二次方程式を考えてみましょう。
(1) .
二次根（1）は次の式で決定されます。
; .
これらの数式は、次のように組み合わせることができます。
.
二次方程式の根がわかっている場合、2次多項式は因子の積（因数分解）として表すことができます。
.

さらに、それは実数であると仮定します。
検討 二次判別式:
.
判別式が正の場合、2次方程式（1）には2つの異なる実根があります。
; .
次に、二乗三項式の因数分解は次のとおりです。
.
判別式がゼロの場合、2次方程式（1）には2つの複数の（等しい）実根があります。
.
因数分解：
.
判別式が負の場合、2次方程式（1）には2つの複素共役根があります。
;
.
これが虚数単位です。
および-根の実数部と虚数部：
; .
それで

.

グラフィックの解釈

関数をプロットする場合
,
これが放物線である場合、グラフと軸の交点が方程式の根になります
.
の場合、グラフは2点で横軸（軸）と交差します。
の場合、グラフは一点で横軸に接触します。
の場合、グラフは横軸と交差しません。

以下はそのようなグラフの例です。

便利な二次方程式

（f.1） ;
（f.2） ;
（f.3） .

二次方程式の根の公式の導出

変換を実行し、式（f.1）および（f.3）を適用します。




,
どこ
; .

したがって、次の形式で2次多項式の式を取得します。
.
したがって、方程式は次のようになります。

で実行
と 。
つまり、それらは二次方程式の根です
.

二次方程式の根を決定する例

例1

(1.1) .

.
式（1.1）と比較すると、係数の値がわかります：
.
判別式を見つけます：
.
判別式は正であるため、方程式には2つの実根があります。
;
;
.

これから、二乗三項式の因数分解を取得します。

.

関数グラフy = 2 x 2 + 7 x + 3 2点で横軸と交差します。

関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線です。 横軸（軸）と2点で交差します。
と 。
これらの点は、元の方程式（1.1）の根です。

;
;
.

例2

二次方程式の根を見つけます。
(2.1) .

二次方程式を一般的な形式で書いてみましょう。
.
元の式（2.1）と比較すると、係数の値がわかります：
.
判別式を見つけます：
.
判別式はゼロであるため、方程式には2つの複数の（等しい）根があります。
;
.

次に、三項式の因数分解は次のとおりです。
.

関数グラフy = x 2-4 x + 4一点で横軸に接します。

関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線です。 横軸（軸）に一点で接触します。
.
この点が元の方程式（2.1）の根です。 このルートは2回因数分解に入るので、次のようになります。
,
その場合、そのようなルートは通常、複数と呼ばれます。 つまり、彼らは2つの等しいルーツがあると信じています。
.

;
.

例3

二次方程式の根を見つけます。
(3.1) .

二次方程式を一般的な形式で書いてみましょう。
(1) .
元の式（3.1）を書き直します。
.
（1）と比較すると、係数の値がわかります：
.
判別式を見つけます：
.
判別式は負です。 したがって、有効なルートはありません。

複雑な根を見つけることができます：
;
;

関数をプロットしてみましょう
.
この関数のグラフは放物線です。 横軸（軸）と交差しません。 したがって、有効なルートはありません。

有効なルートはありません。 複雑なルーツ：
;
;
.

数学の方程式の解法には特別な場所があります。 このプロセスの前に、何時間もの理論研究が行われます。その間、学生は方程式を解き、方程式のタイプを決定し、スキルを完全な自動化に導く方法を学びます。 ただし、ルートが存在しない可能性があるため、ルートの検索が常に意味をなすとは限りません。 根を見つけるための特別なテクニックがあります。 この記事では、主な機能、それらの定義領域、およびそれらのルートが欠落している場合を分析します。

どの方程式に根がありませんか？

方程式が同じように真である実数の引数xがない場合、方程式には根がありません。 素人にとって、この定理は、ほとんどの数学的定理や公式と同様に、非常にあいまいで抽象的なように見えますが、これは理論上です。 実際には、すべてが非常に単純になります。 例：方程式0 * x = -53には解がありません。そのような数xがないため、その積がゼロの場合、ゼロ以外の何かが得られます。

ここで、最も基本的なタイプの方程式を見ていきます。

1.線形方程式

方程式の右側と左側が線形関数として表される場合、方程式は線形と呼ばれます：ax + b = cx + dまたは一般化された形式kx + b = 0。ここで、a、b、c、dは既知の数であり、xは不明な値..。 どの方程式に根がありませんか？ 一次方程式の例を次の図に示します。

基本的に、線形方程式は、数値部分を一方の部分に転送し、xの内容をもう一方の部分に転送するだけで解かれます。 mx = nの形式の方程式が得られます。ここで、mとnは数値であり、xは未知数です。 xを見つけるには、両方の部分をmで割るだけで十分です。 次に、x = n / mです。 一般に、線形方程式の根は1つだけですが、根が無限に多い場合や、根がまったくない場合があります。 m = 0およびn = 0の場合、方程式は0 * x = 0の形式を取ります。このような方程式の解は、絶対に任意の数になります。

しかし、どの方程式に根がありませんか？

m = 0およびn = 0の場合、方程式には実数のセットに根がありません。 0 * x = -1; 0 * x = 200-これらの方程式には根がありません。

2.二次方程式

二次方程式は、a = 0に対してax2 + bx + c = 0の形式の方程式です。最も一般的な解決策は、判別式を使用することです。 二次方程式の判別式を見つけるための式：D = b 2-4 * a * c。 次に、2つの根x 1,2 =（-b±√D）/ 2 * aがあります。

D> 0の場合、方程式には2つの根があり、D = 0の場合、1つの根があります。 しかし、どの二次方程式に根がないのでしょうか？ 二次方程式の根の数を観察する最も簡単な方法は、放物線である関数グラフを使用することです。 > 0の場合、ブランチは上向きになります。< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

判別式を計算せずに、根の数を視覚的に決定することもできます。 これを行うには、放物線の頂点を見つけて、枝がどの方向に向けられているかを判断する必要があります。 式x0 = -b / 2aを使用して、頂点のx座標を決定できます。 この場合、頂点のy座標は、元の方程式のx0値を単純に代入することによって求められます。

二次方程式x2-8x + 72 = 0は、負の判別式D =（-8）2-4 * 1 * 72 = -224を持っているため、根がありません。 これは、放物線が横軸に接触せず、関数が値0をとらないことを意味します。したがって、方程式には実数の根がありません。

3.三角方程式

三角関数は三角円上で考慮されますが、デカルト座標系で表すこともできます。 この記事では、2つの基本的な三角関数とその方程式（sinxとcosx）について説明します。 これらの関数は半径1の三角関数の円を形成するため、| sinx | および| cosx | 1より大きくすることはできません。では、sinxに根がない方程式はどれですか。 次の図に示すsinx関数のグラフについて考えてみます。

関数が対称であり、2piの繰り返し周期があることがわかります。 これに基づいて、この関数の最大値は1、最小値は-1であると言えます。 たとえば、モジュラスが1より大きいため、式cosx = 5には根がありません。

これは三角方程式の最も簡単な例です。 実際、それらを解決するには多くのページが必要になる可能性があり、その最後に、間違った式を使用したことに気付き、最初からやり直す必要があります。 場合によっては、ルートが正しく見つかったとしても、LDZの制約を考慮するのを忘れることがあります。そのため、回答に余分なルートまたは間隔が表示され、回答全体が誤ったものになります。 したがって、すべてのルートがタスクの範囲に収まるわけではないため、すべての制限に厳密に従ってください。

4.連立方程式

連立方程式は、中括弧または角括弧で結合された方程式の集合です。 中括弧は、すべての方程式の共同実行を示します。 つまり、方程式の少なくとも1つに根がないか、別の方程式と矛盾する場合、システム全体に解がありません。 角括弧は「または」という単語を表します。 これは、システムの方程式の少なくとも1つに解がある場合、システム全体に解があることを意味します。

システムcに対する答えは、個々の方程式のすべての根の集合です。 そして、カーリーブレースシステムには共通のルーツしかありません。 連立方程式には絶対に多様な関数を含めることができるため、このような複雑さでは、どの方程式に根がないかをすぐに判断することはできません。

問題のある本や教科書には、さまざまな種類の方程式があります。根があるものとないものです。 まず、ルーツが見つからない場合は、ルーツがまったくないと思い込まないでください。 おそらくどこかで間違いを犯したので、慎重に決定を再確認するだけで十分です。

最も基本的な方程式とそのタイプを検討しました。 これで、どの方程式に根がないかがわかります。 ほとんどの場合、これはまったく難しいことではありません。 方程式を解くのに成功するには、注意と集中だけが必要です。 もっと練習すれば、これはあなたがより良くそしてより速く資料をナビゲートするのを助けるでしょう。

したがって、次の場合、方程式には根がありません。

• 一次方程式mx = nでは、値m = 0およびn = 0;
• 二次方程式では、判別式がゼロ未満の場合。
• cosx = m / sinx = nの形式の三角方程式で、| m | > 0、| n | > 0;
• 少なくとも1つの方程式に根がない場合は中括弧を使用し、すべての方程式に根がない場合は角括弧を使用する連立方程式。

等式の概念、つまりそれらのタイプの1つである数値的等式を研究した後、別の重要なタイプである方程式に移ることができます。 この資料の枠組みの中で、方程式とその根が何であるかを説明し、基本的な定義を定式化し、方程式のさまざまな例を示し、それらの根を見つけます。

Yandex.RTB R-A-339285-1

方程式の概念

通常、方程式の概念は、学校代数コースの最初に学習されます。 次に、次のように定義されます。

定義1

方程式未知数の等式と呼ばれます。

未知数は、t、r、mなどの小さなラテン文字で表すのが通例ですが、ほとんどの場合、x、y、zが使用されます。 言い換えれば、方程式はその記述の形式を決定します。つまり、平等は、特定の形式に縮小された場合にのみ方程式になります。つまり、文字、つまり検出する必要のある値が含まれている必要があります。

最も単純な方程式の例をいくつか示します。 これらは、x = 5、y = 6などの形式の等式、および算術演算を含むもの、たとえばx + 7 = 38、z-4 = 2、8 t = 4、6：xである可能性があります。 = 3。

括弧の概念が研究された後、括弧のある方程式の概念が現れます。 これらには、7（x-1）= 19、x + 6（x + 6（x-8））= 3などが含まれます。検出される文字は、1回ではなく、たとえば方程式のように複数回出現する可能性があります。 x + 2 + 4 x-2-x = 10。 また、未知数は、左側だけでなく、右側または両方の部分に同時に配置できます。たとえば、x（8 + 1）-7 = 8、3-3 = z +3または8x -9 = 2（x + 17）。

さらに、生徒が整数、実数、有理数、自然数、対数、根、累乗の概念を理解すると、これらすべてのオブジェクトを含む新しい方程式が表示されます。 そのような表現の例については、別の記事を取り上げました。

7年生のプログラムでは、変数の概念が初めて登場します。 これらは、さまざまな意味を持つ可能性のある文字です（詳細については、数値式、リテラル式、および変数式に関する記事を参照してください）。 この概念に基づいて、方程式を再定義できます。

定義2

方程式値を評価する変数を含む等式です。

つまり、たとえば、式x + 3 = 6 x + 7は変数xの方程式であり、3 y --1 + y = 0は変数yの方程式です。

1つの方程式には、1つの変数ではなく、2つ以上の変数を含めることができます。 それらはそれぞれ、2つ、3つの変数などを持つ方程式と呼ばれます。定義を書いてみましょう。

定義3

2つ（3つ、4つ、またはそれ以上）の変数を持つ方程式は、対応する数の未知数を含む方程式です。

たとえば、3、7 x + 0、6 = 1の形式の等式は、1つの変数xを持つ方程式であり、x --z = 5は、2つの変数xとzを持つ方程式です。 3つの変数を持つ方程式の例は、x 2 +（y-6）2 +（z + 0、6）2 = 26です。

方程式の根

方程式について話すとき、その根の概念を定義することがすぐに必要になります。 それが何を意味するのか説明してみましょう。

例1

1つの変数を含む特定の方程式が与えられます。 未知の文字を数字に置き換えると、方程式は数値的に等しくなります-真または偽。 したがって、方程式a + 1 = 5で文字を数値2に置き換えると、等式は正しくなくなり、4の場合、正しい等式は4 + 1 = 5になります。

私たちは、変数が正しい等式に変わる正確な値にもっと興味があります。 それらはルーツまたはソリューションと呼ばれます。 定義を書き留めましょう。

定義4

方程式の根与えられた方程式を真の等式に変える変数の値と呼ばれます。

ルートはソリューションと呼ばれることもあり、その逆もあります。これらの概念はどちらも同じことを意味します。

例2

この定義を明確にするために例を見てみましょう。 上記では、方程式a + 1 = 5を与えました。 定義によれば、この場合のルートは4になります。これは、文字の代わりに代入すると、正しい数値の等式が得られ、2は不正な等式2 + 1 = 5に対応するため、解にはなりません。

1つの方程式にいくつの根を持たせることができますか？ 方程式に根はありますか？ これらの質問に答えましょう。

単一の根を持たない方程式も存在します。 例は0x = 5です。 無限に多くの異なる数をそれに代入することができますが、0を掛けると常に0になるため、それらのどれも真の等式にはなりません。

複数の根を持つ方程式もあります。 それらは、有限数と無限大数の両方の根を持つことができます。

例3

したがって、方程式x-2 = 4には1つのルート-6があり、x 2 = 9には2つのルート-3とマイナス3があり、x（x-1）（x-2）= 0には3つあります。根-ゼロ、1、2、方程式x = xには、無限に多くの根があります。

それでは、方程式の根を正しく書き留める方法を説明しましょう。 それらが存在しない場合は、次のように記述します。「方程式には根がありません。」 この場合、空集合∅の符号を示すこともできます。 ルートがある場合は、コンマで区切って記述するか、セットの要素として示し、中括弧で囲みます。 したがって、方程式に2、1、5の3つの根がある場合、-2、1、5または（-2、1、5）と記述します。

最も単純な等式の形で根を書くことができます。 したがって、方程式の未知数が文字yで示され、根が2と7である場合、y = 2とy = 7と記述します。 文字に添え字が追加される場合があります（例：x 1 = 3、x 2 = 5）。 したがって、根の数を示します。 方程式に無限に多くの解がある場合は、答えを数値区間として記述するか、一般的に受け入れられている表記法を使用します。自然数のセットは、N、整数-Z、実数-Rで表されます。 たとえば、方程式の解が任意の整数になることを書き留める必要がある場合は、x∈Zと書き、1から9までの実数がある場合は、y∈1、9と書きます。

方程式に2つ、3つ、またはそれ以上の根がある場合、原則として、根についてではなく、方程式の解について話します。 方程式の解の定義をいくつかの変数で定式化しましょう。

定義5

2つ、3つ、またはそれ以上の変数を持つ方程式の解は、与えられた方程式を真の数値的等式に変える変数の2つ、3つ以上の値です。

例を挙げて定義を説明しましょう。

例4

式x + y = 7があるとしましょう。これは、2つの変数の方程式です。 最初の代わりに1つ、2番目の代わりに2つを置き換えましょう。 不正確な等式が得られます。これは、この値のペアがこの方程式の解ではないことを意味します。 3と4のペアを取ると、等式が真になります。これは、解決策が見つかったことを意味します。

このような方程式には、根がないか、無限の数がある場合もあります。 2つ、3つ、4つ、またはそれ以上の値を書き込む必要がある場合は、括弧内にコンマで区切って書き込みます。 つまり、上記の例では、答えは（3、4）のようになります。

実際には、ほとんどの場合、1つの変数を含む方程式を処理する必要があります。 それらを解くためのアルゴリズムについては、方程式の解法に関する記事で詳しく検討します。

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