En çok ve en az değeri bilin. Vivchennya grafik fonksiyonları. Parabolik tepe koordinatları

Siteye dağıtıldı

Editörlerin seçimi:

reklam

Golovna - Shkirnі hasta

Gerçekten de, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için genellikle oranları yenmek gerekir. Vikonuemo tse diyu todi, gerekirse, vitrati'yi nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, virobnitstva ve diğerlerinin optimal gelişimini optimize ediyoruz. Bunu doğru bir şekilde yapmak için, en önemli ve en az önemli işlevin ne olduğunu iyi anlamak gerekir.

Ses mi vyznaєmo tsі değeri, kendi çizgisiyle yogo bölümünün işlevinin tüm alanlarını gösterebilen x aralığı ile deyago'nun sınırlarındadır. Tse mozhe buti yak vіdrіzok [a; b ] , (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) , sonsuz aralık (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) veya belirsiz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ) , [ bir ; + ∞), (- ∞ ; + ∞) .

Her malzeme için, bir değişken y=f(x) y = f(x) ile açıkça verilen fonksiyonun en fazla ve en küçük değerlerinin nasıl hesaplanacağı mümkündür.

Ana randevular

Kural olarak, ana randevuların formüllerinden yapalım.

Randevu 1

Geçerli x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri m a x y = f (x 0) x ∈ X (x0) değeridir.

Randevu 2

Geçerli x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) 'nin değeridir, yani herhangi bir değer için x ∈ X , x ≠ x 0 ) ≥ f(x0) .

Qi vyznachennya є dosit bariz. Daha basit olarak şunu söyleyebiliriz: fonksiyonun en büyük değeri apsis x 0'da verilen aralıktaki en büyük değerdir ve en küçük - en küçük değer aynı aralıkta x 0'da alınır.

Randevu 3

Durağan noktalara, 0'a çıkması muhtemel olan fonksiyonun argümanının bu değerleri denir.

Durağan noktaların ne olduğunu bilmemiz gerekiyor? Doğru devre için Fermat teoremini tahmin etmeniz gerekir. Durağan bir noktanın, türevlenebilen bir fonksiyonun ekstremumunun (yani yerel bir minimum veya maksimum) olduğu bir nokta olduğu açıktır. Ayrıca fonksiyon, durağan noktalardan birinde şarkı söyleme aralığının kendisinde en az veya en önemli olanıdır.

Başka bir işlev, işlevin kendisinin şarkı söylediği sessiz noktalarda en çok veya en az önemli olabilir, ancak bu ilk değildir.

Her şeyden önce, onları şu noktalarda suçlarsanız: tüm modlarda belirli bir puana bir fonksiyonun en fazla veya en az değerini ne atayabiliriz? Hі, verilen aralık arasında boşluk belirlenen alanın sınırları arasında olsa bile yapamayız, aksi takdirde belirsiz bir aralıkla yapabiliriz. Ve böylece, belirli bir bağlamdaki veya sonsuzdaki fonksiyon, sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerler alır. Bu durumlarda, en fazla ve/veya en küçük değeri atamak mümkün değildir.

En akıllara durgunluk veren anlar, grafiklerdeki görüntünün ardından geliyor:

İlk küçük olan bize fonksiyonu, en yüksek ve en düşük değerin (m a x y і m n y) ray üzerinde yayılmış sabit noktalarda nasıl elde edileceğini gösterir [ - 6 ; 6].

Raporlama olarak, başka bir program için türleri, randevuları analiz edeceğiz. Argümanın değerini [1; 6] ve fonksiyonun en büyük değerine apsisin sağ aralıkta olduğu noktada, en az ise durağan noktada ulaşılabilmesi önemlidir.

Üçüncü küçük apsiste, nokta vіdrіzka'nın sınır noktalarıdır [-3; 2]. Kokular, verilen fonksiyonun en yüksek ve en düşük değerini verir.

Şimdi dördüncü küçüklere hayret edelim. Yeni bir fonksiyon için geniş bir aralıkta (-6; 6) durağan noktalarda m x y (en büyük değer) ve m i n y (en küçük değer) alır.

[1; 6) , bir fonksiyonun yenisi için en küçük değerinin durağan bir noktada elde edileceğini söyleyebiliriz. En büyük değeri bilemeyeceğiz. İşlev, x'te en fazla değeri alabilir ki bu 6 olur, ancak x = 6 aralık içinde kalır. En tepe noktası grafik 5'te işaretlenmiştir.

Grafik 6'da, sağ aralığın (- 3 ; 2 ) işlevine en az değer verilir ve yaklaşık olarak en yüksek değer, aynı vysnovkіv'ı ekleyemiyoruz.

Küçük olan 7 Bachimo'da, fonksiyonun durağan noktada matime m a x y olduğu, apsisin 1'e eşit olduğu. Fonksiyonun en küçük değeri sağ taraftaki aralığın içindedir. Eksi tutarsızlıkta, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak y = 3'e kadar yaklaşır.

x ∈ 2 aralığını nasıl alabiliriz; + ∞ , o zaman verilen fonksiyonun en yeni veya en küçük veya en büyük değer için kabul edilmemesi mümkündür. Eğer x doğru 2 ise, fonksiyonun değeri pragmatik eksi tutarsızlıktır, x = 2 çizgisinin ölçeklendirilmesi dikey asimptottur. Apsis artı tutarsızlığa kadar doğru olsa da, fonksiyonun değeri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşır. Vipadok'un erkeği bebek 8 olarak tasvir edilmiştir.

Bu noktada, fonksiyonun en yüksek ve en düşük değerini şarkı söyleyen ses üzerinde işaretlemek gerektiğinden, bir diy dizisini tanıtacağız.

Atanan işlevin kapsamını biliyoruz. Pereverimo, chi'nin görevlerinden önce yıkıcıların zihnine girmesi.
Şimdi bu rüzgarda bulunabilecek noktaları ilk etapta sayabiliriz. Çoğu zaman, girişleri modülün işareti altında olan işlevleri kullanmak mümkündür, ancak göstergesi kesirli bir rasyonel sayı olan durum işlevleri için.
Dali z'yasuєmo, vіdrіzok görevlerinde harcamak için yakі sabit puanları. Bunun için fonksiyonun geri kalanını hesaplamanız gerekir, ardından onu 0'a eşitleyin ve sonuçta meydana gelen fark eşittir, ardından uygun kökü seçersiniz. Herhangi bir durağan nokta görmediğimiz için, aksi takdirde pantolonun görevlerinden koku almayacağız, hücum timsahına geçiyoruz.
Önemli olarak, eğer fonksiyonun değeri verilen durağan noktalarda (kokuşmuş є gibi) veya ilk defa olmadığı sessiz noktalarda (kokuşmuş є gibi) kabul edilirse veya x = a і x = b için değer .
5. Şimdi en çok ve en azını seçmenin gerekli olduğu bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bilmemiz gereken en önemli ve en az önemli işlevler neler olacak.

Günün ilk saatinde algoritmanın ne kadar doğru yüklendiğini merak ediyoruz.

popo 1

Umov: y = x3+4x2 fonksiyonu verilmiştir. Vіdrіzkah [1; 4] ben [-4; -bir].

Çözüm:

Bu fonksiyona atanan alanın önemine bakalım. Ve burada tüm gerçek sayıların şahsi olmayacağım, crim 0 . Diğer bir deyişle, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞. Akılda verilen suçlar, belirlenen alanın ortasında bulunacaktır.

Şimdi kesir türevi kuralına göre aşağıdaki fonksiyonları hesaplayabiliriz:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Açıklıkların [1; 4] ben [-4; -bir].

Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Ek yardım için Zrobimo tse x 3 - 8 x 3 \u003d 0. Yeni olanın sadece bir gerçek kökü vardır, o da sevgili 2'dir. Vіn, sabit bir işlev noktası olacak ve ilk vіdrіzok'ta yemek yiyecek [1; dört].

İlk noktadaki ve diğer noktadaki tobto fonksiyonunun değerini hesaplayalım. x = 1, x = 2 ve x = 4 için:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3'e x = 1'de ulaşılacak ve en az m n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 için.

Diğer dal herhangi bir durağan nokta içermez, bu nedenle fonksiyonun değerlerini sadece verilen dalın uçlarında hesaplamamız gerekir:

y(-1) = (-1) 3 + 4 (-1) 2 = 3

Yani, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m ben n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

Öneri: vіdrіzka için [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 tersi için [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m ben n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

küçük biri için:

Ondan önce, yolu nasıl öğreneceğinizi, size tekrar etmek uğruna, tutarsızlıklar arasında ve arasındaki tek taraflıyı nasıl doğru bir şekilde hesaplayacağınızı ve bunların tanınmasının ana yöntemlerini nasıl öğreneceğinizi öğrenin. Belirli veya belirsiz bir aralıkta bir fonksiyonun en çok ve/veya en küçük değerini bilmek için bunu sırayla yapmak gerekir.

Koçanı için yeniden düşünmek gerekir, eğer görevler olacaksa, aralık fonksiyona atanan alana bölünecektir.
Önemli ölçüde, ilk değişikliğin olmadığı gerekli aralıkta bulunan tüm noktalar. Fonksiyonların pis kokusu, de argüman modülün işaretine yerleştirilir ve durum fonksiyonları için kesirli olarak rasyonel bir göstergeye sahiptir. Vіdsutnі'nın noktalarının yanı sıra, saldırgan timsahlara gidebilirsiniz.
Şimdi, verilen aralığa kadar harcamak için yakі sabit puanları önemlidir. Kafanın arkası 0'a eşittir, eşittir ve kök alınır. Uygun bir durağan nokta bulamazsak veya pis koku görevlerden aralıklarla gelmiyorsa, hemen diğer görevlere geçeceğiz. Їx aralığı belirler.

[a; aralığına nasıl bakabilirim; b) , o zaman fonksiyonun değerini x = a i noktasında lim x → b - 0 f (x) arasında tek yönlü hesaplamanız gerekir.
(a; b] aralığına bakarsak, fonksiyonun x = b noktasındaki değerini ve tek taraflı lim x → a + 0 f (x) sınırını hesaplamamız gerekir.
(a; b) aralığına bakarsak, o zaman tek taraflı inter lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) hesaplamamız gerekir.
[a; aralığına nasıl bakabilirim; + ∞) , o zaman artı tutarsızlıklar lim x → + ∞ f (x) arasındaki x = a i noktasının değerini hesaplamanız gerekir.
Aralığın nasıl göründüğü (- ∞ ; b ) , x = b і noktasındaki değer eksi sonsuz lim x → - ∞ f (x) olarak hesaplanır.
Yakscho - ∞; b , sonra lim x → b - 0 f (x) arasında ve eksi tutarsızlık lim x → - ∞ f (x) arasında tek taraflı
Yakscho w - ∞; + ∞ , o zaman eksi i artı lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x) tutarsızlıklarını hesaba katarız.

Örneğin, visnovok'u fonksiyonun değerini alarak ve arasında büyütmek gerekir. Burada seçenek yok. Yani, tutarsızlığın en önemli eksisi veya tutarsızlığın artısı arasında tek taraflı bir sınır olsa da, en az ve en önemli işlevler hakkında bir şey söylemenin imkansız olduğunu anladım. Aşağıda tipik bir popo analiz edeceğiz. Ayrıntılı açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Gerekirse, malzemenin ilk kısmında küçük 4 - 8'e dönebilirsiniz.

popo 2

Umov: verilen bir fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Aralıklardaki en büyük ve en küçük değerleri hesaplayın - ∞ ; - 4, - ∞; - 3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; +∞, [4; +∞).

Çözüm

Atanan işlevin kapsamının farkındayız. Kesir bayrağında, 0'a dönmekten suçlu olmayan bir kare trinomial var:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Belirlenen işlev alanını, tüm randevular aralık içinde kalana kadar kaldırdık.

Şimdi fonksiyonların farklılaşmasını görebilir ve onları alabiliriz:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1” x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6” (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Otzhe, pokhіdnіdnіdnіdnіdnіdnіdnіdnіdnіnіnіnіnіnіvіy alan ііnіnіn ііtіі znachennya.

Gelelim durağan noktaların önemine. Pokhіdna işlevleri x = - 1 2'de 0'a iner. Bu, (-3; 1] ve (-3; 2) aralıklarında olduğu gibi durağan bir noktadır.

Fonksiyonun değerini x = - 4 aralığında (- ∞ ; - 4 ] ve eksi tutarsızlık aralığı için hesaplarız:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Oskіlki 3 e 1 6 - 4 > - 1 , yani m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ) = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Bu bize işlev. saçak - 1'in altında olan visnovok'un büyümesi, fonksiyonun kendisinin değerine ölçeklenmesine tutarsızlık eksi ile asimptotik olarak yaklaşılır.

Başka bir aralığın özellikleri, yenisinde olanlardır, aynı keskin sınırın kararlı noktaları yoktur. Ayrıca, fonksiyonun ne en büyük ne de en küçük değeri hesaplanamaz. Sınırı, sol taraftaki - 3'e kadar olan argümanla eksi tutarsızlıkla işaretledikten sonra, yalnızca aralık değerini alırız:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 ve 0 - 4 = - 1

Ortalama fonksiyonun değerleri - 1 aralığında genişletilecektir; +∞

Üçüncü aralık için fonksiyonun en büyük değerini bilmek için, durağan noktanın değerinin x = - 1 2 olması önemlidir, yani x = 1 . Ayrıca, argüman sağ taraftan - 3'e kadar pragne ise, o vipadka için tek taraflı sınırı bilmemiz gerekir:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (-3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Fonksiyonun en büyük değerinin m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25-4 durağan noktasında olacağını gördük . – aşağıdan - 4'e kadar toprak altı.

(- 3 ; 2) aralığı için, ileriye dönük hesaplamanın sonuçlarını alıyoruz ve bir kez daha, sol taraftan 2'ye kadar egzersiz yaparken tek taraflı sınırın neden daha iyi olduğunu övüyoruz:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

O halde m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 olur ve en küçük değer hesaplanamaz ve fonksiyonun değeri aşağıdan - 4 sayısına bölünür.

Önceki iki hesaplamada ne elde ettiğimize bağlı olarak, [1; 2) fonksiyonun en büyük değeri x = 1'de kabul edilir, ancak en küçüğünü bilmek imkansızdır.

(2 ; + ∞) aralığında, fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşır, yani. aralığın değerini almaz - 1; +∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 için fonksiyonun değerinin neden daha önemli olduğunu hesapladıktan sonra, m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 i artı sonsuzdaki fonksiyon, y = - 1 doğrusuna asimptotik olarak yaklaşmak üzere ayarlanmıştır.

Porіvnyaєmo, cilt sayımında gördüklerimiz, atanan işlevin programı ile. Küçük bir asimptot, noktalı bir çizgi ile gösterilir.

En büyük ve en küçük fonksiyonların önemi hakkında bilmek istediğimiz tek şey buydu. Getirdiğimiz bu diziler, gerekli hesaplamaları en hızlı ve basit şekilde tamamlamanıza yardımcı olacaktır. Ancak, sık sık başın arkasını katladığınızı, bazı aralıklarla işlevin değiştiğini ve bir miktar artışla daha uzağa çalışabileceğinizi unutmayın. Böylece fonksiyonların çoğunu ve en azını daha doğru bir şekilde belirlemek ve sonuçları azaltmak mümkündür.

Metindeki affı nasıl hatırladın, kibar ol, gör ve Ctrl + Enter tuşlarına bas

Sorun Açıklaması 2:

İşlev, şarkı söyleme aralığına kesintisiz olarak verilir, atanır. Her uzay için fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini bilmek gerekir.

Teorik temeller.
Teorem (Weierstrass'ın diğer teoremi):

Kapalı bir alanda fonksiyon atandığı ve kesintisiz olduğu için en büyük ve en küçük değerine ulaşacaktır.

Fonksiyon, boşluğun iç noktalarında veya diğer sınırlarda en yüksek ve en düşük değerlerine ulaşabilir. Tüm olası seçenekleri gösteriyoruz.

Açıklama:
1) Fonksiyon, noktada en büyük değerine sol aralıkta, en küçük değerine de noktada sağ aralıkta ulaşır.
2) Fonksiyon, noktada (maksimum olan nokta) en büyük değerine ve noktada doğru aralıkta en küçük değerine ulaşır.
3) Fonksiyon, noktada sol ara boşlukta en büyük değerine ve noktada en küçük değerine ulaşır (tüm nokta minimumdur).
4) İşlev promizhku, tobto'da oldu. aradaki hiçbir noktada minimum ve maksimum değerine ulaşmaz, ayrıca minimum ve maksimum değer birbirine eşittir.
5) Fonksiyon bir noktada en büyük değerine ve bir noktada en küçük değerine ulaşır (bunlardan önce, fonksiyonun bir maksimumu ve bir minimumu olabilir).
6) Fonksiyon, noktada en büyük değerine ulaşır (nokta maksimumdur) ve en küçük değeri noktadadır (nokta minimumdur).
Saygı duymak:

"Maksimum" ve "maksimum değer" - farklı konuşmalar. Nedeni, "maksimum değer" ifadesinin sezgisel olarak mantıklı bir şekilde anlaşılmasına verilen atamadan açıktır.

Ayrıştırma görevleri için algoritma 2.

4) Çıkarılan değerden en büyük (en küçük) olanı seçin ve farkı yazın.

Örnek 4:

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplayın vіdrіzku üzerinde.
Çözüm:
1) Uygun işlevleri bilir.

2) Durağan noktaları (i noktaları, ekstremumdan şüpheleniliyor), virishivshi denkleştirmesini bulun. Saygınızı iki taraflı bir yaşam sonunun olmadığı noktalara çevirin.

3) Durağan noktalarda ve aralık sınırlarında fonksiyonun değerini hesaplayınız.

4) Çıkarılan değerden en büyük (en küçük) olanı seçin ve farkı yazın.

Koordinatların olduğu noktada pencerenin en büyük değerine ulaştığı fonksiyon.

Koordinatların bulunduğu noktada görünümün en küçük değere ulaştığı fonksiyon.

Hesaplamanın doğruluğu, tamamlanmış fonksiyonun grafiğine hayret ederek yeniden gözden geçirilebilir.

Saygı duymak: Fonksiyonun en büyük değeri maksimum noktasında, en küçüğü ise noktalar arasındadır.

Okremy bir pislik.

Kabul edilebilir, rüzgar için akım fonksiyonunun maksimum ve minimum değerini bilmek gerekir. Algoritmanın ilk paragrafının ihlalinin ardından, tobto. Örneğin, her bakımdan daha fazla olumsuz anlamlar almadığı açıkça ortaya çıkıyor. Unutmayın, eğer negatifse, fonksiyon değişir. Fonksiyonun her açıdan değiştiğini çıkardık. Bu durum, stat koçanı üzerinde 1 numaralı grafikte gösterilmiştir.

İşlev farklı bir işleve, tobto'ya değişecektir. onun ekstremum noktası yok. Fonksiyonun en küçük değerinin pencerenin sağ tarafında, en fazla değerin ise sol tarafında alındığı resimden görülmektedir. rüzgara benzerse, her yerde pozitiftir, o zaman fonksiyon büyür. En küçük değer pencerenin sol tarafında, en çok - sağdadır.

Bu yazıda size bundan bahsedeceğim en büyük ve en küçük değerleri bulmak için algoritma fonksiyonlar, minimum ve maksimum noktaları.

teorilere ihtiyacımız var masaі farklılaşma kuralları. Bu tabloda hepsi aynı:

En büyük ve en küçük değeri aramak için algoritma.

Belirli bir örnek üzerinde daha net açıklayabilirim. Hadi bir bakalım:

popo:[–4;0] tersinde y=x^5+20x^3–65x fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Krok 1. Hadi gidelim.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Krok 2 Uç noktaları biliyoruz.

Krapköy ekstremumu fonksiyonun en yüksek veya en düşük değerine ulaştığı noktalara böyle noktalar diyoruz.

Uç noktaları bilmek için, benzer bir işlevi sıfıra (y" = 0) eşitlemeniz gerekir.

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Şimdi karenin eşit olduğu ve kökün bilindiği ve ekstremum noktalarımızın olduğu açıktır.

Bu eşitlemeyi t = x^2, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0 ile çözeceğim.

Hızla 5 ile eşitle, şunu al: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4 * 1 * (-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Robimo zavorotnu zamіnu x^2 = t:

X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 і 4) = ±sqrt(-13)

Birlikte: x_(1) = 1 x_(2) = -1 - bu bizim ekstremum noktalarımızdır.

Krok 3 En önemlisi en önemsizidir.

İkame yöntemi.

Akıl için bize bir vіdrіzok [b] [–4; 0] verildi. x=1 noktası bu dala girmemelidir. Otzhe її görmüyoruz. x=-1 noktalarına ek olarak, vіdrіzka'mız arasındaki sola ve sağa, ardından -4 ve 0 noktalarına da bakmamız gerekiyor. Bunun için çıktı işlevindeki üç noktayı da temsil ediyoruz. Vihіdnu'ya saygı gösterin - akılda verildiği gibi (y=x^5+20x^3–65x), deyakі pokhіdnu'da empoze etmeye başlar ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

[b]44 fonksiyonunun en büyük değeri anlamına gelir ve [b]-1 noktasına ulaşır, üstte fonksiyonun maksimum noktası denildiği için [-4; 0].

Biz vyrishili ve otrimali vіdpovіd, iyi dostlarım, rahatlayabilirsiniz. Dur! y(-4)'ün ne kadar iyi olması gerektiğini bilmiyor musunuz? İtaatkar bir saatin zihninde, farklı bir şekilde hızlanmak daha iyidir, ben buna yoga derim:

İşaretlerin geçitleri aracılığıyla.

Sıradan bir işlev için boşluk sayısını bilmek için, b_kvadratnogo'muza eşittir.

Ben böyle çalışıyorum. Vіdrіzok'un küçük doğrultulması. Noktaları belirledim: -4, -1, 0, 1. Girişlerin görevlerinde 1'in yer almadığına şaşırmayın, її aşinalık boşluklarını doğru bir şekilde belirlemek için hepsine atanmalıdır. 1'den büyük bir sayı alalım, diyelim ki 100, biquadratik denklemimizde 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65 olduğunu düşünelim. Navit 100 noktasında fonksiyonun bir artı işaretine sahip olduğu açıkça görülmez. . Ve bu, 1'den 100'e kadar olan vaatler için bir artı işareti olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sol sağdayız), fonksiyon işareti eksi olarak değiştirecektir. 0 noktasından geçerken, işlev işaretini kaydeder, kırıklar vіdrіzka sınırından daha azdır ve chi, eşitin kökü değildir. -1'den geçerken fonksiyon tekrar artı işaretini değiştirecektir.

Teoriden, orada işlevlerin ne olduğunu biliyoruz (ve kendimizi bunun için silahlandırmadık) işareti artıdan eksiye değiştir (vipad'imizde -1 noktası) fonksiyon mevcut yerel maksimum (y(-1)=44, daha önce parlatıldığı için) bu vіdrіzku üzerinde (mantıksal olarak daha makul, işlev büyümeyi bıraktı, kırıklar maksimuma ulaştı ve değişmeye başladı).

Açıkçası, bazı yararlı işlevler var işareti eksiden artıya değiştir, ulaşılabilir fonksiyonun yerel minimumu. Dolayısıyla, yerel minimum 1'in noktasını ve y(1) - üstteki fonksiyonun minimum değerini de biliyoruz, -1'den +∞'ye izin verilebilir. Sadece yerel bir minimum olan büyük saygı gösterin, ardından şarkı söyleyen bir rüzgarda minimum. Peki burada fonksiyonun gerçek (küresel) minimumuna nasıl ulaşılabilir, -∞.

Bir bakışta, ilk yol teorik olarak daha basit, diğeri ise aritmetik eylemlere bakıldığında daha basit, ancak teori açısından daha zengin. İşlev, eşit kökten geçerken işareti değiştirmese bile, bazen hem yerel hem de genel maksimumlar ve minimumlarla kaybolabilir, başka neden virishuvati tse zavdannya olan bir EDI profiliniz var). Bu görevi nasıl yapacağınızı size öğretmek için bira pratiği ve daha az pratik yapın. Ve sitemizde eğitim alabilirsiniz. Eksen.

Yakshcho vynikli pitanya'yı yakıyor, ancak makul olmayan bir şekilde schos - obov'yazkovo enerji veriyor. Sizi gördüğüme sevindim ve makaleye ekleyerek değişiklikler yapacağım. Unutma, bu siteyi bir kerede mi robimo!

Pratik açıdan en ilginç olanı, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin benzer değerinin varyasyonudur. Neden ilişkilidir? Kârın maksimizasyonu, vitratın minimizasyonu, en uygun kurulum maliyetinin belirlenmesi... Hayatın zengin alanlarında, hangi parametreyi olursa olsun optimize etme görevini ihlal etmek gerekiyor gibi görünüyor. Ve amaç, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin değerini belirtmektir.

Ardından, hangisinin en büyük ve en az önemli olduğunu belirleyin, işlev atamasının tamamı veya kısmi bir atama alanı olan X aralığında ses. X aralığının kendisi farklı, kritik bir aralık olabilir , tükenmez ilişki.

Bu yazıda, bir değişkenin açıkça verilen fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin önemi hakkında konuşuyoruz y=f(x) .

Yan tarafta navigasyon.

En önemli ve en az önemli işlevler tanımlamalar, çizimlerdir.

Kalem, ana tanımlamalarda keskinleştirilmiştir.

Fonksiyonun en yüksek değeri , ne-kim-olmak için adil nerіvnіst.

Fonksiyonun en küçük değerleri X aralığı için y=f(x) , ne-kim-olmak için adil nerіvnіst.

Değerin değeri sezgisel olarak makuldür: fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsis ile analiz edilen aralıktaki en büyük (daha küçük) değerdir.

Sabit noktalar- argümanın değeri, bazıları için fonksiyonlar sıfıra döner.

Neden en yüksek ve en düşük değerlere sahip durağan noktalara ihtiyacımız var? Fermat teoremi kanıt verir. Teorem açısından, bir fonksiyon olarak, bir türev olarak, gerçek bir noktada bir ekstremum (yerel minimum veya yerel maksimum) olduğu açıktır, o zaman bu nokta durağandır. Bu şekilde fonksiyon genellikle en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.

Ayrıca, genellikle bir fonksiyonun en küçük değeri, ilk benzer fonksiyona sahip olmayan noktalarda alınabilir, ancak fonksiyonun kendisine atanır.

Bu konudaki en geniş verilerden birine bakalım: "Bir fonksiyonun en (en az) değerini ne hesaplayabilirsiniz"? beklemeyin. Bazen X aralıkları arasında, işleve atanan alanın sınırlarından zbіgayutsya bulunur veya X aralığı sınırlı değildir. Ve fonksiyonun uyumsuzluk ve randevu bölgesinin sınırları üzerindeki deacon'ları sonsuz büyük, yani sonsuz küçük değer olabilir. Bu durumlarda, en önemli ve en az önemli işlevler hakkında hiçbir şey söylenemez.

Anlaşılır olması için grafik bir örnek vereceğim. Küçüklere bakın - ve zengin bir şekilde temizleyin.

vіdrіzku üzerinde

İlk bebekte fonksiyon dairenin ortasındaki durağan noktalarda en fazla (en fazla y) ve en az (min y) değerleri alır [-6; 6].

Vipadok'a bakalım, başka bir küçük olanın görüntüleri. olarak değiştirelim. Bu örnek için, fonksiyonun en küçük değerine durağan noktada ulaşılır ve en çok - doğru aralığı gösteren apsisli noktada elde edilir.

Küçük No. 3'te, çaprazın [-3; 2] sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen apsis noktalarıdır.

Belirli bir aralıkta

Dördüncü küçükte fonksiyon, açık aralığın (-6; 6) ortasında olan durağan noktaların en fazla (max y ) ve en küçük (min y ) değerlerini alır.

En önemli aralıkta, hiçbir değişiklik mümkün değildir.

tutarsızlık üzerine

Soma bebek üzerinde sunulan popoda fonksiyon apsis x=1 ile durağan noktada en büyük değeri (max y) alır ve sağ aralıkta en küçük değere (min y) ulaşılır. Tutarsızlık eksisinde, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.

Aralıkta, işlev en küçük veya en büyük değere ulaşmaz. Fonksiyonun değeri x=2'ye kadar sağ yönlü olduğunda, fonksiyonun değeri eksi tutarsızlık (düz doğru x=2 dikey asimptottur) ve apsis artı tutarsızlığa kadar doğru olduğunda, fonksiyonun değeri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Küçük popo No. 8'in poposunun grafik bir gösterimi.

Bir sarıcıda kalıcı olmayan bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.

Girdi üzerindeki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bilmenizi sağlayan bir algoritma yazalım.

Atanan işlevin kapsamını biliyoruz ve yeniden doğrulandı, böylece tüm vdrіzok ondan kaldırılabilir.
İlkinin geçerli olmadığı ve birincinin kaybolduğu ve rüzgara yakın oldukları tüm noktaları biliyoruz (modül altında bir argümanla fonksiyonlar için puanlar toplanacak şekilde ses). işareti ve kesirli-rasyonel üslü durağan fonksiyonlar için). Böyle noktalar olmadığı için hücum noktasına geçiyoruz.
Rüzgarda olan tüm sabit noktalar görülebilir. Kim için sıfıra eşitlemek, eşit atlamak ve aynı kökü seçmek daha iyidir. Çok fazla durağan nokta yok ama onları rüzgar siperlerinde heba edemezsiniz, hadi hücum noktasına geçelim.
Seçilen durağan noktalarda (є gibi), ilk satırı olmayan noktalarda (є gibi) ve ayrıca x=a ve x=b'de fonksiyonun değerinin hesaplanması.
Fonksiyonun değerini almak için, en çok ve en az olanı seçin - açıkçası, fonksiyonun en yüksek ve en küçük değeri olacaklardır.

Fonksiyonun en yüksek ve en düşük değerini en üste uyguladığımızda algoritmayı analiz edelim.

popo

Bir fonksiyonun en yüksek ve en düşük değerini bulun

vіdrіzku üzerinde;
tersine [-4;-1].

Çözüm.

İşlevin kapsamı, kişisel olmayan gerçek sayılar, sıfırın kremi, tobto'dur. Suçlar belirlenen alandan alınır.

Benzer işlevleri şu şekilde biliyoruz:

Açıktır ki, kesişme noktasındaki tüm noktalarda ve [-4;-1] benzer fonksiyonlar mevcuttur.

Durağan noktalar önemli ölçüde daha eşittir. Tek gerçek kök є x=2'dir. Tsya sabit noktası ilk vіdrіzok'ta tüketilir.

Birinci tip için, fonksiyonun kesimin uçlarındaki ve durağan noktadaki değeri hesaplanır, böylece x=1, x=2 ve x=4'te:

Aynı, en önemli işlev x=1 ve en küçük değerde ulaşılabilir - x = 2 olduğunda.

Başka bir şekilde, işlevin değeri yalnızca [-4;-1] daralmasının uçlarında hesaplanır (ölçeklenen şaraplar aynı durağan noktanın intikamını almaz):

Çözüm.

Atanan işlevin alanı ile başlayalım. Kesir bayrağındaki kare üç terimli sıfıra dönmekten suçlu değildir:

Tüm aralıkların atanan işlev alanında olduğu düşünülmesi gerektiğini abartmak kolaydır.

Farklılaşma işlevi:

Açıkçası, işlev tüm alanlarda benzerdir.

Durağan noktaları biliyoruz. Pokhіdna sıfıra döner. Bu durağan nokta (-3; 1) ve (-3; 2) aralığında tüketilir.

Ve şimdi, yüzey noktasındaki fonksiyon grafiğinden sonuçları alabilirsiniz. Mavi noktalı çizgiler asimptotları gösterir.

Üzerinde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin değerlerinden bitirebilirsiniz. Bu istatistikler tarafından geliştirilen algoritmalar, sonuçları minimum diy ile almanızı sağlar. Bununla birlikte, elin arkasında, işlevin artması ve değişmesi ve aynı aralıkta işlevin en büyük ve en az önemi hakkında visnovka'nın sadece biraz daha fazla çalışması. Bu, sonuçların toplamının daha net bir resmini verir.

Okumak:

Sunum "okul öncesi eğitimin eğitim etkinliğinin kalitesini değerlendirme kriterleri" konulu sunum Zahider Boris Volodymyrovich Sunum konuyla ilgili okumadan dersten önce biyografi sunumu (2. sınıf) “Vipadas için Akrobasi Yönetmelikleri” konulu Ek "Spor ailem" projesine sunum §3 Düz çizgi ve düz alan