द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब द्विघात समीकरण की जड़ें ज्ञात हो जाती हैं, तो दूसरी डिग्री बहुपद को कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है (गुणनबद्ध):
.

इसके अलावा, हम मानते हैं कि वास्तविक संख्याएं हैं।
विचार करना द्विघात विभेदक:
.
यदि विवेचक धनात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं:
; .
तब वर्ग त्रिपद का गुणनखंड है:
.
यदि विभेदक शून्य है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणक (बराबर) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्म मूल हैं:
;
.
यहाँ एक काल्पनिक इकाई है;
और - जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग:
; .
फिर

.

ग्राफिक व्याख्या

यदि आप फ़ंक्शन प्लॉट करते हैं
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण के मूल होंगे
.
जब, ग्राफ भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर काटता है।
जब, आलेख भुजिका अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
जब, ग्राफ भुज अक्ष को पार नहीं करता है।

नीचे ऐसे रेखांकन के उदाहरण दिए गए हैं।

उपयोगी द्विघात समीकरण

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(एफ.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र की व्युत्पत्ति

हम रूपांतरण करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ पे
; .

तो, हमें फॉर्म में दूसरी डिग्री बहुपद के लिए सूत्र मिला:
.
इसलिए यह देखा गया है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया
तथा ।
अर्थात्, वे द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

.
हमारे समीकरण (1.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
हम विभेदक पाते हैं:
.
चूँकि विवेचक धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

इससे हमें वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन प्राप्त होता है:

.

फलन ग्राफ y = 2 x 2 + 7 x + 3भुज अक्ष को दो बिंदुओं पर पार करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर पार करता है:
तथा ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) के मूल हैं।

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

आइए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखें:
.
मूल समीकरण (2.1) की तुलना में, हम गुणांक के मान पाते हैं:
.
हम विभेदक पाते हैं:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो बहु (बराबर) मूल हैं:
;
.

तब त्रिपद का गुणनखंड है:
.

फलन ग्राफ y = x 2 - 4 x + 4भुज अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज अक्ष (अक्ष) को एक बिंदु पर स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। चूंकि यह जड़ दो बार गुणनखंड में प्रवेश करती है:
,
तो ऐसी जड़ को आमतौर पर बहु ​​कहा जाता है। अर्थात्, वे मानते हैं कि दो समान जड़ें हैं:
.

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

आइए द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखें:
(1) .
हम मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखते हैं:
.
(1) की तुलना में, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
हम विभेदक पाते हैं:
.
विभेदक नकारात्मक है,। इसलिए, कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

जटिल जड़ें पाई जा सकती हैं:
;
;

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। यह भुज अक्ष (अक्ष) को पार नहीं करता है। इसलिए, कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

कोई मान्य जड़ें नहीं हैं। जटिल जड़ें:
;
;
.

समानता का एक सामान्य विचार प्राप्त करने के बाद, और उनके प्रकारों में से एक - संख्यात्मक समानता से परिचित होने के बाद, एक व्यावहारिक दृष्टिकोण से समानता के एक और बहुत महत्वपूर्ण रूप के बारे में बात करना शुरू कर सकता है - समीकरणों के बारे में। इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे समीकरण क्या है, और जिसे समीकरण का मूल कहा जाता है। यहाँ हम उपयुक्त परिभाषाएँ देते हैं, साथ ही समीकरणों और उनके मूलों के विभिन्न उदाहरण देते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

एक समीकरण क्या है?

समीकरणों का एक केंद्रित परिचय आमतौर पर ग्रेड 2 गणित में शुरू होता है। इस समय, निम्नलिखित दिया गया है समीकरण की परिभाषा:

परिभाषा।

समीकरणएक समानता है जिसमें एक अज्ञात संख्या पाई जाती है।

समीकरणों में अज्ञात संख्याओं को आमतौर पर छोटे लैटिन अक्षरों का उपयोग करके दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, p, t, u, आदि, लेकिन सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले अक्षर x, y और z हैं।

इस प्रकार, समीकरण को संकेतन रूप के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, समानता एक समीकरण है जब यह निर्दिष्ट संकेतन नियमों का पालन करता है - इसमें वह अक्षर होता है जिसका मूल्य आप खोजना चाहते हैं।

यहां सबसे पहले और सबसे सरल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। आइए x = 8, y = 3, आदि के रूप के समीकरणों से शुरू करें। ऐसे समीकरण जिनमें संख्याओं और अक्षरों के साथ, अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेत कुछ अधिक जटिल लगते हैं, उदाहरण के लिए, x + 2 = 3, z - 2 = 5, 3 · t = 9, 8: x = 2।

परिचित होने के बाद समीकरणों की विविधता बढ़ती है - कोष्ठक वाले समीकरण दिखाई देने लगते हैं, उदाहरण के लिए, 2 (x - 1) = 18 और x + 3 (x + 2 (x - 2)) = 3. समीकरण में एक अज्ञात अक्षर कई बार प्रकट हो सकता है, उदाहरण के लिए, x + 3 + 3 x − 2 - x = 9, अक्षर समीकरण के बाईं ओर, इसके दाईं ओर, या दोनों पक्षों में भी हो सकते हैं। समीकरण, उदाहरण के लिए, x (3 + 1) −4 = 8, 7−3 = z + 1 या 3x − 4 = 2 (x + 12)।

इसके अलावा, प्राकृतिक संख्याओं का अध्ययन करने के बाद, पूर्णांकों से परिचित होना, परिमेय, वास्तविक संख्याएँ होती हैं, नई गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जाता है: डिग्री, मूल, लघुगणक, आदि, जबकि अधिक से अधिक नए प्रकार के समीकरण दिखाई देते हैं जिनमें ये चीजें होती हैं। उनके उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं। मुख्य प्रकार के समीकरणस्कूल में पढ़ रहा है।

७वीं कक्षा में, अक्षरों के साथ, जिनसे कुछ विशिष्ट संख्याएँ अभिप्रेत हैं, वे उन अक्षरों पर विचार करने लगते हैं जो भिन्न-भिन्न अर्थ ग्रहण कर सकते हैं, वे चर कहलाते हैं (लेख देखें)। इस मामले में, "चर" शब्द को समीकरण की परिभाषा में पेश किया जाता है, और यह इस तरह हो जाता है:

परिभाषा।

समीकरणएक समानता है जिसमें एक चर होता है जिसका मूल्य आप खोजना चाहते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण x + 3 = 6 x + 7 चर x वाला एक समीकरण है, और 3 · z - 1 + z = 0 चर z वाला एक समीकरण है।

उसी ७वीं कक्षा में बीजगणित के पाठों में, समीकरणों के साथ एक बैठक होती है जिसमें उनके रिकॉर्ड में एक नहीं, बल्कि दो अलग-अलग अज्ञात चर होते हैं। उन्हें दो चरों में समीकरण कहा जाता है। भविष्य में, तीन या अधिक चर के समीकरणों की रिकॉर्डिंग में उपस्थिति की अनुमति है।

परिभाषा।

एक, दो, तीन, आदि के साथ समीकरण। चर- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें क्रमशः एक, दो, तीन, ... अज्ञात चर होते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण 3.2 x + 0.5 = 1 एक चर x वाला समीकरण है, जबकि x - y = 3 के रूप का समीकरण दो चर x और y वाला समीकरण है। और एक और उदाहरण: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0.5) 2 = 27। यह स्पष्ट है कि ऐसा समीकरण तीन अज्ञात चरों x, y और z के साथ एक समीकरण है।

समीकरण का मूल क्या है?

समीकरण की परिभाषा सीधे इस समीकरण के मूल की परिभाषा से संबंधित है। आइए कुछ तर्क करें जिससे हमें यह समझने में मदद मिलेगी कि समीकरण का मूल क्या है।

मान लें कि हमारे पास एक अक्षर (चर) के साथ एक समीकरण है। यदि इस समीकरण के अभिलेख में शामिल अक्षर के स्थान पर किसी संख्या को प्रतिस्थापित किया जाए, तो समीकरण संख्यात्मक समानता में बदल जाएगा। इसके अलावा, परिणामी समानता सत्य और असत्य दोनों हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि आप समीकरण a + 1 = 5 में अक्षर a के बजाय संख्या 2 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको गलत संख्यात्मक समानता 2 + 1 = 5 मिलती है। यदि हम इस समीकरण में संख्या 4 को a के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता 4 + 1 = 5 प्राप्त होती है।

व्यवहार में, अधिकांश मामलों में, चर के ऐसे मूल्य रुचि के होते हैं, जिनका समीकरण में प्रतिस्थापन सही समानता देता है, इन मूल्यों को इस समीकरण के मूल या समाधान कहा जाता है।

परिभाषा।

समीकरण का मूल- यह एक अक्षर (चर) का मान है, जब प्रतिस्थापित किया जाता है, तो समीकरण एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है।

ध्यान दें कि एक चर वाले समीकरण के मूल को समीकरण का हल भी कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, समीकरण का हल और समीकरण का मूल एक ही बात है।

आइए इस परिभाषा को एक उदाहरण के साथ समझाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण a + 1 = 5 पर लौटते हैं। समीकरण के मूल की ध्वनि परिभाषा के अनुसार, संख्या 4 इस समीकरण का मूल है, क्योंकि इस संख्या को अक्षर a के बजाय प्रतिस्थापित करने पर, हम सही समानता 4 + 1 = 5 प्राप्त करते हैं, और संख्या 2 नहीं है इसकी जड़, क्योंकि यह 2 + 1 = पांच के रूप की गलत समानता से मेल खाती है।

इस बिंदु पर, कई स्वाभाविक प्रश्न उठते हैं: "क्या किसी समीकरण का एक मूल होता है, और किसी दिए गए समीकरण के कितने मूल होते हैं?" हम उनका जवाब देंगे।

ऐसे दोनों समीकरण हैं जिनकी जड़ें हैं और समीकरण जिनका कोई मूल नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण x + 1 = 5 का मूल 4 है, और समीकरण 0 x = 5 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि इस समीकरण में हम चर x के स्थान पर कोई भी संख्या प्रतिस्थापित करते हैं, हमें गलत समानता 0 = प्राप्त होती है। 5.

जहाँ तक किसी समीकरण के मूलों की संख्या का प्रश्न है, दोनों समीकरण ऐसे होते हैं जिनमें जड़ों की एक निश्चित संख्या होती है (एक, दो, तीन, आदि) और ऐसे समीकरण जिनमें अपरिमित रूप से कई जड़ें होती हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x - 2 = 4 का एक अद्वितीय मूल 6 है, समीकरण x 2 = 9 के मूल दो संख्याएँ -3 और 3 हैं, समीकरण x (x - 1) (x - 2) = 0 में तीन हैं मूल 0, 1, और 2, और समीकरण x = x का हल कोई भी संख्या है, अर्थात इसमें जड़ों का एक अनंत सेट है।

समीकरण की जड़ों के स्वीकृत अंकन के बारे में कुछ शब्द कहे जाने चाहिए। यदि समीकरण की कोई जड़ नहीं है, तो वे आमतौर पर "समीकरण की कोई जड़ें नहीं" लिखते हैं, या खाली सेट के चिह्न का उपयोग करते हैं। यदि समीकरण की जड़ें हैं, तो उन्हें अल्पविराम से अलग करके लिखा जाता है, या के रूप में लिखा जाता है सेट के तत्वघुंघराले ब्रेसिज़ में। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण के मूल संख्या -1, 2, और 4 हैं, तो वे -1, 2, 4 या (-1, 2, 4) लिखते हैं। समीकरण के मूल को सरलतम समानता के रूप में लिखने की भी अनुमति है। उदाहरण के लिए, यदि अक्षर x को समीकरण में शामिल किया गया है, और इस समीकरण की जड़ें संख्या 3 और 5 हैं, तो आप x = 3, x = 5 लिख सकते हैं, साथ ही चर को अक्सर सबस्क्रिप्ट x 1 = 3 के साथ जोड़ा जाता है। , x 2 = 5, मानो समीकरण के मूल संख्याओं को इंगित कर रहा हो। समीकरण की जड़ों का अनंत सेट आमतौर पर रूप में लिखा जाता है, यदि संभव हो तो प्राकृतिक संख्या एन, पूर्णांक जेड, वास्तविक संख्या आर के सेट के नोटेशन का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, यदि चर x वाले समीकरण का मूल कोई पूर्णांक है, तो लिखिए, और यदि चर y वाले समीकरण के मूल 1 से 9 तक की कोई वास्तविक संख्या है, तो लिखिए।

दो, तीन और अधिक चर वाले समीकरणों के लिए, एक नियम के रूप में, "समीकरण रूट" शब्द का उपयोग नहीं किया जाता है, इन मामलों में वे "समीकरण समाधान" कहते हैं। अनेक चरों वाले समीकरणों का हल क्या कहलाता है? आइए एक उपयुक्त परिभाषा दें।

परिभाषा।

दो, तीन, आदि के साथ एक समीकरण को हल करना। चरएक जोड़े, तीन, आदि को बुलाओ। चरों का मान, जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देता है।

आइए कुछ उदाहरणात्मक उदाहरण दिखाते हैं। दो चरों x + y = 7 में एक समीकरण पर विचार करें। इसमें x के स्थान पर संख्या 1 और y के स्थान पर संख्या 2 रखिए, और हमारे पास 1 + 2 = 7 की समानता है। जाहिर है, यह गलत है, इसलिए x = 1, y = 2 के मानों का एक युग्म लिखित समीकरण का हल नहीं है। यदि हम x = 4, y = 3 के मूल्यों की एक जोड़ी लेते हैं, तो समीकरण में प्रतिस्थापन के बाद हम सही समानता 4 + 3 = 7 पर पहुंचते हैं, इसलिए, चर के मूल्यों की यह जोड़ी, परिभाषा के अनुसार, समीकरण x + y = 7 का हल है।

कई चर वाले समीकरण, जैसे कि एक चर वाले समीकरण, की जड़ें नहीं हो सकती हैं, जड़ों की एक सीमित संख्या हो सकती है, या असीम रूप से कई जड़ें हो सकती हैं।

जोड़े, तीन, चौके, आदि। परिवर्तनीय मूल्यों को अक्सर संक्षिप्त रूप से लिखा जाता है, उनके मूल्यों को अल्पविराम से अलग करके कोष्ठक में सूचीबद्ध किया जाता है। इस मामले में, कोष्ठक में लिखी गई संख्याएं वर्णानुक्रम में चर के अनुरूप हैं। आइए हम पिछले समीकरण x + y = 7 पर लौटकर इस बिंदु को स्पष्ट करें। इस समीकरण का हल x = 4, y = 3 को संक्षेप में (4, 3) के रूप में लिखा जा सकता है।

गणित, बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत के स्कूली पाठ्यक्रम में सबसे अधिक ध्यान एक चर वाले समीकरणों की जड़ों को खोजने पर दिया जाता है। हम लेख में इस प्रक्रिया के नियमों का बहुत विस्तार से विश्लेषण करेंगे। समीकरण हल करना.

ग्रंथ सूची।

• गणित... 2 सीएल पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए। संस्था के साथ adj. इलेक्ट्रॉन को। वाहक। दोपहर 2 बजे भाग 1 / [एम। I. मोरो, एमए बंटोवा, जीवी बेल्त्युकोवा और अन्य] - तीसरा संस्करण। - एम।: प्रोस्वेस्डेनी, 2012 .-- 96 पी .: बीमार। - (रूस का स्कूल)। - आईएसबीएन 978-5-09-028297-0।
• बीजगणित:अध्ययन। 7 सीएल के लिए सामान्य शिक्षा। संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 17 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008।-- 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
• बीजगणित:ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए। संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2009।-- 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-021134-5।

गणित में समीकरणों के हल का विशेष स्थान है। यह प्रक्रिया कई घंटों के सिद्धांत अध्ययन से पहले होती है, जिसके दौरान छात्र समीकरणों को हल करने के तरीके सीखता है, उनके प्रकार का निर्धारण करता है और स्वचालितता को पूरा करने के लिए कौशल लाता है। हालांकि, जड़ों की खोज हमेशा समझ में नहीं आती है, क्योंकि वे बस मौजूद नहीं हो सकते हैं। जड़ों को खोजने के लिए विशेष तकनीकें हैं। इस लेख में, हम मुख्य कार्यों, उनकी परिभाषा के क्षेत्रों, साथ ही उन मामलों का विश्लेषण करेंगे जहां उनकी जड़ें गायब हैं।

किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है?

एक समीकरण का कोई मूल नहीं होता है यदि कोई वास्तविक तर्क x नहीं है जिसके लिए समीकरण समान रूप से सत्य है। एक आम आदमी के लिए, यह सूत्रीकरण, अधिकांश गणितीय प्रमेयों और सूत्रों की तरह, बहुत अस्पष्ट और सारगर्भित लगता है, लेकिन यह सिद्धांत में है। व्यवहार में, सब कुछ बेहद सरल हो जाता है। उदाहरण के लिए: समीकरण 0 * x = -53 का कोई हल नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या x नहीं है, जिसका गुणनफल शून्य से शून्य के अलावा कुछ और देगा।

अब हम सबसे बुनियादी प्रकार के समीकरणों को देखेंगे।

1. रैखिक समीकरण

एक समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि इसके दाएं और बाएं पक्षों को रैखिक कार्यों के रूप में दर्शाया जाता है: ax + b = cx + d या सामान्यीकृत रूप में kx + b = 0. जहां a, b, c, d ज्ञात संख्याएं हैं, और x एक है अज्ञात मूल्य ... किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है? रैखिक समीकरणों के उदाहरण नीचे दिए गए उदाहरण में दिखाए गए हैं।

मूल रूप से, रैखिक समीकरणों को केवल संख्यात्मक भाग को एक भाग में और सामग्री को x से दूसरे भाग में स्थानांतरित करके हल किया जाता है। mx = n के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है, जहाँ m और n संख्याएँ हैं, और x अज्ञात है। x को ज्ञात करने के लिए दोनों भागों को m से भाग देना पर्याप्त है। फिर एक्स = एन / एम। सामान्य तौर पर, रैखिक समीकरणों में केवल एक मूल होता है, लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब या तो असीम रूप से कई जड़ें होती हैं या बिल्कुल भी जड़ें नहीं होती हैं। एम = 0 और एन = 0 के लिए, समीकरण 0 * x = 0 का रूप लेता है। इस तरह के समीकरण का समाधान बिल्कुल कोई संख्या होगी।

हालाँकि, किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है?

m = 0 और n = 0 के लिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में समीकरण का कोई मूल नहीं है। 0 * एक्स = -1; 0 * x = 200 - इन समीकरणों का कोई मूल नहीं है।

2. द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण a = 0 के लिए ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है। सबसे सामान्य समाधान विवेचक के माध्यम से होता है। द्विघात समीकरण का विभेदक ज्ञात करने का सूत्र: D = b 2 - 4 * a * c। इसके बाद, दो मूल हैं x 1,2 = (-b ± D)/2 * a.

D> 0 के लिए समीकरण के दो मूल हैं, D = 0 के लिए - एक मूल। लेकिन किस द्विघात समीकरण की कोई जड़ नहीं है? द्विघात समीकरण के मूलों की संख्या का निरीक्षण करने का सबसे आसान तरीका फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करना है, जो एक परवलय है। a> 0 के लिए, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, a . के लिए< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

आप विभेदक की गणना किए बिना जड़ों की संख्या को नेत्रहीन रूप से भी निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको परवलय के शीर्ष को खोजने और यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि शाखाएं किस दिशा में निर्देशित हैं। आप सूत्र का उपयोग करके शीर्ष के x-निर्देशांक का निर्धारण कर सकते हैं: x 0 = -b / 2a। इस मामले में, शीर्ष के y-निर्देशांक को मूल समीकरण में केवल x 0 मान को प्रतिस्थापित करके पाया जाता है।

द्विघात समीकरण x 2 - 8x + 72 = 0 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि इसका ऋणात्मक विभेदक D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 है। इसका अर्थ यह है कि परवलय भुज अक्ष को स्पर्श नहीं करता है और फलन कभी भी मान 0 नहीं लेता है, इसलिए, समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

3. त्रिकोणमितीय समीकरण

त्रिकोणमितीय कार्यों को त्रिकोणमितीय सर्कल पर माना जाता है, लेकिन उन्हें कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में भी दर्शाया जा सकता है। इस लेख में, हम दो बुनियादी त्रिकोणमितीय फलनों और उनके समीकरणों को देखेंगे: sinx और cosx। चूँकि ये फलन 1, | sinx | ​​. की त्रिज्या वाला एक त्रिकोणमितीय वृत्त बनाते हैं और | कॉसक्स | 1 से बड़ा नहीं हो सकता। तो किस समीकरण sinx का कोई मूल नहीं है? नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए sinx फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार करें।

हम देखते हैं कि फलन सममित है और इसकी पुनरावृत्ति अवधि 2pi है। इसके आधार पर हम कह सकते हैं कि इस फलन का अधिकतम मान 1 और न्यूनतम -1 हो सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक cosx = 5 के मूल नहीं होंगे, क्योंकि मापांक एक से बड़ा है।

यह त्रिकोणमितीय समीकरणों का सबसे सरल उदाहरण है। वास्तव में, उन्हें हल करने में कई पृष्ठ लग सकते हैं, जिसके अंत में आपको पता चलता है कि आपने गलत सूत्र का उपयोग किया है और आपको फिर से शुरू करने की आवश्यकता है। कभी-कभी, जड़ों की सही खोज के साथ, आप एलडीजेड पर बाधाओं को ध्यान में रखना भूल सकते हैं, यही कारण है कि उत्तर में एक अतिरिक्त रूट या अंतराल दिखाई देता है, और पूरा उत्तर गलत हो जाता है। इसलिए, सभी प्रतिबंधों का सख्ती से पालन करें, क्योंकि सभी जड़ें कार्य के दायरे में फिट नहीं होती हैं।

4. समीकरणों की प्रणाली

समीकरणों की एक प्रणाली घुंघराले या वर्ग कोष्ठक द्वारा एकजुट समीकरणों का एक संग्रह है। घुंघराले कोष्ठक सभी समीकरणों के संयुक्त निष्पादन को दर्शाते हैं। यही है, यदि कम से कम एक समीकरण की कोई जड़ नहीं है या दूसरे के विपरीत है, तो पूरे सिस्टम का कोई समाधान नहीं है। वर्गाकार कोष्ठक "या" शब्द का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि सिस्टम के कम से कम एक समीकरण का हल है, तो पूरे सिस्टम के पास एक समाधान है।

सिस्टम c का उत्तर व्यक्तिगत समीकरणों के सभी मूलों का समुच्चय है। और घुंघराले ब्रेस सिस्टम में केवल सामान्य जड़ें होती हैं। समीकरणों की प्रणालियों में बिल्कुल विविध कार्य शामिल हो सकते हैं, इसलिए ऐसी जटिलता आपको तुरंत यह बताने की अनुमति नहीं देती है कि किस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

समस्या पुस्तकों और पाठ्यपुस्तकों में, विभिन्न प्रकार के समीकरण होते हैं: जिनके मूल होते हैं और जो नहीं होते हैं। सबसे पहले, अगर आपको जड़ें नहीं मिल रही हैं, तो यह मत मानिए कि जड़ें बिल्कुल भी नहीं हैं। शायद आपने कहीं गलती की है, तो बस अपने निर्णय को ध्यान से दोबारा जांचना काफी है।

हमने सबसे बुनियादी समीकरणों और उनके प्रकारों पर विचार किया है। अब आप बता सकते हैं कि किस समीकरण का कोई मूल नहीं है। ज्यादातर मामलों में, यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। समीकरणों को हल करने में सफलता के लिए केवल ध्यान और एकाग्रता की आवश्यकता होती है। अधिक अभ्यास करें, इससे आपको सामग्री को बेहतर ढंग से और तेजी से नेविगेट करने में मदद मिलेगी।

तो, समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं यदि:

• रैखिक समीकरण में mx = n मान m = 0 और n = 0;
• द्विघात समीकरण में, यदि विवेचक शून्य से कम है;
• एक त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में cosx = m / sinx = n, if | m | > 0, | एन | > 0;
• घुंघराले कोष्ठक वाले समीकरणों की एक प्रणाली में, यदि कम से कम एक समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, और वर्ग कोष्ठक के साथ, यदि सभी समीकरणों की कोई जड़ें नहीं हैं।