एक तल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में विशिष्ट ज्यामितीय समस्याएं विभिन्न आकृतियों की सतहों के क्षेत्रों को निर्धारित करने की समस्याएं हैं। इस लेख में, हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

एक पिरामिड क्या है?

यहाँ पिरामिड की एक सख्त ज्यामितीय परिभाषा दी गई है। मान लीजिए कि n भुजाओं और n कोनों वाला कोई बहुभुज है। अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनें, जो निर्दिष्ट n-gon के तल में नहीं होगा, और इसे बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष से जोड़ दें। हमें एक निश्चित आयतन वाली आकृति प्राप्त होती है, जिसे n-पक्षीय पिरामिड कहते हैं। उदाहरण के लिए, आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाते हैं कि पंचकोणीय पिरामिड कैसा दिखता है।

किसी भी पिरामिड के दो महत्वपूर्ण तत्व उसका आधार (n-gon) और उसका शीर्ष होते हैं। ये तत्व एक दूसरे से n त्रिभुजों से जुड़े हुए हैं, जो आम तौर पर एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। ऊपर से आधार तक गिराए गए लम्ब को आकृति की ऊँचाई कहते हैं। यदि यह आधार को ज्यामितीय केंद्र पर काटता है (बहुभुज के द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है), तो ऐसे पिरामिड को एक सीधी रेखा कहा जाता है। यदि, इस शर्त के अलावा, आधार एक नियमित बहुभुज है, तो पूरे पिरामिड को नियमित कहा जाता है। नीचे दिया गया आंकड़ा दिखाता है कि त्रिकोणीय, चतुर्भुज, पंचकोणीय और हेक्सागोनल आधारों के साथ नियमित पिरामिड कैसा दिखता है।

पिरामिड सतह

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के प्रश्न पर आगे बढ़ने से पहले, सतह की अवधारणा पर अधिक विस्तार से ध्यान देना चाहिए।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है और आंकड़ों में दिखाया गया है, कोई भी पिरामिड चेहरे या भुजाओं के एक समूह से बनता है। एक भुजा आधार है और n भुजाएँ त्रिभुज हैं। संपूर्ण आकृति की सतह इसके प्रत्येक पक्ष के क्षेत्रों का योग है।

एक आकृति को खोलने के उदाहरण का उपयोग करके सतह का अध्ययन करना सुविधाजनक है। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए एक सपाट पैटर्न नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल समान समद्विबाहु त्रिभुजों के चार क्षेत्रफलों के योग और एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

आकृति के पार्श्व पक्षों को बनाने वाले सभी त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल आमतौर पर पार्श्व सतह क्षेत्र कहलाता है। इसके बाद, हम दिखाएंगे कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए इसकी गणना कैसे की जाती है।

एक चतुर्भुज नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र

निर्दिष्ट आकार के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, उपरोक्त फ्लैट पैटर्न को देखें। मान लीजिए हम एक वर्गाकार आधार की भुजा जानते हैं। आइए इसे प्रतीक a से निरूपित करें। यह देखा जा सकता है कि चार समरूप त्रिभुजों में से प्रत्येक का आधार लंबाई a है। उनके कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको एक त्रिभुज के लिए यह मान जानना होगा। ज्यामिति पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि त्रिभुज S t का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे आधे भाग में विभाजित किया जाना चाहिए। अर्थात:

जहाँ h b आधार a पर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। पिरामिड के लिए, यह ऊंचाई एपोथेम है। अब विचाराधीन पिरामिड के लिए पार्श्व सतह का क्षेत्रफल S b प्राप्त करने के लिए परिणामी व्यंजक को 4 से गुणा करना शेष है:

एस बी = 4 * एस टी = 2 * एच बी * ए।

इस सूत्र में दो पैरामीटर हैं: एपोटेमा और आधार का एक पक्ष। यदि अधिकांश समस्या स्थितियों में उत्तरार्द्ध ज्ञात है, तो पूर्व की गणना अन्य मात्राओं को जानकर की जानी चाहिए। हम दो स्थितियों के लिए apotema h b की गणना के लिए सूत्र देते हैं:

• जब पार्श्व पसली की लंबाई ज्ञात हो;
• जब पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात हो।

यदि हम पार्श्व किनारे की लंबाई (एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा) को प्रतीक L से निरूपित करते हैं, तो apotema h b सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एच बी = (एल 2 - ए 2/4)।

यह व्यंजक पाइथागोरस प्रमेय को पार्श्व सतह के त्रिभुज पर लागू करने का परिणाम है।

यदि पिरामिड की ऊँचाई h ज्ञात है, तो apotema h b की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एच बी = (एच 2 + ए 2/4)।

इस व्यंजक को प्राप्त करना भी मुश्किल नहीं है यदि हम पिरामिड के अंदर पैरों h और a / 2 और एक कर्ण h b से बने समकोण त्रिभुज पर विचार करें।

आइए दिखाते हैं कि दो दिलचस्प समस्याओं को हल करके इन सूत्रों को कैसे लागू किया जाए।

ज्ञात सतह क्षेत्र समस्या

यह ज्ञात है कि चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 108 सेमी 2 है। यदि पिरामिड की ऊंचाई 7 सेमी है, तो इसके एपोटेमा एच बी की लंबाई के मूल्य की गणना करना आवश्यक है।

आइए पार्श्व सतह के क्षेत्रफल S b का सूत्र ऊँचाई के पदों में लिखें। हमारे पास है:

एस बी = 2 * (एच 2 + ए 2/4) * ए।

यहाँ हमने S b के व्यंजक में संबंधित एपोटेमा सूत्र को सरलता से प्रतिस्थापित किया है। आइए समानता के दोनों पक्षों को चौकोर करें:

एस बी 2 = 4 * ए 2 * एच 2 + ए 4।

a का मान ज्ञात करने के लिए, आइए वेरिएबल्स को बदलें:

टी 2 + 4 * एच 2 * टी - एस बी 2 = 0।

अब हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

टी 2 + 196 * टी - 11664 = 0।

हमने इस समीकरण के केवल धनात्मक मूल को ही लिखा है। तब पिरामिड के आधार की भुजाएँ बराबर होंगी:

ए = t = √47.8355 ≈ 6.916 सेमी।

एपोटेमा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, बस सूत्र का उपयोग करें:

एच बी = √ (एच 2 + ए 2/4) = √ (7 2 + 6.916 2/4) 7.808 सेमी।

चेप्स पिरामिड की पार्श्व सतह

आइए मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के पक्ष का मूल्य निर्धारित करें। यह ज्ञात है कि इसके आधार पर एक वर्ग है जिसकी लंबाई 230.363 मीटर है। इमारत की ऊंचाई मूल रूप से 146.5 मीटर थी। इन संख्याओं को S b के संगत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एस बी = 2 * (एच 2 + ए 2/4) * ए = 2 * √ (146.5 2 +230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 मीटर 2.

पाया गया मान 17 फुटबॉल मैदानों के क्षेत्रफल से थोड़ा बड़ा है।

एक मनमाना पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। एक नियमित पिरामिड के मामले में इस क्षेत्र को व्यक्त करने के लिए एक विशेष सूत्र देना समझ में आता है। तो, मान लीजिए कि एक नियमित पिरामिड दिया गया है, जिसके आधार पर एक नियमित n-gon है जिसकी भुजा a के बराबर है। मान लीजिए h पार्श्व फलक की ऊँचाई है, जिसे भी कहते हैं एपोथेमपिरामिड। एक तरफ के चेहरे का क्षेत्रफल 1/2ah के बराबर है, और पिरामिड की पूरी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल n/2ha के बराबर है। चूंकि ना पिरामिड के आधार की परिधि है, इसलिए हम पाया गया सूत्र लिख सकते हैं प्रपत्र में:

पार्श्व सतह क्षेत्रएक नियमित पिरामिड का योग उसके एपोथेम के गुणनफल और आधार के आधे परिमाप के बराबर होता है।

विषय में कुल सतह क्षेत्रफल, फिर बस आधार क्षेत्र को किनारे पर जोड़ें।

उत्कीर्ण और वर्णित क्षेत्र और गेंद... यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पिरामिड में अंकित गोले का केंद्र पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमानों के चौराहे पर स्थित है। पिरामिड के पास वर्णित गोले का केंद्र पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले विमानों के चौराहे पर स्थित है और उनके लंबवत है।

कटा हुआ पिरामिड।यदि पिरामिड को उसके आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है, तो छेदक तल और आधार के बीच संलग्न भाग कहलाता है कटा हुआ पिरामिड।आंकड़ा एक पिरामिड दिखाता है, इसके हिस्से को छोड़कर जो काटने वाले विमान के ऊपर स्थित है, हमें एक छोटा पिरामिड मिलता है। यह स्पष्ट है कि छोटा त्याग दिया गया पिरामिड बड़े पिरामिड के समरूप है जिसके शीर्ष पर समरूपता का केंद्र है। समानता का गुणांक ऊंचाई के अनुपात के बराबर है: के = एच 2 / एच 1, या साइड किनारों, या दोनों पिरामिड के अन्य संबंधित रैखिक आयाम। हम जानते हैं कि ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफल रैखिक विमाओं के वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं; इसलिए दोनों पिरामिडों के आधारों के क्षेत्र (अर्थात काटे गए पिरामिड के आधारों का क्षेत्रफल) संबंधित हैं

यहां एस 1 निचले आधार का क्षेत्र है, और एस 2 काटे गए पिरामिड के ऊपरी आधार का क्षेत्र है। पिरामिडों की पार्श्व सतहें एक ही संबंध में हैं। वॉल्यूम के लिए एक समान नियम है।

समान निकायों के आयतनउनके रैखिक आयामों के लिए घन के रूप में देखें; उदाहरण के लिए, पिरामिड के आयतन आधारों के क्षेत्र पर उनकी ऊंचाई के उत्पादों के रूप में संबंधित हैं, जहां से हमारा नियम तुरंत प्राप्त होता है। इसका पूरी तरह से सामान्य चरित्र है और इस तथ्य से सीधे अनुसरण करता है कि मात्रा में हमेशा लंबाई की तीसरी शक्ति का आयाम होता है। इस नियम का उपयोग करते हुए, हम आधारों की ऊंचाई और क्षेत्रफल के संदर्भ में काटे गए पिरामिड के आयतन को व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

मान लीजिए कि ऊंचाई h और आधार क्षेत्रों S 1 और S 2 के साथ एक छोटा पिरामिड दिया गया है। यदि हम कल्पना करें कि यह एक पूर्ण पिरामिड के लिए जारी है, तो पूर्ण पिरामिड और छोटे पिरामिड की समानता का गुणांक आसानी से एस 2 / एस 1 के अनुपात की जड़ के रूप में पाया जा सकता है। काटे गए पिरामिड की ऊंचाई h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) के रूप में व्यक्त की जाती है। अब हमारे पास काटे गए पिरामिड का आयतन है (V 1 और V 2 पूर्ण और छोटे पिरामिडों के आयतन को दर्शाता है)

छोटा पिरामिड आयतन सूत्र

आइए हम आधारों की परिधि पी 1 और पी 2 और एपोथेम की लंबाई के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र एस के लिए सूत्र प्राप्त करें। हम ठीक उसी तरह तर्क देते हैं जैसे आयतन का सूत्र निकालते समय। हम ऊपरी भाग के साथ पिरामिड को पूरक करते हैं, हमारे पास पी 2 = केपी 1, एस 2 = के 2 एस 1 है, जहां के समानता गुणांक है, पी 1 और पी 2 आधारों की परिधि हैं, और एस 1 और एस 2 क्रमशः पूरे परिणामी पिरामिड और उसके शीर्ष की पार्श्व सतहों के घोड़े हैं। पार्श्व सतह के लिए, हम पाते हैं (ए 1 और 2 पिरामिड के एपोथेम हैं, ए = ए 1 - ए 2 = ए 1 (1-के))

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र

पिरामिड- बहुभुज और त्रिकोण से बने पॉलीहेड्रॉन की किस्मों में से एक जो आधार पर स्थित है और इसके चेहरे हैं।

इसके अलावा, पिरामिड के शीर्ष पर (यानी एक बिंदु पर), सभी चेहरे संयुक्त होते हैं।

पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, यह निर्धारित करने योग्य है कि इसकी पार्श्व सतह में कई त्रिकोण होते हैं। और हम आवेदन करके आसानी से उनके क्षेत्रों का पता लगा सकते हैं

विभिन्न सूत्र। हम किस प्रकार के त्रिभुज डेटा को जानते हैं, इस पर निर्भर करते हुए, हम उनके क्षेत्र की तलाश करते हैं।

आइए कुछ सूत्रों को सूचीबद्ध करें जिनके साथ आप त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

1. एस = (ए * एच) / 2 ... इस स्थिति में, हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं एच जो किनारे पर उतारा जाता है ए .
2. एस = ए * बी * पापβ ... यहाँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं ए , बी , और उनके बीच का कोण है β .
3. एस = (आर * (ए + बी + सी)) / 2 ... यहाँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं ए, बी, सी ... एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है आर .
4. एस = (ए * बी * सी) / 4 * आर ... त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है आर .
5. एस = (ए * बी) / 2 = आर² + 2 * आर * आर ... यह सूत्र तभी लागू किया जाना चाहिए जब त्रिभुज आयताकार हो।
6. एस = (ए² * √3) / 4 ... हम इस सूत्र को एक समबाहु त्रिभुज पर लागू करते हैं।

हमारे पिरामिड के फलक वाले सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की गणना करने के बाद ही हम इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। इसके लिए हम उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग करेंगे।

पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना करने के लिए, कोई कठिनाई नहीं होती है: आपको सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करना होगा। आइए इसे सूत्र के साथ व्यक्त करें:

एसп = सी

यहाँ सि पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और एस एन एस - पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल।

आइए एक उदाहरण देखें। एक नियमित पिरामिड दिया गया है, इसके पार्श्व फलक कई समबाहु त्रिभुजों से बनते हैं,

« ज्यामिति हमारी मानसिक क्षमताओं को तेज करने का सबसे शक्तिशाली उपकरण है।».

गैलिलियो गैलिली।

और वर्ग पिरामिड का आधार है। इसके अलावा, पिरामिड के किनारे की लंबाई 17 सेमी है आइए हम इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हम इस तरह तर्क देते हैं: हम जानते हैं कि पिरामिड के फलक त्रिभुज हैं, वे समबाहु हैं। हम यह भी जानते हैं कि किसी दिए गए पिरामिड की पसली कितनी लंबी होती है। अतः यह इस प्रकार है कि सभी त्रिभुजों की पार्श्व भुजाएँ समान होती हैं, उनकी लंबाई 17 सेमी होती है।

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

एस = (17² * √3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 सेमी²

चूँकि हम जानते हैं कि वर्ग पिरामिड के आधार पर स्थित है, यह पता चलता है कि हमारे पास चार समबाहु त्रिभुज हैं। इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है: १२५.१३७ सेमी² * ४ = ५०.५४८ सेमी²

हमारा उत्तर इस प्रकार है: 500.548 सेमी² - यह इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है।

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एक बहुफलकीय आकृति है, जिसके आधार पर एक बहुभुज है, और शेष फलकों को एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुजों द्वारा दर्शाया गया है।

यदि आधार पर वर्ग हो, तो पिरामिड कहलाता है चौकोर, यदि एक त्रिभुज - तो त्रिकोणीय... पिरामिड की ऊंचाई इसके शीर्ष लंबवत से आधार तक खींची जाती है। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है एपोथेम- साइड फेस की ऊंचाई उसके ऊपर से गिरा।
किसी पिरामिड के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, जो एक दूसरे के बराबर होते हैं। हालाँकि, इस गणना पद्धति का उपयोग बहुत कम ही किया जाता है। मूल रूप से, पिरामिड के क्षेत्र की गणना आधार और एपोथेम की परिधि के माध्यम से की जाती है:

आइए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि आधार ABCDE और शीर्ष F के साथ एक पिरामिड दिया गया है। एबी = बीसी = सीडी = डीई = ईए = 3 सेमी। एपोथेम ए = 5 सेमी। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आइए परिधि का पता लगाएं। चूँकि आधार के सभी फलक समान हैं, पंचभुज का परिमाप किसके बराबर होगा:
अब आप पिरामिड का पार्श्व क्षेत्र ज्ञात कर सकते हैं:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का क्षेत्रफल

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एक आधार होता है जिसमें एक नियमित त्रिभुज स्थित होता है और तीन पक्ष फलक होते हैं, जो क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के सूत्र की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। आप परिधि और एपोथेम के माध्यम से गणना के लिए सामान्य सूत्र लागू कर सकते हैं, या आप एक चेहरे का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं और इसे तीन से गुणा कर सकते हैं। चूँकि पिरामिड का फलक एक त्रिभुज है, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करेंगे। इसके लिए एपोथेम और आधार लंबाई की आवश्यकता होगी। आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

आपको एक पिरामिड दिया गया है जिसका एपोथेम a = 4 सेमी है और आधार b = 2 सेमी का एक फलक है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, हम एक तरफ के चेहरे का क्षेत्र पाते हैं। इस मामले में, यह होगा:
मानों को सूत्र में रखें:
चूँकि एक नियमित पिरामिड में सभी भुजाएँ समान होती हैं, पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीनों फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा। क्रमश:

छोटा पिरामिड क्षेत्र

छंटनी की गईएक पिरामिड एक बहुफलक है जो एक पिरामिड और आधार के समानांतर उसके खंड द्वारा बनता है।
एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र बहुत सरल है। क्षेत्रफल एपोथेम द्वारा आधारों के परिमापों के आधे योग के गुणनफल के बराबर है: