このレッスンでは、さらに2つのベクトル演算について説明します。 ベクトルのベクトル積と ベクトルの混合積 （すぐにリンク、それを必要とする人）..。 それは大丈夫です、それに加えて、完全な幸福のために時々起こることがあります ベクトルの内積、それはますますかかります。 これがベクトル依存症です。 解析幾何学のジャングルに入っているような印象を受けるかもしれません。 これは間違っています。 高等数学のこのセクションでは、ブラティーノに十分な量があることを除いて、一般的に十分な薪はありません。 実際、資料は非常に一般的で単純です-同じものよりも複雑になることはほとんどありません スカラー積、一般的なタスクでさえ小さくなります。 多くの人が納得している、またはすでに納得しているので、解析幾何学の主なことは、計算を間違えないことです。 呪文として繰り返すと、あなたは幸せになります=）

地平線上の稲妻のように、ベクトルが遠くのどこかで輝く場合は、問題ではありません。レッスンから始めてください。 ダミーのためのベクトルベクトルの基本的な知識を回復または回復するため。 より準備された読者は選択的に情報に精通することができます、私は実際の仕事でしばしば見られる例の最も完全なコレクションを集めようとしました

すぐにあなたを喜ばせる方法は？ 私は小さい頃、2つまたは3つのボールでジャグリングする方法を知っていました。 器用にそれが判明しました。 これで、検討するので、ジャグリングする必要はまったくありません。 空間ベクトルのみ、および2つの座標を持つ平面ベクトルは省略されます。 どうして？ これがこれらのアクションが生まれた方法です。ベクトルとベクトルの混合積が定義され、3次元空間で機能します。 もう簡単です！

この操作には、内積の場合と同じように、次の操作が含まれます。 2つのベクトル..。 これらを不滅の手紙にしましょう。

アクション自体 表示次のように：。 他のオプションもありますが、私はそのようなベクトルのベクトル積を、角かっこで囲んで示していました。

そしてすぐに 質問：もし ベクトルの内積 2つのベクトルが関係しており、ここでも2つのベクトルが乗算されます。 違いはなんですか？ 明らかな違いは、まず第一に、結果にあります。

ベクトルの内積の結果はNUMBERです。

ベクトルの外積はVECTORになります：つまり、ベクトルを乗算して、再びベクトルを取得します。 閉鎖されたクラブ。 実際には、したがって、操作の名前。 さまざまな教育文献では、指定も異なる場合があります。私は文字を使用します。

外積の定義

最初に写真付きの定義があり、次にコメントがあります。

意味：ベクトル積による 非共線ベクトル、 この順番で撮影、VECTORと呼ばれ、 長さこれは数値的に 平行四辺形の面積に等しいこれらのベクトルに基づいて構築されています。 ベクター ベクトルに直交、および基礎が正しい方向になるように指示されます。

骨による定義を分析しますが、面白いことがたくさんあります！

したがって、次の重要なポイントを強調することができます。

1）定義上、赤い矢印で示されている元のベクトル 同一線上にない..。 少し後で共線ベクトルの場合を検討するのが適切でしょう。

2）ベクトルが取得されます 厳密に定義された順序で: – 「A」に「bh」を掛けます、「bae」から「a」ではありません。 ベクトル乗算の結果青でマークされているVECTORです。 ベクトルを逆の順序で乗算すると、長さが等しく、方向が反対のベクトル（深紅色）が得られます。 つまり、平等は真実です .

3）次に、ベクトル積の幾何平均について理解しましょう。 これは非常に重要なポイントです！ 青いベクトル（したがって、深紅色のベクトル）の長さは、ベクトル上に構築された平行四辺形の面積に数値的に等しくなります。 この図では、この平行四辺形は黒で網掛けされています。

ノート ：図面は概略図であり、もちろん、外積の公称長さは平行四辺形の面積と等しくありません。

幾何学的公式の1つを思い出します。 平行四辺形の面積は、隣接する辺とそれらの間の角度の正弦の積に等しくなります..。 したがって、上記に基づいて、ベクトル積の長さを計算するための式は有効です。

式では、ベクトル自体ではなく、ベクトルの長さについて話していることを強調します。 実用的なポイントは何ですか？ そしてその意味は、解析幾何学の問題では、平行四辺形の領域がベクトル積の概念を通して見つかることが多いということです：

2番目の重要な式を取得しましょう。 平行四辺形の対角線（赤い点線）は、平行四辺形を2つの等しい三角形に分割します。 したがって、ベクトル（赤い陰影）上に構築された三角形の領域は、次の式で見つけることができます：

4）同様に重要な事実は、ベクトルがベクトルに直交していることです。 ..。 もちろん、反対方向のベクトル（深紅色の矢印）も元のベクトルに直交します。

5）ベクトルは次のように方向付けられます 基礎それは持っています 右オリエンテーション。 についてのレッスンで 新しい基盤への移行私はについて十分に詳細に話しました 平面方向、そして今、私たちは空間の方向が何であるかを理解します。 私はあなたの指で説明します 右手 ..。 精神的に組み合わせる 人差し指ベクトルと 中指ベクトル付き。 薬指と小指手のひらに押し付けます。 結果として 親指 -外積が検索されます。 これは正しい方向の基礎です（図ではそれです）。 次に、ベクトルを変更します（ インデックスと 中指 ）場所によっては、その結果、親指が展開し、外積はすでに見下ろします。 これもまた、権利志向の基盤です。 おそらくあなたは質問があります：左向きの根拠は何ですか？ 同じ指に「割り当てる」 左手ベクトル、および空間の左基底と左方向を取得します （この場合、親指は下のベクトルの方向に配置されます）..。 比喩的に言えば、これらのベースは、空間をさまざまな方向に「ねじる」または方向付けます。 そして、この概念は、遠大なものや抽象的なものと見なされるべきではありません。たとえば、空間の向きは、最も一般的な鏡によって変更されます。「反射したオブジェクトをガラスから引き抜く」と、一般的にはそうなります。 「オリジナル」と組み合わせることはできません。 ちなみに、鏡に3本の指を持ってきて、反射を分析してください;-)

...あなたが今知っていることはどれほど良いことですか 右向きと左向き向きの変化についての一部の講師の発言がひどいので、ベース=）

共線ベクトルの外積

定義は詳細に分析されており、ベクトルが同一線上にあるときに何が起こるかを見つけることは残っています。 ベクトルが同一線上にある場合、それらは1つの直線上に配置でき、平行四辺形も1つの直線に「折りたたまれ」ます。 数学者が言うように、そのような分野は、 退化平行四辺形はゼロです。 同じことが式からも得られます-ゼロまたは180度の正弦はゼロに等しく、これは面積がゼロであることを意味します。

したがって、の場合、 と ..。 外積自体はゼロベクトルに等しいことに注意してください。しかし実際には、これはしばしば無視され、ゼロにも等しいと書かれています。

特殊なケースは、ベクトル自体のベクトル積です。

外積を使用すると、3次元ベクトルの共線性を確認できます。また、この問題なども分析します。

ソリューションの場合 実例必要かもしれない 三角関数表それから正弦値を見つけます。

さて、火を燃やしましょう：

例1

a）次の場合、ベクトルのベクトル積の長さを求めます。

b）次の場合にベクトル上に構築された平行四辺形の領域を見つけます

解決：いいえ、これはタイプミスではありません。条件の句の初期データを意図的に同じにしました。 ソリューションのデザインが異なるためです！

a）条件により、以下を見つける必要があります 長さベクトル（ベクトル積）。 対応する式によると：

答え:

長さについて質問されたので、答えでは寸法を示します-単位。

b）条件により、以下を見つける必要があります 平方ベクトル上に構築された平行四辺形。 この平行四辺形の面積は、ベクトル積の長さに数値的に等しくなります：

答え:

ベクトル積についての回答では、まったく質問がないことに注意してください。 フィギュアエリア、それぞれ、寸法は正方形の単位です。

私たちは常に条件によって何を見つける必要があるかを見て、これに基づいて定式化します 晴れ答え。 聖書主義のように思えるかもしれませんが、教師の中には十分な聖書主義者がいて、チャンスのある仕事は修正のために戻ってきます。 これは特にきついしつこいことではありませんが、答えが正しくない場合、その人は単純なことを理解していない、および/またはタスクの本質を理解していないようです。 この瞬間は常に管理下に置かれ、高等数学や他の科目の問題を解決する必要があります。

大きな文字「en」はどこに行きましたか？ 原則として、ソリューションに追加で貼り付けることもできますが、録音を短くするために、これは行いませんでした。 皆さんがそれを理解し、同じことの呼称であることを願っています。

日曜大工のソリューションの一般的な例：

例2

次の場合、ベクトル上に構築された三角形の領域を見つけます

外積を通して三角形の面積を見つけるための式は、定義へのコメントに記載されています。 レッスンの最後に解決策と回答をします。

実際には、このタスクは非常に一般的であり、三角形は一般的にあなたを苦しめる可能性があります。

他の問題を解決するには、次のものが必要です。

ベクトル積のプロパティ

クロス積のいくつかのプロパティについてはすでに検討しましたが、このリストに含めます。

任意のベクトルと任意の数の場合、次のプロパティが有効です。

1）他の情報源では、この項目は通常、プロパティで強調表示されていませんが、実用的には非常に重要です。 だからそれをしましょう。

2) -プロパティも上で説明されています、時々それは呼ばれます 反交換性..。 言い換えれば、ベクトルの順序が重要です。

3）-組み合わせまたは 連想ベクトル積の法則。 定数は、ベクトル積からシームレスに取り出されます。 確かに、彼らはそこで何をすべきでしょうか？

4）-配布または 分配法則ベクトル積の法則。 ブラケットの拡張にも問題はありません。

デモンストレーションとして、短い例を考えてみましょう。

例3

かどうかを調べる

解決：条件に応じて、外積の長さを見つける必要があります。 サムネイルを書いてみましょう：

（1）結合法則に従って、定数をベクトル積の除算の外側に移動します。

（2）モジュールがマイナス記号を「食べる」間、定数をモジュールから移動します。 長さを負にすることはできません。

（3）以下は明らかです。

答え:

火に木を置く時が来ました：

例4

次の場合、ベクトル上に構築された三角形の面積を計算します

解決：三角形の面積は次の式で求められます ..。 キャッチは、ベクトル「tse」と「de」自体がベクトルの合計として表されることです。 ここでのアルゴリズムは標準であり、レッスンの例3と4をいくらか思い出させます。 ベクトルの内積..。 わかりやすくするために、ソリューションを3つの段階に分けてみましょう。

1）最初のステップでは、ベクトル積をベクトル積で表現します。実際には、 ベクトルの観点からベクトルを表現する..。 長さについてはまだ一言もありません！

（1）ベクトル式を代入します。

（2）分配法則を使用して、多項式の乗法則に従って括弧を拡張します。

（3）結合法則を使用して、すべての定数をベクトル積の外に移動します。 少しの経験で、アクション2と3を同時に実行できます。

（4）快適な特性のため、最初と最後の項はゼロ（ゼロベクトル）に等しくなります。 第2項では、ベクトル積の反交換性プロパティを使用します。

（5）同様の用語を提示します。

その結果、ベクトルはベクトルで表されました。これは、達成するために必要なものでした。

2）2番目のステップで、必要なベクトル積の長さを見つけます。 このアクションは例3に似ています。

3）必要な三角形の領域を見つけます：

ステージ2〜3の決定は1行で完了することができます。

答え:

考慮される問題は、テストペーパーでは非常に一般的です。これは、独立したソリューションの例です。

例5

かどうかを調べる

チュートリアルの最後にある簡単な解決策と回答。 前の例を研究するときにあなたがどれほど注意していたか見てみましょう;-)

座標内のベクトルの外積

式は本当に単純です。行列式の一番上の行に座標ベクトルを記述し、2行目と3行目にベクトルの座標を「入力」し、次のように入力します。 厳密な順序で-最初にベクトル「ve」の座標、次にベクトル「double-ve」の座標。 ベクトルを別の順序で乗算する必要がある場合は、行を交換する必要があります。

例10

次の空間ベクトルが同一線上にあるかどうかを確認します。
しかし）
NS）

解決：チェックは、このレッスンのステートメントの1つに基づいています。ベクトルが同一線上にある場合、それらの外積はゼロ（ゼロベクトル）に等しくなります。 .

a）外積を見つける：

したがって、ベクトルは同一線上にありません。

b）外積を見つけます：

答え：a）同一線上にない、b）

ここに、おそらく、ベクトルのベクトル積に関するすべての基本情報があります。

ベクトルの混合積が使用されるタスクは多くないため、このセクションはそれほど大きくありません。 実際、すべてが定義に基づいています、 幾何平均といくつかの作業式。

ベクトルの混合積は、3つのベクトルの積です。:

それで彼らは小さな電車に並んで待っていました、彼らは理解されるのを待つことができません。

まず、定義と図をもう一度示します。

意味：混合作業 非共面ベクトル、 この順番で撮影と呼ばれる 平行六面体の体積、指定されたベクトルに基づいて構築され、基底が正しい場合は「+」記号が、基底が左の場合は「-」記号が付けられます。

図面を完成させましょう。 私たちには見えない線は点線で描かれています：

定義を詳しく見ていきましょう。

2）ベクトルが取得されます 特定の順序でつまり、ご想像のとおり、製品内のベクトルの順列は、結果なしでは通過しません。

3）幾何平均についてコメントする前に、明らかな事実に注意します。 ベクトルの混合積はNUMBERです：。 教育文学では、デザインが多少異なる場合があります。私は混合作業を表すために使用され、計算結果は文字「pe」で示されます。

定義により 混合積は平行六面体の体積ですベクトルに基づいて構築されています（図は赤いベクトルと黒い線で描かれています）。 つまり、その数はこの平行六面体の体積に等しくなります。

ノート ：図面は概略図です。

4）基礎と空間の向きの概念で再び汗をかかないようにしましょう。 最後の部分の意味は、マイナス記号をボリュームに追加できるということです。 簡単に言えば、混合作業は否定的である可能性があります。

ベクトル上に構築された平行六面体の体積を計算するための式は、定義から直接得られます。