Znak modula je možda jedan od najvažnijih fenomena u matematici. U vezi s tim, mnogi školarci imaju plan obroka, jer će postojati grafikoni funkcija za postavljanje modula. Pogledajmo pobliže hranu.

1. Koristite funkcije rasporeda za promjenu modula

guza 1.

Grafički nacrtajte funkciju y = x 2 - 8 | x | + 12.

Odluka.

Paritet funkcije je značajan. Vrijednosti za y(-x) izbjegavaju se od vrijednosti za y(x), kojoj je dana funkcija para. Tada je graf simetričan duž Oy osi. Nacrtat ćemo graf funkcije y = x 2 – 8x + 12 za x ≥ 0 i simetrično prikazati graf od Oy za negativan x (slika 1).

guza 2.

Napadni raspored izgleda ovako y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Koja je domena vrijednosti predložene funkcije? (y ≥ 0).

- Kako se mijenja raspored? (Iznad cijelog apscisa ili strši).

To znači da će graf funkcije biti sljedeći: graf funkcije y = x 2 – 8x + 12 će ukloniti dio grafa koji se nalazi iznad cijelog Ox, bez promjena, i dio grafa koji leži ispod cijele apscide, prikazati simetrično duž osi Ox (sl. 2).

stražnjica 3.

Za dnevni graf funkcije y = | x 2 - 8 | x | + 12 | provesti kombinaciju prerada:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Presuda: Slika 3.

Razmatraju se transformacije svih vrsta funkcija. Kreirajmo tablicu:

2. Podudovi grafovi funkcija, poput formule “ugniježđeni moduli”

Već smo naučili o primjenama kvadratne funkcije za postavljanje modula, kao io tajnim pravilima za crtanje grafikona funkcija u obliku y = f(|x|), y = |f(x)| i y = |f(|x|)|. Ova transformacija će nam pomoći u satu gledanja u napadnu stražnjicu.

stražnjica 4.

Pogledajmo funkciju kao što je y = |2 – |1 – |x|||. Virus koji definira funkciju nalazi se u modulu.

Odluka.

Ubrzavanje metodom geometrijskih podešavanja.

Zapišimo uzicu naknadnih transformacija i stvorimo drugačije sjedalo (Sl. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Pogledajmo razlike između obrnute simetrije i paralelnog prijenosa, što je glavna tehnika pri radu na dnevnim rasporedima.

stražnjica 5.

Napravite graf funkcije kao što je y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Odluka.

Najprije se modificira donji graf, modificira se formula koja definira funkciju i dobivaju se druge analitičke funkcije (slika 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Pogledajmo modul na natpisu:

Za x > -2, y = x – 2, a za x< -2, y = -(x – 2).

Područje vrijednosti D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-4; +∞).

Točke u kojima se graf pomiče od koordinatne osi: (0; -2) i (2; 0).

Funkcija se mijenja za sve x u intervalu (-∞; -2), raste na x od -2 do +∞.

Ovdje smo imali priliku otkriti predznak modula i izraditi grafikon funkcije za leziju kože.

stražnjica 6.

Pogledajmo funkciju y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Odluka.

Pri razotkrivanju znaka modula potrebno je promatrati raznoliku kombinaciju znakova submodularnih izraza.

Postoji nekoliko mogućih ispada:

(x + 1 – x + 2 = 3, za x ≥ -1 i x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, na x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, za x ≥ -1 í x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, na x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Ovdje je izlazna funkcija:

(3, za x ≥ 2;

y = (-3, na x< -1;

(2x – 1, s -1 ≤ x< 2.

Izabrali smo komadno zadanu funkciju čiji je graf prikazan na slici 6.

3. Algoritam za prikaz funkcija u obliku grafa

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sjekira + b.

Na prednjem dijelu bilo je lako otkriti znakove modula. Ako je zbroj modula veći, onda je problematično promatrati sve kombinacije predznaka submodularnih izraza. Kako će funkcionirati graf funkcije?

Imajte na umu da je graf laman, s vrhovima u točkama gdje su apscizne linije -1 i 2. Na x = -1 i x = 2, submodularni izrazi dosežu nulu. Praktično smo se približili pravilu izrade ovakvih rasporeda:

Graf funkcije izgleda ovako y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sjekira + b ê lamana s neprecrtanim vanjskim rubovima. Za implementaciju takvog Lamana dovoljno je poznavati sve njihove vrhove (apscise vrhova i nule submodularnih izraza) i jednu kontrolnu točku na lijevoj i desnoj neukriženoj liniji.

Zavdannya.

Napravite graf funkcije y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | ali to znati je najmanje važno.

Odluka:

Nulti submodularni izrazi: 0; -1; 1. Vrhovi Lamane (0; 2); (-13); (13). Kontrolna točka desna (2; 6), zla (-2; 6). Napravit ćemo raspored (slika 7). min f(x) = 2.

Ostali bez hrane? Ne znate kako nacrtati graf funkcije s modulom?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.

mjesto, s punim ili djelomičnim kopiranjem materijala poslanog Pershodzherelo ob'yazkov.

Lekcija 5. Redizajniranje rasporeda iz modula (izborna aktivnost)

Svrha: ovladati osnovnim vještinama izrade grafike iz modula.

I. Uvod u lekciju

II . Ponavljanje i utvrđivanje pređenog gradiva

1. Povratna informacija o kućanskim poslovima (analiza neriješenih zadataka).

2. Kontrola savladanog gradiva (pismeno).

opcija 1

f (x), izradite graf funkcije y = f(-x) + 2?

2. Isprobajte graf funkcije:

opcija 2

1. Ako poznajete graf funkcije y = f (x), izradite graf funkcije y = - f(x) - 1?

2. Isprobajte graf funkcije:

III. Razvoj novog materijala

Iz materijala iz prethodne lekcije jasno je da su metode ponovnog stvaranja grafova iznimno komplicirane u njihovom svakodnevnom životu. Dakle, pogledajmo glavne načine preuređivanja grafike kako bi odgovarala modulima. Ove metode su univerzalne i prikladne za bilo koju funkciju. Radi jednostavnosti, pogledajmo sheet-linearnu funkciju f (x) u području od značaja D(f ), raspored nekih bebinih nastupa. Pogledajmo tri standardne transformacije grafike s modulima.

1) Pobudova graf funkcije y = | f(x) |

f /(x), ako je Dx)>0,

Sljedeće se može izostaviti iz vrijednosti modula:To znači da iz dnevnog grafa funkcije y = | f(x )| Potrebno je spremiti dio grafa funkcije y = f(x ), za svaki y ≥ 0. Taj dio grafa funkcije y = f (x), za koje je y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Grafik funkcije y = f(|x|)

G/O), ako je Dx)>0,

Modul se može otvoriti i ukloniti:Stoga, da bismo odmah prikazali graf funkcije y = f(|x |) potrebno je spremiti dio grafa funkcije y = f (x), za bilo koji x ≥ 0. Osim toga, ovaj dio treba simetrično preslikati ulijevo duž ordinatne osi.

3) Pobudova grafika rivnyannya |y| = f(x)

Za potrebe modula, što je f (x) ≥ 0 potrebno je grafički prikazati dvije funkcije: y = f(x) i y = - f (X). To znači da je dnevni raspored jednak |y| = f (x) potreba da se spremi dio grafa funkcije y = f (x), za koje je ≥ 0. Osim toga, ovaj dio mora biti simetrično prikazan prema dolje duž apscisne osi.

S poštovanjem, staleness |y| = f (x) ne specificira funkciju, tada na x∈ (-2,6; 1,4) vrijednost kože x označena je s dvije vrijednosti y. Ovaj mali zamišlja sam raspored |y| = f(x).

Vikorist pažljivo ispituje načine preuređivanja grafova s ​​modulima za stvaranje grafova sa sklopivim funkcijama i razinama.

stražnjica 1

Kreirajmo graf funkcije

Navodno ova funkcija ima cijeli dioTakav graf se dobije s pomaknutim grafom funkcije y = -1/ x 2 jedinice udesno i 1 jedinica dolje. Graf ove funkcije je hiperbola.

stražnjica 2

Kreirajmo graf funkcije

Slično metodi 1, spremamo onaj dio grafa iz primjera 1, za koji je y ≥ 0. Onaj dio grafa, za koji je y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

stražnjica 3

Kreirajmo graf funkcije

Koristeći metodu 2, spremamo dio grafa na dio 1, za koji je x ≥ 0. Ovaj dio je spremljen, osim toga, zrcalno je prikazan lijevo duž ordinatne osi. Odaberemo graf funkcije koji je simetričan duž ordinatne osi.

stražnjica 4

Raspored će biti ažuriran

Slično metodi 3, spremamo dio grafa iz stražnjice 1, za koji je ≥ 0. Osim toga, ovaj dio se sprema simetrično prema dolje duž apscisne osi. Otkažimo raspored za ovaj posao.

Očito, razmatrane metode redizajniranja grafova mogu se proučavati odjednom.

stražnjica 5

Kreirajmo graf funkcije

Vikoristov graf funkcijezahtjevi za primjenu 3. Za primjenu ovog rasporeda, spremite dijelove rasporeda 3, za one ≥ 0. Ti dijelovi rasporeda 3, za one< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

U tim situacijama, ako su moduli pohranjeni drugačijim redoslijedom (niže u metodama 1-3), potrebno je otvoriti module.

stražnjica 6

Kreirajmo graf funkcije

Virazi x - 1 ta x + 2, za ulazak pod znakove modula, promijenite njihove znakove u točkama x = 1 i x = -2 dnevno. Točke na koordinatnoj liniji su značajne. Smrdovi su podijeljeni u tri intervala. Vikoristuyuchi značaj modula, otvaranje modula u području kože.

Odbijamo:

1. Kada

2. Kada

3. Kada

Prikazat će se grafikoni ovih funkcija, servisni intervali za promjenu i otkrit će se znakovi modula. Izravno odbacujemo Lamanu.

Dnevnim rasporedima često dodajte usklađivanje s modulima za pravilnu raspodjelu koordinatne ravnine. Objasnimo gažeći po guzici.

stražnjica 7

Raspored će biti ažuriran

Viraz y - x mijenja predznak u izravni y = x. Pogledajmo direktan pravac – simetralu prve i treće koordinatne crte. Ova ravna linija dijeli točke ravnine u dva područja: 1 – točke koje se prostiru preko prave y – x; 2 - točke, razmaknute ispod ravne crte. U takvim područjima otvaramo modul. U području 1, na primjer, uzmite kontrolnu točku (0; 5). Bachimo, za ovu točku, y - x > 0. Iz zakrivljenog modula možemo ukloniti: y - x + y + x = 4 ili g = 2. To će biti točno na granicama prve regije. Očito, u području 2 vire y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Grafički nacrtajte linearnu funkciju i jednadžbu:

4. Razmotrite graf funkcija, jednakosti i nejednakosti:

VIII. Dodatne torbe za lekciju

Znak modula je možda jedan od najvažnijih fenomena u matematici. U vezi s tim, mnogi školarci imaju plan obroka, jer će postojati grafikoni funkcija za postavljanje modula. Pogledajmo pobliže hranu.

1. Koristite funkcije rasporeda za promjenu modula

guza 1.

Grafički nacrtajte funkciju y = x 2 - 8 | x | + 12.

Odluka.

Paritet funkcije je značajan. Vrijednosti za y(-x) izbjegavaju se od vrijednosti za y(x), kojoj je dana funkcija para. Tada je graf simetričan duž Oy osi. Nacrtat ćemo graf funkcije y = x 2 – 8x + 12 za x ≥ 0 i simetrično prikazati graf od Oy za negativan x (slika 1).

guza 2.

Napadni raspored izgleda ovako y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Koja je domena vrijednosti predložene funkcije? (y ≥ 0).

- Kako se mijenja raspored? (Iznad cijelog apscisa ili strši).

To znači da će graf funkcije biti sljedeći: graf funkcije y = x 2 – 8x + 12 će ukloniti dio grafa koji se nalazi iznad cijelog Ox, bez promjena, i dio grafa koji leži ispod cijele apscide, prikazati simetrično duž osi Ox (sl. 2).

stražnjica 3.

Za dnevni graf funkcije y = | x 2 - 8 | x | + 12 | provesti kombinaciju prerada:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Presuda: Slika 3.

Razmatraju se transformacije svih vrsta funkcija. Kreirajmo tablicu:

2. Podudovi grafovi funkcija, poput formule “ugniježđeni moduli”

Već smo naučili o primjenama kvadratne funkcije za postavljanje modula, kao io tajnim pravilima za crtanje grafikona funkcija u obliku y = f(|x|), y = |f(x)| i y = |f(|x|)|. Ova transformacija će nam pomoći u satu gledanja u napadnu stražnjicu.

stražnjica 4.

Pogledajmo funkciju kao što je y = |2 – |1 – |x|||. Virus koji definira funkciju nalazi se u modulu.

Odluka.

Ubrzavanje metodom geometrijskih podešavanja.

Zapišimo uzicu naknadnih transformacija i stvorimo drugačije sjedalo (Sl. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Pogledajmo razlike između obrnute simetrije i paralelnog prijenosa, što je glavna tehnika pri radu na dnevnim rasporedima.

stražnjica 5.

Napravite graf funkcije kao što je y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Odluka.

Najprije se modificira donji graf, modificira se formula koja definira funkciju i dobivaju se druge analitičke funkcije (slika 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Pogledajmo modul na natpisu:

Za x > -2, y = x – 2, a za x< -2, y = -(x – 2).

Područje vrijednosti D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-4; +∞).

Točke u kojima se graf pomiče od koordinatne osi: (0; -2) i (2; 0).

Funkcija se mijenja za sve x u intervalu (-∞; -2), raste na x od -2 do +∞.

Ovdje smo imali priliku otkriti predznak modula i izraditi grafikon funkcije za leziju kože.

stražnjica 6.

Pogledajmo funkciju y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Odluka.

Pri razotkrivanju znaka modula potrebno je promatrati raznoliku kombinaciju znakova submodularnih izraza.

Postoji nekoliko mogućih ispada:

(x + 1 – x + 2 = 3, za x ≥ -1 i x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, na x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, za x ≥ -1 í x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, na x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Ovdje je izlazna funkcija:

(3, za x ≥ 2;

y = (-3, na x< -1;

(2x – 1, s -1 ≤ x< 2.

Izabrali smo komadno zadanu funkciju čiji je graf prikazan na slici 6.

3. Algoritam za prikaz funkcija u obliku grafa

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sjekira + b.

Na prednjem dijelu bilo je lako otkriti znakove modula. Ako je zbroj modula veći, onda je problematično promatrati sve kombinacije predznaka submodularnih izraza. Kako će funkcionirati graf funkcije?

Imajte na umu da je graf laman, s vrhovima u točkama gdje su apscizne linije -1 i 2. Na x = -1 i x = 2, submodularni izrazi dosežu nulu. Praktično smo se približili pravilu izrade ovakvih rasporeda:

Graf funkcije izgleda ovako y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sjekira + b ê lamana s neprecrtanim vanjskim rubovima. Za implementaciju takvog Lamana dovoljno je poznavati sve njihove vrhove (apscise vrhova i nule submodularnih izraza) i jednu kontrolnu točku na lijevoj i desnoj neukriženoj liniji.

Zavdannya.

Napravite graf funkcije y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | ali to znati je najmanje važno.

Odluka:

Nulti submodularni izrazi: 0; -1; 1. Vrhovi Lamane (0; 2); (-13); (13). Kontrolna točka desna (2; 6), zla (-2; 6). Napravit ćemo raspored (slika 7). min f(x) = 2.

Ostali bez hrane? Ne znate kako nacrtati graf funkcije s modulom?
Zatražite pomoć od učitelja - .

blog.site, s punim ili djelomičnim kopiranjem materijala poslanog Pershodzherel ob'yazkov.

Koristite funkcije grafa za zamjenu znaka modula.

Vjerujem da ste pažljivo pročitali paragraf 23 i da razumijete kako je funkcija klasificirana kao funkcija. Sada pogledajmo još nekoliko aplikacija koje vam mogu pomoći u vašem dnevnom rasporedu.

Primjer 1. Napravite graf funkcije

Mislim na funkciju uma, de.

1. Počnimo s grafom submodularne funkcije, a zatim s funkcijom. Za ovo vidimo cijeli djelić ovoga. Dopustite mi da vas podsjetim da to možete učiniti na dva načina: dijeljenjem brojača na znamennik "na stovpchik" ili ispisivanjem brojača tako da se pojavi broj koji je višekratnik znamennika. Cijeli dio možemo vidjeti na drugi način.

Pa, submodularna funkcija izgleda ovako . To znači da je grafikon hiperbola, pomaknuta 1 jedinicu udesno i 3 jedinice prema gore.

Zaboravit ćemo ovaj raspored.

2. Za održavanje grafa željene funkcije potrebno je ukloniti dio generiranog grafa funkcije koji se nalazi iznad Ox osi bez promjena, a prikazati dio grafa koji leži ispod Ox osi simetrično na gornja str. ispiranje. Vikonaemo ci ponovno stvaranje.

Raspored termina.

Apscisnu točku prečke grafa iz cijelog Oh može se izračunati izravnavanjem

y = 0, tada. Odnesimo ga.

Sada pomoću grafikona možete identificirati sve važne funkcije, pronaći najmanje i najvažnije funkcije između te dodijeliti zadatke parametru.

Na primjer, možete dobiti informacije o ovoj vrsti napajanja. “Za bilo koju vrijednost parametra A Je li ljubomora samo odluka?

Učinimo to izravno y =a za različite vrijednosti parametara A. (Tanke crvene točno na stepenici malog)

Očito je da a<0 , tada graf aktivirane funkcije izravno nema kutnih točaka, pa stoga nema nužnog rješenja.

Yakshcho 0< a<3 ili drugo a>3, zatim ravno y =a Ako raspored crta dvije kutne točke, tada trasa ima dva spoja.

Dobro a = 0 ili drugo a = 3, tada ljubomora može donijeti jednu odluku itd. kod ovih vrijednosti A Ravni graf funkcije pokazuje točno jednu kutnu točku.

guza 2. Napravite graf funkcije

Odluka

Počnimo iscrtavanjem funkcije za negativne vrijednosti x. Na taj način, naša funkcija je u izgledu, a tražena funkcija je funkcija u izgledu.

Graf funkcije pokazuje da je parabola "ispravljena" ulijevo, pomaknuta za 4 jedinice dešnjak. (T. učiniti. možemo otkriti ).

Napravimo graf ove funkcije

A mi ćemo gledati samo onaj dio koji je pomaknut udesno iza Oy osi. Reshta trioma.

Imajte na umu da smo izračunali ordinatne vrijednosti točke grafikona koje leže na ordinatnoj osi. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati vrijednosti funkcije na x = 0. U našem slučaju x = 0 oduzeta y=2.

Sada nacrtajmo funkciju na x< 0 . Za koji ćemo zaboraviti liniju, simetričnu onoj koju smo već zaboravili, duž Oy osi.

Na taj smo način izradili raspored za željenu funkciju.

Primjer 3. Napravite graf funkcije

Ovaj zadatak više nije lak. Bachimo, ovdje nije u redu tip funkcije s modulom: i, i. Idemo redom:

Počnimo s funkcijskim grafom bez ikakvih modula: Zatim ćemo dodati modul argumenta kože. Odbacujemo, dakle, funkciju uma. Za izradu takvog grafa potrebno je postaviti simetriju duž Oy osi. Dodajte još jedan vanjski modul. Izaberimo željenu funkciju. Budući da je ova funkcija uklonjena s prednje strane vanjskog modula, onda imamo na umu funkciju, što znači da je potrebno dobro postaviti simetriju.

Sada se javimo.

Ovo je funkcija shot-line, da biste vidjeli grafikon morate vidjeti cijeli dio, pogledajmo dolje.

To znači da je graf ove funkcije hiperbola, pomaknuta 2 udesno i 4 dolje.

Koordinate točaka na prečki duž koordinatnih osi su izračunljive.

y = 0 na x = 0, tada će graf prolaziti kroz koordinatno zrno.

2. Sada nacrtajmo funkciju.

U tu svrhu, pogledajmo dio gdje lijeva ruka rotira duž Oy osi:

, i tada je simetrična osi Oy. Da budemo iskreni, asimptote su također simetrično prikazane!

Sada ćemo zaboraviti rezidualni graf funkcije: . Za koji se dio prednjeg grafa koji leži iznad Ox osi uklanja bez promjene, a oni koji se nalaze ispod Ox osi simetrično su zamislivi na gornjoj ravnini. Opet, ne zaboravite da se asimptote prikazuju istovremeno s grafa!

Raspored termina.

Primjer 4. Vikorist i razne transformacije grafova, koristite graf funkcije

Izgleda kao da je potpuno zeznuto i presavijeno! Hrpa modula! A kvadrat X nema modul! Nemoguće je zapamtiti!

Dakle, ovako se otprilike može mjeriti prosječni učenik 8. razreda, koji nije upoznat s tehnologijom svakodnevnih grafikona.

Ale ne mi! Štoviše, poznajemo različite načine preuređivanja funkcionalne grafike i također poznajemo različite razine snage modula.

Pa krenimo redom.

Prvi problem je nedostatak modula u x i kvadratu. Nema problema. Znamo što. Dobro. Pa, naša se funkcija može napisati kao . Još je ljepši, sličan je .

Dali. Funkcija je vanjski modul koji će vjerojatno morati slijediti pravila grafike funkcije. Nevjerojatno je da je ovo submodularni virus. Ova funkcija je na umu . Ako nije -2, tada će funkcija biti ponovno postavljena pomoću vanjskog modula i znat ćemo kako grafički prikazati funkciju za dodatnu simetriju. Da! Ako ćemo biti yogo, tada ćemo, pomaknuvši yogo dolje za 2 jedinice, ukloniti shukane!

Pa, sad počinjem da ludim. Pokušajmo sastaviti algoritam za tjedni raspored.

1.

5. I na primjer, . Sve one koje leže niže iza osi Ox prividno su simetrične u odnosu na gornju ravninu.

hura! Raspored je spreman!

Sretno s teškim rasporedom!