Системою нерівностейприйнято називати будь-яку сукупність двох або більше нерівностей, що містять невідому величину.

Наочно це формулювання ілюструють, наприклад, такі системи нерівностей:

Розв'язати систему нерівностей - означає визначити всі значення невідомої змінної, у яких реалізується кожне нерівність системи, чи довести, що таких немає .

Значить, для кожного окремого нерівності системиобчислюємо невідому змінну. Далі з значень, що вийшли, вибирає тільки ті, які вірні і для першої і для другої нерівності. Отже, під час встановлення обраного значення обидві нерівності системи стають правильними.

Розберемо розв'язання кількох нерівностей:

Розмістимо одну під іншою пару числових прямих; на верхню нанесемо величину x, при яких перша нерівність ( x> 1) ставати вірним, але в нижній—величину х, які є рішенням другої нерівності ( х> 4).

Зіставивши дані на числових прямих, відзначимо, що рішення для обох нерівностейбуде х> 4. Відповідь, х> 4.

приклад 2.

Обчислюючи перше нерівністьотримуємо -3 х< -6, или x> 2, друге - х> -8, або х < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения х, за яких реалізується перше нерівність системи, а на нижню числову пряму, всі ті значення х, у яких реалізується друга нерівність системи.

Зіставивши дані, отримуємо, що обидва нерівностіреалізовуватимуться при всіх значеннях х, Розміщених від 2 до 8. Безліч значень хпозначаємо подвійною нерівністю 2 < х< 8.

Приклад 3.Знайдемо

Вирішення нерівностей онлайн

Перед тим як вирішувати нерівності, необхідно добре засвоїти, як вирішуються рівняння .

Не важливо якою є нерівність – строга () або нестрога (≤, ≥), насамперед приступають до вирішення рівняння, замінивши знак нерівності на рівність (=).

Пояснимо, що означає вирішити нерівність?

Після вивчення рівнянь у голові у школяра складається така картина: необхідно визначити такі значення змінної, у яких обидві частини рівняння набувають однакових значень. Іншими словами, знайти всі точки, у яких виконується рівність. Все правильно!

Коли говорять про нерівності, мають на увазі знаходження інтервалів (відрізків), на яких виконується нерівність. Якщо в нерівності дві змінні, то рішенням будуть не інтервали, а якісь площі на площині. Здогадайтеся самі, що буде розв'язанням нерівності від трьох змінних?

Як вирішувати нерівності?

Універсальним способом вирішення нерівностей вважають метод інтервалів (він же метод проміжків), який полягає у визначенні всіх інтервалів, у межах яких виконуватиметься задана нерівність.

Не вдаючись у тип нерівності, у разі це суть, потрібно вирішити відповідне рівняння і його коріння з наступним позначенням цих рішень на числової осі.

Як правильно записувати розв'язання нерівності?

Коли ви визначили інтервали розв'язків нерівності, потрібно грамотно виписати саме рішення. Є важливий нюанс – чи входять межі інтервалів до вирішення?

Тут усе просто. Якщо рішення рівняння задовольняє ОДЗ і нерівність є суворим, межа інтервалу входить у розв'язання нерівності. Інакше – ні.

Розглядаючи кожен інтервал, розв'язанням нерівності може бути сам інтервал, або напівінтервал (коли одна з його меж задовольняє нерівності), або відрізок – інтервал разом із його межами.

Важливий момент

Не думайте, що розв'язанням нерівності можуть бути лише інтервали, напівінтервали та відрізки. Ні, у рішення можуть входити і окремі точки.

Наприклад, у нерівності |x|≤0 лише одне рішення – це точка 0.

А в нерівності | x |

Навіщо потрібен калькулятор нерівностей?

Калькулятор нерівностей видає правильну підсумкову відповідь. При цьому здебільшого наводиться ілюстрація числової осі або площини. Видно, чи входять межі інтервалів у розв'язання чи ні – точки відображаються зафарбованими чи проколотими.

Завдяки онлайн калькулятору нерівностей можна перевірити, чи правильно ви знайшли корені рівняння, позначили їх на числовій осі та перевірили на інтервалах (і межах) виконання умови нерівності?

Якщо ваша відповідь розходиться з відповіддю калькулятора, то однозначно потрібно перевірити ще раз своє рішення і виявити припущену помилку.

Існують лише «ікси» і лише вісь абсцис, то зараз додаються «ігреки» і поле діяльності розширюється до всієї координатної площини. Далі за текстом словосполучення «лінійна нерівність» розуміємо у двомірному значенні, який проясниться через лічені секунди.

Крім аналітичної геометрії, матеріал актуальний для низки завдань математичного аналізу, економіко-математичного моделювання, тому рекомендую проштудувати цю лекцію з усією серйозністю.

Лінійні нерівності

Розрізняють два типи лінійних нерівностей:

1) Суворінерівності: .

2) Нестрогінерівності: .

Який геометричний зміст цих нерівностей?Якщо лінійне рівняння задає пряму, то лінійна нерівність визначає напівплощина.

Для розуміння нижченаведеної інформації потрібно знати різновиди прямих на площині та вміти будувати прямі. Якщо виникнуть проблеми у цій частині, прочитайте довідку Графіки та властивості функцій- Параграф про лінійну функцію.

Почнемо з найпростіших лінійних нерівностей. Блакитна мрія будь-якого двієчника - координатна площина, на якій немає нічого:

Як відомо, вісь абсцис задається рівнянням – «ігрок» завжди (при будь-якому значенні «ікс») дорівнює нулю

Розглянемо нерівність. Як його розуміти неформально? "Ігрек" завжди (при будь-якому значенні "ікс") позитивний. Очевидно, що ця нерівність визначає верхню півплощину - адже там і знаходяться всі крапки з позитивними "ігреками".

У тому випадку, якщо нерівність несувора, до верхньої півплощини додатковододається сама вісь.

Аналогічно: нерівності задовольняють всі точки нижньої напівплощини, несуворої нерівності відповідає нижня напівплощина + вісь.

З віссю ординат та сама прозаїчна історія:

– нерівність ставить праву напівплощину;
– нерівність ставить праву полуплоскость, включаючи вісь ординат;
– нерівність ставить ліву полуплоскость;
– нерівність ставить ліву полуплоскость, включаючи вісь ординат.

На другому кроці розглянемо нерівності, у яких відсутня одна із змінних.

Відсутній «ігрок»:

Або відсутня «ікс»:

З такими нерівностями можна розібратися двома способами, будь ласка, розгляньте обидва підходи. Принагідно згадаємо-закріпимо шкільні дії з нерівностями, вже розібрані на уроці Область визначення функції.

Приклад 1

Вирішити лінійні нерівності:

Що означає розв'язати лінійну нерівність?

Вирішити лінійну нерівність – це означає знайти напівплощину, точки якої задовольняють цій нерівності (плюс саму пряму, якщо нерівність непогана). Рішення, як правило, графічне.

Найзручніше виконати креслення, а потім все закоментувати:

а) Вирішимо нерівність

Спосіб перший

Спосіб дуже нагадує історію з координатними осями, яку ми розглянули вище. Ідея полягає у перетворенні нерівності – щоб у лівій частині залишити одну змінну без жодних констант, у разі – змінну «ікс».

Правило: У нерівності доданки переносяться з частини до частини зі зміною знака, при цьому знак НАЙРАВНОСТІ не змінюється(наприклад, якщо був знак «меншим», то так і залишиться «меншим»).

Переносимо «п'ятірку» у праву частину зі зміною знака:

Правило ПОЗИТИВНЕ не змінюється.

Тепер чортимо пряму (синя пунктирна лінія). Пряма проведена пунктиром з тієї причини, що нерівність суворе, і точки, що належать даній прямій, свідомо не входитимуть до рішення.

Який сенс нерівності? "Ікс" завжди (при будь-якому значенні "гравець") менше, ніж . Очевидно, що цьому твердженню задовольняють усі точки лівої напівплощини. Цю напівплощину, в принципі, можна заштрихувати, але я обмежуся маленькими синіми стрілочками, щоб не перетворювати креслення на художню палітру.

Спосіб другий

Це є універсальний спосіб. ЧИТАЄМО ДУЖЕ УВАЖНО!

Спочатку креслимо пряму. Для ясності, до речі, рівняння доцільно у вигляді .

Тепер вибираємо будь-яку точку площини, не належить прямої. Найчастіше, сама ласа точка, звичайно . Підставимо координати цієї точки в нерівність:

Отримано неправильна нерівність(Простими словами, так бути не може), значить, точка не задовольняє нерівності.

Ключове правило нашого завдання:
не задовільняєнерівності, то й УСЕточки даної напівплощини не задовольняютьцій нерівності.
– Якщо будь-яка точка напівплощини (що не належить прямої) задовольняєнерівності, то й УСЕточки даної напівплощини задовольняютьцій нерівності.

Можете протестувати: будь-яка точка праворуч від прямої не задовольнятиме нерівності.

Який висновок із проведеного досвіду з точкою? Подітися нікуди, нерівності задовольняють всі точки іншої – лівої напівплощини (теж можете перевірити).

б) Вирішимо нерівність

Спосіб перший

Перетворимо нерівність:

Правило: Обидві частини нерівності можна помножити (розділити) на НЕГАТИВНЕчисло, у своїй знак нерівності МЕНЯЄТЬСЯна протилежний (наприклад, якщо був знак «більше або одно», то стане «меншим або одно»).

Примножуємо обидві частини нерівності на:

Накреслимо пряму (червоний колір), причому, накреслимо суцільною лінією, тому що нерівність у нас непогане, і пряма свідомо належить рішенню.

Проаналізувавши отриману нерівність, приходимо до висновку, що його рішенням є нижня напівплощина (+ сама пряма).

Відповідну полуплоскость штрихуємо або помічаємо стрілочками.

Спосіб другий

Накреслимо пряму. Виберемо довільну точку площини (що не належить прямої), наприклад, і підставимо її координати в нашу нерівність:

Отримано вірна нерівність, Отже, точка задовольняє нерівності , і взагалі – ВСІ точки нижньої полуплоскости задовольняють цій нерівності.

Тут піддослідною точкою ми «потрапили» у потрібну напівплощину.

Розв'язання задачі позначено червоною прямою та червоними стрілочками.

Особисто мені більше подобається перший спосіб вирішення, оскільки другий таки формальніший.

Приклад 2

Вирішити лінійні нерівності:

Це приклад самостійного рішення. Намагайтеся вирішити завдання двома способами (до речі, це хороший спосіб перевірки рішення). У відповідь наприкінці уроку буде лише підсумковий креслення.

Думаю, після всіх виконаних у прикладах дій вам доведеться на них одружитися не важко вирішити найпростішу нерівність на кшталт і т.п.

Переходимо до розгляду третього, загального випадку, коли у нерівності присутні обидві змінні:

Як варіант, вільний член "це" може бути нульовим.

Приклад 3

Знайти напівплощини, що відповідають наступним нерівностям:

Рішення: Тут використовується універсальний метод вирішення з підстановкою точки.

а) Побудуємо рівняння прямої , у своїй лінію слід провести пунктиром, оскільки нерівність суворе і пряма не увійде у рішення.

Вибираємо піддослідну точку площини, яка не належить даній прямій, наприклад, і підставимо її координати в нашу нерівність:

Отримано неправильна нерівність, Отже, точка і ВСІ точки даної напівплощини не задовольняють нерівності. Рішенням нерівності буде інша напівплощина, милуємося синіми блискавками:

б) Вирішимо нерівність. Спочатку збудуємо пряму. Це зробити нескладно, маємо канонічна пряма пропорційність. Лінію проводимо суцільником, тому що нерівність непогана.

Виберемо довільну точку площини, яка не належить прямої . Хотілося б знову використати початок координат, але, на жаль, зараз воно не годиться. Тому доведеться працювати з іншою подругою. Найвигідніше взяти точку з невеликими значеннями координат, наприклад, . Підставимо її координати в нашу нерівність:

Отримано вірна нерівність, Отже, точка і всі точки даної напівплощини задовольняють нерівності. Шукана напівплощина позначена червоними стрілочками. Крім того, у рішення входить сама пряма .

Приклад 4

Знайти напівплощини, що відповідають нерівностям:

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення, зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Розберемо зворотне завдання:

Приклад 5

а) Дана пряма. Визначити напівплощина, в якій знаходиться точка, при цьому сама пряма повинна входити до рішення.

б) Дана пряма. Визначити напівплощина, в якій знаходиться точка . Сама пряма не входить у рішення.

Рішення: тут немає потреби в кресленні, і рішення буде аналітичним Нічого складного:

а) Складемо допоміжний багаточлен і обчислимо його значення в точці:
. Таким чином, шукана нерівність буде зі знаком «меншим». За умовою пряма входить у рішення, тому нерівність буде несуворою:

б) Складемо многочлен і обчислимо його значення в точці:
. Таким чином, нерівність буде зі знаком «більше». За умовою пряма не входить у рішення, отже, нерівність буде суворим: .

Відповідь:

Творчий приклад для самостійного вивчення:

Приклад 6

Дані точки та пряма. Серед перелічених точок знайти ті, які разом із початком координат лежать по одну сторону від заданої прямої.

Невелика підказка: спочатку потрібно скласти нерівність, що визначає напівплощину, в якій знаходиться початок координат. Аналітичне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Системи лінійних нерівностей

Система лінійних нерівностей - це, як ви знаєте, система, складена з декількох нерівностей. Лол, та й визначення видав =) Їжачок – це їжачок, ножик – це ножик. Адже правда - вийшло просто і доступно! Ні, якщо серйозно, не хочеться наводити якихось прикладів у загальному вигляді, тому одразу перейдемо до нагальних питань:

Що означає розв'язати систему лінійних нерівностей?

Вирішити систему лінійних нерівностей- це означає знайти безліч точок площини, які задовольняють кожномунерівності системи.

Як найпростіші приклади розглянемо системи нерівностей, що визначають координатні чверті прямокутної системи координат («малюнок двієчників» знаходиться на самому початку уроку):

Система нерівностей визначає першу координатну чверть (права верхня). Координати будь-якої точки першої чверті, наприклад, і т.д. задовольняють кожномунерівності цієї системи.

Аналогічно:
– система нерівностей ставить другу координатну чверть (ліва верхня);
– система нерівностей визначає третю координатну чверть (ліва нижня);
– система нерівностей ставить четверту координатну чверть (права нижня).

Система лінійних нерівностей може мати рішень, тобто бути несумісний. Знову найпростіший приклад: . Цілком очевидно, що «ікс» не може одночасно бути більше трьох і менше двох.

Рішенням системи нерівностей може бути пряма, наприклад: . Лебідь, рак, без щуки, тягнуть віз у дві різні боки. Та віз і нині там - рішенням цієї системи є пряма.

Але найпоширеніший випадок, коли рішенням системи є певна область площини. Область рішеньможе бути не обмеженою(наприклад, координатні чверті) або обмеженою. Обмежена область рішень називається багатокутником рішень системи.

Приклад 7

Вирішити систему лінійних нерівностей

На практиці в більшості випадків доводиться мати справу з нестрогими нерівностями, тому частину уроку, що залишилася, водитимуть хороводи будуть саме вони.

Рішення: те, що нерівностей забагато, лякати не повинно Скільки може бути нерівностей у системі?Та скільки завгодно. Головне, дотримуватися раціонального алгоритму побудови галузі рішень:

1) Спочатку знаємося з найпростішими нерівностями. Нерівності визначають першу координатну чверть, включаючи кордон координатних осей. Вже значно легше, тому що область пошуку значно звузилася. На кресленні відразу відзначаємо стрілочками відповідні півплощини (червоні та сині стрілки)

2) Друга за простотою нерівність – тут відсутня «гравець». По-перше, будуємо саму пряму, а, по-друге, після перетворення нерівності до виду, відразу стає зрозуміло, що всі «ікси» менше, ніж 6. Відзначаємо зеленими стрілками відповідну напівплощину. Що ж, область пошуку стала ще меншою – такий не обмежений зверху прямокутник.

3) На останньому етапі вирішуємо нерівності «з повною амуніцією»: . Алгоритм рішення ми докладно розглянули у попередньому параграфі. Коротко: спочатку будуємо пряму, потім за допомогою піддослідної точки знаходимо потрібну нам напівплощину.

Встаньте, діти, встаньте в коло:


Область рішень системи є багатокутником, на кресленні він обведений малиновою лінією і заштрихований. Перестарався трохи =) У зошиті область рішень достатньо або заштрихувати, або жирніше обвести простим олівцем.

Будь-яка точка даного багатокутника задовольняє КОЖНІЙ нерівності системи (для інтересу можете перевірити).

Відповідь: рішенням системи є багатокутник

При оформленні на чистовик непогано докладно розписати, за якими точками ви будували прямі (див. урок Графіки та властивості функцій), і як визначали напівплощини (див. перший параграф цього уроку). Однак на практиці здебільшого вам зарахують і просто правильне креслення. Самі ж розрахунки можна проводити на чернетці або навіть усно.

Крім багатокутника рішень системи, практично, нехай і рідше, зустрічається відкрита область. Спробуйте розібрати наступний приклад самостійно. Хоча, заради точності, тортур тут ніяких - алгоритм побудови такий же, просто область вийде не обмеженою.

Приклад 8

Вирішити систему

Рішення та відповідь наприкінці уроку. У вас, швидше за все, будуть інші літерні позначення вершин одержаної області. Це не важливо, головне, правильно знайти вершини та правильно побудувати область.

Не рідкість, коли завдання потребує як побудувати область рішень системи, а й знайти координати вершин області. У двох попередніх прикладах координати даних точок були очевидні, але на практиці все буває далеко не айс:

Приклад 9

Вирішити систему та знайти координати вершин отриманої області

Рішення: зобразимо на кресленні область рішень цієї системи Нерівність ставить ліву напівплощину з віссю ординат, і халяви тут більше немає. Після розрахунків на чистовику/чернетки або глибоких розумових процесів, отримуємо наступну область рішень:

У цьому уроці ми продовжимо розгляд раціональних нерівностей та його систем, саме: систему з лінійних і квадратних нерівностей. Спочатку згадаємо, що таке система двох лінійних нерівностей із однією змінною. Далі розглянемо систему квадратних нерівностей та методику їх вирішення на прикладі конкретних завдань. Детально розглянемо так званий метод даху. Розберемо типові рішення систем і наприкінці уроку розглянемо рішення системи з лінійною та квадратною нерівністю.

2. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступних іспитів з інформатики, математики, російської мови.

3. Центр освіти "Технологія навчання" ().

4. Розділ College.ru з математики ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх закладів / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: іл. №№ 58(а,в); 62; 63.

Стаття розкриває тему нерівностей, розуміються визначення систем та його вирішення. Будуть розглянуті приклади розв'язання систем рівнянь у школі на алгебрі.

Визначення системи нерівностей

Системи нерівностей визначають за визначенням систем рівнянь, отже, особливу увагу приділяють записам та змісту самого рівняння.

Визначення 1

Системою нерівностейназивають запис рівнянь, об'єднаних фігурною дужкою з безліччю рішень одночасно всім нерівностей, які входять у систему.

Нижче наведено приклади нерівностей. Дано дві нерівності 2 · x − 3 > 0 та 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необхідно записати одне рівняння під іншим, після чого об'єднаємо за допомогою фігурної дужки:

2 · x - 3 > 0 , 5 - x ≥ 4 · x - 11

Так само визначення систем нерівностей представлені у шкільних підручниках як використання однієї змінної, і двох.

Основні види системи нерівностей

Має місце складання нескінченної множини систем нерівностей. Їх класифікують за групами, що відрізняються за певними ознаками. Нерівності поділяють за критеріями:

• кількість нерівностей системи;
• кількість змінних записів;
• вид нерівностей.

Кількість нерівностей, що входять, може налічувати від двох і більше. У попередньому пункті розглядався приклад розв'язання системи із двома нерівностями.

2 · x - 3 > 0 , 5 - x ≥ 4 · x - 11

Розглянемо розв'язання системи із чотирма нерівностями.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 · y 2

Вирішення нерівності окремо не говорить про вирішення системи загалом. Для вирішення системи необхідно задіяти всі наявні нерівності.

Такі системи нерівностей можуть мати одну, дві, три та більше змінних. В останній зображеній системі це чітко видно, там маємо три змінні: x, y, z. Рівняння можуть містити по одній змінній, як у прикладі, або кілька. Виходячи з прикладів, нерівність x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 та 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не вважають рівнозначними. Шкільним програмам приділяють увагу рішенню нерівностей з однією змінною.

При запису системи можуть бути задіяні рівняння різних видів та з різною кількістю змінних. Найчастіше зустрічаються цілі нерівності різних ступенів. Під час підготовки до іспитів можуть зустрітися системи з ірраціональними, логарифмічними, показовими рівняннями виду:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Така система включає в себе показове та логарифмічне рівняння.

Вирішення системи нерівностей

Розглянемо приклад розв'язання систем рівнянь із однією змінною.

x > 7 , 2 - 3 · x ≤ 0

Якщо значення х = 8 , то розв'язання системи очевидне, тому що виконується 8 > 7 та 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не вирішиться, тому що перша числова нерівність під час підстановки має 1>7. Так само вирішується система з двома і більше змінними.

Визначення 3

Вирішення системи нерівностей із двома та більше змінниминазивають значення, які є розв'язанням всіх нерівностей при зверненні кожного у правильну числову нерівність.

Якщо х = 1 та у = 2 буде розв'язком нерівності x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

При розв'язанні системи нерівностей можуть давати певну кількість відповідей, а можуть бути нескінченні. Мається на увазі безліч рішень такої системи. За відсутності рішень говорять у тому, що має порожнє безліч рішень. Якщо рішення має певну кількість, тоді безліч рішень має кінцеве число елементів. Якщо рішень багато, тоді безліч рішень містить безліч чисел.

Деякі підручники дають визначення окремого рішення системи нерівностей, яке розуміється як окремо взяте рішення. А загальним рішенням системи нерівностей вважають усі його приватні рішення. Таке визначення використовується рідко, тому кажуть "вирішення системи нерівностей".

Дані визначення систем нерівностей і розв'язання розглядаються як перетину множини рішень усіх нерівностей системи. Особливу увагу варто приділити розділу, присвяченому рівносильним нерівностям.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter