नासा जुलाई 2020 में मंगल पर एक अभियान शुरू करेगा। अंतरिक्ष यान अभियान के सभी पंजीकृत सदस्यों के नामों के साथ एक इलेक्ट्रॉनिक वाहक मंगल पर पहुंचाएगा।

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इन कोड प्रकारों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट किया जाना चाहिए, अधिमानतः टैग के बीच तथाया टैग के ठीक बाद ... पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पृष्ठ अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

मैथजैक्स को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: अपनी साइट के डैशबोर्ड में, तीसरे पक्ष के जावास्क्रिप्ट कोड को सम्मिलित करने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर प्रस्तुत लोडिंग कोड के पहले या दूसरे संस्करण की प्रतिलिपि बनाएँ, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को अतुल्यकालिक रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब, MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी वेबसाइट के वेब पेजों में गणित के फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

एक और नए साल की पूर्व संध्या ... खिड़की के फलक पर ठंढा मौसम और बर्फ के टुकड़े ... इस सब ने मुझे फिर से लिखने के लिए प्रेरित किया ... भग्न, और वोल्फ्राम अल्फा इसके बारे में क्या जानता है। इसके बारे में एक दिलचस्प लेख है, जिसमें द्वि-आयामी फ्रैक्टल संरचनाओं के उदाहरण हैं। यहां हम 3डी फ्रैक्टल्स के अधिक जटिल उदाहरण देखेंगे।

एक फ्रैक्टल को एक ज्यामितीय आकृति या शरीर के रूप में देखा (वर्णित) किया जा सकता है (जिसका अर्थ है कि दोनों एक सेट हैं, इस मामले में, बिंदुओं का एक सेट), जिसका विवरण मूल आकृति के समान आकार है। यानी यह एक स्व-समान संरचना है, जिसके विवरण पर विचार करने पर हम बिना आवर्धन के समान आकार देखेंगे। जबकि एक नियमित ज्यामितीय आकार (भग्न नहीं) के मामले में, जब हम ज़ूम इन करते हैं, तो हम ऐसे विवरण देखेंगे जो मूल आकार की तुलना में सरल आकार के होते हैं। उदाहरण के लिए, उच्च पर्याप्त आवर्धन पर, दीर्घवृत्त का भाग एक रेखा खंड जैसा दिखता है। भग्न के साथ ऐसा नहीं होता है: उनमें किसी भी वृद्धि के साथ, हम फिर से वही जटिल आकार देखेंगे, जो प्रत्येक वृद्धि के साथ बार-बार दोहराएगा।

फ्रैक्टल्स के विज्ञान के संस्थापक बेनोइट मंडेलब्रॉट ने अपने लेख फ्रैक्टल्स एंड आर्ट फॉर साइंस में लिखा है: "फ्रैक्टल्स ज्यामितीय आकार होते हैं जो उनके विवरण में उनके सामान्य रूप में जटिल होते हैं। फ्रैक्टल का हिस्सा आकार में बढ़ाया जाएगा संपूर्ण, यह संपूर्ण, या बिल्कुल, या शायद थोड़ी विकृति के साथ दिखाई देगा।"

और इसे हल करने के लिए, आपको विषय का न्यूनतम ज्ञान होना चाहिए। अगला स्कूल वर्ष समाप्त हो रहा है, हर कोई छुट्टी पर जाना चाहता है, और इस क्षण को करीब लाने के लिए, मैं तुरंत व्यवसाय में उतर जाता हूं:

आइए क्षेत्र से शुरू करते हैं। स्थिति में निर्दिष्ट क्षेत्र है सीमित बंद किया हुआ विमान पर बिंदुओं का सेट। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज से घिरे बिंदुओं का एक समूह, जिसमें संपूर्ण त्रिभुज शामिल है (यदि से सीमाओं"गौज आउट" कम से कम एक बिंदु, फिर क्षेत्र बंद होना बंद हो जाएगा)... व्यवहार में, आयताकार, गोल और थोड़े अधिक जटिल आकार के क्षेत्र भी होते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में सख्त परिभाषाएं दी गई हैं सीमाएं, अलगाव, सीमाएं, आदि।, लेकिन मुझे लगता है कि हर कोई सहज स्तर पर इन अवधारणाओं से अवगत है, और अब और अधिक की आवश्यकता नहीं है।

एक सपाट क्षेत्र को आमतौर पर एक पत्र द्वारा दर्शाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, इसे विश्लेषणात्मक रूप से सेट किया जाता है - कई समीकरणों द्वारा (जरूरी नहीं कि रैखिक हो); कम अक्सर असमानता। विशिष्ट कारोबार: "बंद क्षेत्र, लाइनों से घिरा हुआ।"

विचाराधीन कार्य का एक अभिन्न अंग ड्राइंग में एक क्षेत्र का निर्माण है। यह कैसे करना है? सभी सूचीबद्ध रेखाएँ खींचना आवश्यक है (इस मामले में, 3 .) सीधा) और विश्लेषण करें कि क्या हुआ। वांछित क्षेत्र आमतौर पर थोड़ा रचा हुआ होता है, और इसकी सीमा को एक बोल्ड लाइन के साथ हाइलाइट किया जाता है:


वही क्षेत्र सेट किया जा सकता है और रैखिक असमानताएं:, जो किसी कारण से अधिक बार एक प्रगणित सूची के रूप में लिखा जाता है, और नहीं प्रणाली.
चूँकि सीमा क्षेत्र की है, सभी असमानताएँ, निश्चित रूप से, ढीला.

और अब समस्या का सार। मूल से सीधे आपकी ओर फैली एक धुरी की कल्पना करें। एक समारोह पर विचार करें कि निरंतर सभी मेंक्षेत्र का बिंदु। इस फ़ंक्शन का ग्राफ कुछ का प्रतिनिधित्व करता है सतह, और एक छोटी सी खुशी इस बात में निहित है कि आज की समस्या को हल करने के लिए हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि यह सतह कैसी दिखती है। यह उच्च, निचला, विमान को प्रतिच्छेदित किया जा सकता है - यह सब महत्वपूर्ण नहीं है। और निम्नलिखित महत्वपूर्ण है: के अनुसार वीयरस्ट्रैस प्रमेय, निरंतरमें सीमित बंदक्षेत्र, फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंचता है (उच्चतम")और सबसे छोटा (सबसे कम")मूल्य जो आप खोजना चाहते हैं। ऐसे मूल्य प्राप्त होते हैं यामें स्थिर बिंदु, क्षेत्र से संबंधितडी , याइस क्षेत्र की सीमा पर स्थित बिंदुओं पर। एक सरल और पारदर्शी समाधान एल्गोरिथ्म का अनुसरण करता है:

उदाहरण 1

एक सीमित संलग्न क्षेत्र में

समाधान: सबसे पहले, आपको ड्राइंग में क्षेत्र को चित्रित करना होगा। दुर्भाग्य से, मेरे लिए समस्या का एक इंटरैक्टिव मॉडल बनाना तकनीकी रूप से कठिन है, और इसलिए मैं तुरंत अंतिम उदाहरण दूंगा, जो अध्ययन के दौरान पाए गए सभी "संदिग्ध" बिंदुओं को दर्शाता है। आमतौर पर वे पाए जाने पर एक के बाद एक चिपकाए जाते हैं:

प्रस्तावना के आधार पर, निर्णय को दो बिंदुओं में विभाजित करना सुविधाजनक है:

I) स्थिर बिंदु खोजें। यह एक मानक क्रिया है जिसे हमने पाठ में बार-बार किया है। कई चर का चरम:

स्थिर बिंदु मिला अंतर्गत आता हैक्षेत्र: (इसे ड्राइंग पर चिह्नित करें), जिसका अर्थ है कि हमें इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करनी चाहिए:

- जैसा कि लेख में है खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, मैं महत्वपूर्ण परिणामों को बोल्ड में हाइलाइट करूंगा। एक पेंसिल के साथ एक नोटबुक में उन्हें रेखांकित करना सुविधाजनक है।

हमारी दूसरी खुशी पर ध्यान दें - चेक करने का कोई मतलब नहीं है चरम के लिए पर्याप्त स्थिति... क्यों? भले ही किसी बिंदु पर फ़ंक्शन पहुंचता है, उदाहरण के लिए, स्थानीय न्यूनतम, तो इसका अभी भी मतलब नहीं है कि परिणामी मूल्य होगा कम से कमपूरे क्षेत्र में (पाठ की शुरुआत देखें बिना शर्त एक्स्ट्रेमा के बारे में) .

क्या होगा यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है? लगभग कुछ नहीं! यह ध्यान दिया जाना चाहिए और अगले बिंदु पर जाना चाहिए।

II) क्षेत्र की सीमा का अन्वेषण करें।

चूंकि सीमा में एक त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं, इसलिए अध्ययन को 3 उपखंडों में विभाजित करना सुविधाजनक है। लेकिन बेहतर है कि इसे किसी भी तरह से न करें। मेरे दृष्टिकोण से, सबसे पहले समन्वय अक्षों के समानांतर खंडों पर विचार करना अधिक फायदेमंद है, और सबसे पहले - जो स्वयं कुल्हाड़ियों पर पड़े हैं। क्रियाओं के पूरे क्रम और तर्क को समझने के लिए, "एक बार में" के अंत का अध्ययन करने का प्रयास करें:

1) आइए त्रिभुज के निचले हिस्से से निपटें। ऐसा करने के लिए, हम सीधे फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं:

वैकल्पिक रूप से, आप इसे इस तरह व्यवस्थित कर सकते हैं:

ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि निर्देशांक तल (जो समीकरण द्वारा भी दिया गया है)"नक्काशी" बाहर सतहएक "स्थानिक" परवलय, जिसका शीर्ष तुरंत संदेह के दायरे में आता है। चलो पता करते हैं वह कहाँ है:

- प्राप्त मूल्य क्षेत्र में "मिल गया", और यह अच्छी तरह से बिंदु पर हो सकता है (ड्राइंग में निशान)फ़ंक्शन पूरे क्षेत्र में उच्चतम या निम्नतम मान तक पहुंचता है। एक तरह से या किसी अन्य, हम गणना करते हैं:

अन्य "उम्मीदवार", निश्चित रूप से, खंड के अंत हैं। हम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं (ड्राइंग में निशान):

यहाँ, वैसे, आप "स्ट्रिप्ड-डाउन" संस्करण का उपयोग करके एक मौखिक मिनी-चेक कर सकते हैं:

2) त्रिभुज के दाहिने हिस्से का अध्ययन करने के लिए, हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और "चीजों को वहां क्रम में रखते हैं":

यहां हम खंड के पहले से संसाधित अंत को "रिंग आउट" करते हुए तुरंत एक मोटा चेक करेंगे:
, उत्तम।

ज्यामितीय स्थिति पिछले बिंदु से संबंधित है:

- प्राप्त मूल्य भी "हमारे हितों के क्षेत्र में शामिल" है, जिसका अर्थ है कि हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि फ़ंक्शन उस बिंदु पर क्या है जो दिखाई देता है:

आइए खंड के दूसरे छोर की जांच करें:

फ़ंक्शन का उपयोग करना , चलो पता करते हैं:

3) शायद हर कोई जानता है कि शेष पक्ष का पता कैसे लगाया जाए। हम फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

खंड समाप्त होता है पहले से ही शोध किया गया है, लेकिन मसौदे पर हम अभी भी जांचते हैं कि क्या हमें फ़ंक्शन सही ढंग से मिला है :
- 1 उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है;
- दूसरे उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है।

यह पता लगाना बाकी है कि क्या सेगमेंट के अंदर कुछ दिलचस्प है:

- वहाँ है! समीकरण में एक सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें इस "रुचिकरता" का कोटि प्राप्त होता है:

हम ड्राइंग में एक बिंदु को चिह्नित करते हैं और फ़ंक्शन का संबंधित मान पाते हैं:

आइए "बजट" संस्करण के अनुसार गणनाओं की जांच करें :
, गण।

और अंतिम चरण: सावधानी से हम सभी "वसा" संख्याओं को देखते हैं, मैं अनुशंसा करता हूं कि शुरुआती भी एक सूची बनाएं:

जिसमें से हम सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों का चयन करते हैं। उत्तरहम खोजने की समस्या की शैली में लिखते हैं खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:

बस मामले में, मैं फिर से टिप्पणी करूंगा ज्यामितीय अर्थनतीजा:
- यहाँ क्षेत्र में सतह का उच्चतम बिंदु है;
- यहाँ क्षेत्र में सतह का सबसे निचला बिंदु है।

विश्लेषण की गई समस्या में, हमने 7 "संदिग्ध" बिंदुओं की पहचान की, लेकिन उनकी संख्या कार्य से कार्य में भिन्न होती है। त्रिकोणीय क्षेत्र के लिए, न्यूनतम "अनुसंधान सेट" तीन अंक है। यह तब होता है जब कोई फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, सेट करता है विमान- यह बिल्कुल स्पष्ट है कि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, और फ़ंक्शन केवल त्रिभुज के शीर्षों पर सबसे बड़े/छोटे मूल्यों तक पहुंच सकता है। लेकिन एक या दो बार ऐसे बहुत से उदाहरण हैं - आमतौर पर आपको कुछ से निपटना पड़ता है दूसरे क्रम की सतह.

यदि आप ऐसे कार्यों को थोड़ा हल करते हैं, तो सिर त्रिकोण से गोल हो सकता है, और इसलिए मैंने आपके लिए इसे चौकोर बनाने के लिए असामान्य उदाहरण तैयार किए हैं :))

उदाहरण 2

सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान खोजें लाइनों से घिरे एक बंद क्षेत्र में

उदाहरण 3

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें।

क्षेत्र की सीमा की जांच के लिए तर्कसंगत क्रम और तकनीक पर विशेष ध्यान दें, साथ ही मध्यवर्ती जांच की श्रृंखला, जो लगभग पूरी तरह से कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से बच जाएगी। सामान्यतया, आप इसे अपनी इच्छानुसार हल कर सकते हैं, लेकिन कुछ समस्याओं में, उदाहरण के लिए, उसी उदाहरण 2 में, आपके जीवन को महत्वपूर्ण रूप से जटिल बनाने का हर मौका है। पाठ के अंत में असाइनमेंट पूरा करने का एक अनुमानित उदाहरण।

आइए समाधान एल्गोरिदम को व्यवस्थित करें, अन्यथा, एक मकड़ी के रूप में मेरे परिश्रम के साथ, यह किसी भी तरह 1 उदाहरण से टिप्पणियों के लंबे धागे में खो गया:

- पहले चरण में, हम एक क्षेत्र का निर्माण करते हैं, इसे छायांकित करना वांछनीय है, और एक बोल्ड लाइन के साथ सीमा को उजागर करना। समाधान के दौरान, ऐसे बिंदु दिखाई देंगे जिन्हें ड्राइंग पर रखने की आवश्यकता है।

- स्थिर बिंदु खोजें और फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें केवल उनमें सेजो इलाके के हैं। हम पाठ में प्राप्त मूल्यों का चयन करते हैं (उदाहरण के लिए, हम उन्हें एक पेंसिल के साथ रेखांकित करते हैं)। यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है, तो हम इस तथ्य को एक चिह्न या मौखिक रूप से चिह्नित करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, तो हम एक लिखित निष्कर्ष निकालते हैं कि वे अनुपस्थित हैं। किसी भी स्थिति में, इस आइटम को छोड़ा नहीं जा सकता!

- आइए क्षेत्र की सीमा का पता लगाएं। सबसे पहले, निर्देशांक अक्षों के समानांतर सीधी रेखाओं से निपटना फायदेमंद होता है (यदि कोई)... हम "संदिग्ध" बिंदुओं पर गणना किए गए फ़ंक्शन के मूल्यों को भी उजागर करते हैं। समाधान तकनीक के बारे में ऊपर बहुत कुछ कहा गया है, और नीचे कुछ और कहा जाएगा - पढ़ें, फिर से पढ़ें, गहराई से पढ़ें!

- चयनित संख्याओं में से सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का चयन करें और उत्तर दें। कभी-कभी ऐसा होता है कि फ़ंक्शन एक साथ कई बिंदुओं पर ऐसे मूल्यों तक पहुंचता है - इस मामले में, इन सभी बिंदुओं को उत्तर में प्रतिबिंबित किया जाना चाहिए। चलो, उदाहरण के लिए, और यह सबसे छोटा मूल्य निकला। तब हम लिखते हैं कि

अंतिम उदाहरण अन्य उपयोगी विचारों के लिए समर्पित हैं जो व्यवहार में काम आएंगे:

उदाहरण 4

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें .

मैंने लेखक के सूत्र को रखा है, जिसमें क्षेत्र को दोहरी असमानता के रूप में दिया गया है। इस स्थिति को इस समस्या के लिए एक समान प्रणाली या अधिक पारंपरिक रूप में लिखा जा सकता है:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि जब से अरेखीयजिन असमानताओं का हमने सामना किया, और यदि आप अंकन के ज्यामितीय अर्थ को नहीं समझते हैं, तो कृपया स्थिति को अभी स्थगित और स्पष्ट न करें ;-)

समाधान, हमेशा की तरह, यह एक ऐसे क्षेत्र के निर्माण से शुरू होता है, जो एक प्रकार का "एकमात्र" होता है:

हम्म, कभी-कभी आपको न केवल विज्ञान के ग्रेनाइट को कुतरना पड़ता है…।

I) स्थिर बिंदु खोजें:

सिस्टम-इडियट का सपना :)

एक स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित है, अर्थात् इसकी सीमा पर स्थित है।

और इसलिए, यह कुछ भी नहीं है ... सबक खुशी से चला गया - यही सही चाय पीने का मतलब है =)

II) क्षेत्र की सीमा का अन्वेषण करें। आगे की हलचल के बिना, चलिए एब्सिस्सा से शुरू करते हैं:

१) यदि, तो

पता लगाएं कि परवलय का शीर्ष कहां है:
- ऐसे क्षणों की सराहना करें - "हिट" ठीक उसी बिंदु पर जहां से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। लेकिन हम अभी भी जाँच करना नहीं भूलते हैं:

आइए खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

2) हम "एकमात्र" "एक बैठक में" के निचले हिस्से से निपटेंगे - बिना किसी कॉम्प्लेक्स के हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं, इसके अलावा, हम केवल सेगमेंट में रुचि लेंगे:

द कंट्रोल:

यह पहले से ही घुमावदार ट्रैक पर नीरस ड्राइविंग के लिए कुछ पुनरुद्धार लाता है। आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

हमने सलुझाया द्विघात समीकरण, यह एक और याद है? ... हालाँकि, याद रखें, निश्चित रूप से, अन्यथा आपने इन पंक्तियों को नहीं पढ़ा होगा =) यदि पिछले दो उदाहरणों में दशमलव अंशों में गणना सुविधाजनक थी (जो, वैसे, एक दुर्लभ वस्तु है), यहाँ हम प्रतीक्षा कर रहे हैं सामान्य साधारण अंश। हम "x" जड़ों को ढूंढते हैं और "उम्मीदवार" बिंदुओं के संबंधित "गेम" निर्देशांक निर्धारित करने के लिए समीकरण का उपयोग करते हैं:


आइए पाए गए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:

फ़ंक्शन को स्वयं जांचें।

अब हम जीती हुई ट्राफियों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं और लिखते हैं उत्तर:

ये "उम्मीदवार" हैं, इसलिए "उम्मीदवार"!

एक स्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें बंद क्षेत्र में

घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ एक प्रविष्टि इस तरह पढ़ती है: "बिंदुओं का एक सेट, ऐसा है कि"।

कभी-कभी ऐसे उदाहरणों में वे उपयोग करते हैं लैग्रेंज गुणक विधि, लेकिन इसे लागू करने की वास्तविक आवश्यकता उत्पन्न होने की संभावना नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कोई फ़ंक्शन समान डोमेन "डी" के साथ दिया जाता है, तो उसमें प्रतिस्थापन के बाद - बिना किसी कठिनाई के व्युत्पन्न के साथ; इसके अलावा, ऊपरी और निचले अर्धवृत्त को अलग-अलग विचार करने की आवश्यकता के बिना सब कुछ "एक पंक्ति में" (संकेतों के साथ) तैयार किया गया है। लेकिन, निश्चित रूप से, अधिक जटिल मामले हैं, जहां लैग्रेंज फ़ंक्शन के बिना (जहां, उदाहरण के लिए, वृत्त का समान समीकरण)इसे प्रबंधित करना मुश्किल है - एक अच्छे आराम के बिना करना कितना मुश्किल है!

सत्र को पास करना और अगले सीज़न में जल्द ही आपसे मिलना सभी के लिए अच्छा है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान: ड्राइंग में क्षेत्र को चित्रित करें:

इस सेवा के साथ आप कर सकते हैं सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें Word में समाधान के डिज़ाइन के साथ एक चर f (x)। यदि फलन f (x, y) दिया गया है, तो दो चरों के फलन का चरम ज्ञात करना आवश्यक है। आप फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल भी ज्ञात कर सकते हैं।

समारोह प्रवेश नियम:

एक चर के एक समारोह के चरम के लिए एक आवश्यक शर्त

एक चर के एक समारोह के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति

एफ "0 (एक्स *) = 0
एफ "" 0 (एक्स *)> 0

तब बिंदु x * फ़ंक्शन के स्थानीय (वैश्विक) न्यूनतम का बिंदु है।

यदि बिंदु x * पर निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:

एफ "0 (एक्स *) = 0
एफ "" 0 (एक्स *)< 0

तब बिंदु x * स्थानीय (वैश्विक) अधिकतम है।

उदाहरण 1। फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें: खंड पर।
समाधान।

एक महत्वपूर्ण बिंदु x 1 = 2 (f '(x) = 0)। यह बिंदु रेखाखंड के अंतर्गत आता है। (बिंदु x = 0 क्रांतिक नहीं है, क्योंकि 0∉)।
हम खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं।
एफ (1) = 9, एफ (2) = 5/2, एफ (3) = 3 8/81
उत्तर: f मिनट = 5/2 x = 2 पर; f अधिकतम = 9 x = 1 . पर

उदाहरण # २। उच्च कोटि के अवकलजों का प्रयोग करते हुए, फलन y = x-2sin (x) का चरम ज्ञात कीजिए।
समाधान।
फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: y '= 1-2cos (x)। महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 1-cos (x) = 2, cos (x) = ½, x = ± / 3 + 2πk, k∈Z। हम पाते हैं y '' = 2sin (x), गणना करें, इसलिए x = / 3 + 2πk, k∈Z फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं; , इसलिए x = - / 3 + 2πk, k∈Z फलन के अधिकतम बिंदु हैं।

उदाहरण संख्या 3. बिंदु x = 0 के आस-पास फलन के चरम का अन्वेषण करें।
समाधान। यहां फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को ढूंढना आवश्यक है। यदि चरम x = 0 है, तो उसका प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) ज्ञात कीजिए। यदि पाए गए बिंदुओं में से कोई x = 0 नहीं है, तो फ़ंक्शन f (x = 0) के मान की गणना करें।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब किसी दिए गए बिंदु के प्रत्येक पक्ष पर व्युत्पन्न अपना संकेत नहीं बदलता है, तो अलग-अलग कार्यों के लिए भी संभावित स्थितियां समाप्त नहीं होती हैं: ऐसा हो सकता है कि बिंदु x 0 के एक तरफ मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए या दोनों पक्षों पर व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न। इन बिंदुओं पर, चरम के लिए कार्यों का अध्ययन करने के लिए अन्य विधियों को लागू करना होगा।

उदाहरण संख्या 4. संख्या 49 को दो पदों में विभाजित करें, जिसका गुणनफल सबसे बड़ा होगा।
समाधान। आइए हम x को पहले पद के रूप में निरूपित करें। तब (49-x) दूसरा पद है।
उत्पाद अधिकतम होगा: x (49-x) → अधिकतम

आइए देखें कि ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को कैसे एक्सप्लोर किया जाए। यह पता चला है कि ग्राफ को देखते हुए, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें रूचि देता है, अर्थात्:

• फंक्शन डोमेन
• फंक्शन रेंज
• फंक्शन जीरो
• बढ़ते और घटते अंतराल
• अधिकतम और न्यूनतम अंक
• खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।

आइए शब्दावली को स्पष्ट करें:

सूच्याकार आकृति का भुजबिंदु का क्षैतिज निर्देशांक है।
तालमेलऊर्ध्वाधर निर्देशांक है।
एब्सिस्सा अक्ष- एक क्षैतिज अक्ष, जिसे अक्सर अक्ष कहा जाता है।
शाफ़्ट- ऊर्ध्वाधर अक्ष, या अक्ष।

तर्कस्वतंत्र चर है जिस पर फ़ंक्शन के मान निर्भर करते हैं। सबसे अधिक बार संकेत दिया।
दूसरे शब्दों में, हम स्वयं चुनते हैं, कार्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं।

कार्यक्षेत्रफ़ंक्शन - तर्क के उन (और केवल उन) मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मौजूद है।
यह द्वारा इंगित किया गया है: या।

हमारे आंकड़े में, फ़ंक्शन का डोमेन एक खंड है। यह इस खंड पर है कि फ़ंक्शन का ग्राफ तैयार किया गया है। केवल यहाँ यह फ़ंक्शन मौजूद है।

फंक्शन रेंजमूल्यों का समूह है जो एक चर लेता है। हमारी तस्वीर में, यह एक खंड है - निम्नतम से उच्चतम मूल्य तक।

फंक्शन जीरो- ऐसे बिंदु जहां फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है, अर्थात। हमारे आंकड़े में, ये बिंदु हैं और।

फ़ंक्शन मान सकारात्मक हैंकहाँ पे । हमारे आंकड़े में, ये अंतराल हैं और।
फ़ंक्शन मान नकारात्मक हैंकहाँ पे । हमारे पास यह अंतराल (या अंतराल) से है।

सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं बढ़ते और घटते कार्यकिसी सेट पर। एक समुच्चय के रूप में, आप एक खंड, एक अंतराल, अंतरालों का संघ या संपूर्ण संख्या रेखा ले सकते हैं।

समारोह यह बढ़ रहा है

दूसरे शब्दों में, जितना अधिक, उतना ही, चार्ट दाईं ओर और ऊपर जाता है।

समारोह कम हो जाती हैसेट पर, यदि कोई है और सेट से संबंधित है, तो असमानता असमानता का अनुसरण करती है।

घटते फलन के लिए, बड़ा मान छोटे मान से मेल खाता है। ग्राफ़ दाईं ओर और नीचे जाता है।

हमारे आंकड़े में, अंतराल में फ़ंक्शन बढ़ता है और अंतराल में घटता है और।

आइए परिभाषित करें कि क्या है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

अधिकतम बिंदु- यह परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु है, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान पर्याप्त रूप से इसके करीब सभी बिंदुओं से अधिक है।
दूसरे शब्दों में, अधिकतम बिंदु वह बिंदु है जहां फ़ंक्शन का मान जिस पर अधिकपड़ोसियों की तुलना में। यह चार्ट पर एक स्थानीय "टीला" है।

हमारे आंकड़े में - अधिकतम बिंदु।

न्यूनतम बिंदु- परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान पर्याप्त रूप से इसके करीब सभी बिंदुओं से कम है।
यही है, न्यूनतम बिंदु ऐसा है कि इसमें फ़ंक्शन का मान पड़ोसी की तुलना में कम है। यह चार्ट पर एक स्थानीय "छेद" है।

हमारी तस्वीर में - न्यूनतम बिंदु।

बात सीमा है। यह परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु नहीं है और इसलिए अधिकतम बिंदु की परिभाषा में फिट नहीं बैठता है। आखिरकार, बाईं ओर उसका कोई पड़ोसी नहीं है। उसी तरह, यह हमारे चार्ट पर न्यूनतम बिंदु नहीं हो सकता।

अधिकतम और न्यूनतम अंक सामूहिक रूप से कहलाते हैं समारोह के चरम बिंदु... हमारे मामले में, यह है और।

और अगर आपको खोजने की ज़रूरत है तो क्या करें, उदाहरण के लिए, न्यूनतम कार्यखंड पर? इस मामले में, जवाब है। इसलिये न्यूनतम कार्यन्यूनतम बिंदु पर इसका मूल्य है।

इसी तरह, हमारे कार्य का अधिकतम है। यह एक बिंदु पर पहुंच जाता है।

हम कह सकते हैं कि फलन की चरम सीमा और के बराबर है।

कभी-कभी कार्यों में आपको खोजने की आवश्यकता होती है सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मानकिसी दिए गए खंड पर। जरूरी नहीं कि वे चरम सीमाओं से मेल खाते हों।

हमारे मामले में सबसे छोटा फ़ंक्शन मानखंड पर बराबर है और फ़ंक्शन के न्यूनतम के साथ मेल खाता है। लेकिन इस सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा मूल्य बराबर है। यह पंक्ति के बाएं छोर पर पहुंचा है।

किसी भी मामले में, एक खंड पर एक निरंतर कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य या तो चरम बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर प्राप्त किए जाते हैं।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े मान को अधिक से अधिक कहा जाता है, सबसे छोटा मान उसके सभी मानों में से सबसे छोटा मान होता है।

एक फ़ंक्शन में केवल एक सबसे बड़ा और केवल एक सबसे छोटा मान हो सकता है, या इसमें वे बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं। निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजना इन कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

१) यदि किसी अंतराल (परिमित या अनंत) में फलन y = f (x) निरंतर है और उसका केवल एक चरम है, और यदि यह अधिकतम (न्यूनतम) है, तो यह फलन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान होगा इस अंतराल में।

2) यदि फ़ंक्शन f (x) किसी खंड पर निरंतर है, तो यह आवश्यक रूप से इस खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है। ये मान या तो खंड के भीतर स्थित चरम बिंदुओं पर या इस खंड की सीमाओं पर पहुंच जाते हैं।

किसी खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1. व्युत्पन्न खोजें।

2. उस फलन के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर = 0 या मौजूद नहीं है।

3. महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों का पता लगाएं और उनमें से सबसे बड़ा f naib और सबसे छोटा f naim चुनें।

लागू समस्याओं को हल करते समय, विशेष रूप से अनुकूलन समस्याओं में, अंतराल X. चर पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान (वैश्विक अधिकतम और वैश्विक न्यूनतम) को खोजना महत्वपूर्ण है। फिर परिणामी फलन का वांछित सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए। इस मामले में, स्वतंत्र चर की भिन्नता का अंतराल, जो परिमित या अनंत हो सकता है, समस्या कथन से भी निर्धारित होता है।

उदाहरण।टैंक, जिसमें एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है, जिसके शीर्ष पर एक वर्गाकार तल खुला होता है, को टिन के अंदर से बाहर निकालने की आवश्यकता होती है। 108 लीटर की क्षमता वाले टैंक के आयाम क्या होने चाहिए। पानी ताकि टिनिंग की लागत यथासंभव कम हो?

समाधान।टिन के साथ एक टैंक को कोटिंग करने की लागत कम से कम होगी यदि इसकी सतह दी गई क्षमता के लिए न्यूनतम है। आइए हम एक dm - आधार के किनारे, b dm - टैंक की ऊंचाई से निरूपित करें। तब इसकी सतह का क्षेत्रफल S के बराबर है

तथा

परिणामी संबंध टैंक एस (फ़ंक्शन) के सतह क्षेत्र और आधार पक्ष ए (तर्क) के बीच संबंध स्थापित करता है। आइए हम एक एक्सट्रीमम के लिए फंक्शन S की जांच करें। पहला व्युत्पन्न खोजें, इसे शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें:

अत: a = 6. (a)> ० a> ६ के लिए, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

उदाहरण... सबसे बड़ा और सबसे छोटा फ़ंक्शन मान खोजें के बीच में।

समाधान: निर्दिष्ट फ़ंक्शन संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर निरंतर है। एक समारोह का व्युत्पन्न

पर और पर व्युत्पन्न। आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

.

दिए गए अंतराल के सिरों पर फ़ंक्शन के मान बराबर होते हैं। नतीजतन, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान बराबर है, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान बराबर है।

आत्म परीक्षण प्रश्न

1. प्रपत्र की अनिश्चितताओं को प्रकट करने के लिए L'Hpital का नियम बनाइए। विभिन्न प्रकार की अनिश्चितताओं की सूची बनाएं जिन्हें संबोधित करने के लिए L'Hpital के नियम का उपयोग किया जा सकता है।

2. बढ़ते और घटते कार्यों के संकेत तैयार करें।

3. फलन के अधिकतम और न्यूनतम की परिभाषा दीजिए।

4. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त तैयार करें।

5. तर्क के किन मूल्यों (कौन से बिंदु) को आलोचनात्मक कहा जाता है? आप इन बिंदुओं को कैसे ढूंढते हैं?

6. किसी फलन के चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त मानदंड क्या हैं? पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके एक चरम के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने की योजना की रूपरेखा तैयार करें।

7. द्वितीय अवकलज का प्रयोग करते हुए एक चरम के फलन के अध्ययन की योजना का वर्णन कीजिए।

8. वक्र की उत्तलता, अवतलता की परिभाषा दीजिए।

9. फलन ग्राफ का विभक्ति बिंदु क्या कहलाता है? इन बिंदुओं को खोजने का एक तरीका बताएं।

10. किसी दिए गए खंड पर वक्र की उत्तलता और अवतलता के लिए आवश्यक और पर्याप्त मानदंड तैयार करें।

11. वक्र स्पर्शोन्मुख की परिभाषा दीजिए। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के लंबवत, क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख कैसे खोजें?

12. फलन के अध्ययन और उसके ग्राफ के निर्माण की सामान्य योजना की रूपरेखा तैयार कीजिए।

13. किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के लिए एक नियम तैयार करें।