この式については、まだ詳しく説明しません。 さらに、覚えるのはかなり難しいです。 行列式に精通した後、この点に戻ります。

まあ、一般的な開発では、結果のベクトルの長さがベクトル上に構築された平行四辺形の面積に等しいことを知っておくと便利です NSと NS.

ベクトルの正規化

正規化されたベクトルは、長さが1のベクトルです。

正規化されたベクトルを見つける式は次のとおりです。ベクトルのすべてのコンポーネントをその長さで割る必要があります。

v n = v/ | v | =

あとがき

おそらくお気づきかもしれませんが、ベクトルを理解するのは難しくありません。 いくつかのベクトル演算について説明しました。

「数学」セクションの次の記事では、行列式、行列式、連立一次方程式について説明します。 これはすべて理論です。

その後、行列変​​換について見ていきます。 そうすれば、コンピュータゲームを作成する上で数学がいかに重要であるかを理解できるようになります。 このトピックは、これまでのすべてのトピックの練習になります。

ベクター
物理学と数学では、ベクトルはその数値と方向によって特徴付けられる量です。 物理学では、力、位置、速度、加速度、トルク、運動量、電場と磁場の強さなど、ベクトルである多くの重要な量があります。 それらは、質量、体積、圧力、温度、密度など、通常の数で表すことができる他の量と対比することができ、「スカラー」と呼ばれます。 ベクトル表記は、通常の数値では完全に指定できない値を処理するときに使用されます。 たとえば、特定のポイントに対するオブジェクトの位置を記述したいとします。 ポイントからオブジェクトまでの距離はわかりますが、その位置を知るまでは、その位置を完全に特定することはできません。 したがって、オブジェクトの位置は、数値（キロメートル単位の距離）と方向によって特徴付けられます。 グラフィカルに、ベクトルは、図のように、特定の長さの有向直線セグメントとして表されます。 1.たとえば、5キログラムの力をグラフィカルに表すには、力の方向に5単位の長さの直線セグメントを描画する必要があります。 矢印は、力がAからBに作用していることを示しています。 力がBからAに作用した場合は、次のように記述します。便宜上、ベクトルは通常、太字の大文字（A、B、Cなど）で示されます。 ベクトルAと-Aの数値は同じですが、方向が逆です。 ベクトルAの数値は、モジュラスまたは長さと呼ばれ、Aまたは| A |で表されます。 もちろん、この量はスカラーです。 開始と終了が一致するベクトルはゼロと呼ばれ、Oで表されます。

2つのベクトルは、それらのモジュールと方向が一致する場合、等しい（または自由）と呼ばれます。 ただし、力学と物理学では、この定義は注意して使用する必要があります。一般的な場合、体の異なるポイントに2つの等しい力を加えると、異なる結果が得られるためです。 この点で、ベクトルは次のように「リンク」または「スライド」に分類されます。リンクされたベクトルには固定の適用点があります。 たとえば、半径ベクトルは、ある固定原点に対する点の位置を示します。 関連するベクトルは、モジュールと方向が同じであるだけでなく、共通の適用ポイントもある場合、等しいと見なされます。 スライドベクトルは、1本の直線上にある等しいベクトルです。
ベクトルの追加。ベクトルを追加するというアイデアは、他の2つのベクトルと同じ効果を持つ単一のベクトルを一緒に見つけることができるという事実から生まれました。 ある地点に到達するために、最初に一方向にAキロメートル、次に他の方向にBキロメートル歩く必要がある場合、3番目の方向にCキロメートルを通過した後、最終地点に到達できます（図2）。 。 その意味で、

ベクトルはいくつでも追加でき、項の順序は結果に影響しません。 逆もまた真です。任意のベクトルは2つ以上の「コンポーネント」に分解されます。 2つ以上のベクトルに変換します。これを追加すると、結果として元のベクトルが得られます。 たとえば、図では。 2、AとBはC成分です。ベクトルを3つの相互に垂直な方向に3つの成分に分解すると、ベクトルを使用した多くの数学演算が簡略化されます。 図に示すように、軸がOx、Oy、Ozの右手デカルト座標系を選択しましょう。 5.右座標系とは、x軸、y軸、およびz軸が、それぞれ右手の親指、人差し指、および中指を配置できるのと同じ方法で配置されることを意味します。 1つの右手座標系から、それに応じて回転させることにより、いつでも別の右手座標系を取得できます。 図では 図5に示すように、ベクトルAの3つの成分への分解が示されています。これらは、ベクトルAに加算されます。

その結果、

また、最初に追加して取得し、次に3つの座標軸上のベクトルAの射影に追加することもできます。Ax、Ay、およびAzは、ベクトルAの「スカラーコンポーネント」と呼ばれます。

ここで、a、b、gは、Aと3つの座標軸の間の角度です。 ここで、対応する軸x、y、zと同じ方向を持つ、単位長さi、j、kの3つのベクトル（単位ベクトル）を紹介します。 次に、Axにiを掛けると、結果の積はとに等しいベクトルになります。

2つのベクトルは、対応するスカラー成分が等しい場合にのみ等しくなります。 したがって、Ax = Bx、Ay = By、Az = Bzの場合に限り、A = Bとなります。 コンポーネントを追加することにより、2つのベクトルを追加できます。

さらに、ピタゴラスの定理によると：

一次関数。 式aA + bB（aとbはスカラー）は、ベクトルAとBの線形関数と呼ばれます。これは、AとBと同じ平面内のベクトルです。 AとBが平行でない場合、aとbが変化すると、ベクトルaA + bBは平面全体を移動します（図6）。 A、B、およびCがすべて同じ平面にない場合、ベクトルaA + bB + cC（a、b、およびcの変化）は空間全体を移動します。 A、B、Cが単位ベクトルi、j、kであると仮定します。 ベクトルaiはx軸上にあります。 ベクトルai + bjは、xy平面全体に沿って移動できます。 ベクトルai + bj + ckは空間全体を移動できます。

そして、最大5つ、6つ、または任意の数の次元を継続できます。 このようなベクトルを視覚化することは不可能ですが、ここでは数学的な問題は発生しません。 このような記録はしばしば役に立ちます。 たとえば、移動する粒子の状態は、6次元ベクトルP（x、y、z、px、py、pz）で表され、その成分は空間内の位置（x、y、z）と運動量です。 （px、py、pz）。 この空間は「位相空間」と呼ばれます。 2つの粒子を考えると、位相空間は12次元であり、3つである場合は、18であり、以下同様です。 次元の数は無期限に増やすことができます。 ただし、扱う量は、この記事の残りの部分で検討する量、つまり3次元ベクトルとほぼ同じように動作します。
2つのベクトルの乗算。ベクトル加算規則は、ベクトルで表される量の振る舞いを研究することによって得られました。 2つのベクトルを乗算できなかった明確な理由はありませんが、この乗算は、数学的な一貫性を示すことができる場合にのみ意味があります。 また、作品には一定の物理的意味があることが望ましい。 これらの条件を満たすベクトルを乗算する方法は2つあります。 それらの1つの結果はスカラーであり、そのような積は2つのベクトルの「内積」または「内積」と呼ばれ、ABBまたは（A、B）と記述されます。 別の乗算は、「ベクトル積」または「外積」と呼ばれるベクトルになり、A * Bまたは[]と記述されます。 内積は1次元、2次元、または3次元に対して物理的な意味を持ちますが、ベクトル積は3次元に対してのみ定義されます。
スカラー製品。ある力Fの作用下で、それが適用される点が距離r移動する場合、実行される仕事は、rと方向rの成分Fの積に等しくなります。 この成分はFcos bF、rcに等しく、ここでbF、rcはFとrの間の角度です。 実行された作業= Fr cos bF、rc。 これは、式を使用して任意の2つのベクトルA、Bに対して定義された内積の物理的正当化の例です。
A * B = AB cos bA、Bc。
方程式の右辺のすべての量はスカラーであるため、A * B = B * A; したがって、スカラー乗法は可換です。 スカラー乗法には、分配法則A *（B + C）= A * B + A * Cもあります。 ベクトルAとBが垂直である場合、cos bA、Bcはゼロに等しいため、AもBもゼロに等しくない場合でも、A * B = 0になります。 そのため、ベクトルで除算することはできません。 方程式A * B = A * Cの両辺をAで除算したとしましょう。これにより、B = Cが得られ、除算を実行できれば、この等式が唯一の可能な結果になります。 ただし、方程式A * B = A * CをA *（B-C）= 0として書き直し、（B-C）がベクトルであることを思い出すと、（B-C）が必ずしもゼロではないことは明らかです。したがって、BはCと等しい必要はありません。これらの矛盾する結果は、ベクトル分割が不可能であることを示しています。 内積は、ベクトルの数値（モジュラス）を記述する別の方法を提供します。A* A = AA * cos0°= A2;
それで

内積は別の方法で書くことができます。 これを行うには、次のことを覚えておいてください：A = Ax i + Ayj + Azk。 注意、その

それで、

最後の方程式には下付き文字としてx、y、zが含まれているため、方程式は選択した特定の座標系に依存しているように見えます。 ただし、選択した座標軸に依存しない定義からわかるように、これは当てはまりません。
ベクターアートワーク。ベクトルまたはベクトルの外積は、モジュラスが元のベクトルに垂直な角度の正弦によるモジュラスの積に等しく、それらと一緒に右のトリプルを構成するベクトルです。 この製品は、速度と角速度の関係を考慮すると、最も簡単に導入できます。 1つ目はベクトルです。 ここで、後者もベクトルとして解釈できることを示します。 回転する物体の角速度は次のように決定されます。物体上の任意の点を選択し、この点から回転軸に垂線を描きます。 次に、物体の角速度は、この線が単位時間あたりに回転したラジアンの数です。 角速度がベクトルの場合、数値と方向が必要です。 数値はラジアン/秒で表され、回転軸に沿って方向を選択できます。これは、ボディと一緒に回転するときに右ねじが移動する方向にベクトルを向けることによって決定できます。 固定軸を中心とした物体の回転を考えてみましょう。 この軸をリングの内側に設定し、リングを別のリングの内側に挿入された軸に固定すると、最初のリングの内側のボディを角速度w1で回転させてから、内側のリング（およびボディ）を次の速度で回転させることができます。角速度w2。 図7はその要点を示しています。 円形の矢印は回転方向を示しています。 この物体は、中心がOで半径がrの固体球です。

米。 7. SPHERE CENTERED Oは、リングBC内で角速度w1で回転し、リングBCはリングDE内で角速度w2で回転します。 球は角速度の合計に等しい角速度で回転し、直線POP "上のすべての点は瞬時に静止した状態になります。

この距離は、次の場合はゼロです。

この場合、点Pは瞬時に静止し、同じようにPOP線上のすべての点が動きます。「球の残りの部分は動きます（他の点が移動する円は接触しませんが、接触しません。したがって、POPўは、各瞬間に道路に沿って転がるホイールがその最低点を中心に回転するのと同じように、球の回転軸として瞬間的です。球の角速度はどれくらいですか？簡単にするために、点を選択します。軸w1が表面と交差するA。検討している時点で、時間Dtで距離を移動します。

半径rsinw1の円の周り。 定義上、角速度

この式と関係（1）から、次のようになります。

つまり、上記のように数値を書き留めて角速度の方向を選択すると、これらの量はベクトルとして加算され、そのように見なすことができます。 これで、外積を入力できます。 角速度wで回転する物体を考えてみましょう。 体の任意の点Pと、回転軸上にある座標の原点Oを選択しましょう。 rをOからPに向けられたベクトルとします。点Pは、速度V = w r sin（w、r）で円を描いて移動します。 速度ベクトルVは円に接し、図に示す方向を指します。 八。

クロス積がコンポーネントと単位ベクトルの観点からどのように記述されているかを見てみましょう。 まず、任意のベクトルAに対して、A * A = AA sin 0 = 0です。
したがって、単位ベクトルの場合、i * i = j * j = k * k = 0およびi * j = k、j * k = i、k * i = jです。 それで、

この平等は、行列式として書くこともできます。

A * B = 0の場合、AまたはBのいずれかが0であるか、AとBが同一線上にあります。 したがって、内積の場合のように、ベクトルによる除算はできません。 値A * Bは、辺AとBの平行四辺形の面積に等しくなります。BsinbA、Bcはその高さ、Aはその底辺であるため、簡単に確認できます。 ベクトル積である他の多くの物理量があります。 最も重要なベクトル積の1つは電磁気学の理論に現れ、ポイティングベクトルPと呼ばれます。このベクトルは次のように与えられます。P= E * H、ここでEとHはそれぞれ電場と磁場のベクトルです。 ベクトルPは、任意の時点での1平方メートルあたりのワット数で表したエネルギーの特定の流れと考えることができます。 さらにいくつかの例を示します。半径ベクトルrがr * Fとして定義されている点に作用する座標の原点に対する力のモーメントF（トルク）。 点r、質量m、速度Vにある粒子は、原点に対して角運動量mr * Vを持ちます。 速度Vの磁場Bを介して電荷qを運ぶ粒子に作用する力はqV * Bです。
トリプル作品。 3つのベクトルから、次の三重積を形成できます。ベクトル（A * B）* C; ベクトル（A * B）* C; スカラー（A * B）* C。 最初のタイプは、ベクトルCとスカラーA * Bの積です。 そのような作品についてはすでに話しました。 2番目のタイプは二重ベクトル積と呼ばれます。 ベクトルA * Bは、AとBが存在する平面に垂直であるため、（A * B）* Cは、平面AとBに存在し、Cに垂直なベクトルです。したがって、一般に、（A * B）* CはA *（B * C）と等しくありません。 x、y、z軸に沿った座標（コンポーネント）でA、B、Cを記述し、乗算すると、A *（B * C）= B *（A * C）-C *（A * NS）。 固体物理学で格子を計算するときに発生する3番目のタイプの積は、エッジA、B、Cを持つ平行六面体の体積に数値的に等しくなります。（A * B）* C = A *（B * C） 、スカラーとベクトルの乗算の符号は入れ替えることができ、その部分はしばしば（ABC）と書かれます。 この積は行列式に等しい

3つのベクトルすべてが同じ平面にある場合、またはA = 0または（および）B = 0または（および）C = 0の場合、（A B C）= 0であることに注意してください。
ベクトルの分化
ベクトルUが1つのスカラー変数tの関数であると仮定します。 たとえば、Uは原点から移動点に引かれた半径ベクトルであり、tは時間である可能性があります。 tを少しDt変化させます。これにより、DUによるUの変化につながります。 これを図に示します。 9.比DU / Dtは、DUと同じ方向に向けられたベクトルです。 tに関するUの導関数は次のように定義できます。

そのような制限が存在する場合に限ります。 一方、Uを3つの軸に沿った成分の合計として表し、次のように書くことができます。

Uが半径ベクトルrの場合、dr / dtは点の速度であり、時間の関数として表されます。 再び時間を差別化すると、加速が得られます。 図に示す曲線に沿って点が移動するとします。 10.sを曲線に沿った点が移動した距離とします。 短い時間間隔Dtの間、ポイントは曲線に沿った距離Dsをカバーします。 半径ベクトルの位置がDrに変わります。 したがって、Dr / DsはDrのように方向付けられたベクトルです。 さらに遠く

は曲線に接する単位ベクトルです。 これは、点Qが点Pに近づくと、PQが接線に近づき、DrがDsに近づくという事実からわかります。 積を微分するための式は、スカラー関数の積を微分するための式に似ています。 ただし、外積は反交換的であるため、乗算の順序を維持する必要があります。 したがって、

したがって、ベクトルが1つのスカラー変数の関数である場合、スカラー関数の場合とほぼ同じ方法で導関数を表すことができることがわかります。
ベクトルおよびスカラー場。 勾配。物理学では、特定の領域のポイントごとに異なるベクトルまたはスカラーの量を処理する必要があることがよくあります。 このような領域は「フィールド」と呼ばれます。 たとえば、スカラーは温度または圧力にすることができます。 ベクトルは、移動する流体の速度または電荷系の静電界です。 座標系を選択した場合、指定された領域内の任意の点P（x、y、z）は、ある半径ベクトルr（= xi + yj + zk）に対応し、ベクトル量U（r）またはそれに関連付けられたスカラーf（r）。 Uとfが定義域で一意に定義されていると仮定します。 それらの。 各ポイントは、Uまたはfの唯一の値に対応しますが、もちろん、異なるポイントは異なる値を持つ場合があります。 この領域を移動するときにUとfが変化する速度を説明したいとします。 dU / dxやdf / dyなどの単純な偏導関数は、選択した特定の座標軸に依存するため、適切ではありません。 ただし、座標軸の選択に関係なく、ベクトル微分演算子を導入することは可能です。 この演算子は「勾配」と呼ばれます。 スカラー場fを扱っていると仮定します。 まず、例として国の白地図を考えてみましょう。 この場合、fは海抜です。 等高線は、同じf値を持つ点を接続します。 これらの線のいずれかに沿って移動しても、fは変化しません。 これらの線に垂直に移動すると、fの変化率が最大になります。 各点を、速度fの最大変化の大きさと方向を示すベクトルに関連付けることができます。 そのようなマップとこれらのベクトルのいくつかを図に示します。 11.フィールドの各ポイントに対してこれを行うと、スカラーフィールドfに関連付けられたベクトルフィールドが得られます。 これは、「勾配」fと呼ばれるベクトルのフィールドであり、勾配fまたはCfと記述されます（記号Cは「nabla」とも呼ばれます）。

ここで、ドットは高次の項を示します。 この式は内積として記述できます

この等式の右側と左側をDで除算し、Dをゼロにする傾向を持たせます。 それから

ここで、dr / dsは、選択した方向の単位ベクトルです。 括弧内の式は、選択した点に応じたベクトルです。 したがって、df / dsには最大値があり、dr / dsが同じ方向を指している場合、括弧内の式は勾配です。 したがって、

-大きさが等しく、座標に対するfの最大変化率と方向が一致するベクトル。 勾配fはしばしば次のように書かれます

これは、演算子Cが単独で存在することを意味します。 多くの場合、それはベクトルのように振る舞い、実際には「ベクトル微分演算子」であり、物理学で最も重要な微分演算子の1つです。 Cには単位ベクトルi、j、kが含まれていますが、その物理的意味は選択した座標系に依存しません。 Cfとfの関係は何ですか？ まず、fが任意の点でポテンシャルを決定するとします。 小さな変位Drの場合、fの値は次のように変化します。

qがDrに移動した量（たとえば、質量、電荷）である場合、qをDrに移動することによって実行される作業は次のようになります。

Dr-変位、次にqСf-力; -Cf-fに関連する張力（単位量あたりの力）。 たとえば、Uを静電ポテンシャルとします。 この場合、Eは電界強度であり、式E = -CUで与えられます。 Uは、原点に配置されたqクーロンの点電荷によって生成されると仮定します。 半径ベクトルrの点P（x、y、z）でのU値は、次の式で与えられます。

ここで、e0は自由空間の誘電定数です。 したがって

したがって、Eはr方向に作用し、その値はq /（4pe0r3）になります。 スカラー場がわかれば、関連するベクトル場を決定できます。 逆も可能です。 数学的処理の観点から、スカラー場は1つの座標関数で指定されるため、ベクトル場よりも操作が簡単ですが、ベクトル場には3つの方向のベクトルの成分に対応する3つの関数が必要です。 したがって、疑問が生じます。ベクトル場が与えられた場合、関連するスカラー場を書き留めることができますか？
発散とローター。 Cがスカラー関数に作用する結果を見てきました。 Cがベクトルに適用されるとどうなりますか？ 2つの可能性があります。U（x、y、z）をベクトルとします。 次に、次のようにベクトル積とスカラー積を形成できます。

これらの式の最初のものは、発散U（divUで示される）と呼ばれるスカラーです。 2つ目は、ローターU（rotUで示される）と呼ばれるベクトルです。 これらの微分関数、発散と回転子は、数理物理学で広く使用されています。 Uが何らかのベクトルであり、Uとその1次導関数が特定の領域で連続であると想像してください。 Pを、ボリュームDVの境界となる小さな閉じた表面Sに囲まれたこの領域内の点とします。 nを各点でこの表面に垂直な単位ベクトルとします（nは表面の周りを移動すると方向を変えますが、常に単位長さを持ちます）。 nを外側に向けます。 それを示しましょう

ここで、Sは、これらの積分が表面全体にわたって行われることを示します。daは表面Sの要素です。簡単にするために、辺がDxの小さな平行六面体（図12に示す）の形で便利な形状Sを選択します。 、DyおよびDz; 点Pは平行六面体の中心です。 まず、平行六面体の1つの面に沿って、式（4）から積分を計算しましょう。 前面の場合、n = i（単位ベクトルはx軸に平行です）。 Da = DyDz。 前面からの積分への寄与は

反対側では、n = -i; この顔は積分に貢献します

テイラーの定理を使用して、2つの面から合計の寄与を取得します

DxDyDz = DVであることに注意してください。 同様に、他の2組の面からの寄与を計算できます。 完全な積分は

DV（r）0を置くと、高次の項は消えます。 式（2）によると、括弧内の式はdivUであり、これは等しいことを証明します（4）。 等式（5）も同様に証明できます。 もう一度イチジクを使いましょう。 12; その場合、前面から積分への寄与は次のようになります。

そして、テイラーの定理を使用すると、2つの面からの積分への合計の寄与は次の形式であることがわかります。

それらの。 これらは、式（3）のrotUの式からの2つの項です。 他の4つの用語は、他の4つの面からの寄与を考慮した後に取得されます。 本質的に、これらの比率はどういう意味ですか？ 平等を考慮してください（4）。 Uが（たとえば液体の）速度であると仮定します。 次に、nЧUda= Un da​​です。ここで、Unは、表面に対するベクトルUの法線成分です。 したがって、Un da​​は、単位時間あたりにdaを流れる液体の量であり、単位時間あたりにSを流れる液体の量です。 その結果、

点Pの周りの体積の単位の膨張率。したがって、発散はその名前が付けられました。 流体がPから膨張する（つまり、Pから発散する）速度を示します。ローターUの物理的意味を説明するために、点Pを囲む高さhの小さな円筒形の体積上の別の面積分を考えます。 平面に平行なサーフェスは、選択した任意の方向に向けることができます。 kを各表面に垂直な単位ベクトルとし、各表面の面積をDAとします。 次に、総体積DV = hDA（図13）。 今、積分を考えてください

ベクトル..。 行動以上ベクトル。 スカラー、

VECTOR、VECTORの混合製品。

1.ベクトル、ベクトルに対するアクション。

基本的な定義。

定義1。選択した単位系での数値によって完全に特徴付けられる量は、と呼ばれます。 スカラーまた スカラー .

（体重、体積、時間など）

定義2。数値と方向によって特徴付けられる量はと呼ばれます ベクター また ベクター .

（変位、強度、速度など）

指定：、または、。

幾何学的ベクトルは方向線です。

ベクトルの場合-点 しかし- 出発地点 NS-ベクトルの終わり。

定義3。モジュール ベクトルはセグメントABの長さです。

定義4。モジュラスがゼロに等しいベクトルはと呼ばれます 零 , で示されます。

定義5。平行線または1本の線上にあるベクトルはと呼ばれます 共線 ..。 2つの同一線上のベクトルが同じ方向を持っている場合、それらは呼び出されます 共同監督 .

定義6。 2つのベクトルが考慮されます 同等 、 もし彼らが 共同監督 とは絶対値が等しい。

ベクトルに対するアクション。

1）ベクトルの追加。

Def。 6.6。合計 2つのベクトルであり、これらのベクトルに基づいて構築された平行四辺形の対角線であり、アプリケーションの共通点から始まります。 （平行四辺形の法則）.

図1。

Def。 7。 3つのベクトルの合計は、これらのベクトル上に構築された平行六面体の対角線と呼ばれます。 （ボックスルール）。

Def。 八。もしも しかし, NS, と 任意の点である場合、+ = （三角形のルール）.

図2

加法の性質。

1 O . + = + （転置法）。

2 O . +（+）=（+）+ =（+）+（組み合わせの法則）。

3 O . + (– ) + .

2）ベクトルの減算。

Def。 九。下 違い ベクトルとベクトルを理解する = -そのような+ = .

平行四辺形では、これは別のものです 対角線 SD（図1を参照）。

3）ベクトルに数値を掛けます。

Def。 10.10。 副産物 スカラーあたりのベクトル k ベクトルと呼ばれます

= k = k ,

長いです ka , そしてその方向：

1.ベクトルの方向と一致する場合 k > 0;

2.ベクトルの方向と反対の場合 k < 0;

3.任意の場合 k = 0.

ベクトルに数値を掛ける性質。

1 O . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

ベクトルプロパティ。

Def。 十一。 2つのベクトルと呼ばれます 共線 それらがにある場合 平行線または 1本の直線。

ヌルベクトルは、任意のベクトルと同一線上にあります。

定理1。 2つの非ゼロベクトルと 共線、 それらが比例している場合、つまり

= k , k スカラーです。

Def。 12.12。 3つのベクトル、、はと呼ばれます コプレーナ それらがいくつかの平面に平行であるか、その中にある場合。

定理2。 3つの非ゼロベクトル、、 共面、 それらの1つが他の2つの線形結合である場合、つまり

= k + l , k , l -スカラー。

ベクトルの軸への射影。

定理3。軸へのベクトルの射影（有向直線） lベクトルの長さと、ベクトルの方向と軸の方向の間の角度の余弦の積に等しくなります。 = NS  NS os  ,  = ( , l).

2.ベクトル座標

Def。 13.13。座標軸上のベクトル投影 おー, OU, Оzと呼ばれる ベクトル座標。 指定： NS NS , NS y , NS z .

ベクトルの長さ：

例：ベクトルの長さを計算します。

解決：

ポイント間の距離 と 次の式で計算されます。 .

例：点M（2,3、-1）とK（4,5,2）の間の距離を求めます。

座標形式のベクトルに対するアクション。

与えられたベクトル= NS NS , NS y , NS zおよび= NS NS , NS y , NS z .

1. (  )= NS NS  NS NS , NS y  NS y , NS z  NS z .

2.  =   NS NS ,  NS y ,  NS z、ここで  スカラーです。

ベクトルの内積。

意味： 2つのベクトルの内積の下で

これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しい数として理解されます。 = , ベクトルとの間の角度です。

ドット積のプロパティ:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. 、ここで、はスカラーです。

6. 2つのベクトルは、次の場合に垂直（直交）です。 .

7.if and only if .

座標形式の内積は次のとおりです。 , どこと .

例：ベクトルの内積を見つけて

解決：

ベクトルを保持するベクトル。

意味：2つのベクトルの外積は、次のようなベクトルとして理解されます。

モジュラスは、これらのベクトル上に構築された平行四辺形の面積に等しくなります。 、ここで、ベクトルとの間の角度

このベクトルは、乗算されるベクトルに垂直です。

ベクトルが同一線上にない場合、それらはベクトルの正しいトリプレットを形成します。

ベクトル積のプロパティ:

（1）因子の順序が変更されると、ベクトル積はその符号を反対に変更し、モジュラスを維持します。

2 ベクトルの二乗はゼロベクトルに等しい、つまり

3 スカラー係数は、ベクトル積の符号の外側に移動できます。

4 。任意の3つのベクトルについて、等式

5 2つのベクトルの共線性のための必要十分条件と：

座標形式のベクトル積。

ベクトルの座標と , 次に、それらの外積は次の式で求められます。

.

次に、ベクトル積の定義から、平行四辺形の面積はベクトル上に構築され、次の式で計算されます：

例：頂点（1; -1; 2）、（5; -6; 2）、（1; 3; -1）を持つ三角形の面積を計算します。

解決： .

次に、三角形ABCの​​面積は次のように計算されます：

,

ベクトルの混合積。

意味：ベクトルの混合（ベクトル-スカラー）積は、次の式によって決定される数です。 .

混合作業プロパティ：

1. 混合積は、その因子の巡回置換の下では変化しません。 .

2. 2つの隣接する因子が並べ替えられると、混合積はその符号を反対に変更します。 ..。

3 3つのベクトルの共面性のための必要十分条件 : =0.

4 3つのベクトルの混合積は、これらのベクトル上に構築された平行六面体の体積に等しく、これらのベクトルが右トリプレットを形成する場合はプラス記号で、左トリプレットを形成する場合はマイナス記号で取得されます。 .

もし知ってたら 座標ベクトル , 次に、混合作業は次の式で求められます。

例：ベクトルの混合積を計算します。

解決：

3.ベクトルシステムの基礎。

意味。ベクトルのシステムは、同じ空間に属する複数のベクトルとして理解されます NS.

コメント。システムが有限数のベクトルで構成されている場合、それらは異なるインデックスを持つ同じ文字で示されます。

例。

意味。 次の形式の任意のベクトル= ベクトルの線形結合と呼ばれます。 数値は線形結合の係数です。

例。 .

意味..。 ベクトルがベクトルの線形結合である場合 , その場合、ベクトルはベクトルに関して線形に表現されると言われます .

意味。ベクトルシステムはと呼ばれます 線形独立システムのどのベクトルも、残りのベクトルの線形結合のようになり得ない場合。 それ以外の場合、システムは線形従属と呼ばれます。

例..。 ベクトルシステム ベクトルなので線形従属 .

根拠の決定。ベクトルのシステムは、次の場合に基礎を形成します。

1）線形独立であり、

2）空間のベクトルはそれを通して線形に表現されます。

例1。スペースベース：。

2. ベクトルのシステムで ベクトルが基本です： ベクトルで線形に表されます。

コメント。特定のベクトルシステムの基礎を見つけるには、次のことを行う必要があります。

1）ベクトルの座標を行列に書き込みます。

2) 基本変換を使用して行列を三角形に変換し、

3) 行列のゼロ以外の行がシステムの基礎になります。

4) 基底のベクトルの数は、行列のランクと同じです。

ベクトルのような概念は、ほとんどすべての自然科学で考慮されており、まったく異なる意味を持つ可能性があるため、すべての領域でベクトルを明確に定義することは不可能です。 しかし、それを理解してみましょう。 それで、ベクトル-それは何ですか？

古典的な幾何学のベクトルの概念

ジオメトリ内のベクトルは、そのポイントのどれが開始でどれが終了であるかが示されるセグメントです。 つまり、簡単に言うと、ベクトルは有向セグメントです。

したがって、ベクトルは、セグメントのように（上記で説明したように）示されます。つまり、ラテンアルファベットの2つの大文字に、右上を指す線または矢印が追加されます。 ラテンアルファベットの小文字（小文字）と線または矢印で署名することもできます。 矢印は常に右を向いており、ベクトルの位置によって変化することはありません。

したがって、ベクトルには方向と長さがあります。

ベクトル指定には、その方向も含まれます。 これは下図のように表されます。

方向を変更すると、ベクトルの値が逆になります。

ベクトルの長さは、ベクトルが形成されるセグメントの長さです。 ベクトルの加群として指定されています。 これを下図に示します。

したがって、ベクトルはゼロであり、その長さはゼロです。 このことから、ゼロベクトルは点であり、開始点と終了点はその中で一致します。

ベクトルの長さ-値は常に負ではありません。 言い換えれば、セグメントがある場合、それは必然的に特定の長さを持っているか、点であり、その長さはゼロです。

ポイントの概念そのものが基本であり、定義はありません。

ベクトルの追加

加算を実行するために使用できるベクトルには、特別な式と規則があります。

三角形のルール。 この規則に従ってベクトルを追加するには、平行移動を使用して最初のベクトルの終わりと2番目のベクトルの始まりを組み合わせ、それらを接続するだけで十分です。 結果の3番目のベクトルは、他の2つのベクトルの加算と等しくなります。

平行四辺形のルール。 このルールに従って追加するには、1つのポイントから両方のベクトルを描画してから、それぞれの端から別のベクトルを描画する必要があります。 つまり、2番目は最初のベクトルから描画され、最初のベクトルは2番目のベクトルから描画されます。 結果は、新しい交点と平行四辺形です。 ベクトルの始点と終点の交点を組み合わせると、結果のベクトルは加算の結果になります。

減算も同様の方法で可能です。

差分ベクトル

ベクトルの加算と同様に、それらの減算を実行することが可能です。 これは、下の図に示す原理に基づいています。

つまり、減算するベクトルをその反対のベクトルとして表現し、加算の原理に従って計算するだけで十分です。

また、絶対にゼロ以外のベクトルには任意の数kを掛けることができます。これにより、その長さがk回変更されます。

これらに加えて、他のベクトル式があります（たとえば、ベクトルの長さを座標で表すため）。

ポジショニングベクトル

確かに、多くの人が共線ベクトルのような概念に出くわしました。 共線性とは何ですか？

ベクトルの共線性は、直線の平行性と同等です。 2つのベクトルが互いに平行な直線上、または1つの直線上にある場合、そのようなベクトルは同一線上と呼ばれます。

方向。 相互の同一線上のベクトルは、同方向または反対方向にすることができます。これは、ベクトルの方向によって決定されます。 したがって、ベクトルが別のベクトルと同じ方向に向けられている場合、その反対側のベクトルは反対方向に向けられます。

最初の図は、2つの反対方向のベクトルと、それらと同一線上にない3番目のベクトルを示しています。

上記のプロパティの導入後、等しいベクトルを定義することができます。これらは、一方向に向けられ、それらが形成されるセグメントの長さが同じであるベクトルです。

多くの科学では、半径ベクトルの概念も使用されます。 このようなベクトルは、別の固定点（多くの場合、これが原点）に対する平面上の1つの点の位置を表します。

物理学のベクトル

問題を解決するときに、体が3 m / sの速度で移動するという条件が発生したとします。 これは、ボディが1つの直線に沿って特定の方向に移動することを意味するため、この変数はベクトル値になります。 考慮事項に応じて、速度は3 m / sと-3m / sの両方に等しくなる可能性があるため、ソリューションでは、値と方向の両方を知ることが重要です。

一般に、物理学のベクトルは、物体に作用する力の方向を示し、結果を決定するために使用されます。

これらの力が図に示されている場合、それらはその上にベクトルの署名が付いた矢印で示されています。 古典的には、矢印の長さも同様に重要であり、矢印の助けを借りて、どの力がより強く作用するかを示しますが、このプロパティは二次的なものであるため、信頼しないでください。

線形代数と数学的分析におけるベクトル

線形空間の要素はベクトルとも呼ばれますが、この場合、それらはいくつかの要素を説明する順序付けられた数のシステムです。 したがって、この場合の方向はもはや重要ではありません。 初等幾何学と数学的分析におけるベクトルの定義は大きく異なります。

ベクトルの射影

投影されたベクトル-それは何ですか？

多くの場合、正確で便利な計算を行うには、座標軸に沿って2次元または3次元空間にあるベクトルを分解する必要があります。 この操作は、たとえば、物体に作用する力を計算する際の力学で必要です。 ベクトルは物理学で非常に頻繁に使用されます。

投影を実行するには、ベクトルの始点と終点から各座標軸に垂線をドロップするだけで十分です。それらで取得されたセグメントは、軸へのベクトルの投影と呼ばれます。

射影の長さを計算するには、その初期の長さに、ミニ問題を解くときに得られる特定の三角関数を掛けるだけで十分です。 実際、斜辺が元のベクトルであり、一方の脚が投影であり、もう一方の脚が垂線である直角三角形があります。

意味 順序付けられたコレクション（x 1、x 2、...、x n）n個の実数は n次元ベクトル、および数x i（i = 1、...、n）は コンポーネント、また 座標、

例。 たとえば、ある自動車工場が1シフトあたり50台の自動車、100台のトラック、10台のバス、50セットの自動車用スペアパーツ、150セットのトラックとバスを生産する必要がある場合、この工場の生産プログラムは次のように記述できます。 5つのコンポーネントを持つベクトル（50、100、10、50、150）。

表記。 ベクトルは、太字の小文字、または上部にバーまたは矢印が付いた文字で示されます。たとえば、 NSまた 。 2つのベクトルは呼ばれます 同等それらが同じ数のコンポーネントを持ち、対応するコンポーネントが等しい場合。

ベクトルコンポーネントを交換することはできません。たとえば、（3、2、5、0、1）と（2、3、5、0、1）は異なるベクトルです。
ベクトルの操作。副産物NS=（x 1、x 2、...、x n）実数λによるベクトルλと呼ばれます NS=（λx1、λx2、...、λxn）。

合計NS=（x 1、x 2、...、x n）および y=（y 1、y 2、...、y n）はベクトルと呼ばれます x + y=（x 1 + y 1、x 2 + y 2、...、x n + + y n）。

ベクトルの空間。 NS-次元ベクトル空間 NS nは、実数の乗算と加算の演算が定義されているすべてのn次元ベクトルのセットとして定義されます。

経済的なイラスト。 n次元ベクトル空間の経済的な図解： 商品のスペース (品）。 下 商品特定の場所で特定の時間に販売された商品やサービスを理解します。 手元にあるアイテムの数が有限であると仮定します。 消費者が購入したそれぞれの数量は、一連の商品によって特徴付けられます

NS=（x 1、x 2、...、x n）、

ここで、x iは、消費者が購入したi番目の商品の量を示します。 すべての商品は任意の分割可能性を持っていると想定し、それぞれの負でない金額を購入できるようにします。 その場合、考えられるすべての商品のセットは、商品の空間のベクトルC =（ NS=（x 1、x 2、...、x n）xi≥0、i = 1、...、n）。

線形独立。 システム e 1 , e 2 , ... , e mn次元ベクトルはと呼ばれます 線形従属数λ1、λ2、...、λmがあり、それらの少なくとも1つが非ゼロでλ1である場合 e 1 +λm e m = 0; それ以外の場合、このベクトルのシステムは 線形独立つまり、示された等式は、すべてのλ1=λ2= ... =λm= 0の場合にのみ可能です。 のベクトルの線形依存性の幾何平均 NS 3、有向セグメントとして解釈され、次の定理を説明します。

定理1。 1つのベクトルで構成されるシステムは、このベクトルがゼロの場合にのみ線形従属です。

定理2。 2つのベクトルが線形従属であるためには、それらが同一線上（平行）であることが必要かつ十分です。

定理3 ..。 3つのベクトルが線形従属であるためには、それらが同一平面上にある（同じ平面にある）ことが必要かつ十分です。

ベクトルの左右のトリプレット。 3つの非共面ベクトル a、b、cと呼ばれる 右共通の原点からのオブザーバーがベクトルの端を横断する場合 a、b、c示されている順序では、時計回りに表示されます。 さもないと a、b、c -左トリプル..。 ベクトルのすべての右（または左）トリプレットは呼び出されます 同様に 指向。

基礎と座標。 トロイカ e 1, e 2 , eの3つの非共面ベクトル NS 3は呼ばれます 基礎とベクトル自体 e 1, e 2 , e 3 - 基本..。 任意のベクトル NS基底ベクトルの観点から一意に拡張できます。つまり、次の形式で表すことができます。

しかし= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

展開（1.1）の数x 1、x 2、x3はと呼ばれます 座標NSに基づいて e 1, e 2 , e 3と表示 NS（x 1、x 2、x 3）。

正規直交基底。 ベクトルの場合 e 1, e 2 , e 3はペアワイズ垂直であり、それぞれの長さが1に等しい場合、基底はと呼ばれます。 正規直交、および座標x 1、x 2、x 3- 長方形。正規直交基底の基底ベクトルは、次のように表されます。 i、j、k。

宇宙では NS 3デカルト直交座標の正しいシステムが選択されます（0、 i、j、k}.

ベクトル積。ベクトル積しかしベクトルごと NSベクトルと呼ばれます NS、これは次の3つの条件によって決定されます。

1.ベクトルの長さ NSベクトル上に構築された平行四辺形の面積に数値的に等しい NSと NS、 NS。
NS= | a || b |罪（ NS^NS).

2.ベクトル NS各ベクトルに垂直 NSと NS。

3.ベクトル NS、 NSと NS示された順序で取られて、右側のトリプルを形成します。

ベクトル積の場合 NS表記が導入されました c =[ab] また
c = a × NS。

ベクトルの場合 NSと NS共線、次に罪（ a ^ b）= 0および[ ab] = 0、特に[ aa] = 0。単位ベクトルのベクトル積：[ ij]=k、 [jk] = NS, [気]=NS.

ベクトルの場合 NSと NSに基づいて与えられる i、j、k座標 NS（a 1、a 2、a 3）、 NS（b 1、b 2、b 3）、次に

混合作業。 2つのベクトルの外積の場合 しかしと NSスカラーに3番目のベクトルを掛けたもの NS、次に、そのような3つのベクトルの積はと呼ばれます 混合作業記号で示されます NS bc。

ベクトルの場合 a、bと NSに基づいて i、j、k彼らの座標によって与えられる
NS（a 1、a 2、a 3）、 NS（b 1、b 2、b 3）、 NS（c 1、c 2、c 3）、次に

.

混合積は単純な幾何学的解釈を持っています-それは絶対値がこれらの3つのベクトル上に構築された平行六面体の体積に等しいスカラーです。

ベクトルが右側の三重積を形成する場合、それらの混合積は、示された体積に等しい正の数です。 3つの場合 a、b、c-左、そして a b c<0 и V = - a b cしたがって、V = | a b c |.

最初の章の問題で遭遇したベクトルの座標は、右正規直交基底を基準にして与えられると想定されています。 ベクトルと同方向の単位ベクトル しかし、記号で示されます しかし O。 シンボル NS=OM点Mの半径ベクトルは、記号a、AB、または | a |, |AB |ベクトルのモジュール しかしと AB。

例 1.2. ベクトル間の角度を見つける NS= 2NS+4NSと NS= m-n、 どこ NSと NS -単位ベクトルと間の角度 NSと NS 120pに等しい。

解決..。 cosφ= ab/ ab、 ab =(2NS+4NS) (m-n) = 2NS 2 - 4NS 2 +2mn=
= 2-4 + 2cos120 o = -2 + 2（-0.5）= -3; a = ; NS 2 = (2NS+4NS) (2NS+4NS) =
= 4NS 2 +16mn+16NS 2 = 4 + 16（-0.5）+ 16 = 12、つまりa =。 b = ; NS 2 =
=（m-n)(m-n) = NS 2 -2mn+NS 2 = 1-2（-0.5）+1 = 3、つまりb =。 最後に、cosφ== -1 / 2、φ= 120oがあります。

例1.3。ベクトルを知る AB（-3、-2.6）および 紀元前（-2,4,4）、三角形ABCの​​高さADの長さを計算します。

解決..。 三角形ABCからSまでの領域を示すと、次のようになります。
S =紀元前1/2年、AD。 次に、AD = 2S / BC、BC = = = 6,
S = 1/2 | AB×AC |. AC = AB + BC、だからベクトル 交流座標があります
.