हम अभी इस सूत्र पर विस्तार से चर्चा नहीं करेंगे। इसके अलावा, इसे याद रखना काफी कठिन है। निर्धारकों से परिचित होने के बाद हम इस बिंदु पर वापस आएंगे।

खैर, सामान्य विकास के लिए, यह जानना उपयोगी है कि परिणामी वेक्टर की लंबाई वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है एतथा बी.

वेक्टर सामान्यीकरण

एक सामान्यीकृत वेक्टर एक वेक्टर होता है जिसकी लंबाई एक होती है।

सामान्यीकृत वेक्टर खोजने का सूत्र इस प्रकार है - वेक्टर के सभी घटकों को इसकी लंबाई से विभाजित किया जाना चाहिए:

वीएन = वी/ | वी | =

अंतभाषण

जैसा कि आपने शायद देखा है, वैक्टर को समझना मुश्किल नहीं है। हमने कई वेक्टर ऑपरेशंस को कवर किया है।

"गणित" खंड के अगले लेखों में, हम मैट्रिक्स, निर्धारकों, रैखिक समीकरणों के सिस्टम पर चर्चा करेंगे। यह सब सिद्धांत है।

उसके बाद, हम मैट्रिक्स परिवर्तनों को देखेंगे। तभी आप समझ पाएंगे कि कंप्यूटर गेम बनाने में गणित कितना महत्वपूर्ण है। यह विषय पिछले सभी विषयों के लिए सिर्फ एक अभ्यास बन जाएगा।

वेक्टर
भौतिकी और गणित में, एक सदिश एक मात्रा है जो इसके संख्यात्मक मान और दिशा की विशेषता है। भौतिकी में, कई महत्वपूर्ण मात्राएँ हैं जो सदिश हैं, उदाहरण के लिए, बल, स्थिति, गति, त्वरण, बलाघूर्ण, संवेग, विद्युत की शक्ति और चुंबकीय क्षेत्र। उन्हें अन्य मात्राओं जैसे द्रव्यमान, आयतन, दबाव, तापमान और घनत्व के साथ विपरीत किया जा सकता है, जिन्हें सामान्य संख्या द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और उन्हें "स्केलर" कहा जाता है। वेक्टर नोटेशन का उपयोग उन मानों के साथ काम करते समय किया जाता है जिन्हें सामान्य संख्याओं का उपयोग करके पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति का वर्णन करना चाहते हैं। हम बता सकते हैं कि एक बिंदु से किसी वस्तु तक कितने किलोमीटर की दूरी है, लेकिन हम इसका स्थान पूरी तरह से तब तक निर्धारित नहीं कर सकते जब तक हम यह नहीं जानते कि वह किस दिशा में स्थित है। इस प्रकार, किसी वस्तु का स्थान संख्यात्मक मान (किलोमीटर में दूरी) और दिशा की विशेषता है। ग्राफिक रूप से, वैक्टर को एक निश्चित लंबाई के निर्देशित सीधी रेखा खंडों के रूप में दर्शाया गया है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1. उदाहरण के लिए, पांच किलोग्राम के बल को आलेखीय रूप से निरूपित करने के लिए, आपको बल की दिशा में पांच इकाई लंबा एक सीधी रेखा खंड खींचना होगा। तीर इंगित करता है कि बल A से B तक कार्य कर रहा है; यदि बल बी से ए तक कार्य करता है, तो हम लिखेंगे या सुविधा के लिए, वैक्टर आमतौर पर बड़े अक्षरों (ए, बी, सी, और इसी तरह) में दर्शाए जाते हैं; सदिश A और -A के संख्यात्मक मान समान हैं, लेकिन दिशा में विपरीत हैं। सदिश A के संख्यात्मक मान को मापांक या लंबाई कहा जाता है और इसे A या | A | द्वारा दर्शाया जाता है। बेशक, यह मात्रा एक अदिश राशि है। एक सदिश जिसका आरंभ और अंत संपाती होता है, शून्य कहलाता है और इसे O से निरूपित किया जाता है।

दो वैक्टर को समान (या मुक्त) कहा जाता है यदि उनके मॉड्यूल और दिशाएं मेल खाती हैं। यांत्रिकी और भौतिकी में, हालांकि, इस परिभाषा का उपयोग सावधानी के साथ किया जाना चाहिए, क्योंकि सामान्य स्थिति में शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू दो समान बल अलग-अलग परिणाम देंगे। इस संबंध में, वैक्टर को "लिंक्ड" या "स्लाइडिंग" में वर्गीकृत किया गया है, जो निम्नानुसार है: लिंक्ड वैक्टर में आवेदन के निश्चित बिंदु होते हैं। उदाहरण के लिए, एक त्रिज्या वेक्टर कुछ निश्चित मूल के सापेक्ष एक बिंदु की स्थिति को इंगित करता है। संबंधित वैक्टर को समान माना जाता है यदि उनके पास न केवल समान मॉड्यूल और दिशाएं हैं, बल्कि उनके पास आवेदन का एक सामान्य बिंदु भी है। स्लाइडिंग सदिश एक सीधी रेखा पर स्थित समान सदिश होते हैं।
वैक्टर का जोड़।वैक्टर जोड़ने का विचार इस तथ्य से उत्पन्न हुआ कि हम एक एकल वेक्टर पा सकते हैं जिसका प्रभाव अन्य दो वैक्टरों के समान है। यदि, एक निश्चित बिंदु तक पहुंचने के लिए, हमें पहले एक दिशा में ए किलोमीटर और दूसरी दिशा में बी किलोमीटर चलने की जरूरत है, तो हम तीसरी दिशा में सी किलोमीटर पार करने के बाद अपने अंतिम बिंदु तक पहुंच सकते हैं (चित्र 2) . इस अर्थ में हम कह सकते हैं कि

हम किसी भी संख्या में वैक्टर जोड़ सकते हैं, और शर्तों का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इसका विलोम भी सत्य है: कोई भी सदिश दो या अधिक "घटकों" में विघटित हो जाता है; दो या दो से अधिक वैक्टर में, जो जोड़े जाने पर, मूल वेक्टर को परिणाम के रूप में देगा। उदाहरण के लिए, अंजीर में। 2, ए और बी सी घटक हैं। वेक्टर के साथ कई गणितीय संचालन सरल हो जाते हैं यदि वेक्टर तीन घटकों में तीन परस्पर लंबवत दिशाओं में विघटित हो जाता है। आइए हम एक दाएं हाथ का कार्टेशियन समन्वय प्रणाली चुनें, जिसमें अक्ष ऑक्स, ओए और ओज़ हों, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 5. सही समन्वय प्रणाली से हमारा मतलब है कि x, y और z कुल्हाड़ियों को उसी तरह स्थित किया जाता है जैसे दाहिने हाथ के अंगूठे, तर्जनी और मध्यमा उंगलियों को क्रमशः स्थित किया जा सकता है। एक दाहिने हाथ के समन्वय प्रणाली से, आप हमेशा एक और दाहिने हाथ के समन्वय प्रणाली को तदनुसार घुमाकर प्राप्त कर सकते हैं। अंजीर में। 5, वेक्टर ए के तीन घटकों में अपघटन दिखाया गया है, और वे वेक्टर ए में जोड़ते हैं, क्योंकि

फलस्वरूप,

कोई भी पहले जोड़ सकता है और प्राप्त कर सकता है और फिर तीन समन्वय अक्षों पर वेक्टर ए के अनुमानों में जोड़ सकता है, निरूपित एक्स, एई और एज़ को वेक्टर ए के "स्केलर घटक" कहा जाता है:

जहां ए, बी और जी ए और तीन समन्वय अक्षों के बीच के कोण हैं। अब हम इकाई लंबाई i, j और k (इकाई सदिश) के तीन सदिशों का परिचय कराते हैं, जिनकी दिशा संगत अक्षों x, y और z के समान होती है। फिर, यदि कुल्हाड़ी को i से गुणा किया जाता है, तो परिणामी उत्पाद और . के बराबर एक सदिश होता है

दो सदिश समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके संगत अदिश अवयव समान हों। इस प्रकार, A = B यदि और केवल यदि कुल्हाड़ी = Bx, Ay = By, Az = Bz। उनके घटकों को जोड़कर दो वैक्टर जोड़े जा सकते हैं:

इसके अलावा, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

रैखिक कार्य। व्यंजक aA + bB, जहाँ a और b अदिश हैं, सदिश A और B का रैखिक फलन कहलाता है। यह A और B के समान तल में एक सदिश है; यदि A और B समानांतर नहीं हैं, तो जब a और b बदलते हैं, तो सदिश aA + bB पूरे तल पर गति करेगा (चित्र 6)। यदि A, B और C सभी एक ही तल में नहीं हैं, तो सदिश aA + bB + cC (a, b और c परिवर्तन) पूरे अंतरिक्ष में गति करता है। मान लीजिए A, B और C इकाई सदिश i, j और k हैं। सदिश ai x-अक्ष पर स्थित है; सदिश ai + bj पूरे xy तल के अनुदिश गति कर सकता है; सदिश ai + bj + ck पूरे अंतरिक्ष में घूम सकता है।

और कोई पांच, छह, या किसी भी आयाम तक जारी रख सकता है। हालांकि इस तरह के एक वेक्टर की कल्पना करना असंभव है, यहां कोई गणितीय कठिनाइयां नहीं आती हैं। ऐसा रिकॉर्ड अक्सर उपयोगी होता है; उदाहरण के लिए, एक गतिमान कण की स्थिति एक छह-आयामी वेक्टर P (x, y, z, px, py, pz) द्वारा वर्णित है, जिसके घटक अंतरिक्ष में इसकी स्थिति (x, y, z) और संवेग हैं। (पीएक्स, पीई, पीजेड)। इस स्थान को "चरण स्थान" कहा जाता है; यदि हम दो कणों पर विचार करते हैं, तो चरण स्थान 12-आयामी है, यदि तीन, तो 18, और इसी तरह। आयामों की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ाई जा सकती है; हालाँकि, जिन मात्राओं के साथ हम व्यवहार करेंगे, वे उसी तरह से व्यवहार करेंगे, जिस पर हम इस लेख के बाकी हिस्सों में विचार करेंगे, अर्थात् त्रि-आयामी वैक्टर।
दो वैक्टर का गुणन।सदिश योग नियम सदिशों द्वारा निरूपित मात्राओं के व्यवहार का अध्ययन करके प्राप्त किया गया था। ऐसा कोई स्पष्ट कारण नहीं है कि दो सदिशों को किसी भी तरह से गुणा नहीं किया जा सकता है, लेकिन यह गुणन तभी समझ में आता है जब आप इसकी गणितीय स्थिरता दिखा सकते हैं; इसके अलावा, यह वांछनीय है कि कार्य का एक निश्चित भौतिक अर्थ हो। इन शर्तों को पूरा करने वाले सदिशों को गुणा करने के दो तरीके हैं। उनमें से एक का परिणाम एक अदिश है, ऐसे उत्पाद को दो वैक्टरों का "डॉट उत्पाद" या "आंतरिक उत्पाद" कहा जाता है और इसे एबीबी या (ए, बी) लिखा जाता है। एक अन्य गुणन परिणाम एक वेक्टर में होता है जिसे "वेक्टर उत्पाद" या "बाहरी उत्पाद" कहा जाता है और इसे ए * बी या [] लिखा जाता है। डॉट उत्पादों का एक, दो या तीन आयामों के लिए भौतिक अर्थ होता है, जबकि वेक्टर उत्पादों को केवल तीन आयामों के लिए परिभाषित किया जाता है।
स्केलर उत्पाद।यदि, किसी बल F की क्रिया के तहत, जिस बिंदु पर इसे लगाया जाता है, वह r दूरी तय करता है, तो किया गया कार्य r के गुणनफल और दिशा r में घटक F के बराबर होता है। यह घटक F cos bF, rc के बराबर है, जहां bF, rc, F और r के बीच का कोण है, अर्थात। किया गया कार्य = Fr cos bF, rc. यह सूत्र के माध्यम से किन्हीं दो वैक्टर ए, बी के लिए परिभाषित डॉट उत्पाद के भौतिक औचित्य का एक उदाहरण है
ए * बी = एबी कॉस बीए, बीसी।
चूँकि समीकरण के दायीं ओर की सभी राशियाँ अदिश हैं, तो A * B = B * A; इसलिए अदिश गुणन क्रमविनिमेय है। अदिश गुणन में वितरण गुण भी होता है: ए * (बी + सी) = ए * बी + ए * सी। यदि सदिश A और B लंबवत हैं, तो cos bA, Bc शून्य के बराबर है, और इसलिए, A * B = 0, भले ही न तो A और न ही B शून्य के बराबर हो। इसलिए हम वेक्टर द्वारा विभाजित नहीं कर सकते हैं। मान लीजिए कि हमने समीकरण A * B = A * C के दोनों पक्षों को A से विभाजित किया है। यह B = C देगा, और यदि विभाजन किया जा सकता है, तो यह समानता एकमात्र संभावित परिणाम होगा। हालांकि, अगर हम समीकरण ए * बी = ए * सी को ए * (बी - सी) = 0 के रूप में फिर से लिखते हैं और याद रखें कि (बी - सी) एक वेक्टर है, तो यह स्पष्ट है कि (बी - सी) जरूरी नहीं कि शून्य हो और, इसलिए, बी का सी के बराबर होना जरूरी नहीं है। ये परस्पर विरोधी परिणाम बताते हैं कि वेक्टर विभाजन असंभव है। डॉट उत्पाद एक वेक्टर के संख्यात्मक मान (मापांक) को लिखने का एक और तरीका देता है: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
इसलिए

डॉट उत्पाद को दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि: A = Ax i + Ayj + Azk। नोटिस जो

फिर,

चूंकि अंतिम समीकरण में सबस्क्रिप्ट के रूप में x, y, और z शामिल हैं, समीकरण प्रतीत होता है कि चुने गए विशेष समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है। हालांकि, यह मामला नहीं है, जैसा कि परिभाषा से देखा जा सकता है, जो चयनित समन्वय अक्षों से स्वतंत्र है।
वेक्टर कलाकृतियाँ।वैक्टर का एक वेक्टर या बाहरी उत्पाद एक वेक्टर होता है जिसका मापांक मूल वैक्टर के लंबवत कोण के साइन द्वारा उनके मापांक के उत्पाद के बराबर होता है और उनके साथ मिलकर सही ट्रिपल बनाता है। वेग और कोणीय वेग के बीच संबंध पर विचार करके इस उत्पाद को पेश करना सबसे आसान है। पहला एक वेक्टर है; अब हम दिखाएंगे कि उत्तरार्द्ध की व्याख्या एक सदिश के रूप में भी की जा सकती है। एक घूर्णन पिंड का कोणीय वेग निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: शरीर पर किसी भी बिंदु का चयन करें और इस बिंदु से घूर्णन की धुरी पर लंबवत खींचें। तब पिंड का कोणीय वेग रेडियन की संख्या है जिसके द्वारा यह रेखा प्रति इकाई समय में घूमती है। यदि कोणीय वेग एक सदिश है, तो इसका एक संख्यात्मक मान और एक दिशा होनी चाहिए। संख्यात्मक मान प्रति सेकंड रेडियन में व्यक्त किया जाता है, दिशा को रोटेशन की धुरी के साथ चुना जा सकता है, आप इसे वेक्टर को उस दिशा में निर्देशित करके निर्धारित कर सकते हैं जिसमें शरीर के साथ घूमते समय दाएं हाथ का पेंच आगे बढ़ेगा। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक पिंड के घूमने पर विचार करें। यदि हम इस अक्ष को एक रिंग के अंदर सेट करते हैं, जो बदले में किसी अन्य रिंग के अंदर डाली गई धुरी पर तय होता है, तो हम पहले रिंग के अंदर शरीर को कोणीय वेग w1 पर घुमा सकते हैं और फिर आंतरिक रिंग (और शरीर) को एक पर घुमा सकते हैं। कोणीय वेग w2. चित्र 7 बिंदु को दर्शाता है; गोलाकार तीर रोटेशन की दिशा दिखाते हैं। यह पिंड केंद्र O और त्रिज्या r वाला एक ठोस गोला है।

चावल। 7. एक क्षेत्र केंद्रित O, एक रिंग BC के अंदर कोणीय वेग w1 के साथ घूमता है, जो बदले में, एक रिंग DE के अंदर कोणीय वेग w2 के साथ घूमता है। गोला कोणीय वेग के योग के बराबर कोणीय वेग से घूमता है और सीधी रेखा POP पर सभी बिंदु तत्काल आराम की स्थिति में हैं।

यह दूरी शून्य है यदि

इस स्थिति में, बिंदु P तत्काल आराम की स्थिति में है, और इसी तरह रेखा POP पर सभी बिंदु। "शेष गोला गति में होगा (जिन मंडलों के साथ अन्य बिंदु चलते हैं, स्पर्श नहीं करते हैं, लेकिन POPў इस प्रकार गोले के घूर्णन की धुरी है, जैसे सड़क के साथ घूमने वाला पहिया अपने निम्नतम बिंदु के बारे में घूमता है। गोले का कोणीय वेग क्या है? सादगी के लिए, हम बिंदु चुनते हैं A जिस पर अक्ष w1 सतह को काटता है। जिस समय हम विचार कर रहे हैं, वह समय Dt में कुछ दूरी पर चलता है

त्रिज्या r sin w1 के एक वृत्त के चारों ओर। परिभाषा के अनुसार, कोणीय वेग

इस सूत्र और संबंध (1) से, हम प्राप्त करते हैं

दूसरे शब्दों में, यदि आप एक संख्यात्मक मान लिखते हैं और ऊपर वर्णित कोणीय वेग की दिशा चुनते हैं, तो इन मात्राओं को वैक्टर के रूप में जोड़ा जाता है और इसे इस तरह माना जा सकता है। अब आप क्रॉस उत्पाद दर्ज कर सकते हैं; एक कोणीय वेग w के साथ घूमने वाले शरीर पर विचार करें। आइए शरीर पर किसी भी बिंदु P और निर्देशांक O के किसी भी मूल को चुनें, जो रोटेशन की धुरी पर स्थित है। मान लीजिए r एक सदिश है जो O से P की ओर निर्देशित है। बिंदु P एक वृत्त में गति V = w r sin (w, r) से गति करता है। वेग सदिश V वृत्त की स्पर्श रेखा है और चित्र में दर्शाई गई दिशा में इंगित करता है। आठ।

आइए देखें कि घटकों और इकाई वैक्टर के संदर्भ में क्रॉस उत्पाद कैसे लिखा जाता है। सबसे पहले, किसी भी वेक्टर ए के लिए, ए * ए = एए पाप 0 = 0।
इसलिए, इकाई वैक्टर के मामले में, i * i = j * j = k * k = 0 और i * j = k, j * k = i, k * i = j। फिर,

इस समानता को एक निर्धारक के रूप में भी लिखा जा सकता है:

यदि ए * बी = 0, तो या तो ए या बी 0 है, या ए और बी संरेख हैं। इस प्रकार, जैसा कि डॉट उत्पाद के मामले में होता है, वेक्टर द्वारा विभाजन संभव नहीं है। मान A * B भुजा A और B वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। यह देखना आसान है, क्योंकि B sin bA, B इसकी ऊंचाई है और A इसका आधार है। कई अन्य भौतिक मात्राएँ हैं जो वेक्टर उत्पाद हैं। सबसे महत्वपूर्ण वेक्टर उत्पादों में से एक विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत में प्रकट होता है और इसे पोयटिंग वेक्टर पी कहा जाता है। यह वेक्टर निम्नानुसार दिया गया है: पी = ई * एच, जहां ई और एच क्रमशः विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के वैक्टर हैं। वेक्टर पी को किसी भी बिंदु पर वाट प्रति वर्ग मीटर में ऊर्जा के दिए गए प्रवाह के रूप में माना जा सकता है। यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं: एक बिंदु पर कार्य करने वाले निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष बल F (टॉर्क) का क्षण जिसकी त्रिज्या वेक्टर r को r * F के रूप में परिभाषित किया गया है; बिंदु r, द्रव्यमान m और वेग V पर स्थित एक कण में निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष कोणीय गति mr * V है; एक विद्युत आवेश q को चुंबकीय क्षेत्र B से गति V के माध्यम से ले जाने वाले कण पर कार्य करने वाला बल qV * B है।
ट्रिपल काम करता है।तीन वैक्टर से, हम निम्नलिखित ट्रिपल उत्पाद बना सकते हैं: वेक्टर (ए * बी) * सी; वेक्टर (ए * बी) * सी; अदिश (ए * बी) * सी। पहला प्रकार वेक्टर C और अदिश A * B का गुणनफल है; हम पहले ही ऐसे कार्यों के बारे में बात कर चुके हैं। दूसरे प्रकार को डबल वेक्टर उत्पाद कहा जाता है; वेक्टर ए * बी उस विमान के लंबवत है जहां ए और बी झूठ बोलते हैं, और इसलिए (ए * बी) * सी विमान ए और बी में स्थित एक वेक्टर है और सी के लंबवत है। इसलिए, सामान्य तौर पर, (ए * बी) * सी ए * (बी * सी) के बराबर नहीं है। A, B और C को उनके निर्देशांक (घटकों) के रूप में x, y और z अक्षों के साथ लिखने और गुणा करने पर, आप दिखा सकते हैं कि A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * बी)। तीसरे प्रकार का उत्पाद, जो ठोस अवस्था भौतिकी में जाली की गणना करते समय उत्पन्न होता है, संख्यात्मक रूप से ए, बी, सी किनारों के साथ समानांतर चतुर्भुज की मात्रा के बराबर होता है। चूंकि (ए * बी) * सी = ए * (बी * सी) , अदिश और सदिश गुणन के चिह्नों की अदला-बदली की जा सकती है, और अंश को अक्सर (ABC) के रूप में लिखा जाता है। यह उत्पाद निर्धारक के बराबर है

ध्यान दें कि (A B C) = 0 यदि तीनों सदिश एक ही तल में हैं या यदि A = 0 या (और) B = 0 या (और) C = 0 है।
वेक्टर का अंतर
मान लीजिए कि सदिश U एक अदिश चर t का फलन है। उदाहरण के लिए, U मूल बिंदु से गतिमान बिंदु तक खींचा गया त्रिज्या सदिश हो सकता है, और t समय हो सकता है। चलो t एक छोटी राशि Dt से बदलें, जिससे DU द्वारा U में परिवर्तन होगा। यह आकृति में दिखाया गया है। 9. DU / Dt का अनुपात DU के समान दिशा में निर्देशित एक वेक्टर है। हम t के संबंध में U के अवकलज को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं

बशर्ते कि ऐसी सीमा मौजूद हो। दूसरी ओर, आप यू को तीन अक्षों के साथ घटकों के योग के रूप में निरूपित कर सकते हैं और लिख सकते हैं

यदि U त्रिज्या सदिश r है, तो dr / dt बिंदु का वेग है, जिसे समय के फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है। समय में फिर से अंतर करने पर हमें त्वरण प्राप्त होता है। मान लीजिए कि एक बिंदु अंजीर में दिखाए गए वक्र के साथ चलता है। 10. मान लीजिए वक्र के अनुदिश एक बिंदु द्वारा तय की गई दूरी s है। एक छोटे से समय अंतराल के दौरान डीटी, बिंदु वक्र के साथ दूरी डी को कवर करेगा; त्रिज्या वेक्टर की स्थिति बदल जाएगी डॉ. इसलिए Dr/Ds डॉ. की तरह निर्देशित एक वेक्टर है। आगे

वक्र के लिए इकाई वेक्टर स्पर्शरेखा है। यह इस तथ्य से देखा जा सकता है कि जैसे ही बिंदु Q, बिंदु P के पास पहुंचता है, PQ स्पर्शरेखा की ओर और Dr, D के पास पहुंचता है। किसी उत्पाद में अंतर करने के लिए सूत्र अदिश फलन के उत्पाद में अंतर करने के लिए सूत्रों के समान होते हैं; हालांकि, चूंकि क्रॉस उत्पाद एंटीकम्यूटेटिव है, इसलिए गुणन के क्रम को संरक्षित किया जाना चाहिए। इसलिए,

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि सदिश एक अदिश चर का एक फलन है, तो हम व्युत्पन्न को उसी तरह निरूपित कर सकते हैं जैसे अदिश फलन के मामले में।
वेक्टर और अदिश क्षेत्र। ढाल।भौतिकी में, आपको अक्सर वेक्टर या अदिश राशियों से निपटना पड़ता है जो किसी दिए गए क्षेत्र में एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न होती हैं। ऐसे क्षेत्रों को "फ़ील्ड" कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक अदिश तापमान या दबाव हो सकता है; वेक्टर एक गतिमान तरल पदार्थ की गति या आवेशों की प्रणाली का इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र हो सकता है। यदि हमने कुछ समन्वय प्रणाली को चुना है, तो दिए गए क्षेत्र में कोई भी बिंदु P (x, y, z) कुछ त्रिज्या वेक्टर r (= xi + yj + zk) से मेल खाता है और वेक्टर मात्रा U (r) या का मान भी है। इसके साथ जुड़े अदिश f (r) । मान लीजिए कि यू और एफ डोमेन में विशिष्ट रूप से परिभाषित हैं; वे। प्रत्येक बिंदु यू या एफ के एक और केवल एक मान से मेल खाता है, हालांकि अलग-अलग बिंदुओं के अलग-अलग मान हो सकते हैं। मान लीजिए कि हम उस गति का वर्णन करना चाहते हैं जिस पर U और f इस क्षेत्र में घूमते हुए बदलते हैं। सरल आंशिक व्युत्पन्न जैसे dU / dx और df / dy हमें शोभा नहीं देते क्योंकि वे चुने गए विशिष्ट निर्देशांक अक्षों पर निर्भर करते हैं। हालांकि, निर्देशांक अक्षों की पसंद से स्वतंत्र, एक वेक्टर अंतर ऑपरेटर को पेश करना संभव है; इस ऑपरेटर को "ग्रेडिएंट" कहा जाता है। मान लीजिए कि हम एक अदिश क्षेत्र f के साथ व्यवहार कर रहे हैं। सबसे पहले, एक उदाहरण के रूप में किसी देश क्षेत्र के रूपरेखा मानचित्र पर विचार करें। इस मामले में, f समुद्र तल से ऊँचाई है; समोच्च रेखाएँ समान f मान वाले बिंदुओं को जोड़ती हैं। इनमें से किसी भी रेखा के साथ चलते समय, f नहीं बदलता है; यदि हम इन रेखाओं के लम्बवत चलते हैं, तो f के परिवर्तन की दर अधिकतम होगी। हम प्रत्येक बिंदु को एक सदिश के साथ जोड़ सकते हैं जो गति f में अधिकतम परिवर्तन के परिमाण और दिशा को दर्शाता है; ऐसा नक्शा और इनमें से कुछ वैक्टर अंजीर में दिखाए गए हैं। 11. यदि हम क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु के लिए ऐसा करते हैं, तो हमें अदिश क्षेत्र f से जुड़ा एक सदिश क्षेत्र प्राप्त होता है। यह एक वेक्टर का क्षेत्र है जिसे "ग्रेडिएंट" f कहा जाता है, जिसे grad f या Cf (प्रतीक C को "नाबला" भी कहा जाता है) के रूप में लिखा जाता है।

जहां बिंदु उच्च-क्रम की शर्तों को दर्शाते हैं। इस व्यंजक को डॉट उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है

हम इस समानता के दाएं और बाएं पक्षों को डी से विभाजित करते हैं, और डी को शून्य होने देते हैं; फिर

जहां dr/ds चुनी हुई दिशा में इकाई वेक्टर है। कोष्ठक में व्यंजक चयनित बिंदु के आधार पर एक सदिश है। इस प्रकार, df/ds का अधिकतम मान होता है, जब dr/ds एक ही दिशा में इंगित करता है, कोष्ठक में व्यंजक ग्रेडिएंट है। इस प्रकार,

- एक वेक्टर परिमाण में बराबर और निर्देशांक के सापेक्ष परिवर्तन की अधिकतम दर के साथ दिशा में मेल खाता है। ग्रेडिएंट f को अक्सर के रूप में लिखा जाता है

इसका मतलब है कि ऑपरेटर सी अपने आप मौजूद है। कई मामलों में यह एक वेक्टर की तरह व्यवहार करता है और वास्तव में एक "वेक्टर अंतर ऑपरेटर" है - भौतिकी में सबसे महत्वपूर्ण अंतर ऑपरेटरों में से एक। इस तथ्य के बावजूद कि C में यूनिट वैक्टर i, j और k शामिल हैं, इसका भौतिक अर्थ चयनित समन्वय प्रणाली पर निर्भर नहीं करता है। Cf और f के बीच क्या संबंध है? सबसे पहले, मान लीजिए कि f किसी भी बिंदु पर क्षमता निर्धारित करता है। किसी भी छोटे विस्थापन डॉ के लिए, f का मान बदल जाएगा

यदि q एक मात्रा है (उदाहरण के लिए, द्रव्यमान, आवेश) को डॉ में स्थानांतरित कर दिया गया है, तो q को डॉ में ले जाकर किया गया कार्य बराबर है

चूंकि डॉ - विस्थापन, फिर qСf - बल; -Cf - तनाव (मात्रा की प्रति इकाई बल) f के साथ जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए U स्थिरवैद्युत विभव है; तब E विद्युत क्षेत्र की शक्ति है, जो सूत्र E = -CU द्वारा दी गई है। आइए मान लें कि यू मूल बिंदु पर स्थित क्यू कूलम्ब में एक बिंदु विद्युत चार्ज द्वारा बनाया गया है। त्रिज्या सदिश r के साथ बिंदु P (x, y, z) पर U का मान सूत्र द्वारा दिया गया है

जहाँ e0 मुक्त स्थान का परावैद्युत नियतांक है। इसलिए

जहाँ से यह निम्नानुसार है कि E दिशा r में कार्य करता है और इसका मान q / (4pe0r3) है। अदिश क्षेत्र को जानकर आप संबंधित सदिश क्षेत्र का निर्धारण कर सकते हैं। इसके विपरीत भी संभव है। गणितीय प्रसंस्करण के दृष्टिकोण से, स्केलर फ़ील्ड वेक्टर वाले की तुलना में संचालित करना आसान होता है, क्योंकि वे एक समन्वय फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट होते हैं, जबकि एक वेक्टर फ़ील्ड को तीन दिशाओं में वेक्टर के घटकों के अनुरूप तीन कार्यों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, प्रश्न उठता है: एक सदिश क्षेत्र दिया गया है, क्या हम संबंधित अदिश क्षेत्र को लिख सकते हैं?
विचलन और रोटर।हमने एक अदिश फलन पर C के कार्य करने के परिणाम को देखा है। यदि किसी सदिश पर C लगाया जाए तो क्या होगा? दो संभावनाएँ हैं: मान लीजिए U (x, y, z) एक सदिश है; तब हम सदिश और अदिश गुणनफल इस प्रकार बना सकते हैं:

इनमें से पहला व्यंजक एक अदिश है जिसे अपसरण U कहा जाता है (divU द्वारा निरूपित); दूसरा एक वेक्टर है जिसे रोटर यू (रोटयू द्वारा दर्शाया गया) कहा जाता है। ये विभेदक कार्य, विचलन और रोटर, गणितीय भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। कल्पना कीजिए कि U कुछ सदिश है और यह और इसके प्रथम अवकलज किसी क्षेत्र में सतत हैं। मान लीजिए P इस क्षेत्र में एक छोटी बंद सतह S से घिरा हुआ एक बिंदु है जो वॉल्यूम DV को सीमित करता है। मान लीजिए n प्रत्येक बिंदु पर इस सतह के लंबवत एक इकाई वेक्टर है (n सतह के चारों ओर घूमते समय दिशा बदलता है, लेकिन हमेशा एक इकाई लंबाई होती है); चलो n बाहर की ओर इशारा करते हैं। आइए दिखाते हैं कि

यहां S इंगित करता है कि ये इंटीग्रल पूरी सतह पर ले लिए गए हैं, da सतह S का एक तत्व है। सादगी के लिए, हम एक छोटे समानांतर चतुर्भुज के रूप में एक सुविधाजनक आकार S चुनेंगे (जैसा कि चित्र 12 में दिखाया गया है) जिसके किनारे Dx हैं। , उप और डीजे; बिंदु P समांतर चतुर्भुज का केंद्र है। आइए पहले समांतर चतुर्भुज के एक फलक के अनुदिश समीकरण (4) से समाकलन की गणना करें। सामने के चेहरे के लिए, n = i (इकाई वेक्टर x-अक्ष के समानांतर है); दा = DyDz. अग्रभाग से समाकलन में योगदान है

विपरीत दिशा में n = -i; यह चेहरा अभिन्न में योगदान देता है

टेलर के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम दो फलकों से कुल योगदान प्राप्त करते हैं

ध्यान दें कि DxDyDz = DV. इसी प्रकार, आप अन्य दो युग्मों के फलकों से योगदान की गणना कर सकते हैं। पूर्ण अभिन्न है

और अगर हम DV (r) 0 डालते हैं, तो उच्च क्रम की शर्तें गायब हो जाती हैं। सूत्र (2) के अनुसार, कोष्ठक में व्यंजक divU है, जो समानता (4) को सिद्ध करता है। समानता (5) को इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। आइए फिर से अंजीर का उपयोग करें। 12; तो सामने वाले से समाकलन में योगदान बराबर होगा

और, टेलर के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि दो फलकों से समाकलन में कुल योगदान का रूप है

वे। ये समीकरण (3) में रोटयू के व्यंजक से दो पद हैं। अन्य चार पदों को अन्य चार चेहरों के योगदान को ध्यान में रखकर प्राप्त किया जाएगा। संक्षेप में, इन अनुपातों का क्या अर्थ है? समानता पर विचार करें (4)। मान लीजिए कि यू वेग है (उदाहरण के लिए, एक तरल का)। तब nЧU da = Un da, जहां Un सतह पर वेक्टर U का सामान्य घटक है। इसलिए, Un da ​​समय की प्रति इकाई da के माध्यम से बहने वाले तरल की मात्रा है, और समय की प्रति इकाई S से बहने वाले तरल का आयतन है। फलस्वरूप,

बिंदु P के चारों ओर आयतन की एक इकाई के विस्तार की दर। इसलिए विचलन को इसका नाम मिला; यह उस गति को दर्शाता है जिसके साथ द्रव P से फैलता है (अर्थात विचलन करता है) P। रोटर U के भौतिक अर्थ की व्याख्या करने के लिए, बिंदु P के आसपास h ऊँचाई के एक छोटे बेलनाकार आयतन पर एक अन्य सतह का अभिन्न अंग पर विचार करें; समतल-समानांतर सतहों को हमारे द्वारा चुनी गई किसी भी दिशा में उन्मुख किया जा सकता है। मान लें कि k प्रत्येक सतह पर लंबवत इकाई वेक्टर है, और प्रत्येक सतह का क्षेत्रफल DA है; तब कुल आयतन DV = hDA (चित्र 13)। अब अभिन्न पर विचार करें

वैक्टर... कार्रवाईऊपरवैक्टर। अदिश,

वेक्टर, वैक्टर का मिश्रित उत्पाद।

1. वैक्टर, वैक्टर पर कार्रवाई।

बुनियादी परिभाषाएँ।

परिभाषा 1.इकाइयों की चुनी हुई प्रणाली में अपने संख्यात्मक मान द्वारा पूरी तरह से विशेषता वाली मात्रा को कहा जाता है अदिशया अदिश .

(शरीर का वजन, आयतन, समय, आदि)

परिभाषा 2.संख्यात्मक मान और दिशा की विशेषता वाली मात्रा कहलाती है वेक्टर या वेक्टर .

(विस्थापन, शक्ति, गति, आदि)

पदनाम:, या,।

एक ज्यामितीय वेक्टर एक दिशात्मक रेखा है।

एक वेक्टर के लिए - एक बिंदु लेकिन- प्रारंभ बिंदु में- वेक्टर का अंत।

परिभाषा 3.मापांक वेक्टर खंड AB की लंबाई है।

परिभाषा 4.एक सदिश जिसका मापांक शून्य के बराबर होता है, कहलाता है शून्य , संकेतक।

परिभाषा 5.समांतर रेखाओं या एक रेखा पर स्थित सदिश कहलाते हैं समरेख ... यदि दो संरेखी सदिशों की दिशा समान हो, तो वे कहलाते हैं सह-निर्देशन किया .

परिभाषा 6.दो वैक्टर माने जाते हैं बराबरी का , यदि वे सह-निर्देशन किया और निरपेक्ष मूल्य में बराबर हैं।

वैक्टर पर कार्रवाई।

1) वैक्टर का जोड़।

डीईएफ़। 6.योग दो वैक्टर और इन वैक्टरों पर बने समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है, जो उनके आवेदन के सामान्य बिंदु से शुरू होता है (समांतर चतुर्भुज नियम).

चित्र .1।

डीईएफ़। 7.तीन सदिशों का योग, इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का विकर्ण कहलाता है (बॉक्स नियम)।

डीईएफ़। आठ।अगर लेकिन, में, साथ मनमाना बिंदु हैं, तो + = (त्रिकोण नियम).

रेखा चित्र नम्बर 2

अतिरिक्त गुण।

1 हे . + = + (स्थानांतरण कानून)।

2 हे . + (+) = (+) + = (+) + (संयोजन कानून)।

3 हे . + (– ) + .

2) वैक्टर का घटाव।

डीईएफ़। नौ.अंतर्गत अंतर वैक्टर और वेक्टर को समझें = - ऐसा कि + = .

एक समांतर चतुर्भुज में, यह एक और है विकर्णएसडी (चित्र 1 देखें)।

3) किसी संख्या से सदिश का गुणन।

डीईएफ़। 10. उत्पाद द्वारा प्रति अदिश सदिश क वेक्टर कहा जाता है

= क = क ,

लंबा का , और जिसकी दिशा:

1. सदिश की दिशा के साथ मेल खाता है यदि क > 0;

2. सदिश की दिशा के विपरीत, यदि क < 0;

3. मनमाने ढंग से यदि क = 0.

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के गुण।

1 हे . (क + मैं ) = क + मैं .

क ( + ) = क + क .

2 हे . क (मैं ) = (केएलई ) .

3 हे . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

वेक्टर गुण।

डीईएफ़। ग्यारह।दो सदिश और कहलाते हैं समरेख अगर वे पर स्थित हैं समानांतर रेखाएंया कि एक सीधी रेखा।

एक अशक्त सदिश किसी भी सदिश के संरेखीय होता है।

प्रमेय 1.दो शून्येतर सदिश और समरेख, जब वे आनुपातिक होते हैं अर्थात।

= क , क एक अदिश है।

डीईएफ़। 12.तीन सदिश, कहलाते हैं समतलीय यदि वे किसी समतल के समानांतर हों या उसमें पड़े हों।

प्रमेय २।तीन शून्येतर सदिश, समतलीय, जब उनमें से एक अन्य दो का एक रैखिक संयोजन है, अर्थात।

= क + मैं , क , मैं - अदिश।

अक्ष के लिए वेक्टर का प्रक्षेपण।

प्रमेय 3.एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण (निर्देशित सीधी रेखा) मैंसदिश की लंबाई और सदिश की दिशा और अक्ष की दिशा के बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर है, अर्थात। = ए  सीओएस  ,  = ( , मैं).

2. वेक्टर निर्देशांक

डीईएफ़। 13.कुल्हाड़ियों के समन्वय के लिए वेक्टर अनुमान ओह, कहां, zकहा जाता है वेक्टर निर्देशांक। पदनाम: ए एक्स , ए आप , ए जेड .

वेक्टर लंबाई:

उदाहरण:वेक्टर की लंबाई की गणना करें।

समाधान:

बिंदुओं के बीच की दूरी तथा सूत्र द्वारा गणना: .

उदाहरण:बिंदु M (2,3, -1) और K (4,5,2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

निर्देशांक रूप में सदिशों पर क्रियाएँ।

दिए गए सदिश = ए एक्स , ए आप , ए जेडऔर = बी एक्स , बी आप , बी जेड .

1. (  )= ए एक्स  बी एक्स , ए आप  बी आप , ए जेड  बी जेड .

2.  =   ए एक्स ,  ए आप ,  ए जेड, कहाँ  एक अदिश है।

वैक्टर का डॉट उत्पाद।

परिभाषा:दो वैक्टर के डॉट उत्पाद के तहत और

इन सदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर संख्या को उनके बीच के कोण की कोज्या के रूप में समझा जाता है, अर्थात। = , वैक्टर और के बीच का कोण है।

डॉट उत्पाद गुण:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , अदिश कहाँ हैं।

6.दो सदिश लंब (लंबकोणीय) होते हैं यदि .

7.if और केवल अगर .

निर्देशांक रूप में डॉट उत्पाद है: , और कहां .

उदाहरण:वैक्टर और के डॉट उत्पाद का पता लगाएं

समाधान:

वेक्टर होल्डिंग वैक्टर।

परिभाषा: दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद को एक वेक्टर के रूप में समझा जाता है जिसके लिए:

मापांक इन सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है, अर्थात्। , जहां वैक्टर और के बीच का कोण

यह सदिश गुणन किए जा रहे सदिशों के लम्बवत है, अर्थात्।

यदि सदिश असंरेखीय हैं, तो वे सदिशों का दायां त्रिक बनाते हैं।

वेक्टर उत्पाद गुण:

(१) जब कारकों के क्रम को बदल दिया जाता है, तो वेक्टर उत्पाद मापांक को संरक्षित करते हुए, अपने संकेत को विपरीत में बदल देता है, अर्थात।

2 .सदिश वर्ग शून्य सदिश के बराबर है, अर्थात।

3 अदिश गुणनखंड को सदिश गुणनफल के चिह्न से बाहर ले जाया जा सकता है, अर्थात्।

4 किन्हीं तीन सदिशों के लिए, समानता

5 दो सदिशों की संरेखता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त और:

निर्देशांक रूप में वेक्टर उत्पाद।

यदि वैक्टर के निर्देशांक और , तो उनका क्रॉस उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है:

.

फिर एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

उदाहरण:कोने (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1) के साथ त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान: .

तब त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाएगी:

,

वैक्टर का मिश्रित उत्पाद।

परिभाषा:वैक्टर का मिश्रित (वेक्टर-स्केलर) उत्पाद सूत्र द्वारा निर्धारित एक संख्या है: .

मिश्रित कार्य गुण:

1. मिश्रित उत्पाद अपने कारकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के तहत नहीं बदलता है, अर्थात। .

2. दो आसन्न कारकों के क्रमपरिवर्तन पर, मिश्रित उत्पाद अपने चिन्ह को विपरीत में बदल देता है, अर्थात। ...

3 तीन सदिशों की समतलीयता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त : =0.

4 तीन वैक्टर का मिश्रित उत्पाद इन वैक्टरों पर बने समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है, यदि ये वैक्टर एक दायां ट्रिपल बनाते हैं, और एक ऋण चिह्न के साथ, यदि वे एक बाएं ट्रिपल बनाते हैं, अर्थात। .

यदि परिचित हो COORDINATESवैक्टर , तब मिश्रित कार्य सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

उदाहरण:वैक्टर के मिश्रित उत्पाद की गणना करें।

समाधान:

3. वेक्टर प्रणाली का आधार।

परिभाषा।वैक्टर की एक प्रणाली को एक ही स्थान से संबंधित कई वैक्टर के रूप में समझा जाता है आर.

टिप्पणी।यदि सिस्टम में वैक्टर की एक सीमित संख्या होती है, तो उन्हें अलग-अलग सूचकांकों के साथ एक ही अक्षर से दर्शाया जाता है।

उदाहरण।

परिभाषा। रूप का कोई सदिश = सदिशों का रैखिक संयोजन कहते हैं। संख्याएं रैखिक संयोजन के गुणांक हैं।

उदाहरण। .

परिभाषा... यदि वेक्टर वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है , तब सदिश को सदिशों के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है .

परिभाषा।वेक्टर सिस्टम को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्रयदि सिस्टम का कोई भी वैक्टर बाकी वैक्टर के रैखिक संयोजन की तरह नहीं हो सकता है। अन्यथा, सिस्टम को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है।

उदाहरण... वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर, वेक्टर के बाद से .

आधार का निर्धारण।वैक्टर की एक प्रणाली एक आधार बनाती है यदि:

1) यह रैखिक रूप से स्वतंत्र है,

2) अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर को इसके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण 1।अंतरिक्ष आधार:।

2. वैक्टर की प्रणाली में वैक्टर आधार हैं: वैक्टर के रूप में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

टिप्पणी।किसी दिए गए वेक्टर सिस्टम का आधार खोजने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) मैट्रिक्स में वैक्टर के निर्देशांक लिखें,

2) मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाने के लिए प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करना,

3) मैट्रिक्स की गैर-शून्य पंक्तियाँ सिस्टम का आधार होंगी,

4) आधार में वैक्टर की संख्या मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है।

वेक्टर के रूप में इस तरह की अवधारणा को लगभग सभी प्राकृतिक विज्ञानों में माना जाता है, और इसके पूरी तरह से अलग अर्थ हो सकते हैं, इसलिए सभी क्षेत्रों के लिए वेक्टर की एक स्पष्ट परिभाषा देना असंभव है। लेकिन आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं। तो एक वेक्टर - यह क्या है?

शास्त्रीय ज्यामिति में वेक्टर अवधारणा

ज्यामिति में एक वेक्टर एक खंड है जिसके लिए यह इंगित किया जाता है कि इसका कौन सा बिंदु शुरुआत है और कौन सा अंत है। अर्थात्, सरल शब्दों में, एक सदिश एक निर्देशित खंड है।

तदनुसार, एक वेक्टर निरूपित किया जाता है (क्या है - ऊपर चर्चा की गई), एक खंड की तरह, अर्थात्, लैटिन वर्णमाला के दो बड़े अक्षर, एक रेखा या तीर के साथ शीर्ष पर दाईं ओर इंगित करते हुए। इसे एक रेखा या तीर के साथ लैटिन वर्णमाला के एक छोटे अक्षर (छोटे) अक्षर से भी हस्ताक्षरित किया जा सकता है। तीर हमेशा दाईं ओर निर्देशित होता है और वेक्टर के स्थान के आधार पर नहीं बदलता है।

तो एक वेक्टर की दिशा और लंबाई होती है।

वेक्टर पदनाम में इसकी दिशा भी होती है। इसे नीचे दिए गए चित्र के रूप में व्यक्त किया गया है।

दिशा बदलने से वेक्टर का मान उलट जाता है।

एक वेक्टर की लंबाई उस खंड की लंबाई है जिससे यह बनता है। इसे वेक्टर के मॉड्यूल के रूप में नामित किया गया है। यह नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

तदनुसार, वेक्टर शून्य है, जिसकी लंबाई शून्य है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि शून्य सदिश एक बिंदु है, और इसमें प्रारंभ और अंत बिंदु मेल खाते हैं।

वेक्टर लंबाई - मान हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, यदि कोई खंड है, तो आवश्यक रूप से उसकी एक निश्चित लंबाई है या एक बिंदु है, तो उसकी लंबाई शून्य है।

एक बिंदु की अवधारणा ही बुनियादी है और इसकी कोई परिभाषा नहीं है।

वेक्टर जोड़

वैक्टर के लिए विशेष सूत्र और नियम हैं जिनका उपयोग आप जोड़ करने के लिए कर सकते हैं।

त्रिभुज नियम। इस नियम के अनुसार वैक्टर जोड़ने के लिए, समानांतर अनुवाद का उपयोग करके पहले वेक्टर के अंत और दूसरे की शुरुआत को जोड़ना और उन्हें कनेक्ट करना पर्याप्त है। परिणामी तीसरा वेक्टर अन्य दो के योग के बराबर होगा।

समांतर चतुर्भुज नियम। इस नियम के अनुसार जोड़ने के लिए, दोनों वैक्टर को एक बिंदु से खींचना आवश्यक है, और फिर उनमें से प्रत्येक के अंत से एक और वेक्टर खींचना है। अर्थात्, पहले वेक्टर से दूसरा खींचा जाएगा, और पहला दूसरे से खींचा जाएगा। परिणाम एक नया प्रतिच्छेदन बिंदु और एक समांतर चतुर्भुज है। यदि आप वैक्टर की शुरुआत और अंत के चौराहे बिंदु को जोड़ते हैं, तो परिणामी वेक्टर जोड़ का परिणाम होगा।

इसी तरह घटाव भी संभव है।

अंतर वैक्टर

इसी प्रकार सदिशों के योग से उनका घटाव करना संभव है। यह नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए सिद्धांत पर आधारित है।

यही है, इसके विपरीत एक वेक्टर के रूप में घटाए जाने वाले वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए, और अतिरिक्त के सिद्धांतों के अनुसार गणना करने के लिए पर्याप्त है।

साथ ही, किसी भी शून्येतर सदिश को किसी भी संख्या k से गुणा किया जा सकता है, इससे इसकी लंबाई k बार बदल जाएगी।

इनके अतिरिक्त, अन्य सदिश सूत्र भी हैं (उदाहरण के लिए, किसी सदिश की लंबाई को उसके निर्देशांकों के रूप में व्यक्त करने के लिए)।

पोजिशनिंग वैक्टर

निश्चित रूप से कई लोगों ने इस तरह की अवधारणा को एक कोलिनियर वेक्टर के रूप में देखा है। समरेखीयता क्या है?

सदिशों की संरेखता सीधी रेखाओं की समांतरता के तुल्य होती है। यदि दो सदिश एक-दूसरे के समानांतर सीधी रेखाओं पर या एक सीधी रेखा पर स्थित हों, तो ऐसे सदिश संरेख कहलाते हैं।

दिशा। एक दूसरे के संबंध में कोलिनियर वैक्टर सह-दिशात्मक या विपरीत रूप से निर्देशित हो सकते हैं, यह वैक्टर की दिशा से निर्धारित होता है। तदनुसार, यदि एक वेक्टर दूसरे के साथ सह-निर्देशित होता है, तो इसके विपरीत वेक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

पहला आंकड़ा दो विपरीत दिशा वाले सदिशों को दिखाता है और तीसरा, जो उनके संरेख नहीं है।

उपरोक्त गुणों की शुरूआत के बाद, समान सदिशों की परिभाषा देना संभव है - ये वे सदिश हैं जो एक दिशा में निर्देशित होते हैं और उन खंडों की लंबाई समान होती है जिनसे वे बनते हैं।

कई विज्ञानों में, त्रिज्या वेक्टर की अवधारणा का भी उपयोग किया जाता है। ऐसा सदिश दूसरे निश्चित बिंदु के सापेक्ष समतल पर एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करता है (अक्सर यह मूल बिंदु होता है)।

भौतिकी में वैक्टर

मान लीजिए, समस्या को हल करते समय एक स्थिति उत्पन्न हुई: शरीर 3 मीटर / सेकंड की गति से चलता है। इसका मतलब है कि शरीर एक सीधी रेखा के साथ एक विशिष्ट दिशा में चलता है, इसलिए यह चर एक वेक्टर मान होगा। समाधान के लिए मूल्य और दिशा दोनों को जानना जरूरी है, क्योंकि विचार के आधार पर गति 3 मी/से और -3 मीटर/सेकण्ड दोनों के बराबर हो सकती है।

सामान्य तौर पर, भौतिकी में एक वेक्टर का उपयोग किसी पिंड पर कार्य करने वाले बल की दिशा को इंगित करने और परिणामी को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

जब इन बलों को आकृति में इंगित किया जाता है, तो उन्हें इसके ऊपर वेक्टर के हस्ताक्षर के साथ तीरों द्वारा दर्शाया जाता है। शास्त्रीय रूप से, तीर की लंबाई उतनी ही महत्वपूर्ण है, इसकी मदद से वे संकेत देते हैं कि कौन सा बल अधिक दृढ़ता से कार्य करता है, लेकिन यह संपत्ति गौण है, आपको इस पर भरोसा नहीं करना चाहिए।

रैखिक बीजगणित और गणितीय विश्लेषण में वेक्टर

रैखिक रिक्त स्थान के तत्वों को सदिश भी कहा जाता है, लेकिन इस मामले में वे कुछ तत्वों का वर्णन करने वाली संख्याओं की एक क्रमबद्ध प्रणाली हैं। इसलिए इस मामले में दिशा का अब कोई महत्व नहीं रह गया है। शास्त्रीय ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण में वेक्टर की परिभाषा बहुत अलग है।

प्रोजेक्टिंग वैक्टर

प्रक्षेपित वेक्टर - यह क्या है?

अक्सर, एक सही और सुविधाजनक गणना के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ द्वि-आयामी या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थित एक वेक्टर को विघटित करना आवश्यक होता है। यह ऑपरेशन आवश्यक है, उदाहरण के लिए, यांत्रिकी में जब शरीर पर कार्य करने वाले बलों की गणना की जाती है। भौतिकी में वेक्टर का उपयोग अक्सर किया जाता है।

एक प्रक्षेपण करने के लिए, वेक्टर की शुरुआत और अंत से प्रत्येक समन्वय अक्ष पर लंबवत को गिराने के लिए पर्याप्त है, उन पर प्राप्त खंडों को अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण कहा जाएगा।

प्रक्षेपण की लंबाई की गणना करने के लिए, इसकी प्रारंभिक लंबाई को एक निश्चित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, जो एक मिनी-समस्या को हल करते समय प्राप्त होता है। वास्तव में, एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण मूल सदिश है, एक पैर प्रक्षेपण है, और दूसरा पैर लंबवत है।

परिभाषा एक क्रमबद्ध संग्रह (x 1, x 2, ..., x n) n वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं एन-आयामी वेक्टर, और संख्याएँ x i (i = 1, ..., n) हैं अवयव,या निर्देशांक,

उदाहरण। यदि, उदाहरण के लिए, एक निश्चित ऑटोमोबाइल प्लांट को 50 कारों, 100 ट्रकों, 10 बसों, कारों के लिए 50 स्पेयर पार्ट्स और प्रति शिफ्ट ट्रक और बसों के लिए 150 सेट का उत्पादन करना है, तो इस प्लांट का उत्पादन कार्यक्रम में लिखा जा सकता है एक सदिश का रूप (५०, १००, १०, ५०, १५०), जिसमें पाँच घटक हैं।

संकेतन। सदिशों को बड़े अक्षरों में या शीर्ष पर एक बार या तीर के साथ अक्षरों में दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, एया । दो वैक्टर को कहा जाता है बराबरी कायदि उनके घटकों की संख्या समान है और उनके संगत घटक समान हैं।

वेक्टर घटकों की अदला-बदली नहीं की जा सकती, उदाहरण के लिए, (3, 2, 5, 0, 1) और (2, 3, 5, 0, 1) अलग-अलग वैक्टर हैं।
वैक्टर पर संचालन।उत्पाद द्वाराएक्स= (x 1, x 2, ..., x n) एक वास्तविक संख्या द्वारा सदिश . कहा जाता है एक्स= (λ x 1, x 2, ..., x n)।

योगएक्स= (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन) और आप= (y 1, y 2, ..., y n) को सदिश कहा जाता है एक्स + वाई= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n)।

वैक्टर की जगह।एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष आर n को सभी n-आयामी सदिशों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए वास्तविक संख्याओं और योग द्वारा गुणन की संक्रियाओं को परिभाषित किया गया है।

आर्थिक चित्रण। एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का आर्थिक चित्रण: माल की जगह (माल) अंतर्गत मालहम कुछ अच्छी या सेवा को समझेंगे जो एक निश्चित स्थान पर एक निश्चित समय पर बिक्री के लिए गई थी। मान लीजिए कि हाथ पर वस्तुओं की एक सीमित संख्या है, n; उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए उनमें से प्रत्येक की मात्रा माल के एक सेट की विशेषता है

एक्स= (एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन),

जहां x i उपभोक्ता द्वारा खरीदे गए i-वें माल की मात्रा को दर्शाता है। हम मान लेंगे कि सभी वस्तुओं में मनमानी विभाज्यता का गुण होता है, ताकि उनमें से प्रत्येक की कोई भी गैर-ऋणात्मक राशि खरीदी जा सके। तब माल के सभी संभावित सेट माल के स्थान के सदिश होते हैं C = ( एक्स= (x 1, x 2, ..., x n) x i 0, i = 1, ..., n)।

रैखिक स्वतंत्रता। प्रणाली इ 1 , इ 2 , ... , इ m n-विमीय सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से आश्रितयदि संख्याएँ 1, λ 2, ..., m इस प्रकार हैं कि उनमें से कम से कम एक गैर-शून्य है जैसे कि λ 1 इ 1 + एम इएम = 0; अन्यथा, सदिशों की इस प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र, अर्थात्, संकेतित समानता तभी संभव है जब सभी 1 = 2 = ... = m = 0 हो। में वैक्टर की रैखिक निर्भरता का ज्यामितीय अर्थ आर 3, निर्देशित खंडों के रूप में व्याख्या की गई, निम्नलिखित प्रमेयों की व्याख्या करें।

प्रमेय 1. एक वेक्टर से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि यह वेक्टर शून्य है।

प्रमेय २। दो सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे संरेख (समानांतर) हों।

प्रमेय 3 ... तीन सदिशों के रैखिक रूप से आश्रित होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वे समतलीय हों (एक ही तल में हों)।

वैक्टर के बाएँ और दाएँ ट्रिपल। तीन गैर समतलीय सदिश ए, बी, सीबुलाया सहीयदि प्रेक्षक अपने उभयनिष्ठ मूल से सदिशों के सिरों को पार करता है ए, बी, सीदिखाए गए क्रम में, यह दक्षिणावर्त प्रतीत होता है। अन्यथा ए, बी, सी -लेफ्ट ट्रिपल... सदिशों के सभी दाएं (या बाएं) त्रिगुण कहलाते हैं समान रूप से उन्मुखी।

आधार और निर्देशांक। तिकड़ी इ 1, इ 2 , इ 3 गैर समतलीय सदिश in आर 3 कहा जाता है आधारऔर स्वयं वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 - बुनियादी... कोई वेक्टर एआधार वैक्टर के संदर्भ में विशिष्ट रूप से विस्तारित किया जा सकता है, जो कि रूप में दर्शाया गया है

लेकिन= एक्स 1 इ 1 + एक्स 2 इ 2 + एक्स 3 इ 3, (1.1)

विस्तार (1.1) में x 1, x 2, x 3 की संख्याएँ कहलाती हैं COORDINATESएआधार में इ 1, इ 2 , इ 3 और निरूपित ए(एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3)।

ऑर्थोनॉर्मल आधार। अगर वैक्टर इ 1, इ 2 , इ 3 जोड़ीवार लंबवत हैं और उनमें से प्रत्येक की लंबाई एक के बराबर है, तो आधार को कहा जाता है ऑर्थोनॉर्मल, और निर्देशांक x 1, x 2, x 3 - आयताकार।लम्बवत आधार के आधार सदिशों को द्वारा निरूपित किया जाएगा मैं, जे, के.

हम मान लेंगे कि अंतरिक्ष में आर 3 कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक की सही प्रणाली का चयन किया गया है (0, मैं, जे, के}.

वेक्टर उत्पाद।वेक्टर उत्पादलेकिनप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है सी, जो निम्नलिखित तीन शर्तों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

1. वेक्टर लंबाई सीसंख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है एतथा बी,अर्थात।
सी= | ए || बी |पाप ( ए^बी).

2. वेक्टर सीप्रत्येक वैक्टर के लंबवत एतथा बी।

3. वैक्टर ए, बीतथा सीसंकेतित क्रम में लिया गया एक दाहिने हाथ का त्रिक बनता है।

एक वेक्टर उत्पाद के लिए सीसंकेतन पेश किया गया है सी =[अब] या
सी = ए × बी।

अगर वैक्टर एतथा बीसमरेख, फिर पाप ( ए ^ बी) = 0 और [ अब] = 0, विशेष रूप से, [ आ] = 0. यूनिट वैक्टर के वेक्टर उत्पाद: [ आईजेयू]=क, [जेके] = मैं, [किओ]=जे.

अगर वैक्टर एतथा बीआधार में दिया गया मैं, जे, के COORDINATES ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1, बी 2, बी 3), फिर

मिश्रित कार्य। यदि दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद लेकिनतथा बीअदिश को तीसरे सदिश से गुणा किया जाता है सी,तो तीन सदिशों का ऐसा गुणनफल कहलाता है मिश्रित कार्यऔर प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है ए बी सी।

अगर वैक्टर ए, बीतथा सीआधार में मैं, जे, केउनके निर्देशांक द्वारा दिया गया
ए(ए 1, ए 2, ए 3), बी(बी 1, बी 2, बी 3), सी(सी 1, सी 2, सी 3), फिर

.

मिश्रित उत्पाद की एक सरल ज्यामितीय व्याख्या होती है - यह इन तीन वैक्टरों पर बने समानांतर चतुर्भुज के आयतन के निरपेक्ष मान के बराबर एक अदिश राशि है।

यदि सदिश दाहिनी ओर त्रिक बनाते हैं, तो उनका मिश्रित उत्पाद संकेतित आयतन के बराबर एक धनात्मक संख्या है; अगर तीन ए, बी, सी -बाएं, फिर ए बी सी<0 и V = - ए बी सी, इसलिए वी = |ए बी सी |.

पहले अध्याय की समस्याओं में सामने आए वैक्टर के निर्देशांक सही ऑर्थोनॉर्मल आधार के सापेक्ष दिए गए हैं। इकाई सदिश सदिश की दिशा में लेकिन,प्रतीक द्वारा निरूपित लेकिनओ प्रतीक आर=ओएमबिंदु M के त्रिज्या सदिश द्वारा निरूपित, प्रतीक a, AB या |ए |, |एबी |वैक्टर के मॉड्यूल लेकिनतथा एबी.

उदाहरण 1.2. वैक्टर के बीच का कोण खोजें ए= 2एम+4एनतथा बी= एम-एन, कहाँ पे एमतथा एन -इकाई वैक्टर और कोण के बीच एमतथा एन 120 पी के बराबर है।

समाधान... हमारे पास है: cos = अब/ एबी, एबी =(2एम+4एन) (एम-एन) = 2एम 2 - 4एन 2 +2एम.एन.=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0.5) = -3; ए = ; ए 2 = (2एम+4एन) (2एम+4एन) =
= 4एम 2 +16एम.एन.+16एन 2 = 4 + 16 (-0.5) + 16 = 12, तो एक =। बी = ; बी 2 =
= (एम-एन)(एम-एन) = एम 2 -2एम.एन.+एन 2 = १-२ (-०.५) +1 = ३, तो b =. अंत में, हमारे पास है: cos == -1/2, = 120 o।

उदाहरण 1.3।जानने वाले वैक्टर अब(-3, -2.6) और ईसा पूर्व(-2,4,4), त्रिभुज ABC की ऊंचाई AD की लंबाई परिकलित करें।

समाधान... त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को S से निरूपित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
एस = 1/2 ई.पू. तब AD = 2S / BC, BC = = = 6,
एस = 1/2 | एबी ×एसी |. एसी = एबी + बीसी, इसलिए, वेक्टर एसीनिर्देशांक हैं
.