Попередні зауваження

1. У стереометрії вивчаються геометричні тіла та просторові фігури, не всі точки яких лежать в одній площині. Просторові фігури зображуються на кресленні за допомогою малюнків, які роблять на око приблизно таке саме враження, як і сама фігура. Ці малюнки виконуються за певними правилами, що ґрунтуються на геометричних властивостях фігур.
Один із способів зображення просторових фігур на площині буде вказано надалі (§ 54-66).

РОЗДІЛ ПЕРШИЙ ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ

I. ВИЗНАЧЕННЯ ПОЛОЖЕННЯ ПЛОСКОСТІ

2. Зображення площини.У повсякденному житті багато предметів, поверхня яких нагадує геометричну площину, мають форму прямокутника: палітурка книги, шибка, поверхня письмового столу і т. п. При цьому якщо дивитися на ці предмети під кутом і з великої відстані, то вони видаються нам такими, що мають форму паралелограма. Тому прийнято зображати площину на кресленні як паралелограма 1 . Цю площину зазвичай позначають однією літерою, наприклад, "площина М" (чорт. 1).

1 Поряд із зазначеним зображенням площини можливе і таке, як на кресленнях 15-17 та ін.
(Прим. ред.)

3. Основні характеристики поверхні.Вкажемо такі властивості площини, що приймаються без доказу, тобто є аксіомами:

1) Якщо дві точки прямої належать площині, то кожна точка цієї прямої належить площині.

2) Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються по прямій через цю точку.

3) Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж лише одну.

4. Наслідки.З останньої пропозиції можна вивести наслідки:

1) Через пряму і точку поза нею можна провести площину (і лише одну). Дійсно, точка поза прямою разом з якими-небудь двома точками цієї прямої складають три точки, через які можна провести площину (і до того ж одну).

2) Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину (і тільки одну). Дійсно, взявши точку перетину і ще по одній точці на кожній прямій, ми матимемо три точки, через які можна провести площину (і до того ж одну).

3) Через дві паралельні прямі можна провести лише одну площину. Дійсно, паралельні прямі за визначенням лежать в одній площині; ця площина єдина, тому що через одну з паралельних і якусь точку іншої можна провести не більше однієї площини.

5. Обертання площини навколо прямої. Через кожну пряму в просторі можна провести безліч площин.

Насправді, нехай дана пряма а (чорт. 2).

Візьмемо якусь точку А поза нею. Через точку А та пряму а проходить єдина площина (§ 4). Назвемо її площиною М. Візьмемо нову точку поза площиною М. Через точку В і пряму а своєю чергою проходить площину. Назвемо її площиною N. Вона може співпадати з М, оскільки у ній лежить точка У, яка належить площині М. Ми можемо далі взяти у просторі ще нову точку З поза площин М і N. Через точку З і пряму а проходить нова поверхня. Назвемо її Р. Вона не збігається ні з М, ні з N, тому що в ній знаходиться точка С, що не належить ні до площини М, ні до площини N. Продовжуючи брати в просторі все нові і нові точки, ми будемо таким шляхом отримувати все нові і нові площини, що проходять через цю пряму а . Таких площин буде безліч. Всі ці площини можна розглядати як різні положення однієї і тієї ж площини, що обертається навколо прямої а .

Ми можемо виявити ще одну властивість площини: площина може обертатися навколо будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

6. Завдання на побудову у просторі.Усі побудови, що робилися в планіметрії, виконувалися в одній площині за допомогою креслярських інструментів. Для побудов у просторі креслярські інструменти стають вже непридатними, тому що креслити фігури у просторі неможливо. Крім того, при побудовах у просторі з'являється ще новий елемент – площина, побудова якої у просторі не можна виконувати настільки простими засобами, як побудова прямої на площині.

Тому при побудовах у просторі необхідно точно визначити, що означає виконати ту чи іншу побудову та, зокрема, що означає побудувати площину у просторі. У всіх побудовах у просторі ми припускатимемо:

1) що площина може бути побудована, якщо знайдено елементи, що визначають її положення в просторі (§ 3 і 4), тобто що ми вміємо побудувати площину, що проходить через три дані точки, через пряму і точку поза нею, через дві перетинаються або дві паралельні прямі;

2) що якщо дані дві площини, що перетинаються, то дана і лінія їх перетину, тобто що ми вміємо знайти лінію перетину двох площин;

3) якщо в просторі дана площина, то ми можемо виконувати в ній усі побудови, які виконувались у планіметрії.

Виконати яке-небудь побудова у просторі - це означає звести його до кінцевого числа щойно зазначених основних побудов. З допомогою цих основних завдань можна розв'язувати завдання складніші.

У цих реченнях і вирішуються завдання на побудову у стереометрії.

7. Приклад завдання на побудову у просторі.
Завдання. Знайти точку перетину даної прямої а (чорт. 3) із цією площиною Р.

Візьмемо на площині Р якусь точку А. Через точку А і пряму а проводимо площину Q. Вона перетинає площину Р по деякій прямій b . У площині Q знаходимо точку З перетину прямих а і b . Ця точка і буде шукана. Якщо прямі а і b виявляться паралельними, то завдання не матиме рішення.

Рівняння прямої як лінії перетину двох площин:

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які з них, перетинаючи, визначають її у просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно, являють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві не паралельні площини, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннямипрямий.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки:

Нехай дані точки A(x 1 ;y 1) і B(x 2 ;y 2). Рівняння прямої, що проходить через точки A(x 1 ;y 1) і B(x 2 ;y 2) має вигляд:

Якщо дані точки A і B лежать на прямій, паралельній осі O x (у 2 -у 1 =0) або осі O у (х 2 -х 1 = 0), то рівняння прямої буде відповідно мати вигляд у = у 1 або х =х 1

Приклад 4. Скласти рівняння прямої лінії, що проходить через точки A(1;2) та B(-1;1).

Рішення: Підставляючи рівняння (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 =1 отримаємо:
звідки або 2у-4=х-1, або остаточно х-2у+3=0

Канонічне рівняння прямої:

Нехай на площині зафіксовано прямокутну декартову систему координат Oxy. Поставимо собі завдання: отримати рівняння прямої a, якщо - деяка точка пряма aі - напрямний вектор прямий a.

Нехай - плаваюча точка пряма a. Тоді вектор є напрямним вектором прямої aі має координати (при необхідності дивіться статтюзнаходження координат вектора через координати точок). Очевидно, що безліч усіх точок на площині визначають пряму, що проходить через точку і має напрямний вектор тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні.

Запишемо необхідну і достатню умову колінеарності векторів та: . Остання рівність у координатній формі має вигляд.

Якщо і , то ми можемо записати

Отримане рівняння виду називають канонічним рівнянням прямої на площиніу прямокутній системі координат Oxy. Рівняння також називають рівнянням прямої у канонічному вигляді.

Отже, канонічне рівняння прямої на площині виду задає у прямокутній системі координат Oxyпряму лінію, що проходить через точку і має напрямний вектор.

Наведемо приклад канонічного рівняння прямої на площині.

Наприклад, рівняння є рівнянням прямої у канонічному вигляді. Пряма, що відповідає цьому рівнянню, проходить через точку , а - її напрямний вектор. Нижче наведено графічну ілюстрацію.

Зазначимо такі важливі факти:

· якщо-напрямний вектор прямий і пряма проходить як через точку, так і через точку, то її канонічне рівняння можна записати як, так і;

· якщо - напрямний вектор прямої, то будь-який з векторів також є напрямним вектором даної прямої, отже, будь-яке з рівнянь прямої в канонічному вигляді відповідає цій прямій.

Параметричні рівняння прямої:

Теорема. Наступна система рівнянь є параметричними рівняннями прямої:

де – координати довільної фіксованої точки даної прямої, – відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої, t – параметр.

Доказ. Відповідно до визначення рівняння будь-якої множини точок координатного простору, ми повинні довести, що рівнянням (7) задовольняють всі точки прямої L і, з іншого боку, не задовольняють координати точки, що не лежить на прямій.

Нехай довільна точка. Тоді вектори і є за визначенням колінеарними і теореми про колінеарності двох векторів слід, що їх лінійно виражається через інший, тобто. знайдеться таке число, що. З рівності векторів і випливає рівність їх координат:

Ч.т.д.

Назад, нехай точка . Тоді й по теоремі про колінеарності векторів жоден їх може бути лінійно виражений через інший, тобто. і хоча б одна з рівностей (7) не виконується. Таким чином, рівнянням (7) задовольняють координати лише тих точок, які лежать на прямій L і тільки вони, т.д.

Теорему доведено.

Нормальне рівняння площини:

В векторної формирівняння площини має вигляд

Якщо нормальний вектор площини – одиничний,

тоді рівняння площини можна записати як

(нормальне рівняння площини).

– відстань від початку координат до площини, , , – напрямні косинуси нормалі

де – кути між нормаллю площини та осями координат відповідно.

Загальне рівняння площини (8) може бути приведено до нормального виду множенням на нормуючий множник, знак перед дробом протилежний знаку вільного члена (8).

Відстань від точки до площини(8) знаходиться за формулою, отриманою підстановкою точки в нормальне рівняння

Загальне рівняння площини, дослідження загального рівняння площини:

Якщо у тривимірному просторі задана прямокутна система координат Oxyz, то рівнянням площини в цій системі координат тривимірного простору називають таке рівняння з трьома невідомими x, yі z, Який задовольняють координати всіх точок площини і не задовольняють координати ніяких інших точок. Іншими словами, при підстановці координат певної точки площини рівняння цієї площини ми отримаємо тотожність, а при підстановці рівняння площини координат будь-якої іншої точки вийде неправильна рівність.

Перш ніж записати загальне рівняння площини, нагадаємо визначення прямої перпендикулярної до площини: пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. З цього визначення випливає, що будь-який нормальний вектор площини перпендикулярний будь-якому ненульовому вектору, що лежить у цій площині. Цей факт ми використовуємо за доказом наступної теореми, яка задає вигляд загального рівняння площини.

Теорема.

Будь-яке рівняння виду, де A, B, Cі D- Деякі дійсні числа, причому А, Ві Cодночасно не рівні нулю, визначає площину в заданій прямокутній системі координат Oxyzу тривимірному просторі, і будь-яка площина у прямокутній системі координат Oxyzу тривимірному просторі визначається рівнянням виду при деякому наборі чисел A, B, Cі D.

Доказ.

Як бачите, теорема складається із двох частин. У першій частині нам дано рівняння і треба довести, що визначає площину. У другій частині нам дана деяка площина і потрібно довести, що її можна визначити рівнянням при певному виборі чисел А, В, Зі D.

Почнемо з підтвердження першої частини теореми.

Оскільки числа А, Ві Зодночасно не рівні нулю, то є точка , координати якої задовольняють рівняння , тобто справедлива рівність . Віднімемо ліву та праву частини отриманої рівності відповідно від лівої та правої частин рівняння, при цьому отримаємо рівняння виду еквівалентне вихідному рівнянню. Тепер, якщо ми доведемо, що рівняння визначає площину, то цим буде доведено, що еквівалентне йому рівняння також визначає площину заданої прямокутної системи координат у тривимірному просторі.

Рівність є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і . Іншими словами, координати плаваючої точки задовольняють рівняння тоді і тільки тоді, коли перпендикулярні вектори та . Тоді, враховуючи факт, наведений перед теоремою, ми можемо стверджувати, що якщо справедлива рівність , то безліч точок визначає площину, нормальним вектором якої є , причому ця площина проходить через точку . Іншими словами, рівняння визначає у прямокутній системі координат Oxyzу тривимірному просторі зазначену вище площину. Отже, еквівалентне рівняння визначає цю саму площину. Перша частина теореми доведена.

Приступимо до підтвердження другої частини.

Нехай нам дана площина, що проходить через точку, нормальним вектором якої є . Доведемо, що у прямокутній системі координат Oxyzїї задає рівняння виду.

Для цього візьмемо довільну точку цієї площини. Нехай цією точкою буде. Тоді вектори і будуть перпендикулярні, отже, їх скалярне твір дорівнюватиме нулю: . Прийнявши, рівняння набуде вигляду. Це рівняння і визначає нашу площину. Отже, теорема повністю підтверджена. (при певних значеннях чисел А, В, Зі D), а цьому рівнянню відповідає зазначена площина заданої прямокутної системі координат в тривимірному просторі.

Наведемо приклад, що ілюструє останню фразу.

Подивіться на малюнок із зображенням площини у тривимірному просторі у фіксованій прямокутній системі координат Oxyz. Цій площині відповідає рівняння, тому що йому задовольняють координати будь-якої точки площини. З іншого боку, рівняння визначає задану систему координат Oxyzбезліч точок, образом якого є зображена малюнку площину.

Рівняння площини у відрізках:

Нехай у тривимірному просторі задана прямокутна система координат Oxyz.

У прямокутній системі координат Oxyzу тривимірному просторі рівняння виду , де a, bі c– відмінні від нуля дійсні числа, називається рівнянням площини у відрізках. Така назва не випадкова. Абсолютні величини чисел a, bі cрівні довжинам відрізків, які відсікає площину на координатних осях Ox, Ойі Ozвідповідно, рахуючи від початку координат. Знак чисел a, bі cпоказує, у напрямі (позитивному чи негативному) відкладаються відрізки на координатних осях. Дійсно, координати точок задовольняють рівняння площини у відрізках:

Подивіться на малюнок, який пояснює цей момент.

Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно вектору:Нехай у тривимірному просторі задана прямокутна декартова система координат. Сформулюємо таке завдання:

Скласти рівняння площини, що проходить через цю точку
M(x 0 , y 0 , z 0) перпендикулярно даному вектору →n = {A, B, C} .

Рішення.Нехай P(x, y, z) - довільна точка простору. Точка, крапка Pналежить площині тоді і лише тоді, коли вектор
MP = {x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) ортогональний вектор → n = {A, B, C) (рис.1).

Написав умову ортогональності цих векторів (→ n, MP) = 0 у координатній формі, отримаємо.

ПЛОЩІСТЬ.

Визначення.Будь-який ненульовий вектор, перпендикулярний до площини, називається її нормальним вектором, і позначається.

Визначення.Рівняння площини виду де коефіцієнти - довільні дійсні числа, одночасно не рівні нулю, називається загальним рівнянням площини.

Теорема.Рівняння визначає площину, що проходить через точку має нормальний вектор.

Визначення.Рівняння площини виду

де - довільні, не рівні нулю дійсні числа, називається рівнянням площини у відрізках.

Теорема.Нехай – рівняння площини у відрізках. Тоді - координати точок її перетину з осями координат.

Визначення.Загальне рівняння площини називається нормованимабо нормальнимрівнянням площини, якщо

та .

Теорема.Нормальне рівняння площини може бути записане у вигляді де – відстань від початку координат до даної площини, – спрямовуючі косинуси її нормального вектора ).

Визначення. Нормуючим множникомзагального рівняння площини називається число де знак вибирається протилежним знаку вільного члена D.

Теорема.Нехай - множник, що нормує, загального рівняння площини. Тоді рівняння є нормованим рівнянням даної площини.

Теорема.Відстань dвід крапки до площини .

Взаємне розташування двох площин.

Дві площини або збігаються, або є паралельними, або перетинаються прямою.

Теорема.Нехай поверхні задані загальними рівняннями: . Тоді:

1) якщо то площині збігаються;

2) якщо то площини паралельні;

3) якщо або то площини перетинаються по прямій, рівнянням якої служить система рівнянь: .

Теорема.Нехай – нормальні вектори двох площин, тоді один із двох кутів між даними площинами дорівнює:.

Наслідок.Нехай ,- Нормальні вектори двох даних площин. Якщо скалярний добуток дані площини є перпендикулярними.

Теорема.Нехай дані координати трьох різних точок координатного простору:

Тоді рівняння –є рівнянням площини, що проходить через ці три точки.

Теорема.Нехай дані загальні рівняння двох площин, що перетинаються: причому. Тоді:

– рівняння бісекторної площини гострого двогранного кута, утвореного перетином даних площин;

– рівняння бісекторної площини тупого двогранного кута.

Зв'язування та пучок площин.

Визначення. Зв'язуванням площинназивається безліч всіх площин, що мають одну загальну точку, яка називається центром зв'язки.

Теорема.Нехай – три площини, що мають єдину загальну точку Тоді рівняння де – довільні дійсні параметри одночасно не рівні нулю, є рівняння зв'язування площин.

Теорема.Рівняння , де довільні дійсні параметри, одночасно не рівні нулю, є рівнянням зв'язування площин з центром зв'язуванняу точці.

Теорема.Нехай дані загальні рівняння трьох площин:

-їх відповідні нормальні вектори. Для того, щоб три дані площини перетиналися в єдиній точці, необхідно і достатньо, щоб змішане твір їх нормальних векторів не дорівнювало нулю:

У цьому випадку координати їх єдиної загальної точки є єдиним рішенням системи рівнянь:

Визначення. Пучком площинназивається безліч всіх площин, що перетинаються по одній і тій же прямій, званій віссю пучка.

Теорема.Нехай дві площини, що перетинаються по прямій. Тоді рівняння, де довільні дійсні параметри одночасно не рівні нулю, є рівняння пучка площинз віссю пучка

ПРЯМА.

Визначення.Будь-який ненульовий вектор, колінеарний даної прямої називається її напрямним вектором, і позначається

Теорема. параметричним рівнянням прямоїу просторі: де координати довільної фіксованої точки даної прямої, відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої параметр.

Наслідок.Наступна система рівнянь є рівнянням прямою у просторі і називається канонічним рівнянням прямоїв просторі: де - координати довільної фіксованої точки даної прямої, - відповідні координати довільного напрямного вектора даної прямої.

Визначення.Канонічне рівняння прямого виду - називається канонічним рівнянням прямої, що проходить через дві різні дані точки

Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Можливі 4 випадки розташування двох прямих у просторі. Прямі можуть збігатися, бути паралельними, перетинатися в одній точці або схрещуватися.

Теорема.Нехай дані канонічні рівняння двох прямих:

де - їх напрямні вектори, - довільні фіксовані точки, що лежать на прямих відповідно. Тоді:

і ;

і не виконується хоча б одна з рівностей

;

, тобто.

4) прямі схрещуються, якщо , тобто.

Теорема.Нехай

– дві довільні прямі у просторі, задані параметричними рівняннями. Тоді:

1) якщо система рівнянь

має єдине рішення, то прямі перетинаються в одній точці;

2) якщо система рівнянь немає рішень, то прямі схрещуються чи паралельні.

3) якщо система рівнянь має більше одного розв'язку, то прямі збігаються.

Відстань між двома прямими у просторі.

Теорема.(Формула відстані між двома паралельними прямими.): Відстань між двома паралельними прямими

Де – їх загальний напрямний вектор, – точки цих прямих, можна визначити за формуле:

або

Теорема.(Формула відстані між двома прямими схрещуються.): Відстань між двома прямими схрещуються.

можна обчислити за такою формулою:

де – модуль змішаного твору напрямних векторів і і вектора, модуль векторного твору напрямних векторів.

Теорема.Нехай – рівняння двох площин, що перетинаються. Тоді наступна система рівнянь є рівнянням прямої лінії, якою перетинаються ці площини: . Напрямний вектор цієї прямої може служити вектор , де ,- Нормальні вектори даних площин.

Теорема.Нехай дано канонічне рівняння прямої: де . Тоді наступна система рівнянь є рівнянням даної прямої, заданої перетином двох площин: .

Теорема.Рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму має вид де - координати векторного твору, - координати напрямного вектора даної прямої. Довжину перпендикуляра можна знайти за формулою:

Теорема.Рівняння загального перпендикуляра двох прямих, що схрещуються, має вигляд: де.

Взаємне розташування прямої та площини у просторі.

Можливі три випадки взаємного розташування прямої у просторі та площині:

Теорема.Нехай площина задана загальним рівнянням, а пряма задана канонічним або параметричним рівнянням або, де вектор – нормальний вектор площини – координати довільної фіксованої точки прямої, – відповідні координати довільного напрямного вектора прямої. Тоді:

1) якщо , то пряма перетинає площину точки, координати якої можна знайти із системи рівнянь

2) якщо і, то пряма лежить на площині;

3) якщо і, то пряма паралельна площині.

Наслідок.Якщо система (*) має єдине рішення, то пряма перетинається із площиною; якщо система (*) немає рішень, то пряма паралельна площині; якщо система (*) має безліч рішень, то пряма лежить на площині.

Вирішення типових завдань.

Завдання №1 :

Скласти рівняння площини, що проходить через точку паралельно до векторів.

Знайдемо нормальний вектор площини:

= =

Як нормальний вектор площини можна взяти вектор тоді загальне рівняння площини набуде вигляду:

Щоб знайти , потрібно замінити у цьому рівнянні координатами точки, що належить площині.

Завдання №2 :

Дві грані куба лежать на площинах і обчислити обсяг цього куба.

Вочевидь, що площини паралельні. Довжиною ребра куба є відстань між площинами. Виберемо на першій площині довільну точку: нехай знайдемо.

Знайдемо відстань між площинами як відстань від точки до другої площини:

Отже, об'єм куба дорівнює ()

Завдання №3 :

Знайти кут між гранями іпірамідиc вершинами

Кут між площинами – це кут між нормальними векторами до цих площин. Знайдемо нормальний векторплощини: [,];

, або

Аналогічно

Завдання №4 :

Скласти канонічне рівняння прямої .

Отже,

Вектор іперпендикулярні до прямої, тому,

Отже, канонічне рівняння прямий набуде вигляду.

Завдання №5 :

Знайти відстань між прямими

і .

Прямі паралельні, т.к. їх напрямні вектори ірівні. Нехай точка належить першій прямій, а точка лежить на другій прямій. Знайдемо площу паралелограма, побудованого на векторах.

[,];

Шуканою відстанню є висота паралелограма, опущена з точки:

Завдання №6 :

Обчислити найкоротшу відстань між прямими:

Покажемо, що прямі схрещуються, тобто. вектори, іні належать одній площині: ≠ 0.

1 спосіб:

Через другу пряму проведемо площину, паралельну першій прямій. Для шуканої площини відомі ті, що належать їй векторії. Нормальний векторплощі є векторний твір векторів, тому .

Отже, як нормальний вектор площини можна взяти вектор тому рівняння площини набуде вигляду: знаючи, що точка належить площинінайдемо і запишемо рівняння:

Шукана відстань - ця відстань від точки першої прямої до площини знаходиться за формулою:

13.

2 спосіб:

На векторах і побудуємо паралелепіпед.

Шукана відстань – це висота паралелепіпеда, опущена з точки на його основу, побудованого на векторах.

Відповідь: 13 одиниць.

Завдання №7 :

Знайти проекцію точки на площину

Нормальний вектор площини є напрямним вектором прямої:

Знайдемо точку перетину прямої

та площині:

.

Підставивши в рівняння площині, знайдемо, а потім

Зауваження.Щоб знайти точку , симетричну точці щодо площини, потрібно (аналогічно попередній задачі) знайти проекцію точки на площину, потім розглянути відрізок з відомимипочатками серединою, скориставшись формулами,,.

Завдання №8 :

Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки на пряму .

1 спосіб:

2 спосіб:

Завдання вирішимо другим способом:

Площина перпендикулярна заданої прямої, тому напрямний вектор прямої є нормальним вектором площини. Знаючи нормальний вектор площини та точку на площині, запишемо її рівняння:

Знайдемо точку перетину площини та прямої, записаної параметрично:

,

Складемо рівняння прямої, що проходить через точки і:

.

Відповідь: .

У такий же спосіб можна вирішити і такі завдання:

Завдання №9 :

Знайти точку , симетричну точці щодо прямої .

Завдання №10 :

Даний трикутник з вершинами Знайти рівняння висоти, опущеної з вершини на бік.

Хід вирішення абсолютно аналогічний попереднім завданням.

Відповідь: .

Завдання №11 :

Визначити рівняння загального перпендикуляра до двох прямих: .

0.

Враховуючи, що площина проходить через точку, запишемо рівняння цієї площини:

Точка належить, тому рівняння площини набуде вигляду:.

Відповідь:

Завдання №12 :

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і перетинає прямі .

Перша пряма проходить через точку та має напрямний вектор; друга – проходить через точки і має напрямний вектор

Покажемо, що ці прямі є такими, що схрещуються, для цього складемо визначник, рядки якого є координатами векторів ,, ,вектори не належать до однієї площини.

Проведемо площину через крапки і першу пряму:

Нехай - довільна точка площини тоді вектори, ікомпланарні. Рівняння площині має вигляд:.

Аналогічно складемо рівняння площини, що проходить через крапки і другу пряму: 0.

Шукана пряма є перетин площин, тобто.

Освітнім результатом після вивчення даної теми є сформованість компонентів, заявлених у вступі, сукупності компетенцій (знати, вміти, володіти) на двох рівнях: пороговий та просунутий. Пороговий рівень відповідає оцінці «задовільно», просунутий рівень відповідає оцінкам «добре» або «відмінно», залежно від результатів захисту кейс-задань.

Для самостійної діагностики даних компонентів вам пропонуються наступні завдання.

ВСТУП

Глава 1. Площина у просторі

1 Точка перетину прямої з площиною

1 Різні випадки положення прямої в просторі

2 Кут між прямою та площиною

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛОВ

ВСТУП

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

By + Cz + D = 0

задає площину і навпаки: будь-яка площина може бути представлена ​​рівнянням, яке називається рівнянням площини.

Вектор n (A, B, C), ортогональна площина, називається нормальним вектором площини. У рівнянні коефіцієнти A, B, C одночасно не дорівнюють 0. Особливі випадки рівняння

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – площина проходить через початок координат.

C = 0, Ax+By+D = 0 – площина паралельна осі Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 – площина проходить через вісь Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 – площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x=0, y=0, z=0.

Пряма в просторі може бути задана:

) як лінія перетину двох площин, тобто. системою рівнянь:

A 1 x + B 1 y + C 1 z+D 1= 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0;

) двома своїми точками M 1(x 1, y 1, z 1) та M 2(x 2, y 2, z 2), тоді пряма, що через них проходить, задається рівняннями:

=;

) точкою M 1(x 1, y 1, z 1), що їй належить, та вектором a (m, n, р), їй колінеарним. Тоді пряма визначається рівняннями:

Рівняння називаються канонічними рівняннями прямою.

Вектор a називається напрямним вектором прямої.

Параметричні рівняння прямої отримаємо, прирівнявши кожне із відношень параметру t:

X 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Рt.

Розв'язуючи систему як систему лінійних рівнянь щодо невідомих x та y, приходимо до рівнянь прямої в проекціях або до наведених рівнянь прямої:

Mz + a, y = nz + b

Від рівнянь можна перейти до канонічних рівнянь, знаходячи z з кожного рівняння та прирівнюючи отримані значення:

Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним та іншим способом, якщо знайти якусь точку цієї прямої та її напрямний вектор n = , де n 1(A 1, B 1, C 1) і n 2(A 2, B 2, C 2) – нормальні вектори заданих площин. Якщо одне із знаменників m, n чи р у рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідного дробу треба покласти рівним нулю, тобто. система

рівносильна системі ; така пряма перпендикулярна до осі Ох.

Система рівносильна системі x = x 1,y = y 1; пряма паралельна осі Oz.

Ціль курсової роботи:вивчити пряму та площину у просторі.

Завдання курсової роботи:розглянути площину у просторі, її рівняння, і навіть розглянути площину у просторі.

Структура курсової роботи:вступ, 2 глави, висновок, список використаних джерел.

Глава 1. Площина у просторі

.1 Точка перетину прямої з площиною

Нехай площина Q задана рівнянням загального типу: Ax+By+Cz+D=0, а пряма L у параметричному вигляді: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, тоді щоб знайти точку перетину прямої L та площині Q, потрібно знайти значення параметра t, при якому точка прямої лежатиме на площині. Підставивши значення x, y, z, рівняння площини і виразивши t, отримаємо

Значення t буде єдиним, якщо пряма та площина не паралельні.

Умови паралельності та перпендикулярності прямої та площини

Розглянемо пряму L:

і площину?

Пряма L і площина? :

а) перпендикулярні один одному тоді і лише тоді, коли напрямний вектор прямий та нормальний вектор площини колінеарні, тобто.

б) паралельні один одному тоді і лише тоді, коли вектори і перпендикулярні, тобто.

і Am + Bn + Ср = 0.

.2 Кут між прямою та площиною

Кут ?між нормальним вектором площини і напрямним вектором прямий обчислюється за такою формулою:

Пучок площин

Сукупність всіх площин, що проходять через задану пряму L називається пучком площин, а пряма L - віссю пучка. Нехай вісь пучка задана рівняннями

Почленно помножимо друге рівняння системи на постійну і складемо з першим рівнянням:

A 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(A 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Це рівняння має перший ступінь щодо х, у, z і, отже, за будь-якого чисельного значення ?визначає площину. Так як дане рівняння є наслідок двох рівнянь, то координати точки, що задовольняють цим рівнянням, задовольнятимуть і даному рівнянню. Отже, за будь-якого чисельного значення ?дане рівняння є рівнянням площини, що проходить через задану пряму. Отримане рівняння є рівняння пучка площин.

приклад.Написати рівняння площини, що проходить через точку M 1(2, -3, 4) паралельно прямим

Рішення.Запишемо рівняння зв'язки площин, що проходять цю точку M1 :

А (х – 2) + В (у + 3) + C (z – 4) = 0.

Оскільки потрібна площина повинна бути паралельна даним прямим, то її нормальний вектор повинен бути перпендикулярним напрямним векторам. цих прямих. Тому як вектор N можна взяти векторний твір векторів :

Отже, А = 4, В = 30, С = - 8. Підставляючи знайдені значення А, В, З рівняння зв'язки площин, отримаємо

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 або 2x + 15у - 4z + 57 = 0.

приклад.Знайти точку перетину прямої та площині 2х + 3y-2z + 2 = 0.

Рішення.Запишемо рівняння даної прямої у параметричному вигляді:

Підставимо ці вирази для х, у, z рівняння площини:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Підставимо t = 1 параметричні рівняння прямої. Отримаємо

Отже, пряма та площина перетинаються у точці М(3, 2, 7).

приклад.Знайти кут ?між прямою та площиною 4x-2y-2z+7=0. Рішення.Застосовуємо формулу (3.20). Так як

то

Отже,? = 30 °.

Пряма лінія у просторі нескінченна, тому задавати її зручніше відрізком. Зі шкільного курсу Евклідової геометрії відома аксіома, «через дві точки у просторі можна провести пряму і, до того ж, лише одну». Отже, на епюрі пряма може бути задана двома фронтальними та двома горизонтальними проекціями точок. Але так як пряма - це пряма (а не крива), то з повною основою ми можемо з'єднати ці точки відрізком прямої та отримати фронтальну та горизонтальну проекції прямої (рис. 13).

Доказ від зворотного: у площинах проекцій V та Н задані дві проекції а" b" та ab (рис.14). Проведемо через них площини, перпендикулярні до площин проекцій V і Н (рис.14), лінією перетину площин буде пряма АВ.

.1 Різні випадки положення прямої у просторі

У розглянутих нами випадках прямі були ні паралельними, ні перпендикулярними до площин проекцій V, Н, W. Більшість прямих займає саме таке становище у просторі та його називають прямими загального становища. Вони можуть бути висхідними або низхідними (розібратися самостійно).

На рис. 17 показана пряма загального стану, задана трьома проекціями. Розглянемо сімейство прямих, що мають важливі властивості - прямі, паралельні будь-якій площині проекції.

На рис. 17 показана пряма загального стану, задана трьома проекціями.

Розглянемо сімейство прямих, що мають важливі властивості - прямі, паралельні будь-якій площині проекцій.

а) Горизонтальна пряма (інакше - горизонталь, пряма горизонтального рівня). Так називається пряма, паралельна горизонтальній площині проекцій. Її зображення у просторі та на епюрі показано на рис. 18.

Горизонталь легко впізнати на епюрі "в обличчя": її фронтальна проекція завжди паралельна осі ОХ. Цілком найважливіша властивість горизонталі формулюються так:

У горизонталі – фронтальна проекція паралельна осі ОХ, а горизонтальна відбиває натуральну величину. Принагідно горизонтальна проекція горизонталі на епюрі дозволяє визначити кут її нахилу до площини V (кут b) і до площини W (у) - рис.18.

б) Фронтальна пряма (фронталь, пряма фронтального рівня) - це пряма, паралельна до фронтальної площини проекцій. Ми не ілюструємо її наочним зображенням, а показуємо її епюр (рис. 19).

Епюр фронталі характерний тим, що горизонтальна та профільна її проекції паралельні відповідно до осей X і Z, а фронтальна проекція розташовується довільно і показує натуральну величину фронталі. Принагідно на епюрі є кути нахилу прямої до горизонтальної (а) і профільної (площин) проекцій. Отже, ще раз:

У фронталі – горизонтальна проекція паралельна осі ОХ, а фронтальна відбиває натуральну величину

в) Профільна пряма. Очевидно, що це пряма, паралельна до профільної площини проекцій (рис. 20). Очевидно також, що натуральна величина профільної прямої є на профільній площині проекцій (проекція а "b" - рис. 20) і тут можна бачити кути її нахилу до площин Н (a) і V (b).

Наступне сімейство прямих, хоча й настільки важливих, як прямі рівня - це проецирующие прямі.

Прямі, перпендикулярні до площин проекцій, називаються проецірующими (за аналогією з проецірующими променями - рис. 21).

АВ пл. Н - пряма горизонтально-проецуюча; пл. V - пряма фронтально-проецуюча; пл. W - пряма профільно-проєціруюча.

2.2 Кут між прямою та площиною

площина пряма кут трикутник

Метод прямокутного трикутника

Пряма загального становища, як ми казали, нахилена до площин проекцій під деяким довільним кутом.

Кут між прямою та площиною визначається кутом, складеним прямою та її проекцією на цю площину (рис. 22). Кут a визначає кут нахилу відрізка АВ до пл. Н. З рис. 22: Ab1 | 1пл. Н; Вb1 = ВЬ – Аа = Z Рис. 22

У прямокутному трикутнику AВb1 катет Ab1 дорівнює горизонтальній проекції ab; а інший катет Вb1 дорівнює різниці відстаней точок А та В від пл. Н. Якщо з точки на горизонтальній проекції прямий ab проведемо перпендикуляр і відкладемо на ньому величину Z, то, з'єднавши точку а з отриманою точкою b0, отримаємо гіпотенузу аb0, рівну натуральній величині відрізка АВ. На епюрі це виглядає так (мал. 23):

Аналогічно визначається кут нахилу прямої до фронтальної площини проекцій (b) – рис. 24.

Зверніть увагу: при побудовах на горизонтальній прямій проекції ми відкладаємо на допоміжній прямій величину Z; при побудовах на передній проекції - величину Y.

Розглянутий метод називається прямокутного трикутника. З його допомогою можна визначити натуральну величину будь-якого відрізка, що цікавить нас, а також кути його нахилу до площин проекцій.

Взаємне становище прямих

Раніше ми розглянули питання належності точки прямої: якщо точка належить прямої, її проекції лежать на однойменних проекціях прямої (правило приналежності, див. рис. 14). Зі шкільного курсу геометрії згадаємо: дві прямі перетинаються в одній точці (або: якщо дві прямі мають одну спільну точку, то вони перетинаються в цій точці).

Проекції прямих, що перетинаються, на епюрі мають яскраво виражену ознаку: проекції точки перетину лежать на одній лінії зв'язку (рис. 25). Дійсно: точка К належить і АВ та CD; на епюрі точка k лежить на одній лінії зв'язку з точкою k.

Прямі АВ та CD - перетинаються

Наступне з можливих взаємних розташуваннях двох прямих у просторі – прямі схрещуються. Це можливо у випадку, коли прямі не є паралельними, але й не перетинаються. Такі прямі завжди можна укласти у дві паралельні площини (рис. 26). Це аж ніяк не означає, що дві прямі, що схрещуються, обов'язково лежать у двох паралельних площинах; а лише те, що через них можна провести дві паралельні площини.

Проекції двох прямих, що схрещуються, можуть перетинатися, але точки їх перетину не лежать на одній лінії зв'язку (рис. 27).

Принагідно вирішимо питання конкуруючих точках (рис. 27). На горизонтальній проекції бачимо дві точки (е,f), але в фронтальної вони зливаються до однієї (e"f"), причому незрозуміло, яка з точок видно, яка не видно (конкуруючі точки).

Дві точки, фронтальні проекції яких збігаються, називаються фронтально-конкуруючими.

Такий випадок ми розглядали раніше (рис. 11), щодо теми «взаємне розташування двох точок». Тому застосовуємо правило:

З двох конкуруючих точок вважається видимою та, координата якої більша.

З рис. 27 видно, що горизонтальна проекція точки Е (е) віддалена від осі ОХ далі, ніж точка f. Отже, координата Y точки «е» більше, ніж у точки f; отже, видимою буде точка Е. На передній проекції точка f" укладена в дужки як невидима.

Ще одне наслідок: точка е належить проекції прямої ab, а це означає, що на фронтальній проекції пряма а"Ь" розташована "поверх" прямий c"d".

Паралельні прямі

Паралельні прямі на епюрі легко розпізнати в обличчя, бо однойменні проекції двох паралельних прямих - паралельні.

Зверніть увагу: однойменні! Тобто. фронтальні проекції паралельні між собою, а горизонтальні – між собою (рис. 29).

Доказ: на рисунку 28 у просторі дано дві паралельні прямі АВ та CD. Проведемо через них проецірующие площини Q і Т - вони виявляться паралельними (бо якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні двом перетинаються прямим інший площині, то такі площини паралельні).

На епюрі З0а задані паралельні прямі, на епюрі 30б прямі схрещуються, хоч і в тому, і в іншому випадку фронтальні та горизонтальні проекції взаємно паралельні.

Існує, однак, прийом, за допомогою якого можна визначити взаємне положення двох профільних прямих, не вдаючись до побудови третіх проекцій. Для цього достатньо з'єднати кінці проекцій допоміжними прямими, як показано на рис 30. Якщо виявиться, що точки перетину цих прямих лежать на одній лінії зв'язку - профільні прямі паралельні між собою - рис. З0а. Якщо ні - профільні прямі схрещуються (рис. 306).

Особливі випадки становища прямих:

Проекції прямого кута

Якщо дві прямі загального становища перетинаються підлогу прямим кутом, їх проекції утворюють кут, не рівний 90° (рис. 31).

Оскільки при перетині двох паралельних площин третьої в перетині виходять паралельні прямі, то горизонтальні проекції ab і cd - паралельні.

Якщо повторити операцію та спроектувати прямі АВ та CD на фронтальну площину проекцій, ми отримаємо той самий результат.

Особливий випадок є дві профільні прямі, задані фронтальними та горизонтальними проекціями (рис.30). Як було сказано, у профільних прямих фронтальні та горизонтальні проекції взаємно паралельні, проте, за цією ознакою не можна судити про паралельність двох профільних прямих, не побудувавши третю проекцію.

Завдання. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник ABC, катет ВС котрою лежить на прямій MN (рис. 34).

Рішення. З епюра видно, що пряма MN є горизонталь. А за умовою трикутник - прямокутний.

Скористаємося властивістю проекції прямого кута та опустимо з точки «а» перпендикуляр HА проекцію mn (на пл. Н наш прямий кут проектується без спотворення) – рис. 35.

Як допоміжна пряма, що проводиться з кінця відрізка під прямим кутом до даного, ми використовуємо частину горизонтальної проекції прямої, а саме bm (рис. 36). Відкладемо на ній величину різниці координат Z, взяту з передньої проекції, і з'єднаємо точку «а» з кінцем отриманого відрізка. Ми отримаємо натуральну величину катета АВ (ab ; ab).

На рисунках 31 і 32 показані дві прямі загального положення, що утворюють між собою кут 90 ° (на рис. 32 ці прямі лежать в одній площині Р). Як бачимо, на епюрах кут, утворений проекціями прямих, не дорівнює 90 °.

Окремим питанням ми розглядаємо проекції прямого кута з наступної причини:

Якщо одна зі сторін прямого кута паралельна до будь-якої площини проекцій, то на цю площину прямий кут проектується без спотворень (рис. 33).

Ми не доводитимемо це положення (пропрацюйте це самостійно), а розглянемо переваги, які можна витягти з цього правила.

Насамперед, зазначимо, що за умовою одна зі сторін прямого кута паралельна до будь-якої площини проекцій, отже, одна зі сторін буде або фронталлю, або горизонталлю (може бути і профільною прямою) - рис. 33.

А фронталь і горизонталь на епюрі легко впізнати «в обличчя» (одна з проекцій обов'язково паралельна осі ОХ), або її можна легко побудувати за необхідності. Крім того, у фронілі та горизонталі є найважливіша властивість: одна з їхньої проекції обов'язково відображає

Користуючись правилом власності, знайдемо фронтальну проекцію точки b" за допомогою лінії зв'язку. У нас з'явився катет АВ (a"b"; ab).

Щоб відкласти катет ВС на стороні MN, спочатку потрібно визначити натуральну величину відрізка АВ (a d ; ab). Для цього скористаємося вже вивченим правилом прямокутного трикутника.

ВИСНОВОК

Загальні рівняння прямої у просторі

Рівняння прямої можна розглядати як рівняння лінії перетину двох площин. Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

× + D = 0, де

Нормаль поверхні; - радіус- вектор довільної точки площини.

Нехай у просторі задані дві площини: × + D 1= 0 та × + D 2= 0, вектори нормалі мають координати: (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2); (x, y, z). Тоді загальні рівняння прямої у векторній формі:

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

Для цього треба знайти довільну точку прямої та числа m, n, p. При цьому напрямний вектор прямий може бути знайдений як векторний добуток векторів нормалі до заданих площин.

Рівняння площини у просторі

Нехай дані точки та ненульовий вектор (тобто , де

за умови є вектор нормалі.

Якщо , , , ..., то рівняння можна перетворити на вигляд . Числа , і , і

Нехай - якась точка площини, - Вектор перпендикулярний площині. Тоді рівняння є рівняння цієї поверхні.

Коефіцієнти , ; у рівнянні площини є координатами вектора перпендикулярного площині.

Якщо рівняння площини розділити на число, що дорівнює довжині вектора , то отримаємо рівняння площини у нормальній формі.

Рівняння площини, яка проходить через точку і перпендикулярна ненульовому вектору, має вигляд .

Будь-яке рівняння першого ступеня задає координатному просторі єдину площину, яка перпендикулярна вектору з координатами .

Рівняння є рівнянням площини, що проходить через точку і перпендикулярному ненульовому вектору.

Кожна площина задається в системі прямокутних координат , , рівнянням виду.

за умови, що серед коефіцієнтів , , є ненульові, задає у просторі площину у системі прямокутних координат. Площина у просторі задається у системі прямокутних координат , , рівнянням виду , за умови, що .

Правильне та зворотне твердження: рівняння виду за умови задає у просторі площину у системі прямокутних координат.

Де , , , , ,

Площина у просторі задається рівнянням , де , , , - дійсні числа, причому , , одночасно не рівні 0 і становлять координати вектора , перпендикулярного цій площині та званого вектором нормалі.

Нехай дані точки та ненульовий вектор (тобто ). Тоді векторне рівняння площини , де - довільна точка площини) набуває вигляду - рівняння площини за точкою та вектором нормалі.

Кожне рівняння першого ступеня за умови ставить у прямокутній системі координат єдину площину, для якої вектор є вектор нормалі.

Якщо , , , , то рівняння можна перетворити на вигляд . Числа , і рівні довжинам відрізків, які відсікають площину на осях , і відповідно. Тому рівняння називається рівнянням площини "у відрізках".

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛОВ

1.Стереометрія. Геометрія у просторі. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижік В.І.

2.Александров П. С. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. – Головна редакція фізико-математичної літератури, 2000. – 512 с.

.Беклемішев Д.В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри, 2005. – 304 с.

.Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія: Навч. для вузів. – 7-е вид., стер., 2004. – 224 с. - (Курс вищої математики та математичної фізики.)

.Єфімов Н. В. Короткий курс аналітичної геометрії: Навч. допомога. - 13-те вид., стереот. –, 2005. – 240 с.

.Канатніков О.М., Крищенко О.П. Аналітична геометрія. -2-е вид. -, 2000, 388 с (Сер.Математика в технічному університеті

.Кадомцев СБ. Аналітична геометрія та лінійна алгебра, 2003. – 160 с.

.Федорчук В. В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри: Навч. посібник, 2000. – 328 с.

.Аналітична геометрія (конспект лекцій Троїцького Є.В., 1 курс, 1999/2000) – 118 с.

.Бортаковський, А.С. Аналітична геометрія в прикладах та задачах: Навч. Посібник/О.С. Бортаковський, А.В. Пантелєєв. - Вищ. шк., 2005. – 496 з: іл. - (Серія "Прикладна математика").

.Морозова Є.А., Скляренко Є.Г. Аналітична геометрія. Методичний посібник 2004. – 103 с.

.Методичні вказівки та робоча програма з курсу «Вища математика» – 55 с.

Дві прямі у просторі паралельні, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

Дві прямі в просторі схрещуються, якщо не існує такої площини, в якій вони лежать.

Ознака схрещуються прямих. Якщо одна з двох прямих лежить у деякій і лагідності, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, то ці прямі схрещуються.

Площина і пряма, що не належить площині, паралельні, якщо вони не мають спільних точок.

Ознака паралельності прямої та площини. Якщо пряма, що не належить площині, паралельна будь-якій прямій, що належить площині, вона паралельна і площині.

Властивості площини та прямої, паралельної площині:

1) якщо площина містить пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій;

2) якщо через кожну з двох паралельних прямих проведені площини, що перетинаються, то лінія їх перетину паралельна даним прямим.

Дві площини є паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Ознака паралельності площин, якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом перетинається прямим інший площині, то ці площини паралельні.

Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що належить площині.

Ознака перпендикулярності прямої і площини: якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна площині.

Властивості прямої, перпендикулярної площині.

1) якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини;

2) пряма, перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, перпендикулярна до іншої площини.

Ознака перпендикулярності площин. Якщо площина містить перпендикуляр до іншої площини, вона перпендикулярна цій площині.

Пряма, що перетинає площину, але не перпендикулярна до неї, називається похилою до площини.

Теорема про три перпендикуляри. Для того щоб пряма, що лежить у площині, була перпендикулярна похилій, необхідно і достатньо, щоб вона була перпендикулярна до проекції цієї похилої на площину.

На малюнку 1 пряма b− похила до площини, пряма c- проекція цієї похилої на площину і оскільки а┴ з, то a┴ b

Кутом між похилою та площиною називається кут між похилою та її проекцією на площину. На малюнку 2 пряма b- похила до площини, пряма a- проекція цієї похилої на площину, α - кут між цією похилою та площиною.

Двогранний кут утворюється внаслідок перетину двох площин. Пряма, отримана внаслідок перетину двох площин, називається ребром двогранного кута. Дві півплощини із загальним ребром називаються гранями двогранного кута.

Напівплощина, межа якої збігається з ребром двогранного кута і яка ділить двогранний кут на два рівні кути, називається бісекторною площиною.

Двогранний кут вимірюється відповідним лінійним кутом. Лінійним кутом двогранного кута називається кут між перпендикулярами, проведеними у кожній грані до ребра.

Призма

Багатогранник, дві грані якого рівні n- косинці, що лежать у паралельних площинах, а решта nграней - паралелограми, називається n-вугільною призмою.

Два n- косинця є підставами призми, паралелограми – бічними гранями. Сторони граней називаються ребрами призми, а кінці ребер – вершинами призми.

Висотою призми називається відрізок перпендикуляра, укладений між основами призми.

Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не лежать в одній грані.

Прямою призмою називається призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ (рис. 3).

Похилою призмою називається призма, бічні ребра якої є похилими до площин основ (рис.4).

Обсяг і площа поверхні призми висоти знаходять за формулами:

Площу бічної поверхні прямої призми можна обчислити за формулою .

Об'єм та площа поверхніпохилої призми (рис. 4) можна обчислити також інакше: де ΔPNK - переріз, перпендикулярний ребру l.

Правильною призмою називається пряма призма, основою якої є правильний багатокутник.

Паралелепіпедом називається призма, усі грані якої – паралелограми.

Прямим паралелепіпедом називається паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні площинам основ.

Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивість діагоналі прямокутного паралелепіпеда

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: d² = a² + b² + c², де a,b,c-довжини ребер, що виходять з однієї вершини, d- діагональ паралелепіпеда (рис. 3).

Об'єм прямокутного паралелепіпеда знаходять за формулою V = abc.

Кубом називається прямокутний паралелепіпед з рівними ребрами. Усі грані куба – квадрати.

Об'єм, площа поверхні та діагональ куба з ребромa знаходять за формулами:

V = a³, S = 6a² d² = 3 a².

Піраміда

Багатогранник, одна грань якого – багатокутник, а інші грані – трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою. Багатокутник називається основою піраміди, а трикутники – бічними гранями.

Висотою піраміди називається відрізок перпендикуляра, проведеного з вершини піраміди до поверхні підстави.

Якщо всі бічні ребра піраміди рівні або нахилені до площини основи під тим самим кутом, то висота опускається в центр описаного кола.

Якщо бічні грані піраміди нахилені до площини основи під тим самим кутом (двогранні кути при підставі рівні), то висота опускається в центр вписаного кола.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник, а висота опускається в центр вписаного та описаного кола багатокутника, що лежить в основі піраміди. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.

Наприклад, на малюнку 5 зображено правильну трикутну піраміду SABC(тетраедр): AB= BC= AC= a, OD = r- радіус кола, вписаного в трикутник ABC, OA=R- радіус кола, описаного біля трикутника ABC, SO=h- Висота

піраміди, SD = l-апофема, - кут нахилу бічного

ребра SAдо площини основи, - кут наклонабокової грані SBCдо площини основи піраміди.

Трикутна піраміда називається тетраедром. Тетраедр називається правильним, якщо його ребра рівні.

Обсяг піраміди та площа її поверхні знаходять за формулами:

Де h- Висота піраміди.

Площа бічної поверхні правильної пірамідизнаходять за формулою , де – апофема піраміди.

Усіченою пірамідою називається багатогранник, вершинами якого служать вершини основи піраміди та вершини її перерізу площиною, паралельною основі піраміди. Підстави усіченої піраміди – подібні багатокутники.

Обсяг усіченої піраміди знаходять за формулою , де - площі підстав, h - висота усіченої піраміди.

Правильні багатогранники

Правильним багатогранником називається опуклий багатогранник, у якого всі грані - правильні багатокутники з одним і тим самим числом сторін і в кожній вершині багатогранника сходиться те саме число ребер.

Грані правильного багатогранника можуть бути рівносторонніми трикутниками, або квадратами, або правильними п'ятикутниками.

Якщо у правильного багатогранника грані – правильні трикутники, то відповідними багатогранниками є правильний тетраедр (він має 4 грані), правильний октаедр (він має 8 граней), правильний ікосаедр (він має 20 граней).

Якщо у правильного багатогранника грані – квадрати, то багатогранник називається кубом або гексаедром (він має 6 граней).

Якщо у правильного багатогранника грані – правильні п'ятикутники, то багатогранник називається додекаедром (він має 12 граней).

Циліндр

Циліндром називається фігура, отримана в результаті обертання прямокутника навколо однієї з сторін.

На малюнку 6 пряма – вісь обертання; - Висота, l- Утворююча; ABCD- осьовий переріз циліндра, отриманого обертанням прямокутника навколо боку . Об'єм та площа поверхні циліндра знаходять за формулами:

, , , , де R-радіус основи, h- Висота, l- утворює циліндра.

Конус

Конусом називається фігура, отримана внаслідок обертання прямокутного трикутника навколо одного з катетів. На малюнку 7 пряма OB- вісь обертання; OB = h- Висота, l- утворююча;Δ ABC- осьовий переріз конуса, отриманого обертанням прямокутного трикутника OBCнавколо катета OB.