Spoštovanje naprej

1. Stereometrija ima geometrijska telesa in prostorne like, katerih vse točke ne ležijo v isti ravnini. Na fotelju so upodobljene obsežne figure za pomoč malčkom, kot da je rjovenje v očeh približno enak izraz kot sama figura. Ti malčki sledijo pravilom petja, ki temeljijo na geometrijski moči figur.
Eden od načinov upodabljanja prostornih figur na stanovanju bo naveden daleč (§ 54-66).

ROZDIL NAJPREJ RAVNO IN RAVNO

I. RAVNINSKI POLOŽAJ

2. Podoba območja. V vsakdanjem življenju obstaja veliko predmetov, na vrhu neke ugibljive geometrijske ravnine, ki tvorijo pravokotno obliko: paleta knjige, napaka, na vrhu pisalne mize itd. narišejo obliko paralelograma. Zato je običajno ravnino na fotelju prikazati kot paralelogram 1. Zvok območja Tsyu pomeni eno črko, na primer "območje M" (tabela 1).

1 Vrstni red označenih slik območja je možen in enak, kot na foteljih 15-17 in in.
(op. ur.)

3. Glavne značilnosti površine. Recimo, da je moč ravni, ki je sprejeta brez dokaza, aksiom:

1) Če dve točki premice ležita na ravnini, potem kožna točka na premici leži na ravnini.

2) Če dve stanovanji tvorita točko gorenja, potem smrad pada v ravni črti skozi to točko.

3) Skozi ali obstajajo tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti, je mogoče narisati ravnino, pred tem pa je samo ena.

4. Dediščina. Iz preostalega predloga lahko vnesete naslednje:

1) Skozi ravno črto in točko za njo lahko narišete ravnino (in več kot eno). Dejansko je točka poze naenkrat ravna z nekaj dvema točkama vzdolž premice, dodane so tri točke, skozi jaka je mogoče narisati ravnino (in še prej eno).

2) Skozi dve ravni črti, ki se prepletata, je mogoče narisati stanovanje (in samo eno). Učinkovito, če vzamemo točko prečke in še eno točko na ravni črti kože ali tri točke, skozi jaki je mogoče narisati ravnino (in pred tem eno).

3) Skozi dve vzporedni premici je mogoče narisati samo eno ravnino. Dejansko vzporedno z ravnimi črtami za imenovanji ležijo v isti ravnini; Ta ravnina je ena, tako da skozi eno vzporednico in kot točko druge ni mogoče narisati več kot eno ravnino.

5. Območje ovijte okoli ravne črte. Skozi kožo naravnost v odprtem prostoru je mogoče narisati neskončno območje.

Res, naj bo naravnost A (hudič 2).

Vzemimo točko A za njim. Skozi točko A in naravnost A potekajo skozi eno ravnino (§ 4). Imenujemo jo ravnina M. Za ravnino M vzemimo novo točko. Skozi točko B in premico A da gre skozi stanovanje s svojo črnino. Imenuje se ravnina N. Lahko sp_vpada z M, skale na njej ležijo v točki Y, tako da leži ravnina M. A prehodite novo površino. Imenuje se njen R. Vaughn ne pobegne od M, N od N, ker je v njej točka C, tako da ne leži niti do območja M niti do območja N. odnesite vse nove in nove ravnine, ki gredo skozi ravno črto A . Takih območij ne bo. Vse te ravnine lahko vidimo kot različne položaje ene in iste ravnine, ki se ovija okrog premice A .

Lahko pokažemo še eno moč letala: letalo se lahko ovije okoli, pa naj bo ravno, ki leži blizu te ravnine.

6. Dogovor za ogled odprtega prostora. Brki, ki so švigali v planimetriji, zmagali v isti ravnini za pomočjo foteljskega orodja. Za pobude v bližini odprtega prostora postanejo orodja za fotelje že nesprejemljiva, zato je nemogoče postaviti figure v bližini odprtega prostora. Poleg tega, ko je v prostoru nov element, je nov element - stanovanje, ki ga, če je v prostoru, ni mogoče položiti na tla z enostavnimi ključavnicami, kot je ravna črta na stanovanju.

Zato je treba pri pobudov v bližini odprtega prostora natančno določiti, kaj pomeni vikonate to chi іnsha pobudovu to, zokrema, kar pomeni, da zbudite stanovanje v bližini odprtega prostora. Ob vseh priložnostih v prostoru omogočamo:

1) da je ravnino mogoče inducirati, saj najdemo elemente, ki označujejo te položaje v prostoru (§ 3 in 4), tako da lahko induciramo ravnino, da gre skozi tri dane točke, skozi ravno črto in točko za njo. , ali skozi dve dve vzporedni črti;

2) če obstajata dve ravnini, ki se prekrivata, potem je podana črta njunega pasu, tako da lahko poznamo linijo pasu dveh ravnin;

3) kot je ravnina dana v prostoru, potem lahko v njej zmagamo, ostanemo, kot da bi nas premagala planimetrija.

Vikonati yak-nebudova pobudova v vesolju - tse pomeni poklicati yogo do konca dneva glavnih sestankov. S pomočjo teh glavnih nalog lahko razvežete zložljive naloge.

V teh govorih so težave s potrebo po stereometriji.

7. Zadnjica naloge ostati na odprtem prostoru.
Vodja. Poiščite presečišče dane premice A (graf 3) iz središča R.

Vzemite ravnino P kot točko A. Skozi točko A in premico A prevodno ravnino Q. Ona prečka ravnino P vzdolž delujoče premice b . Na ravnini Q poznamo točko 3 razpona premic A і b . Tsya pika in bodi shukana. Kako naravnost A і b pojavljajo vzporedno, potem naloga ni rešitev.

Poravnava ravne črte kot črta peretine dveh ravnin:

Skozi kožo naravnost v odprtem prostoru prenesti neosebno območje. Be-yakí od njih, spreminjanje, jo označujejo v prostoru. Otzhe, če bi bili dve enaki ravnini, ki se gledata skupaj, sta enaki ravnim črtam.

Vzagali je kot dve ravnini, ki nista vzporedni

označite ravno črto. Qi enaki se imenujejo divje ljubosumje naravnost.

Poravnava ravne črte, ki poteka skozi dve točki:

Podajte podani točki A(x 1 ;y 1) in B(x 2 ;y 2). Poravnava ravne črte, ki poteka skozi točki A (x 1; y 1) in B (x 2; y 2), je lahko videti takole:

Če dani točki A in B ležita na ravni črti, vzporedni z osjo O x (y 2 -y 1 \u003d 0) ali osjo O y (x 2 - x 1 \u003d 0), potem poravnava ravnine črta bo podobna materi, ki gleda \u003d y 1 ali x = x 1

Primer 4. Postavite ravne črte, ki bodo potekale skozi točki A(1;2) in B(-1;1).

Rešitev: zamenjava poravnave (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 \u003d 1
zvezde bodisi 2y-4=x-1 ali pa x-2y+3=0

Kanonično ravne črte:

Kartezični koordinatni sistem naj bo fiksiran na ravnini Oxy. Postavimo si lastne cilje: pojdimo naravnost a, yakscho - Deyak točka ravne črte a i - direktni vektor a.

Nehai - plavajoča vejica je ravna a. Potem je vektor direktni vektor premice a in maê koordinate (če je potrebno, se čudite statusu koordinat vektorja skozi koordinatne točke). Očitno je, da je neosebni točki na ravnini pripisana premica, tako da lahko direktni vektor poteka skozi točko i le in samo, če sta vektorja kolinearna.

Zapišimo potrebno in zadostno kolinarnost vektorjev za um: . Ostala enakost koordinatne oblike je vidna.

Yakscho i , potem lahko zapišemo

Otrimane enako pameti se imenuje kanonične črte naravnost na ravno v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy. Imenuje se tudi Rivnyannia enaka ravni črti pri kanoničnem pogledu.

Spet je kanonična poravnava ravne črte na miselni ravni podana s pravokotnim koordinatnim sistemom Oxy premica, ki gre skozi točko in je lahko direktni vektor.

Na ravnino bomo usmerili zadnjico kanonične ravne črte.

Na primer, enako ravni črti kanoničnega videza. Ravna črta, ki omogoča prehod skozi točko , in - je direktni vektor. Spodaj je grafična ilustracija.

Bistveno pomembna dejstva:

· yakscho-ravne vektorske ravne črte in ravne črte potekajo kot skozi točko, torej і skozi točko, potem jo je kanonično enako mogoče zapisati kot, tako і;

· če je direktni vektor premice, potem ali je kateri od vektorjev tudi direktni vektor dane premice, potem pa naj bo enak premici v kanoničnem pogledu na premico.

Parametrična poravnava ravne črte:

Izrek. Sistem ravnih črt napreduje s parametričnimi ravnimi črtami:

de – koordinate dokaj fiksne točke dane premice, – splošne koordinate dokaj direktnega vektorja dane premice, t – parameter.

Dokaz. Vidpovidno za vyznachennya enakomernost, ne glede na to, ali gre za množenje točk koordinatnega prostora, smo odgovorni prinesti, da je enako (7) zadovoljiti vse točke ravne črte L i, na drugi strani pa ne zadovoljiti koordinate točke, ki ne ležijo na ravni črti.

Povejmo dobro. Isti vektorji in ê za namen kolinearnosti in izrekov o kolinearnosti dveh vektorjev, ki si sledita, ki sta linearno izražena skozi drugega, to. obstaja taka številka, kaj. Enakost vektorjev in natančnost koordinat:

Ch.t.d.

Nazaj, pridi na točko. Potem, v skladu z izrekom o kolinearnosti vektorjev, lahko obstajajo linearni izrazi skozi drugega, potem. Želim, da ena od enakosti (7) ne zmaga. V tem vrstnem redu so enake (7) zadovoljne s koordinatami manj mirnih točk, kot je ležanje na ravni črti L in le malo smradu itd.

Teorem je dokončan.

Normalna poravnava območja:

IN vektorski obliki lahko izgleda ravno območje

Prav tako je normalni vektor območja en sam,

celo ravnost območja je mogoče zabeležiti kot

(normalna ravnost).

– premik iz koordinatnega storža na ravnino, , , – direktni kosinus normale

Na enak način razrežemo med normalo ravnine in koordinatnimi osmi.

Navpično ravnino ravnine (8) lahko spravimo v normalno obliko z množenjem z normalizacijskim faktorjem, predznak pred ulomkom je nasproten predznaku prostega člena (8).

V_dstan v_d kaže na ravnino(8) biti za formulo, pridobljeno z zamenjavo točke v normalni poravnavi

Globoka ploskost ravnine, po globoki ploskosti ploskve:

Za trivialni prostor je podan pravokotni koordinatni sistem Oxyz, potem se enake ravnine v koordinatnem sistemu tri-sveta imenujejo enake enake trojni x, lі z, sem zadovoljen s koordinatami vseh točk na ravnini in nisem zadovoljen s koordinatami drugih točk. Z drugimi besedami, pri utemeljevanju koordinat prve točke ravnine je enakost ravnine odvzeta, pri zamenjavi enakosti ravnine koordinat, ali je to druga točka, pa je enakost napačna.

Najprej zapišite središčno ravnino ravnine, pri čemer ugibajte premico, pravokotno na ravnino: premica je pravokotna na ravnino, kot da je pravokotna na premico, ki leži na tej ravnini. Iz katerega poimenovanja je razvidno, ali obstaja kak normalni vektor ravnine navpičnic na kateri koli neničelni vektor, ki leži blizu te ravnine. To dejstvo posnema dokaz napadalnega izreka, saj določa videz divje ravnine območja.

Izrek.

Bodi enak pameti, de A, B, Cі D- Deyakí díysní številke, poleg tega A, INі C ni enako nič naenkrat in označuje območje v danem pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz v bližini trivialnega prostora in ali je to ravnina v bližini pravokotnega koordinatnega sistema Oxyz v trivialnem prostoru so enaki umu z določenim naborom števil A, B, Cі D.

Dokaz.

Tako kot Bachite je izrek sestavljen iz dveh delov. V prvem delu smo dobili raven in jo moramo dvigniti na površje. Na drugem delu pa smo dobili dvojko ravnosti in je treba s preprostim izborom števil pripeljati tisto, kar lahko pripišemo enakim. A, IN, Zі D.

Samo potrdimo prvi del izreka.

Oskílki številke A, INі Zčez noč ni enako nič, potem je točka , katere koordinate so zadovoljne z enakovrednostjo, tako da je enakost poštena. Vídnіmemo lvu in desni del otrimanoї rivnostі vіdpovіdno vіd lіvoї in pravaі í dele іvnyannja, tsomu otmáєmo ravnyannja vіdnіvnіnya vіdіvalentno vihіdnomu іvnyannju. Zdaj, kot vemo, to izenači ravnino, potem se bo pripeljalo, kar ji je enakovredno, enako označuje tudi ravnino danega pravokotnega koordinatnega sistema za trivimerni prostor.

Pravičnost je nujna in zadostna mentalna pravokotnost vektorjev in . Z drugimi besedami, koordinate plavajoče vejice so zadoščene enakomerno in samo enkrat, če so vektorji pravokotni. Potem, če kršimo dejstvo, indukcije pred izrekom, lahko potrdimo, da je enakost resnična, potem neosebna točka določa ravnino, normalni vektor, kot je, poleg tega ta ravnina poteka skozi točko. Z drugimi besedami, poravnava kaže na pravokotni koordinatni sistem Oxyz v bližini trivimirskega prostranstva je dodeljena večja površina. Otzhe, enakovredno, izenači samo območje. Prvi del izreka je dokončan.

Nadaljujemo s potrditvijo drugega dela.

Naj nam bo podana ravnina, ki gre skozi točko z normalnim vektorjem, ki je ê. Naj vemo, da je pravokotni koordinatni sistem Oxyz njena nastavitev ravni uma.

Za kar vzamemo zadostno točko ravnine. Naj bom jaz bistvo. Potem bodo vektorji i pravokotni, potem bo njihov skalarni twír enak nič: . Sprejemanje, veselim se videnja. Tse enako in pomeni naše območje. Spet je izrek ponovno potrjen. (za prve vrednosti števil A, IN, Zі D);

Namerimo zadnjico, da ponazorimo preostanek fraze.

Čudite se malčkom iz slik območja v bližini trivialnega prostranstva v bližini fiksnega pravokotnega koordinatnega sistema Oxyz. Tsіy ploshchiní vіdpovіdaє rіvnyannya, da scho ste zadovoljni s koordinatami katere koli točke plaze. Na drugi strani je trasa določena z danim koordinatnim sistemom Oxyz neosebna točka, katere podoba je majhna ploskva.

Ravnost območja pri oknih:

Naj ima trivialni prostor pravokotni koordinatni sistem Oxyz.

Za pravokotni koordinatni sistem Oxyz v malenkostnem prostranstvu enaka umu, de a, bі c– v obliki ničle se prikliče trenutno število enaka površini vetrolovov. Takšno ime ni vipadkova. Absolutne vrednosti števil a, bі c enako vídrіzkіv vídzhina, yakí vіdsіkaê ravnina na koordinatnih oseh Ox, Ohі Oz vídpovіdno, rahuyuchi víd cob koordinat. Številčni znak a, bі c kaže, da so v ravni črti (pozitivni in negativni) oklepaji na koordinatnih oseh. Definitivno koordinatne točke zadoščajo ravnini vetrov:

Poglejte malčke, ki pojasnjujejo trenutek.

Nivo ravnine, ki poteka skozi točko, je pravokotna na vektor: Naj ima trivialni prostor pravokotni kartezični koordinatni sistem. Oblikujemo naslednjo nalogo:

Zložite ravne ravnine, da gredo skozi to točko
M(x 0 , l 0 , z 0) pravokotno na dani vektor →n = {A, B, C} .

rešitev. pridi no p(x, l, z) - dovolj točke do prostora. Pikasto, lisasto p prekriva ravno todі і manj todí, če je vektor
MP = {x − x 0 , l − l 0 , z − z 0 ) pravokotni vektor → n = {A, B, C) (slika 1).

Ko smo zapisali miselno ortogonalnost teh vektorjev (→ n, MP) = 0 za koordinatno obliko, neobvezno.

OBMOČJE.

Sestanek. Vsak neničelni vektor, pravokoten na ravnino, se imenuje njen normalni vektor, in je prikazano.

Sestanek. Enako površini uma de koeficient - zadostna efektivna števila, ki hkrati niso enaka nič, se imenuje zagalnym stanovanj območja.

Izrek. Niveliranje določa območje, ki ga normalni vektor lahko preide skozi točko.

Sestanek. Rivnyannia um

de - zadostne, ne enake nič, dejanske številke, imenovane enaka površini vetrolovov.

Izrek. Ajde - ravnina ravnine ob vetrolomih. Todi - koordinatna točka njene prečke s koordinatnimi osmi.

Sestanek. Globoka ravnina območja se imenuje racioniranje oz normalno enako površini, npr

to .

Izrek. Običajno lahko poravnavo ravnine zapišemo v obliki - v stolpcu koordinat na dano ravnino - direktnega kosinusa normalnega vektorja ).

Sestanek. Normalizacijski množitelj imenujemo številko ravnega območja de znak je izbran z nasprotnim znakom prostega člana D.

Izrek. Daj no - multiplikator, ki normalizira, divja ravnost območja. Todi rivnyannya je racionalizacija rivnyannyam danega območja.

Izrek. Vídstan d vrsta pik do stanovanja .

Medsebojno rotashuvannya dveh stanovanj.

Dve ravnini tečeta ali sta vzporedni ali pa se prepletata z ravno črto.

Izrek. Naj bodo površinske naloge prevelike: . Todi:

1) močno potem stanovanja zbígayutsya;

2) močno tedaj sta ravnini vzporedni;

3) v nasprotnem primeru so ravnine obarvane vzdolž ravnih črt, ki jim je enak enak sistem: .

Izrek. Daj no - normalni vektorji dveh ravnin, potem je eden od dveh rezov med danima ravninama več:.

Zadnji. pridi no ,- Normalni vektorji dveh danih območij. Kot skalarni dodatek so dane površine pravokotne.

Izrek. Podajte podane koordinate treh različnih točk koordinatnega prostora:

reka Todi –ê enake ravnine, ki potekajo skozi qi tri točke.

Izrek. Naj podatki burja dveh stanovanj, ki se prekrivata: poleg tega. Todi:

– izravnava dvosektorskega območja gostry duhedral kut, posejana s peratinom teh stanovanj;

– poravnava dvosektorskega območja topega diedričnega reza.

Zv'yazuvannya ta žarek stanovanj.

Sestanek. Zv'yazuvannyam stanovanja brezosebnost vseh ravnin se imenuje, da je mogoče videti eno svetlo točko, kot se temu reče povezovalni center.

Izrek. Gremo - tri stanovanja, ki tvorijo eno samo svetlo točko izravnava zv'yazuvannya stanovanj.

Izrek. Rivnyannya, de dovilní deisní parametri, ki niso enaki nič hkrati, je enaka povezavi ravnin s središčem povezave na točki

Izrek. Naj vam navedem podatke o ledeniškem nivoju treh ravnin:

-їх vidpovіdní normalni vektorji. Da se tri dane ravnine prekrivajo v eno točko, je nujno in zadostno, da razlika med dvema normalnima vektorjema ne doseže nič:

Na ta način so koordinate ene same središčne točke ene same rešitve izravnalnega sistema:

Sestanek. Kup stanovanj brezosebne ravnine se imenujejo, ki se prepletajo vzdolž iste ravne črte, naslov celotnega žarka.

Izrek. Pustimo dve ravnini, ki se prepletata v ravni črti. Todí vnyannja, de dovílní díisní parametri naenkrat niso enaki nič, je poravnava žarka ravnin od vrha žarka

DIREKTNO.

Sestanek. Ne glede na to, ali gre za vektor, ki ni nič, se kolinearna dana premica imenuje njena neposredni vektor, in je prikazano

Izrek. parametrične ravne črte v prostoru: de koordinate dokaj fiksne točke dane premice in splošne koordinate dokaj direktnega vektorja danega parametra premice.

Zadnji. Sistem enakih napreduje, enakih naravnost na prostem in se imenuje canonical je enako ravni v vesolju: de - koordinate dokaj fiksne točke dane premice, - splošne koordinate dokaj direktnega vektorja dane premice.

Sestanek. Kanonični ekvivalent neposrednega pogleda - klical kanonične poravnave ravnih črt, ki potekajo skozi dve različni dani točki

Medsebojno roztashuvannya dve ravni črti na odprtem prostoru.

V bližini odprtega prostora je možno imeti 4 pobočja gnitja dveh ravnih črt. Lahko se poravnajo, so vzporedni, se križajo na eni točki ali križajo.

Izrek. Naj podam kanonično izenačitev dveh ravnih črt:

de - njihovi ravni vektorji, - dovolj fiksnih točk, ki ležijo na ravnih črtah. Todi:

і ;

in ne zmaga, če je le ena od enakosti

;

, potem.

4) neposredno križ, kot , potem.

Izrek. pridi no

– dve precej ravni črti v bližini odprtega prostora, določeni s parametričnimi poravnavami. Todi:

1) kako je sistem enak

če obstaja ena sama rešitev, potem sta neposredno prepleteni v eni točki;

2) če je sistem enak, ni rešitve, potem se neposredno križa vzporedno.

3) če je sistem enak več kot eni rozvyazku, potem naravnost zbígayutsya.

Stojte med dvema ravnima črtama v odprtem prostoru.

Izrek.(Formula med dvema vzporednima črtama.): premikanje med dvema vzporednima črtama

De - njihov nadzemni direktni vektor, - točke teh ravnih črt, se lahko izračunajo po formuli:

oz

Izrek.(Formula med dvema ravnima črtama, ki ju je treba prečkati.): Stojte med dvema ravnima črtama, ki ju želite prečkati.

se lahko izračuna s to formulo:

de – modul mešane tvorbe direktnih vektorjev і і vektor, modul za ustvarjanje vektorjev direktnih vektorjev.

Izrek. Daj no - poravnava dveh stanovanj, ki se prekrivata. Nato pride sistem poravnave in poravnave ravnih črt, ki se prepletajo z ravninami: . Neposredni vektor lahko služi kot vektor , de ,- Normalni vektorji danih površin.

Izrek. Naj bo podana kanonična premica: de . Nato se pojavi sistem enakih vrednosti, enakim pa so dane ravne črte, podane z razponom dveh ravnin: .

Izrek. Poravnava pravokotnice, spuščene iz točke naravnost si lahko ogleda de - koordinate tvorbe vektorja, - koordinate direktnega vektorja, podanega premici. Dolžino navpičnice lahko poznamo po formuli:

Izrek. Vidi se poravnava navpičnice navpičnice dveh ravnih črt, ki se lahko križata: de.

Medsebojno roztashuvannya ravne črte in stanovanja v bližini odprtega prostora.

Obstajajo trije možni načini medsebojnega širjenja ravne črte v bližini širine tega območja:

Izrek. Naj bo ravnina podana ravnim črtam, premica pa kanoničnim ali parametričnim črtam abo, de vektor je normalni vektor območja – koordinate dokaj fiksne točke premice, – splošne koordinate dokaj direktnega vektorja premice. Todi:

1) yakscho, potem neposredno prečkamo ravnino točke, katere koordinate lahko poznamo iz sistema izravnave

2) če i, potem lezite naravnost na ravno;

3) če je i, potem je premica vzporedna z ravnino.

Zadnji.Če ima sistem (*) eno samo rešitev, potem se neposredno izliva iz ravnine; če sistem (*) nima rešitve, je premica vzporedna z ravnino; če je sistem (*) lahko neosebna odločitev, potem je naravnost ležati na ravnini.

Virishennya tipične naloge.

vodja №1 :

Prepognite ravne ravnine, da gredo skozi točko vzporedno z vektorji.

Poznamo normalni vektor območja:

= =

Kot normalni vektor površine lahko v prihodnosti vzamete vektor iste globalno enake površine, ko pogledate:

Da bi vedeli, je treba zamenjati koordinate točk, v katerih leži ravnina.

vodja №2 :

Dve ploskvi kocke ležita na ravninah in izračunajte skupno število kocke.

Očitno sta ravnini vzporedni. Dovzhina rob kocke je vídstan mízh stanovanj. Vibero na prvem letalu do točke: ne vemo.

Vemo, kako hoditi med ravninami, kako hoditi od točke do druge ravnine:

Otzhe, prostornina kocke je dobra ()

vodja №3 :

Spoznajte rez med obrazi in vrhovi piramid

Rez med ravninami – ce rez med normalnimi vektorji do teh ravnin. Poznamo normalni vektor ploščine: [,];

, oz

podobno

vodja №4 :

Položite kanonično enake ravne črte .

Otzhe,

Vektor je pravokoten na premico, na

Otzhe, kanonično enako, bom gledal naravnost.

vodja №5 :

Spoznajte razliko med ravnimi črtami

і .

Neposredno vzporedno, ker njihovi direktni vektorji in ірівні. Daj na točko ležijo na prvi premici, točka pa na drugi premici. Ploščino paralelograma poznamo na podlagi vektorjev.

[,];

Shukanoi vídstannyu je višina paralelograma, izpuščena iz točk:

vodja №6 :

Izračunajte najkrajšo razdaljo med ravnima črtama:

Pokazalo se bo, da je naravnost prečkati, tobto. vektorji in ne ležijo na isti ravnini: ≠ 0.

1 način:

Skozi drugo premico narišemo ravnino, vzporedno s prvo premico. Za območje shukano v_domí tі, scho lagati njeni vektorії. Vektor normalne površine je vektor tvir vektorív, .

Prav tako lahko kot normalni vektor območja vzamete vektor poravnave tega območja v prihodnosti, če veste, da je točko, ki leži na območju, mogoče najti in zapisati poravnavo:

Shukana v_dstan - tsya vídstan od točke prve ravne črte do ravnine je znan po formuli:

13.

2 način:

Na vektorjih i bomo ustvarili paralelepiped.

Shukana vídstan' – višina paralelopipeda, izpuščena iz točk na podlagi yogo, ki temelji na vektorjih.

Rezultat: 13 singlov.

vodja №7 :

Spoznajte projekcijo točke na ravnino

Normalni vektor površine je direktni vektor premice:

Poznamo presečišče premice

tisto področje:

.

Zamenjava v ravni ravnini, vemo, in potem

Spoštovanje. Da bi poznali točko, ki je simetrična točki, podobni ravnini, je potrebno (podobno kot pri sprednjih nalogah) poznati projekcijo točke na ravnino, nato pa pogledati vídízok s sredino vídomimikobkami, ki se zvija z formule,,.

vodja №8 :

Poiščite poravnavo navpičnice, spuščene iz točke na premico .

1 način:

2 način:

Naloge so napisane drugače:

Ploščina je pravokotna na dano premico, zato je direktni vektor premice normalni vektor ploščine. Če poznamo normalni vektor ravnine in točko na ravnini, jo zapišemo enako:

Poznamo presečišče ravnine in premice, zapisano parametrično:

,

Naredimo ravno črto, ki gre skozi točke i:

.

Predlog: .

Na enak način lahko virishity in isto nalogo:

vodja №9 :

Poiščite točko, ki je simetrična na točko, kot je premica .

vodja №10 :

Danski triko z zgornjimi deli Spoznajte stopnjo višine, spuščeno od vrha do hrbta.

Naslov je popolnoma podoben prejšnjim nalogam.

Predlog: .

vodja №11 :

Označite poravnavo navpičnice pravokotno na dve ravni črti: .

0.

Vrakhovuchi, scho skozi točko, zapišemo poravnavo ravnine:

Bistvo je, da se položim, bom videl, da bo enaka površina videti:.

Predlog:

vodja №12 :

Prepognite ravne črte, da gredo skozi točko in prečkajo ravne črte .

Prva premica, ki gre skozi točko in je lahko direktni vektor; drugo - za prehod skozi točke in lahko usmerja vektor

Dokazano je, da so črte qi takšne, da jih je mogoče križati, za kar prepognemo arbitra, katerega vrstice so koordinate vektorjev ,, ,vektorji se ne prekrivajo v isti ravnini.

Narišimo ravnino skozi pike in se pomaknimo naravnost naprej:

Daj no - zadostna točka ravnine istih vektorjev in komplanarna. Ravnost območja je lahko videti:.

Podobno lahko prepognemo ravno ravnino, ki lahko prehaja skozi lise in drugo naravnost: 0.

Shukana je ravna je razpon stanovanj, tobto.

Osvetljen rezultat posledic, ki jih dajejo, je oblikovanje sestavin, izjav na vhodu, celote kompetenc (plemstvo, um, moč) na dveh ravneh: pragu in prosunuty. Prag ríven daje oceno "predvidoma", lepljenje ríven daje ocene "dobro" ali "izjemno", ne glede na rezultate naloge primera.

Za samodiagnostiko teh komponent vam bodo prikazani naslednji koraki.

INSTUP

Poglavje 1

1 Presečišče premice z ravnino

1 Spremembe položaja premice v prostoru

2 Kut mizh ravno in ravno

WISNOVOK

SEZNAM DŽERELSKIH ZMAG

INSTUP

Be-yaké izravnava prve stopnje koordinat x, y, z

Z + Cz + D = 0

nastavi območje in zdaj: naj bo območje lahko predstavljeno z enakimi, kot se imenuje enako območje.

Vektor n (A, B, C), pravokoten na ravnino, imenujemo normalni vektor ravnine. Enaki koeficienti A, B, C niso hkrati enaki 0.

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – ravnina poteka skozi koordinatni storž.

C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - ravnina je vzporedna z osjo Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 – območje, ki mora preiti celotno Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 – ravnina je vzporedna z ravnino Oyz.

Poravnava koordinatnih ravnin: x=0, y=0, z=0.

Ravno črto v prostoru lahko podamo:

) kot črta za prečkanje dveh ravnin, tobto. sistem rivnyan:

A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2z + D 2 = 0;

) s svojima točkama M 1(x 1,y 1, z 1) in M 2(x 2,y 2, z 2), tudi če je ravna, je tisto, kar gre skozi njih, podano z enakimi:

=;

) točka M 1(x 1,y 1, z 1), ki í th leži, da je vektor a (m, n, р), í th kolinearen. Todi je neposredno pripisan enakim:

Enačbe imenujemo kanonične premice.

Vektor a imenujemo direktni vektor premice.

Parametrična poravnava ravne črte je odvzeta, kar izenači kožo od očesa s parametrom t:

X 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Pt.

Razv'azyuchi sistem kot sistem linearnih poravnav, kjer neznana x in y prideta do ravnih črt v projekcijah ali do usmerjenih ravnih črt:

Mz + a, y = nz + b

Lahko greste na kanonične range, če poznate z iz dermalnega ranga in dodate vrednost:

V zgornjih nivojih (3.2) lahko preidemo na kanoničnega na drug način, da bi ugotovili, ali sta točka premice in direktni vektor n = , de n 1(A 1, B 1, C 1) in n 2(A 2, B 2, C 2) so normalni vektorji danih površin. Če je eden od predznakov m, n in r v enačbah (3.4) enak nič, je treba število dvojnega ulomka postaviti na nič, tj. sistem

enak sistem ; taka premica je pravokotna na os Ox.

Sistem sistem je enako močan x = x 1,y=y 1; premica, vzporedna z osjo Oz.

Namen tečaja:naravnost navzgor po tistem ravnem območju ob odprtem prostoru.

Vodja tečaja:poglej območje blizu odprtega prostora, njeno enako, in poglej stanovanje blizu odprtega prostora.

Struktura tečaja:vstop, 2 poglavji, visnovok, seznam vikoristanih dzherel.

Poglavje 1

.1 Točka presečišča premice z ravnino

Naj bo območje Q podano ukrivljenemu tipu: Ax+By+Cz+D=0, premica L pa parametričnemu tipu: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, sicer pa je za poznavanje presečišča premice L in ravnine Q potrebno poznati vrednost parametra t, pri katerem točka premice leži na ravnini. Z zamenjavo vrednosti x, y, z je ravnina enaka, z izpeljavo t pa odštejemo

Vrednost t bo enaka, saj ravnina ni ravna in vzporedna.

Operite vzporednost in pravokotnost premice in ravnine

Pogled neposredno na L:

in ravnost?

Premica L in ravnina? :

a) pravokotno na ena na ena ali manj na ena, če je direktni vektor prem in normalni vektor kolinearne ravnine, tobto.

b) vzporedni z enim enakim in manj enakim, če so vektorji і pravokotno, tj.

i Am + Bn + Ср = 0.

.2 Kut mizh ravno in ravno

Kut ?med normalnim vektorjem območja i z direktnim vektorjem izračunati po naslednji formuli:

Greda stanovanj

Celota vseh ravnin, ki gredo skozi dano premico L, se imenuje snop ravnin, premica L pa celoten snop. Naj bo celoten žarek podan z enakimi

Pomnožimo rang drugega sistema po členu za izrazom in ga shranimo s prvimi rangi:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Če je enako, mora biti prvi korak x, y, z i, nato pa za katero koli številsko vrednost ?določi območje. Torej, ker je dana enačba zadnja od dveh enačb, potem so koordinate točke, ki so zadovoljne s temi enačbami, zadovoljne s to enačbo. Oče, za katero koli številčno vrednost ?glede na poravnavo ravnin, ki potekajo skozi dano premico. Otrimane rivnyannia є poravnava žarka ravnin.

rit.Zapišite ravnino, ki poteka skozi točko M 1(2, -3, 4) vzporedni s premicami

rešitev.Zapišemo razporeditev povezave ravnin, ki gredo skozi točko M1 :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Ker je ravnina potrebna, vendar je vzporedna s temi premicami, je normalni vektor zaradi obeh pravokoten na premice. tsikh ravne črte. Zato lahko kot vektor N vzamete vektor tv_r vector_v:

Tudi A \u003d 4, B \u003d 30, C \u003d - 8. Zamenjava znanih vrednosti A, B, Z

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) = 0 ali 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

rit.Poiščite točko premice to območje 2x + 3y-2z + 2 = 0.

rešitev.Zapišimo poravnavo te ravne črte s parametričnim pogledom:

Predstavljajmo si qi vrazi za x, y, z izravnavo ravnine:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Predstavljajte si t = 1 parametrično poravnavo ravne črte. Odpeljite

Prav tako se premica seka v točki M(3, 2, 7).

rit.Spoznajte kut ?med ravno črto to območje je 4x-2y-2z+7=0. rešitev.Popravimo formulo (3.20). torej jak

to

oče, = 30°.

Ravna linija v odprtem prostoru ni ozka, zato jo lažje zastavite s pomočjo prijatelja. Iz šolskega tečaja evklidske geometrije obstaja aksiom, "skozi dve točki v prostoru lahko narišete ravno črto i, pred tem pa samo eno." Ravno črto lahko na diagramu podamo tudi z dvema čelnima in dvema vodoravnima projekcijama točk. Če pa je ravna črta - je ravna črta (in ne krivulja), potem lahko s polno osnovo združimo točke v ravni črti in vzamemo čelno in vodoravno projekcijo ravne črte (slika 13).

Dokaz je obrnjen: v ravninah projekcij V in H sta podani dve projekciji a "b" in ab (slika 14). Skozi njih narišemo ravnino, pravokotno na ravnini projekcij V in H (slika 14), črta peretine ravnin bo ravna črta AB.

.1 Različni nakloni

Na pobočjih, ki smo jih gledali, premice niso bile ne vzporedne ne pravokotne na projekcijske ravnine V, H, W. Smrad je lahko vishídnimi ali nizek (rozíbratisya neodvisno).

Na sl. 17 prikazuje ravno linijo palice, postavljeno s tremi štrlinami. Oglejmo si družino ravnih črt, ki so lahko pomembne avtoritete - ravne črte naj bodo vzporedne s projekcijsko ravnino.

Na sl. 17 prikazuje ravno linijo palice, postavljeno s tremi štrlinami.

Oglejmo si družino ravnih črt, ki so lahko pomembne avtoritete - ravne črte naj bodo vzporedne s projekcijsko ravnino.

a) Vodoravna ravna črta (nakshe - vodoravna, ravna vodoravna črta). To je ime ravne črte, vzporedne z vodoravno ravnino projekcij. Njena slika v bližini prostora na ploskvi je prikazana na sl. 18.

Horizontalno je enostavno prepoznati na diagramu "v preobleki": njena čelna projekcija je vedno vzporedna z osjo ОХ. Kot celota je najpomembnejša vodoravna moč formulirana na naslednji način:

Pri vodoravni - čelna projekcija je vzporedna z osjo ОХ, vodoravna projekcija pa je v naravni velikosti. Prednostno vodoravna projekcija vodoravnice na diagramu vam omogoča, da označite njen rez na ravnino V (rez b) in na ravnino W (y) - sl.18.

b) Čelna ravna črta (čelna, ravna črta čelne poravnave) - ni ravna, vzporedna s čelno ravnino projekcij. Nismo ilustrativni za dejanske slike, ampak jih prikazujejo epure (slika 19).

Značilen je frontalni diagram, ki je vodoravna in profilne projekcije vzporedne z osema X in Z, frontalna projekcija pa se pošteno razširi in prikazuje naravno velikost fronte. Po možnosti na diagramu režite naravnost naprej do vodoravnih (a) in profilnih (ploskih) projekcij. Otzhe, še enkrat:

Na sprednji strani je vodoravna projekcija vzporedna z osjo ОХ, čelna projekcija pa je v naravni velikosti.

c) Profilna ravna črta. Očitno je ravna, vzporedna s profilno ravnino projekcij (slika 20). Očitno je tudi, da je naravna vrednost profila ravne črte na profilni ravnini projekcij (projekcija a "b" - slika 20) in tukaj lahko bachiti kuti njen nahilu na ravnini H (a) in V ( b).

Prihaja družina ravnih linij, ki zahtevajo in pomembno polaganje, kot ravne črte - ne projicirajo ravne črte.

Ravne črte, pravokotne na ravnine projekcij, se imenujejo projekcije (po analogiji s spremembami projekcije - sl. 21).

AV kv. H - ravna vodoravno štrleča; kv. V - naravnost čelno štrleča; kv. W - ravni profil štrleči.

2.2 Kut mizh ravno in ravno

ravno kvadratno izrezan trikutnik

Metoda pravokotnega trikota

Ravni zagalni tabor, kot smo rekli, je nagnjen na ravnine projekcij pod nekakšnim polnim kutom.

Rez med premico in to ravnino projicira rez, tej projekciji na ravnino dodamo premico (slika 22). Kut a vyznaê kut nakhily vídrízka AB do pl. H. W sl. 22: Ab1 | 1pl. H; Bb1 = Bb – Aa = Z 22

Pri ravno krojenem trikoju ABb1 ima krak Ab1 normalno vodoravno projekcijo ab; drugi krak Bb1 pa je najdražja maloprodajna točka A in B na trgu. N. Ker so točke na vodoravni projekciji ravne črte ab narisane pravokotno in postavljene na novo vrednost Z, potem, ko vzamemo točko a z vzeto točko b0, vzamemo hipotenuzo ab0, enako naravni vrednosti AB. Na diagramu je videti tako (mal. 23):

Na podoben način se ravna črta razširi na čelno ravnino projekcij (b) - sl. 24.

Za spoštovanje: v primeru pobudov na horizontalni neposredni projekciji dodamo dodatno direktno vrednost Z; ko je na sprednji projekciji - vrednost Y.

Metoda pogleda naprej se imenuje tricutnik z ravnim rezom. S pomočjo joge lahko določimo naravno velikost vsakršne razpoke, ki nas joka, pa tudi joga bolno odrežemo na ravnine projekcij.

Medsebojno postaja naravnost

Prej smo si ogledali hranilno vrednost točke premice: če točka leži na premici, potem projekcije ležijo na enodimenzionalnih projekcijah premice (pravilo pripadnosti, div. sl. 14). Iz srednješolskega tečaja geometrije je mogoče ugibati: dve premici se prepletata v eni točki (sicer pa: če dve premici tvorita eno dvojno točko, potem se smrdi prepletata v drugi točki).

Projekcije ravnih črt, ki se prepletajo, na diagramu imajo lahko jasno izražen znak: projekcije točke tekalne plasti ležijo na isti liniji povezave (slika 25). Jasno je: točka K leži í AB in CD; na ploskvi leži točka k na isti premici, ki se povezuje s točko k.

Ravni AB in CD - preoblikovanje

Izhajajoč iz možnega medsebojnega roztashuvannyah dveh ravnih črt na prostem - naravnost prečkanih. Možen je padec, če ravne črte niso vzporedne, vendar se ne prekrivajo. Takšne ravne črte lahko položimo na dve vzporedni ravnini (slika 26). To niti ne pomeni, da sta dve ravni, da se križata, ležita ob'yazkovo na dveh vzporednih ravninah; še manj pa tiste, da je skozenj mogoče narisati dve vzporedni ravnini.

Projekcije dveh premic, ki se sekata, se lahko prekrivata, vendar točke njunega prekrivanja ne ležijo na isti premici povezave (slika 27).

Pomembno je videti prehrano tekmovalnih točk (slika 27). Na vodoravni projekciji sta dve piki (e, f), v čelnem smradu pa se spremenita v eno (e "f"), poleg tega je nerazumno, saj je točka vidna, saj ni vidna (konkurenčne točke ).

Dve točki, katerih čelne projekcije se zrušijo, imenujemo čelno konkurenčni.

Takšen zasuk smo videli že prej (slika 11), vendar pri tistih, ki »vzajemno pospravljata dve točki«. Zato pravilo stagnira:

Iz dveh konkurenčnih točk je vidna tista, katere koordinata je večja.

3 sl. 27 je razvidno, da je vodoravna projekcija točke E (e) daleč od osi OX, spodnja točka je f. Spet je koordinata Y točke "e" večja, nižja v točki f; kasneje bo vidna točka E. Na sprednji projekciji je točka f "postavljena v loke kot nevidna.

Še nekaj: točka e leži na projekciji premice ab in tse pomeni, da je na čelni projekciji premica a "b" narisana "na vrhu" premice c "d".

Vzporedne črte

Vzporedne črte na risbi je na videz enostavno prepoznati, enodimenzionalne projekcije dveh vzporednih črt pa so vzporedne.

Za spoštovanje: enako! Tobto. čelne projekcije so vzporedne med seboj, vodoravne projekcije pa med seboj (slika 29).

Dokaz: na sliki 28 sta v prostoru podani dve vzporedni premici AB in CD. Skozi njiju narišimo štrleči ravnini Q in T - videti bosta vzporedni (kajti kot dve premici, ki se prekrivata, ena ravnina, ki je vzporedna z dvema, se prekriva s premico, druga ravnina, potem sta ti ravnini vzporedni).

Na diagramu 30a so naloge vzporedne z ravnimi črtami, na diagramu 30b pa so premice križane, čeprav sta v tej in v drugi smeri čelna in horizontalna projekcija medsebojno vzporedni.

Uporabljam pa trik, s pomočjo katerega je mogoče medsebojno določiti položaje dveh profilnih premic, ne da bi se spuščali v tretje projekcije. Za to je dovolj, da imamo dve projekciji z dodatnimi črtami, kot je prikazano na sliki 30. Videti bo, da presečišča teh črt ležijo na isti povezovalni črti - profilne črte so med seboj vzporedne - sl. 30a. Yakshcho ní - profilne ravne črte križajo (slika 306).

Značilnosti padca ravne črte:

Projekcije neposrednega reza

Kot da sta dve ravni črti palice zataknjeni pod ravnim rezom, njune štrline tvorijo rez, ki ni enak 90° (slika 31).

Delci na prečki dveh vzporednih ravnin tretje v prečki so videti vzporedni z ravnimi črtami, potem sta vodoravni projekciji ab in cd vzporedni.

Za ponovitev operacije in projiciranje premic AB in CD na čelno ravnino projekcij bomo vzeli enak rezultat.

Poseben naklon sta dve profilni ravni črti, določeni s čelnimi in vodoravnimi projekcijami (slika 30). Kot rečeno, sta v profilnih črtah čelna in vodoravna projekcija medsebojno vzporedni, v nasprotju s tem znakom je nemogoče presojati vzporednost obeh profilnih linij brez induciranja tretje projekcije.

Vodja. Poskusite pravokotni trikot ABC z nogo BC, ki leži na ravni MN (slika 34).

rešitev. Iz diagrama je razvidno, da je premica MN vodoravna. In za umom je tricutnik ravno krojen.

Hitrost moči projekcije direktnega kuta izpustimo iz točke "a" pravokotno na projekcijo mn (na kvadrat H se naš direktni kuta projicira brez kreacije) - sl. 35.

Kot dodatno premico, ki jo je treba izvesti od konca reza pod neposrednim rezom do te točke, pridobimo del vodoravne projekcije premice in sam bm (slika 36). Oglejmo si vrednost razlike v koordinatah Z, vzetih iz sprednje projekcije, in vzemimo točko "a" na koncu odstranjenega vetra. Vzamemo dejansko velikost noge AB (ab ; ab).

Sliki 31 in 32 prikazujeta dve ravni črti s kotnim položajem, ki med seboj sekata pod kotom 90° (na sliki 32 ležita ravni črti v isti ravnini P). Yak bachimo, na diagramih kut, projekcije ravnih črt, ne do 90 °.

Cenimo moč sveta tako, da pogledamo projekcijo neposrednega kuta iz žaljivega vzroka:

Ker je ena stranica ravne kute vzporedna s projekcijsko ravnino, se ravna kuta brez težav projicira na to ravnino (slika 33).

Ne vodimo do istega položaja (izdelamo ga neodvisno), lahko pa pogledamo na kvote, kot da lahko sledite temu pravilu.

Poleg tega je pomembno, da je za umom ena stran neposredne kute vzporedna z ravnino projekcije, potem bo ena stran bodisi čelna ali vodoravna (morda profilna ravna črta) - sl. 33.

In čelno in vodoravno na diagramu je enostavno prepoznati "prikrito" (ena od projekcij je vzporedna z osjo ОХ) ali pa jo lahko preprosto inducirate po potrebi. Poleg tega ima čelna linija najpomembnejšo moč: ena od projekcij obovovega jezika je videti kot

Po pravilu vlage poznamo čelno projekcijo točke b "za členom pomožne črte. Imamo krak AB (a" b "; ab).

Da bi postavili nogo BC na stran MN, je treba na zadnji strani določiti dejansko velikost kraka AB (a d ; ab). Za kateri je hiter, imamo že pravilo ravno krojenega tricutnika.

WISNOVOK

Zagalni rívnyannya naravnost naprej

Poravnavo ravne črte lahko vidimo kot poravnavo črte peretine dveh ravnin. Kot smo videli več, lahko območje vektorske oblike nastavimo enako:

× + D = 0, de

Normalna površina; - polmer - vektor majhne točke ravnine.

Naj prostor postavlja dve ravnini: × + D 1= 0 in × + D 2= 0, normalni vektorji in koordinate: (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2); (x, y, z). Podobne krivulje za ravne črte v vektorski obliki:

Zagalní vnyannya ravna črta v koordinatni obliki:

Za kar morate poznati polno točko premice števil m, n, p. Če je tako, lahko direktni vektor poznamo kot vektorski podaljšek vektorja v normali na dane ravnine.

Ravnost območja v bližini prostora

Pošlji podatkovne točke in neničelni vektor (tobto , de

odplakniti je normalni vektor.

Yakscho , , , ..., potem enako se lahko spremeni v videz . Številke , і , і

pridi no - kot točka na ravnini, - Vektor pravokoten na ravnino. reka Todi je izravnava površine.

Koeficient , ; blizu enakega območja є koordinate vektorja, pravokotnega na ravnino.

Kako deliti ravnino s številom, ki je enako dolžini vektorja , potem odvzamemo ravnost območja normalne oblike.

Ravnost ravnine, kot prehod skozi točko i je pravokoten na vektor, ki ni nič, .

Be-yak enak prvemu koraku nastavi koordinatni prostor na eno samo ravnino, ki je pravokotna na vektor s koordinatami .

Rivnyannia je enaka ravnini, ki poteka skozi točko i pravokotno na neničelni vektor.

Področje kože postavljeno v sistem pravokotnih koordinat , , enako pameti.

pozor, kakšni so povprečni koeficienti , , je različno od nič, nastavi prostor za območje sistema pravokotnih koordinat. Območje ob prostoru je postavljeno v sistemu pravokotnih koordinat , , enako pameti , pozor, sho.

Pravilna je tista vrnitev trdnosti: enako pameti odplakniti nastavite prostor za sistem pravokotnih koordinat.

De , , , , ,

Območje v bližini prostora je dodeljeno enakim , de , , , - poleg tega tudi decimalna števila , , niso enake 0 in nastavite koordinate vektorja naenkrat , pravokoten na to ravnino in se imenuje normalni vektor.

Pošlji podatkovne točke in neničelni vektor (tobto ). Enako vektorsko ravno območje , de - dovolj točka ravnine) izgleda - poravnava območja za točko in normalnim vektorjem.

Izravnava kože prve stopnje odplakniti postavimo v pravokotni koordinatni sistem ena ravnina, za katero vektor je normalni vektor.

Yakscho , , , , potem enako se lahko spremeni v videz . Številke , і rivní vídzhina vіdrіzkіv, yakí vіdsіkayut ravno na osi , і očitno. Temu enako imenovano enako območju "pri vetrovih".

SEZNAM DŽERELSKIH ZMAG

1.Stereometrija. Geometrija v prostoru. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Rizhik V.I.

2.Alexandrov P. S. Tečaj analitične geometrije in linearne algebre. - Glavna izdaja fizične in matematične literature, 2000. - 512 str.

.Beklemišev D.V. Tečaj analitične geometrije in linearne algebre, 2005. – 304 str.

.Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitična geometrija: Navch. za univerze. - 7. pogled., sr., 2004. - 224 str. - (Tečaj višje matematike in matematične fizike.)

.Efimov N. V. Kratek tečaj analitične geometrije: Navch. pomoč. - 13. pogled., stereo. –, 2005. – 240 str.

.Kanatnikov O.M., Kriščenko O.P. Analitična geometrija. - 2. pogled. -, 2000, 388 s (Ser. Matematika na Tehniški univerzi

.Kadomcev SB. Analitična geometrija in linearna algebra, 2003. – 160 str.

.Fedorchuk V. V. Tečaj analitične geometrije in linearne algebre: Navch. posibnik, 2000. - 328 str.

.Analitična geometrija (zapiski predavanj Y.V. Troickega, 1. letnik, 1999/2000) – 118 str.

.Bortakovski, A.S. Analitična geometrija v aplikacijah in nalogah: Navč. Posibnik/O.S. Bortakovski, A.V. Panteliev. - Vishch. šola, 2005. - 496 s: ilustr. - (Serija "Uporabna matematika").

.Morozova E.A., Skljarenko E.G. Analitična geometrija. Metodološki vodnik 2004. - 103 str.

.Metodična navodila in delovni program za tečaj "Vishcha matematika" - 55 str.

Dva sta naravnost na vzporednem prostranstvu, kot da se smrad ležanja v enem stanovanju ne prekriva.

Dve ravni črti se križata v prostoru, kot da ne obstaja območje, v katerem bi smrdel.

Znaki za prečkanje ravnih črt. Če ena od dveh ravnih črt leži na deakíy in lagnosti, druga ravna črta pa prečka ravnino v točki, če se prva ravna črta ne prekriva, potem se ravne črte križajo.

Ravnina je ravna, tako da se ravnina, vzporedna, ne prekrivata, da smrad ne zaduši spalnih točk.

Znak vzporednosti premice in ravnine. Če je ravna, če se ne prekriva z ravnino, če je vzporedna, če je ravna, če prekriva ravnino, je vzporedna z ravnino.

Moč ravnine in premice, vzporedne z ravnino:

1) če je treba ravnino premikati naravnost, vzporedno z drugo ravnino, in če prečka ravnino, potem je črta ravnin vzporedna s to ravnino;

2) če skozi kožo iz dveh vzporednih ravnih črt, ravnin, ki se prekrivata, potem je linija njihove črte vzporedna s temi ravnimi črtami.

Dve ravnini sta vzporedni, kot da smrad ne more biti spalni točki.

Znaki vzporednosti ravnin, kot da se zdi, da sta dve ravni ravnini iste ravnine, ki se prekrivata, vzporedni z dvema ravninama, potem sta dve ravnini vzporedni.

Premica je pravokotna na ravnino, kakor da bi bila pravokotna na premico, tako da ravnina leži.

Znaki pravokotnosti premice in ravnine: če je premica pravokotna na dve premici, ki se prekrivata, ležita blizu ravnine, potem je pravokotna na ravnino.

Moč premice, pravokotne na ravnino.

1) če je ena od dveh vzporednih črt pravokotna na ravnino, potem je druga črta pravokotna na središče ravnine;

2) ravna, pravokotna na eno od dveh vzporednih ravnin, pravokotna na drugo ravnino.

Znak pravokotnosti ravnin. Če naj se ravnina premika pravokotno na drugo ravnino, je pravokotna na to ravnino.

Ravnica, ki prečka ravnino, vendar ni pravokotna nanjo, se imenuje krhkost na ravnino.

Izrek o treh navpičnicah. Da bi bila ravna, ki leži v bližini ploskve, je bula pravokotna na bolečino, potrebno in zadostuje, da je pravokotna na projekcijo bolehnosti na ploskvi.

Na otroka 1 naravnost b- khila na ravno, naravnost c- projekcija A┴ h, To a┴ b

Kutom med krhkostjo in ravnino imenujemo rez med krhkostjo in projekcijo na ravnino. Na malem 2 naravnost b- pokhila do ravnega, naravnost a- projekcija čiloja na ploskev, α - rez med čilojem in ploskvijo.

Dvostranski kutvoryutsya v preteklosti peretina dveh ravnin. Ravna črta, odrezana s koncem razpona dveh ravnin, se imenuje rob dvostranskega reza. Dva pívploschini іz zagalny rebro se imenujejo obrazi dvostranskega kuta.

Napívní območje, med katerim se zbígaєtsya z robom dvostranske kute in kako razdeliti dvostransko kuto na dva enaka kuti, se imenuje dvosektorsko stanovanje.

Dvostranski rez je zmanjšan na podoben linearni rez. Linearni rez dvostranskega reza se imenuje rez med navpičnicami, ki potekajo od površine kože do roba.

Prizma

Bagatoeder, dve strani reke n- kosinci, ki ležijo ob vzporednih ravninah, in reshta n obrazi - paralelogrami, imenovani n- Vugílnoy prizma.

Dva n- kosintsya je podstavami prizma, paralelogrami - bíchnymi obrazi. Stranice ploskev imenujemo robovi prizme, konce robov pa vrhovi prizme.

Višino prizme imenujemo višina navpičnice, razporeditve med osnovama prizme.

Diagonalo prizme imenujemo križ, ki povezuje dve oglišči osnov, ki ne ležita na isti ploskvi.

Ravna prizma je prizma, katere rebra so pravokotna na ravnine baz (slika 3).

Krhka prizma se imenuje prizma, katere rebra so krhka do ravnosti temeljev (slika 4).

Obsyag in površina površine višinske prizme sta znana po formulah:

Površino stranske površine ravne prizme lahko izračunate s formulo.

Volumen te površine krhke prizme (sl. 4) lahko izračunamo na enak način: de ΔPNK - prerez, pravokotno na rob l.

Pravilna prizma se imenuje ravna prizma, katere osnova je navaden bagatokutnik.

Prizma se imenuje paralelepiped, vse njene ploskve pa paralelogrami.

Ravni paralelepiped je paralelepiped, katerega rebra so pravokotna na ravnine baz.

Ravni paralelopiped se imenuje ravni paralelopiped, katerega osnova je ravni rez.

Potencija diagonale pravokotnega paralelepipeda

Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda je vsota kvadratov treh yogo vimirivov: d² = a² + b² + c², de a,b,c- Dozhina rebra, ki izhajajo iz enega vrha, d- diagonala paralelopipeda (slika 3).

Prostornina pravokotnega paralelepipeda je znana iz formule V=abc.

Kocka se imenuje pravokoten paralelepiped z enakimi rebri. Vse ploskve kocke so kvadrati.

Prostornino, površino in diagonalo kocke z robom poznamo po formulah:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

piramida

Bagatoeder, katerega ena ploskev je bagatokutnik, druge ploskve pa so trikutniki s strmega vrha, se imenuje piramida. Bagatokutnik se imenuje osnova piramide, trikutniki pa bični obrazi.

Višina piramide se imenuje višina navpičnice, ki poteka od vrha piramide do ploskve podnožja.

Če so vsa stranska rebra piramide enakomerna ali pa so nagnjena do ravnine podnožja pod istim kotom, potem se višina spusti do središča opisanega palca.

Če so stranice piramide nagnjene na ravnino baze pod istim kutom (dvostranski kuti, ko stojijo enako), potem se višina spusti do središča vpisanega kola.

Piramida se imenuje pravilna, saj je njena osnova pravilni bagatokutnik, višina pa pade v središče vpisanega in opisanega palca bagatokutnika, ki leži na dnu piramide. Višina bíchní fasete desne piramide, potegnjena iz njenih vrhov, se imenuje apotem.

Na primer, na mali 5 je upodobljena pravilna trikotna piramida SABC(tetraeder): AB= pr. n. št= AC= a, OD=r- polmer palice, vpisan v trikutnik ABC, OA=R- polmer palice, opisana bela trikota ABC, SO=h- Visota

piramide, SD = jaz- apothem, - kut nakhily

rebra SA na ravnino baze, - rez naklona stranske ploskve SBC do vznožja piramide.

Trikotna piramida se imenuje tetraeder. Tetraeder se imenuje pravilen, kot če bi bili njegovi robovi enaki.

Obsyag piramidi, ki jo območje površno pozna po formulah:

De h- Višina piramide.

Površina kvadrata površine pravilne piramide vedeti za formulo, de - apotem piramide.

Prirezana piramida se imenuje bagatoeder, katerega oglišča služijo kot vrhovi osnove piramide, vrhovi njenega dela pa so razrezani čez ravnino, vzporedno z osnovo piramide. Predložite okrnjeno piramido - kot bagatokutniki.

Obsyag okrnjene piramide poznajo formulo , de - površina baze, h - višina prisekane piramide.

Pravilni bagatoedri

Pravilni bagatoeder se imenuje napihnjen bagatoeder, ki ima vse obraze - pravilni bagatokutniki z enakim številom stranic in enakim številom reber se stekajo v kožno vrh bagatoedra.

Strani pravilnega bagatoedra so lahko enakostranski trikutniki, kvadrati ali navadni petikutniki.

Tako kot ima običajni bagatoeder obraze - pravilne trikute, imajo navadni bagatoedri pravilni tetraeder (vin maê 4 obraze), pravilni oktaeder (vin maê 8 ​​obrazov), pravilni ikozaeder (vin maє 20 obrazov).

Če ima običajni bagatoeder kvadratne ploskve, potem se bagatoeder imenuje kocka ali heksaeder (lahko je 6 ploskev).

Če ima običajni bagatoeder obraze z običajnimi p'yatikutniki, se bagatoeder imenuje dodekaeder (lahko je 12 obrazov).

valj

Figura se imenuje valj in kot rezultat je pravokotnik ovit okoli ene strani.

Na malem je 6 ravna - ves ovoj; - Visota, l- Zadovoljivo; ABCD- aksialni prerez valja, odrezan z ovojom pravokotnika na strani. Prostornina te površine valja je znana po formulah:

, , , , de R- osnovni radij, h- Visota, l- pritrdite valj.

Stožec

Figura se imenuje stožec, ovoj ravno krojenega trikota pa je odrezan ob enem od katetrov. Na malem 7 naravnost OB- vsa embalaža; OB = h- Visota, l- zadovoljivo;Δ ABC- aksialni rez stožca, odrežemo ovoje ravno rezanega trikutnika OBC poleg noge OB.