Respect înainte

1. Stereometria are corpuri geometrice și figuri spațioase, dintre care nu toate punctele se află în același plan. Pe fotoliu sunt înfățișate figuri expansive pentru ajutorul celor mici, ca și cum vuietul în ochi ar fi aproximativ aceeași expresie ca și figura în sine. Cei mici urmează regulile de cânt, care se bazează pe puterea geometrică a figurilor.
Unul dintre modalitățile de reprezentare a figurilor spațioase pe apartament va fi indicat la distanță (§ 54-66).

ROZDIL PRIMUL DREPT SI PLAT

I. POZIȚIA AVION

2. Imaginea zonei.În viața de zi cu zi, există o mulțime de obiecte, deasupra unui plan geometric ghicit, pentru a forma o formă dreptunghiulară: o paletă a unei cărți, o greșeală, deasupra unei mese de scris etc. desenați forma unui paralelogram. Prin urmare, se obișnuiește să se înfățișeze avionul pe fotoliu ca un paralelogram 1. Sunetul zonei Tsyu înseamnă o literă, de exemplu, „zona M” (Diagrama 1).

1 Ordinea imaginilor desemnate ale zonei este posibilă și la fel, ca pe fotoliile 15-17 și în.
(Notă redacției)

3. Principalele caracteristici ale suprafeței. Să spunem că puterea bemolului, care este acceptată fără dovezi, trebuie să fie o axiomă:

1) Dacă două puncte ale unei linii drepte se află pe un plan, atunci un punct de piele de pe o linie dreaptă se află pe un plan.

2) Dacă două apartamente formează un punct de ardere, atunci duhoarea se prăbușește în linie dreaptă prin acel punct.

3) Dacă există trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă, este posibil să desenați un avion, iar înainte de aceasta există doar unul.

4. Patrimoniul. Din restul propunerii, puteți introduce următoarele:

1) Printr-o linie dreaptă și un punct în spatele acesteia, puteți desena un plan (și mai mult de unul). Într-adevăr, punctul de poziție este drept deodată cu vreo două puncte de-a lungul liniei drepte, se adaugă trei puncte, prin iac este posibil să se deseneze un avion (și înainte de asta, unul).

2) Prin două linii drepte care se împletesc, este posibil să desenezi un bemol (și doar unul). Efectiv, luând punctul barei transversale și încă un punct pe linia dreaptă a pielii, sau trei puncte, prin yaki este posibil să desenezi un plan (și înainte de asta, unul).

3) Prin două drepte paralele este posibil să se deseneze un singur plan. Într-adevăr, paralel cu liniile drepte din spatele programelor, se află în același plan; Acest plan este unul, astfel încât printr-unul dintre paralel și ca punct al altuia este posibil să se deseneze nu mai mult de un plan.

5. Înfășurați zona în jurul liniei drepte. Prin piele drept în spațiul deschis, este posibil să desenați o zonă infinită.

Într-adevăr, să fie drept A (diavolul 2).

Să luăm punctul A în spatele lui. Prin punctul A și drept A trece printr-un singur plan (§ 4). Îl numim planul M. Luați un nou punct după planul M. Prin punctul B și dreapta A să treacă prin apartament cu întunericul lui. Se numește planul N. Poate sp_vpada z M, rocile din el se află în punctul Y, astfel încât planul M se află. A trece o suprafață nouă. Se numește її R. Vaughn nu scapă din M, N din N, de aceea există punctul C în el, deci nu se află nici până la zona M, nici până la zona N. ia toate noi şi noi avioane care trec prin linie dreaptă A . Nu vor exista astfel de zone. Toate aceste avioane pot fi văzute ca poziții diferite ale unuia și aceluiași plan, care se înfășoară drept A .

Putem arăta încă o putere a avionului: avionul se poate înfășura, fie el drept, care se află lângă acest plan.

6. Programare pentru o vizita in spatiul deschis. Mustați, care au luptat în planimetrie, vikonuvalis într-o zonă în spatele ajutorului de unelte fotoliu. Pentru pobudov lângă spațiul deschis, uneltele fotoliului devin deja inacceptabile, așa că este imposibil să prezinți figurile lângă spațiul deschis. În plus, atunci când există un element nou în spațiu, există un element nou - apartamentul, care, dacă este în spațiu, nu poate fi așezat pe podea cu încuietori simple, ca o linie dreaptă pe plat.

Prin urmare, atunci când pobudov aproape de spațiul deschis, este necesar să se determine cu exactitate ce înseamnă să vikonate acel chi іnsha pobudovu că, zokrema, ceea ce înseamnă să trezești apartamentul lângă spațiul deschis. În toate ocaziile din spațiu, permitem:

1) că planul poate fi indus, întrucât se găsesc elementele care semnifică aceste poziții în spațiu (§ 3 și 4), astfel încât să putem induce planul să treacă prin trei puncte date, printr-o dreaptă și un punct în spatele lui , sau prin două două drepte paralele;

2) dacă există două planuri care se suprapun, atunci este dată o linie a benzii lor, astfel încât să putem cunoaște linia benzii a două plane;

3) ca un avion este dat in spatiu, atunci putem invinge in el, stam, ca si cum am fi batuti de planimetrie.

Vikonati yak-nebudova pobudova în spațiu - tse înseamnă a numi yogo până la sfârșitul zilei principalelor întâlniri. Cu ajutorul acestor sarcini principale, puteți dezlega sarcinile de pliere.

În aceste discursuri, există probleme legate de necesitatea stereometriei.

7. Capul unei sarcini de a rămâne la spațiul deschis.
Administrator. Găsiți punctul de trecere al unei linii drepte date A (Diagrama 3) din centrul R.

Luați planul P ca punct A. Prin punctul A și o dreaptă A conductiv planul Q. Ea traversează planul P de-a lungul dreptei care acționează b . În planul Q, cunoaștem punctul 3 al travei dreptelor A і b . Tsya punct și fii un shukana. Ce drept A і b par paralel, atunci sarcina nu este o soluție.

Alinierea unei linii drepte ca o linie a unei peretine din două plane:

Prin piele drept în spațiul deschis pentru a trece o zonă impersonală. Be-yakі din ei, schimbându-se, ele semnifică її în spațiu. Otzhe, dacă ar exista două bemoluri egale, care sunt privite împreună, sunt egale cu liniile drepte.

Vzagali să fie ca două plane nu paralele

desemnează o linie dreaptă. Qi egal sunt numite gelozie sălbatică Drept.

Alinierea unei drepte care trece prin două puncte:

Dați punctele date A(x 1 ;y 1) și B(x 2 ;y 2). Alinierea unei linii drepte pentru a trece prin punctele A (x 1; y 1) și B (x 2; y 2) poate arăta astfel:

Dacă punctele date A și B se află pe o linie dreaptă, paralelă cu axa O x (y 2 -y 1 \u003d 0) sau cu axa O y (x 2 - x 1 \u003d 0), atunci alinierea dreptei linia va fi similară cu mama care se uită la \u003d y 1 sau x = x 1

Exemplul 4. Așezați drepte care să treacă prin punctele A(1;2) și B(-1;1).

Rezolvare: Înlocuind alinierea (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 \u003d 1
stele fie 2y-4=x-1, fie x-2y+3=0

Linii drepte canonic:

Fie fixat pe plan sistemul de coordonate carteziene Oxy. Să ne stabilim propriile obiective: să luăm o linie dreaptă A, yakscho - Punctul Deyak al unei linii drepte A i - vector direct A.

Nehai - virgulă flotantă este dreaptă A. Atunci vectorul este un vector direct al unei linii drepte Ași coordonatele maє (dacă este necesar, minunați-vă de starea coordonatelor vectorului prin punctele de coordonate). Este evident că unui punct impersonal dintr-un plan i se atribuie o linie dreaptă, astfel încât un vector direct poate trece printr-un punct i poate doar și numai dacă vectorii sunt coliniari.

Să notăm colinaritatea necesară și suficientă a vectorilor pentru minte: . Restul egalității formei de coordonate poate fi văzută.

Yakscho i , atunci putem scrie

Otrimane egal cu mintea se numeste linii canonice drepte pe platîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy. Rivnyannia se mai numește egală cu linia dreaptă la aspectul canonic.

Din nou, alinierea canonică a unei linii drepte pe un plan al minții este dată de un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy o dreaptă care trece printr-un punct și poate fi un vector direct.

Vom îndrepta capul liniei drepte canonice pe plat.

De exemplu, egală cu linia dreaptă a aspectului canonic. Linia dreaptă, care face posibilă trecerea prin punctul , și - її este un vector direct. Mai jos este o ilustrare grafică.

Fapte semnificative:

· yakscho-vector drepte drepte și drepte trec ca printr-un punct, deci і printr-un punct, atunci її canonic egal poate fi scris ca, deci і;

· dacă este un vector direct al unei linii drepte, atunci dacă oricare dintre vectori este, de asemenea, un vector direct al unei linii drepte date, atunci, fie ea egală cu o dreaptă în vederea canonică a unei linii drepte.

Alinierea linie dreaptă parametrică:

Teorema. Sistemul de linii drepte avansează cu liniile drepte parametrice:

de – coordonatele unui punct destul de fix al unei drepte date, – coordonatele generale ale unui vector destul de direct al unei drepte date, t – parametru.

Dovada. Vidpovidno până la vyznachennya uniformitate, fie că este înmulțirea punctelor spațiului de coordonate, suntem responsabili să aducem că egali (7) satisfac toate punctele liniei drepte L i, de cealaltă parte, nu satisfac coordonatele punctului , care nu se află pe o linie dreaptă.

Să avem o idee bună. Aceiași vectori și є în scopul coliniarului și teoremelor despre coliniaritatea a doi vectori care urmează, care sunt exprimați liniar prin celălalt, că. există un astfel de număr, ce. Egalitatea vectorilor și exactitatea coordonatelor:

Ch.t.d.

Înapoi, haideți. Apoi, conform teoremei despre coliniaritatea vectorilor, pot exista expresii liniare prin alta, atunci. Vreau ca una dintre egalitățile (7) să nu câștige. În această ordine, egalii (7) sunt mulțumiți cu coordonatele punctelor mai puțin liniștite, cum ar fi culcat pe linia dreaptă L și doar puțin duhoare etc.

Teorema a fost finalizată.

Alinierea normală a zonei:

ÎN formă vectorială planeitatea zonei poate arăta

De asemenea, vectorul normal al zonei este unic,

chiar şi planeitatea zonei poate fi înregistrată ca

(planeitatea normală).

– trece de la cobul de coordonate în plan, , , – cosinus direct al normalului

de-taie intre normala planului si axele coordonatelor in acelasi mod.

Planul vertical al planului (8) poate fi adus la forma normală prin înmulțirea cu factorul de normalizare, semnul din fața fracției este opus semnului termenului regulat (8).

V_dstan v_d indică către avion(8) să fie în spatele formulei, luată prin înlocuirea punctului în aliniament normal

Planeitatea profundă a planului, după planeitatea profundă a platului:

În ceea ce privește spațiul trivial, este dat un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz, atunci planurile egale din sistemul de coordonate trivim al spațiului trivial sunt numite egale cu trio-ul X, yі z, sunt mulțumit de coordonatele tuturor punctelor planului și nu sunt mulțumit de coordonatele altor puncte. Cu alte cuvinte, la fundamentarea coordonatelor primului punct al planului, se ia egalitatea planului, iar la înlocuirea egalității planului coordonatelor, indiferent dacă este celălalt punct, egalitatea este incorectă.

În primul rând, notează planul central al planului, ghicind linia dreaptă perpendiculară pe plan: linia dreaptă este perpendiculară pe plan, ca și cum ar fi perpendiculară pe dreapta care se află în acest plan. Din care desemnare este clar dacă există vreun vector normal al planului perpendicularelor pe orice vector diferit de zero care se află în apropierea acestui plan. Acest fapt imită demonstrația teoremei de atac, deoarece stabilește aspectul planeității sălbatice a zonei.

Teorema.

Fii ca egal cu mintea, de A, B, Cі D- Deyakі dіysnі numere, mai mult A, ÎNі C nu este egal cu zero deodată, desemnând zona dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular dat Oxyz lângă spațiul trivial și dacă este vorba despre un plan lângă un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzîntr-un spațiu trivial sunt egali cu mintea cu un anumit set de numere A, B, Cі D.

Dovada.

Ca și Bachite, teorema este compusă din două părți. În prima parte, ni s-a dat un nivel și trebuie să-l scoatem la suprafață. Pe de altă parte, ni s-a dat un deuce de planeitate și este necesar să aducem ceea ce putem atribui egalilor cu o simplă alegere a numerelor A, ÎN, Zі D.

Să confirmăm doar prima parte a teoremei.

Numerele Oskіlki A, ÎNі Z peste noapte nu este egal cu zero, apoi є punct , ale cărui coordonate sunt satisfăcute cu echivalența, deci egalitatea este corectă. Vіdnіmemo lvu și partea dreaptă a otrimanoї rivnostі vіdpovіdno vіd lіvoї și pravaі ї părți іvnyannja, tsomu otmáєmo ravnyannja vіdnіvnіnya vіdіvalentno vihіdnomu іvinyannju. Acum, după cum știm, că egalizează planul, atunci va fi adus, adică echivalent cu acesta, egal marchează și planul sistemului de coordonate dreptunghiular dat pentru spațiul trivimer.

Echitatea este perpendicularitatea mentală necesară și suficientă a vectorilor și . Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct flotant sunt satisfăcute uniform și o singură dată, dacă vectorii sunt perpendiculari. Apoi, încălcând faptul, inducții înainte de teoremă, putem confirma că egalitatea este adevărată, atunci un punct impersonal definește un plan, un vector normal ca є, în plus, acest plan trece printr-un punct. Cu alte cuvinte, alinierea este indicativă pentru un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz langa intinderea trivimir se atribuie o suprafata mai mare. Otzhe, în mod echivalent, egalizează zona în sine. Prima parte a teoremei a fost finalizată.

Să trecem la confirmarea celeilalte părți.

Să ni se dea un plan care să treacă printr-un punct, cu un vector normal, care este є . Să știm că un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzїї stabilirea nivelului minții.

Pentru care luăm un punct suficient al avionului. Lasă-mă să fiu punctul. Atunci vectorii i vor fi perpendiculari, apoi, їх scalar twіr va fi egal cu zero: . Accept, aștept cu nerăbdare să văd. Echivalează și semnifică zona noastră. Din nou, teorema este confirmată din nou. (pentru primele valori ale numerelor A, ÎN, Zі D);

Să țintim un cap pentru a ilustra restul frazei.

Minunați-vă pe cei mici din imaginile zonei din apropierea întinderii banale de lângă sistemul de coordonate dreptunghiular fix Oxyz. Tsіy ploshchinі vіdpovіdaє rіvnyannya, pentru acel scho sunteți mulțumit de coordonatele oricărui punct al pieței. Pe de altă parte, alinierea este determinată de sistemul de coordonate dat Oxyz un punct impersonal, a cărui imagine este un mic apartament.

Nivelarea avionului la rânduri:

Fie spațiul trivial să aibă un sistem de coordonate în unghi drept Oxyz.

Pentru un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyzîntr-o întindere banală egală cu mintea, de A, bі c– sub formă de zero se numește numărul curent egală cu suprafaţa de la paravan. Un astfel de nume nu este vipadkova. Valorile absolute ale numerelor A, bі c egal cu vіdrіzkіv vіdzhina, yakі vіdsіkaє planul pe axele de coordonate Bou, Ohі Oz vіdpovіdno, rahuyuchi vіd cob de coordonate. Semnul numărului A, bі c arată, în linie dreaptă (pozitivă și negativă) există paranteze pe axele de coordonate. Cu siguranță, punctele de coordonate satisfac planul vântului:

Uită-te la cei mici, ceea ce explică momentul.

Nivelul planului care trece prin punctul este perpendicular pe vector: Fie spațiul trivial să aibă un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Formulăm următoarea sarcină:

Îndoiți avioanele plate pentru a trece prin acest punct
M(X 0 , y 0 , z 0) perpendicular pe vectorul dat →n = {A, B, C} .

Soluţie. Haide P(X, y, z) - suficient punct spre spațiu. Punct, pete P overlie flat todі і mai puțin todі, dacă vectorul
MP = {X − X 0 , y − y 0 , z − z 0 ) vector ortogonal → n = {A, B, C) (Fig. 1).

După ce am scris ortogonalitatea mentală a acestor vectori (→ n, MP) = 0 pentru forma de coordonate, opțional.

ZONĂ.

Programare. Orice vector diferit de zero, perpendicular pe plan, se numește її vector normal, și este indicat.

Programare. Egal cu suprafața minții de coeficient - numere suficiente efective, nu egale cu zero în același timp, se numesc zagalnym apartamente din zonă.

Teorema. Nivelarea determină aria pe care vectorul normal o poate trece prin punct.

Programare. Rivnyannia minte

de - numere efective suficiente, nu egale cu zero, numite egală cu suprafaţa de la paravan.

Teorema. Haide - planeitatea apartamentului la vânt. Todi - punct de coordonate її bară transversală cu axe de coordonate.

Programare. Planeitatea profundă a zonei se numește raționalizarea sau normal egal cu aria, ca

acea .

Teorema.În mod normal, alinierea planului poate fi scrisă sub forma - în coloana de coordonate la planul dat, - cosinusul direct al vectorului normal ).

Programare. Multiplicator de normalizare se numeste numarul zonei plate de semnul este ales de semnul opus membrului liber D.

Teorema. Haide - un multiplicator care se normalizează, o planeitate sălbatică a zonei. Todi rivnyannya є raționalizarea rivnyannyam zonă dată.

Teorema. Vіdstan d tip de pete până la apartament .

În mod reciproc rotashuvannya două apartamente.

Două avioane fie aleargă, fie sunt paralele, fie se împletesc cu o linie dreaptă.

Teorema. Fie ca sarcinile superficiale să fie peste cap: . Todi:

1) yakscho apoi apartamentele zbіgayutsya;

2) yakscho atunci planurile sunt paralele;

3) în caz contrar, planurile sunt colorate de-a lungul liniilor drepte, egale cu care servește sistemul egal: .

Teorema. Haide - vectori normali ai două planuri, apoi una dintre cele două tăieturi între planuri date este mai mult:.

Ultimul. Haide ,- Vectori normali a două zone date. Ca o adunare scalară, zonele date sunt perpendiculare.

Teorema. Dați coordonatele date a trei puncte diferite ale spațiului de coordonate:

râul Todi –є plane egale care trec prin qi trei puncte.

Teorema. Fie datele furtunii celor două apartamente, care se suprapun: de altfel. Todi:

– nivelarea zonei bi-sectoriale a gostry duhedral kut, împânzit cu peratin din aceste apartamente;

– alinierea zonei bi-sectoriale a unei tăieturi diedre contondente.

Zv'yazuvannya acel fascicul de apartamente.

Programare. Apartamente Zv'yazuvannyam se numește impersonalitatea tuturor planurilor, că se poate vedea un punct luminos, așa cum este numit centru de legătură.

Teorema. Să mergem - trei apartamente care fac un singur punct luminos egalizarea zv'yazuvannya de apartamente.

Teorema. Rivnyannya, parametrii de dovilnі deisnі, nu sunt egali cu zero în același timp, є egală cu legătura planurilor cu centrul legăturii la punct

Teorema. Permiteți-mi să vă ofer datele nivelului glaciar a trei apartamente:

-їх vidpovіdnі vectori normali. Pentru ca trei planuri date să se suprapună într-un singur punct, este necesar și suficient, astfel încât diferența dintre cei doi vectori normali să nu ajungă la zero:

În acest fel, coordonatele punctului central unic sunt soluțiile unice ale sistemului de egalizare:

Programare. O grămadă de apartamente se numesc planurile impersonale, care se împletesc de-a lungul aceleiași drepte, titlul întregului fascicul.

Teorema. Lăsați două bemoluri care se împletesc într-o linie dreaptă. Todі vnyannja, de dovіlnі dіisnі parametrii dintr-o dată nu sunt egali cu zero, є alinierea unui fascicul de plane din vârful grinzii

DIRECT.

Programare. Fie că este un vector diferit de zero, o linie dreaptă dată coliniară se numește її vector direct, și este indicat

Teorema. linii drepte parametriceîn spațiu: coordonatele unui punct destul de fix al unei linii drepte date și coordonatele generale ale unui vector destul de direct al unui parametru de linie dreaptă dat.

Ultimul. Sistemul egalilor avansează, egalează drept în spațiul deschis și se numește canonic este egal drept in spatiu: de - coordonatele unui punct destul de fix al unei drepte date, - coordonatele generale ale unui vector destul de direct al unei drepte date.

Programare. Echivalent canonic al vederii directe - sunat aliniamente canonice ale dreptelor care trec prin două puncte diferite date

În mod reciproc roztashuvannya două linii drepte în spațiul deschis.

Este posibil să aveți 4 pante de putrezire a două linii drepte lângă spațiul deschis. Se pot îndrepta, pot fi paralele, se pot încrucișa într-un punct sau se pot încrucișa.

Teorema. Permiteți-mi să dau egalizarea canonică a două linii drepte:

de - їх vectori drepti, - suficiente puncte fixe care se află pe linii drepte. Todi:

і ;

și nu câștigi dacă doar una dintre egalități

;

, apoi.

4) direct cruce, ca , apoi.

Teorema. Haide

– două linii destul de drepte în apropierea spațiului deschis, stabilite prin aliniamente parametrice. Todi:

1) cum sistemul este egal

dacă există o singură soluție, atunci ele se împletesc direct într-un singur punct;

2) dacă sistemul este egal nu există soluție, atunci se traversează direct în paralel.

3) dacă sistemul este egal cu mai mult de un rozvyazku, atunci zbіgayutsya drept.

Stați între două linii drepte în spațiul deschis.

Teorema.(Formulă între două linii paralele.): Deplasați-vă între două linii paralele

De - їх vector direct superior, - puncte de ціх linii drepte, pot fi calculate cu formula:

sau

Teorema.(Formulă între două linii drepte de traversat.): Stai între două linii drepte de traversat.

poate fi calculat folosind această formulă:

de – modul de creare mixtă a vectorilor direcți і і vector, modul de creare vectorială a vectorilor direcți.

Teorema. Haide - alinierea a două apartamente care se suprapun. Apoi vine sistemul de aliniere și aliniere a liniilor drepte, care se împletesc cu planuri: . Vectorul direct poate servi ca vector , de ,- Vectori normali ai zonelor date.

Teorema. Să i se dea o linie dreaptă canonică: de . Atunci sistemul egalilor avansează, iar egalilor li se dau drepte, date de intervalul a două plane: .

Teorema. Alinierea unei perpendiculare a scăzut dintr-un punct Drept poate vizualiza de - coordonatele creării vectorului, - coordonatele vectorului direct dat dreptei. Lungimea perpendicularei poate fi cunoscută prin formula:

Teorema. Alinierea perpendicularei perpendiculare a două linii drepte, care pot fi încrucișate, poate fi văzută: de.

În mod reciproc roztashuvannya linii drepte și apartamente în apropierea spațiului deschis.

Există trei moduri posibile de extindere reciprocă a unei linii drepte în apropierea întinderii acelei zone:

Teorema. Să fie dat planul dreptelor, iar linia dreaptă să fie dată dreptelor canonice sau parametrice abo, de vector este vectorul normal al zonei – coordonatele unui punct destul de fix al unei drepte, – coordonatele generale ale unui vector destul de direct al unei drepte. Todi:

1) yakscho, apoi traversăm direct planul punctului, ale cărui coordonate pot fi cunoscute din sistemul de egalizare

2) dacă i, atunci întindeți-vă drept pe plat;

3) dacă i, atunci linia este paralelă cu planul.

Ultimul. Dacă sistemul (*) are o singură soluție, atunci se revarsă direct din apartament; dacă sistemul (*) nu are soluție, atunci este drept paralel cu planul; dacă sistemul (*) poate fi o decizie impersonală, atunci este direct să stai întins în avion.

Sarcini tipice Virishennya.

administrator №1 :

Îndoiți planurile plate pentru a trece prin punctul paralel cu vectorii.

Cunoaștem vectorul normal al zonei:

= =

Ca un vector normal al zonei, puteți lua în viitor vectorul aceleiași zone egale la nivel global când vă uitați:

Pentru a cunoaște, este necesar să înlocuiți coordonatele punctului cu care se află planul.

administrator №2 :

Două fețe ale cubului se află pe planuri și calculează numărul total al cubului.

Evident, planurile sunt paralele. Dovzhina marginea cubului є vіdstan mіzh flats. Vibero în primul avion până la un punct: să nu știm.

Știm să mergem între avioane, cum să mergem dintr-un punct în alt plan:

Otzhe, volumul cubului este bun ()

administrator №3 :

Cunoașteți tăietura dintre fețe și vârfurile piramidei

Cut between planes – ce cut între vectori normali până la aceste plane. Cunoaștem vectorul normal al zonei: [,];

, sau

În mod similar

administrator №4 :

Întindeți linii drepte canonic egale .

Otzhe,

Vectorul este perpendicular pe dreapta, la

Otzhe, egal canonic, voi privi drept înainte.

administrator №5 :

Aflați diferența dintre liniile drepte

і .

Direct paralel, pentru că їх vectori direcți și ірівні. Haide se află pe prima linie, iar punctul se află pe cealaltă linie. Cunoaștem aria paralelogramului pe baza vectorilor.

[,];

Shukanoi vіdstannyu є înălțimea paralelogramului, omisă din puncte:

administrator №6 :

Calculați cea mai scurtă distanță dintre liniile drepte:

Se va arăta că este drept de traversat, tobto. vectori și nu se află pe același plan: ≠ 0.

1 cale:

Printr-o altă linie dreaptă trasăm un plan paralel cu prima dreaptă. Pentru zona lui shukano v_domі tі, scho to lie їй vectorії. Vector de zonă normală є vector tvir vectorіv, la asta .

De asemenea, ca vector normal al zonei, puteți lua vectorul alinierii acelei zone în viitor, dacă știți că punctul care trebuie să se afle pe zonă poate fi găsit și scrieți alinierea:

Shukana v_dstan - tsya vіdstan de la punctul primei linii drepte până la plan este cunoscută prin formula:

13.

2 moduri:

Pe vectorii i vom crea un paralelipiped.

Shukana vіdstan' – înălțimea paralelipipedului, omisă din punctele pe baza yogo, pe baza vectorilor.

Rezultat: 13 single.

administrator №7 :

Cunoașteți proiecția unui punct pe un plan

Vectorul normal al ariei este vectorul direct al dreptei:

Cunoaștem punctul de trecere al dreptei

zona respectiva:

.

Înlocuind într-un plan plat, știm, și apoi

Respect. Pentru a cunoaște un punct care este simetric cu un punct similar cu planul, este necesar (în mod similar sarcinilor înainte) să cunoașteți proiecția punctului pe plan, apoi priviți vіdіzok cu mijlocul vіdomimikobkami, zvârcolindu-vă cu formule,,.

administrator №8 :

Găsiți alinierea unei perpendiculare căzute dintr-un punct pe o dreaptă .

1 cale:

2 moduri:

Sarcinile sunt scrise într-un mod diferit:

Aria este perpendiculară pe dreapta dată, deci vectorul direct al dreptei este vectorul normal al ariei. Cunoscând vectorul normal al planului și un punct din plan, scriem її egal:

Cunoaștem punctul de cruce al planului și al dreptei, scrise parametric:

,

Să facem o linie dreaptă care să treacă prin punctele i:

.

Sugestie: .

În același mod, puteți virism și aceeași sarcină:

administrator №9 :

Găsiți un punct care este simetric față de un punct ca o dreaptă .

administrator №10 :

Tricot danez cu topuri Cunoașteți nivelul de înălțime, coborât de sus spre spate.

Titlul este absolut analog sarcinilor anterioare.

Sugestie: .

administrator №11 :

Desemnați alinierea perpendicularei perpendiculare pe două drepte: .

0.

Vrakhovuchi, scho trece printr-un punct, notăm alinierea planului:

Ideea este să se stabilească, voi vedea că egalul zonei va arăta:.

Sugestie:

administrator №12 :

Îndoiți linii drepte pentru a trece printr-un punct și traversați linii drepte .

Prima linie dreaptă care trece prin punctul care poate fi un vector direct; altele - să treacă prin puncte și poate direcționa vector

Se arată că liniile qi sunt astfel încât să poată fi încrucișate, pentru care îndoim arbitrul, ale cărui rânduri sunt coordonatele vectorilor ,, ,vectorii nu se suprapun în același plan.

Să desenăm un avion printre pete și să mergem drept înainte:

Haide - un punct suficient al planului acelorași vectori și complanar. Planeitatea zonei poate arăta:.

În mod similar, putem plia planeitatea planului, care poate trece prin pete și cealaltă drept: 0.

Shukana este drept є span de apartamente, tobto.

Rezultatul luminat al consecințelor date de aceștia este formarea de componente, enunțuri la intrare, totalitatea competențelor (nobilime, minte, putere) pe două niveluri: prag și prosunuty. Pragul rіven dă aprecierea „presumabil”, sticking rіven dă aprecierile „bune” sau „remarcabile”, nepătrunse în rezultatele cazului-sarcină.

Pentru autodiagnosticarea acestor componente, vi se vor arăta următorii pași.

INSTUP

Capitolul 1

1 Punct de cruce al unei linii drepte cu un plan

1 Variații ale poziției dreptei în spațiu

2 Kut mizh drept și plat

WISNOVOK

LISTA VICTORIILOR DZHEREL

INSTUP

Egalizarea Be-yaké a primei etape de coordonate x, y, z

Prin + Cz + D = 0

stabilește aria și acum: fie că este aria poate fi reprezentată prin egali, așa cum se numește egalii ariei.

Vectorul n (A, B, C), ortogonal planului, se numește vectorul normal al planului. Coeficienții egali A, B, C nu sunt egali cu 0 în același timp.

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – planul trece prin cob de coordonate.

C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - planul este paralel cu axa Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 – zona care trebuie să treacă prin toate Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 – planul este paralel cu planul Oyz.

Alinierea planurilor de coordonate: x=0, y=0, z=0.

O linie dreaptă în spațiu poate fi dată:

) ca linie de traversare a două planuri, tobto. sistem rivnian:

A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2z + D 2 = 0;

) cu cele două puncte ale sale M 1(X 1,y 1, z 1) si m 2(X 2,y 2, z 2), chiar dacă este drept, ce să treacă prin ele, este dat de egali:

=;

) punctul M 1(X 1,y 1, z 1), care ї al-lea se află, acel vector a (m, n, р), ї al-lea este coliniar. Todi este atribuit direct egalilor:

Ecuațiile se numesc drepte canonice.

Vectorul a se numește vectorul direct al dreptei.

Alinierea parametrică a liniei drepte este eliminată, echivalând pielea de la ochi cu parametrul t:

X 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Pt.

Sistemul Razv'azyuchi ca un sistem de aliniamente liniare, unde x și y necunoscute, ajung la linii drepte în proiecții sau la linii drepte punctate:

Mz + a, y = nz + b

Puteți merge la rangurile canonice, cunoscând z-ul din rangul dermic și adăugând valoarea:

În nivelele superioare (3.2), se poate trece la cel canonic în alt mod, pentru a se ști dacă punctul drept al dreptei și vectorul direct n = , de n 1(A 1, B 1, C 1) si n 2(A 2, B 2, C 2) sunt vectori normali ai unor zone date. Dacă unul dintre semnele m, n și r în egal (3.4) este egal cu zero, atunci numărul fracției duble trebuie setat egal cu zero, adică. sistem

sistem egal ; o astfel de linie este perpendiculară pe axa Ox.

Sistem sistemul este la fel de puternic x = x 1,y=y 1; linie dreaptă paralelă cu axa Oz.

Scopul muncii de curs:direct în acea zonă plată lângă spațiul deschis.

Lucru șef de curs:uitați-vă la zona din apropierea spațiului deschis, її egal, și uitați-vă la apartamentul de lângă spațiul deschis.

Structura lucrării cursului:intrare, 2 capitole, visnovok, lista de vikoristanih dzherel.

Capitolul 1

.1 Punctul de trecere al unei drepte cu un plan

Fie dată aria Q tipului curbat: Ax+By+Cz+D=0, iar linia L tipului parametric: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, în caz contrar, pentru a cunoaște punctul de cruce al dreptei L și al planului Q, este necesar să se cunoască valoarea parametrului t, pentru care punctul dreptei se află pe plan. Prin înlocuirea valorilor lui x, y, z, planul este egal, iar prin derivarea t, scadem

Valoarea lui t va fi aceeași, deoarece planul nu este drept și paralel.

Spălați paralelismul și perpendicularitatea dreptei și a planului

Privind direct la L:

și planeitatea?

Linie dreaptă L și plan? :

a) perpendicular pe unu la unu sau mai puțin pe unu, dacă vectorul direct este drept și vector normal planuri coliniare, tobto.

b) paralel cu unu la acelaşi şi mai puţin cu acelaşi, dacă vectorii і perpendicular, adică.

i Am + Bn + Ср = 0.

.2 Kut mizh drept și plat

Kut ?între vectorul normal al zonei i printr-un vector direct se calculează după următoarea formulă:

Grinda de apartamente

Totalitatea tuturor planurilor care trec printr-o dreaptă L dată se numește mănunchi de plane, iar linia L se numește întreg fascicul. Fie că întregul fascicul este dat de egali

Înmulțim echivalența celuilalt sistem cu termen cu termen și o stocăm cu prima echivalență:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

La fel ca primul pas ar trebui să fie x, y, z i, apoi, pentru orice valoare numerică ?definiți zona. Deci, deoarece o egalizare dată este ultima dintre doi egali, atunci coordonatele punctului, care sunt satisfăcute cu acești egali, sunt satisfăcute cu acest egal. Părinte, pentru orice valoare numerică ?dat fiind alinierea planelor care trec prin dreapta dată. Otrimane rivnyannia є alinierea unui fascicul de plane.

fundul.Scrieți planul plan care trece prin punctul M 1(2, -3, 4) paralele cu liniile

Soluţie.Notăm alinierea conexiunii planelor care trec prin punctul M1 :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Deoarece planul este necesar, dar este paralel cu aceste drepte, atunci vectorul normal se datorează ambelor perpendiculare pe linii. linii drepte tsikh. Prin urmare, ca vector N, puteți lua un vector tv_r vector_v:

De asemenea, A \u003d 4, B \u003d 30, C \u003d - 8. Înlocuirea valorilor cunoscute \u200b\u200bo A, B, Z

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) = 0 sau 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

fundul.Găsiți punctul dreptei acea zonă 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Soluţie.Să notăm alinierea acestei linii drepte cu vederea parametrică:

Să ne imaginăm qi vrazi pentru egalizarea x, y, z a planului:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Imaginează-ți t = 1 aliniere parametrică a dreptei. La pachet

De asemenea, linia dreaptă se intersectează în punctul M(3, 2, 7).

fundul.Cunoaște-te pe kut ?între o linie dreaptă acea zonă este 4x-2y-2z+7=0. Soluţie.Să reparăm formula (3.20). deci iac

Acea

Tată, = 30°.

Linia dreaptă în spațiul deschis nu este îngustă, așa că o poți cere mai ușor cu ajutorul unui prieten. Din cursul școlar de geometrie euclidiană, există o axiomă, „prin două puncte din spațiu poți trage o linie dreaptă i, înainte de aceasta, doar una.” De asemenea, pe diagramă, linia dreaptă poate fi dată de două proiecții frontale și două orizontale de puncte. Dar dacă este o linie dreaptă - este o linie dreaptă (și nu o curbă), atunci cu aceeași bază putem combina punctele într-o linie dreaptă și luăm o proiecție frontală și orizontală a unei linii drepte (Fig. 13).

Dovada este inversată: în planurile proiecțiilor V și H sunt date două proiecții a „b” și ab (Fig. 14). Desenăm prin ele planul, perpendicular pe planurile proiecțiilor V și H (Fig. 14), linia peretinei planelor va fi dreaptă AB.

.1 Diverse pante

La pantele pe care le-am privit, dreptele nu erau nici paralele, nici perpendiculare pe planurile de proiecție V, H, W. Duhoarea poate fi vishіdnimi sau scăzută (rozіbratisya independent).

Pe fig. 17 arată linia dreaptă a doagei, stabilită de trei proiecții. Să ne uităm la familia de linii drepte, care pot fi autorități importante - linii drepte, să fie paralele cu planul de proiecție.

Pe fig. 17 arată linia dreaptă a doagei, stabilită de trei proiecții.

Să ne uităm la familia de linii drepte, care pot fi autorități importante - linii drepte, să fie paralele cu planul de proiecție.

a) Linie dreaptă orizontală (nakshe - orizontală, linie orizontală dreaptă). Acesta este numele dreptei, paralelă cu planul orizontal al proiecțiilor. Її imaginea din apropierea spațiului de pe parcelă este prezentată în fig. 18.

Orizontală este ușor de recunoscut pe diagrama „sub formă”: її proiecția frontală este întotdeauna paralelă cu axa ОХ. În ansamblu, cea mai importantă putere orizontală este formulată după cum urmează:

La orizontală - proiecția frontală este paralelă cu axa ОХ, iar proiecția orizontală este de dimensiune naturală. De preferință, o proiecție orizontală a orizontalei pe diagramă vă permite să desemnați tăierea її în planul V (tăierea b) și în planul W (y) - fig.18.

b) Linie dreaptă frontală (frontală, linie dreaptă a aliniamentului frontal) - nu dreaptă, paralelă cu planul frontal al proiecțiilor. Nu suntem ilustrativi pentru imaginile reale, ci sunt prezentate de epure (Fig. 19).

Diagrama frontală este caracteristică, care este orizontală și proiecții de profil paralele cu axele X și Z, iar proiecția frontală se extinde destul de mult și arată dimensiunea naturală a frontalului. De preferință pe diagramă, tăiați drept înainte la proiecțiile orizontale (a) și de profil (plate). Otzhe, încă o dată:

La front, proiecția orizontală este paralelă cu axa ОХ, iar proiecția frontală este de dimensiune naturală

c) Linia dreaptă a profilului. Evident, este drept, paralel cu planul de profil al proiecțiilor (Fig. 20). De asemenea, este evident că valoarea naturală a dreptei profilului є pe planul profilului proiecțiilor (proiecția a "b" - Fig. 20) și aici puteți bachiti kuti її nahilu la planurile H (a) și V ( b).

Urmează o familie de linii drepte, dornice și importante așezare, ca liniile drepte - nu proiectând linii drepte.

Liniile drepte perpendiculare pe planurile de proiecție se numesc proiectare (prin analogie cu modificările de proiectare - Fig. 21).

AV mp. H - drept proiectat orizontal; mp V - drept proiectat frontal; mp W - profil drept proiectare.

2.2 Kut mizh drept și plat

trikutnik tăiat pătrat plat

Metoda tricou dreptunghiulară

Dreaptă zagalnogo tabără, așa cum am spus, înclinat la planurile proiecțiilor sub un fel de kut plin.

Tăierea dintre linia dreaptă și acel plan este proiectată de tăietură, adăugăm linia dreaptă la acea proiecție pe plan (Fig. 22). Kut a vyznaє kut nakhily vіdrіzka AB la pl. H. W fig. 22: Ab1 | 1pl. H; Bb1 = Bb – Aa = Z 22

Într-un tricot ABb1 tăiat drept, piciorul Ab1 are o proiecție orizontală normală ab; iar celălalt picior Bb1 este cel mai scump punct de vânzare cu amănuntul A și B din pătrat. N. Deoarece punctele de pe proiecția orizontală a dreptei ab sunt trasate perpendicular și puse pe noua valoare a lui Z, atunci, luând punctul a cu punctul luat b0, luăm ipotenuza ab0, egală cu valoarea naturală. al AB. Pe diagramă arată astfel (mal. 23):

În mod similar, linia dreaptă se extinde până în planul frontal al proiecțiilor (b) - fig. 24.

Pentru a da respect: în cazul pobudov pe proiecția directă orizontală, adăugăm la valoarea directă suplimentară Z; când pe proiecția anterioară - valoarea lui Y.

Metoda de a privi înainte se numește tricutnik cu tăietură dreaptă. Cu ajutorul yoga, puteți determina dimensiunea naturală a oricărui fel de fisură care ne plânge, precum și să tăiați yoga bolnăvicios la planurile proiecțiilor.

Devenind reciproc drept

Anterior, ne-am uitat la valoarea nutritivă a unui punct al unei drepte: dacă un punct se află pe o dreaptă, atunci proiecțiile se află pe proiecțiile unidimensionale ale unei drepte (regula apartenenței, div. Fig. 14). Din cursul de geometrie de liceu, ghicim: două drepte se împletesc într-un punct (altfel: dacă două drepte fac un punct dublu, atunci mirosurile se împletesc în același punct).

Proiecțiile liniilor drepte, care se împletesc, pe diagramă pot avea un semn clar pronunțat: proiecțiile punctului de rulare se află pe aceeași linie a legăturii (Fig. 25). Este clar: punctul K se culcă în AB și CD; pe grafic, punctul k se află pe aceeași linie care leagă punctul k.

Drept AB și CD - remodelați

Venind de la posibile reciproce roztashuvannyah două linii drepte în spațiul deschis - drept pentru a traversa. Este posibil să existe o cădere, dacă liniile drepte nu sunt paralele, dar nu se suprapun. Astfel de linii drepte pot fi așezate pe două plane paralele (Fig. 26). Nici măcar nu înseamnă că doi sunt drepti, că se încrucișează, se află ob'yazkovo la două plane paralele; şi cu atât mai puţin acelea că prin ele pot fi trase două plane paralele.

Proiecțiile a două drepte care se intersectează se pot suprapune, dar punctele suprapunerii lor nu se află pe aceeași linie a legăturii (Fig. 27).

Este important să vedeți nutriția punctelor concurente (Fig. 27). Pe proiecția orizontală există două puncte (e, f), dar în duhoarea frontală se transformă într-unul singur (e „f”), în plus, este nerezonabil, deoarece punctul este vizibil, deoarece nu este vizibil (puncte concurente ).

Două puncte, ale căror proiecții frontale se prăbușesc, sunt numite concurență frontală.

Am văzut o astfel de răsucire mai devreme (Fig. 11), dar de către cei care „strâng reciproc două puncte”. Prin urmare, regula stagnează:

Din două puncte concurente, cel care este vizibil este cel a cărui coordonată este mai mare.

3 fig. 27 se poate observa că proiecția orizontală a punctului E (e) este departe de axa OX, punctul inferior este f. Din nou, coordonata Y a punctului „e” este mai mare, mai mică în punctul f; mai târziu va fi vizibil punctul E. Pe proiecția frontală, punctul f „este plasat în arcade ca invizibil.

Încă ceva: punctul e se află pe proiecția dreptei ab, iar tse înseamnă că pe proiecția frontală linia dreaptă a „b” este trasată „pe deasupra” dreptei c „d”.

Linii paralele

Liniile paralele de pe diagramă sunt ușor de recunoscut în aparență, dar proiecțiile unidimensionale a două linii paralele sunt paralele.

A da respect: la fel! Tobto. proiecțiile frontale sunt paralele între ele, iar proiecțiile orizontale sunt între ele (Fig. 29).

Dovada: în figura 28, două drepte paralele AB și CD sunt date în spațiu. Să desenăm prin ele planele proeminente Q și T - vor apărea paralele (pentru ca două drepte care se suprapun, un plan paralel cu două suprapuneri cu o linie dreaptă, celălalt plan, atunci astfel de planuri sunt paralele).

Pe diagrama 30a, sarcinile sunt paralele cu liniile drepte, pe diagrama 30b, liniile drepte sunt încrucișate, deși în aceea, și într-o direcție diferită, proiecțiile frontale și orizontale sunt reciproc paralele.

Folosesc, totuși, un truc, pentru ajutorul căruia se pot atribui reciproc pozițiile a două linii drepte de profil, fără a intra în a treia proiecție. Pentru care este suficient să existe două proiecții cu linii suplimentare, așa cum se arată în Fig. 30. Va apărea că punctele de intersecție ale acestor linii se află pe aceeași linie de legătură - liniile de profil sunt paralele între ele - fig. 30a. Yakshcho nі - linii drepte de profil se încrucișează (Fig. 306).

Caracteristici ale căderii liniei drepte:

Proiecții ale unei tăieturi directe

De asemenea, două linii drepte ale suportului de doage sunt colorate sub o tăietură dreaptă, proeminențele lor fac o tăietură nu egală cu 90 ° (Fig. 31).

Cioburile de la bara transversală a două plane paralele ale celui de-al treilea din bara transversală apar paralele cu liniile drepte, apoi proiecțiile orizontale ab și cd sunt paralele.

Pentru a repeta operația și a proiecta linii drepte AB și CD pe planul frontal al proiecțiilor, vom lua același rezultat.

O pantă specială este reprezentată de două linii drepte de profil, stabilite prin proiecții frontale și orizontale (Fig. 30). După cum sa spus, pentru liniile de profil, proiecțiile frontale și orizontale sunt reciproc paralele, protejate, pentru acest semn este imposibil să se judece paralelismul celor două linii de profil fără a induce a treia proiecție.

Administrator. Încercați un tricut ABC în unghi drept, cu piciorul BC culcat pe MN drept (Fig. 34).

Soluţie. Din diagramă se poate observa că linia dreaptă MN este orizontală. Și în spatele minții, tricutnik-ul este tăiat drept.

Viteza puterii de proiecție a kut-ului direct este omisă din punctul „a” perpendicular pe proiecția mn (pe pătratul H, kuta noastră directă este proiectată fără creație) - fig. 35.

Ca o linie dreaptă suplimentară, care trebuie efectuată de la capătul tăieturii sub tăietura directă până în acest punct, câștigăm o parte din proiecția orizontală a liniei drepte și bm în sine (Fig. 36). Să ne uităm la valoarea diferenței în coordonatele Z, luată din proiecția frontală și să luăm punctul „a” de la capătul șirului îndepărtat. Luăm dimensiunea reală a piciorului AB (ab ; ab).

Figurile 31 și 32 prezintă două linii drepte cu o poziție de colț, care fac tăieturi la 90 ° între ele (în Fig. 32, liniile drepte se află în același plan P). Yak bachimo, pe diagrame de kut, proiecții de linii drepte, nu până la 90 °.

Să prețuim puterea lumii uitându-ne la proiecția kuta directă din cauza ofensivă:

Deoarece o parte a kuta dreptului este paralelă cu planul de proiecție, atunci kuta dreaptă este proiectată pe acest plan fără un cârlig (Fig. 33).

Nu ducem la aceeași poziție (o producem independent), dar ne putem uita la șanse, de parcă ai putea respecta această regulă.

Asamperat, este semnificativ faptul că în spatele minții o parte a kuta directă este paralelă cu planul de proiecție, atunci o parte va fi fie frontală, fie orizontală (poate o linie dreaptă de profil) - fig. 33.

Și frontal și orizontal de pe diagramă sunt ușor de recunoscut „deghizat” (una dintre proiecții este paralelă cu axa ОХ), sau o puteți induce cu ușurință după cum este necesar. În plus, linia frontală are cea mai importantă putere: una dintre proiecțiile limbajului obov arată ca

Conform regulii umidității, cunoaștem proiecția frontală a punctului b „în spatele legăturii liniei auxiliare. Avem piciorul AB (a” b ”; ab).

Pentru a așeza piciorul BC pe partea MN, pe spate este necesar să se desemneze dimensiunea naturală a brațului AB (a d ; ab). Pentru care unul este rapid, avem deja regula unui tricutnik drept.

WISNOVOK

Zagalni rіvnyannya drept înainte

Alinierea liniei drepte poate fi văzută ca alinierea liniei peretinei a două planuri. După cum s-a văzut mai mult, aria formei vectoriale poate fi setată egală:

× + D = 0, de

Suprafata normala; - raza - vectorul unui punct mic al planului.

Lăsați spațiul să stabilească două planuri: × + D 1= 0 și × + D 2= 0, vectori normali și coordonate: (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2); (x, y, z). Curbe similare pentru linii drepte sub formă vectorială:

Zagalnі vnyannya linie dreaptă în forma de coordonate:

Pentru care trebuie să cunoașteți punctul complet al dreptei numerelor m, n, p. Dacă da, un vector direct poate fi cunoscut ca o extensie vectorială a unui vector în planurile normale la date.

Planeitatea zonei din apropierea spațiului

Trimiteți puncte de date și un vector diferit de zero (tobto , de

spala este vectorul normal.

Yakscho , , , ..., atunci egal poate fi schimbat pentru a arăta . Numerele , і , і

Haide - ca punct al avionului, - Vector perpendicular pe plan. râul Todi є egalizarea suprafeței.

Coeficient , ; în apropierea zonei egale є coordonatele vectorului perpendicular pe plan.

Cum se împarte planul la un număr egal cu lungimea vectorului , apoi eliminăm planeitatea zonei formei normale.

Planeitatea planului, ca trecerea printr-un punct i este perpendicular pe un vector diferit de zero, .

Be-yak egal cu primul pas setează spațiul de coordonate la un singur plan, care este perpendicular pe vectorul cu coordonatele .

Rivnyannia є egal cu planul care trece prin punct i perpendicular pe un vector diferit de zero.

Zona pielii stabilite într-un sistem de coordonate dreptunghiulare , , egal cu mintea.

atentie, care sunt coeficienții medii , , є non-zero, stabilește spațiul pentru aria sistemului de coordonate dreptunghiulare. Zona din apropierea spațiului este stabilită în sistemul de coordonate dreptunghiulare , , egal cu mintea , ai grijă, sho.

Corect este acea revenire a fermității: egală cu mintea spala setați spațiul pentru sistemul de coordonate dreptunghiulare.

De , , , , ,

Zona din apropierea spațiului este atribuită egalilor , de , , , - numere zecimale, în plus , , nu este egal cu 0 și setați coordonatele vectorului deodată , perpendicular pe acest plan și numit vector normal.

Trimiteți puncte de date și un vector diferit de zero (tobto ). Aceeași zonă plată vectorială , de - destul punct al avionului) arata ca - alinierea zonei din spatele punctului si a vectorului normal.

Nivelarea pielii de la primul pas spala pus într-un sistem de coordonate dreptunghiular un singur plan, pentru care vectorul este vectorul normal.

Yakscho , , , , atunci egal poate fi schimbat pentru a arăta . Numerele , і rivni vіdzhina vіdrіzkіv, yakі vіdsіkayut plat pe topoare , і evident. La acel egal numit egal cu zona „la vânturi”.

LISTA VICTORIILOR DZHEREL

1.Stereometrie. Geometrie în spațiu. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Rizhik V.I.

2.Alexandrov P. S. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară. - Ediția șef de literatură fizică și matematică, 2000. - 512 p.

.Beklemishev D.V. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară, 2005. – 304 p.

.Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometrie analitică: Navch. pentru universitati. - a 7-a vedere., Sr., 2004. - 224 p. - (Curs de matematică avansată și fizică matematică.)

.Efimov N. V. Un scurt curs de geometrie analitică: Navch. Ajutor. - A 13-a vedere, stereo. –, 2005. – 240 p.

.Kanatnikov O.M., Krishchenko O.P. Geometrie analitică. -a doua vedere. -, 2000, 388 s (Ser. Matematică la Universitatea Tehnică

.Kadomtsev SB. Geometrie analitică și algebră liniară, 2003. – 160 p.

.Fedorchuk V. V. Un curs de geometrie analitică și algebră liniară: Navch. posibnik, 2000. - 328 p.

.Geometrie analitică (note de curs de Y.V. Troitsky, anul I, 1999/2000) – 118 p.

.Bortakovsky, A.S. Geometrie analitică în aplicații și sarcini: Navch. Posibnik/O.S. Bortakovsky, A.V. Panteliev. - Vișci. scoala, 2005. - 496 s: il. - (Seria „Matematică aplicată”).

.Morozova E.A., Sklyarenko E.G. Geometrie analitică. Ghid metodologic 2004. - 103 p.

.Instrucțiuni metodice și program de lucru pentru cursul „Matematică Vișcha” - 55 p.

Două sunt drepte la întinderea paralelă, de parcă duhoarea de a se întinde într-un singur apartament nu se suprapune.

Două linii drepte se intersectează în spațiu, de parcă nu ar exista o astfel de zonă, în care pute să zacă.

Semne pentru a trece linii drepte. Dacă una dintre cele două linii drepte se află la deakіy și lagnosti, iar o altă linie dreaptă traversează planul într-un punct, dacă prima linie dreaptă nu se suprapune, atunci liniile drepte se intersectează.

Planul este drept, astfel încât planul, paralel, să nu se suprapună, pentru ca duhoarea să nu înăbușească punctele de dormit.

Semnul paralelismului dreptei și planului. Dacă este dreaptă, dacă nu se află pe plan, dacă este paralelă, dacă este dreaptă, dacă se află pe plan, este paralelă cu planul.

Puterea planului și a dreptei, paralele cu planul:

1) dacă planul urmează să fie deplasat drept, paralel cu celălalt plan, iar dacă traversează planul, atunci linia planelor este paralelă cu această dreaptă;

2) dacă prin piele din două linii drepte paralele, planurile care se suprapun, atunci linia liniei lor este paralelă cu aceste drepte.

Două planuri sunt paralele, ca și cum duhoarea nu ar putea fi puncte de dormit.

Semne de paralelism ale planurilor, ca și cum două plane drepte ale aceluiași plan, care se suprapun, par a fi paralele cu celelalte două plane drepte, atunci aceste plane sunt paralele.

Linia dreaptă este perpendiculară pe plan, ca și cum ar fi perpendiculară pe dreapta, astfel încât planul se află.

Semne de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan: dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se suprapun, se află în apropierea planului, atunci este perpendiculară pe plan.

Puterea dreptei, perpendiculară pe plan.

1) dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe plan, atunci cealaltă dreaptă este perpendiculară pe centrul planului;

2) drept, perpendicular pe unul dintre cele două plane paralele, perpendicular pe celălalt plan.

Semn de perpendicularitate a planurilor. Dacă planul se deplasează perpendicular pe celălalt plan, este perpendicular pe acel plan.

O linie dreaptă care traversează planul, dar nu este perpendiculară pe acesta, se numește fragilitate față de plan.

Teorema despre trei perpendiculare. Pentru ca acesta să fie drept, care se află lângă plat, bula este perpendiculară pe boală, este necesară și suficientă, astfel încât să fie perpendiculară pe proiecția bolnavului pe plat.

Pe copilul 1 drept b- khila la plat, drept c- proiecție A┴ h, Acea A┴ b

Kutom între fragilitate și planeitate se numește tăietură dintre fragilitate și proiecția pe plat. Pe cel mic 2 drept b- pokhila la plat, drept A- proiecția chiloiului pe plat, α - tăiat între chilo și plat.

Kutvoryutsya cu două fețe în trecut peretina a două planuri. Linia dreaptă, tăiată de capătul intervalului a două plane, se numește marginea tăieturii pe două fețe. Două pіvploshchini іz zagalny rib sunt numite fețele kut cu două fețe.

Napіvnі zona, între care zbіgaєtsya cu marginea kuta cu două fețe și cum să împărțiți kut cu două fețe în două kuti egale, se numește un apartament bi-sectorial.

Tăierea cu două fețe este redusă la o tăietură liniară similară. Tăierea liniară a unei tăieturi pe două fețe se numește tăietură între perpendiculare trase de la fața pielii până la margine.

Prismă

Bagatohedron, două părți ale unui râu n- kosinci, care se află lângă apartamente paralele, și reshta n fețe - paralelograme, numite n- Prisma Vugіlnoy.

Două n- kosintsya є podstavami prismă, paralelograme - fețe bіchnymi. Laturile fețelor se numesc marginile prismei, iar capetele marginilor sunt numite vârfuri ale prismei.

Înălțimea prismei se numește înălțimea perpendicularei, aranjamentele dintre bazele prismei.

Diagonala prismei se numește cruce, care leagă două vârfuri ale bazelor, care nu se află pe aceeași față.

O prismă dreaptă este o prismă, ale cărei nervuri sunt perpendiculare pe planurile bazelor (Fig. 3).

O prismă fragilă se numește prismă, ale cărei nervuri sunt fragile față de planeitatea fundațiilor (Fig. 4).

Obsyag și aria suprafeței prismei de înălțime sunt cunoscute prin formulele:

Aria suprafeței laterale a prismei drepte poate fi calculată folosind formula.

Volumul acelei suprafețe prismele fragile (Fig. 4) pot fi calculate și ele în același mod: de ΔPNK - depășire, perpendicular pe muchia l.

O prismă dreaptă se numește prismă dreaptă, a cărei bază este un bagatokutnik obișnuit.

O prismă se numește paralelipiped, iar toate fețele sale sunt numite paralelograme.

Un paralelipiped drept este un paralelipiped, ale cărui nervuri sunt perpendiculare pe planurile bazelor.

Un paralelipiped drept se numește paralelipiped drept, a cărui bază este o tăietură dreaptă.

Puterea diagonalei unui paralelipiped dreptunghiular

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghiular este suma pătratelor a trei yogo vimiriv: d² = A² + b² + c², de a,b,c- Coaste Dozhina care ies dintr-un vârf, d- diagonala paralelipipedului (Fig. 3).

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular este cunoscut din formula V=abc.

Un cub se numește paralelipiped dreptunghiular cu nervuri egale. Toate fețele unui cub sunt pătrate.

Volumul, suprafața și diagonala unui cub cu muchie sunt cunoscute prin formulele:

V = A³, S = 6A² d² = 3 A².

piramidă

Un bagatoedru, dintre care o fațetă este un bagatokutnik, iar celelalte fețe sunt tricutniks dintr-un vârf abrupt, se numește piramidă. Bagatokutnik-ul este numit baza piramidei, iar trikutnik-urile sunt numite fețe bichny.

Înălțimea piramidei se numește înălțimea perpendicularei trase de la vârful piramidei până la suprafața bazei.

Dacă toate nervurile laterale ale piramidei sunt egale sau sunt înclinate la planeitatea bazei sub același kut, atunci înălțimea scade în centrul mizei descrise.

Dacă părțile laterale ale piramidei sunt înclinate până la planul bazei sub același kut (kuti cu două fețe atunci când stați egal), atunci înălțimea coboară până în centrul țărușului înscris.

Piramida se numește corectă, deoarece baza ei este bagatokutnikul corect, iar înălțimea se încadrează în centrul țărușului înscris și descris al bagatokutnikului, care se află la baza piramidei. Înălțimea fațetei bіchnі a piramidei drepte, extrasă din vârfurile її, se numește apotema.

De exemplu, pe micul 5 este înfățișată piramida corectă din tricot SABC(tetraedru): AB= î.Hr= AC= A, OD=r- raza ţăruşului înscris în tricutnik ABC, OA=R- raza mizei, albul descris al tricotului ABC, ASA DE=h- Visota

piramide, SD = l- apothem, - kut nakhily

coaste SA la planul bazei, - tăierea pantei feței laterale SBC până la baza piramidei.

Piramida tricot se numește tetraedru. Tetraedrul se numește regulat, ca și cum marginile lui ar fi egale.

Obsyag piramidi acea zonă її cunoscută superficial pentru formulele:

De h- Înălțimea piramidei.

Aria pătratului suprafeței piramidei regulate a cunoaște în spatele formulei, de - apotema piramidei.

O piramidă trunchiată se numește bagatoedru, ale cărui vârfuri servesc ca vârfuri ale bazei piramidei, iar vârfurile її tăiate peste plan, paralel cu baza piramidei. Trimiteți o piramidă trunchiată - ca un bagatokutniki.

Obsyag trunchiat piramidi cunosc din spatele formulei , de - aria bazei, h - înălțimea piramidei trunchiate.

Corectați bagatoedrele

Un bagatoedru obișnuit se numește bagatoedru umflat, care are toate fețele - bagatokutniki obișnuit cu același număr de laturi și același număr de coaste converg în vârful pielii bagatoedrului.

Fețele unui bagatoedru obișnuit pot fi fie tricutnik-uri cu laturi egale, fie pătrate, fie pyatitikutnik-uri obișnuite.

Așa cum un bagatoedru obișnuit are fețe - tricuturi regulate, atunci bagatoedrele obișnuite au un tetraedru obișnuit (vin maє 4 fețe), un octaedru obișnuit (vin maє 8 fețe), un icosaedru obișnuit (vin maє 20 de fețe).

Dacă un bagatoedru obișnuit are fețe pătrate, atunci bagatoedrul se numește cub sau hexaedru (pot fi 6 fețe).

Dacă un bagatoedru obișnuit are fețe cu p'yatikutniks regulate, atunci bagatoedrul se numește dodecaedru (pot fi 12 fețe).

cilindru

O figură se numește cilindru și, ca rezultat, un dreptunghi este înfășurat în jurul unei laturi.

Pe cel mic 6 este drept - toată împachetarea; - Visota, l- Satisfacator; ABCD- secțiunea axială a cilindrului, tăiată prin înfășurarea dreptunghiului pe lateral. Volumul acelei suprafețe a cilindrului este cunoscut prin formulele:

, , , , de R- raza bazei, h- Visota, l- fixați cilindrul.

Con

O siluetă se numește con, iar învelișul unui tricot tăiat drept este tăiat lângă unul dintre catetere. Pe cel mic 7 drept OB- toate ambalajele; OB = h- Visota, l- satisfăcător;Δ ABC- tăierea axială a conului, tăierea învelișurilor tricutnikului tăiat drept OBC lângă picior OB.