Respekt naprijed

1. Stereometrija ima geometrijska tijela i prostrane likove, čije točke ne leže u istoj ravnini. Na naslonjaču su prikazane ekspanzivne figure za pomoć mališanima, kao da je rika na oko približno ista kao i sama figura. Qi mališani slijede pravila pjevanja koja se temelje na geometrijskoj snazi ​​figura.
Jedan od načina prikazivanja prostranih likova na stanu bit će naznačen daleko (§ 54-66).

ROZDIL PRVO RAVNO I RAVNO

I. RAVNINSKI POLOŽAJ

2. Slika područja. U svakodnevnom životu postoji mnogo predmeta, na vrhu neke nagađajuće geometrijske ravnine, koji oblikuju pravokutni oblik: paleta knjige, greška, na vrhu pisaćeg stola itd. nacrtajte oblik paralelograma. Stoga je uobičajeno prikazati ravninu na fotelji kao paralelogram 1. Zvuk područja Tsyu znači jedno slovo, na primjer, "područje M" (Tabela 1).

1 Redoslijed dodijeljenih slika područja je moguć i isti, kao na foteljama 15-17 i ín.
(op. ur.)

3. Glavne karakteristike površine. Recimo da snaga stana, koja je prihvaćena bez dokaza, treba biti aksiom:

1) Ako dvije točke pravca leže na ravnini, tada kožna točka na pravcu leži na ravnini.

2) Ako dva stana čine točku gorenja, tada smrad pada ravnom linijom kroz tu točku.

3) Kroz li postoje tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji, može se povući ravnina, a prije toga postoji samo jedna.

4. Nasljeđe. Od ostatka prijedloga možete unijeti sljedeće:

1) Kroz ravnu liniju i točku iza nje možete nacrtati ravninu (i više od jedne). Dapače, točka poze je odjednom ravna s neke dvije točke duž ravne linije, dodaju se tri točke, kroz jaku je moguće povući ravninu (i prije toga jednu).

2) Kroz dvije ravne linije koje se isprepliću moguće je povući stan (i samo jedan). Učinkovito, uzimajući točku prečke i još jednu točku na ravnoj liniji kože, ili tri točke, kroz yaki je moguće nacrtati ravninu (i prije toga, jednu).

3) Kroz dvije paralelne prave moguće je povući samo jednu ravninu. Doista, paralelno s ravnim linijama iza imenovanja, leže u istoj ravnini; Ova ravnina je jedna, tako da se kroz jednu od paralela i kao točku druge može povući samo jedna ravnina.

5. Omotajte područje oko ravne linije. Kroz kožu ravno u otvorenom prostoru moguće je nacrtati beskonačno područje.

Stvarno, neka bude ravno a (vrag 2).

Uzmimo točku A iza toga. Kroz točku A i ravno a prolaze kroz jednu ravninu (§ 4). Zovemo je ravnina M. Iza ravnine M uzmimo novu točku. Kroz točku B i ravnicu a da svojom crninom prođe kroz stan. Zove se ravnina N. Može sp_vpadati z M, stijene na njoj leže u točki Y, tako da ravnina M leži. a proći novu površinu. Zove se nje R. Vaughn ne bježi od M, N od N, jer u njoj postoji točka C, tako da ne leži ni do područja M, ni do područja N. oduzmite sve nove i nove ravnine koje prolaze pravolinijom a . Takvih područja neće biti. Sve te ravnine mogu se promatrati kao različiti položaji jedne te iste ravnine, koja se obavija oko ravne a .

Možemo pokazati još jednu moć ravnine: ravnina se može omotati oko, bilo da je ravna, koja leži u blizini ove ravnine.

6. Dogovor za posjet otvorenom prostoru. Brkovi, koji su se koprcali u planimetriji, pobjeđivali u istoj ravnini iza pomoći foteljskih alata. Za pobudove u blizini otvorenog prostora, alati za fotelje postaju već neprihvatljivi, tako da je nemoguće stolovati figure u blizini otvorenog prostora. Osim toga, kada postoji novi element u prostoru, tu je i novi element - stan, koji se, ako je u prostoru, ne može postaviti na pod jednostavnim bravicama, kao ravna linija na stanu.

Stoga, kada se pobudov nalazi u blizini otvorenog prostora, potrebno je točno odrediti što znači vikonate that chi ínsha pobudovu that, zokrema, što znači probuditi stan u blizini otvorenog prostora. U svim prilikama u prostoru dopuštamo:

1) da se ravnina može inducirati, pošto se nađu elementi koji označavaju te položaje u prostoru (§ 3 i 4), tako da možemo inducirati ravninu da prođe kroz tri dane točke, kroz ravnu crtu i točku iza nje. , ili kroz dvije dvije paralelne crte;

2) ako postoje dvije ravnine koje se preklapaju, tada je data linija njihove trake, tako da možemo znati liniju trake dviju ravnina;

3) kako je ravnina data u prostoru, onda se možemo u njoj pobijediti, ostati, kao da nas je tukla planimetrija.

Vikonati yak-nebudova pobudova u prostoru - tse znači nazvati yogo do kraja dana glavnih sastanaka. Uz pomoć ovih glavnih zadataka možete odvezati sklopive zadatke.

U tim se govorima javljaju problemi s potrebom stereometrije.

7. Kundak zadatka ostati na otvorenom prostoru.
Menadžer. Pronađite točku sjecišta zadane ravne linije a (Grafikon 3) iz središta R.

Uzmimo ravninu P kao točku A. Kroz točku A i pravac a provodno ravninu Q. Ona siječe ravninu P po radnoj ravnici b . U ravnini Q poznata je točka 3 raspona ravnih linija a і b . Tsya točka i biti shukana. Kako ravno a і b pojavljuju paralelno, tada zadatak nije rješenje.

Poravnanje ravne crte kao crte peretine dviju ravnina:

Kroz kožu ravno u otvorenom prostoru proći bezlično područje. Be-yakí od njih, mijenjajući se, označavaju je u prostoru. Otzhe, kad bi bila dva jednaka stana, koji se zajedno gledaju, jednaki su ravnim crtama.

Vzagali se-kao dvije neparalelne ravnine

označavaju ravnu liniju. Qi jednaki nazivaju se divlja ljubomora ravno.

Poravnanje ravne linije koja prolazi kroz dvije točke:

Zadaj zadane točke A(x 1 ;y 1) i B(x 2 ;y 2). Poravnanje ravne linije koja prolazi kroz točke A (x 1; y 1) i B (x 2; y 2) može izgledati ovako:

Ako zadane točke A i B leže na ravnoj liniji, paralelnoj s osi O x (y 2 -y 1 \u003d 0) ili osi O y (x 2 - x 1 \u003d 0), tada je poravnanje ravnine linija će biti slična majci koja gleda \u003d y 1 ili x = x 1

Primjer 4. Položite ravne linije koje prolaze kroz točke A(1;2) i B(-1;1).

Rješenje: Zamjena poravnanja (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 \u003d 1
zvijezde ili 2y-4=x-1, ili pak x-2y+3=0

Kanonski ravne linije:

Neka je Kartezijev koordinatni sustav fiksiran na ravnini Oxy. Postavimo si vlastite ciljeve: idi ravnom linijom a, yakscho - Deyak točka ravne linije a i - direktni vektor a.

Nehai - pokretni zarez je ravan a. Tada je vektor direktni vektor pravca a i maê koordinate (ako je potrebno, čudite se statusu koordinata vektora kroz koordinatne točke). Očito je da je bezličnoj točki na ravnini pridružena ravna crta, tako da direktni vektor može proći kroz točku i može samo i samo ako su vektori kolinearni.

Zapišimo nužnu i dovoljnu kolinarnost vektora za um: . Vidljiva je ostala jednakost koordinatnog oblika.

Yakscho i , onda možemo zapisati

Otrimane jednako pameti zove se kanonske crte ravno na stanu u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy. Rivnyannia se također zove jednaka ravnoj liniji u kanonskom pogledu.

Opet, kanonsko poravnanje ravne linije na ravni uma dano je pravokutnim koordinatnim sustavom Oxy pravac koji prolazi točkom i može biti direktni vektor.

Usmjerit ćemo kundak kanonske ravne linije na ravninu.

Na primjer, jednak ravnoj liniji kanonskog izgleda. Pravac, koji omogućuje prolazak kroz točku , i - ji je izravni vektor. Ispod je grafička ilustracija.

Bitno važne činjenice:

· yakscho-ravne vektorske ravne linije i ravne linije prolaze kao kroz točku, dakle í kroz točku, tada se njezina kanonski jednaka može napisati kao, tako í;

· ako je to direktni vektor pravca, onda je li bilo koji od vektora također direktni vektor zadanog pravca, onda, bio jednak pravcu u kanonskom prikazu pravca.

Parametarsko pravocrtno poravnanje:

Teorema. Sustav ravnih linija napreduje s parametarskim ravnim linijama:

de – koordinate prilično fiksne točke zadanog pravca, – opće koordinate prilično direktnog vektora zadanog pravca, t – parametar.

Dokaz. Vidpovidno do vyznachennya ravnomjernosti, bilo da se radi o množenju točaka koordinatnog prostora, odgovorni smo donijeti da jednako (7) zadovoljava sve točke ravne linije L i, s druge strane, ne zadovoljava koordinate točke , koji ne leže na ravnoj liniji.

Hajdemo dobro reći. Isti vektori i ê u svrhu kolinearnosti i teorema o kolinearnosti dva vektora slijedeća, koji se linearno izražavaju kroz drugi, taj. postoji takav broj, što. Jednakost vektora i točnost koordinata:

Ch.t.d.

Natrag, hajde na točku. Zatim, prema teoremu o kolinearnosti vektora, mogu postojati linearni izrazi kroz drugi, dakle. Želim da jedna od jednakosti (7) ne pobijedi. U ovom redoslijedu, jednakosti (7) su zadovoljene koordinatama manje mirnih točaka, poput ležanja na ravnoj liniji L i samo malo smrada, itd.

Teorem je dovršen.

Normalno poravnanje područja:

NA vektorski oblik područje može izgledati ravno

Isto tako, vektor normale površine je jednostruk,

čak se i ravnost područja može zabilježiti kao

(normalna ravnost).

– prelazak sa klipa koordinata na ravninu, , , – direktni kosinus normale

de - presjek između normale ravnine i koordinatnih osi na isti način.

Vertikalna ravnina ravnine (8) može se dovesti u normalni oblik množenjem s normalizirajućim faktorom, predznak ispred razlomka je suprotan predznaku slobodnog člana (8).

V_dstan v_d pokazuje na ravninu(8) biti iza formule, uzeto zamjenom točke u normalnom poravnanju

Duboka ravnost ravnine, nakon duboke ravnosti ravnine:

Što se tiče trivijalnog prostora, zadan je pravokutni koordinatni sustav Oxyz, tada se jednake ravnine u trivi-svjetskom koordinatnom sustavu nazivaju jednake jednake trostrukom x, gі z, zadovoljan sam koordinatama svih točaka ravnine i nisam zadovoljan koordinatama nijedne druge točke. Drugim riječima, pri potvrđivanju koordinata prve točke ravnine oduzima se jednakost ravnine, a pri zamjeni jednake ravnine koordinata, bilo da se radi o drugoj točki, jednakost je netočna.

Prije svega, zapišite središnju ravninu ravnine, pogađajući ravnu liniju okomitu na ravninu: ravna crta je okomita na ravninu, kao da je okomita na ravnu liniju koja leži na ovoj ravnini. Iz koje oznake je jasno postoji li normalni vektor ravnine okomica na bilo koji vektor različit od nule koji leži blizu te ravnine. Ova činjenica oponaša dokaz napadačkog teorema, jer postavlja izgled divlje ravnine područja.

Teorema.

Budi kao jednak pameti, de A, B, Cі D- Deyakí díysní brojevi, štoviše ALI, NAі C nije jednaka nuli odjednom, označavajući područje u danom pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u blizini trivijalnog prostora, te da li je to ravnina u blizini pravokutnog koordinatnog sustava Oxyz u trivijalnom prostoru jednaki su umu s određenim skupom brojeva A, B, Cі D.

Dokaz.

Kao i Bachite, teorem se sastoji od dva dijela. U prvom dijelu smo dobili razinu i trebamo je izvući na površinu. S druge strane, dobili smo dvojku ravnosti i potrebno je jednostavnim izborom brojeva dovesti ono što možemo izjednačiti. ALI, NA, Wі D.

Potvrdimo samo prvi dio teorema.

Oskílki brojevi ALI, NAі W preko noći nije jednaka nuli, tada je točka , čije su koordinate zadovoljene ekvivalencijom, tako da je jednakost poštena. Vídnímemo lvu i desni dio otrimanoí̈ rivností vídpovídno víd lívoí̈ i pravaí í̈ dijelovi ívnyannja, tsomu otmáêmo ravnyannja vídnívnínya vídívalentno vihídnomu ívnyannju. Sada, kao što znamo, to izjednačava ravninu, tada će se donijeti, to je njoj ekvivalentno, jednako označava i ravninu zadanog pravokutnog koordinatnog sustava za trivimerni prostor.

Pravičnost je nužna i dovoljna mentalna okomitost vektora i . Drugim riječima, koordinate plutajuće točke zadovoljene su ravnomjerno i samo jednom ako su vektori okomiti. Zatim, kršenjem činjenice, indukcijom prije teorema, možemo potvrditi da je jednakost istinita, tada bezlična točka definira ravninu, normalni vektor poput ê, štoviše, ova ravnina prolazi kroz točku. Drugim riječima, poravnanje je indikativno za pravokutni koordinatni sustav Oxyz u blizini trivimirskog prostranstva dodijeljena je veća površina. Otzhe, ekvivalentno, izjednačava samu površinu. Prvi dio teoreme je završen.

Prijeđimo na potvrdu drugog dijela.

Neka nam je dana ravnina koja prolazi kroz točku, s normalnim vektorom, koji je ê . Recimo da pravokutni koordinatni sustav Oxyz njezino postavljanje razine uma.

Za što uzimamo dovoljnu točku ravnine. Dopustite da ja budem bitna. Tada će vektori i biti okomiti, tada će njihov skalarni twír biti jednak nuli: . Prihvaćam, radujem se viđenju. Tse jednako i označava naše područje. Opet, teorem je ponovno potvrđen. (za prve vrijednosti brojeva ALI, NA, Wі D);

Naciljajmo kundak da ilustriramo ostatak fraze.

Divite se mališani sa slika područja u blizini trivijalnog prostranstva u blizini fiksnog pravokutnog koordinatnog sustava Oxyz. Tsíy ploshchiní vídpovídaê rívnyannya, na taj scho ste zadovoljni koordinatama bilo koje točke na trgu. S druge strane, trasa je određena zadanim koordinatnim sustavom Oxyz bezlična točka, čija je slika mali stan.

Ravnost područja na prozorima:

Neka trivijalni prostor ima pravokutni koordinatni sustav Oxyz.

Za pravokutni koordinatni sustav Oxyz u trivijalnom prostranstvu jednako pameti, de a, bі c– u obliku nule poziva se tekući broj jednaka površini na vjetrobranima. Takvo ime nije vipadkova. Apsolutne vrijednosti brojeva a, bі c jednako vídrízkív vídzhina, yakí vídsíkaê ravnina na koordinatnim osima Vol, jaoі Oz vídpovídno, rahuyuchi víd cob koordinata. Oznaka broja a, bі c prikazuje, u ravnoj liniji (pozitivnoj i negativnoj) nalaze se zagrade na koordinatnim osima. Definitivno, koordinatne točke zadovoljavaju ravninu vjetrova:

Pogledajte mališane, što objašnjava trenutak.

Nivo ravnine koja prolazi kroz točku je okomit na vektor: Neka trivijalni prostor ima pravokutni Kartezijev koordinatni sustav. Formuliramo sljedeći zadatak:

Presavijte ravne ravnine da prođu kroz ovu točku
M(x 0 , g 0 , z 0) okomito na zadani vektor →n = {A, B, C} .

Riješenje. dođi P(x, g, z) - dovoljno točaka u prostor. Točkasta, šarena P iznad ravnog todí í manje todí, ako je vektor
MP = {x − x 0 , g − g 0 , z − z 0 ) ortogonalni vektor → n = {A, B, C) (Sl. 1).

Nakon što smo napisali mentalnu ortogonalnost ovih vektora (→ n, MP) = 0 za koordinatni oblik, izborno.

PODRUČJE.

Ugovoreni sastanak. Svaki vektor različit od nule, okomit na ravninu, naziva se ji normalni vektor, i naznačeno je.

Ugovoreni sastanak. Jednak površini uma de koeficijent - dovoljan efektivni broj, koji nije jednak nuli u isto vrijeme, naziva se zagalnym stanovima područja.

Teorema. Niveliranjem se određuje područje koje vektor normale može proći kroz točku.

Ugovoreni sastanak. Rivnyannia um

de - dovoljan, nije jednak nuli, stvarni brojevi, pozvani jednaka površini na vjetrobranima.

Teorema. Ajde - ravnost stana na vjetrobranima. Todi - koordinatna točka njezina prečka s koordinatnim osima.

Ugovoreni sastanak. Duboka zaravnjenost područja naziva se racioniranje ili normalan jednako površini, npr

taj .

Teorema. Normalno, poravnanje ravnine može se napisati u obliku - u stupcu koordinata na danu ravninu, - direktnog kosinusa normalnog vektora ).

Ugovoreni sastanak. Normalizirajući množitelj zove se broj ravne površine de znak se bira suprotnim predznakom slobodnog člana D.

Teorema. Ajde - multiplikator koji normalizira, divlja ravnost područja. Todi rivnyannya ê racioniranje rivnyannyam danog područja.

Teorema. Vídstan d vrsta mrlja do stana .

Međusobno rotashuvannya dva stana.

Dvije ravnine ili teku, ili su paralelne, ili se isprepliću ravnom linijom.

Teorema. Neka površni zadaci budu iznad glave: . Todi:

1) jako zatim stanovi zbígayutsya;

2) jako tada su ravnine paralelne;

3) u protivnom su ravnine tonirane duž ravnih linija, jednakih kojima služi jednaki sustav: .

Teorema. Hajde - normalni vektori dviju ravnina, onda je jedan od dva presjeka između zadanih ravnina veći:.

Posljednji. dođi ,- Normalni vektori dviju zadanih površina. Kao skalarni dodatak, dane površine su okomite.

Teorema. Zadajte koordinate tri različite točke koordinatnog prostora:

Rijeka Todi –ê jednake ravnine koje prolaze kroz qi tri točke.

Teorema. Neka podaci vjetra dvaju stanova, koji se preklapaju: štoviše. Todi:

– izravnavanje dvosektorskog područja gostry duhedral kut, okovan peratinom ovih stanova;

– poravnanje bisektorskog područja tupog diedralnog reza.

Zv'yazuvannya da greda stanova.

Ugovoreni sastanak. Zv'yazuvannyam stanovi bezličnost svih planova se zove, da se može vidjeti jedna svijetla točka, kako se to zove središte veze.

Teorema. Idemo - tri stana koji čine jednu svijetlu točku izjednačavanje zv'yazuvannya stanova.

Teorema. Rivnyannya, de dovilní deisní parametri, koji nisu jednaki nuli u isto vrijeme, ê jednaka spoju ravnina sa središtem spoja u točki

Teorema. Dopustite mi da vam dam podatke o ledenjačkoj razini triju ravnica:

-í̈h vidpovídní normalni vektori. Da bi se tri zadane ravnine preklapale u jednu točku, potrebno je i dovoljno da razlika između dva normalna vektora ne dosegne nulu:

Na taj su način koordinate jedne središnje točke jedinstvena rješenja sustava izjednačenja:

Ugovoreni sastanak. Hrpa stanova zovu se bezlične ravnine, koje su isprepletene duž iste ravne linije, naslov cijele grede.

Teorema. Neka dva stana koji se isprepliću u ravnoj liniji. Todí vnyannja, de dovílní díisní parametri odjednom nisu jednaki nuli, ê poravnanje snopa ravnina od vrha grede

DIREKTNO.

Ugovoreni sastanak. Bilo da se radi o vektoru različitom od nule, kolinearna dana ravna crta naziva se ji direktni vektor, i naznačeno je

Teorema. parametarske ravne linije u prostoru: de koordinate prilično fiksne točke zadane ravne crte i opće koordinate prilično izravnog vektora zadanog parametra ravne crte.

Posljednji. Sustav ravnopravnosti napreduje, ravnopravnost na otvorenom prostoru i zove se kanonski jednako ravno u svemiru: de - koordinate prilično fiksne točke zadane ravne crte, - opće koordinate prilično izravnog vektora zadane ravne crte.

Ugovoreni sastanak. Kanonski ekvivalent izravnog pogleda - pozvao kanonska poravnanja ravnih linija koje prolaze kroz dvije različite zadane točke

Međusobno roztashuvannya dvije ravne linije na otvorenom prostoru.

Moguće je imati 4 padine truljenja dvije ravne linije u blizini otvorenog prostora. Mogu se uspraviti, biti paralelni, križati se u jednoj točki ili križati.

Teorema. Dopustite mi da dam kanonsko izjednačavanje dviju ravnih linija:

de - njihovi ravni vektori, - dovoljno fiksnih točaka koje leže na ravnim linijama. Todi:

і ;

a ne pobjeđuje samo jedna od jednakosti

;

, onda.

4) izravno križati, poput , onda.

Teorema. dođi

– dvije prilično ravne linije u blizini otvorenog prostora, postavljene parametarskim poravnanjima. Todi:

1) kako je sustav jednak

ako postoji jedno rješenje, onda su izravno isprepleteni u jednoj točki;

2) ako je sustav jednak nema rješenja, tada se direktno križa paralelno.

3) ako je sustav jednak više od jedne rozvyazku, onda ravno zbígayutsya.

Stanite između dvije ravne linije na otvorenom prostoru.

Teorema.(Formula između dvije paralelne crte.): Krećite se između dvije paralelne crte

De - njihov nadzemni direktni vektor, - točke ovih ravnih linija, mogu se izračunati po formuli:

ili

Teorema.(Formula između dvije ravne crte koje treba prijeći.): Stanite između dvije ravne crte koje treba prijeći.

može se izračunati pomoću ove formule:

de – modul mješovitog kreiranja direktnih vektora і í vektor, modul za kreiranje vektora direktnih vektora.

Teorema. Hajde - poravnanje dvaju stanova koji se preklapaju. Zatim dolazi sustav poravnanja i poravnanja ravnih linija, koje su isprepletene ravninama: . Izravni vektor može poslužiti kao vektor , de ,- Normalni vektori zadanih površina.

Teorema. Neka mu je dana kanonska ravna linija: de . Zatim dolazi sustav jednakosti, a jednakostima su dane ravne linije, dane rasponom dviju ravnina: .

Teorema. Poravnanje okomice ispuštene iz točke ravno može pogledati de - koordinate stvaranja vektora, - koordinate direktnog vektora zadanog pravoj liniji. Duljina okomice može se znati po formuli:

Teorema. Vidi se poravnanje okomice okomice dviju ravnih linija koje se mogu križati: de.

Međusobno roztashuvannya ravne linije i stanovi u blizini otvorenog prostora.

Tri su moguća načina međusobnog širenja pravca u blizini prostranstva tog područja:

Teorema. Neka je ravnina dana ravnim linijama, a pravac je dana kanonskim ili parametarskim linijama abo, de vektor je normalni vektor površine – koordinate relativno fiksne točke pravca, – opće koordinate relativno izravnog vektora pravca. Todi:

1) yakscho, tada izravno prelazimo ravninu točke čije se koordinate mogu znati iz sustava izjednačenja

2) ako i, onda lezite ravno na ravno;

3) ako je i, tada je pravac paralelan s ravninom.

Posljednji. Ako sustav (*) ima jedno rješenje, onda se on izravno prelijeva iz ravni; ako sustav (*) nema rješenja, onda je pravac paralelan s ravninom; ako sustav (*) može biti neosobna odluka, onda je ravno ležati na ravnini.

Virishennya tipični zadaci.

menadžer №1 :

Presavijte ravne ravnine da prolaze kroz točku paralelno s vektorima.

Znamo vektor normale površine:

= =

Kao normalni vektor površine, možete uzeti vektor iste globalno jednake površine u budućnosti kada pogledate:

Da bismo znali, potrebno je zamijeniti koordinate točaka s kojima leži ravnina.

menadžer №2 :

Dvije plohe kocke leže na ravninama i izračunaj ukupan broj kocke.

Očito je da su ravnine paralelne. Dovzhina rub kocke ê vídstan mízh stanova. Vibero u prvom avionu do točke: ne znamo.

Znamo kako hodati između ravnina, kako hodati od jedne točke do druge ravnine:

Otzhe, volumen kocke je dobar ()

menadžer №3 :

Znajte rez između lica i vrhova piramide

Rez između ravnina – ce rez između normalnih vektora do ovih ravnina. Znamo vektor normale površine: [,];

, ili

Na sličan način

menadžer №4 :

Položite kanonski jednake ravne linije .

Otzhe,

Vektor je okomit na ravnu liniju, to

Otzhe, kanonski jednak, gledat ću ravno naprijed.

menadžer №5 :

Znati razliku između ravnih linija

і .

Izravno paralelno, jer njihovi direktni vektori i irívní. Hajde na točku leže na prvoj liniji, a točka na drugoj liniji. Znamo površinu paralelograma na temelju vektora.

[,];

Shukanoi vídstannyu ê visina paralelograma, izostavljena iz točaka:

menadžer №6 :

Izračunaj najkraću udaljenost između ravnih linija:

Pokazat će se da je ravno prijeći, tobto. vektori i leže u istoj ravnini: ≠ 0.

1 način:

Kroz drugu ravnicu povučemo ravninu paralelnu s prvom pravcom. Za shukano područje v_domí tí, scho to ležati joj vektoríí. Vektor normalne površine ê vektor tvir vektorív, .

Također, kao normalni vektor područja, možete uzeti vektor poravnanja tog područja u budućnosti, ako znate da se može pronaći točka koja će ležati na području i zapisati poravnanje:

Shukana v_dstan - tsya vídstan od točke prve ravne linije do ravnine poznat je po formuli:

13.

2 načina:

Na vektorima i napravit ćemo paralelopiped.

Shukana vídstan' – visina paralelopipeda, izostavljena iz točaka na yogo bazi, na temelju vektora.

Rezultat: 13 singlova.

menadžer №7 :

Poznavati projekciju točke na ravninu

Normalni vektor površine je izravni vektor prave:

Znamo mjesto sjecišta prave linije

to područje:

.

Zamjena u ravnoj ravnini, znamo, a zatim

Poštovanje. Da biste znali točku koja je simetrična točki sličnoj ravnini, potrebno je (slično prednjim zadacima) znati projekciju točke na ravninu, a zatim pogledati vídízok s vídomimikobkami sredinom, izvijajući se s formule,,.

menadžer №8 :

Nađite poravnanje okomice ispuštene iz točke na ravnoj liniji .

1 način:

2 načina:

Zadaci su napisani na drugačiji način:

Površina je okomita na zadani pravac, pa je direktni vektor pravca normalni vektor površine. Poznavajući vektor normale ravnine i točku na ravnini, pišemo je jednako:

Znamo sjecište ravnine i pravca, zapisano parametarski:

,

Napravimo ravnu liniju koja prolazi kroz točke i:

.

Prijedlog: .

Na isti način, možete virishity i isti zadatak:

menadžer №9 :

Pronađite točku koja je simetrična točki poput ravne crte .

menadžer №10 :

Danski triko s gornjim dijelovima Znati razinu visine, spuštenu od vrha do leđa.

Naslov je potpuno analogan prethodnim zadacima.

Prijedlog: .

menadžer №11 :

Označite poravnanje okomice okomito na dvije ravne crte: .

0.

Vrakhovuchi, scho prolazimo kroz točku, zapisujemo poravnanje ravnine:

Poanta je položiti, vidjet ću da će jednaka površina izgledati:.

Prijedlog:

menadžer №12 :

Presavijte ravne crte da prolaze kroz točku i križajte ravne crte .

Prva ravna crta koja prolazi kroz točku koja može biti direktni vektor; ostalo - prolazi kroz točke i može usmjeravati vektor

Pokazuje se da su qi linije takve da se mogu križati, za što presavijamo arbitra čiji su redovi koordinate vektora ,, ,vektori se ne preklapaju u istoj ravnini.

Nacrtajmo ravninu kroz točkice i krenimo ravno naprijed:

Hajde - dovoljna točka ravnine istih vektora, i komplanarna. Ravnost područja može izgledati:.

Slično, možemo saviti ravnost ravnine, koja može proći kroz mrlje, a druga ravno: 0.

Šukana je ravna ê raspon stanova, tobto.

Osvijetljeni rezultat posljedica koje one daju je formiranje komponenti, iskaza na ulazu, ukupnosti kompetencija (plemenitosti, uma, moći) na dvije razine: pragu i prosunutnosti. Prag ríven daje ocjenu "vjerojatno", stalni ríven daje ocjene "dobar" ili "izvanredan", ispod rezultata zadatka slučaja.

Za samodijagnostiku ovih komponenti bit će vam prikazani sljedeći koraci.

INSTUP

Poglavlje 1

1 Križna točka pravca s ravninom

1 Varijacije položaja pravca u prostoru

2 Kut mizh ravno i ravno

WISNOVOK

SPISAK POBJEDA DŽERELA

INSTUP

Be-yaké izjednačenje prvog stupnja koordinata x, y, z

Po + Cz + D = 0

postavlja površinu i sada: bilo da se površina može prikazati jednakostima, kako se to naziva jednakostima površine.

Vektor n (A, B, C), okomit na ravninu, naziva se vektor normale ravnine. Jednaki koeficijenti A, B, C nisu u isto vrijeme jednaki 0.

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – ravnina prolazi kroz klip koordinata.

C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - ravnina je paralelna s osi Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 – područje koje treba proći kroz cijelu Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 – ravnina je paralelna s ravninom Oyz.

Poravnanje koordinatnih ravnina: x=0, y=0, z=0.

Pravac u prostoru može se dati:

) kao crta za križanje dviju ravnina, tobto. rivnjanski sustav:

A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2z + D 2 = 0;

) sa svoje dvije točke M 1(x 1,y 1, z 1) i M 2(x 2,y 2, z 2), čak i ako je ravna, ono što treba proći kroz njih, dano je jednakima:

=;

) točka M 1(x 1,y 1, z 1), koji í̈ th leži, da je vektor a (m, n, r), í̈ th kolinearan. Todi se izravno pripisuje jednakima:

Jednadžbe se nazivaju kanonske ravne linije.

Vektor a nazivamo direktnim vektorom pravca.

Parametarsko poravnanje ravne linije se oduzima, izjednačavajući kožu od oka s parametrom t:

x 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Pt.

Razv'azyuchi sustav poput sustava linearnih poravnanja, gdje nepoznati x i y, dolaze do ravnih linija u projekcijama ili do usmjerenih ravnih linija:

Mz + a, y = nz + b

Možete prijeći na kanonske rangove, znajući z iz dermalnog ranga i dodajući vrijednost:

U gornjim razinama (3.2) može se prijeći na kanonsku na drugi način, kako bi se znalo jesu li točka pravca i direktni vektor n = , de n 1(A 1, B 1, C 1) i n 2(A 2, B 2, C 2) normalni vektori zadanih površina. Ako je jedan od predznaka m, n i r u jednakostima (3.4) jednak nuli, tada se broj dvostrukog razlomka mora postaviti jednak nuli, tj. sustav

jednak sustav ; takav je pravac okomit na os Ox.

Sustav sustav je jednako jak x = x 1,y=y 1; ravna linija paralelna s osi Oz.

Svrha kolegija:ravno uz ono ravno područje uz otvoreni prostor.

Voditelj kolegija:pogledajte područje u blizini otvorenog prostora, ji jednako, i pogledajte stan u blizini otvorenog prostora.

Struktura kolegija:natuknica, 2 poglavlja, visnovok, popis vikoristanih dzherel.

Poglavlje 1

.1 Sjecište pravca s ravninom

Neka je površina Q dana zakrivljenom tipu: Ax+By+Cz+D=0, a linija L parametarskom tipu: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, inače, za poznavanje sjecišta pravca L i ravnine Q potrebno je znati vrijednost parametra t, za koji točka pravca leži na ravnini. Zamjenom vrijednosti x, y, z ravnina je jednaka, a izvođenjem t oduzimamo

Vrijednost t će biti ista, budući da ravnina nije ravna i paralelna.

Oprati paralelnost i okomitost pravca i ravnine

Gledajući izravno u L:

i ravnost?

Pravac L i ravnina? :

a) okomito na jedan na jedan ili manje na jedan, ako je direktni vektor ravni i normalni vektor kolinearne ravnine, tobto.

b) paralelno s jednim na isti i manje na isti, ako vektori і okomito, tj.

i Am + Bn + Sr = 0.

.2 Kut mizh ravno i ravno

Kut ?između vektora normale površine i direktnim vektorom izračunati prema sljedećoj formuli:

Greda stanova

Ukupnost svih ravnina koje prolaze kroz datu ravninu L naziva se snop ravnina, a pravac L cijeli snop. Neka je cijela greda dana jednakima

Množimo rang drugog sustava po terminu po terminu i pohranjujemo ga s prvim rangovima:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Tse jednako svibanj prvi korak bi trebao biti x, y, z i, zatim, za bilo koju numeričku vrijednost ?definirati područje. Dakle, kako je dano izjednačenje posljednja od dvije jednakosti, tada su koordinate točke, koje su zadovoljene ovim jednakostima, zadovoljene ovom jednakošću. Oče, za koju god brojčanu vrijednost ?s obzirom na poravnanje ravnina koje prolaze zadanom pravom. Otrimane rivnyannia ê poravnanje snopa ravnina.

kundak.Napiši ravninu koja prolazi kroz točku M 1(2, -3, 4) paralelno s pravcima

Riješenje.Zapisujemo poravnanje spoja ravnina koje prolaze kroz točku M1 :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Budući da je ravnina potrebna, ali je paralelna s ovim pravcima, onda je normalni vektor zbog obje okomit na pravce. tsikh ravne linije. Stoga, kao vektor N, možete uzeti vektor tv_r vector_v:

Također, A \u003d 4, B \u003d 30, C \u003d - 8. Zamjena poznatih vrijednosti za A, B, Z

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) = 0 ili 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

kundak.Pronađite točku pravca ta površina 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Riješenje.Zapišimo poravnanje ove ravne linije s parametričkim prikazom:

Zamislimo qi vrazi za x, y, z izjednačenje ravnine:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Zamislite t = 1 parametarsko poravnanje ravne linije. Oduzeti

Također, pravac se siječe u točki M(3, 2, 7).

kundak.Znaj kut ?između ravne linije ta površina je 4x-2y-2z+7=0. Riješenje.Popravimo formulu (3.20). pa jak

zatim

Otac, = 30°.

Ravna linija na otvorenom prostoru nije uska, pa je lakše možete postaviti uz pomoć prijatelja. Iz školskog tečaja Euklidske geometrije postoji aksiom, "kroz dvije točke u prostoru možete povući ravnu liniju i, prije toga, samo jednu." Također, na dijagramu se pravac može zadati s dvije frontalne i dvije horizontalne projekcije točaka. Ali ako je ravna crta - to je ravna linija (a ne krivulja), tada s punom osnovom možemo kombinirati točke u ravnoj liniji i uzeti frontalnu i horizontalnu projekciju ravne linije (slika 13).

Dokaz je obrnut: u ravninama projekcija V i H zadane su dvije projekcije a "b" i ab (slika 14). Kroz njih povučemo ravninu, okomitu na ravnine projekcija V i H (slika 14), linija peretine ravnina bit će ravna linija AB.

.1 Različiti nagibi

Na padinama koje smo promatrali, ravne crte nisu bile ni paralelne ni okomite na ravnine projekcija V, H, W. Smrad može biti vishídnimi ili slab (rozíbratisya neovisno).

Na sl. Slika 17 prikazuje ravnu liniju letve postavljenu s tri ispupčenja. Pogledajmo obitelj ravnih linija, koje mogu biti važni autoriteti - ravne linije moraju biti paralelne s ravninom projekcije.

Na sl. Slika 17 prikazuje ravnu liniju letve postavljenu s tri ispupčenja.

Pogledajmo obitelj ravnih linija, koje mogu biti važni autoriteti - ravne linije moraju biti paralelne s ravninom projekcije.

a) Horizontalna ravna linija (nakše - vodoravna, ravna vodoravna linija). Ovo je naziv ravne linije, paralelne s vodoravnom ravninom projekcija. Njena slika u blizini prostora na parceli prikazana je na sl. osamnaest.

Horizontalu je lako prepoznati na parceli "u maski": njena frontalna projekcija uvijek je paralelna s osi OH. U cjelini, najvažnija vodoravna snaga formulirana je na sljedeći način:

Kod horizontale - frontalna projekcija je paralelna s osi OH, a horizontalna projekcija je prirodne veličine. Poželjno je da horizontalna projekcija horizontale na dijagramu omogućuje označavanje njezinog reza na ravninu V (rez b) i na ravninu W (y) - sl.18.

b) Frontalna ravna linija (frontalna, ravna linija frontalnog poravnanja) - nije ravna, paralelna s frontalnom ravninom projekcija. Mi nismo ilustrativni za stvarne slike, ali su prikazani epurama (Sl. 19).

Karakterističan je frontalni dijagram koji je horizontalna i profilne projekcije paralelne s osi X i Z, a frontalna projekcija se prilično širi i pokazuje prirodnu veličinu frontala. Poželjno je da na dijagramu izrežete ravno prema vodoravnoj (a) i profilnoj (ravnoj) projekciji. Otzhe, još jednom:

Na frontalnoj je horizontalna projekcija paralelna s osi OH, a frontalna projekcija je u prirodnoj veličini.

c) Profilna ravna linija. Očito je ravna, paralelna s profilnom ravninom projekcija (sl. 20). Također je očito da je prirodna vrijednost profila ravne linije ê na profilnoj ravnini projekcija (projekcija a "b" - sl. 20) i ovdje možete bachiti kuti ji nahilu na ravnine H (a) i V ( b).

Obitelj ravnih linija dolazi, tražeći i važno polaganje, poput ravnih linija - ne projicirajući ravne linije.

Ravne linije, okomite na ravnine projekcija, nazivaju se projiciranje (po analogiji s projiciranjem promjena - sl. 21).

AV sq. H - ravno vodoravno stršeće; kvadrat V - ravno frontalno stršeće; kvadrat W - ravni profil-izbočenje.

2.2 Kut mizh ravno i ravno

ravni četvrtasti trikutnik

Metoda pravokutnog triouta

Ravno zagalnogo kamp, ​​kao što smo rekli, nagnut je prema ravninama projekcija pod vrstom punog kuta.

Rez između pravca i te ravnine projiciramo rezom, toj projekciji na ravninu dodamo pravac (sl. 22). Kut a vyznaê kut nakhily vídrízka AB do pl. H. W sl. 22: Ab1 | 1pl. H; Bb1 = Bb – Aa = Z 22

Kod trikoa ravnog kroja ABb1 krak Ab1 ima normalnu horizontalnu projekciju ab; a drugi krak Bb1 je najskuplje maloprodajno mjesto A i B na trgu. N. Budući da su točke na horizontalnoj projekciji pravca ab povučene okomito i postavljene na novu vrijednost Z, tada, uzimajući točku a uz uzetu točku b0, uzimamo hipotenuzu ab0, jednaku prirodnoj vrijednosti AB. Na dijagramu to izgleda ovako (mal. 23):

Na sličan način, pravac se proteže do frontalne ravnine projekcija (b) - sl. 24.

Odati poštovanje: u slučaju pobudov na horizontalnoj izravnoj projekciji, dodamo dodatnu izravnu vrijednost Z; kada je na prednjoj projekciji - vrijednost Y.

Metoda pogleda unaprijed naziva se tricutnik ravnog kroja. Pomoću joge možete odrediti prirodnu veličinu bilo koje vrste pukotine koja nas plače, kao i rezati jogu bolesno na ravnine projekcija.

Međusobno ravna crta

Prethodno smo promatrali hranjivu vrijednost točke ravne crte: ako točka leži na ravnoj liniji, tada projekcije leže na jednodimenzionalnim projekcijama ravne crte (pravilo pripadanja, div. sl. 14). Iz gimnazijskog tečaja geometrije može se naslutiti: dvije se ravne crte isprepliću u jednoj točki (inače: ako dvije ravne crte čine jednu dvostruku točku, onda se smrdi isprepliću u drugoj točki).

Projekcije ravnih linija, koje se isprepliću, na dijagramu mogu imati jasno izražen znak: projekcije gazne točke leže na istoj liniji veze (slika 25). Jasno je: točka K leže í AB i CD; na plohi točka k leži na istoj liniji koja povezuje točku k.

Ravni AB i CD - preoblikovati

Dolazeći iz mogućih međusobnih roztashuvannyah dvije ravne linije na otvorenom - ravno prekrižene. Moguć je pad, ako ravne linije nisu paralelne, ali se ne preklapaju. Takve ravne linije mogu se položiti u dvije paralelne ravnine (slika 26). To čak ne znači da su dva ravna, da se križaju, leže ob'yazkovo u dvije paralelne ravnine; a još manje one da se kroz njih mogu povući dvije paralelne ravnine.

Projekcije dviju linija koje se sijeku mogu se preklapati, ali točke njihova preklapanja ne leže na istoj liniji karike (sl. 27).

Važno je vidjeti ishranu konkurentskih točaka (slika 27). Na horizontalnoj projekciji postoje dvije točke (e, f), ali u frontalnom smradu one se pretvaraju u jednu (e "f"), štoviše, nerazumno je, kako je točka vidljiva, tako i nije vidljiva (konkurirajuće točke). ).

Dvije točke, čije se frontalne projekcije urušavaju, nazivaju se frontalno konkurentnim.

Takav smo zaokret vidjeli ranije (slika 11), ali kod onih “međusobnog postavljanja dviju točaka”. Dakle, pravilo stagnira:

Od dvije konkurentne točke vidljiva je ona čija je koordinata veća.

3 sl. 27 vidi se da je horizontalna projekcija točke E (e) daleko od osi OX, donja točka je f. Opet, Y koordinata točke "e" je veća, niža u točki f; kasnije će biti vidljiva točka E. Na prednjoj projekciji točka f" postavljena je u lukove kao nevidljiva.

Još nešto: točka e leži na projekciji pravca ab, a tse znači da je na frontalnoj projekciji pravac a "b" povučen "povrh" pravca c "d".

Paralelne linije

Paralelne linije na plohi je lako prepoznati po izgledu, ali jednodimenzionalne projekcije dviju paralelnih linija su paralelne.

Odati poštovanje: isto! Tobto. frontalne projekcije međusobno su paralelne, a horizontalne međusobno (sl. 29).

Dokaz: na slici 28. u prostoru su zadane dvije paralelne prave AB i CD. Povucimo kroz njih projicirajuće ravnine Q i T - one će izgledati paralelne (jer dok se dvije ravne crte preklapaju, jedna ravnina paralelna s dvije se preklapa s ravnom crtom, druga ravnina, onda su takve ravnine paralelne).

Na dijagramu 30a zadaci su paralelni s ravnim crtama, na dijagramu 30b se prave križaju, iako su u tom, iu drugom smjeru, frontalna i horizontalna projekcija međusobno paralelne.

Služim se, međutim, trikom, uz pomoć kojeg je moguće međusobno odrediti položaje dviju profilnih ravnica, ne ulazeći u treće projekcije. Za što je dovoljno imati dvije projekcije s dodatnim linijama, kao što je prikazano na sl. 30. Činit će se da sjecišta ovih linija leže na istoj liniji spajanja - linije profila su međusobno paralelne - sl. 30a. Yakshcho ní - profil ravne linije križ (Sl. 306).

Značajke pada ravne linije:

Projekcije izravnog reza

Kao da su dvije ravne linije letvice uvučene ispod ravnog reza, njihove projekcije čine rez ne jednak 90° (sl. 31).

Krhotine na prečki dviju paralelnih ravnina treće u prečki izgledaju paralelne s ravnim crtama, tada su horizontalne projekcije ab i cd paralelne.

Za ponavljanje operacije i projiciranje ravnih linija AB i CD na frontalnu ravninu projekcija, uzet ćemo isti rezultat.

Poseban nagib su dvije profilne ravne linije, postavljene frontalnim i horizontalnim izbočinama (slika 30). Kao što je rečeno, u linijama profila frontalna i horizontalna projekcija su međusobno paralelne, dakle, za ovaj znak nemoguće je prosuditi paralelnost dviju linija profila bez induciranja treće projekcije.

Menadžer. Isprobajte pravokutni trikot ABC s krakom BC koji leži na ravnoj MN (slika 34).

Riješenje. Iz dijagrama se vidi da je pravac MN horizontala. A iza uma, tricutnik je ravnog kroja.

Brzina snage projekcije pravog kuta izostavljena je iz točke "a" okomito na projekciju mn (na kvadrat H se projicira naš direktni kut bez kreacije) - si. 35.

Kao dodatnu ravnu crtu, koju treba izvesti od kraja reza ispod izravnog reza do ove točke, osvajamo dio horizontalne projekcije pravca i sam bm (sl. 36). Pogledajmo vrijednost razlike u Z koordinatama, uzetu iz prednje projekcije, i uzmimo točku “a” s kraja uklonjenog vjetra. Uzimamo stvarnu veličinu kraka AB (ab ; ab).

Na slikama 31 i 32 prikazane su dvije ravne crte s kutnim položajem, koje između sebe čine presjek od 90° (na sl. 32 ravne crte leže u istoj ravnini P). Yak bachimo, na dijagramima kuta, projekcije ravnih linija, ne do 90 °.

Njegujmo snagu svijeta gledajući projekciju izravne kute iz napadačkog uzroka:

Kako je jedna stranica ravnog kuta paralelna s ravninom projekcije, onda se ravni kuta projicira na tu ravninu bez zastoja (slika 33).

Ne dovodimo do iste pozicije (proizvodimo je neovisno), ali možemo pogledati izglede, kao da možete slijediti ovo pravilo.

Nadalje, značajno je da je iza uma jedna strana izravne kute paralelna bilo da se radi o ravnini projekcije, tada će jedna strana biti ili frontalna ili horizontalna (možda profilna ravna linija) - sl. 33.

A frontalnu i horizontalnu na dijagramu lako je prepoznati “prerušenu” (jedna od projekcija je paralelna s osi OH), ili ju možete lako inducirati po potrebi. Osim toga, frontalna linija ima najvažniju moć: jedna od projekcija jezika obova izgleda kao

Prema pravilu vlage poznajemo frontalnu projekciju točke b" iza spone pomoćne linije. Imamo krak AB (a" b "; ab).

Da bismo postavili nogu BC na stranicu MN, na leđima je potrebno označiti prirodnu veličinu kraka AB (a d ; ab). Za koji je brz, već imamo pravilo ravno krojenog tricutnika.

WISNOVOK

Zagalni rívnyannya ravno naprijed

Poravnanje ravne linije može se promatrati kao poravnanje linije peretine dviju ravnina. Kao što smo pogledali više, područje vektorskog oblika može se postaviti jednako:

× + D = 0, de

Normalna površina; - polumjer - vektor male točke ravnine.

Neka prostor postavlja dvije ravnine: × + D 1= 0 i × + D 2= 0, normalni vektori i koordinate: (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2); (x, y, z). Slične krivulje za ravne linije u vektorskom obliku:

Zagalní vnyannya ravna linija u koordinatnom obliku:

Za što trebate znati punu točku pravca brojeva m, n, p. Ako je tako, izravni vektor može biti poznat kao vektorsko proširenje vektora u normali na zadane ravnine.

Ravnost područja u blizini prostora

Pošaljite podatkovne točke i vektor različit od nule (tobto , de

sprati je normalni vektor.

Yakscho , , , ..., zatim jednako može se promijeniti u izgled . Brojke , і , і

dođi - kao točka ravnine, - Vektor okomit na ravninu. Rijeka Todi ê izravnavanje površine.

Koeficijent , ; u blizini jednake površine ê koordinate vektora okomitog na ravninu.

Kako podijeliti ravninu brojem koji je jednak duljini vektora , tada oduzimamo ravnost područja normalnog oblika.

Ravnost ravnine, kao prolazak kroz točku i je okomit na vektor različit od nule, .

Be-yak jednak prvom koraku postavlja koordinatni prostor na jednu ravninu, koja je okomita na vektor s koordinatama .

Rivnanija ê jednaka ravnini koja prolazi točkom i okomito na vektor različit od nule.

Područje kože postavljena u sustav pravokutnih koordinata , , jednaka umu.

pazite, koji su prosječni koeficijenti , , ê različit od nule, postavlja prostor za područje sustava pravokutnih koordinata. Područje uz prostor postavljeno je u sustavu pravokutnih koordinata , , jednak umu , pazite, sho.

Ispravan je taj povratak čvrstine: jednako pameti sprati postaviti prostor za sustav pravokutnih koordinata.

De , , , , ,

Područje u blizini prostora dodijeljeno je jednakima , de , , , - štoviše, decimalni brojevi , , ne budu jednaki 0 ​​i postavite koordinate vektora odjednom , okomit na ovu ravninu i naziva se normalni vektor.

Pošaljite podatkovne točke i vektor različit od nule (tobto ). Ravno područje istog vektora , de - dovoljna točka ravnine) izgleda - poravnanje područja iza točke i vektora normale.

Izravnavanje kože prve faze sprati staviti u pravokutni koordinatni sustav jednu ravninu, za koju vektor je normalni vektor.

Yakscho , , , , zatim jednako može se promijeniti u izgled . Brojke , і rivní vídzhina vídrízkív, yakí vídsíkayut ravno na osi , і očito. Tome jednako naziva jednaka površini "kod vjetrova".

SPISAK POBJEDA DŽERELA

1.Stereometrija. Geometrija u prostoru. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Rizhik V.I.

2.Alexandrov P. S. Tečaj analitičke geometrije i linearne algebre. - Glavna edicija fizikalne i matematičke literature, 2000. - 512 str.

.Beklemišev D.V. Kolegij analitičke geometrije i linearne algebre, 2005. – 304 str.

.Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitička geometrija: Navch. za sveučilišta. - 7. pogled., Sr., 2004. - 224 str. - (Tečaj napredne matematike i matematičke fizike.)

.Efimov N. V. Kratki tečaj analitičke geometrije: Navch. Pomozite. - 13. pogled., stereo. –, 2005. – 240 str.

.Kanatnikov O.M., Kriščenko O.P. Analitička geometrija. - 2. pogled. -, 2000, 388 s (Sr. matematika na Tehničkom sveučilištu

.Kadomcev SB. Analitička geometrija i linearna algebra, 2003. – 160 str.

.Fedorchuk V. V. Tečaj analitičke geometrije i linearne algebre: Navch. posibnik, 2000. - 328 str.

.Analitička geometrija (bilješke s predavanja Y.V. Troitsky, 1. godina, 1999./2000.) – 118 str.

.Bortakovski, A.S. Analitička geometrija u primjenama i zadacima: Navč. Posibnik/O.S. Bortakovski, A.V. Pantelijev. - Vishch. škola, 2005. - 496 s: il. - (Serija "Primijenjena matematika").

.Morozova E.A., Sklyarenko E.G. Analitička geometrija. Metodički vodič 2004. - 103 str.

.Metodičke upute i radni program za kolegij "Vishcha matematika" - 55 str.

Dvojica su ravno u paralelnom prostranstvu, kao da se smrad ležanja u jednom stanu ne preklapa.

U prostoru se križaju dvije ravne crte, kao da nema tog područja, u kojem bi smrad ležao.

Znakovi za križanje ravnih linija. Ako jedna od dviju ravnih linija leži na deakíy i lagnosti, a druga ravna crta siječe ravninu u točki, ako se prva ravna crta ne preklapa, tada se prave sijeku.

Ravnina je ravna, tako da se ravnina, paralelna, ne preklapaju, tako da smrad ne prigušuje točke spavanja.

Oznaka paralelnosti pravca i ravnine. Ako je ravna, ako ne prekriva ravninu, ako je paralelna, ako je ravna, ako prekriva ravninu, paralelna je s ravninom.

Snaga ravnine i pravca, paralelnog s ravninom:

1) ako ravninu treba pomaknuti ravno, paralelno s drugom ravninom, a ako siječe ravninu, tada je pravac ravnina paralelan s ovom ravnom crtom;

2) ako kroz kožu iz dvije paralelne ravne linije, ravnine koje se preklapaju, tada je linija njihove linije paralelna s tim ravnim linijama.

Dvije ravnine su paralelne, kao da smrad ne može biti uspavana točka.

Znakovi paralelnosti ravnina, kao da dvije ravne ravnine iste ravnine, koje se preklapaju, izgledaju paralelne s dvjema ravnima, tada su dvije ravnine paralelne.

Pravac je okomit na ravninu, kao da je okomit na pravac, tako da ravnina leži.

Znakovi okomitosti pravca i ravnine: ako je pravac okomit na dva pravca koji se preklapaju, leže u blizini ravnine, onda je okomit na ravninu.

Dominacija ravne linije, okomite na ravninu.

1) ako je jedan od dva paralelna pravca okomit na ravninu, onda je drugi pravac okomit na središte ravnine;

2) ravna, okomita na jednu od dvije paralelne ravnine, okomita na drugu ravninu.

Znak okomitosti ravnina. Ako se ravnina treba gibati okomito na drugu ravninu, okomita je na tu ravninu.

Ravnica koja siječe ravninu, ali nije okomita na nju, naziva se krhkost ravnine.

Teorem o tri okomice. Da bi bila ravna, koja leži u blizini stana, bula je okomita na bolest, potrebno je i dovoljno, da bude okomita na projekciju bolesti na stan.

Na bebi 1 ravno b− khila na ravno, ravno c- projekcija a┴ h, onda a┴ b

Kutom između krhkosti i plošnosti naziva se rez između krhkosti i projekcije na plošnost. Na malom 2 ravno b- pokhila na stan, ravno a- projekcija čiloja na ravnu, α - presjek između čiloja i plohe.

Kutvoryutsya s dva lica u prošlosti peretina dviju ravnina. Ravna linija, odsječena krajem raspona dviju ravnina, naziva se rubom dvostranog reza. Dva pívploschini íz zagalny rebra nazivaju se lica kuta s dva lica.

Napívní područje, između kojeg se zbígaêtsya s rubom dvostranog kuta i kako podijeliti dvostrani kut na dva jednaka kuta, naziva se dvosektorski stan.

Dvolični rez sveden je na sličan linearni rez. Linearni rez dvostranog reza naziva se rez između okomica povučenih od površine kože do ruba.

Prizma

Bagatohedron, dvije strane rijeke n- kosinci, koji leže u blizini paralelnih stanova, i reshta n lica - paralelograma, tzv n- Vugílnoy prizma.

Dva n- kosintsya ê podstavami prizma, paralelogrami - bíchnymi lica. Bočne strane ploha nazivaju se bridovima prizme, a krajevi bridova nazivaju se vrhovima prizme.

Visina prizme naziva se visina okomice, rasporeda između osnovica prizme.

Dijagonala prizme zove se križ, koji spaja dva vrha baza, koji ne leže na istoj plohi.

Ravna prizma je prizma, čija su rebra okomita na ravnine baza (slika 3).

Krhka prizma naziva se prizma, čija su rebra krhka do ravnosti temelja (slika 4).

Obsyag i površina površine visinske prizme poznati su po formulama:

Površina bočne površine ravne prizme može se izračunati pomoću formule.

Volumen te površine krhke prizme (sl. 4) također se mogu izračunati na isti način: de ΔPNK - presijecanje, okomito na rub l.

Prava prizma naziva se ravnom prizmom, čija je osnova pravilan bagatokutnik.

Prizma se naziva paralelopiped, a sve njene plohe paralelogrami.

Ravni paralelopiped je paralelopiped čija su rebra okomita na ravnine baza.

Ravni paralelopiped naziva se ravni paralelopiped, čija je osnova ravni rez.

Potencija dijagonale pravokutnog paralelopipeda

Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelopipeda je zbroj kvadrata tri yogo vimiriva: d² = a² + b² + c², de a,b,c- Dožina rebra koja izlaze iz jednog vrha, d- dijagonala paralelopipeda (slika 3).

Volumen pravokutnog paralelopipeda poznat je iz formule V=abc.

Kockom se naziva pravokutni paralelopiped s jednakim rebrima. Sve strane kocke su kvadrati.

Volumen, površina i dijagonala kocke s bridom poznati su po formulama:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

piramida

Bagatoedar, čija je jedna strana bagatokutnik, a druga lica su tricutniki sa strmog vrha, naziva se piramida. Bagatokutnik se naziva baza piramide, a trikutniki se nazivaju bichny lica.

Visinom piramide naziva se visina okomice povučene s vrha piramide na plohu baze.

Ako su sva bočna rebra piramide jednaka ili su nagnuta do ravnine baze pod istim kutom, tada se visina spušta do središta opisanog kolca.

Ako su stranice piramide nagnute prema ravnini baze ispod istog kuta (dvostrani kuti kada stoje jednako), tada se visina spušta do središta upisanog kola.

Piramida se naziva ispravnom, jer je njena osnova ispravan bagatokutnik, a visina pada u središte upisanog i opisanog udjela bagatokutnika, koji leži u podnožju piramide. Visina bíchní aspekta desne piramide, izvučena iz njezinih vrhova, naziva se apotemom.

Na primjer, na maloj 5 prikazana je pravilna triko piramida SABC(tetraedar): AB= PRIJE KRISTA= AC= a, OD=r- radijus kolca upisanog u trikutnik ABC, OA=R- radijus kolca, opisana bijela trikota ABC, TAKO=h- Visota

piramide, SD = ja- apotem, - kut nakhily

rebra SA na ravninu baze, - rez nagiba bočne strane SBC do baze piramide.

Triko piramida se naziva tetraedar. Tetraedar se naziva pravilnim, kao da su mu rubovi jednaki.

Obsyag piramidi koje područje njezino površno poznaje po formulama:

De h- Visina piramide.

Površina kvadrata površine pravilne piramide znati iza formule, de - apotem piramide.

Krnja piramida naziva se bagatoedar, čiji vrhovi služe kao vrhovi baze piramide, a vrhovi njezina presječeni po ravnini, paralelno s bazom piramide. Podnesite krnju piramidu - poput bagatokutnika.

Obsyag krnje piramide znaju iza formule , de - površina baze, h - visina krnje piramide.

Ispravni bagatoedri

Pravilni bagatoedar naziva se napuhani bagatoedar, koji ima sva lica - pravilni bagatokutniki s istim brojem strana i istim brojem rebara konvergiraju se u vrh kože bagatoedra.

Lica pravilnog bagatoedra mogu biti ili jednakostrani trikutniki, ili kvadrati, ili pravilni petikutniki.

Baš kao što pravilan bagatoedar ima lica - pravilne trikute, tako pravilni bagatoedri imaju pravilan tetraedar (vin maê 4 lica), pravilan oktaedar (vin maê 8 ​​lica), pravilan ikozaedar (vin maê 20 lica).

Ako pravilni bagatoedar ima četvrtasta lica, onda se bagatoedar naziva kocka ili heksaedar (može biti 6 lica).

Ako pravilni bagatoedar ima lica s pravilnim p'yatikutniks, tada se bagatohedron naziva dodekaedar (može biti 12 lica).

cilindar

Figura se naziva cilindar, a kao rezultat, pravokutnik je omotan oko jedne strane.

Na maloj 6 je ravno - sav omot; - Visota, l- Zadovoljavajuće; ABCD- aksijalni presjek cilindra, odrezan omotačem pravokutnika sa strane. Volumen te površine cilindra poznat je po formulama:

, , , , de R- polumjer baze, h- Visota, l- popraviti cilindar.

Konus

Figura se naziva stožac, a omot ravno krojenog trikoa odrezan je uz jedan od katetera. Na malom 7 ravno OB- sav omot; OB = h- Visota, l- zadovoljavajuće;Δ ABC- aksijalni rez stošca, odrezati omote ravno rezanog tricutnika OBC pored noge OB.