Завдання з пошуку точок перетинубудь-яких фігур ідеологічно примітивні. Труднощі в них бувають тільки через арифметики, тому що саме в ній допускаються різні помилки і помилки.

Інструкція

1. Дане завдання вирішується аналітично, слідчо дозволено зовсім не малювати графіки прямийі параболи. Найчастіше це дає величезний плюс у вирішенні прикладу, тому що в завданні можуть бути дані такі функції, що їх простіше і стрімкіше НЕ намалювати.

2. Згідно підручниками з алгебри парабола задається функцією виду f (x) = ax ^ 2 + bx + c, де a, b, c - це речові числа, до того ж показник a хороший він нуля. Функція g (x) = kx + h, де k, h - це речові числа, визначає пряму на площині.

3. Крапка перетину прямийі параболи - це загальна точка обох кривих, слідчо в ній функції візьмуть ідентичні значення, тобто f (x) = g (x). Дана заява дозволяє записати рівняння: ax ^ 2 + bx + c = kx + h, яке дасть можливість виявити безліч точок перетину .

4. У рівнянні ax ^ 2 + bx + c = kx + h потрібно перенести всі складові в ліву частину і привести подібні: ax ^ 2 + (b-k) x + c-h = 0. Зараз залишається вирішити отримане квадратне рівняння.

5. Всі виявлені "ікси" - це ще не результат на завдання, тому що точку на площині характеризують два дійсних числа (x, y). Для повного висновку рішення потрібно обчислити відповідні "ИГРИК". Для цього необхідно підставити "ікси" або в функцію f (x), або в функцію g (x), чай для точки перетинуправильно: y = f (x) = g (x). Пізніше цього ви виявите все загальні точки параболи і прямий .

6. Для закріплення матеріалу дюже важливо розглядати рішення на прикладі. Нехай парабола задається функцією f (x) = x ^ 2-3x + 3, а пряма - g (x) = 2x-3. Складіть рівняння f (x) = g (x), тобто x ^ 2-3x + 3 = 2x-3. Переносячи всі складові в ліву частину, і приводячи подібні, отримаєте: x ^ 2-5x + 6 = 0. Коріння цього квадратного рівняння: x1 = 2, x2 = 3. Зараз виявіть відповідні "ИГРИК": y1 = g (x1) = 1, y2 = g (x2) = 3. Таким чином, виявлені всі крапки перетину: (2,1) і (3,3).

крапку перетинупрямих дозволено приблизно визначити за графіком. Втім частенько необхідні точні координати цієї точки або графік будувати не потрібно, тоді можна виявити точку перетину, Знаючи тільки рівняння прямих.

Інструкція

1. Нехай дві прямі задані загальними рівняннями прямої: A1 * x + B1 * y + C1 = 0 і A2 * x + B2 * y + C2 = 0. Точка перетинуналежить і одній прямій, і інший. Висловимо з першого рівняння прямої x, отримаємо: x = - (B1 * y + C1) / A1. Підставами отримане значення в друге рівняння: -A2 * (B1 * y + C1) / A1 + B2 * y + C2 = 0. Або -A2B1 * y - A2C1 + A1B2 * y + A1C2 = 0, звідси y = (A2C1 - A1C2) / (A1B2 - A2B1). Підставами виявлене значення в рівняння першої прямої: A1 * x + B1 (A2C1 - A1C2) / (A1B2 - A2B1) + C1 = 0.A1 (A1B2 - A2B1) * x + A2B1C1 - A1B1C2 + A1B2C1 - A2B1C1 = 0 (A1B2 - A2B1) * x - B1C2 + B2C1 = 0Тогда x = (B1C2 - B2C1) / (A1B2 - A2B1).

2. У шкільному курсі математики прямі часто задаються рівнянням з кутовим показником, розглянемо даний випадок. Нехай дві прямі задані таким чином: y1 = k1 * x + b1 і y2 = k2 * x + b2. Мабуть, що в точці перетину y1 = y2, тоді k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Отримуємо, що ордината точки перетину x = (b2 - b1) / (k1 - k2). Підставами x в будь-яке рівняння прямої і отримаємо y = k1 (b2 - b1) / (k1 - k2) + b1 = (k1b2 - b1k2) / (k1 - k2).

Відео по темі

рівняння параболиє квадратичною функцією. Існує кілька варіантів складання цього рівняння. Все залежить від того, які параметри представлені в умові завдання.

Інструкція

1. Парабола є кривою, яка за своєю формою нагадує дугу і є графіком статечної функції. Незалежно від того, які колляціі має парабола, ця функція є парною. Парної іменується така функція, у якій при всіх значеннях аргументу з області визначення при зміні знака аргументу значення не змінюється: f (-x) = f (x) Почніть з самої примітивну функції: y = x ^ 2. З її виду дозволено зробити підсумок, що вона наростає як при правильних, так і при негативних значеннях аргументу x. Точка, в якій x = 0, і при цьому, y = 0 вважається точкою мінімуму функції.

2. Нижче наведені всі основні варіанти побудови цієї функції і її рівняння. Як перший приклад нижче розглянута функція виду: f (x) = x ^ 2 + a, де a - ціле чіслоДля того, щоб звести графік даної функції, потрібно зрушити графік функції f (x) на a одиниць. Прикладом може служити функція y = x ^ 2 + 3, де по осі y зрушують функцію вгору на дві одиниці. Якщо дана функція з протилежним знаком, скажімо y = x ^ 2-3, то її графік зрушують вниз по осі y.

3. Ще один вид функції, якої може бути задана парабола - f (x) = (x + a) ^ 2. У таких випадках графік, навпаки, зсувається по осі абсцис (осі x) на a одиниць. Для прикладу можна розгледіти функції: y = (x +4) ^ 2 і y = (x-4) ^ 2. У першому випадку, де є функція зі знаком плюс, графік зрушують по осі x наліво, а в другому випадку - вправо. Всі ці випадки показані на малюнку.

4. Існують також параболічні залежності виду y = x ^ 4. При таких випадках x = const, а y круто підвищується. Втім, це стосується тільки парних функцій.Графікі параболичасто присутні і в фізичних задачах, скажімо, політ тіла описує лінію, схожу саме на параболу. також вид параболимає подовжній перетин рефлектора фари, ліхтаря. На відміну від синусоїди, даний графік є неперіодичним і наростаючим.

Рада 4: Як визначити точку перетину прямої з площиною

Дане завдання на побудову точки перетину прямийз площиною є класичною в курсі інженерної графіки і виконується способами нарисної геометрії і їх графічного рішення на кресленні.

Інструкція

1. Розглянемо визначення точки перетину прямийз площиною приватного розташування (рисунок 1) .Прямая l перетинає фронтально-проектує площину ?. точка їх перетину K належить і прямийі площини, значить, загальна проекція K2 лежить на? 2 і l2. Тобто, K2 = l2 ?? 2, а її горизонтальна проекція K1 визначається на l1 за допомогою лінії проекційної связі.Такім чином, бажана точка перетину K (K2K1) будується невимушено без використання допоміжних плоскостей.Подобно визначаються точки перетину прямийз усякими площинами приватного розташування.

2. Розглянемо визначення точки перетину прямийз площиною загального розташування. На малюнку 2 в просторі задані довільно розташовані площину? і пряма l. Для визначення точки перетину прямийз площиною загального розташування використовується спосіб допоміжних січних площин в подальшому порядку:

3. Через пряму l проводиться допоміжна січна площина? .Для полегшення побудов це буде проектує площину.

5. Відзначається точка K перетину прямий l і побудованої лінії перетину MN. Вона і є бажаною точкою перетину прямийі площини.

6. Застосуємо це правило для вирішення певної задачі на комплексному чертеже.Прімер. визначити точку перетину прямий l з площиною загального розташування, заданої трикутником ABC (рисунок 3).

7. Через пряму l проводиться допоміжна січна площина ?, перпендикулярна площині проекції? 2. Її проекція? 2 збігається з проекцією прямий l2.

8. Будується лінія MN. Площина? перетинає AB в точці M. Відзначається її загальна проекція M2 =? 2? A2B2 і горизонтальна M1 на A1B1 по лінії проекційної связі.Плоскость? перетинає сторону AC в точці N. Її загальна проекція N2 =? 2? A2C2, горизонтальна проекція N1 на A1C1.Прямая MN належить одноразово обом площинам, а, значить, є лінією їх перетину .

9. Визначається точка K1 перетину l1 і M1N1, після цього з підтримкою лінії зв'язку будується точка K2. Виходить, K1 і K2 - проекції бажаною точки перетину K прямий l і площині? ABC: K (K1K2) = l (l1l2)? ? ABC (A1B1C1, A2B2C2) .При допомоги конкуруючих точок М, 1 і 2,3 визначається видимість прямий l щодо даної площини? ABC.

Відео по темі

Зверніть увагу!
Застосовуйте допоміжну площину при вирішенні задачі.

Корисна порада
Виконуйте обчислення, застосовуючи докладні креслення, що відповідають умовам завдання. Це допоможе стрімкіше зорієнтуватися в рішенні.

Дві прямі, якщо вони непаралельні і не збігаються, неухильно перетинаються в одній точці. Виявити координати цього місця - значить обчислити точки перетинупрямих. Дві пересічні прямі незмінно лежать в одній площині, слідчо досить розглядати їх в декартовій площині. Розберемо на прикладі, як виявити загальну точку прямих.

Інструкція

1. Візьміть рівняння 2-х прямих, пам'ятаючи про те, що рівняння прямої в декартовій системі координат рівняння прямої виглядає як ах + ву + з = 0, причому а, в, с - звичайні числа, а х і у - координати точок. Для прикладу виявіть точки перетинупрямих 4х + 3у-6 = 0 і 2х + у-4 = 0. Для цього знайдіть рішення системи цих 2-х рівнянь.

2. Для вирішення системи рівнянь змініть будь-яке з рівнянь так, щоб перед y стояв ідентичний показник. Тому що в одному рівнянні показник перед у дорівнює 1, то примітивно помножте це рівняння на число 3 (показник перед у будь-якому іншому рівнянні). Для цього будь-який елемент рівняння помножте на 3: (2х * 3) + (у * 3) - (4 * 3) = (0 * 3) та отримаєте звичайне рівняння 6х + 3у-12 = 0. Якби показники перед у були чудові від одиниці в обох рівняннях, множити потрібно було б обидва рівності.

3. Відніміть з одного рівняння інше. Для цього відніміть з лівої частини одного ліву частину іншого і вірно також поступите з правого. Отримайте такий вислів: (4х + 3у-6) - (6х + 3у-12) = 0-0. Тому що перед дужкою стоїть знак «-», все знаки в дужках поміняйте на протилежні. Отримайте такий вислів: 4х + 3у-6 - 6х-3у + 12 = 0. Спростіть вираз і ви побачите, що змінна у зникла. Нове рівняння виглядає так: 2х + 6 = 0. Перенесіть число 6 в іншу частину рівняння, і з отриманого рівності 2х = -6 висловіть х: х = (- 6) / (- 2). Таким чином, ви отримали х = 3.

4. Підставте значення х = 3 в будь-яке рівняння, скажімо, в другу і отримаєте такий вислів: (2 * 3) + у-4 = 0. Спростіть і висловіть у: у = 4-6 = -2.

5. Запишіть отримані значення х і у у вигляді координат точки(3; -2). Ці та буде рішення задачі. Перевірте отримане значення способом підстановки в обидва рівняння.

6. Якщо прямі не дано у вигляді рівнянь, а дані примітивно на площині, виявіть координати точки перетинуграфічно. Для цього продовжите прямі так, щоб вони перетнулися, після цього опустіть на осі ох і оу перпендикуляри. Перетин перпендикулярів з осями ох і оу, буде координатами цієї точки, Подивіться на малюнок і ви побачите, що координати точки перетинух = 3 і у = -2, тобто точка (3; -2) і є рішення задачі.

Відео по темі

Парабола - це плоска крива другого порядку, канонічне рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд y? = 2px. Де р - це фокальний параметр параболи, що дорівнює відстані від фіксованої точки F, званої фокусом, до фіксованої прямої D в цій же площині, що носить ім'я - директриса. Вершина такий параболи проходить через передмову координат, а сама крива симетрична відносно осі абсцис Ох. У шкільному курсі алгебри прийнято розглядати параболу, вісь симетрії якої збігається з віссю ординат Оу: x? = 2py. А рівняння при цьому записується кілька навпаки: y = ax? + Bx + c, а = 1 / (2p). Намалювати параболу дозволено кількома методами, умовно які дозволено назвати алгебраїчним і геометричним.

Інструкція

1. Алгебраїчне побудова параболи.Узнаете координати вершини параболи. Координату по осі Ох обчисліть за формулою: x0 = -b / (2a), а по осі Оy: y0 = - (b? -4ac) / 4a або підставте отримане значення х0 в рівняння параболи y0 = ax0? + Bx0 + c і обчисліть значення.

2. На координатної площині побудуйте вісь симетрії параболи. Її формула збігається з формулою координати х0 вершини параболи: x = -b / (2a). Визначте, куди спрямовані гілки параболи. Якщо а> 0, то осі спрямовані вгору, якщо а

3. Візьміть довільно 2-3 значення для параметра х так, щоб: х0

4. Поставте точки 1 ', 2', і 3 'так, щоб вони були симетричні точкам 1, 2, 3 щодо осі симетрії.

5. Об'єднайте точки 1 ', 2', 3 ', 0, 1, 2, 3 плавної косою лінією. Продовжіть лінію вгору або вниз, в залежності від напрямку параболи. Парабола побудована.

6. Геометричну побудову параболи. Даний спосіб заснований на визначенні параболи, як спільності точок, рівновіддалених як від фокусу F, так і від директриси D.Следственно спочатку виявіть фокальний параметр заданої параболи р = 1 / (2а).

7. Побудуйте вісь симетрії параболи, як описано у 2 кроці. На ній поставте крапку F з координатою по осі Оу рівною у = р / 2 і точку D з координатою у = -р / 2.

8. За допомогою кутника побудуйте лінію, що проходить через точку D, перпендикулярну осі симетрії параболи. Ця лінія - директриса параболи.

9. Візьміть нитку по довжині дорівнює одному з катетів кутника. Один кінець нитки кнопкою закріпіть на вершині кутника, до якого прилягає даний катет, а 2-й кінець - у фокусі параболи в точці F. Лінійку покладіть так, щоб її верхній край збігався з директоркою D. На лінійку поставте косинець, вільним від кнопки катетом .

10. Олівець встановіть так, щоб він своїм вістрям притискав нитку до катету кутника. Рухайте кутник по лінійки. Олівець викреслить необхідну вам параболу.

Відео по темі

Зверніть увагу!
Чи не малюйте вершину параболи у вигляді кута. Її гілки сходяться один з одним, плавно закруглюючись.

Корисна порада
При побудові параболи геометричним методом стежте, щоб нитка незмінно була натягнута.

Раніше ніж приступити до вишукування поведінки функції, потрібно визначити область метаморфози розглянутих величин. Приймемо допущення, що змінні належать до безлічі дійсних чисел.

Інструкція

1. Функція - це змінна величина, що залежить від значення аргументу. Довід - змінна самостійна. Межі змін аргументу іменуються областю можливих значень (ОДЗ). Поведінка функції розглядається в рамках ОДЗ тому, що в цих межах зв'язаність між двома змінними хаотичне, а підпорядковується певним правилам і може бути записана у вигляді математичного виразу.

2. Розглянемо довільну функціональну зв'язаність F =? (X), де? - математичний вираз. Функція може мати точки перетину з осями координат або з іншими функціями.

3. У точках перетину функції з віссю абсцис функція стає рівною нулю: F (x) = 0.Решіте це рівняння. Ви отримаєте координати точок перетину заданої функції з віссю ОХ. Таких точок буде стільки, скільки знайдеться коренів рівняння на заданому ділянці метаморфози аргументу.

4. У точках перетину функції з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Слідчо, завдання перетворюється в знаходження значення функції при х = 0. Точок перетину функції з віссю OY буде стільки, скільки знайдеться значень заданої функції при нульовому доводи.

5. Для знаходження точок перетину заданої функції з іншою функцією потрібно вирішити систему рівнянь: F =? (X) W =? (X) .Тут? (X) - вираз, що описує задану функцію F,? (X) - вираз, що описує функцію W , точки перетину з якої заданої функції треба виявити. Мабуть, що в точках перетину обидві функції беруть рівні значення при рівних значеннях аргументів. Загальних точок у 2-х функцій буде стільки, скільки рішень у системи рівнянь на заданому ділянці змін аргументу.

Відео по темі

У точках перетину функції мають рівні значення при ідентичному значенні аргументу. Виявити точки перетину функцій - значить визначити координати загальних для пересічних функцій точок.

Інструкція

1. У загальному вигляді задача знаходження точок перетину функцій одного аргументу Y = F (x) і Y? = F? (X) на площині XOY зводиться до вирішення рівняння Y = Y ?, від того що в загальній точці функції мають рівні значення. Значення х, що задовольняють рівності F (x) = F? (X), (якщо вони існують) є абсциссами точок перетину заданих функцій.

2. Якщо функції задані нескладним математичним виразом і залежать від одного аргументу х, то завдання знаходження точок перетину дозволено вирішити графічно. Побудуйте графіки функцій. Визначте точки перетину з осями координат (х = 0, y = 0). Задайте ще кілька значень аргументу, виявіть відповідні значення функцій, додайте отримані точки на графіки. Чим огромнее точок буде використано для побудови, тим вірніше буде графік.

3. Якщо графіки функцій перетнуться, визначте за кресленням координати точок перетину. Для перевірки підставте ці координати в формули, якими задані функції. Якщо математичні вирази виявляться об'єктивними, точки перетину виявлені позитивно. Якщо графіки функцій не перетинаються, випробуйте змінити масштаб. Зробіть крок між точками побудови огромнее, щоб визначити, на якій ділянці числовий площині лінії графіків зближуються. Після цього на виявленому ділянці перетину побудуйте більше докладний графік з дрібним кроком для точного визначення координат точок перетину.

4. Якщо необхідно виявити точки перетину функцій не на площині, а в тривимірному просторі, доводиться розглядати функції 2-х змінних: Z = F (x, y) і Z? = F? (X, y). Для визначення координат точок перетину функцій необхідно вирішити систему рівнянь з двома незнайомими х і y при Z = Z ?.

Відео по темі

Отже, основні параметри графіка квадратичної функції показані на малюнку:

Розглянемо кілька способів побудови квдартічной параболи.Залежно від того, яким чином задана квадратична функція, можна вибрати найбільш зручний.

1 . Функція задана формулою .

Розглянемо загальний алгоритм побудови графіка квадратичної параболина прикладі побудови графіка функції

1 . Напрямок гілок параболи.

Так як, гілки параболи спрямовані вгору.

2 . Знайдемо дискримінант квадратного тричлена

Діскрімнант квадратного тричлена більше нуля, тому парабола має дві точки перетину з віссю ОХ.

Для того, щоб знайти їх координати, вирішимо рівняння:

,

3 . Координати вершини параболи:

4 . Точка перетину параболи з віссю OY: (0; -5), і їй симетрична щодо осі симетрії параболи.

Нанесемо ці точки на координатну площину, і з'єднаємо їх плавною кривою:

Цей спосіб можна дещо спростити.

1. Знайдемо коодінати вершини параболи.

2. Знайдемо координати точок, що стоять праворуч і ліворуч від вершини.

Скористаємося результатами побудови графіка функції

Кррдінати вершини параболи

Найближчі до вершини точки, розташовані зліва від вершини мають абсциси відповідно -1; -2; -3

Найближчі до вершини точки, розташовані праворуч мають абсциси відповідно 0; 1; 2

Подстве значення х в рівняння функції, знайдемо ординати цих точок і занесемо їх в таблицю:

Нанесемо ці точки на кордінатную площину і з'єднаємо плавною лінією:

2 . Рівняння квадратичної функції має вигляд - в цьому рівнянні - координати вершини параболи

або в рівнянні квадратичної функції , І другий коефіцієнт - парне число.

Побудуємо для прикладу графік функції .

Згадаймо лінійні перетворення графіків функцій. Щоб побудувати графік функції , потрібно

§ спочатку побудувати графік функції,

§ потім одінати всіх точок графіка помножити на 2,

§ потім зрушити його вздовж осі ОХ на 1 одиницю вправо,

§ а потім уздовж осі OY на 4 одиниці вгору:

Тепер розглянемо побудову графіка функції . У рівнянні цієї функції, і другий коефіцієнт - парне число.