis normalaus kosinusas

de – tuo pačiu būdu iškirpti tarp plokštumos normaliosios ir koordinačių ašių.

Plokštumos (8) vertikalioji plokštuma gali būti įvesta į normalią formą padauginus iš normalizuojančio koeficiento, ženklas prieš trupmeną yra priešingas laisvojo nario (8) ženklui.

V_dstan v_d rodo į lėktuvą(8) būti už formulės, pakeičiant tašką įprastoje išlygiavimo vietoje

Gilus plokštumos lygumas po gilaus plokštumos:

Kalbant apie trivialią erdvę, pateikiama stačiakampė koordinačių sistema Oxyz, tada lygios plokštumos trivi-pasaulio koordinačių sistemoje vadinamos tomis pačiomis lygiomis trigubai x, yі z, mane tenkina visų plokštumos taškų koordinatės ir netenkina kitų taškų koordinatės. Kitaip tariant, pagrindžiant pirmojo plokštumos taško koordinates, atimama plokštumos lygybė, o pakeičiant lygią koordinačių plokštumą, nesvarbu, ar tai kitas taškas, lygybė neteisinga.

Pirmiausia užrašykite centrinę plokštumos plokštumą, atspėdami tiesę, statmeną plokštumai: tiesė yra statmena plokštumai, tarsi ji būtų statmena tiesei, kuri yra šioje plokštumoje. Iš kurio žymėjimo aišku, ar yra koks nors statmenų plokštumos normalusis vektorius bet kuriam nuliniam vektoriui, kuris yra šalia šios plokštumos. Šis faktas imituoja atakuojančios teoremos įrodymą, nes jis sukuria laukinio ploto lygumą.

Teorema.

Būk lygus protui, de A, B, Cі D- Deyakі dіysnі skaičiai, be to A, INі C nelygu nuliui iš karto, nurodant plotą tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyzšalia trivialios erdvės ir ar tai būtų plokštuma šalia stačiakampės koordinačių sistemos Oxyz trivialioje erdvėje jie prilygsta protui su tam tikra skaičių aibe A, B, Cі D.

Įrodymas.

Kaip ir Bachite, teorema susideda iš dviejų dalių. Pirmoje dalyje mums buvo suteiktas lygis ir turime jį iškelti į paviršių. Kitoje dalyje mums buvo duota plokštumo ir reikia atnešti tai, ką galime priskirti lygiems paprastu skaičių pasirinkimu A, IN, Zі D.

Tiesiog patvirtinkime pirmąją teoremos dalį.

Oskіlki skaičiai A, INі Z per naktį nelygus nuliui, tada є taškas , kurio koordinatės tenkinamos ekvivalentiškumu, todėl lygybė yra teisinga. Vіdnіmemo lvu ir dešinioji dalis otrimanoї rivnostі vіdpovіdno vіd lіvoї ir pravaі ї dalys іvnyannja, tsomu otmáєmo ravnyannja vіdnnyanynolentіvіdіdnjanomіvn. Dabar, kaip žinome, tai išlygina plokštumą, tada ji bus atnešta, tai yra lygiavertė, lygia taip pat pažymi duotos trivimerinės erdvės stačiakampės koordinačių sistemos plokštumą.

Teisingumas yra būtinas ir pakankamas vektorių ir psichikos statmenas. Kitaip tariant, slankiojo taško koordinatės tenkinamos tolygiai ir tik vieną kartą, jei vektoriai yra statmeni. Tada, pažeisdami faktą, indukcijos prieš teoremą, galime patvirtinti, kad lygybė yra teisinga, tada beasmenis taškas apibrėžia plokštumą, normalųjį vektorių kaip є, be to, ši plokštuma eina per tašką. Kitaip tariant, lygiavimas rodo stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz prie trivimiro platybės priskiriamas didesnis plotas. Otzhe lygiaverčiai išlygina patį plotą. Pirmoji teoremos dalis baigta.

Pereikime prie kitos dalies patvirtinimo.

Suteikime mums plokštumą, kuri praeina per tašką, su normaliuoju vektoriumi, kuris yra є . Leiskite mums žinoti, kad stačiakampė koordinačių sistema Oxyzїї proto lygio nustatymas.

Tam paimame pakankamą plokštumos tašką. Leisk man būti esmė. Tada vektoriai i bus statmeni, tada їх skaliarinis posūkis bus lygus nuliui: . Priima, laukia, kol pamatys. Tse lygus ir reiškia mūsų sritį. Vėlgi, teorema vėl patvirtinama. (pirmoms skaičių reikšmėms A, IN, Zі D);

Nukreipkime užpakalį, kad iliustruotų likusią frazės dalį.

Stebėkite mažuosius iš vietovės, esančios šalia trivialios erdvės šalia fiksuotos stačiakampės koordinačių sistemos, vaizdų Oxyz. Tsіy ploshchinі vіdpovіdaє rіvnyannya, kad jūs esate patenkinti bet kurio aikštės taško koordinatėmis. Kitoje pusėje lygiavimą lemia nurodyta koordinačių sistema Oxyz beasmenis taškas, kurio atvaizdas – mažas butas.

Vietos lygumas prie pradalgių:

Tegul triviali erdvė turi stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz.

Stačiakampei koordinačių sistemai Oxyz trivialioje platybėje, lygioje protui, de a, bі c– nulio pavidalu iškviečiamas esamas numeris lygus plotui prie vėjovartų. Toks vardas nėra vipadkova. Absoliučios skaičių reikšmės a, bі c lygus vіdrіzkіv vіdzhina, yakі vіdsіkaє plokštuma ant koordinačių ašių Jautis, Oiі Ozas vіdpovіdno, rahuyuchi vіd koordinačių burbuolė. Skaičiaus ženklas a, bі c rodo, tiesėje (teigiama ir neigiama) yra skliaustai koordinačių ašyse. Be abejo, koordinačių taškai atitinka vėjų plokštumą:

Pažvelkite į mažuosius, tai paaiškina akimirką.

Plokštumos, einančios per tašką, lygis yra statmenas vektoriui: Tegul triviali erdvė turi stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą. Suformuluojame šią užduotį:

Sulenkite plokščias plokštumas, kad pereitumėte per šį tašką
M(x 0 , y 0 , z 0) statmenai duotam vektoriui →n = {A, B, C} .

Sprendimas. Nagi P(x, y, z) – pakankamai taško iki vietos. Taškas, margas P overlie flat todі і mažiau todі, jei vektorius
MP = {x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) stačiakampis vektorius → n = {A, B, C) (1 pav.).

Užrašę šių vektorių mentalinį ortogonalumą (→ n, MP) = 0 koordinačių formai, neprivaloma.

SRITIS.

Paskyrimas. Bet koks nulinis vektorius, statmenas plokštumai, vadinamas її normalus vektorius, ir yra nurodyta.

Paskyrimas. Lygus proto de koeficiento paviršiui – vadinami pakankami efektyvieji skaičiai, kurie tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. zagalnym ploto butai.

Teorema. Niveliavimas nustato plotą, kurį normalusis vektorius gali praeiti per tašką.

Paskyrimas. Rivnyannia protas

de - pakankami, nelygūs nuliui, faktiniai skaičiai, vadinami lygus plotui prie vėjovartų.

Teorema. Nagi – buto lygumas prie vėjovartų. Todi - koordinačių taškas її skersinis su koordinačių ašimis.

Paskyrimas. Gilus ploto lygumas vadinamas normavimas arba normalus lygus plotui, kaip

kad .

Teorema. Paprastai plokštumos išlygiavimas gali būti parašytas kaip - koordinačių stulpelyje su duota plokštuma, - tiesioginiu normalaus vektoriaus kosinusu. ).

Paskyrimas. Normalizuojantis daugiklis vadinamas plokščio ploto numeriu de ženklą pasirenka priešingas laisvojo nario ženklas D.

Teorema. Nagi – daugiklis, kuris normalizuojasi, laukinis ploto lygumas. Todi rivnyannya є normavimo rivnyannyam duotoje srityje.

Teorema. Vidstanas d dėmių tipas iki buto .

Abipusiai rotashuvannya du butai.

Dvi plokštumos arba eina, arba yra lygiagrečios, arba susipina tiesia linija.

Teorema. Tegul paviršutiniškos užduotys būna virš galvos: . Todi:

1) jakscho tada butai zbіgayutsya;

2) jakscho tada plokštumos lygiagrečios;

3) kitu atveju plokštumos tonuojamos tiesiomis linijomis, kurioms lygiavertė sistema tarnauja: .

Teorema. Nagi - dviejų plokštumų normalūs vektoriai, tada vienas iš dviejų pjūvių tarp nurodytų plokštumų yra daugiau:.

Paskutinis. Nagi ,- Dviejų nurodytų sričių normalieji vektoriai. Kaip skaliarinis priedas, nurodytos sritys yra statmenos.

Teorema. Pateikite trijų skirtingų koordinačių erdvės taškų koordinates:

Todi upė –є lygios plokštumos, kertančios qi tris taškus.

Teorema. Tegul dviejų butų, kurie sutampa, audros duomenys: be to. Todi:

– gostry duhedral kut dviejų sektorių zonos išlyginimas, dygliuotas šių butų peratinu;

– buko dvišakio pjūvio dviejų sektorių srities išlyginimas.

Zv'yazuvannya ta butų sija.

Paskyrimas. Zv'yazuvannyam butai vadinamas visų plokštumų beasmeniškumas, kad galima pamatyti vieną šviesų tašką, kaip jis vadinamas sujungimo centras.

Teorema. Eime – trys butai, kurie yra vienas šviesus taškas butų zv'yazuvannya išlyginimas.

Teorema. Rivnyannya, de dovilnі deisnі parametrai, tuo pačiu metu nelygūs nuliui, є lygus plokštumų susiejimui su susiejimo centru taške

Teorema. Pateiksiu trijų plokščių ledyninio lygio duomenis:

-їх vidpovіdnі normalūs vektoriai. Kad trys nurodytos plokštumos sutaptų į vieną tašką, būtina ir pakanka, kad skirtumas tarp dviejų normaliųjų vektorių nepasiektų nulio:

Tokiu būdu vieno centrinio taško koordinatės yra pavieniai išlyginimo sistemos sprendiniai:

Paskyrimas. Krūva butų beasmenės plokštumos, kurios susipynusios išilgai tos pačios tiesės, vadinamos viso pluošto pavadinimu.

Teorema. Tegul du butai susipina tiesia linija. Todі vnyannja, de dovіlnі dіisnі parametrai iš karto nėra lygūs nuliui, є plokštumų pluošto išlyginimas nuo sijos viršaus

TIESIOGIAI.

Paskyrimas. Nesvarbu, ar tai nulinis vektorius, kolinearinė nurodyta tiesė vadinama її tiesioginis vektorius, ir yra nurodyta

Teorema. parametrinės tiesios linijos erdvėje: tam tikros tiesės gana fiksuoto taško koordinatės ir duotos tiesės parametro gana tiesioginio vektoriaus bendrosios koordinatės.

Paskutinis. Lygybių sistema eina į priekį, lygi tiesiai atviroje erdvėje ir vadinama kanoninis lygus tiesiam kosmose: de - duotosios tiesės gana fiksuoto taško koordinatės, - duotosios tiesės gana tiesioginio vektoriaus bendrosios koordinatės.

Paskyrimas. Kanoninis tiesioginio vaizdo atitikmuo - paskambino kanoninės tiesių linijų, einančių per du skirtingus duotus taškus, lygiavimas

Abipusiai roztashuvannya dvi tiesios linijos atviroje erdvėje.

Prie atviros erdvės galima turėti 4 šlaitus pūvančias dvi tiesias linijas. Jie gali išsitiesti, būti lygiagrečiai, kertasi viename taške arba kertasi.

Teorema. Leiskite pateikti kanoninį dviejų tiesių išlyginimą:

de - їх tiesūs vektoriai, - pakankamai fiksuotų taškų, kurie yra tiesiose linijose. Todi:

і ;

ir nelaimėti, jei tik viena iš lygybių

;

, tada.

4) tiesiogiai kirsti, patinka , tada.

Teorema. Nagi

– dvi gana tiesios linijos šalia atviros erdvės, nustatytos parametriniais lygiais. Todi:

1) kaip sistema yra lygi

jei yra vienas sprendimas, tada jie yra tiesiogiai susipynę viename taške;

2) jei sistema lygi, sprendinio nėra, tada ji kerta lygiagrečiai.

3) jei sistema yra lygi daugiau nei vienam rozvyazku, tada tiesiai zbіgayutsya.

Atsistokite tarp dviejų tiesių linijų atviroje erdvėje.

Teorema.(Formulė tarp dviejų lygiagrečių tiesių.): Perėjimas tarp dviejų lygiagrečių tiesių

De - їх viršutinis tiesioginis vektorius, - ціх tiesių taškai gali būti apskaičiuojami pagal formulę:

arba

Teorema.(Formulė tarp dviejų tiesių, kurias norite kirsti.): Atsistokite tarp dviejų tiesių, kurias norite kirsti.

galima apskaičiuoti pagal šią formulę:

de – tiesioginių vektorių mišraus kūrimo modulis і і vektorius, tiesioginių vektorių vektoriaus kūrimo modulis.

Teorema. Nagi - dviejų butų, kurie sutampa, išlyginimas. Tada ateina tiesių linijų, susipynusių su plokštumomis, išlyginimo ir išlyginimo sistema: . Tiesioginis vektorius gali tarnauti kaip vektorius , de ,- Duotų sričių normalieji vektoriai.

Teorema. Tegul jai suteikiama kanoninė tiesi linija: de . Tada atsiranda lygybių sistema, o lygybėms suteikiamos tiesės, nurodytos dviejų plokštumų intervalu: .

Teorema. Iš taško nukritusio statmens išlygiavimas tiesiai gali peržiūrėti de - vektoriaus kūrimo koordinatės, - tiesioginio vektoriaus koordinatės, pateiktos tiesei. Statmens ilgį galima sužinoti pagal formulę:

Teorema. Galima pamatyti dviejų tiesių, kurias galima kirsti, statmeno išlyginimą: de.

Abipusiai roztashuvannya tiesios linijos ir butai šalia atviros erdvės.

Yra trys galimi tiesios linijos, esančios šalia tos srities, abipusio išplėtimo būdai:

Teorema. Tegul plokštuma duota tiesėms, o tiesė – kanoninėms arba parametrinėms linijoms abo, de vektorius yra normalus ploto vektorius – gana fiksuoto tiesės taško koordinatės, – gana tiesioginio tiesės vektoriaus bendrosios koordinatės. Todi:

1) yakscho, tada mes tiesiogiai kertame taško plokštumą, kurios koordinates galima sužinoti iš išlyginimo sistemos

2) jei i, tai gulėti tiesiai ant plokščio;

3) jei i, tai tiesė lygiagreti plokštumai.

Paskutinis. Jei sistema (*) turi vieną sprendimą, tai ji yra tiesiogiai perpildyta iš buto; jei sistema (*) neturi sprendinio, tai ji yra lygiagreti plokštumai; jei sistema (*) gali būti beasmenis sprendimas, tai gulėti plokštumoje yra tiesiai.

Virishennya tipiškos užduotys.

vadovas №1 :

Sulenkite plokščias plokštumas, kad pereitumėte per tašką lygiagrečiai vektoriams.

Mes žinome normalųjį srities vektorių:

= =

Kaip įprastą ploto vektorių, ateityje galite paimti to paties globaliai vienodo ploto vektorių, kai pažiūrėsite:

Norint sužinoti, reikia pakeisti taškų, su kuriais guli plokštuma, koordinates.

vadovas №2 :

Du kubo paviršiai guli ant plokštumų ir apskaičiuokite bendrą kubo skaičių.

Akivaizdu, kad plokštumos lygiagrečios. Dovzhina kraštas kubo є vіdstan mіzh butai. Vibero pirmoje plokštumoje į tašką: nežinia.

Mes žinome, kaip vaikščioti tarp lėktuvų, kaip eiti iš taško į kitą:

Otzhe, kubo tūris yra geras ()

vadovas №3 :

Žinokite pjūvį tarp veidų ir piramidės viršūnių

Iškirpti tarp plokštumų – ce iškirpti tarp normaliųjų vektorių iki šių plokštumų. Žinome normalųjį ploto vektorių: [,];

, arba

Panašiai

vadovas №4 :

Nutieskite kanoniškai lygias tiesias linijas .

Otzhe,

Vektorius yra statmenas tiesei, į

Otzhe, kanoniškai lygus, aš žiūrėsiu tiesiai į priekį.

vadovas №5 :

Žinokite skirtumą tarp tiesių linijų

і .

Tiesiogiai lygiagrečiai, nes їх tiesioginiai vektoriai ir ірівні. Nagi guli pirmoje eilutėje, o taškas yra kitoje eilutėje. Lygiagretainio plotą žinome pagal vektorius.

[,];

Shukanoi vіdstannyu є lygiagretainio aukštis, praleistas iš taškų:

vadovas №6 :

Apskaičiuokite trumpiausią atstumą tarp tiesių:

Bus parodyta, kad tiesiai kirsti, tobto. vektoriai, ir jie yra toje pačioje plokštumoje: ≠ 0.

1 būdas:

Per kitą tiesę nubrėžiame plokštumą, lygiagrečią pirmajai tiesei. Dėl shukano srities v_domі tі, scho to meluoti їй vectorії. Normalaus ploto vektorius є vektorius tvir vektorіv, .

Be to, kaip įprastą srities vektorių, ateityje galite paimti tos srities išlygiavimo vektorių, jei žinote, kad galima rasti tašką, kuris guli ant srities, ir užsirašykite lygiavimą:

Shukana v_dstan - tsya vіdstan nuo pirmosios tiesės taško iki plokštumos yra žinomas pagal formulę:

13.

2 būdai:

Ant vektorių i sukursime gretasienį.

Shukana vіdstan' – gretasienio aukštis, neįtrauktas į taškus jogo pagrindu, remiantis vektoriais.

Rezultatas: 13 vienetų.

vadovas №7 :

Žinokite taško projekciją į plokštumą

Normalusis ploto vektorius yra tiesioginis tiesės vektorius:

Žinome tiesės susikirtimo tašką

ta sritis:

.

Pakeitimas plokščioje plokštumoje, mes žinome, ir tada

Pagarba. Norint sužinoti tašką, kuris yra simetriškas taškui, panašaus į plokštumą, būtina (panašiai kaip ir priekinės užduotys) žinoti taško projekciją į plokštumą, tada pažvelgti į vіdіzok su vіdomimikobkami viduriu, svirduliuojant formulės,,.

vadovas №8 :

Raskite statmens, nukritusio iš tiesės taško, išlyginimą .

1 būdas:

2 būdai:

Užduotys rašomos kitaip:

Plotas yra statmenas duotai tiesei, todėl tiesioginis linijos vektorius yra normalusis ploto vektorius. Žinodami normalųjį plokštumos vektorių ir tašką plokštumoje, rašome її lygus:

Mes žinome plokštumos ir tiesės skersinį tašką, užrašytą parametriškai:

,

Nubrėžkime tiesią liniją, kuri eis per taškus i:

.

Pasiūlymas: .

Lygiai taip pat galite vyrauti ir tą pačią užduotį:

vadovas №9 :

Raskite tašką, kuris yra simetriškas taškui, pavyzdžiui, tiesei linijai .

vadovas №10 :

Daniškas trikotažas su viršūnėmis Žinokite aukščio lygį, nuleistą iš viršaus į nugarą.

Antraštė yra visiškai analogiška ankstesnėms užduotims.

Pasiūlymas: .

vadovas №11 :

Nurodykite statmeną, statmeną dviem tiesioms linijoms: .

0.

Vrakhovuchi, scho praeina per tašką, užrašome plokštumos išlygiavimą:

Esmė gulėti, žiūrėsiu, kad ploto lygus atrodys:.

Pasiūlymas:

vadovas №12 :

Sulenkite tiesias linijas, kad pereitumėte per tašką ir kirstumėte tiesias linijas .

Pirmoji tiesi linija, einanti per tašką, kuris gali būti tiesioginis vektorius; kitas – eiti per taškus ir gali nukreipti vektorių

Parodyta, kad qi linijos yra tokios, kad jas galima kirsti, tam sulenkiame arbitrą, kurio eilutės yra vektorių koordinatės ,, ,vektoriai nesutampa su ta pačia plokštuma.

Nubrėžkime plokštumą per dėmes ir judėkime tiesiai į priekį:

Nagi - pakankamas tų pačių vektorių plokštumos taškas ir lygiagretus. Plokštės lygumas gali atrodyti:.

Panašiai galime sulenkti plokštumos plokštumą, kuri gali praeiti pro dėmeles, o kitą tiesią: 0.

Shukana yra tiesus є tarpas tarp plokščių, tobto.

Šviesus tų pasekmių rezultatas – komponentų, teiginių prie įėjimo formavimas, kompetencijų (kilnumo, proto, galios) visuma dviem lygmenimis: slenksčio ir prosunutiškumo. Slenkstis duoda įvertinimą „tikėtina“, slenkstis – „gerai“ arba „puikiai“, atvejo-užduoties rezultatuose yra netinkamas.

Norėdami atlikti šių komponentų savidiagnostiką, jums bus parodyti tolesni veiksmai.

INSTUP

1 skyrius

1 Tiesės ir plokštumos skersinis taškas

1 Tiesios linijos padėties erdvėje kitimai

2 Kut mizh tiesus ir plokščias

WISNOVOK

DŽERELIO PERGALIŲ SĄRAŠAS

INSTUP

Pirmosios koordinačių x, y, z pakopos Be-yaké išlyginimas

Pagal + Cz + D = 0

nustato plotą ir dabar: ar tai plotas gali būti pavaizduotas lygybėmis, kaip ji vadinama ploto lygybėmis.

Vektorius n (A, B, C), statmenas plokštumai, vadinamas normaliuoju plokštumos vektoriumi. Lygūs koeficientai A, B, C tuo pačiu metu nėra lygūs 0.

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – plokštuma eina per koordinačių burbulą.

C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - plokštuma lygiagreti Ozo ašiai.

C = D = 0, Ax + By = 0 – plotas, turintis pereiti visus Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 – plokštuma lygiagreti Oyz plokštumai.

Koordinačių plokštumų išlyginimas: x=0, y=0, z=0.

Galima pateikti tiesią liniją erdvėje:

) kaip linija kirsti dvi plokštumas, tobto. Rivnyan sistema:

A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2z + D 2 = 0;

) su dviem taškais M 1(x 1,y 1, z 1) ir M 2(x 2,y 2, z 2), net jei jis yra tiesus, ką pro juos praeiti, duoda lygūs:

=;

) M taškas 1(x 1,y 1, z 1), kuris yra ї-asis, kad vektorius a (m, n, р), ї-asis yra kolinearinis. Todi yra tiesiogiai priskiriamas lygiems:

Lygtys vadinamos kanoninėmis tiesėmis.

Vektorius a vadinamas tiesioginiu tiesės vektoriumi.

Atimamas parametrinis tiesės išlyginimas, prilyginant odą nuo akies parametrui t:

X 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Pt.

Razv'azyuchi sistema kaip linijinių lygiavimo sistema, kai nežinomi x ir y pasiekia tiesias linijas projekcijose arba nukreipiančias tiesias linijas:

Mz + a, y = nz + b

Galite pereiti prie kanoninių kategorijų, žinodami z iš dermos rango ir pridėdami vertę:

Viršutiniuose lygiuose (3.2) prie kanoninio galima pereiti kitu būdu, norint sužinoti, ar tiesės linijos taškas ir tiesioginis vektorius n = , de n 1(A 1, B 1, C 1) ir n 2(A 2, B 2, C 2) yra tam tikrų sričių normalieji vektoriai. Jei vienas iš ženklų m, n ir r lygus (3.4) yra lygus nuliui, tai dvigubos trupmenos skaičius turi būti lygus nuliui, tai yra. sistema

lygiavertė sistema ; tokia tiesė yra statmena ašiai Ox.

Sistema sistema yra vienodai stipri x = x 1,y=y 1; tiesi linija, lygiagreti Ozo ašiai.

Kursinio darbo tikslas:tiesiai į tą plokščią plotą prie atviros erdvės.

Kursinio darbo vadovas:pažiūrėkite į plotą šalia atviros erdvės, її lygus, ir pažiūrėkite į butą šalia atviros erdvės.

Kursinio darbo struktūra:įrašas, 2 skyriai, visnovok, vikoristanih dzherel sąrašas.

1 skyrius

.1 Tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas

Tegu plotas Q suteikiamas kreiviniam tipui: Ax+By+Cz+D=0, o linija L – parametriniam tipui: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, kitu atveju, norint žinoti tiesės L ir plokštumos Q kryžminį tašką, reikia žinoti parametro t reikšmę, kuriai tiesės taškas yra plokštumoje. Pakeitus x, y, z reikšmes, plokštuma yra lygi, o išvedant t, atimame

T reikšmė bus tokia pati, nes plokštuma nėra tiesi ir lygiagreti.

Nuplaukite tiesės ir plokštumos lygiagretumą ir statmenumą

Žiūrint tiesiai į L:

ir lygumas?

Tiesi linija L ir plokštuma? :

a) statmena vienam vienam arba mažiau vienam, jei tiesioginis vektorius yra tiesus ir normalus vektorius kolinearinės plokštumos, tobto.

b) lygiagretus su vienu su tuo pačiu ir mažiau su tuo pačiu, jei vektoriai і statmenai, tai yra.

i Am + Bn + Ср = 0.

.2 Kut mizh tiesus ir plokščias

Kut ?tarp normaliojo ploto vektoriaus i tiesioginiu vektoriumi apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Butų sija

Visų plokštumų, einančių per nurodytą tiesę L, visuma vadinama plokštumų pluoštu, o tiesė L – visu pluoštu. Tegul visą spindulį duoda lygūs

Kitos sistemos rangą padauginame iš termino po termino ir išsaugome jį su pirmaisiais rangais:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Tse lygus pirmas žingsnis turi būti x, y, z i, tada bet kuriai skaitinei vertei ?apibrėžti sritį. Taigi, kadangi duotoji lygybė yra paskutinė iš dviejų lygių, tai taško koordinatės, kurios tenkinamos šiomis lygybėmis, tenkinamos šia lygybe. Tėve, bet kokiai skaitinei vertei ?atsižvelgiant į plokštumų, einančių per nurodytą tiesę, išlyginimą. Otrimane rivnyannia є plokštumų pluošto išlyginimas.

užpakalis.Parašykite plokštumos plokštumą, kertančią tašką M 1(2, -3, 4) lygiagrečios tiesėms

Sprendimas.Užrašome plokštumų, einančių per tašką M1, jungties išlyginimą :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Kadangi plokštuma reikalinga, bet yra lygiagreti šioms tiesėms, tai normalus vektorius yra dėl abiejų statmenų tiesėms. tsikh tiesios linijos. Todėl kaip vektorių N galite paimti vektorių tv_r vector_v:

Taip pat A \u003d 4, B \u003d 30, C \u003d - 8. Pakeičiant žinomas A, B, Z reikšmes

4 (x-2) + 30 (y + 3) -8 (z-4) = 0 arba 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

užpakalis.Raskite linijos tašką kad plotas 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Sprendimas.Užrašykime šios tiesios linijos sulygiavimą su parametriniu vaizdu:

Įsivaizduokime qi vrazi plokštumos x, y, z išlyginimui:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Įsivaizduokite t = 1 parametrinį tiesės išlygiavimą. Atimti

Taip pat tiesė susikerta taške M(3, 2, 7).

užpakalis.Žinokite kut ?tarp tiesios linijos tas plotas yra 4x-2y-2z+7=0. Sprendimas.Pataisykime formulę (3.20). toks jakas

Tai

Tėve, = 30°.

Tiesi linija atviroje erdvėje nėra siaura, todėl su draugo pagalba galite jos paprašyti lengviau. Iš Euklido geometrijos mokyklos kurso yra aksioma: „per du erdvės taškus galite nubrėžti tiesią liniją i, prieš tai tik vieną“. Be to, diagramoje tiesią liniją galima nurodyti dviem priekinėmis ir dviem horizontaliomis taškų projekcijomis. Bet jei tai tiesi linija - tai tiesi linija (o ne kreivė), tada su visu pagrindu galime sujungti taškus tiesioje linijoje ir paimti priekinę ir horizontalią tiesės projekciją (13 pav.).

Įrodymas apverstas: projekcijų V ir H plokštumose pateiktos dvi projekcijos a „b“ ir ab (14 pav.). Per juos nubrėžiame plokštumą, statmeną projekcijų V ir H plokštumoms (14 pav.), plokštumų peretinos linija bus tiesė AB.

.1 Įvairūs šlaitai

Šlaituose, į kuriuos žiūrėjome, tiesės nebuvo nei lygiagrečios, nei statmenos projekcijų plokštumoms V, H, W. Kvapas gali būti vishіdnimi arba mažas (rozіbratisya nepriklausomai).

Ant pav. 17 parodyta tiesi stulpo linija, nustatyta trimis iškyšomis. Pažiūrėkime į tiesių šeimą, kuri gali būti svarbios institucijos – tiesės, būti lygiagrečios projekcijos plokštumai.

Ant pav. 17 parodyta tiesi stulpo linija, nustatyta trimis iškyšomis.

Pažiūrėkime į tiesių šeimą, kuri gali būti svarbios institucijos – tiesės, būti lygiagrečios projekcijos plokštumai.

a) Horizontali tiesi linija (nakshe – horizontali, tiesi horizontali linija). Tai yra tiesės, lygiagrečios horizontaliai projekcijų plokštumai, pavadinimas. Її vaizdas šalia erdvės sklype parodytas pav. 18.

Horizontalumą nesunku atpažinti siužete „vaizdu“: її priekinė projekcija visada lygiagreti ašiai ОХ. Apskritai svarbiausia horizontali galia suformuluota taip:

Horizontalioje - priekinė projekcija lygiagreti ašiai ОХ, o horizontalioji projekcija yra natūralaus dydžio. Pageidautina, kad horizontali horizontalės projekcija diagramoje leidžia priskirti pjūvį її į plokštumą V (pjūvis b) ir į plokštumą W (y) - 18 pav.

b) Priekinė tiesi linija (priekinė, tiesi priekinio išlygiavimo linija) – netiesi, lygiagreti priekinei iškyšų plokštumai. Mes ne iliustruojame tikrus vaizdus, ​​o rodomi epurėmis (19 pav.).

Būdinga priekinė diagrama, kuri yra horizontali ir profilinės projekcijos lygiagrečios X ir Z ašims, o frontalinė projekcija plečiasi pakankamai ir parodo natūralų priekinės dalies dydį. Pageidautina, kad diagramoje pjaukite tiesiai į horizontalias (a) ir profilines (plokščias) iškyšas. Otzhe, dar kartą:

Priekinėje dalyje horizontali projekcija yra lygiagreti ašiai ОХ, o priekinė projekcija yra natūralaus dydžio

c) Profilio tiesi linija. Akivaizdu, kad ji tiesi, lygiagreti iškyšų profilio plokštumai (20 pav.). Taip pat akivaizdu, kad profilio tiesės є natūrali vertė projekcijų profilio plokštumoje (projekcija a "b" - 20 pav.) ir čia galite bachiti kuti її nahilu į plokštumas H (a) ir V ( b).

Ateina eilė tiesių linijų, norinčių ir svarbių klojimo, kaip ir tiesių – neprojektuojančių tiesių.

Tiesios linijos, statmenos projekcijų plokštumoms, vadinamos projekcinėmis (pagal analogiją su projektuojančiais pokyčiais – 21 pav.).

AV kv. H - tiesus horizontaliai išsikišantis; kv. V - tiesiai iš priekio išsikišantis; kv. W - tiesus profilis-projekcija.

2.2 Kut mizh tiesus ir plokščias

plokščias kvadratinis pjūvis trikutnik

Stačiakampio trikampio metodas

Tiesi zagalnogo stovykla, kaip sakėme, kulniavo į projekcijų plokštumas pagal savotišką pilną kut.

Pjūvis tarp tiesės ir tos plokštumos projektuojamas pjūviu, tiesę pridedame prie tos projekcijos plokštumoje (22 pav.). Kut a vyznaє kut nakhily vіdrіzka AB į pl. H. W pav. 22: Ab1 | 1pl. H; Bb1 = Bb – Aa = Z 22

Tiesaus kirpimo trikotaže ABb1 kojelė Ab1 turi normalią horizontalią projekciją ab; o kita kojelė Bb1 yra brangiausias prekybos taškas A ir B aikštėje. N. Kadangi tiesės ab horizontalios projekcijos taškai yra nubrėžti statmenai ir jiems suteikiama nauja reikšmė Z, tada, paėmę tašką a su paimtu tašku b0, imame hipotenuzą ab0, lygią natūraliai AB. Diagramoje ji atrodo taip (mal. 23):

Panašiai tiesi linija tęsiasi iki priekinės iškyšų plokštumos (b) – pav. 24.

Pagarba: jei pobudov ant horizontalios tiesioginės projekcijos, pridedame prie papildomos tiesioginės reikšmės Z; kai priekinėje projekcijoje - Y reikšmė.

Žvilgsnio į priekį metodas vadinamas tiesiojo kirpimo tricutnik. Jogos pagalba galite nustatyti natūralų bet kokio mus verkiančio plyšio dydį, taip pat jogą liguistai nupjauti iki projekcijų plokštumų.

Abipusiai tiesi linija

Anksčiau žiūrėjome į tiesės taško maistinę vertę: jei taškas yra tiesėje, tai projekcijos guli ant vienmatės tiesės projekcijos (priklausomybės taisyklė, dal. 14 pav.). Iš gimnazijos geometrijos kurso galima spėti: viename taške susipina dvi tiesės (kitaip: jei dvi tiesės sudaro vieną dvigubą tašką, tai kitame taške susipina smarvės).

Tiesių linijų, kurios yra susipynusios, projekcijos diagramoje gali turėti aiškiai išreikštą ženklą: protektoriaus taško projekcijos yra toje pačioje jungties linijoje (25 pav.). Aišku: taškas K atsigulk і AB ir CD; sklype taškas k yra toje pačioje tiesėje, jungiančioje su tašku k.

Tiesus AB ir CD - pertvarkyti

Iš galimo abipusio roztashuvannyah dvi tiesios linijos atviroje - tiesiai kirto. Galimas kritimas, jei tiesės nėra lygiagrečios, bet nesutampa. Tokios tiesės gali būti tiesiamos dviejose lygiagrečiose plokštumose (26 pav.). Tai net nereiškia, kad du yra tiesūs, kad jie kerta, guli ob'yazkovo dviejose lygiagrečiose plokštumose; ir dar mažiau tų, kad per juos galima nubrėžti dvi lygiagrečias plokštumas.

Dviejų tiesių, kurios susikerta, projekcijos gali persidengti, tačiau jų persidengimo taškai guli ne toje pačioje jungties tiesėje (27 pav.).

Svarbu matyti konkuruojančių taškų mitybą (27 pav.). Horizontalioje projekcijoje yra du taškai (e, f), bet priekinėje smarvėje jie virsta vienu (e "f"), be to, tai neprotinga, nes taškas matomas, nes nesimato (konkuruojantys taškai ).

Du taškai, kurių priekinės projekcijos griūva, vadinami frontaliniais-konkuruojančiais.

Tokį posūkį matėme anksčiau (11 pav.), bet pagal tuos „tarpusavio sukibusius du taškus“. Todėl taisyklė sustingusi:

Iš dviejų konkuruojančių taškų matomas tas, kurio koordinatė yra didesnė.

3 pav. 27 matyti, kad taško E (e) horizontalioji projekcija yra toli nuo OX ašies, apatinis taškas yra f. Vėlgi, taško "e" Y koordinatė yra didesnė, žemesnė taške f; vėliau bus matomas taškas E. Priekinėje projekcijoje taškas f "padėtas arkose kaip nematomas.

Dar vienas dalykas: taškas e yra tiesės ab projekcijoje, o tse reiškia, kad priekinėje projekcijoje tiesė a "b" yra nubrėžta tiesės c "d" "viršuje".

Lygiagrečios linijos

Lygiagrečias linijas sklype lengva atpažinti išvaizdos, tačiau dviejų lygiagrečių linijų vienmatės projekcijos yra lygiagrečios.

Suteikti pagarbą: tas pats! Tobto. priekinės projekcijos yra lygiagrečios tarpusavyje, o horizontalios – tarpusavyje (29 pav.).

Įrodymas: 28 paveiksle erdvėje pateiktos dvi lygiagrečios tiesės AB ir CD. Per jas nubrėžkime projektuojančias plokštumas Q ir T – jos pasirodys lygiagrečios (kaip dvi tiesės, kurios persidengia, viena plokštuma lygiagreti dviem persidengimais su tiesia linija, kita plokštuma, tada tokios plokštumos yra lygiagrečios).

30a diagramoje užduotys lygiagrečios tiesioms linijoms, 30b schemoje tiesės perbrauktos, nors toje ir kita kryptimi frontalinės ir horizontalios projekcijos yra tarpusavyje lygiagrečios.

Tačiau naudoju gudrybę, kurios pagalba galima tarpusavyje priskirti dviejų profilių tiesių pozicijas, nesileidžiant į trečiąsias iškyšas. Kurioms pakanka turėti dvi iškyšas su papildomomis linijomis, kaip parodyta 30 pav.. Pasirodys, kad šių linijų susikirtimo taškai yra toje pačioje sujungimo linijoje – profilio linijos lygiagrečios viena kitai – pav. 30a. Yakshcho nі - profilio tiesios linijos kerta (306 pav.).

Tiesios linijos kritimo ypatybės:

Tiesioginio pjūvio projekcijos

Tarsi po tiesiu pjūviu būtų pakištos dvi tiesios kuodų linijos, jų projekcijos daro pjūvį ne lygų 90° (31 pav.).

Dviejų lygiagrečių plokštumų skersinio skersinio skersinio skersinio skeveldros atrodo lygiagrečios tiesioms linijoms, tada horizontalios projekcijos ab ir cd yra lygiagrečios.

Norėdami pakartoti operaciją ir projektuoti tieses AB ir CD į priekinę projekcijų plokštumą, imsime tą patį rezultatą.

Ypatingas nuolydis – tai dvi profilinės tiesios linijos, nustatytos priekinėmis ir horizontaliomis iškyšomis (30 pav.). Kaip buvo sakyta, profilio linijose frontalinės ir horizontalios projekcijos yra tarpusavyje lygiagrečios, prote, dėl šio ženklo neįmanoma spręsti apie dviejų profilio linijų lygiagretumą, nesukeliant trečiosios projekcijos.

Vadovas. Išbandykite stačiakampį trišakį ABC, kai koja BC guli ant tiesios MN (34 pav.).

Sprendimas. Iš diagramos matyti, kad tiesė MN yra horizontali. O už proto trikutnikas yra tiesus.

Tiesioginės kut projekcijos galios greitis praleistas iš taško "a", statmeno projekcijai mn (kvadrate H mūsų tiesioginė kuta projektuojama be sukūrimo) - pav. 35.

Kaip papildoma tiesi linija, kuri turi būti atliekama nuo pjūvio pabaigos po tiesioginiu pjūviu iki šio taško, laimime tiesės horizontaliosios projekcijos dalį ir pačią bm (36 pav.). Pažiūrėkime į Z koordinačių skirtumo reikšmę, paimtą iš priekinės projekcijos, ir paimkime tašką „a“ iš pašalintos pradalgės galo. Imame tikrąjį kojos dydį AB (ab ; ab).

31 ir 32 paveiksluose pavaizduotos dvi tiesios linijos su kampine padėtimi, kurios tarp jų yra 90° (32 pav. tiesios linijos yra toje pačioje plokštumoje P). Yak bachimo, ant kut diagramų, tiesių linijų projekcijos, ne iki 90 °.

Branginkime pasaulio galią, žiūrėdami į tiesioginės kutos projekciją nuo įžeidžiančios priežasties:

Kadangi viena tiesiosios kutos pusė lygiagreti projekcijos plokštumai, tai tiesioji kuta projektuojama į šią plokštumą be kliūčių (33 pav.).

Mes nenuvedame į tą pačią poziciją (sukuriame ją savarankiškai), bet galime pažvelgti į šansus, tarsi galėtumėte vadovautis šia taisykle.

Nasampered, svarbu, kad už proto viena tiesioginės kutos pusė yra lygiagreti ar tai būtų projekcijos plokštuma, tada viena pusė bus arba frontali, arba horizontali (gal profilinė tiesi linija) - pav. 33.

O priekinę ir horizontaliąją schemoje lengva atpažinti „užmaskuotą“ (viena iš iškyšų lygiagreti ašiai ОХ), arba galite lengvai ją paskatinti, jei reikia. Be to, priekinė linija turi svarbiausią galią: atrodo viena iš obovo kalbos projekcijų

Pagal drėgmės taisyklę žinome taško b frontalinę projekciją "už pagalbinės linijos grandies. Turime koją AB (a" b "; ab).

Norint pastatyti koją BC ant šono MN, ant nugaros reikia nurodyti natūralų AB rankos dydį (a d ; ab). Kuriam greita, mes jau turime tiesaus kirpimo trikutniko taisyklę.

WISNOVOK

Zagalni rіvnyannya tiesiai į priekį

Tiesios linijos išlyginimas gali būti vertinamas kaip dviejų plokštumų peretinos linijos išlyginimas. Pažiūrėjus plačiau, vektorinės formos plotas gali būti lygus:

× + D = 0, de

Normalus paviršius; - spindulys - mažo plokštumos taško vektorius.

Tegul erdvė nustato dvi plokštumas: × + D 1= 0 ir × + D 2= 0, normalieji vektoriai ir koordinatės: (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2); (x, y, z). Panašios vektorinės formos tiesių kreivės:

Zagalnі vnyanyya tiesi linija koordinačių forma:

Tam reikia žinoti visą skaičių tiesės tašką m, n, p. Jei taip, tiesioginis vektorius gali būti žinomas kaip vektorinis vektoriaus išplėtimas normalioje nurodytoms plokštumoms.

Plokštumos šalia erdvės lygumas

Siųsti duomenų taškus ir nenulinis vektorius (tobto , de

nuplauti yra normalus vektorius.

Yakscho , , , ..., tada lygus galima pakeisti į išvaizdą . Skaičiai , і , і

Nagi - kaip plokštumos taškas, - Vektorius statmenas plokštumai. Todi upė є paviršiaus išlyginimas.

Koeficientas , ; šalia vienodo ploto є statmenos plokštumai vektoriaus koordinatės.

Kaip padalyti plokštumą iš skaičiaus, kuris lygus vektoriaus ilgiui , tada pašaliname normalios formos ploto lygumą.

Plokštumos lygumas, tarsi ėjimas per tašką i yra statmenas nuliniam vektoriui, .

Be-jakas lygus pirmam žingsniui nustato koordinačių erdvę į vieną plokštumą, kuri yra statmena vektoriui su koordinatėmis .

Rivnija є lygi plokštumai, kuri eina per tašką i statmena nuliniam vektoriui.

Odos plotas nustatyta stačiakampių koordinačių sistemoje , , lygus protui.

atminkite, kokie yra vidutiniai koeficientai , , є ne nulis, nustato erdvę stačiakampių koordinačių sistemos plotui. Plotas šalia erdvės nustatomas stačiakampių koordinačių sistemoje , , lygus protui , atmink tu, sho.

Teisingas tas tvirtumo grąžinimas: lygus protui nuplauti nustatykite erdvę stačiakampių koordinačių sistemai.

De , , , , ,

Plotas šalia erdvės priskiriamas lygiems , de , , , - be to, dešimtainiai skaičiai , , nelygu 0 ir iš karto nustatykite vektoriaus koordinates , statmenas šiai plokštumai ir vadinamas normaliuoju vektoriumi.

Siųsti duomenų taškus ir nenulinis vektorius (tobto ). Tas pats vektorinis plokščias plotas , de - pakankamai plokštumos taško) atrodo - ploto už taško ir normalaus vektoriaus išlyginimas.

Pirmojo etapo odos išlyginimas nuplauti įdėti į stačiakampę koordinačių sistemą viena plokštuma, kurios vektorius yra normalus vektorius.

Yakscho , , , , tada lygus galima pakeisti į išvaizdą . Skaičiai , і rivnі vіdzhina vіdrіzkіv, yakі vіdsіkayut butas ant ašių , і aišku. Tam lygus vadinamas lygiu plotui „prie vėjų“.

DŽERELIO PERGALIŲ SĄRAŠAS

1.Stereometrija. Geometrija erdvėje. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Rižikas V.I.

2.Aleksandrovas P. S. Analitinės geometrijos ir tiesinės algebros kursas. - Fizinės ir matematinės literatūros vyriausiasis leidimas, 2000. - 512 p.

.Beklemiševas D.V. Analitinės geometrijos ir tiesinės algebros kursas, 2005. – 304 p.

.Iljinas V. A., Poznyak E. G. Analitinė geometrija: Navch. universitetams. - 7-asis vaizdas., Sr., 2004. - 224 p. - (Išplėstinės matematikos ir matematinės fizikos kursas.)

.Efimovas N. V. Trumpas analitinės geometrijos kursas: Navch. padėti. - 13 vaizdas., stereo. –, 2005. – 240 p.

.Kanatnikovas O.M., Kriščenka O.P. Analitinė geometrija. -2-asis vaizdas. -, 2000, 388 s (Technikos universiteto matematika

.Kadomcevas SB. Analitinė geometrija ir tiesinė algebra, 2003. – 160 p.

.Fedorčukas V. V. Analitinės geometrijos ir tiesinės algebros kursas: Navch. posibnik, 2000. - 328 p.

.Analitinė geometrija (paskaitų konspektas Y.V. Troitsky, I kursas, 1999/2000) – 118 p.

.Bortakovskis, A.S. Analitinė geometrija programose ir užduotyse: Navch. Posibnik/O.S. Bortakovskis, A.V. Pantelijevas. - Viščas. mokykla, 2005. - 496 s: il. - (Serija „Taikomoji matematika“).

.Morozova E.A., Sklyarenko E.G. Analitinė geometrija. Metodinis vadovas 2004. - 103 p.

.Kurso „Vishcha matematika“ metodiniai nurodymai ir darbo programa – 55 p.

Dvi yra tiesios lygiagrečioje erdvėje, tarsi gulėjimo viename bute smarvė nesutampa.

Erdvėje susikerta dvi tiesios linijos, tarsi nebūtų tokios srities, kurioje smirdėtų gulėti.

Ženklai kirsti tiesias linijas. Jei viena iš dviejų tiesių yra deakіy ir lagnosti, o kita tiesė kerta plokštumą taške, jei pirmoji tiesė nesutampa, tada tiesės susikerta.

Plokštuma tiesi, kad plokštuma, lygiagreti, nepersidengtų, kad smarvė neužslopintų miego vietų.

Tiesės ir plokštumos lygiagretumo ženklas. Jei ji tiesi, jei nepersidengia su plokštuma, jei lygiagreti, jei tiesi, jei persidengia su plokštuma, tai lygiagreti plokštumai.

Plokštumos ir tiesės, lygiagrečios plokštumai, galia:

1) jei plokštuma turi būti judama tiesiai, lygiagrečiai kitai plokštumai, ir jei ji kerta plokštumą, tai plokštumų linija yra lygiagreti šiai tiesei;

2) jei per odą iš dviejų lygiagrečių tiesių, plokštumos, kurios persidengia, tai jų linijos linija yra lygiagreti šioms tiesioms linijoms.

Dvi plokštumos lygiagrečios, tarsi smarvė negalėtų būti miego taškais.

Plokštumų lygiagretumo ženklai, tarsi dvi tos pačios plokštumos tiesios plokštumos, kurios persidengia, atrodo lygiagrečios dviem tiesioms plokštumoms, tada dvi plokštumos lygiagrečios.

Tiesi linija yra statmena plokštumai, tarsi ji būtų statmena tiesei, todėl plokštuma guli.

Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklai: jei tiesė yra statmena dviem tiesioms, kurios persidengia, yra šalia plokštumos, tai ji yra statmena plokštumai.

Tiesios linijos, statmenos plokštumai, dominavimas.

1) jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai kita tiesė yra statmena plokštumos centrui;

2) tiesi, statmena vienai iš dviejų lygiagrečių plokštumų, statmena kitai plokštumai.

Plokštumų statmenumo ženklas. Jei plokštuma turi judėti statmenai kitai plokštumai, ji yra statmena tai plokštumai.

Tiesi linija, kuri kerta plokštumą, bet nėra jai statmena, vadinama plokštumos trapu.

Teorema apie tris statmenis. Kad jis būtų tiesus, kuris guli prie buto, bula yra statmena ligai, būtina ir pakankama, kad ji būtų statmena ligonio projekcijai ant plokščio.

Ant kūdikio 1 tiesiai b− khila į butą, tiesiai c- projekcija A┴ h, Tai a┴ b

Kutom tarp trapumo ir lygumo vadinamas pjūvis tarp trapumo ir projekcijos į plokščią. Ant mažylio 2 tiesiai b- pokhila į butą, tiesiai a- chiloi projekcija ant plokščio, α - pjūvis tarp chilo ir plokščio.

Dviveidis kutvoryutsya praeityje buvo dviejų plokštumų peretina. Tiesi linija, nupjauta iki dviejų plokštumų tarpatramio pabaigos, vadinama dvipusio pjūvio kraštu. Du pіvploschini іz zagalny šonkauliai vadinami dvipusio kuto veidais.

Napіvnі sritis, tarp kurios zbіgaєtsya su dvipusio kuta krašteliu ir kaip padalyti dvipusį kutą į dvi lygias kuti, vadinama dviejų sektorių butu.

Dvipusis pjūvis sumažinamas iki panašaus tiesinio pjūvio. Linijinis dvipusio pjūvio pjūvis vadinamas pjūviu tarp statmenų, nubrėžtų nuo odos paviršiaus iki krašto.

Prizmė

Bagatoedras, dvi upės pusės n- kosinci, kurie yra šalia lygiagrečių butų, ir reshta n veidai – lygiagretainiai, vadinami n- Vugіlnoy prizmė.

Du n- kosintsya є podstavami prizmė, lygiagretainiai - bіchnymi veidai. Veidų šonai vadinami prizmės kraštais, o kraštų galai – prizmės viršūnėmis.

Prizmės aukštis vadinamas statmenos aukščiu, išdėstymais tarp prizmės pagrindų.

Prizmės įstrižainė vadinama kryžiumi, jungiančiu dvi pagrindų viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje.

Tiesi prizmė – tai prizmė, kurios briaunos statmenos pagrindų plokštumoms (3 pav.).

Trapi prizmė vadinama prizme, kurios briaunos yra trapios iki pamatų lygumo (4 pav.).

Obsyag ir aukščio prizmės paviršiaus plotas yra žinomi pagal formules:

Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti pagal formulę.

Padidinkite šio paviršiaus plotą trapios prizmės (4 pav.) taip pat gali būti skaičiuojamos tokiu pat būdu: de ΔPNK - perpjauta, statmena kraštinei l.

Tiesioji prizmė vadinama tiesia prizme, kurios pagrindas yra įprasta bagatokutnik.

Prizmė vadinama gretasieniu, o visi jos paviršiai – lygiagretainiais.

Tiesus gretasienis yra gretasienis, kurio briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms.

Tiesus gretasienis vadinamas tiesiu gretasieniu, kurio pagrindas yra tiesus pjūvis.

Stačiakampio gretasienio įstrižainės galia

Stačiakampio gretasienio įstrižainės kvadratas yra trijų yogo vimiriv kvadratų suma: d² = a² + b² + c², de a,b,c- Dožinos šonkauliai, išeinantys iš vienos viršūnės, d- gretasienio įstrižainė (3 pav.).

Stačiakampio gretasienio tūris žinomas iš formulės V = abc.

Kubas vadinamas stačiakampiu gretasieniu su vienodais šonkauliais. Visi kubo paviršiai yra kvadratai.

Kubo su briauna tūris, paviršiaus plotas ir įstrižainė žinomi pagal formules:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

piramidė

Piramide vadinamas bagatoedras, kurio vienas briaunas yra bagatokutnikas, o kiti – trikutnikai iš stačios viršūnės. Bagatokutnikas vadinamas piramidės pagrindu, o trikutnikas – bichny veidais.

Piramidės aukščiu vadinamas statmens, nubrėžto nuo piramidės viršūnės iki pagrindo paviršiaus, aukščiu.

Jei visi piramidės šoniniai šonkauliai yra lygūs arba yra pasvirę į pagrindo lygumą po tuo pačiu kutu, tada aukštis nusileidžia iki aprašyto kuolo centro.

Jei piramidės kraštinės yra pasvirusios į pagrindo plokštumą po tuo pačiu kutu (dvipusis kuti stovint lygiai), tai aukštis nusileidžia į įkalto kuolo centrą.

Piramidė vadinama teisinga, nes jos pagrindas yra teisingas bagatokutnik, o aukštis patenka į užrašyto ir aprašyto bagatokutniko kuoliuko, esančio piramidės pagrinde, centrą. Dešiniosios piramidės bіchnі briaunos aukštis, nubrėžtas iš її viršūnių, vadinamas apotema.

Pavyzdžiui, ant mažojo 5 pavaizduota teisinga trikotažo piramidė SABC(tetraedras): AB= pr. Kr= AC= a, OD = r- kuolo spindulys, įrašytas tricutnik ABC, OA=R- kuolo spindulys, aprašytas trikotažo baltas ABC, TAIP=h- Visota

piramidės, SD = l- apothem, - kut nakhily

šonkauliai SA iki pagrindo plokštumos, - šoninio paviršiaus nuolydžio pjūvis SBC iki piramidės pagrindo.

Trikočio piramidė vadinama tetraedru. Tetraedras vadinamas taisyklingu, tarsi jo briaunos būtų lygios.

Obsyag piramidi ši sritis її paviršutiniškai žino formules:

De h- Piramidės aukštis.

Taisyklingos piramidės paviršiaus kvadrato plotasžinoti už formulės de – piramidės apotemą.

Nupjauta piramidė vadinama bagatoedru, kurios viršūnės tarnauja kaip piramidės pagrindo viršūnės, o її viršūnės perpjautos skersai plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui. Pateikite nupjautą piramidę – kaip bagatokutniki.

Obsyag sutrumpintos piramidės žino už formulės , de - pagrindo plotas, h - nupjautos piramidės aukštis.

Teisingi bagatoedrai

Įprastas bagatoedras vadinamas pūkuotu bagatoedru, kuris turi visus veidus – bagatoedro odos viršūnėje susilieja taisyklingi bagatokutnikai, turintys tiek pat šonų ir tiek pat šonkaulių.

Įprasto bagatoedro veidai gali būti lygiaverčiai trikutnikai, kvadratai arba įprasti piatikutnikai.

Kaip įprastas bagatoedras turi veidus - taisyklingus trišakius, taip ir įprasti bagatoedrai turi taisyklingą tetraedrą (vin maє 4 veidų), taisyklingą oktaedrą (vin maє 8 veidų), įprastą ikosaedrą (vin maє 20 veidų).

Jei įprastas bagatoedras turi kvadratinius paviršius, tai bagatoedras vadinamas kubu arba šešiakampiu (gali būti 6 veidai).

Jei įprastas bagatoedras turi veidus su įprastais p'yatikutnikais, tada bagatoedras vadinamas dodekaedru (gali būti 12 veidų).

cilindras

Figūra vadinama cilindru, todėl viena pusė apvyniojama stačiakampiu.

Ant mažylio 6 yra tiesūs - visas įvyniojimas; - Visota, l- Patenkinantis; ABCD- ašinė cilindro dalis, nupjauta apvyniojus stačiakampį šone. Cilindro paviršiaus ploto tūris yra žinomas pagal formules:

, , , , de R- pagrindo spindulys, h- Visota, l- pritvirtinkite cilindrą.

Kūgis

Figūra vadinama kūgiu, o tiesiojo kirpimo trikotažo apvyniojimas nupjaunamas prie vieno iš kateterių. Ant mažylio 7 tiesiai OB- visas įvyniojimas; OB = h- Visota, l- patenkinama;Δ ABC- ašinis kūgio pjūvis, nupjaukite tiesiojo pjūvio tricutnik apvyniojimus OBCšalia kojos OB.