З такою формою, як трапеція, ми зустрічаємося в житті досить часто. Наприклад, будь-який міст, який виконаний з бетонних блоків, є яскравим прикладом. Найбільш наочним варіантом можна вважати кермо кожного транспортного засобу та інше. Про властивості фігури було відомо ще у Стародавній Греції, яку детальніше описав Аристотель у своїй науковій праці «Початку». І знання, виведені тисячі років тому актуальні й до сьогодні. Тому ознайомимося з ними детальніше.

Вконтакте

Основні поняття

1. Класична форма трапеції.

Трапеція за своєю сутністю є чотирикутником, що складається з двох відрізків, які паралельні, та двох інших, які не паралельні. Говорячи про цю фігуру завжди необхідно пам'ятати про такі поняття як: основи, висота та середня лінія. Два відрізки чотирикутника, які один одному називаються основами (відрізки AD і BC). Висотою називають відрізок перпендикулярний кожному з основ (EH), тобто. перетинаються під кутом 90° (як показано на рис.1).

Якщо скласти всі градусні заходи внутрішніх , то сума кутів трапеції дорівнюватиме 2π (360°), як і будь-якого чотирикутника. Відрізок, кінці якого є серединами боковин (IF) називають середньою лінією.Довжина цього відрізка становить суму підстав BC та AD ділену на 2.

Існує три види геометричної фігури: пряма, звичайна та рівнобока. Якщо хоч один кут при вершинах основи буде прямий (наприклад, якщо ABD=90°), такий чотирикутник називають прямою трапецією. Якщо бічні відрізки рівні (AB і CD), вона називається равнобедренной (відповідно кути при підставах рівні).

Як знайти площу

Для того, щоб знайти площу чотирикутника ABCD користуються такою формулою:

Рисунок 2. Розв'язання задачі на пошук площі

Для наочного прикладу вирішимо легке завдання. Наприклад, нехай верхня і нижня основи рівні по 16 і 44 см відповідно, а бічні сторони – 17 і 25 см. Побудуємо перпендикулярний відрізок з вершини D таким чином, щоб DE II BC (як це зображено на малюнку 2). Звідси отримуємо, що

Нехай DF – буде. З ΔADE (який буде рівнобоким), отримаємо наступне:

Тобто, висловлюючись простою мовою, спочатку знайшли висоту ΔADE, яка за сумісництвом є і висотою трапеції. Звідси обчислимо за відомою формулою площа чотирикутника ABCD, з відомим значенням висоти DF.

Звідси шукана площа ABCD дорівнює 450 см³. Тобто можна з упевненістю сказати, що для того, щоб обчислити площу трапеції потрібно лише сума підстав та довжина висоти.

Важливо!При вирішенні завдання не обов'язково знайти значення довжин окремо, цілком допускається, якщо будуть застосовані й інші параметри фігури, які за відповідного доказу дорівнюватимуть сумі підстав.

Види трапецій

Залежно від того, які сторони має фігура, які кути утворені на підставах, виділяють три види чотирикутника: прямокутна, різнобока і рівнобока.

Різнобока

Існує дві форми: гострокутна та тупокутна. ABCD гострокутна тільки в тому випадку, коли кути при основі (AD) гострі, а довжини сторін різні. Якщо величина одного кута число Пі/2 більше (градусна міра більша за 90°), то отримаємо тупокутну.

Якщо боковини по довжині рівні

Рисунок 3. Вид рівнобічної трапеції

Якщо непаралельні сторони рівні по довжині, тоді ABCD називається рівнобокою (правильною). При цьому у такого чотирикутника градусна міра кутів при підставі однакова, їх кут завжди менше прямого. Саме з цієї причини рівнобедрена ніколи не ділиться на гострокутні та тупокутні. Чотирьохкутник такої форми має свої специфічні відмінності, до яких відносять:

1. Відрізки, що з'єднують протилежні вершини, рівні.
2. Гострі кути при більшому підставі становлять 45° (наочний приклад малюнку 3).
3. Якщо скласти градусні заходи протилежних кутів, то сумі вони будуть давати 180°.
4. Навколо будь-якої правильної трапеції можна побудувати.
5. Якщо скласти градусну міру протилежних кутів, вона дорівнює π.

Більше того, через своє геометричне розташування точок існують основні властивості рівнобедреної трапеції:

Значення кута на підставі 90°

Перпендикулярність бічної сторони основи - ємна характеристика поняття "прямокутна трапеція". Двох бокових сторін з кутами на підставі бути не може,тому що інакше це буде вже прямокутник. У чотирикутниках такого типу друга бічна сторона завжди утворюватиме гострий кут з великою основою, а з меншою — тупою. При цьому перпендикулярна сторона також буде і висотою.

Відрізок між серединами боковин

Якщо з'єднати середини бічних сторін, і отриманий відрізок буде паралельний основам, і дорівнює по довжині половини їх суми, то утворена пряма буде середньою лінією.Значення цієї відстані обчислюється за такою формулою:

Для наочного прикладу розглянемо завдання із застосуванням середньої лінії.

Завдання. Середня лінія трапеції дорівнює 7 см, відомо, що одна зі сторін більша за іншу на 4 см (рис.4). Знайти довжини основ.

Рисунок 4. Розв'язання задачі на пошук довжин основ

Рішення. Нехай менша основа DC дорівнює x см, тоді більша основа дорівнює відповідно (x+4) см. Звідси, використовуючи формулу середньої лінії трапеції отримаємо:

Виходить, що менша основа DC дорівнює 5 см, а більша дорівнює 9 см.

Важливо!Поняття середньої лінії є ключовим під час вирішення багатьох завдань з геометрії. На підставі її визначення, будуються багато доказів інших фігур. Використовуючи поняття на практиці, можливо більш раціональне рішення та пошук необхідної величини.

Визначення висоти та способи як її знайти

Як зазначалося раніше, висота є відрізок, який перетинає підстави під кутом 2Пи/4 і є найкоротшим відстанню з-поміж них. Перед тим як знайти висоту трапеції,слід визначити які дані вхідні значення. Для найкращого розуміння розглянемо завдання. Знайти висоту трапеції за умови, що основи дорівнюють 8 і 28 см, бічні сторони 12 і 16 см відповідно.

Рисунок 5. Розв'язання задачі на пошук висоти трапеції

Проведемо відрізки DF і CH під прямими кутами до основи AD. Відповідно до визначення, кожен з них буде висотою заданої трапеції (рис.5). У такому разі, знаючи довжину кожної боковини, за допомогою теореми Піфагора, знайдемо, чому дорівнює висота в трикутниках AFD і BHC.

Сума відрізків AF і HB дорівнює різниці основ, тобто:

Нехай довжина AF дорівнюватиме x cм, тоді довжина відрізка HB=(20 – x)див. Як було встановлено, DF = CH, звідси.

Тоді отримаємо наступне рівняння:

Виходить, що відрізок AF у трикутнику AFD дорівнює 7,2 см, звідси обчислимо по тій же теоремі Піфагора висоту трапеції DF:

Тобто. висота трапеції ADCB дорівнюватиме 9,6 см. Як можна переконатися, що обчислення висоти — процес більш механічний, і ґрунтується на обчисленнях сторін та кутів трикутників. Але, у ряді завдань з геометрії, можуть бути відомі лише градуси кутів, у такому разі обчислення будуть проводитись через співвідношення сторін внутрішніх трикутників.

Важливо!По суті трапецію часто розглядають як два трикутники, або як комбінацію прямокутника та трикутника. Для вирішення 90% всіх завдань, що зустрічаються у шкільних підручниках, властивості та ознаки цих фігур. Більшість формул, при цьому ГМТ, виведені покладаючись на «механізми» для зазначених двох типів фігур.

Як швидко обчислити довжину основи

Перед тим, як знайти основу трапеції необхідно визначити, які параметри вже дано, і як їх раціонально використовувати. Практичним підходом є вилучення довжини невідомої основи формули середньої лінії. Для більш ясного сприйняття картинки покажемо з прикладу завдання, як і зробити. Нехай відомо, що середня лінія трапеції становить 7 см, а одна з основ 10 см. Знайти довжину другої основи.

Рішення: Знаючи, що середня лінія дорівнює половині суми основ, можна стверджувати, що їхня сума дорівнює 14 см.

(14 см = 7 см × 2). З умови завдання, ми знаємо, що одне з одно 10 см, звідси менша сторона трапеції дорівнюватиме 4 см (4 см = 14 – 10).

Більш того, для більш комфортного вирішення завдань такого плану, рекомендуємо добре вивчити такі формули з області трапеції як:

• середня лінія;
• площа;
• висота;
• діагоналі.

Знаючи суть (саме суть) цих обчислень можна без особливих зусиль дізнатися шукане значення.

Відео: трапеція та її властивості

Відео: особливості трапеції

Висновок

З розглянутих прикладів завдань можна зробити нехитрий висновок, що трапеція, щодо обчислення завдань, є однією з найпростіших фігур геометрії. Для успішного вирішення завдань перш за все не варто визначитися з тим, яка інформація відома про описуємо об'єкт, у яких формулах їх можна застосувати, і визначитися з тим, що потрібно знайти. Виконуючи цей простий алгоритм, жодна задача із застосуванням цієї геометричної фігури не складе зусиль.

У матеріалах різних контрольних робіт та іспитів дуже часто зустрічаються завдання на трапецію, Вирішення яких вимагає знання її властивостей.

З'ясуємо, якими ж цікавими та корисними для вирішення задач властивостями має трапеція.

Після вивчення властивості середньої лінії трапеції можна сформулювати та довести властивість відрізка, що сполучає середини діагоналей трапеції. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізності основ.

MO – середня лінія трикутника ABC і дорівнює 1/2ВС (Рис. 1).

MQ – середня лінія трикутника ABD дорівнює 1/2АD.

Тоді OQ = MQ – MO, отже, OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

При вирішенні багатьох завдань на трапецію одним із основних прийомів є проведення у ній двох висот.

Розглянемо таку завдання.

Нехай BT – висота рівнобедреної трапеції ABCD із основами BC і AD, причому BC = a, AD = b. Знайти довжини відрізків AT та TD.

Рішення.

Вирішення завдання не викликає труднощів (Рис. 2)але воно дозволяє отримати властивість висоти рівнобедреної трапеції, проведеної з вершини тупого кута: висота рівнобедреної трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на два відрізки, менший з яких дорівнює напіврізності основ, а більший – напівсумі основ.

При вивченні властивостей трапеції слід звернути увагу на таку властивість, як подібність. Так, наприклад, діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники, причому трикутники, що прилягають до основ, подібні, а трикутники, що належать до боків, рівновеликі. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Причому перша частина твердження доводиться дуже легко через ознаку подоби трикутників з двох кутів. Доведемодругу частину затвердження.

Трикутники BOC та COD мають загальну висоту (Рис. 3)якщо прийняти за їх підстави відрізки BO і OD. Тоді S BOC /S COD = BO/OD = k. Отже, S COD = 1/k · S BOC.

Аналогічно, трикутники BOC та АОВ мають загальну висоту, якщо прийняти за їх підстави відрізки CO та OA. Тоді S BOC /S AOB = CO/OA = k та S А O В = 1/k · S BOC .

З цих двох пропозицій випливає, що S COD = S А O В.

Не будемо зупинятись на сформульованому твердженні, а знайдемо зв'язок між площами трикутників, на які розбивається трапеція її діагоналями. Для цього вирішимо таке завдання.

Нехай точка O – точка перетину діагоналей трапеції АBCD із основами BC і AD. Відомо, що площі трикутників BOC і AOD рівні відповідно S1 і S2. Знайти площу трапеції.

Оскільки S COD = S А O В, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD .

З подоби трикутників BOC і AOD випливає, що ВО/OD = √(S₁/S 2).

Отже, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), отже S COD = √(S 1 · S 2).

Тоді S АВС D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2 .

З використанням подібності доводиться і властивість відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам.

Розглянемо завдання:

Нехай точка O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD із основами BC і AD. BC=a, AD=b. Знайти довжину відрізка PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам. Які відрізки ділиться PK точкою О (рис. 4)?

З подоби трикутників AOD і BOC випливає, що АO/ОС = AD/BC = b/a.

З подоби трикутників AOR і ACB випливає, що АO/АС = PO/BC = b/(a + b).

Звідси PO = BC · b / (a ​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Аналогічно, з подоби трикутників DOK та DBC, випливає, що OK = ab/(a + b).

Звідси PO = OK та PK = 2ab/(a + b).

Отже, доведена властивість можна сформулювати так: відрізок, паралельний основам трапеції, що проходить через точку перетину діагоналей і з'єднує дві точки на бокових сторонах, ділиться точкою перетину діагоналей навпіл. Його довжина є середньою гармонійною основою трапеції.

Наступне властивість чотирьох точок: у трапеції точка перетину діагоналей, точка перетину продовження бічних сторін, середини основ трапеції лежать на одній лінії.

Трикутники BSC та ASD подібні (Рис. 5)і в кожному з них медіани ST та SG ділять кут при вершині S на однакові частини. Отже, точки S, T та G лежать на одній прямій.

Так само на одній прямій розташовані точки T, O та G. Це випливає з подоби трикутників BOC та AOD.

Отже, всі чотири точки S, T, O та G лежать на одній прямій.

Так само можна знайти довжину відрізка трапеції, що розбиває, на дві подібних.

Якщо трапеції ALFD та LBCF подібні (Рис. 6),то a/LF = LF/b.

Звідси LF = √(ab).

Таким чином, відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному довжин основ .

Доведемо властивість відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі.

Нехай площа трапеції дорівнює S (Рис. 7). h 1 і h 2 - Частини висоти, а х - Довжина шуканого відрізка.

Тоді S/2 = h 1 · (a + x) / 2 = h 2 · (b + x) / 2 та

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Складемо систему

(h 1 · (a + x) = h 2 · (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Вирішуючи цю систему, отримаємо х = √(1/2(а 2 + b 2)).

Таким чином, довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює √ ((а 2 + b 2) / 2)(Середньому квадратичному довжин основ).

Отже, для трапеції ABCD з основами AD та BC (BC = a, AD = b) довели, що відрізок:

1) MN, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, паралельний основам і дорівнює їх напівсумі (середньому арифметичному чисел a і b);

2) PK, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам, дорівнює
2ab/(a + b) (середньому гармонійному чисел a та b);

3) LF, що розбиває трапецію на дві подібні трапеції, має довжину рівну середньому геометричному чисел a та b, √(ab);

4) EH, що ділить трапецію на дві рівновеликі, має довжину √((а 2 + b 2)/2) (середнє квадратичне чисел a та b).

Ознака та властивість вписаної та описаної трапеції.

Властивість вписаної трапеції:трапеція може бути вписана в коло в тому й лише у тому випадку, коли вона рівнобедрена.

Властивості описаної трапеції.Біля кола можна описати трапецію і тоді, коли сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Корисні наслідки того, що в трапецію вписано коло:

1. Висота описаної трапеції дорівнює двом радіусам вписаного кола.

2. Бічна сторона описаної трапеції видно з центру вписаного кола під прямим кутом.

Перше очевидно. Для доказу другого слідства необхідно встановити, що кут COD прямий, що так само не становить великої праці. Зате знання цього слідства дозволяє під час вирішення завдань використовувати прямокутний трикутник.

Конкретизуємо слідства для рівнобедреної описаної трапеції:

Висота рівнобедреної описаної трапеції є середня геометрична основ трапеції.
h = 2r = √(ab).

Розглянуті властивості дозволять глибше пізнати трапецію і забезпечать успішність у вирішенні завдань застосування її властивостей.

Залишились питання? Не знаєте, як вирішувати завдання на трапецію?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У цій статті ми намагатимемося наскільки можливо повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, йтиметься про загальні ознаки та властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Зачепимо ми і властивості рівнобедреної та прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирьохкутник, дві із сторін якої паралельні один одному (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте на листку трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

1. Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) та з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції у тому, що відрізок ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
2. Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Давайте розглянемо трикутники АОЕ та МОК, утворені відрізками діагоналей разом із основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
   Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
3. Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їх площі однакові.
4. Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МО у напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
   Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона з'єднає разом точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
5. Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
6. А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний підставам трапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

1. Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
2. Якщо провести через обидва підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції Акме. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

1. Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 та γ + δ = 180 0 .
2. З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
3. Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, то розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобокої) трапеції

1. У рівнобедреній трапеції рівні кути за будь-якої основи.
2. Тепер знову побудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, що мова. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
3. Кілька слів про якість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
4. Тільки близько рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 1800 – обов'язкова умова для цього.
5. З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
6. З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
7. Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І одночасно ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
8. Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо її a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець у руки і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше, і запам'ятайте краще.

1. Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до її бічного боку. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бічного боку. У такому разі більшу основу перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
2. Діагональ і бічна сторона можуть зустрічатися і під гострим кутом – тоді центр кола виявляється усередині трапеції.
3. Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за великою її основою, якщо між діагоналлю трапеції та бічною стороною – тупий кут.
4. Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) складає половину центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
5. Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
6. Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

1. Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
2. У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
3. З цієї властивості підстав трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума підстав якої дорівнює сумі бічних сторін.
4. Точка торкання кола з радіусом r, вписаною в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
5. І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція Акме, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
   Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

1. У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
2. Висота та бічна сторона трапеції, що прилягають до прямого кута, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції (загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
3. Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

• Ви вже мабуть і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 – МЕТ = 180 0 – КАЄ = КМЕ.

Що й потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

• Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ і КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЕ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – загальна сторона двох трикутників. А також МАЄ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі якості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, що цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися вами.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостей трапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням із друзями!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Трапеція - це окремий випадок чотирикутника, у якого одна пара сторін є паралельною. Термін «трапеція» походить від грецького слова τράπεζα, що означає "стіл", "столик". У цій статті ми розглянемо види трапеції та її властивості. Крім того, розберемося, як розраховувати окремі елементи цієї, наприклад, діагональ рівнобічної трапеції, середню лінію, площу та ін. Матеріал викладений у стилі елементарної популярної геометрії, тобто в легкодоступній формі.

Загальні відомості

Спочатку давайте розберемося, що таке чотирикутник. Ця фігура є окремим випадком багатокутника, що містить чотири сторони і чотири вершини. Дві вершини чотирикутника, які є сусідніми, називаються протилежними. Те саме можна сказати і про дві несуміжні сторони. Основні види чотирикутників - це паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та дельтоїд.

Отже, повернемося до трапецій. Як ми вже говорили, у цієї постаті дві сторони є паралельними. Їх називають основами. Дві інші (непаралельні) – бічні сторони. У матеріалах іспитів та різних контрольних робіт дуже часто можна зустріти завдання, пов'язані з трапеціями, вирішення яких найчастіше вимагає від учня знань, не передбачених програмою. Шкільний курс геометрії знайомить учнів із властивостями кутів та діагоналей, а також середньої лінії рівнобедреної трапеції. Адже, крім цього, згадана геометрична фігура має й інші особливості. Але про них трохи згодом...

Види трапеції

Існує багато видів цієї постаті. Однак найчастіше прийнято розглядати два з них – рівнобедрену та прямокутну.

1. Прямокутна трапеція - це фігура, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. У неї два кути завжди рівні дев'яносто градусів.

2. Рівнобедрена трапеція – це геометрична фігура, у якої бічні сторони рівні між собою. Отже, і кути біля основ також попарно рівні.

Основні принципи методики вивчення властивостей трапеції

До основного принципу можна зарахувати використання так званого задачного підходу. По суті, немає необхідності вводити в теоретичний курс геометрії нових властивостей цієї фігури. Їх можна відкривати і формулювати у процесі вирішення різних завдань (краще системних). При цьому дуже важливо, щоб викладач знав, які завдання потрібно поставити перед школярами у той чи інший момент навчального процесу. Більше того, кожна властивість трапеції може бути представлена ​​як ключове завдання в системі завдань.

Другим принципом є так звана спіральна організація вивчення «чудових» властивостей трапеції. Це передбачає повернення процесі навчання до окремих ознак даної геометричної постаті. Таким чином, учням легше їх запам'ятовувати. Наприклад, властивість чотирьох точок. Його можна доводити як із вивченні подоби, і згодом з допомогою векторів. А рівновеликість трикутників, прилеглих до бокових сторін фігури, можна доводити, застосовуючи як властивості трикутників з рівними висотами, проведеними до сторін, які лежать однієї прямої, а й з допомогою формули S= 1/2(ab*sinα). Крім того, можна відпрацювати на вписаній трапеції або прямокутний трикутник на описаній трапеції і т.д.

Застосування "позапрограмних" особливостей геометричної фігури у змісті шкільного курсу - це задачна технологія їх викладання. Постійне звернення до властивостей, що вивчаються при проходженні інших тем, дозволяє учням глибше пізнавати трапецію і забезпечує успішність вирішення поставлених завдань. Отже, приступимо до вивчення цієї чудової постаті.

Елементи та властивості рівнобедреної трапеції

Як ми вже зазначали, у цієї геометричної фігури бічні сторони рівні. Ще вона відома як правильна трапеція. А чим же вона така примітна і чому отримала таку назву? До особливостей цієї постаті належить те, у неї рівні як бічні боку й кути біля основ, а й діагоналі. Крім того, сума кутів рівнобедреної трапеції дорівнює 360 градусів. Але це ще не все! З усіх відомих трапецій лише навколо рівнобедреного можна описати коло. Це пов'язано з тим, що сума протилежних кутів цієї фігури дорівнює 180 градусам, а лише за такої умови можна описати коло навколо чотирикутника. Наступною властивістю аналізованої геометричної фігури є те, що відстань від вершини основи до проекції протилежної вершини на пряму, що містить цю основу, буде дорівнює середній лінії.

А тепер давайте розберемося, як знайти кути рівнобедреної трапеції. Розглянемо варіант вирішення цієї задачі за умови, що відомі розміри сторін фігури.

Рішення

Зазвичай чотирикутник прийнято позначати літерами А, Б, С, Д, де БС та АТ – це підстави. У рівнобедреній трапеції бічні сторони рівні. Вважатимемо, що їх розмір дорівнює Х, а розміри підстав рівні Y і Z (меншого і більшого відповідно). Для проведення обчислення необхідно з кута провести висоту Н. В результаті вийшов прямокутний трикутник АБН, де АБ - гіпотенуза, а БН і АН - катети. Обчислюємо розмір катета АН: від більшої основи забираємо менше, і результат ділимо на 2. Запишемо у вигляді формули: (Z-Y)/2 = F. Тепер для обчислення гострого кута трикутника скористаємося функцією cos. Отримуємо наступний запис: cos(β) = Х/F. Тепер обчислюємо кут: β=arcos (Х/F). Далі, знаючи один кут, ми можемо визначити і другий, для цього чинимо елементарну арифметичну дію: 180 - β. Усі кути визначені.

Існує і друге вирішення цієї задачі. Спочатку опускаємо з кута У висоту Н. Обчислюємо значення катета БН. Нам відомо, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Отримуємо: БН = √(Х2-F2). Далі використовуємо тригонометричну функцію tg. В результаті маємо: β = arctg (БН/F). Гострий кут знайдено. Далі визначаємо аналогічно першому способу.

Властивість діагоналей рівнобедреної трапеції

Спочатку запишемо чотири правила. Якщо діагоналі в рівнобедреній трапеції перпендикулярні, то:

Висота фігури дорівнюватиме сумі підстав, поділеної на дві;

Її висота та середня лінія рівні;

Центр кола є точкою, в якій перетинаються ;

Якщо бічна сторона ділиться точкою торкання відрізки Н і М, тоді дорівнює квадратному кореню добутку цих відрізків;

Чотирьохкутник, який утворився точками торкання, вершиною трапеції та центром вписаного кола - це квадрат, у якого сторона дорівнює радіусу;

Площа постаті дорівнює добутку підстав та добутку напівсуми підстав на її висоту.

Подібні трапеції

Ця тема дуже зручна для вивчення властивостей цієї. Наприклад, діагоналі розбивають трапецію на чотири трикутники, причому прилеглі до основ є подібними, а до бічних сторін - рівновеликими. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями. Перша частина цього твердження доводиться через ознаку подібності за двома кутами. Для доказу другої частини краще скористатися способом, наведеним нижче.

Доказ теореми

Приймаємо, що фігура АБСД (АТ та БС – основи трапеції) розбивається діагоналями ВД та АС. Точка їх перетину – О. Отримуємо чотири трикутники: АОС – у нижньої основи, БОС – у верхньої основи, АБО та СОД у бічних сторін. Трикутники СОД та БОС мають загальну висоту в тому випадку, якщо відрізки БО та ОД є їх підставами. Отримуємо, що різниця їх площ (П) дорівнює різниці цих відрізків: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Отже, ПСОД = ПБОС/К. Аналогічно, трикутники БОС та АОБ мають загальну висоту. Приймаємо за їх підстави відрізки СО та ОА. Отримуємо ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К та ПАОБ = ПБОС/К. На цьому випливає, що ПСОД = ПАОБ.

Для закріплення матеріалу учням рекомендується знайти зв'язок між площами отриманих трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями, вирішивши таке завдання. Відомо, що у трикутників БОС та АОД площі рівні, необхідно знайти площу трапеції. Оскільки ПСОД = ПАОБ, отже, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. З подоби трикутників БОС та АОД випливає, що БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отже, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отримуємо ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тоді ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Властивості подоби

Продовжуючи розвивати цю тему, можна доводити інші цікаві особливості трапецій. Так, за допомогою подібності можна довести властивість відрізка, який проходить через точку, утворену перетином діагоналей цієї геометричної фігури, паралельно до основ. Для цього розв'яжемо наступне завдання: необхідно знайти довжину відрізка РК, який проходить через точку О. З подоби трикутників АОД і БОС випливає, що АО/ОС=АД/БС. З подоби трикутників АОР і АСБ випливає, що АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Звідси отримуємо, що РВ = БС * АТ / (БС + АТ). Аналогічно з подоби трикутників ДОК і ДБС випливає, що ОК=БС*АД/(БС+АД). Звідси отримуємо, що РО=ОК і РК=2*БС*АД/(БС+АД). Відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей, паралельний основам і сполучає дві бічні сторони, ділиться точкою перетину навпіл. Його довжина - це середнє гармонічне підстав фігури.

Розглянемо таку якість трапеції, яку називають властивістю чотирьох точок. Точки перетину діагоналей (О), перетину продовження бічних сторін (Е), а також середини основ (Т та Ж) завжди лежать на одній лінії. Це легко доводиться методом подібності. Отримані трикутники БЕС і АЕД подібні, й у кожному їх медіани ЕТ і ЄЖ ділять кут при вершині Е рівні. Отже, точки Е, Т та Ж лежать на одній прямій. Так само на одній прямій розташовуються точки Т, О, і Ж. Все це випливає з подоби трикутників БОС та АОД. Звідси робимо висновок, що всі чотири точки – Е, Т, О та Ж – лежатимуть на одній прямій.

Використовуючи такі трапеції, можна запропонувати учням знайти довжину відрізка (ЛФ), який розбиває фігуру на дві подібні. Даний відрізок повинен бути паралельний основам. Оскільки отримані трапеції АЛФД і ЛБСФ подібні, БС/ЛФ=ЛФ/АД. Звідси випливає, що ЛФ=√(БС*АД). Отримуємо, що відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні, має довжину, рівну середньому геометричному довжині основ фігури.

Розглянемо таку властивість подібності. В його основі лежить відрізок, який поділяє трапецію на дві рівновеликі постаті. Приймаємо, що трапеція АБСД розділена відрізком ЄП на дві подібні. З вершини Б опущена висота, яка розбивається відрізком ЄП на дві частини – В1 та В2. Отримуємо: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 та ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далі складаємо систему, перше рівняння якої (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 та друге (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Звідси випливає, що В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) і БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Отримуємо, що довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює середньому квадратичному довжини основ: √((БС2+АД2)/2).

Висновки подібності

Таким чином, ми довели, що:

1. Відрізок, що з'єднує у трапеції середини бічних сторін, паралельний АТ і БС і дорівнює середньому арифметичному БС та АТ (довжина основи трапеції).

2. Риса, яка проходить через точку Про перетину діагоналей паралельно АТ і БС, дорівнюватиме середньому гармонійному чисел АТ і БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Відрізок, що розбиває трапецію на подібні, має довжину середньої геометричної основ БС та АТ.

4. Елемент, що ділить фігуру на дві рівновеликі, має довжину середнього квадратичного чисел АТ та БС.

Для закріплення матеріалу та усвідомлення зв'язку між розглянутими відрізками учню необхідно збудувати їх для конкретної трапеції. Він легко зможе відобразити середню лінію і відрізок, який проходить через точку О - перетин діагоналей фігури - паралельно підставам. А ось де будуть перебувати третій та четвертий? Ця відповідь приведе учня до відкриття шуканого зв'язку між середніми величинами.

Відрізок, що сполучає середини діагоналей трапеції

Розглянемо таку властивість цієї фігури. Приймаємо, що відрізок МН паралельний основам і поділяє діагоналі навпіл. Точки перетину назвемо Ш і Щ. Даний відрізок дорівнюватиме напіврізності підстав. Розберемо це детальніше. МШ – середня лінія трикутника АБС, вона дорівнює БС/2. МЩ – середня лінія трикутника АБД, вона дорівнює АТ/2. Тоді отримуємо, що ШЩ = МЩ-МШ, отже ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр ваги

Давайте розглянемо, як визначається цей елемент для даної геометричної фігури. Для цього необхідно продовжити основи у протилежні сторони. Що це означає? Потрібно до верхньої основи додати нижнє - у будь-яку сторону, наприклад, вправо. А нижнє подовжуємо на довжину верхнього вліво. Далі з'єднуємо їх діагоналлю. Точка перетину цього відрізка із середньою лінією фігури і є центром тяжкості трапеції.

Вписані та описані трапеції

Давайте перерахуємо особливості таких фігур:

1. Трапеція може бути вписана в коло тільки в тому випадку, якщо вона рівнобедрена.

2. Біля кола можна описати трапецію, за умови, що сума довжин їх підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Наслідки вписаного кола:

1. Висота описаної трапеції завжди дорівнює двом радіусам.

2. Бічна сторона описаної трапеції спостерігається із центру кола під прямим кутом.

Перше слідство очевидно, а доказу другого потрібно встановити, що кут СОД є прямим, що, по суті, також не складе великої праці. Зате знання даної властивості дозволить при розв'язанні задач застосовувати прямокутний трикутник.

Тепер конкретизуємо ці наслідки для рівнобедреної трапеції, яка вписана у коло. Отримуємо, що висота є середнім геометричним підставам фігури: Н=2R=√(БС*АД). Відпрацьовуючи основний прийом розв'язання завдань для трапецій (принцип проведення двох висот), учень має вирішити таке завдання. Приймаємо, що БТ – висота рівнобедреної фігури АБСД. Необхідно знайти відрізки АТ та ТД. Застосовуючи формулу, описану вище, це зробити не складно.

Тепер давайте розберемося, як визначити радіус кола, використовуючи площу описаної трапеції. Опускаємо з вершини Б висоту на основу АТ. Оскільки коло вписано в трапецію, то БС+АД = 2АБ або АБ = (БС+АД)/2. З трикутника АБН знаходимо sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АТ). ПАБСД = (БС + АТ) * БН / 2, БН = 2R. Отримуємо ПАБСД = (БС+АД)*R, звідси випливає, що R = ПАБСД/(БС+АД).

Усі формули середньої лінії трапеції

Тепер настав час перейти до останнього елемента даної геометричної фігури. Розберемося, чому дорівнює середня лінія трапеції (М):

1. Через підстави: М = (А+Б)/2.

2. Через висоту, основу та кути:

М = А-Н * (ctgα + ctgβ) / 2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через висоту, діагоналі та кут між ними. Наприклад, Д1 та Д2 - діагоналі трапеції; α , β - кути між ними:

М = Д1 * Д2 * sinα / 2Н = Д1 * Д2 * sinβ / 2Н.

4. Через площу та висоту: М = П/Н.

Трапеція— це чотирикутник, що має дві паралельні сторони, що є основами та дві не паралельні сторони, що є бічними сторонами.

Також зустрічаються такі назви, як рівнобокаабо рівнобічна.

- Це трапеція, у якої кути при бічній стороні прямі.

Елементи трапеції

a, b - основи трапеції(a паралельно b),

m, n - бічні сторонитрапеції,

d 1 , d 2 діагоналітрапеції,

h - висотатрапеції (відрізок, що з'єднує основи і при цьому перпендикулярний їм),

MN - середня лінія(Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін).

Площа трапеції

1. Через напівсуму основ a, b і висоту h : S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. Через середню лінію MN та висоту h : S = MN\cdot h
3. Через діагоналі d 1 , d 2 і кут (\sin \ varphi) між ними: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Властивості трапеції

Середня лінія трапеції

Середня лініяпаралельна основам, дорівнює їх напівсумі і поділяє кожен відрізок з кінцями, що знаходяться на прямих, які містять основи, (наприклад, висоту фігури) навпіл:

MN || a, MN | b, MN = \frac(a + b)(2)

Сума кутів трапеції

Сума кутів трапеції, що належать до кожної бічної сторони, дорівнює 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Рівновеликі трикутники трапеції

Рівновеликими, тобто такими, що мають рівні площі, є відрізки діагоналей і трикутники AOB і DOC , утворені бічними сторонами.

Подібність утворених трикутників трапеції

Подібними трикутникамиє AOD і COB, які утворені своїми основами та відрізками діагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коефіцієнт подібності k знаходиться за формулою:

k = \frac(AD)(BC)

Причому відношення площ цих трикутників до k^(2) .

Відношення довжин відрізків та підстав

Кожен відрізок, що з'єднує основи та проходить через точку перетину діагоналей трапеції, поділений цією точкою щодо:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Це буде справедливим і для висоти із самими діагоналями.