ileri saygı

1. Stereometri, tüm noktaları aynı düzlemde olmayan geometrik gövdelere ve geniş figürlere sahiptir. Geniş figürler, küçüklerin yardımı için koltukta tasvir edilmiştir, sanki göze kükreme, figürün kendisi ile yaklaşık olarak aynıdır. Qi minikler, figürlerin geometrik gücünü temel alan şarkı söyleme kurallarına uyarlar.
Dairede geniş figürleri göstermenin yollarından biri uzakta belirtilecektir (§ 54-66).

ROZDİL İLK DÜZ VE DÜZ

I. UÇAK POZİSYONU

2. Alanın görüntüsü. Günlük yaşamda, dikdörtgen bir şekil oluşturmak için tahmin edilen bir geometrik düzlemin üstünde birçok nesne vardır: bir kitap paleti, bir hata, bir yazı masasının üstüne vb. bir paralelkenar şeklini çizin. Bu nedenle, koltuktaki düzlemi paralelkenar 1 olarak göstermek gelenekseldir. Tsyu alan sesi bir harf anlamına gelir, örneğin "alan M" (Grafik 1).

1 Alanın atanan görüntülerinin sırası, 15-17 ve іn koltuklarında olduğu gibi mümkündür ve aynıdır.
(Ed. notu)

3. Yüzeyin ana özellikleri. Diyelim ki ispatsız kabul edilen dairenin kuvveti bir aksiyom olsun:

1) Düz bir çizginin iki noktası bir düzlem üzerinde bulunuyorsa, düz bir çizgi üzerindeki deri noktası bir düzlem üzerindedir.

2) İki daire bir yanma noktası oluşturuyorsa, koku o noktadan düz bir çizgi halinde yuvarlanır.

3) Bir doğru üzerinde olmayan üç nokta olup olmadığına göre bir düzlem çizmek mümkündür ve ondan önce sadece bir tane vardır.

4. Miras. Teklifin geri kalanından aşağıdakileri girebilirsiniz:

1) Düz bir çizgi ve arkasındaki bir nokta üzerinden bir düzlem (ve birden fazla) çizebilirsiniz. Gerçekten de, pozun noktası düz bir çizgi boyunca bazı iki nokta ile aynı anda düzdür, üç nokta eklenir, yak aracılığıyla bir düzlem (ve ondan önce bir tane) çizmek mümkündür.

2) İç içe geçen iki düz çizgi sayesinde bir düz (ve sadece bir tane) çizmek mümkündür. Etkili bir şekilde, üst çubuğun noktasını ve cilt düz çizgisi üzerinde bir nokta daha veya yaki üzerinden üç nokta alarak bir düzlem (ve ondan önce bir tane) çizmek mümkündür.

3) İki paralel düz çizgiden sadece bir düzlem çizmek mümkündür. Nitekim randevuların arkasındaki düz çizgilere paralel olarak aynı düzlemde uzanır; Bu düzlem birdir, öyle ki paralellerden birinin içinden ve diğerinin noktası olarak birden fazla düzlem çizmek mümkün değildir.

5. Alanı düz çizginin etrafına sarın. Açık alanda doğrudan cilt yoluyla sonsuz bir alan çizmek mümkündür.

Gerçekten, düz olsun a (şeytan 2).

A noktasını arkasına alalım. A noktasından ve düz a tek bir düzlemden geçer (§ 4). Biz buna M düzlemi diyoruz. M düzleminden sonra yeni bir nokta alın. B noktası ve düz çizgi boyunca a karanlığıyla dairenin içinden geçmek için. Buna N düzlemi denir. Sp_vpada z M olabilir, üzerindeki kayalar Y noktasında uzanır, böylece M düzlemi uzanır. a yeni bir yüzey geçirin. Buna її R denir. Vaughn M'den, N'den N'den kaçmaz, çünkü içinde bir C noktası vardır, bu nedenle ne M alanına kadar ne de N alanına kadar uzanmaz. düz çizgiden geçen yeni uçaklar a . Böyle alanlar olmayacak. Bütün bu düzlemler, düz bir çevrede dolanan tek ve aynı düzlemin farklı konumları olarak görülebilir. a .

Uçağın bir gücünü daha gösterebiliriz: Düz olsun, bu düzlemin yakınında yer alan uçak kendini sarabilir.

6. Açık alan ziyareti için randevu. Planimetride çırpınan bıyıklar, koltuk aletlerinin yardımıyla aynı düzlemde galip geldi. Açık alanın yakınındaki pobudov için koltuk aletleri zaten kabul edilemez hale geliyor, bu nedenle figürleri açık alanın yakınında sandalyeye oturtmak imkansız. Ayrıca, mekanda yeni bir öğe olduğunda, yeni bir öğe vardır - mekanda ise, daire üzerinde düz bir çizgi gibi basit kilitlerle zemine döşenemeyen daire.

Bu nedenle, açık alanın yakınında pobudov olduğunda, o chi іnsha pobudovu, zokrema, yani açık alanın yakınında daireyi uyandırmak anlamına gelen vikonate etmenin ne anlama geldiğini doğru bir şekilde belirlemek gerekir. Uzayda her durumda, izin veriyoruz:

1) uzayda bu konumları gösteren elementler bulunduğundan, düzlem indüklenebilir (§ 3 ve 4), böylece düzlemi verilen üç noktadan, bir düz çizgiden ve onun arkasındaki bir noktadan geçmesini sağlayabiliriz. veya iki paralel çizgi üzerinden;

2) Eğer üst üste binen iki uçak varsa, o zaman onların kulvarlarının bir hattı verilir, böylece iki uçağın kulvarının doğrusunu bilebiliriz;

3) uzayda bir uçak verildiği için, o zaman sanki planimetri tarafından dövülmüş gibi orada kazanabilir, kalabiliriz.

Uzayda Vikonati yak-nebudova pobudova - tse, ana randevuların gününün sonuna kadar yogo aramak anlamına gelir. Bu ana görevlerin yardımıyla katlama görevlerini çözebilirsiniz.

Bu konuşmalarda stereometri ihtiyacı ile ilgili sorunlar var.

7. Açık alanda kalmak için bir görevin sonu.
Müdür. Verilen bir doğrunun kesişme noktasını bulun a (Grafik 3) R'nin merkezinden.

P düzlemini A noktası olarak alın. A noktasından ve düz bir çizgiden a iletken olarak Q düzlemi. P düzlemini hareket eden düz çizgi boyunca geçer b . Q düzleminde, düz çizgilerin açıklığının 3 noktasını biliyoruz. a і b . Tsya nokta ve bir shukana olun. ne kadar düz a і b paralel görünüyorsa, görev bir çözüm değildir.

İki düzlemden oluşan bir peretin çizgisi gibi düz bir çizginin hizalanması:

Kişisel olmayan bir alanı geçmek için açık alanda ciltten düz. Onlardan be-yakі, değişiyor, uzayda її anlamına geliyorlar. Otzhe, birlikte bakılan iki eşit daire olsaydı, bunlar düz çizgilere eşittir.

Vzagali, paralel olmayan iki düzlem gibi

düz bir çizgi belirleyin. Qi eşittir denir vahşi kıskançlık dümdüz.

İki noktadan geçen bir doğrunun hizalanması:

Verilen A(x 1 ;y 1) ve B(x 2 ;y 2) noktalarını verin. Düz bir çizginin A (x 1; y 1) ve B (x 2; y 2) noktalarından geçecek şekilde hizalanması şöyle görünebilir:

Verilen A ve B noktaları, O x (y 2 -y 1 \u003d 0) eksenine veya O y (x 2 - x 1 \u003d 0) eksenine paralel olarak düz bir çizgi üzerinde uzanıyorsa, düz çizginin hizalanması çizgi, \u003d y 1 veya x = x 1'e bakan anneye benzer olacaktır

Örnek 4. A(1;2) ve B(-1;1) noktalarından geçecek düz çizgiler çizin.

Çözüm: Yerine hizalama (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y2 \u003d 1
yıldızlar ya 2y-4=x-1 ya da x-2y+3=0

Kanonik olarak düz çizgiler:

Kartezyen koordinat sistemi düzlemde sabitlensin oksi. Kendi hedeflerimizi belirleyelim: düz bir çizgi alın a, yakscho - Düz bir çizginin Deyak noktası a ben - doğrudan vektör a.

Nehai - kayan nokta düz a. O zaman vektör, düz bir çizginin doğrudan vektörüdür. a ve maє koordinatları (gerekirse, koordinat noktaları aracılığıyla vektörün koordinatlarının durumuna hayret edin). Bir düzlemdeki kişisel olmayan bir noktaya düz bir çizgi atandığı açıktır, böylece doğrudan bir vektör bir i noktasından ancak ve ancak vektörler eşdoğrusal ise geçebilir.

Vektörlerin zihin için gerekli ve yeterli doğrusallığını yazalım: . Koordinat formunun eşitliğinin geri kalanı görülebilir.

Yakscho i, sonra yazabiliriz

Otrimane eşit akla denir düz düz kanonik çizgiler dikdörtgen bir koordinat sisteminde oksi. Rivnyannia da denir kanonik görünümde düz çizgiye eşit.

Yine, düz bir çizginin bir zihin düzlemi üzerindeki kanonik hizalaması, dikdörtgen bir koordinat sistemi tarafından verilir. oksi bir noktadan geçen ve doğrudan vektör olabilen düz bir çizgi.

Kanonik düz çizginin kıçını daireye yönlendireceğiz.

Örneğin, kurallı görünümün düz çizgisine eşittir. Noktadan geçmeyi mümkün kılan düz çizgi ve - її doğrudan bir vektördür. Aşağıda bir grafik gösterimi bulunmaktadır.

Önemli derecede önemli gerçekler:

· yakscho-düz vektör düz çizgiler ve düz çizgiler bir noktadan geçer gibi, yani bir noktadan geçer, o zaman її kanonik olarak eşit şöyle yazılabilir, yani і;

· düz bir çizginin doğrudan vektörü ise, o zaman vektörlerden herhangi birinin aynı zamanda belirli bir düz çizginin doğrudan vektörü olup olmadığı, o zaman düz çizginin kanonik görünümünde düz bir çizgiye eşit olsun.

Parametrik düz çizgi hizalaması:

Teorem. Düz çizgiler sistemi parametrik düz çizgilerle ilerliyor:

de - belirli bir düz çizginin oldukça sabit bir noktasının koordinatları, - belirli bir düz çizginin oldukça doğrudan bir vektörünün genel koordinatları, t - parametre.

Kanıt. Vidpovidno vyznachennya düzgünlüğüne kadar, ister koordinat uzayının noktalarını çarpıyor olsun, bu eşitleri getirmekle sorumluyuz (7), L i düz çizgisinin tüm noktalarını karşılar, diğer taraftan, noktanın koordinatlarını tatmin etmez , düz bir çizgi üzerinde uzanmaz.

İyi bir noktaya değinelim. Aynı vektörler ve є maksatları için doğrusallık ve teoremleri takip eden iki vektörün doğrusallığı ile ilgili diğer aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir, yani. öyle bir sayı var ki. Vektörlerin eşitliği ve koordinatların doğruluğu:

Ch.t.d.

Geri gel, konuya gel. O halde, vektörlerin eşdoğrusallığı ile ilgili teoreme göre, bir diğeri üzerinden doğrusal ifadeler olabilir. Eşitliklerden (7) birinin kazanmamasını istiyorum. Bu sırayla, eşitler (7), düz L çizgisi üzerinde uzanmak ve sadece biraz pis koku vb. gibi daha az sessiz noktaların koordinatlarıyla tatmin edilir.

Teorem tamamlandı.

Alanın normal hizalaması:

AT vektör formu alanın düzlüğü görünebilir

Benzer şekilde, alanın normal vektörü tektir,

alanın düzlüğü bile şu şekilde kaydedilebilir:

(normal düzlük).

– koordinat koçanından düzleme hareket, , , – normalin direkt kosinüsü

düzlemin normali ile koordinat eksenleri arasında aynı şekilde kesin.

Düzlemin (8) dikey düzlemi, normalleştirme faktörü ile çarpılarak normal forma getirilebilir, kesrin önündeki işaret, serbest terimin (8) işaretinin tersidir.

V_dstan v_d uçağı işaret ediyor(8) noktayı normal hizada değiştirerek alınan formülün arkasında olmak

Dairenin derin düzlüğünden sonra uçağın derin düzlüğü:

Önemsiz uzaya gelince, dikdörtgen bir koordinat sistemi verilir. oksijen, o zaman trivi-world koordinat sistemindeki eşit düzlemler üçlüye eşit olarak adlandırılır. x, yі z, Uçağın tüm noktalarının koordinatlarından memnunum ve diğer noktaların koordinatlarından memnun değilim. Başka bir deyişle, düzlemin ilk noktasının koordinatları doğrulanırken, düzlemin eşitliği alınır ve koordinatların eşit düzlemi yerine konulurken, diğer nokta olsun, eşitlik yanlıştır.

Her şeyden önce, düzleme dik olan düz çizgiyi tahmin ederek düzlemin merkez düzlemini yazın: düz çizgi düzleme diktir, sanki bu düzlemde uzanan düz çizgiye dikmiş gibi. Bu düzlemin yakınında bulunan sıfır olmayan herhangi bir vektöre dik düzlemin herhangi bir normal vektörü olup olmadığı hangi gösterimden açıktır. Bu gerçek, alanın vahşi düzlüğünün görünümünü belirlediğinden, saldıran teoremin kanıtını taklit eder.

Teorem.

Akılla eşit ol, de A, B, Cі D- Üstelik Deyakі sayıları bilmiyor ANCAK, ATі C bir kerede sıfıra eşit olmayan, belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde alanı gösteren oksijenönemsiz uzayın yakınında ve dikdörtgen bir koordinat sisteminin yakınında bir düzlem olup olmadığı oksijenönemsiz bir alanda, belirli bir sayı kümesiyle zihne eşittirler A, B, Cі D.

Kanıt.

Bachite gibi, teorem de iki bölümden oluşur. İlk bölümde bize bir seviye verilmiş ve onu yüzeye çıkarmamız gerekiyor. Diğer tarafta bize bir düzlük ikilisi verildi ve basit bir sayı seçimi ile atayabileceklerimizi eşitlere getirmek gerekiyor. ANCAK, AT, Wі D.

Teoremin ilk kısmını doğrulayalım.

Oskіlki numaraları ANCAK, ATі W gecelik sıfıra eşit değil, daha sonra є noktası , koordinatları denklik ile tatmin edilir, bu nedenle eşitlik adildir. Vіdnіmemo lvu ve otrimanoї rivnostі'nın sağ kısmı, vіdpovіdno vіdpovіdno vіdpovіdno ve pravaіn іvnyannja, tsomu otmáєmo ravnyannja vіdnіvnіnya vіdіvalentno vihіdnomu іvnyannja. Şimdi, bildiğimiz gibi, bu düzlemi eşitler, o zaman getirilecek, yani ona eşdeğerdir, aynı zamanda önemsiz uzay için verilen dikdörtgen koordinat sisteminin düzlemini de işaretler.

Eşitlik, vektörlerin gerekli ve yeterli zihinsel dikliğidir ve . Başka bir deyişle, bir kayan noktanın koordinatları, vektörler dikse eşit olarak ve yalnızca bir kez karşılanır. O zaman, gerçeği ihlal ederek, teoremden önceki tümevarımlar, eşitliğin doğru olduğunu onaylayabiliriz, o zaman kişisel olmayan bir nokta bir düzlem tanımlar, є gibi normal bir vektör, üstelik bu düzlem bir noktadan geçer. Başka bir deyişle, hizalama dikdörtgen bir koordinat sisteminin göstergesidir. oksijen trivimir genişliğinin yakınında daha geniş bir alan tahsis edilmiştir. Otzhe, eşdeğer olarak, alanın kendisini eşitler. Teoremin ilk kısmı tamamlandı.

Diğer kısmın onayına geçelim.

Bize є olan normal vektörü olan bir noktadan geçecek bir düzlem verilsin. Dikdörtgen bir koordinat sistemi olduğunu bize bildirin. oksijenїї zihnin seviyesini ayarlamak.

Bunun için uçağın yeterli bir noktasını alıyoruz. Konu ben olayım. O zaman i vektörleri dik olacak, o zaman їх skaler twіr sıfıra eşit olacaktır: . Kabul etmek, görmek için sabırsızlanıyoruz. Tse eşittir ve alanımızı ifade eder. Yine, teorem tekrar doğrulanır. (sayıların ilk değerleri için ANCAK, AT, Wі D);

İfadenin geri kalanını göstermek için bir popo hedefleyelim.

Sabit dikdörtgen koordinat sisteminin yakınındaki önemsiz genişliğe yakın alanın görüntülerinden küçüklere hayret edin oksijen. Tsіy ploshchinі vіdpovіdaє rіvnyannya, bu scho için plazanın herhangi bir noktasının koordinatlarından memnunsunuz. Diğer tarafta, hizalama verilen koordinat sistemi tarafından belirlenir. oksijen görüntüsü küçük bir daire olan kişisel olmayan bir nokta.

Yığınlardaki alanın düzlüğü:

Önemsiz uzayın dik açılı bir koordinat sistemine sahip olmasına izin verin oksijen.

Dikdörtgen koordinat sistemi için oksijen akla eşit önemsiz bir genişlikte, de a, bі c– sıfır şeklinde mevcut numara çağrılır rüzgar siperlerindeki alana eşit. Böyle bir isim vipadkova değildir. Sayıların mutlak değerleri a, bі c vіdrіzkіv vіdzhina'ya eşit, koordinat eksenlerinde düzlemi yakі vіdsіkaє Öküz, ahі Öz vіdpovіdno, rahuyuchi koordinatların koçanı. Numara işareti a, bі c düz bir çizgide (pozitif ve negatif) koordinat eksenlerinde parantezler olduğunu gösterir. Kesinlikle, koordinat noktaları rüzgarların düzlemini tatmin eder:

Şu anı açıklayan küçüklere bakın.

Noktadan geçen düzlemin seviyesi vektöre diktir:Önemsiz uzayın dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemine sahip olmasına izin verin. Aşağıdaki görevi formüle ediyoruz:

Bu noktadan geçmek için düz düzlemleri katlayın
M(x 0 , y 0 , z 0) verilen vektöre dik →n = {A, B, C} .

Çözüm. Hadi P(x, y, z) - uzaya yeterli nokta. Nokta, benekli P vektör varsa, düz todі daha az todі üzerinde örtün
milletvekili = {x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) dik vektör → n = {A, B, C) (Şek. 1).

Bu vektörlerin zihinsel ortogonalliğini yazdıktan sonra (→ n, milletvekili) = 0, koordinat formu için isteğe bağlı.

ALAN.

Randevu. Uçağa dik olan sıfır olmayan herhangi bir vektöre її denir. normal vektör, ve belirtilir.

Randevu. Zihnin yüzeyine eşit katsayı - aynı anda sıfıra eşit olmayan yeterli etkili sayılara denir bölgenin zagalnym daireleri.

Teorem. Tesviye, normal vektörün noktadan geçebileceği alanı belirler.

Randevu. Rivnyannia zihin

de - yeterli, sıfıra eşit olmayan, gerçek sayılar, denilen rüzgar siperlerindeki alana eşittir.

Teorem. Hadi - rüzgarlıklarda dairenin düzlüğü. Todi - koordinat noktası її çapraz çubuğu koordinat eksenleri ile.

Randevu. Alanın derin düzlüğüne denir. tayın veya normal alanına eşit, gibi

o .

Teorem. Normal olarak, düzlemin hizalaması şu şekilde yazılabilir - verilen düzleme koordinatlar sütununda, - normal vektörün doğrudan kosinüsü ).

Randevu. Normalleştirme çarpanı düz alanın numarası denir de işareti, özgür üyenin zıt işareti tarafından seçilir D.

Teorem. Hadi - normalleşen bir çarpan, alanın vahşi bir düzlüğü. Todi rivnyannya є verilen alan rivnyannyam tayınlama.

Teorem. Vіdstan d benek türü daireye kadar .

Karşılıklı iki daire rotashuvannya.

İki düzlem ya koşar, ya paraleldir ya da düz bir çizgi ile iç içe geçer.

Teorem. Yüzeysel atamaların tepede olmasına izin verin: . Todi:

1) yakscho sonra daireler zbіgayutsya;

2) yakscho o zaman düzlemler paraleldir;

3) aksi takdirde düzlemler, eşit sistemin hizmet ettiği eşit düz çizgiler boyunca renklendirilir: .

Teorem. Hadi - iki düzlemin normal vektörleri, o zaman verilen düzlemler arasındaki iki kesimden biri daha fazladır:.

Son. Hadi ,- Verilen iki alanın normal vektörleri. Skaler bir toplama olarak, verilen alanlar diktir.

Teorem. Koordinat uzayının üç farklı noktasının verilen koordinatlarını verin:

Todi nehri –є qi üç noktasından geçen eşit düzlemler.

Teorem.Üst üste binen iki dairenin fırtınasının verilerine izin verin: üstelik. Todi:

– gostry duhedral kut'un iki sektörlü alanının tesviye edilmesi, peratinli bu dairelerin;

– künt bir dihedral kesimin iki sektörlü alanının hizalanması.

Dairelerin ışını Zv'yazuvannya.

Randevu. Zv'yazuvannyam daireleri tüm düzlemlerin kişiliksizliğine denir, buna denildiği gibi tek bir parlak nokta görülebilir bağlantı merkezi.

Teorem. Hadi gidelim - tek bir parlak nokta oluşturan üç daire dairelerin zv'yazuvannya denkleştirilmesi.

Teorem. Rivnyannya, de dovilnі deisnі parametreleri, aynı anda sıfıra eşit değil, є düzlemlerin bağlantı merkeziyle bağlantısına eşit noktada

Teorem. Size üç dairenin buzul seviyesi verilerini vereyim:

-їх vidpovіdnі normal vektörler. Verilen üç düzlemin tek bir noktada örtüşmesi için, iki normal vektör arasındaki farkın sıfıra ulaşmaması için gerekli ve yeterlidir:

Bu şekilde, tek merkezi noktanın koordinatları, eşitleme sisteminin tekli çözümleridir:

Randevu. Bir avuç daire aynı düz çizgi boyunca iç içe geçmiş kişisel olmayan düzlemler, tüm kirişin başlığı olarak adlandırılır.

Teorem. Düz bir çizgide iç içe geçen iki daire olsun. Todі vnyannja, de dovіlnі parametreleri bir kerede sıfıra eşit değil, є bir uçak demetinin hizalanması kirişin tepesinden

DOĞRUDAN.

Randevu.İster sıfır olmayan bir vektör olsun, verilen bir eşdoğrusal doğruya її denir. doğrudan vektör, ve belirtilir

Teorem. parametrik düz çizgiler uzayda: belirli bir düz çizginin oldukça sabit bir noktasının koordinatları ve belirli bir düz çizgi parametresinin oldukça doğrudan bir vektörünün genel koordinatları.

Son. Eşitler sistemi ilerliyor, açık alanda doğruca eşittir ve denir kanonik eşittir düz boşlukta: de - belirli bir düz çizginin oldukça sabit bir noktasının koordinatları, - belirli bir düz çizginin oldukça doğrudan bir vektörünün genel koordinatları.

Randevu. Doğrudan görünümün kanonik eşdeğeri - aranan iki farklı noktadan geçen düz çizgilerin kanonik hizalamaları

Açık alanda karşılıklı olarak iki düz çizgi roztashuvannya.

Açık alanın yakınında 4 eğimli çürüyen iki düz çizgiye sahip olmak mümkündür. Düzleşebilir, paralel olabilir, bir noktada kesişebilir veya çaprazlanabilirler.

Teorem.İki düz çizginin kanonik denkleştirmesini vereyim:

de - їх düz vektörler, - düz çizgiler üzerinde uzanan yeterli sabit noktalar. Todi:

і ;

ve eşitliklerden sadece biri varsa kazanmayın

;

, sonra.

4) gibi doğrudan çapraz , sonra.

Teorem. Hadi

– açık alanın yakınında, parametrik hizalamalarla belirlenen oldukça düz iki çizgi. Todi:

1) sistemin nasıl eşit olduğu

tek bir çözüm varsa, o zaman doğrudan bir noktada iç içedirler;

2) sistem eşit ise çözüm yok ise direkt paralel olarak çaprazlanır.

3) sistem birden fazla rozvyazku'ya eşitse, o zaman düz zbіgayutsya.

Açık alanda iki düz çizgi arasında durun.

Teorem.(İki paralel çizgi arasındaki formül.): İki paralel çizgi arasında hareket et

De - їх havai doğrudan vektör, - ціх düz çizgilerin noktaları, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

veya

Teorem.(İki düz çizgi arasındaki formül kesişecek.): Geçmek için iki düz çizgi arasında durun.

bu formül kullanılarak hesaplanabilir:

de - doğrudan vektörlerin karma oluşturma modülü і і vektör, doğrudan vektörlerin vektör oluşturma modülü.

Teorem. Hadi - örtüşen iki dairenin hizalanması. Ardından, düzlemlerle iç içe olan düz çizgilerin hizalama ve hizalama sistemi gelir: . Doğrudan vektör, vektör görevi görebilir , de ,- Verilen alanların normal vektörleri.

Teorem. Kanonik bir düz çizgi verilsin: de. Sonra eşitler sistemi ortaya çıkar ve eşitlere iki düzlemin açıklığı ile verilen düz çizgiler verilir: .

Teorem. Bir noktadan atılan bir dikmenin hizalanması dümdüz görüntüleyebilir de - vektör oluşturmanın koordinatları, - düz çizgiye verilen doğrudan vektörün koordinatları. Dikeyin uzunluğu aşağıdaki formülle bilinebilir:

Teorem.İki düz çizginin kesişebilen dikey diklerinin hizalanması görülebilir: de.

Karşılıklı roztashuvannya düz çizgiler ve açık alana yakın daireler.

Bu alanın genişliğine yakın bir düz çizginin karşılıklı genişlemesinin üç olası yolu vardır:

Teorem. Düz çizgilere düzlem ve kanonik veya parametrik çizgilere düz çizgi verilsin. abo, de vektör alanın normal vektörüdür - düz bir çizginin oldukça sabit bir noktasının koordinatları, - düz bir çizginin oldukça doğrudan bir vektörünün genel koordinatları. Todi:

1) yakscho, sonra koordinatları eşitleme sisteminden bilinebilen noktanın düzlemini doğrudan geçiyoruz

2) eğer ben, o zaman düz bir şekilde düz yatın;

3) i ise, o zaman doğru düzleme paraleldir.

Son. Eğer sistem (*) tek bir çözüme sahipse direkt olarak daireden taşmaktadır; (*) sisteminin çözümü yoksa, düzleme düz paraleldir; sistem (*) kişisel olmayan bir karar olabilirse, o zaman doğrudan uçakta yatmak demektir.

Virishennya tipik görevler.

müdür №1 :

Vektörlere paralel noktadan geçmek için düz düzlemleri katlayın.

Alanın normal vektörünü biliyoruz:

= =

Alanın normal bir vektörü olarak, gelecekte aynı küresel eşit alanın vektörünü şuna baktığınızda alabilirsiniz:

Bilmek için, uçağın bulunduğu noktaların koordinatlarını değiştirmek gerekir.

müdür №2 :

Küpün iki yüzü düzlemlerde bulunur ve küpün toplam sayısını hesaplar.

Açıkçası, uçaklar paraleldir. Küpün Dovzhina kenarı ve dairelerin karşısında. Vibero bir noktaya ilk uçakta: bilemeyelim.

Uçaklar arasında nasıl yürüneceğini, bir noktadan başka bir düzleme nasıl yürüneceğini biliyoruz:

Otzhe, küpün hacmi iyi ()

müdür №3 :

Yüzler ve piramid tepeleri arasındaki kesimi bilin

Düzlemler arasında kesme - bu düzlemlere kadar normal vektörler arasında kesme. Alanın normal vektörünü biliyoruz: [,];

, veya

benzer şekilde

müdür №4 :

Kanonik olarak eşit düz çizgiler yerleştirin .

otze,

Vektör düz çizgiye diktir,

Otzhe, kanonik olarak eşit, dümdüz ileriye bakacağım.

müdür №5 :

Düz çizgiler arasındaki farkı bilin

і .

Doğrudan paralel, çünkü їх doğrudan vektörler ve ірівні. hadi ama nokta ilk satırda yalan, nokta diğer satırda. Vektörlere dayalı paralelkenarın alanını biliyoruz.

[,];

Shukanoi vіdstannyu є noktalardan çıkarılmış paralelkenarın yüksekliği:

müdür №6 :

Düz çizgiler arasındaki en kısa mesafeyi hesaplayın:

Karşıdan karşıya geçmenin düz olduğu gösterilecektir, tobto. vektörler ve aynı düzlemde uzanırlar: ≠ 0.

1 yol:

Başka bir düz çizgiden ilk düz çizgiye paralel bir düzlem çiziyoruz. Shukano'nun alanı için v_domі tі, scho vektörel yalan söylemek. Normal alan vektörü є vektör tvir vectorіv, .

Ayrıca, alanın normal bir vektörü olarak, alan üzerinde uzanacak noktanın bulunabileceğini biliyorsanız, gelecekte o alanın hizasının vektörünü alabilir ve hizalamayı yazabilirsiniz:

Shukana v_dstan - ilk düz çizgi noktasından uçağa tsya vіdstan formülle bilinir:

13.

2 yol:

i vektörlerinde paralelyüz oluşturacağız.

Shukana vіdstan' - vektörlere dayalı olarak yogo bazındaki noktalardan çıkarılmış paralel borunun yüksekliği.

Sonuç: 13 bekar.

müdür №7 :

Bir noktanın bir düzleme izdüşümünü bilir

Alanın normal vektörü, düz çizginin doğrudan vektörüdür:

Düz çizginin kesişme noktasını biliyoruz

o alan:

.

Düz bir düzlemde yerine koyma, biliyoruz ve sonra

Saygı duymak. Uçağa benzer bir noktaya simetrik olan bir noktayı bilmek için, (ileri görevlere benzer şekilde) noktanın uçağa izdüşümünü bilmek, sonra vіdіzok'a vіdomimikobkami ortası ile bakmak, kıvranmak gerekir. formüller,,.

müdür №8 :

Düz bir çizgi üzerindeki bir noktadan atılan bir dikmenin hizalamasını bulun .

1 yol:

2 yol:

Görevler farklı bir şekilde yazılır:

Alan verilen doğruya dik olduğundan, doğrunun doğrudan vektörü alanın normal vektörüdür. Düzlemin normal vektörünü ve düzlemdeki bir noktayı bilerek, її eşit yazıyoruz:

Düz çizginin ve düzlemin kesişim noktasını parametrik olarak yazılmış olarak biliyoruz:

,

i noktalarından geçmek için düz bir çizgi çekelim:

.

Öneri: .

Aynı şekilde, bekaret ve aynı görevi yapabilirsiniz:

müdür №9 :

Düz bir çizgi gibi bir noktaya simetrik olan bir nokta bulun .

müdür №10 :

üstleri ile Danimarka triko Yukarıdan arkaya indirilen yükseklik seviyesini bilin.

Başlık kesinlikle önceki görevlere benzer.

Öneri: .

müdür №11 :

İki düz çizgiye dik olan dikeyin hizalamasını belirleyin: .

0.

Vrakhovuchi, scho bir noktadan geçiyor, uçağın hizasını yazıyoruz:

Mesele uzanmak, alanın eşit görüneceğini göreceğim:.

Öneri:

müdür №12 :

Bir noktadan geçmek ve düz çizgileri geçmek için düz çizgileri katlayın .

Doğrudan vektör olabilen noktadan geçen ilk düz çizgi; diğer - noktalardan geçmek ve vektörü yönlendirebilir

Satırları vektörlerin koordinatları olan hakemi katladığımız qi çizgilerinin çaprazlanabilecekleri şekilde olduğu gösterilmiştir. ,vektörler aynı düzlemle örtüşmez.

Lekelerin arasından bir uçak çizelim ve dümdüz ilerleyelim:

Hadi - aynı vektörlerin düzleminin yeterli bir noktası ve düzlemsel. Alanın düzlüğü şöyle görünebilir:

Benzer şekilde, beneklerin ve diğer düzlüğün içinden geçebilen düzlemin düzlüğünü katlayabiliriz: 0.

Shukana düz є düzlük, tobto.

Bunlar tarafından verilen akıbetin aydınlatılmış sonucu, bileşenlerin oluşumu, girişteki ifadeler, yeterliliklerin (asillik, akıl, güç) iki düzeydeki bütünlüğüdür: eşik ve şehvet. Belirlenen eşik “muhtemelen” değerlendirmesini verir, elde edilen yapıştırma “iyi” veya “dikkate değer” değerlendirmelerini verir, vaka-görevinin sonuçlarına göre nadasa.

Bu bileşenlerin kendi kendine teşhisi için sonraki adımlar size gösterilecektir.

INSTUP

Bölüm 1

1 Düz bir doğrunun bir düzlemle kesiştiği nokta

1 Düz çizginin uzaydaki pozisyonundaki varyasyonlar

2 Kut mizh düz ve düz

WINOVOK

DZEREL ZAFERLERİ LİSTESİ

INSTUP

x, y, z koordinatlarının ilk aşamasının be-yaké eşitlemesi

+ Cz + D = 0 ile

alanı ayarlar ve şimdi: alan, alanın eşittir olarak adlandırıldığı için eşittir ile temsil edilebilir.

Uçağa dik olan n (A, B, C) vektörüne düzlemin normal vektörü denir. Eşit katsayılar A, B, C aynı anda 0'a eşit değildir.

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – düzlem koordinat koçanı içinden geçer.

C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - düzlem Oz eksenine paraleldir.

C = D = 0, Ax + By = 0 – tüm Oz'dan geçecek alan.

B = C = 0, Ax + D = 0 – düzlem Oyz düzlemine paraleldir.

Koordinat düzlemlerinin hizalanması: x=0, y=0, z=0.

Uzayda düz bir çizgi verilebilir:

) iki düzlemi geçmek için bir çizgi olarak, tobto. rivnyan sistemi:

A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, Bir 2 x+B 2 y+C 2z + D 2 = 0;

) iki noktası M ile 1(x 1,y 1, z 1) ve M 2(x 2,y 2, z 2), düz olsa bile, içinden ne geçeceği eşittir:

=;

) M noktası 1(x 1,y 1, z 1), ki bu a (m, n, р), ї th vektörü eşdoğrusaldır. Todi, doğrudan eşitlere atfedilir:

Denklemlere kanonik düz çizgiler denir.

a vektörüne doğrunun direkt vektörü denir.

Düz çizginin parametrik hizalaması alınır, deri gözden t parametresine eşitlenir:

X 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Pt.

Razv'azyuchi sistemi, bilinmeyen x ve y'nin projeksiyonlarda düz çizgilere geldiği veya düz çizgileri işaret ettiği bir doğrusal hizalama sistemi gibi:

Mz + a, y = nz + b

Dermal rütbeden z'yi bilerek ve değeri ekleyerek kanonik rütbelere gidebilirsiniz:

Üst düzeylerde (3.2), düz çizginin çizgi noktasının ve doğrudan vektörün n = , de n olup olmadığını bilmek için kanonik olana başka bir şekilde geçilebilir. 1(A 1, B 1, C 1) ve n 2(A 2, B 2, C 2) verilen alanların normal vektörleridir. (3.4)'deki m, n ve r işaretlerinden biri sıfıra eşitse, çift kesrin sayısı sıfıra eşit olmalıdır, yani. sistem

eşit sistem ; böyle bir çizgi Ox eksenine diktir.

sistem sistem eşit derecede güçlüdür x = x 1,y=y 1; Oz eksenine paralel düz çizgi.

Ders çalışmasının amacı:açık alanın yanındaki düz alana doğru.

Kurs başkanı işi:açık alana yakın alana bakın, її eşittir ve açık alanın yakınındaki daireye bakın.

Kurs çalışmasının yapısı:giriş, 2 bölüm, visnovok, vikoristanih dzherel listesi.

Bölüm 1

.1 Düz bir doğrunun bir düzlemle kesiştiği nokta

Q alanı eğri tipe verilsin: Ax+By+Cz+D=0 ve L doğrusu parametrik tipe: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, aksi takdirde, L doğrusu ile Q düzleminin kesişme noktasını bilmek için, doğrunun noktasının düzlemde olduğu t parametresinin değerini bilmek gerekir. x, y, z değerlerini değiştirerek düzlem eşittir ve t'yi türeterek çıkarırız

Düzlem düz ve paralel olmadığı için t değeri aynı olacaktır.

Düz çizginin ve düzlemin paralelliğini ve dikliğini yıkayın

Doğrudan L'ye bakarak:

ve düzlük?

Düz çizgi L ve düzlem? :

a) doğrudan vektör düz ise, bire bir veya daha az bire dik ve normal vektör doğrusal düzlemler, tobto.

b) vektörler varsa, bir ile aynı ve daha az paralel і dik, yani.

ben + Bn + Ср = 0.

.2 Kut mizh düz ve düz

Kut ?alanın normal vektörü arasında ben doğrudan vektörle aşağıdaki formüle göre hesaplanmalıdır:

Daire kirişi

Verilen bir L düz çizgisinden geçen tüm düzlemlerin toplamına bir düzlem demeti ve L düz çizgisine bütün demet denir. Tüm ışın eşit olarak verilsin

Diğer sistemin rankını terim terim çarparız ve ilk ranklar ile saklarız:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Tse eşittir, herhangi bir sayısal değer için ilk adım x, y, z i olmalıdır, o zaman ?alanı tanımlayın. Böylece, verilen bir eşitleme iki eşitin sonuncusu olduğundan, bu eşitlerden memnun olan noktanın koordinatları bu eşitle sağlanır. Baba, sayısal değeri ne olursa olsun ?verilen düz çizgiden geçen uçakların hizası verildi. Otrimane rivnyannia є bir uçak demetinin hizalanması.

popoM noktasından geçen düzlemi yazınız. 1(2, -3, 4) çizgilere paralel

Çözüm.M1 noktasından geçen uçakların bağlantısının hizasını yazıyoruz. :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Düzlem gerekli ancak bu çizgilere paralel olduğundan, normal vektör her iki doğruya da diktir. tsikh düz çizgiler. Bu nedenle, bir N vektörü olarak, bir tv_r vector_v vektörü alabilirsiniz:

Ayrıca, A \u003d 4, B \u003d 30, C \u003d - 8. A, B, Z'nin bilinen değerlerinin değiştirilmesi

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) = 0 veya 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

popoÇizginin noktasını bulun bu alan 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Çözüm.Bu düz çizginin parametrik görünümle hizalamasını yazalım:

Düzlemin x, y, z eşitlemesi için qi vrazi düşünelim:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Düz çizginin t = 1 parametrik hizalamasını hayal edin. Götürmek

Ayrıca doğru M(3, 2, 7) noktasında kesişir.

popoKut'u bil ?düz bir çizgi arasında bu alan 4x-2y-2z+7=0'dır. Çözüm.(3.20) formülünü düzeltelim. çok yak

sonra

Baba, = 30°.

Açık alandaki düz çizgi dar değildir, bu nedenle bir arkadaşınızın yardımıyla daha kolay sorabilirsiniz. Öklid geometrisinin okul dersinden bir aksiyom vardır, "uzaydaki iki noktadan geçen bir düz çizgi i çizebilirsiniz, ondan önce sadece bir tane." Ayrıca, diyagramda, düz çizgi iki ön ve iki yatay nokta izdüşümleriyle verilebilir. Ancak bu düz bir çizgi ise - bu bir düz çizgi (ve bir eğri değil), o zaman tam bir temelde noktaları düz bir çizgide birleştirebilir ve düz bir çizginin önden ve yatay bir izdüşümünü alabiliriz (Şekil 13).

Kanıt tersine çevrilir: V ve H izdüşümlerinin düzlemlerinde a "b" ve ab iki izdüşüm verilmiştir (Şek. 14). V ve H projeksiyonlarının düzlemlerine dik bir düzlem çiziyoruz (Şekil 14), düzlemlerin peretina çizgisi AB düz çizgisi olacaktır.

.1 Farklı eğimler

Baktığımız eğimlerde, düz çizgiler V, H, W izdüşüm düzlemlerine ne paralel ne de dikti. Koku, vishіdnimi veya düşük olabilir (bağımsız olarak rozіbratisya).

Şek. Şekil 17, üç çıkıntı ile belirlenen çıtanın düz çizgisini göstermektedir. Önemli otoriteler olabilecek düz çizgiler ailesine bakalım - düz çizgiler, projeksiyon düzlemine paralel olabilir.

Şek. Şekil 17, üç çıkıntı ile belirlenen çıtanın düz çizgisini göstermektedir.

Önemli otoriteler olabilecek düz çizgiler ailesine bakalım - düz çizgiler, projeksiyon düzlemine paralel olabilir.

a) Yatay düz çizgi (nakshe - yatay, düz yatay çizgi). Bu, çıkıntıların yatay düzlemine paralel olan düz çizginin adıdır. Її arsa üzerindeki boşluğa yakın görüntü, şek. on sekiz.

Yatayın "kılık içinde" arsa üzerinde tanınması kolaydır: її önden projeksiyon her zaman ОХ eksenine paraleldir. Bir bütün olarak, en önemli yatay güç şu şekilde formüle edilir:

Yatayda - önden projeksiyon ОХ eksenine paraleldir ve yatay projeksiyon doğal boyuttadır. Tercihen, yatayın şema üzerinde yatay bir izdüşümü, kesim її'yi V düzlemine (kesim b) ve W (y) düzlemine atamanıza izin verir - şek.18.

b) Ön düz çizgi (ön, ön hizalamanın düz çizgisi) - düz değil, çıkıntıların ön düzlemine paralel. Gerçek görüntüleri temsil etmiyoruz, ancak epurlar tarafından gösteriliyoruz (Şekil 19).

Önden diyagram karakteristiktir, yatay ve profil çıkıntıları X ve Z eksenlerine paraleldir ve önden çıkıntı oldukça genişler ve cephenin doğal boyutunu gösterir. Tercihen şemada, yatay (a) ve profil (düz) çıkıntılara düz bir şekilde kesin. Otzhe, bir kez daha:

Önde, yatay izdüşüm ОХ eksenine paraleldir ve önden izdüşüm doğal boyuttadır.

c) Profil düz çizgi. Açıktır ki, çıkıntıların profil düzlemine paralel olarak düzdür (Şekil 20). Ayrıca, çıkıntıların profil düzleminde profil düz çizgisinin є doğal değerinin (projeksiyon a "b" - Şekil 20) ve burada H (a) ve V düzlemlerine bachiti kuti її nahilu ( b).

Düz çizgiler ailesi geliyor, isteyen ve önemli döşeme, düz çizgiler gibi - düz çizgiler yansıtmak değil.

Çıkıntı düzlemlerine dik olan düz çizgilere yansıtma denir (yansıtma değişikliklerine benzer şekilde - Şekil 21).

AV metrekare H - düz yatay çıkıntılı; metrekare V - düz önden çıkıntılı; metrekare W - düz profil projeksiyonu.

2.2 Kut mizh düz ve düz

düz kare kesim trikutnik

Dikdörtgen triout yöntemi

Düz zagalnogo kampı, dediğimiz gibi, bir tür dolu kut altındaki çıkıntıların düzlemlerine doğru eğildi.

Düz çizgi ile o düzlem arasındaki kesim kesim tarafından yansıtılır, düz çizgiyi düzlemdeki o izdüşüme ekliyoruz (Şekil 22). Kut a vyznaє kut nakhily vіdrіzka AB'den pl'e. H.W şek. 22: Ab1 | 1 pl. H; Bb1 = Bb – Aa = Z 22

Düz kesimli bir triko ABb1'de, bacak Ab1 normal bir yatay izdüşüm ab'ye sahiptir; ve diğer ayak Bb1, meydandaki en pahalı A ve B perakende noktasıdır. N. ab düz çizgisinin yatay izdüşümü üzerindeki noktalar dik çizildiğinden ve yeni Z değerine konduğundan, o zaman, alınan b0 noktasıyla a noktasını aldıktan sonra, ab0 hipotenüsünü doğal değerine eşit alırız. AB. Diyagramda şöyle görünüyor (mal. 23):

Benzer şekilde, düz çizgi, çıkıntıların (b) ön düzlemine uzanır - şek. 24.

Saygı göstermek için: yatay doğrudan projeksiyonda pobudov olması durumunda, ek doğrudan Z değerine ekliyoruz; ön projeksiyondayken - Y'nin değeri.

İleriye bakma yöntemine düz kesim tricutnik denir. Yoga yardımıyla bizi ağlatan her türlü çatlağın doğal boyutunu belirleyebileceğiniz gibi, yogayı hastalıklı bir şekilde projeksiyonların düzlemlerine kesebilirsiniz.

Karşılıklı düz bir çizgi

Daha önce, düz bir çizginin bir noktasının besin değerine bakmıştık: eğer bir nokta düz bir çizgi üzerindeyse, o zaman projeksiyonlar düz bir çizginin tek boyutlu izdüşümleri üzerindedir (aidiyet kuralı, div. Şekil 14). Lise geometri dersinden, tahmin etmek mümkündür: iki düz çizgi bir noktada iç içe geçer (aksi takdirde: iki düz çizgi bir çift nokta yaparsa, diğer noktada kokular iç içe geçer).

Diyagramda iç içe geçmiş düz çizgilerin çıkıntıları açıkça belirgin bir işarete sahip olabilir: sırt noktasının çıkıntıları, bağlantının aynı hattı üzerindedir (Şekil 25). Açıktır: K noktası AB ve CD'de uzanır; arsa üzerinde, k noktası, k noktası ile bağlantılı aynı doğru üzerinde yer almaktadır.

Düz AB ve CD - yeniden şekillendirin

Açıkta olası karşılıklı roztashuvannyah iki düz çizgiden geliyor - düz geçti. Düz çizgiler paralel değilse, ancak üst üste gelmiyorsa düşme olabilir. Bu tür düz çizgiler iki paralel düzlemde döşenebilir (Şekil 26). Bu, ikisinin düz olduğu, kesiştikleri, iki paralel düzlemde ob'yazkovo uzandığı anlamına bile gelmez; ve içlerinden iki paralel düzlemin çizilebileceğinden daha az.

Kesişen iki çizginin izdüşümleri örtüşebilir, ancak örtüşme noktaları bağlantının aynı çizgisi üzerinde bulunmaz (Şekil 27).

Rakip noktaların beslenmesini görmek önemlidir (Şekil 27). Yatay projeksiyonda iki nokta (e, f) vardır, ancak ön kokuda bire (e "f") dönüşürler, üstelik nokta göründüğü için mantıksız, görünür olmadığı için (rakip noktalar) ).

Önden çıkıntıları çöken iki noktaya önden rekabet denir.

Böyle bir bükülmeyi daha önce gördük (Şekil 11), ancak “karşılıklı olarak iki noktayı istifleyenler” tarafından. Bu nedenle, kural durgun:

Rakip iki noktadan görünen, koordinatı daha büyük olandır.

3 şek. 27 E (e) noktasının yatay izdüşümünün OX ekseninden uzak olduğu, alt noktanın f olduğu görülebilir. Yine, "e" noktasının Y koordinatı daha büyük, f noktasında daha düşüktür; daha sonra E noktası görülecektir.Ön çıkıntıda f noktası görünmez olarak kemerlere yerleştirilir.

Bir şey daha: e noktası, ab düz çizgisinin izdüşümünde yer alır ve tse, önden izdüşümde a "b" düz çizgisinin c "d" düz çizgisinin "üstüne" çizildiği anlamına gelir.

Paralel çizgiler

Çizimdeki paralel çizgilerin görünüşte tanınması kolaydır, ancak iki paralel çizginin tek boyutlu izdüşümleri paraleldir.

Saygı göstermek için: aynı! Tobto. ön çıkıntılar kendi aralarında paraleldir ve yatay çıkıntılar kendi aralarındadır (Şek. 29).

İspat: Şekil 28'de, uzayda iki paralel AB ve CD doğrusu verilmiştir. Bunların içinden Q ve T çıkıntılı düzlemleri çizelim - bunlar paralel görüneceklerdir (çünkü örtüşen iki düz çizgi, bir düzlem iki düz çizgiyle örtüşür, diğer düzlem, o zaman bu düzlemler paraleldir).

Şema 30a'da görevler düz çizgilere paraleldir, diyagram 30b'de düz çizgiler çaprazlanmıştır, ancak bunda ve farklı bir yönde ön ve yatay çıkıntılar karşılıklı olarak paraleldir.

Bununla birlikte, üçüncü çıkıntılara girmeden iki profil düz çizginin konumlarını karşılıklı olarak atamanın mümkün olduğu bir hile kullanıyorum. Bunun için, Şekil 30'da gösterildiği gibi, ek çizgilerle iki çıkıntıya sahip olmak yeterlidir. Bu çizgilerin kesişme noktalarının aynı bağlantı hattı üzerinde olduğu görünecektir - profil çizgileri birbirine paraleldir - şek. 30a. Yakshcho nі - profil düz çizgiler kesişir (Şek. 306).

Düz çizginin düşüşünün özellikleri:

Doğrudan kesim projeksiyonları

Sanki çıtanın iki düz çizgisi düz bir kesimin altına sıkışmış gibi, çıkıntıları 90°'ye eşit olmayan bir kesim yapar (Şekil 31).

Çapraz çubuktaki üçüncünün iki paralel düzleminin çapraz çubuğundaki parçalar düz çizgilere paralel görünür, ardından yatay çıkıntılar ab ve cd paraleldir.

İşlemi tekrarlamak ve AB ve CD düz çizgilerini projeksiyonların ön düzlemine yansıtmak için aynı sonucu alacağız.

Özel bir eğim, önden ve yatay çıkıntılarla belirlenen iki profil düz çizgidir (Şek. 30). Söylendiği gibi, profil hatlarında, ön ve yatay çıkıntılar karşılıklı olarak paraleldir, prote, bu işaret için üçüncü çıkıntıyı indüklemeden iki profil hattının paralelliğini yargılamak imkansızdır.

Müdür. BC ayağı düz MN üzerinde olacak şekilde dik açılı bir ABC tricut deneyin (Şek. 34).

Çözüm. MN düz çizgisinin yatay olduğu diyagramdan görülebilir. Ve aklın arkasında, tricutnik düz kesimdir.

Doğrudan kut'un izdüşüm gücünün hızı, izdüşüm mn'ye dik olan "a" noktasından çıkarılır (H karesinde, doğrudan kuta'mız yaratılmadan yansıtılır) - şek. 35.

Doğrudan kesimin altındaki kesimin sonundan bu noktaya yapılacak ek bir düz çizgi olarak, düz çizginin yatay izdüşümü kısmını ve bm'nin kendisini kazanırız (Şekil 36). Ön izdüşümden alınan Z koordinatlarındaki farkın değerine bakalım ve kaldırılan yığının sonundan “a” noktasını alalım. AB ayağının gerçek boyutunu alıyoruz (ab ; ab).

Şekil 31 ve 32, aralarında 90 ° kesim yapan köşe konumlu iki düz çizgiyi göstermektedir (Şekil 32'de düz çizgiler aynı P düzleminde uzanmaktadır). Yak bachimo, kut diyagramlarında, 90 ° 'ye kadar olmayan düz çizgilerin izdüşümleri.

Saldırgan nedenden doğrudan kuta'nın izdüşümüne bakarak dünyanın gücünü besleyelim:

Düz kutanın bir tarafı projeksiyon düzlemine paralel olduğundan, düz kuta bu düzleme bir aksama olmadan yansıtılır (Şekil 33).

Aynı pozisyona yönlendirmiyoruz (bağımsız olarak üretiyoruz), ancak bu kuralı takip edebiliyormuşsunuz gibi olasılıklara bakabiliriz.

Nasampered, zihnin arkasında, doğrudan kuta'nın bir tarafının, projeksiyon düzlemi olup olmadığına paralel olması, o zaman bir tarafının ön veya yatay (belki bir profil düz çizgi) olması önemlidir - şek. 33.

Ve şemadaki ön ve yatayın “kılık değiştirmiş” olarak tanınması kolaydır (çıkıntılardan biri ОХ eksenine paraleldir) veya gerektiğinde kolayca indükleyebilirsiniz. Ek olarak, ön çizgi en önemli güce sahiptir: obov'un dilinin izdüşümlerinden biri şuna benzer:

Nem kuralına göre, "yardımcı hat bağlantısının arkasındaki b noktasının önden izdüşümünü biliyoruz. AB ayağına sahibiz (a" b "; ab).

BC ayağını MN tarafına yerleştirmek için arkada AB kolunun doğal boyutunu belirlemek gerekir (a d ; ab). Hangisinin hızlı olduğu için, zaten düz kesimli bir tricutnik kuralına sahibiz.

WINOVOK

Zagalni rіvnyannya dümdüz

Düz çizginin hizalanması, iki düzlemin peretina çizgisinin hizalanması olarak görülebilir. Daha çok bakıldığı gibi, vektör formunun alanı eşit olarak ayarlanabilir:

× + D = 0, de

Normal yüzey; - yarıçap - düzlemin küçük bir noktasının vektörü.

Uzayın iki düzlem ayarlamasına izin verin: × + D 1= 0 ve × + D 2= 0, normal vektörler ve koordinatlar: (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2); (x, y, z). Vektör biçimindeki düz çizgiler için benzer eğriler:

Koordinat biçiminde Zagalnі vnyannya düz çizgi:

Bunun için m, n, p sayılarının düz çizgisinin tam noktasını bilmeniz gerekir. Eğer öyleyse, bir doğrudan vektör, bir vektörün normalden verilen düzlemlere vektörel uzantısı olarak bilinebilir.

Alanın yakınındaki alanın düzlüğü

Veri noktaları gönder ve sıfır olmayan vektör (tobto , de

yıkamak normal vektördür.

Yakscho , , , ..., sonra eşit bakmak için değiştirilebilir . Sayılar , і , і

Hadi - uçağın bir noktası olarak, - Uçağa dik vektör. Todi nehri є yüzeyin eşitlenmesi.

katsayı , ; eşit alana yakın є düzleme dik vektörün koordinatları.

Düzlem, vektörün uzunluğuna eşit bir sayıya nasıl bölünür , sonra normal formun alanının düzlüğünü alırız.

Uçağın düzlüğü, bir noktadan geçmek gibi i sıfır olmayan bir vektöre dik, .

Be-yak ilk adıma eşit koordinat uzayını, koordinatları olan vektöre dik olan tek bir düzleme ayarlar.

Rivnyannia є noktadan geçen düzleme eşit sıfırdan farklı bir vektöre dik.

cilt alanı dikdörtgen koordinatlar sisteminde ayarlanmış , , akla eşittir.

unutmayın, ortalama katsayılar nelerdir , , є sıfır olmayan, dikdörtgen koordinat sisteminin alanı için alanı ayarlar. Alanın yakınındaki alan, dikdörtgen koordinatlar sisteminde ayarlanır. , , akla eşit , dikkat et, şo.

Doğru, bu sıkılığın dönüşü: akla eşit yıkamak dikdörtgen koordinat sistemi için boşluk ayarlayın.

De , , , , ,

Boşluğa yakın alan eşittir olarak atanır , de , , , - ondalık sayılar, üstelik , , 0'a eşit değil ve vektörün koordinatlarını bir kerede ayarlayın , bu düzleme dik ve normal vektör olarak adlandırılır.

Veri noktaları gönder ve sıfır olmayan vektör (tobto ). Aynı vektör düz alanı , de - uçağın yeterli noktası) gibi görünüyor - noktanın ve normal vektörün arkasındaki alanın hizalanması.

İlk adımın cilt tesviyesi yıkamak dikdörtgen bir koordinat sistemine koy vektörü olan tek bir düzlem normal vektördür.

Yakscho , , , , sonra eşit bakmak için değiştirilebilir . Sayılar , і rivnі vіdzhina vіdrіzkіv, eksenler üzerinde düz yakі vіdsіkayut , і açıkça. Buna eşit "rüzgarlarda" alana eşit olarak adlandırılır.

DZEREL ZAFERLERİ LİSTESİ

1.Stereometri. Uzayda geometri. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Rizhik V.I.

2.Alexandrov P. S. Analitik Geometri ve Lineer Cebir Kursu. - Fiziksel ve matematiksel literatürün baş baskısı, 2000. - 512 s.

.Beklemişev D.V. Analitik Geometri ve Lineer Cebir Kursu, 2005. – 304 s.

.Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitik geometri: Navch. üniversiteler için. - 7. görünüm., Sr., 2004. - 224 s. - (İleri matematik ve matematiksel fizik dersi.)

.Efimov N. V. Analitik geometride kısa bir kurs: Navch. Yardım Edin. - 13. görünüm., stereo. –, 2005. – 240 s.

.Kanatnikov O.M., Krishchenko O.P. Analitik geometri. -2. görünüm. -, 2000, 388 s (Teknik Üniversitede Yrd. Matematik

.Kadomtsev SB. Analitik geometri ve lineer cebir, 2003. – 160 s.

.Fedorchuk V. V. Analitik geometri ve lineer cebir kursu: Navch. posibnik, 2000. - 328 s.

.Analitik Geometri (ders notları, Y.V. Troitsky, 1. yıl, 1999/2000) – 118 s.

.Bortakovsky, AS Uygulamalarda ve görevlerde analitik geometri: Navch. Posibnik/O.S. Bortakovsky, A.V. Panteliev. - Vishch. okul, 2005. - 496 s: il. - ("Uygulamalı Matematik" dizisi).

.Morozova E.A., Sklyarenko E.G. Analitik geometri. Metodolojik rehber 2004. - 103 s.

."Vishcha Mathematics" kursu için metodik talimatlar ve çalışma programı - 55 s.

İki düz, paralel genişlikte, sanki bir dairede yatmanın kokusu üst üste gelmiyormuş gibi.

İki düz çizgi uzayda kesişir, sanki içinde kokacak bir alan yokmuş gibi.

Düz çizgileri geçmek için işaretler. İki düz çizgiden biri deakіy ve lagnosti'de yer alıyorsa ve başka bir düz çizgi düzlemi bir noktada kesiyorsa, ilk düz çizgi üst üste gelmiyorsa, düz çizgiler kesişir.

Uçak düzdür, böylece düzlem paralel, üst üste gelmez, böylece pis koku uyku noktalarını boğmaz.

Düz çizgi ve düzlemin paralellik işareti. Düzse düzlemle örtüşmüyorsa paralelse düzse düzlemle örtüşüyorsa düzleme paraleldir.

Düzlemin gücü ve düz çizgi, düzleme paralel:

1) Düzlem düz, diğer düzleme paralel ve düzlemi kesiyorsa, düzlemlerin çizgisi bu düz çizgiye paraleldir;

2) iki paralel düz çizgiden deriden geçerse, örtüşen düzlemler, o zaman çizgilerinin çizgisi bu düz çizgilere paraleldir.

Paralel iki düzlem, sanki koku uyku noktaları olamazmış gibi.

Düzlemlerin paralellik işaretleri, üst üste binen aynı düzlemin iki düz düzlemi, iki düz düzleme paralel gibi görünüyor, o zaman iki düzlem paralel.

Düz çizgi, düz çizgiye dikmiş gibi, düzleme diktir, böylece düzlem uzanır.

Düz bir çizginin ve bir düzlemin diklik belirtileri: eğer düz bir çizgi, üst üste binen iki düz çizgiye dikse, düzlemin yanında bulunur, o zaman düzleme diktir.

Düz bir çizginin, düzleme dik hakimiyeti.

1) iki paralel çizgiden biri düzleme dik ise, diğer çizgi düzlemin merkezine diktir;

2) düz, iki paralel düzlemden birine dik, diğer düzleme dik.

Uçakların dikliğinin işareti. Düzlem diğer düzleme dik hareket edecekse, o düzleme diktir.

Düzlemi geçen, ancak ona dik olmayan düz bir çizgiye düzleme kırılganlık denir.

Üç dik ile ilgili teorem. Daireye yakın olan düz olması için, bülün hastalığa dik olması, hasta kişinin daire üzerindeki izdüşümüne dik olması için gerekli ve yeterlidir.

Bebekte 1 düz b− khila daireye, düz c- projeksiyon a┴ h, sonra a┴ b

Kırılganlık ve düzlük arasındaki Kutom, kırılganlık arasındaki kesim ile düzlük üzerine izdüşüm olarak adlandırılır. Küçük olan 2 düz b- düz, düz pokhila a- chiloi'nin daire üzerine izdüşümü, α - chilo ve daire arasında kesim.

Geçmişte iki yüzlü kutvoryutsya, iki düzlemin peretinasıydı. İki düzlemin açıklığının sonunda kesilen düz çizgiye iki taraflı kesimin kenarı denir. İki pіvploschini ve zagalny kaburga, iki yüzlü kut'un yüzleri olarak adlandırılır.

Napіvnі, iki yüzlü kuta'nın kenarı ile zbіgaєtsya'nın ve iki taraflı kut'un iki eşit kuti'ye nasıl bölüneceği alan, iki sektörlü bir daire olarak adlandırılır.

İki yüzlü kesim, benzer bir doğrusal kesime indirgenir. İki taraflı bir kesimin doğrusal kesimine, deri yüzünden kenara çizilen dikler arasındaki kesim denir.

Prizma

Bagatohedron, bir nehrin iki yakası n- paralel dairelerin yakınında bulunan kosinci ve reshta n yüzler - paralelkenarlar, denir n- Vugіlnoy prizma.

İki n- kosintsya є podstavami prizma, paralelkenarlar - bіchnymi yüzleri. Yüzlerin kenarlarına prizmanın kenarları, kenarların uçlarına prizmanın tepeleri denir.

Prizmanın yüksekliğine, prizmanın tabanları arasındaki düzenlemelere dikin yüksekliği denir.

Prizmanın köşegenine, aynı yüzde yer almayan tabanların iki köşesini birleştiren çapraz denir.

Düz bir prizma, kaburgaları taban düzlemlerine dik olan bir prizmadır (Şekil 3).

Kırılgan bir prizmaya, kaburgaları temellerin düzlüğüne karşı kırılgan olan bir prizma denir (Şekil 4).

Yükseklik prizmasının yüzeyinin obsyag ve alanı aşağıdaki formüllerle bilinir:

Düz prizmanın yan yüzeyinin alanı, formül kullanılarak hesaplanabilir.

Yüzey alanı olan hacim kırılgan prizmalar (Şekil 4) da aynı şekilde hesaplanabilir: de ΔPNK - üstten kesme, l kenarına dik.

Doğru prizmaya, temeli düzenli bir bagatokutnik olan düz prizma denir.

Bir prizmaya paralelyüzlü denir ve tüm yüzlerine paralelkenar denir.

Düz bir paralel boru, kaburgaları taban düzlemlerine dik olan bir paralel borudur.

Düz bir paralel boru, temeli düz bir kesim olan düz bir paralel boru olarak adlandırılır.

Dikdörtgen paralel borunun köşegeninin gücü

Dikdörtgen bir paralelyüzün köşegeninin karesi, üç yogo vimiriv'in karelerinin toplamıdır: d² = a² + b² + c², de ABC- Bir tepe noktasından çıkan Dozhina kaburgaları, d- paralel borunun köşegeni (Şekil 3).

Dikdörtgen paralel yüzün hacmi formülden bilinir. V=abc.

Küp, eşit kaburgalara sahip dikdörtgen paralel boru olarak adlandırılır. Küpün tüm yüzleri karedir.

Kenarı olan bir küpün hacmi, yüzey alanı ve köşegeni aşağıdaki formüllerle bilinir:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

piramit

Bir yüzü bagatokutnik, diğer yüzü dik bir tepeden tricutnik olan bir bagatohedron, piramit olarak adlandırılır. Bagatokutnik'e piramidin tabanı denir ve trikutniklere bichny yüzleri denir.

Piramidin yüksekliğine, piramidin tepesinden taban yüzeyine çizilen dikmenin yüksekliği denir.

Piramidin tüm yan kaburgaları eşitse veya aynı kut altındaki tabanın düzlüğüne eğilirse, yükseklik açıklanan kazık merkezine iner.

Piramidin kenarları aynı kut (eşit dururken çift yüzlü kuti) altındaki taban düzlemine eğilirse, yükseklik yazılı kazık merkezine iner.

Temeli doğru bagatokutnik olduğu için piramit doğru olarak adlandırılır ve yükseklik, piramidin tabanında bulunan bagatokutnik'in yazılı ve tarif edilen payının merkezine düşer. її zirvelerinden çizilen sağ piramidin bіchnі yüzünün yüksekliğine bir özdeyiş denir.

Örneğin, küçük 5'te doğru triko piramidi tasvir edilmiştir. SABC(tetrahedron): AB= M.Ö= AC= a, OD=r- tricutnik'te yazılı payın yarıçapı ABC, AE=R- kazık yarıçapı, trikonun tarif edilen beyazı ABC, BÖYLE=h- Visota

piramitler, SD = ben-özdeyiş, - kut nakhily

pirzola SA taban düzlemine, - yan yüzün eğiminin kesilmesi SBC piramidin tabanına kadar.

Triko piramidine tetrahedron denir. Dörtyüzlü, kenarları eşitmiş gibi düzenli olarak adlandırılır.

Obsyag piramidi, bu alan yüzeysel olarak formülleri bilir:

De h- Piramidin yüksekliği.

Düzenli piramidin yüzeyinin karesinin alanı formülün arkasını bilmek, de - piramidin özü.

Kesik bir piramit, köşeleri piramidin tabanının tepeleri ve piramidin tabanına paralel olarak düzlem boyunca kesilen її'nin tepeleri olarak hizmet eden bir bagatohedron olarak adlandırılır. Kesik bir piramit gönderin - bir bagatokutniki gibi.

Obsyag kesilmiş piramidi formülün arkasını biliyor , de - tabanın alanı, h - kesilmiş piramidin yüksekliği.

Doğru bagatohedronlar

Düzenli bir bagatohedron, tüm yüzlere sahip olan kabarık bir bagatohedron olarak adlandırılır - aynı sayıda kenar ve aynı sayıda kaburga ile normal bagatokutniki, bagatohedronun cilt tepe noktasında birleşir.

Normal bir bagatohedronun yüzleri, eşit kenarlı tricutnikler veya kareler veya normal pyatikutnikler olabilir.

Normal bir bagatohedron'un yüzleri olduğu gibi - düzenli tricuts, normal bagatohedronların düzenli bir tetrahedronu (vin maє 4 yüz), düzenli bir oktahedron (vin maє 8 yüz), düzenli bir ikosahedron (vin maє 20 yüz) vardır.

Normal bir bagatohedron kare yüzlere sahipse, o zaman bagatohedron bir küp veya altı yüzlü olarak adlandırılır (6 yüz olabilir).

Düzenli bir bagatohedron'un düzenli p'yatikutnik'lerle yüzleri varsa, o zaman bagatohedron'a dodekahedron denir (12 yüz olabilir).

silindir

Bir şekle silindir denir ve sonuç olarak bir kenarına bir dikdörtgen sarılır.

Küçük olanda 6 düzdür - tüm ambalajlar; - Visota, ben- Doyurucu; ABCD- yan taraftaki dikdörtgenin sarılmasıyla kesilen silindirin eksenel bölümü. Silindirin bu yüzey alanının hacmi aşağıdaki formüllerle bilinir:

, , , , de R- taban yarıçapı, h- Visota, ben- silindiri sabitleyin.

koni

Bir şekle koni denir ve kateterlerden birinin yanında düz kesimli bir triko sargısı kesilir. Küçük olan 7 düz OB- tüm sarma; OB = h- Visota, ben- tatmin edici;Δ ABC- koninin eksenel kesimi, düz kesimli tricutnik sargılarının kesilmesi OBC bacağın yanında OB.