काम का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना रखा गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण पीडीएफ प्रारूप में "कार्य फ़ाइलें" टैब में उपलब्ध है

परिचय

मैं छठी कक्षा का छात्र हूं। मैंने पिछले साल से ज्यामिति का अध्ययन करना शुरू किया, क्योंकि मैं पाठ्यपुस्तक "गणित" के अनुसार स्कूल में पढ़ता हूं। अंकगणित। ज्यामिति "Y.A. द्वारा संपादित। बनिमोविच, एल.वी. कुज़नेत्सोवा, एस.एस. मिनेवा और अन्य।

मेरा अधिकांश ध्यान "आंकड़ों के वर्ग", "सूत्र तैयार करना" विषयों पर आकर्षित हुआ। मैंने देखा कि एक ही आकार के क्षेत्रों को अलग-अलग तरीकों से पाया जा सकता है। रोजमर्रा की जिंदगी में, हमें अक्सर एक क्षेत्र खोजने के कार्यों का सामना करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, पेंट किए जाने वाले फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यह उत्सुक है, आखिरकार, नवीनीकरण के लिए आवश्यक मात्रा में वॉलपेपर खरीदने के लिए, आपको कमरे के आकार को जानने की जरूरत है, अर्थात। दीवार क्षेत्र। एक वर्ग, आयत और समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना मेरे लिए सरल था।

इस विषय में दिलचस्पी लेने के बाद, मैंने इंटरनेट पर अतिरिक्त सामग्री की तलाश शुरू कर दी। खोज के परिणामस्वरूप, मुझे पिक का सूत्र मिला - यह चेकर पेपर पर खींचे गए बहुभुज के क्षेत्र की गणना करने का एक सूत्र है। इस सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करना मुझे किसी भी छात्र के लिए सुलभ प्रतीत होता है। इसलिए मैंने कुछ शोध करने का फैसला किया।

विषय की प्रासंगिकता:

यह विषय ज्यामिति पाठ्यक्रम के अध्ययन का एक अतिरिक्त और गहनता है।

इस विषय का अध्ययन करने से आपको ओलंपियाड और परीक्षाओं की बेहतर तैयारी करने में मदद मिलेगी।

काम का उद्देश्य:

पिक का फॉर्मूला देखें।

पिक सूत्र का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की तकनीकों में महारत हासिल करें।

सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री को व्यवस्थित और सारांशित करें।

अनुसंधान के उद्देश्य:

समस्याओं को हल करने में सूत्र का उपयोग करने की प्रभावशीलता और व्यवहार्यता की जाँच करें।

बदलती जटिलता की समस्याओं में पीक फॉर्मूला लागू करना सीखें।

पिक फॉर्मूला और पारंपरिक पद्धति का उपयोग करके हल की गई समस्याओं की तुलना करें।

मुख्य हिस्सा

१.१. ऐतिहासिक संदर्भ

जॉर्ज अलेक्जेंडर पिक एक ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ हैं, जिनका जन्म 10 अगस्त, 1859 को हुआ था। वह एक प्रतिभाशाली बच्चा था, जिसे उसके पिता ने पढ़ाया था, जो एक निजी संस्थान का नेतृत्व करता था। 16 साल की उम्र में, जॉर्ज ने हाई स्कूल से स्नातक किया और वियना विश्वविद्यालय में प्रवेश किया। 20 साल की उम्र में उन्हें भौतिकी और गणित पढ़ाने का अधिकार मिला। बहुभुजों की जाली का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र ने उन्हें विश्वव्यापी ख्याति दिलाई। उन्होंने 1899 में एक लेख में अपना सूत्र प्रकाशित किया। यह तब लोकप्रिय हुआ जब 1969 में पोलिश वैज्ञानिक ह्यूगो स्टीनहॉस ने गणितीय तस्वीरों के प्रकाशन में इसे शामिल किया।

जॉर्ज पिक ने वियना विश्वविद्यालय में शिक्षा प्राप्त की और 1880 में अपनी पीएचडी का बचाव किया। डॉक्टरेट की पढ़ाई पूरी करने के बाद, उन्हें प्राग में शेर्ल-फर्डिनेंड विश्वविद्यालय में अर्नेस्ट मच का सहायक नियुक्त किया गया। वे वहां शिक्षक भी बने। वह 1927 में अपनी सेवानिवृत्ति तक प्राग में रहे और फिर वियना लौट आए।

पिक ने प्राग के जर्मन विश्वविद्यालय में एक समिति की अध्यक्षता की, जिसने १९११ में गणितीय भौतिकी विभाग में आइंस्टीन के प्रोफेसर की नियुक्ति की।

उन्हें चेक एकेडमी ऑफ आर्ट्स एंड साइंसेज का सदस्य चुना गया था, लेकिन प्राग पर नाजी कब्जे के बाद उन्हें निष्कासित कर दिया गया था।

जब 12 मार्च, 1938 को नाजियों ने ऑस्ट्रिया में प्रवेश किया, तो वह प्राग लौट आया। मार्च 1939 में, नाजियों ने चेकोस्लोवाकिया पर आक्रमण किया। 13 जुलाई, 1942 को, पीक को उत्तरी बोहेमिया में नाजियों द्वारा स्थापित थेरेसिएन्स्टेड शिविर में भेज दिया गया, जहाँ दो सप्ताह बाद 82 वर्ष की आयु में उनकी मृत्यु हो गई।

१.२. अनुसंधान और प्रमाण

मैंने अपना शोध कार्य इस प्रश्न को स्पष्ट करके शुरू किया: मुझे किन आंकड़ों के क्षेत्र मिल सकते हैं? मैं विभिन्न त्रिभुजों और चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सूत्र के साथ आ सकता हूं। लेकिन बहुभुज के साथ पांच, छह और सामान्य तौर पर क्या?

विभिन्न साइटों पर शोध के दौरान, मैंने पांच, छह और अन्य बहुभुजों के क्षेत्र की गणना के लिए समस्याओं के समाधान देखे। इन समस्याओं को हल करने के सूत्र को पिक का सूत्र कहा जाता था। वह इस तरह दिखती है: S = बी + जी / 2-1, कहाँ पे में- बहुभुज के अंदर स्थित नोड्स की संख्या, जी- बहुभुज की सीमा पर स्थित नोड्स की संख्या। इस सूत्र की ख़ासियत यह है कि इसका उपयोग केवल चेकर पेपर पर खींचे गए बहुभुजों के लिए किया जा सकता है।

ऐसे किसी भी बहुभुज को आसानी से त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जिसमें जाली के नोड्स पर शीर्ष होते हैं, जिसमें अंदर या किनारों पर नोड्स नहीं होते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि इन सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान और ½ के बराबर हैं, और इसलिए, बहुभुज का क्षेत्रफल उनकी संख्या का आधा है टी।

इस संख्या को ज्ञात करने के लिए, हम बहुभुज की भुजाओं की संख्या को n से दर्शाते हैं में- इसके अंदर नोड्स की संख्या, के माध्यम से जी- कोने सहित पक्षों पर नोड्स की संख्या। सभी त्रिभुजों के कोणों का योग 180° होता है। टी।

आइए अब योग को एक अलग तरीके से खोजें।

किसी भी आंतरिक नोड पर शीर्ष के साथ कोणों का योग 2.180 ° है, अर्थात। कोणों का योग 360° होता है। में;पक्षों पर नोड्स पर कोणों का कुल योग, लेकिन शीर्षों पर नहीं, है ( जी-एन) 180°, और बहुभुज के शीर्षों पर कोणों का योग होगा ( जी-2) 180°. इस प्रकार, टी =२.१८० डिग्री। बी + (जी-एन) 180° + (एन -2)180 °. कोष्ठक का विस्तार करने और 360 ° से विभाजित करने के बाद, हमें बहुभुज के क्षेत्र S के लिए एक सूत्र मिलता है, जिसे पिक सूत्र के रूप में जाना जाता है।

2. व्यावहारिक भाग

मैंने OGE-2017 संग्रह से कार्यों पर इस सूत्र की जाँच करने का निर्णय लिया। मैंने एक त्रिभुज, चतुर्भुज और पंचभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए कार्य लिया। मैंने उत्तरों की तुलना करने का निर्णय लिया, दो तरीकों से हल किया: 1) मैंने आयत में आंकड़े जोड़े और परिणामी आयत के क्षेत्र से मैंने समकोण त्रिभुजों का क्षेत्रफल घटाया; 2) पिक का फॉर्मूला लागू किया।

एस = 18-1.5-4.5 = 12 और एस = 7 + 12 / 2-1 = 12

एस = 24-9-3 = 12 और एस = 7 + 12 / 2-1 = 12

एस = 77-7.5-12-4.5-4 = 49 और एस = 43 + 14 / 2-1 = 49

प्राप्त की तुलना करते हुए, मैं यह निष्कर्ष निकालता हूं कि दोनों सूत्र एक ही उत्तर देते हैं। पीक फॉर्मूला का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना तेज़ और आसान हो गया, क्योंकि कम गणनाएँ थीं। समाधान में आसानी और गणना में समय की बचत भविष्य में OGE पास करते समय मेरे लिए उपयोगी होगी।

इसने मुझे पिक के सूत्र को अधिक जटिल आकृतियों पर लागू करने की संभावना का परीक्षण करने के लिए प्रेरित किया।

एस = 0 + 4/2 -1 = 1

एस = 5 + 11 / 2-1 = 9.5

एस = 4 + 16 / 2-1 = 1

निष्कर्ष

पीक का सूत्र समझने में आसान और उपयोग में आसान है। सबसे पहले, यह गिनने, 2 से विभाजित करने, जोड़ने और घटाने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त है। दूसरे, आप बहुत समय खर्च किए बिना एक क्षेत्र और एक जटिल आकार पा सकते हैं। तीसरा, यह सूत्र किसी भी बहुभुज के लिए कार्य करता है।

नुकसान यह है कि पिक फॉर्मूला केवल उन आकृतियों के लिए लागू होता है जो चेकर पेपर पर खींची जाती हैं और कोने कोशिकाओं के नोड्स पर स्थित होते हैं।

मुझे विश्वास है कि अंतिम परीक्षा उत्तीर्ण करते समय अंकों के क्षेत्रफल की गणना करने में कोई कठिनाई नहीं आएगी। आखिरकार, मैं पहले से ही पिक के सूत्र से परिचित हूं।

ग्रन्थसूची

बनिमोविच ई.ए., डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी. और अन्य गणित। अंकगणित। ज्यामिति। ग्रेड 5: शैक्षिक। सामान्य शिक्षा के लिए। adj के साथ संगठन इलेक्ट्रॉन को। कैरियर-तीसरा संस्करण। -एम।: शिक्षा, 2014.- 223, पी। : बीमार। - (गोले)।

बनिमोविच ई.ए., कुज़नेत्सोवा एल.वी., मिनेवा एस.एस. और अन्य गणित। अंकगणित। ज्यामिति। ग्रेड 6: शैक्षिक। सामान्य शिक्षा के लिए। संगठन-५वां संस्करण।-एम।: शिक्षा, २०१६.-२४०। : बीमार। - (क्षेत्र)।

वासिलिव एन.बी. पिक के फार्मूले के आसपास। // मात्रा। - 1974.-№2। -एस 39-43

रसोलोव वी.वी. प्लानिमेट्री कार्य। / 5 वां संस्करण।, रेव। और जोड़। - एम।: 2006.-640 एस।

आई.वी. यशचेंको, ओजीई। गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: ओ -39 36 विकल्प - एम।: पब्लिशिंग हाउस "नेशनल एजुकेशन", 2017. -240 पी। - (ओजीई। एफआईपीआई-स्कूल)।

"मैं ओजीई को हल करूंगा": गणित। दिमित्री गुशचिन की प्रशिक्षण प्रणाली। OGE-2017: कार्य, उत्तर, समाधान [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। एक्सेस मोड: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (उपचार की तिथि 04/02/2017)

एक आकृति के क्षेत्र की गणना।

विधि चुनें

इरकुत्स्क में ग्रेड 5 बी एमबीओयू माध्यमिक विद्यालय 23 के छात्र का काम

बालसुकोवा एलेक्जेंड्रा

प्रमुख: टी.जी.खोदिरेवा

2014

एक आकृति के क्षेत्र की गणना। विधि चुनें

अध्ययन की वस्तु : चेकर पेपर पर कार्य

अध्ययन का विषय : चेकर पेपर पर बहुभुज के क्षेत्र की गणना के लिए कार्य, उनके समाधान के तरीके और तकनीक।

अनुसंधान की विधियां : तुलना, सामान्यीकरण, सादृश्य, साहित्य और इंटरनेट संसाधनों का अध्ययन, सूचना का विश्लेषण।

अध्ययन का उद्देश्य:

मुख्य, रोचक, समझने योग्य जानकारी चुनें

प्राप्त जानकारी का विश्लेषण और व्यवस्थित करें

चेकर्ड पेपर पर समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न विधियों और तकनीकों का पता लगाएं

पिक सूत्र का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की गणना के लिए सूत्रों की जाँच करें

एकत्रित सामग्री को प्रस्तुत करने के लिए कार्य की इलेक्ट्रॉनिक प्रस्तुति बनाएं

ज्यामिति हमारी मानसिक क्षमताओं को तेज करने का सबसे शक्तिशाली उपकरण है और हमें सही ढंग से सोचने और तर्क करने में सक्षम बनाती है।

(जी. गैलीली)

विषय की प्रासंगिकता

गणित के प्रति जुनून की शुरुआत अक्सर किसी समस्या के बारे में सोचने से होती है। इसलिए "बहुभुज के क्षेत्र" विषय का अध्ययन करते समय यह प्रश्न उठता है कि क्या ऐसे कार्य हैं जो पाठ्यपुस्तक में चर्चा किए गए कार्यों से भिन्न हैं। इन कार्यों में चेकर पेपर पर कार्य शामिल हैं। ऐसे कार्यों की ख़ासियत क्या है, क्या चेकर पेपर पर समस्याओं को हल करने के लिए विशेष तरीके और तकनीकें हैं। गणित की कक्षा में, शिक्षक ने हमें बहुभुजों की गणना के लिए एक दिलचस्प विधि से परिचित कराया। मैंने इस विषय पर साहित्य, इंटरनेट संसाधनों का अध्ययन शुरू किया। ऐसा लगता है कि चेकर प्लेन पर कुछ आकर्षक पाया जा सकता है, यानी समान वर्गों के साथ कागज के एक अंतहीन टुकड़े पर। यह पता चला है कि चेकर पेपर से जुड़े कार्य काफी विविध हैं। मैंने सीखा कि एक चेकर शीट पर खींचे गए बहुभुजों के क्षेत्रों की गणना कैसे की जाती है। एक पिंजरे में कागज पर कई समस्याओं के लिए, हल करने के लिए कोई सामान्य नियम, विशिष्ट तरीके और तकनीक नहीं है। यह उनकी संपत्ति है जो एक विशिष्ट शैक्षिक क्षमता या कौशल के विकास के लिए उनके मूल्य को निर्धारित नहीं करती है, लेकिन सामान्य रूप से सोचने, प्रतिबिंबित करने, विश्लेषण करने, समानता की तलाश करने की क्षमता, यानी ये कार्य अपने व्यापक अर्थों में सोच कौशल विकसित करते हैं।

और मैंने यह भी सीखा कि ऐसे कार्यों को राज्य निरीक्षण एजेंसी और एकीकृत राज्य परीक्षा के नियंत्रण और माप सामग्री में माना जाता है। इसलिए, मैं इस सामग्री के अध्ययन को न केवल आगे की शैक्षिक प्रक्रिया में, बल्कि गैर-मानक ओलंपियाड समस्याओं को हल करने के लिए भी उपयोगी मानता हूं।

2.स्क्वायर अवधारणा

वर्ग- इस आकृति के आकार को दर्शाने वाली द्वि-आयामी ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता। ऐतिहासिक रूप से, क्षेत्र गणना को कहा जाता था . क्षेत्रफल वाली आकृति कहलाती है वर्ग .

ज्यामिति की दृष्टि से समतल आकृति का क्षेत्रफल

1. वर्ग-एक मानक आकृति के संबंध में एक सपाट आकृति का माप, जो लंबाई की इकाई के बराबर भुजा वाला एक वर्ग है।

2. वर्ग- एक निश्चित वर्ग (उदाहरण के लिए, बहुभुज) के सपाट आंकड़ों के लिए जिम्मेदार एक संख्यात्मक विशेषता। लंबाई की एक इकाई के बराबर भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल, क्षेत्रफल की एक इकाई के बराबर लिया गया

3. वर्ग- एक सकारात्मक मूल्य, जिसके संख्यात्मक मूल्य में निम्नलिखित गुण हैं:

 समान टुकड़ों में समान क्षेत्रफल होते हैं;

 यदि किसी आकृति को ऐसे भागों में विभाजित किया जाता है जो साधारण आकृतियाँ हैं (अर्थात, जिन्हें समतल त्रिभुजों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है), तो इस आकृति का क्षेत्रफल उसके भागों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है;

 माप की इकाई के बराबर भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल एक के बराबर होता है।

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि क्षेत्र एक विशिष्ट मूल्य नहीं है, बल्कि किसी भी सपाट आकृति की केवल कुछ सशर्त विशेषता देता है। एक मनमाना आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि लंबाई की एक इकाई के बराबर भुजा वाले कितने वर्ग इसे धारण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक आयत लें जिसमें एक वर्ग सेंटीमीटर ठीक 6 बार फिट बैठता है। इसका मतलब है कि आयत का क्षेत्रफल 6 सेमी 2 है।

सभी क्षेत्रों के लिए माप की न्यूनतम इकाई के रूप में माप की इकाई के बराबर एक वर्ग के क्षेत्र का चुनाव आकस्मिक नहीं है। यह लोगों के बीच एक समझौते का परिणाम है जो "प्राकृतिक" सदियों के चयन के दौरान उत्पन्न हुआ। इसके अलावा, माप की इकाई के लिए अन्य सुझाव दिए गए हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को ऐसी इकाई के रूप में लेने का प्रस्ताव किया गया था (अर्थात, किसी भी समतल आकृति को समबाहु त्रिभुजों की एक निश्चित संख्या के "योग" के रूप में दर्शाया जा सकता है), जिससे क्षेत्रों के संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में परिवर्तन।

इस प्रकार, क्षेत्रों की गणना के सूत्र गणित में दिखाई दिए और किसी व्यक्ति द्वारा तुरंत महसूस नहीं किए गए - यह है विभिन्न युगों और विभिन्न देशों में रहने वाले कई वैज्ञानिक। (गलत सूत्रों को विज्ञान में जगह नहीं मिली और गुमनामी में गायब हो गए)। सच्चे फ़ार्मुलों को सहस्राब्दियों के दौरान पूरक, सुधारा और प्रमाणित किया गया, जब तक कि वे अपने आधुनिक रूप में हम तक नहीं पहुंचे।

वही क्षेत्र मापमाप की एक इकाई के रूप में ली गई आकृति के क्षेत्र के साथ दी गई आकृति के क्षेत्र की तुलना करना शामिल है। तुलना के परिणामस्वरूप, इस आंकड़े के क्षेत्र का एक निश्चित संख्या-संख्यात्मक मान प्राप्त होता है। यह संख्या दर्शाती है कि किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल, क्षेत्रफल के मापन की इकाई के रूप में ली गई आकृति के क्षेत्रफल से कितनी गुना अधिक (या कम) है।

टी इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि क्षेत्र एक कृत्रिम मात्रा है, जिसे ऐतिहासिक रूप से किसी व्यक्ति द्वारा एक सपाट आकृति की कुछ संपत्ति को मापने के लिए पेश किया गया है। इस तरह के मूल्य को दर्ज करने की आवश्यकता यह जानने की बढ़ती आवश्यकता के कारण थी कि एक विशेष क्षेत्र कितना बड़ा है, एक खेत को बोने के लिए कितना अनाज चाहिए या सजावटी टाइलों को सजाने के लिए फर्श के सतह क्षेत्र की गणना करें।

पीक फॉर्मूला

चेकर पेपर पर बहुभुज के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए, यह गणना करने के लिए पर्याप्त है कि यह बहुभुज कितनी कोशिकाओं को कवर करता है (हम एक सेल के क्षेत्र को एक के रूप में लेते हैं)। अधिक सटीक, अगरएस बहुभुज का क्षेत्रफल है, B पूरी तरह से बहुभुज के अंदर स्थित कोशिकाओं की संख्या है, और G उन कोशिकाओं की संख्या है जिनमें एक आंतरिक भाग होता है। हम केवल उन बहुभुजों पर विचार करेंगे, जिनके सभी कोने चेकर पेपर के नोड्स पर स्थित हैं - उनमें जहां बहुभुज ग्रिड लाइनें कम से कम एक सामान्य बिंदु को काटती हैं।

चेकर पेपर पर खींचे गए किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल को समकोण त्रिभुजों और आयतों के क्षेत्रफलों के योग या अंतर के रूप में प्रस्तुत करके आसानी से परिकलित किया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ खींचे गए त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाली ग्रिड रेखाओं का अनुसरण करती हैं। .

ऐसे बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:

प्रमेय . रहने दो - बहुभुज के अंदर पूर्णांक बिंदुओं की संख्या, - इसकी सीमा पर पूर्णांक बिंदुओं की संख्या, - इसका क्षेत्र। तब यह उचित हैचयन सूत्र:

उदाहरण। आकृति में बहुभुज के लिएली = 7 (लाल डॉट्स), 9 (हरे बिंदु), तोएस = 7+ 9/2 -1 = 10,5 वर्ग इकाइयों।

पिक का प्रमेय- क्लासिक परिणाम तथा .

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसमें नोड्स पर कोने होते हैं और जिसमें कोई नोड नहीं होता है या तो अंदर या किनारों पर (कोने को छोड़कर) 1/2 होता है। यह तथ्य।

3. इतिहास

पिक के सूत्र की खोज ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ जॉर्ज अलेक्जेंडर (1859-1942) ने सेंट पीटर्सबर्ग में की थी। ... 16 साल की उम्र में, जॉर्ज ने हाई स्कूल से स्नातक किया और प्रवेश किया... 20 साल की उम्र में उन्हें भौतिकी और गणित पढ़ाने का अधिकार मिला। 1884 में, पीक के लिए रवाना हो गयाप्रति ... वहाँ उसकी मुलाकात क्लेन के एक अन्य छात्र से हुई,... बाद में, 1885 में, वह वापस आ गया, जहां उन्होंने अपना शेष वैज्ञानिक करियर बिताया।

जॉर्ज पिक आइंस्टीन के मित्र थे। पीक और आइंस्टीन ने न केवल वैज्ञानिक हितों को साझा किया, बल्कि संगीत के प्रति भी भावुक थे। विश्वविद्यालय के प्रोफेसरों की चौकड़ी में खेलने वाले पिक ने आइंस्टीन को प्राग में वैज्ञानिक और संगीत समाज से परिचित कराया।

पिक की गणितीय रुचियों का दायरा अत्यंत विस्तृत था। विशेष रूप से, उनके पास 50 से अधिक वैज्ञानिक पत्र हैं। 1899 में उनके द्वारा खोजे गए बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए पीक का प्रमेय व्यापक रूप से जाना जाता है। जर्मनी में, यह प्रमेय स्कूली पाठ्यपुस्तकों में शामिल है।

4.पिक फॉर्मूला के अनुप्रयोग

पिक के सूत्र का उपयोग न केवल बहुभुजों के क्षेत्रफलों की गणना करने के लिए किया जाता है, बल्कि ओलंपियाड स्तर पर कई समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।

समस्याओं को हल करने के लिए पीक फॉर्मूला का उपयोग करने के कुछ उदाहरण:

1) शतरंज के राजा ने बोर्ड के चारों ओर 8 × 8 कक्षों का चक्कर लगाया, प्रत्येक का दौरा किया

मैदान को ठीक एक बार और अंतिम चाल के साथ मूल पर वापस लौटें

मैदान। खेतों के केंद्रों को श्रृंखला में जोड़ने वाली एक टूटी हुई रेखा

पारित राजा, कोई आत्म-चौराहे नहीं है। कौन सा क्षेत्र कर सकते हैं

इस पॉलीलाइन को सीमित करें? (कोशिका की भुजा 1 है।)

यह पिक के सूत्र से तुरंत अनुसरण करता है कि से घिरा क्षेत्र

मन, 64/2 के बराबर - 1 = 31; यहाँ जाली के केंद्र 64 . हैं

क्षेत्र और, शर्त के अनुसार, वे सभी बहुभुज की सीमा पर स्थित हैं। इसलिए

इस प्रकार, यद्यपि राजा के ऐसे बहुत से "पथ" हैं, वे सभी हैं

समान क्षेत्रफल वाले बहुभुजों को विवश करें।

नियंत्रण और माप सामग्री जीआईए और यूएसई से कार्य

चुनौती बी3

1 सेमी 1 सेमी (आकृति देखें) के सेल आकार के साथ चेकर पेपर पर चित्रित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में दें।

4। निष्कर्ष

शोध की प्रक्रिया में, मैंने संदर्भ, लोकप्रिय विज्ञान साहित्य का अध्ययन किया। मैंने सीखा है कि ग्रिड के नोड्स पर कोने के साथ बहुभुज के क्षेत्र को खोजने की समस्या ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ पिक द्वारा 1899 में पिक के उल्लेखनीय सूत्र को साबित करने के लिए प्रेरित थी।

अपने काम के परिणामस्वरूप, मैंने चेकर पेपर पर समस्याओं को हल करने के अपने ज्ञान का विस्तार किया, अपने लिए अध्ययन के तहत समस्याओं का वर्गीकरण निर्धारित किया, और उनकी विविधता के बारे में आश्वस्त हो गया।

मैंने सीखा कि एक चेकर शीट पर खींचे गए बहुभुजों के क्षेत्रों की गणना कैसे की जाती है। माना जाने वाले कार्यों में कठिनाई का एक अलग स्तर होता है - सरल से ओलंपियाड तक। हर कोई उनमें से एक संभव स्तर की जटिलता के कार्य ढूंढ सकता है, जिससे शुरू होकर, अधिक कठिन लोगों को हल करने के लिए आगे बढ़ना संभव होगा।

मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि जिस विषय में मेरी दिलचस्पी है वह काफी बहुआयामी है, चेकर पेपर पर कार्य विविध हैं, उनके समाधान के तरीके और तकनीक भी विविध हैं। इसलिए, हमने इस दिशा में काम करना जारी रखने का फैसला किया।

5. प्रयुक्त साहित्य:

(१) N.B. Vasil'ev, अराउंड द पिक फॉर्मूला, क्वांट। - 1974. - नंबर 12

2. कोकसे प्रसोलोव वी.वी. प्लानिमेट्री कार्य। - एम।: एमटीएसएनएमओ, 2006. ते आर जी.एस.एम. ज्यामिति का परिचय। - मॉस्को: नौका, 1966

3.रोस्लोवा एल.ओ., शैरगिन आई.एफ. माप। - एम।: इज़्ड। ओपन वर्ल्ड, 2005।

इंटरनेट संसाधन:

:

काम के लिए प्रतिक्रिया

"सपाट आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना। विधि चुनें "

इस विषय पर विचार करने से छात्र की संज्ञानात्मक गतिविधि में वृद्धि होगी, जो बाद में, ज्यामिति के पाठों में, ड्राइंग के सामंजस्य को देखना शुरू कर देगा और ज्यामिति (और सामान्य रूप से गणित) को एक उबाऊ विज्ञान के रूप में समझना बंद कर देगा।

एक गणित शिक्षक द्वारा समीक्षित

खोदरेवा तातियाना जॉर्जीवना

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स्लाइड कैप्शन:

माध्यमिक विद्यालय नंबर 7 8 "ए" कक्षा के एक छात्र द्वारा प्रदर्शन किया गया यूनोशेवा केन्सिया शिक्षक: बबीना नतालिया अलेक्सेवना साल्स्क 2011 "फॉर्मूला पिका"

काम के उद्देश्य: स्कूल के पाठ्यक्रम से अलग दूसरे के अस्तित्व की व्याख्या, एक जाली बहुभुज के क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्र। मांगे गए फॉर्मूले के आवेदन के क्षेत्र।

परिचय। सामान्य शिक्षा विद्यालयों में प्राप्त गणितीय शिक्षा एक आधुनिक व्यक्ति की सामान्य शिक्षा और सामान्य संस्कृति का एक अनिवार्य घटक है। इस स्तर पर, स्कूल प्रणाली ग्यारह साल के अध्ययन के लिए डिज़ाइन की गई है। ग्यारहवीं कक्षा के अंत में सभी छात्रों को एकीकृत राज्य परीक्षा देनी होगी, जो स्कूल के दौरान प्राप्त ज्ञान के स्तर को दर्शाएगी। लेकिन स्कूली पाठ्यक्रम हमेशा किसी भी समस्या को हल करने के लिए सबसे तर्कसंगत तरीके प्रदान नहीं करता है। उदाहरण के लिए, 2010 में परीक्षा के परिणामों को देखते हुए, आप देख सकते हैं कि कई छात्र टास्क बी 6 के कारण अंक खो देते हैं। मैं अपने आप को लक्ष्य निर्धारित करता हूं कि आप समय कैसे बचा सकते हैं और इस कार्य को सही ढंग से हल कर सकते हैं।

टास्क B6. आंकड़े चेकर पेपर पर 1 सेमी गुणा 1 सेमी मापने वाली कोशिकाओं के साथ दर्शाए गए हैं (आंकड़ा देखें)। उनका क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में ज्ञात कीजिए।

इसलिए, इस समस्या को हल करने के लिए, मुझे उस क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों को लागू करने की आवश्यकता है जो हम कक्षा 8 में पढ़ते हैं। लेकिन इसमें बहुत समय लगेगा, और मुझे जितनी जल्दी हो सके प्रश्न का उत्तर देना होगा, क्योंकि परीक्षा में समय सख्ती से सीमित है। इसलिए, शोध करने के बाद, मुझे पता चला कि पीक की प्रमेय है, जिसका स्कूली पाठ्यक्रम में अध्ययन नहीं किया जाता है, लेकिन जो मुझे कार्य को तेजी से सामना करने में मदद करेगा।

ऐतिहासिक संदर्भ। जॉर्ज अलेक्जेंडर पिक (10 अगस्त, 1859 - 26 जुलाई, 1942) एक ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ थे। टेरेज़िन एकाग्रता शिविर में उनकी मृत्यु हो गई। आज यह बहुभुजों की एक जाली का क्षेत्रफल ज्ञात करने के अपने चरम सूत्र के लिए जाना जाता है। उन्होंने १८९९ में एक लेख में अपना सूत्र प्रकाशित किया, और यह लोकप्रिय हो गया जब ह्यूगो स्टीनहॉस ने १९६९ में गणितीय तस्वीरों के प्रकाशन में इसे शामिल किया। पीक ने वियना विश्वविद्यालय में भाग लिया और 1880 में अपनी पीएच.डी. पूरी की। डॉक्टरेट की पढ़ाई पूरी करने के बाद, उन्हें प्राग में शेर्ल-फर्डिनेंड विश्वविद्यालय में अर्नेस्ट मच का सहायक नियुक्त किया गया। वे 1881 में वहां शिक्षक बने। 1884 में विश्वविद्यालय से छुट्टी लेकर, उन्होंने लीपज़िग विश्वविद्यालय में फेलिक्स क्लेन के साथ काम करना शुरू किया। वह 1927 में अपनी सेवानिवृत्ति तक प्राग में रहे, और फिर वियना लौट आए। पीक ने (तत्कालीन) प्राग के जर्मन विश्वविद्यालय में एक समिति की अध्यक्षता की, जिसने १९११ में गणितीय भौतिकी विभाग में अल्बर्ट आइंस्टीन के प्रोफेसर को नियुक्त किया। पिक को चेक एकेडमी ऑफ आर्ट्स एंड साइंसेज का सदस्य चुना गया था, लेकिन प्राग पर नाजी कब्जे के बाद निष्कासित कर दिया गया था। 1927 में सेवानिवृत्त होने के बाद, पीक वियना लौट आए, जिस शहर में उनका जन्म हुआ था। Anschluss के बाद, जब 12 मार्च, 1938 को नाजियों ने ऑस्ट्रिया में प्रवेश किया, तो पीक प्राग लौट आया। मार्च 1939 में, नाजियों ने चेकोस्लोवाकिया पर आक्रमण किया। जॉर्ज को 13 जुलाई, 1942 को टेरेज़िन एकाग्रता शिविर में भेजा गया था। दो सप्ताह बाद उनकी मृत्यु हो गई।

पिक का प्रमेय। पिक का प्रमेय संयोजन ज्यामिति और संख्याओं की ज्यामिति का एक उत्कृष्ट परिणाम है। पूर्णांक शिखर वाले बहुभुज का क्षेत्रफल B + G / 2 - 1 के योग के बराबर होता है, जहाँ B बहुभुज के अंदर पूर्णांक बिंदुओं की संख्या है, और G बहुभुज की सीमा पर पूर्णांक बिंदुओं की संख्या है।

पिक के प्रमेय की चापलूसी का प्रमाण। ऐसे किसी भी बहुभुज को आसानी से त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जिसमें जाली के नोड्स पर शीर्ष होते हैं, जिसमें अंदर या किनारों पर नोड्स नहीं होते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि इन सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं और 1/2 के बराबर हैं, और इसलिए, बहुभुज का क्षेत्रफल उनकी संख्या T का आधा है। इस संख्या को खोजने के लिए, हम n की संख्या से निरूपित करते हैं बहुभुज के किनारे, i द्वारा - इसके अंदर नोड्स की संख्या, और b द्वारा - कोने सहित पक्षों पर नोड्स की संख्या। सभी त्रिभुजों के कोणों का योग होता है। आइए अब इस राशि को दूसरे तरीके से खोजें। किसी भी आंतरिक नोड पर एक शीर्ष के साथ कोणों का योग 2 है, अर्थात ऐसे कोणों का कुल योग 2 i है; पक्षों पर नोड्स पर कोणों का कुल योग, लेकिन शिखर पर नहीं, (बी - एन) के बराबर है, और बहुभुज के शीर्षों पर कोणों का योग (एन - 2) है। इस प्रकार, T = 2i π + (b - n) π + (n - 2) , जहाँ से हमें बहुभुज के क्षेत्रफल S के लिए व्यंजक प्राप्त होता है, जिसे चयन सूत्र कहते हैं। उदाहरण के लिए, आकृति में b = 9, i = 24, और इसलिए बहुभुज का क्षेत्रफल 27.5 है।

आवेदन। तो, कार्य B6 पर वापस। अब नए सूत्र को जानकर हम इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। चूंकि बी - 5; - 14, फिर 5 + 14: 2-1 = 11 (सेमी वर्ग) इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल 11 सेमी वर्ग है।

उसी सूत्र का उपयोग करके, हम एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि B-14, G-10, तो 14 + 10: 2-1 = 18 (सेमी वर्ग) इस त्रिभुज का क्षेत्रफल 18 सेमी वर्ग है।

यदि बी-9, जी-12, तो: 9 + 12: 2-1 = 14 (सेमी वर्ग) इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल 14 सेमी वर्ग है।

सूत्र के अनुप्रयोग क्षेत्र। इस तथ्य के अलावा कि सूत्र का उपयोग विभिन्न प्रकार की परीक्षाओं, असाइनमेंट आदि में किया जाता है, यह हमारे आस-पास की पूरी दुनिया के साथ होता है।

शिखर सूत्र के अनुसार एस = बी + ½ जी-1 1) शरीर बी = 9, जी = 26, एस = 9 + ½ 26-1 = 9 + 13-1 = 21 2) पूंछ बी = 0, जी = 8 , एस = 0 + ½ 8 -1 = 3 3) एस = 21 + 3 = 24

शिखर सूत्र के अनुसार S = B + ½ G-1 B = 36, G = 21 S = 36 + ½ · 21 -1 = 36 + 10.5-1 = 45.5

निष्कर्ष। नतीजतन, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि स्कूल के पाठ्यक्रम में अध्ययन नहीं किए गए क्षेत्र को खोजने की समस्याओं को हल करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, और उन्हें पिक फॉर्मूला के उदाहरण का उपयोग करके दिखाया।

निर्देशिका। स्व-चौराहों के बिना बहुभुज को जाली कहा जाता है यदि इसके सभी कोने पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं पर हों (एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में)। निर्देशांक तल का एक बिंदु पूर्णांक कहलाता है यदि इसके दोनों निर्देशांक पूर्णांक हों।