Semnul modulului, poate, este unul dintre cele mai cunoscute fenomene din matematică. La zv'yazku z tsim la școlari bogați post nutriție, ca buduvat programe de funcții, scho pentru a răzbuna modulul. Să raportăm despre lanțul alimentar.

1. Funcții grafice Pobudova, ce să înlocuiască modulul

exemplu 1.

Induceți graficul funcției y = x 2 - 8 | x | + 12.

Soluţie.

Paritatea funcției este semnificativă. Valorile pentru y(-x) sunt generate din valorile pentru y(x), căruia îi este dată o funcție de pereche. Todi її program simetric shdo osі Oy. Va fi graficul funcției y = x 2 - 8x + 12 pentru x ≥ 0, iar graficul lui Oy va fi afișat simetric pentru x negativ (Fig. 1).

fundul 2.

Programul viitor minte y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Care este scopul funcției propuse? (y ≥ 0).

- Cum se redesenează programul? (Deasupra vârfului abscisei sau ieșind її).

Tse înseamnă că graficul funcției are următoarea ordine: graficul funcției y \u003d x 2 - 8x + 12 va completa partea din grafic, care se află deasupra liniei Ox, fără a se modifica, și partea din graficul, care se află sub linia abscisei, arată simetric că la axa Ox (Fig. 2).

Exemplul 3.

Pentru a încuraja graficul funcției y = | x 2 - 8 | x | + 12 | efectuați o combinație de transformări:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Sugestie: Figura 3.

Uită-te la transformarea târgului în tot felul de funcții. Să facem un tabel:

2. Pobudova grafice de funcții, ca în formula „inserați module”

Am învățat deja despre fundurile funcției pătratice, cum să răzbunăm modulul, precum și regulile de bază pentru realizarea graficelor de funcții de forma y = f(|x|), y = |f(x)| și y = |f(|x|)|. Transformarea Qi ne va ajuta timp de o oră să ne uităm la fundul ofensiv.

Exemplul 4.

Să ne uităm la o funcție de tip y = |2 – |1 – |x|||. Viraz, care setează funcția, scoate inserarea modulului.

Soluţie.

Accelerarea prin metoda transformărilor geometrice.

Să notăm felinarele ultimelor modificări și zrobimo în mijlocul fotoliului (Fig. 4):

y=x → y=| x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Să ne uităm la vipadki, dacă transformarea simetriei și transferul paralel este tehnica principală pentru încurajarea programelor.

Exemplul 5.

Induceți graficul funcției la forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Soluţie.

Prima dată va fi programul, vom reface formula, care este funcția dată, care este luată, altfel este dată funcția analitică (Fig. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Rozkriёmo la bannerul modulului:

Pentru x > -2, y = x - 2 și pentru x< -2, y = -(x – 2).

Zona de destinație D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Zona valorică E(y) = (-4; +∞).

Puncte, în care graficul se modifică de-a lungul axelor de coordonate: (0; -2) și (2; 0).

Funcția se schimbă pe toate intervalele x (-∞; -2), crește la x din -2 la +∞.

Aici am avut șansa să descifrăm semnul modulului și să dezvoltăm un grafic al funcției pentru erupția cutanată.

Exemplul 6.

Să ne uităm la funcția y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Soluţie.

Explorând semnul modulului, este necesar să ne uităm la combinația diferită de semne ale versurilor submodulului.

Posibil niște vipadki:

(x + 1 - x + 2 = 3, cu x ≥ -1 și x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, cu x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pentru x ≥ -1 i x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, cu x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Aceeași funcție de aspect matime look:

(3, pentru x ≥ 2;

y = (-3, la x< -1;

(2x – 1, cu -1 ≤ x< 2.

Am eliminat funcția de setare forfetară, al cărei grafic este reprezentat ca un mic 6.

3. Algoritm pentru inducerea graficelor de funcții în formă

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + topor + b.

În partea din față, a fost ușor de deschis semnele modulului. Dacă suma modulelor este mai mare, atunci este problematic să privim toate combinațiile de semne ale submodulelor. Cum pot induce programul funcției cui?

Este important ca graficul să aibă un laman, cu vârfuri în puncte, că abscisele pot fi -1 și 2. La x = -1 și x = 2, submodulele sunt egale cu zero. În mod practic, ne-am apropiat de regula încurajării unor astfel de programe:

Graficul funcției sub forma y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є lamana cu nenumărate lame extreme. Pentru a induce un astfel de laman, este suficient să cunoașteți toate її nodurile (abcisa de vârfuri є zero pіdmodulnyh virazіv) și un punct de control în stânga și dreapta lankaselor fără piele.

Administrator.

Induceți graficul funcției y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | iar a cunoaște este cel mai puțin important.

Soluţie:

Zero viruși submodulari: 0; -1; 1. Blaturi de lamanoi (0; 2); (-13); (13). Punct de control dreptaci (2; 6), diabolic (-2; 6). Va exista un program (Fig. 7). min f(x) = 2.

Rămâneți fără mâncare? Nu știți cum să programați o funcție cu un modul?
Pentru a obține ajutor de la un tutor - înregistrați-vă.

site-ul, cu o copie integrală sau privată a materialului trimis la obov'yazkove original.

Lecția 5

Ţintă: stăpâniți abilitățile de bază de conversie a graficelor din module.

I. Informat de cei care marchează lecția

II . Repetarea și consolidarea materialului acoperit

1. Vіdpovіdі pe zapovіdnja schodo zavdannya (analiza sarcinilor neîncălcate).

2. Controlul asimilat materialului (scrisoare de revizuire).

Opțiunea 1

f (x), induceți graficul funcției y = f(-x) + 2?

2. Consultați programul funcțiilor:

Opțiunea 2

1. Iac, cunoscând graficul funcției y = f (x), induceți graficul funcției y \u003d - f(x) - 1?

2. Consultați programul funcțiilor:

III. Introducerea de material nou

Din materialul lecției anterioare reiese clar că ar trebui să faci o transformare a graficii într-un mod supradimensionat când te trezești. Prin urmare, să aruncăm o privire la principalele modalități de conversie a graficelor pentru a înlocui modulele. Modalitățile Qi sunt universale și accesorii pentru orice funcție. Pentru simplitate, luați în considerare funcția schmatkovo-liniară f (x) cu zona de numire D(f ), un program pentru spectacolele celui mic. Să aruncăm o privire la trei transformări standard ale graficelor cu module.

1) Graficul lui Pobud al funcției y = | f(x) |

f /(x), yaksho Dx)>0,

În scopul modulului, luăm:Tse înseamnă că graficul funcției y = | f(x )| trebuie să salvați o parte din graficul funcției y = f(x ), pentru care y ≥ 0. Acea parte a graficului funcției y = f (x), pentru care y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Graficul Pobudova al funcției y = f(|x|)

G / O), yakscho Dx)\u003e 0,

Recunoașteți modulul și luați:Prin urmare, pentru a încuraja graficul funcției y \u003d f(|x |) trebuie să salvezi o parte din graficul funcției y = f (x), pentru care x ≥ 0. În plus, prima parte trebuie să fie afișată simetric la stânga de-a lungul axei y.

3) Egalizarea programului lui Pobudov |y| = f(x)

În scopul modulului, este posibil ca pt f (x) ≥ 0 necesită graficele a două funcții: y = f(x) și y = - f (X). Tse înseamnă, scho s pobudovi egalizare grafică | = f (x) trebuie să salvezi o parte din graficul funcției y = f (x), pentru ikoї ≥ 0. În plus, această parte trebuie să fie prezentată simetric în jos de-a lungul axei x.

Cu drag, zalezhnist |y| = f (x) nu specifică o funcție, atunci pentru x∈ (-2,6; 1,4) valoarea skin x are două valori y. Pentru acel mic dintre prezentările în sine, programul este egal | y | = f(x).

Vikoristujom a analizat modalități de conversie a graficelor cu module pentru a încuraja funcțiile de pliere și aliniere a graficelor.

fundul 1

Vă rugăm să ne lăsați să programăm funcția

Vedem că această funcție are o întreagă parteUn astfel de grafic va apărea atunci când graficul funcției y \u003d -1 / X 2 unități la dreapta și 1 unitate în jos. Graficul tsієї funcții є hiperbolă.

fundul 2

Vă rugăm să ne lăsați să programăm funcția

Înainte de metoda 1, salvăm o parte a graficului din capul 1, pentru care y ≥ 0. Acea parte a graficului, pentru care y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

fundul 3

Vă rugăm să ne lăsați să programăm funcția

Metoda Vikoristovuyuchi 2, salvăm o parte din cap la cap a graficului 1, pentru x ≥ 0. Salvez o parte, în plus, este oglindită la stânga de-a lungul axei y. Îndepărtați graficul funcției, simetric de-a lungul axei y.

fundul 4

Să avem un program

Vіdpovіdno la metoda 3 salvați o parte a graficului de la cap la cap 1, pentru care ≥ 0. În plus, partea care trebuie salvată este probabil simetric în jos de-a lungul axei absciselor. Luăm programul de thogo egal.

Evident, metodele revizuite și transformarea graficelor pot fi punctate deodată.

fundul 5

Vă rugăm să ne lăsați să programăm funcția

Funcția de program Vykoristovuemostimulent la fund 3. Pentru a încuraja datele programului, salvați părți din programul 3, pentru cei la ≥ 0. Acele părți din programul 3, pentru cei de la< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

În situații de liniște, dacă modulele se află într-un rang inferior (mai jos în metodele 1-3), este necesară deschiderea modulelor.

fundul 6

Vă rugăm să ne lăsați să programăm funcția

Virazi x - 1 ta x + 2, pentru a intra sub semnele modulelor, schimbați semnele acestora în punctele x = 1 i X = -2 este rezonabil. Semnificativ puncte qi pe linia de coordonate. Duhoarea sparge її în trei intervale. Vykoristovuyuchi desemnarea modulului, modulele rozkriёmo în zona pielii.

Luăm:

1. Când

2. Când

3. Când

Să facem graficele acestor funcții, intervalele de rotație pentru schimbarea x, derutează semnele modulului. Luați laman drept.

Pentru a termina adesea cu ajutorul programelor, egalați cu module pentru deschiderea viitoare a planului de coordonate vicoase. Să explicăm cu un exemplu.

fundul 7

Să avem un program

Viraz y - x își schimbă semnul într-o linie dreaptă y \u003d x. Să numim linie dreaptă - bisectoarea primei și a treia tăieturi de coordonate. Tsya dreaptă împarte punctele planului în două zone: 1 - puncte, răspândite pe linia dreaptă y - x; 2 - puncte, roztashovanі sub tsієyu linie dreaptă. Modulul Rozkriёmo în astfel de zone. În zona 1, luați, de exemplu, un punct de control (0; 5). Bachimo, scho pentru punctul tsієї viraz y - x\u003e 0. Curbați modulul, luăm: y - x + y + x \u003d 4 sau y = 2. Va fi chiar la granițele primei regiuni. Evident, în regiunea 2 virase y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Uitați-vă la graficul funcției shot-lineare și al alinierii:

4. Uitați-vă la programul de funcționare, alinierea, denivelările:

VIII. P_dbitya p_dbag_v lectie

Semnul modulului, poate, este unul dintre cele mai cunoscute fenomene din matematică. La zv'yazku z tsim la școlari bogați post nutriție, ca buduvat programe de funcții, scho pentru a răzbuna modulul. Să raportăm despre lanțul alimentar.

1. Funcții grafice Pobudova, ce să înlocuiască modulul

exemplu 1.

Induceți graficul funcției y = x 2 - 8 | x | + 12.

Soluţie.

Paritatea funcției este semnificativă. Valorile pentru y(-x) sunt generate din valorile pentru y(x), căruia îi este dată o funcție de pereche. Todi її program simetric shdo osі Oy. Va fi graficul funcției y = x 2 - 8x + 12 pentru x ≥ 0, iar graficul lui Oy va fi afișat simetric pentru x negativ (Fig. 1).

fundul 2.

Programul viitor minte y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Care este scopul funcției propuse? (y ≥ 0).

- Cum se redesenează programul? (Deasupra vârfului abscisei sau ieșind її).

Tse înseamnă că graficul funcției are următoarea ordine: graficul funcției y \u003d x 2 - 8x + 12 va completa partea din grafic, care se află deasupra liniei Ox, fără a se modifica, și partea din graficul, care se află sub linia abscisei, arată simetric că la axa Ox (Fig. 2).

Exemplul 3.

Pentru a încuraja graficul funcției y = | x 2 - 8 | x | + 12 | efectuați o combinație de transformări:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Sugestie: Figura 3.

Uită-te la transformarea târgului în tot felul de funcții. Să facem un tabel:

2. Pobudova grafice de funcții, ca în formula „inserați module”

Am învățat deja despre fundurile funcției pătratice, cum să răzbunăm modulul, precum și regulile de bază pentru realizarea graficelor de funcții de forma y = f(|x|), y = |f(x)| și y = |f(|x|)|. Transformarea Qi ne va ajuta timp de o oră să ne uităm la fundul ofensiv.

Exemplul 4.

Să ne uităm la o funcție de tip y = |2 – |1 – |x|||. Viraz, care setează funcția, scoate inserarea modulului.

Soluţie.

Accelerarea prin metoda transformărilor geometrice.

Să notăm felinarele ultimelor modificări și zrobimo în mijlocul fotoliului (Fig. 4):

y=x → y=| x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Să ne uităm la vipadki, dacă transformarea simetriei și transferul paralel este tehnica principală pentru încurajarea programelor.

Exemplul 5.

Induceți graficul funcției la forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Soluţie.

Prima dată va fi programul, vom reface formula, care este funcția dată, care este luată, altfel este dată funcția analitică (Fig. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Rozkriёmo la bannerul modulului:

Pentru x > -2, y = x - 2 și pentru x< -2, y = -(x – 2).

Zona de destinație D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Zona valorică E(y) = (-4; +∞).

Puncte, în care graficul se modifică de-a lungul axelor de coordonate: (0; -2) și (2; 0).

Funcția se schimbă pe toate intervalele x (-∞; -2), crește la x din -2 la +∞.

Aici am avut șansa să descifrăm semnul modulului și să dezvoltăm un grafic al funcției pentru erupția cutanată.

Exemplul 6.

Să ne uităm la funcția y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Soluţie.

Explorând semnul modulului, este necesar să ne uităm la combinația diferită de semne ale versurilor submodulului.

Posibil niște vipadki:

(x + 1 - x + 2 = 3, cu x ≥ -1 și x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, cu x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pentru x ≥ -1 i x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, cu x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Aceeași funcție de aspect matime look:

(3, pentru x ≥ 2;

y = (-3, la x< -1;

(2x – 1, cu -1 ≤ x< 2.

Am eliminat funcția de setare forfetară, al cărei grafic este reprezentat ca un mic 6.

3. Algoritm pentru inducerea graficelor de funcții în formă

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + topor + b.

În partea din față, a fost ușor de deschis semnele modulului. Dacă suma modulelor este mai mare, atunci este problematic să privim toate combinațiile de semne ale submodulelor. Cum pot induce programul funcției cui?

Este important ca graficul să aibă un laman, cu vârfuri în puncte, că abscisele pot fi -1 și 2. La x = -1 și x = 2, submodulele sunt egale cu zero. În mod practic, ne-am apropiat de regula încurajării unor astfel de programe:

Graficul funcției sub forma y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є lamana cu nenumărate lame extreme. Pentru a induce un astfel de laman, este suficient să cunoașteți toate її nodurile (abcisa de vârfuri є zero pіdmodulnyh virazіv) și un punct de control în stânga și dreapta lankaselor fără piele.

Administrator.

Induceți graficul funcției y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | iar a cunoaște este cel mai puțin important.

Soluţie:

Zero viruși submodulari: 0; -1; 1. Blaturi de lamanoi (0; 2); (-13); (13). Punct de control dreptaci (2; 6), diabolic (-2; 6). Va exista un program (Fig. 7). min f(x) = 2.

Rămâneți fără mâncare? Nu știți cum să programați o funcție cu un modul?
Te voi ajuta să-l ajuți pe tutore -.

blog.website, cu o copie nouă sau privată a materialului trimis la legarea originală.

Funcții grafice Pobudova, scho pentru a înlocui semnul modulului.

Sunt de acord, ați citit cu respect paragraful 23 și înțelegeți cum arată funcția. Acum haideți să aruncăm o privire la câteva aplicații suplimentare, care sunt responsabilitatea de a vă ajuta cu programele dvs.

Exemplul 1. Induceți programul funcției

Fie ca funcția minții, de.

1. Să începem programul funcției submodulare, apoi a funcției. Pentru care vedem o întreagă parte din fotografie. Presupun că o poți face în două moduri: împărțind numărul de pe banner „la butuc” sau scriind numărul astfel încât la cel nou să apară un viraz, un multiplu al bannerului. Putem vedea întreaga parte într-un mod diferit.

Otzhe, funcția submodulară poate fi văzută . Deci, її program є minte hiperbolă, deplasat cu 1 unitate la dreapta și 3 unități în sus.

Să aruncăm o privire la programul tău.

2. Pentru a capta graficul funcției curente, este necesar să eliminați o parte din graficul funcției generate, care se află mai sus decât axa Ox, fără modificare, și partea din grafic, care se află sub axa Ox. , este prezentat simetric lângă planul superior. Transformarea Vikonaemo qi.

Programul de trezire.

Abscisa punctului dreptei graficului din dreapta

y = 0, atunci. Hai să-l luăm.

Acum, în spatele graficului, puteți determina toată puterea funcției, puteți găsi cea mai mică și cea mai importantă funcție pentru interval și puteți rezolva sarcini cu parametrul.

De exemplu, puteți vodpovisti pe o astfel de aprovizionare. „Pentru orice valoare a parametrului A pot lua o singură decizie?

Realizat direct y=A cu valori diferite ale parametrului A. (Linii subțiri roșii drepte pe micuțul care pășește)

Se vede că A<0 , apoi graficul funcției induse și nu există puncte fierbinți directe, prin urmare, nu există o soluție egală.

Yakscho 0< A<3 sau a>3, apoi drept y=Ași determinând programul să facă două puncte strălucitoare, astfel încât egalul poate fi două rozv'azki.

Yakshcho a = 0 sau a = 3, atunci există o singură soluție, adică până la. la aceste valori A acel grafic al funcției este drept, poate exact un punct.

fundul 2. Induceți programul de funcționare

Soluţie

Să începem graficul funcției cu valori negative ale lui x. Deci, chiar și atunci funcția noastră este vizibilă pentru ochi, dar funcția este necesară - funcția minții.

Graficul funcției - capul parabolei este „drept” la stânga, deplasat la 4 unități dreptaci. (T. do. putem arăta ).

Să avem un program de funcții

Și ne vom uita doar la acea parte a yogo-ului, deoarece este ruptă la dreapta pentru axa Oy. Reshta triom.

Rețineți că am ignorat valorile ordonate ale punctului grafic, care se află pe axa y. Pentru care este suficient să se calculeze valoarea funcției la x = 0. În opinia noastră x = 0 a luat y=2.

Acum vom solicita programarea funcției când X< 0 . Pentru care vom crea o linie, simetrică, pe care am creat-o deja, ca axa Oy.

În acest fel, am solicitat programarea funcției shukano.

Exemplul 3. Induceți programul funcției

Sarcina nu mai este ușoară. Bachimo, ce e greșit în a vedea funcțiile cu modulul: i , i . Să mergem în ordine:

Să începem prin adăugarea programului de funcții fără modulele necesare: Să adăugăm modulul argument skin. Înlăturăm funcția minții, adică. Pentru a încuraja un astfel de grafic, este necesar să se fixeze simetria axei Oy. Adăugarea unui nou modul vechi. Ia, nareshti, voi avea nevoie de o funcție. Deoarece această funcție este eliminată din partea din față a modulului de apel, putem vedea funcția și, prin urmare, este necesar să blocăm simetria lui Oh.

Acum raportează.

Aceasta este o funcție shot-lineară, pentru stimularea graficului, este necesar să vedeți întreaga parte, cea de jos este preluată.

Deci, graficul funcțiilor este o hiperbolă, deplasată cu 2 la dreapta și 4 în jos.

Să calculăm coordonatele și punctul barei transversale cu axele de coordonate.

y = 0 la x = 0, graficul va trece și prin cobul de coordonate.

2. Acum să apelăm programul de funcții.

Pentru asta, la sfârșitul diagramei, partea din spate a capului zіtremo acea parte de yogo, ca și cum roztashovuєtsya levoruch vіd osі Oy:

, iar apoi poate fi imaginat її simetric în jurul axei Oy. Respect, asimptotele sunt și ele afișate simetric!

Acum să vedem programul rămas al funcției: . Pentru care parte a graficului frontal, care se află mai sus decât axa Ox, este lăsată fără modificare, iar cele care sunt situate sub axa Ox sunt vizibile simetric în apropierea planului superior. Din nou, nu uitați că asimptotele apar imediat din grafic!

Programul de trezire.

Exemplul 4

Schos este absolut răsucit și pliat! O grămadă de module! Și pătratul x nu are modul! Este imposibil să te trezești!

So chi este aproximativ atât de capabil să demistifice studentul mediu la statistică din clasa a 8-a, necunoscut din tehnica de promptare a graficelor.

Ale, nu eu! Pentru asta cunoaștem diferitele modalități de transformare a programului de funcții și, de asemenea, cunoaștem puterea diferită a modulului.

Deci hai să o facem în ordine.

Prima problemă este prezența modulului în x în pătrat. Nu-i rău. Știm ce. Dobre. De asemenea, funcția noastră poate fi scrisă ca . Tse este deja mai frumos, care este similar cu.

Dali. Funcția poate fi cel mai important modul, care, se pare, va trebui să respecte regulile programului funcției. Să ne uităm la asta, care este un viraz submodular. Vezi funcția . Yakby nu este -2, atunci funcția va reseta modulul curent și va ști cum să induce graficul funcției pentru ajutor simetrie. Aha! Ale, dacă mi yogo va fi instruit, atunci, după ce am înlocuit yogo cu 2 unități mai jos, vom lua shukane!

Otzhe, schos încep să vimalovuvatsya. Să încercăm să punem împreună un algoritm care să încurajeze grafica.

1.

5. Eu de exemplu, . Toate cele care se află sub axa Ox par a fi simetrice în apropierea planului superior.

Ura! Program gata!

Mult succes la sarcina dificilă de a obține un program!