Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння (1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна об'єднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відомі, то многочлен другого ступеня можна представити у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що - дійсні числа.
Розглянемо дискриминант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний,, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю,, то квадратне рівняння (1) має два кратних (рівних) дійсних кореня:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант від'ємний,, то квадратне рівняння (1) має два комплексно сполучених корені:
;
.
Тут - уявна одиниця,;
і - дійсна і уявна частини коренів:
; .
тоді

.

графічна інтерпретація

Якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При, графік перетинає вісь абсцис (вісь) в двох точках.
При, графік стосується осі абсцис в одній точці.
При, графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наводяться приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Висновок формули для коренів квадратного рівняння

Виконуємо перетворення і застосовуємо формули (f.1) і (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для многочлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
і.
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

приклад 1

(1.1) .

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний,, то рівняння має два дійсних кореня:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 перетинає вісь абсцис в двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) в двох точках:
і.
Ці точки є коріннями вихідного рівняння (1.1).

;
;
.

приклад 2

Знайти корені квадратного рівняння:
(2.1) .

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю,, то рівняння має два кратних (рівних) кореня:
;
.

Тоді розкладання трехчлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y \u003d x 2 - 4 x + 4 стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить в розкладання на множники два рази:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівних кореня:
.

;
.

приклад 3

Знайти корені квадратного рівняння:
(3.1) .

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний,. Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексні корені:
;
;

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

Дійсних коренів немає. Коріння комплексні:
;
;
.

Рішення рівнянь в математиці займає особливе місце. Цьому процесу передує безліч годин вивчення теорії, в ході яких учень дізнається способи розв'язання рівнянь, визначення їх виду і доводить навик до повного автоматизму. Однак далеко не завжди пошук коренів має сенс, тому що їх може просто не бути. Існують особливі прийоми знаходження коренів. У даній статті ми розберемо основні функції, їх області визначення, а також випадки, коли їх коріння відсутні.

Яке рівняння не має коренів?

Рівняння не має коренів в тому випадку, якщо не існує таких дійсних аргументів х, при яких рівняння тотожне вірно. Для неспеціаліста це формулювання, як і більшість математичних теорем і формул, виглядає дуже розмитою і абстрактної, однак це в теорії. На практиці все стає гранично просто. Наприклад: рівняння 0 * х \u003d -53 не має рішення, тому що не знайдеться такого числа х, твір якого з нулем дало б щось, крім нуля.

Зараз ми розглянемо базові типи рівнянь.

1. Лінійне рівняння

Рівняння називається лінійним, якщо його права і ліва частини представлені у вигляді лінійних функцій: ax + b \u003d cx + d або в узагальненому вигляді kx + b \u003d 0. Де а, b, с, d - відомі числа, а х - невідома величина . Яке рівняння не має коренів? Приклади лінійних рівнянь представлені на ілюстрації нижче.

В основному лінійні рівняння вирішуються простим перенесенням числовий частини в одну частину, а вмісту з х - в іншу. Виходить рівняння виду mx \u003d n, де m і n - числа, а х - невідоме. Щоб знайти х, досить розділити обидві частини на m. Тоді х \u003d n / m. В основному лінійні рівняння мають тільки один корінь, проте бувають випадки, коли коріння або нескінченно багато, або немає зовсім. При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння набирає вигляду 0 * х \u003d 0. Рішенням такого рівняння буде абсолютно будь-яке число.

Однак яке рівняння не має коренів?

При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння не має коренів з безлічі дійсних чисел. 0 * х \u003d -1; 0 * х \u003d 200 - ці рівняння не мають коренів.

2. Квадратне рівняння

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0 при а \u003d 0. Найпоширенішим є рішення через дискримінант. Формула знаходження дискримінанту квадратного рівняння: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Далі знаходиться два кореня х 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

При D\u003e 0 рівняння має два кореня, при D \u003d 0 - корінь один. Але яке квадратне рівняння не має коренів? Поспостерігати кількість коренів квадратного рівняння найпростіше за графіком функції, що представляє собою параболу. При а\u003e 0 гілки спрямовані вгору, при а< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Також можна визначити візуально кількість коренів, що не обчислюючи дискриминант. Для цього потрібно знайти вершину параболи і визначити в який бік спрямовані гілки. Визначити координату x вершини можна за формулою: х 0 \u003d -b / 2a. В цьому випадку координата y вершини знаходиться простий підстановкою значення х 0 в початкове рівняння.

Квадратне рівняння x 2 - 8x + 72 \u003d 0 не має коренів, так як має негативний дискриминант D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. Це означає, що парабола не стосується осі абсцис і функція ніколи не приймає значення 0, отже, рівняння не має дійсних коренів.

3. Тригонометричні рівняння

Тригонометричні функції розглядаються на тригонометричної окружності, проте можуть бути представлені і в декартовій системі координат. У даній статті ми розглянемо дві основні тригонометричні функції і їх рівняння: sinx і cosx. Так як дані функції утворюють тригонометричну окружність з радіусом 1, | sinx | і | cosx | не можуть бути більше 1. Отже, яке рівняння sinx не має коренів? Розглянемо графік функції sinx, представлений на зображенні нижче.

Ми бачимо, що функція є симетричною і має період повторення 2pi. Виходячи їх цього, можна говорити, що максимальним значенням цієї функції може бути 1, а мінімальним -1. Наприклад, вираз cosx \u003d 5 не матиме коріння, так як по модулю воно більше одиниці.

Це найпростіший приклад тригонометричних рівнянь. Насправді їх рішення може займати безліч сторінок, в кінці яких ви усвідомлюєте, що використовували неправильну формулу і все потрібно починати спочатку. Часом навіть при правильному знаходженні коренів ви можете забути врахувати обмеження по ОПЗ, через що у відповіді з'являється зайвий корінь або інтервал, і вся відповідь звертається в помилковий. Тому строго стежте за всіма обмеженнями, адже не всі корені вписуються в рамки завдання.

4. Системи рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність рівнянь, об'єднаних фігурною або квадратної дужками. Фігурні дужки позначають спільне виконання всіх рівнянь. Тобто якщо хоча б одне з рівнянь не має коренів або суперечить іншому, вся система не має рішення. Квадратні дужки позначають слово "або". Це означає, що якщо хоча б одне з рівнянь системи має рішення, то вся система має рішення.

Відповіддю системи з є сукупність всіх коренів окремих рівнянь. А системи з фігурним дужками мають тільки спільне коріння. Системи рівнянь можуть включати абсолютно різноманітні функції, тому така складність не дозволяє сказати відразу, яке рівняння не має коренів.

У задачниках і підручниках зустрічаються різні типи рівнянь: такі, які маю коріння, і не мають їх. В першу чергу, якщо у вас не виходить знайти коріння, не думайте, що їх немає зовсім. Можливо, ви зробили десь помилку, тоді досить лише уважно перевірити ваше рішення.

Ми розглянули базові рівняння та їх види. Тепер ви можете сказати, яке рівняння не має коренів. У більшості випадків зробити це зовсім не важко. Для досягнення успіху у вирішенні рівнянь потрібно лише увагу і зосередженість. Практикуйтеся більше, це допоможе вам орієнтуватися в матеріалі набагато краще і швидше.

Отже, рівняння не має коренів, якщо:

• в лінійному рівнянні mx \u003d n значення m \u003d 0 і n \u003d 0;
• в квадратному рівнянні, якщо дискримінант менше нуля;
• в тригонометричному рівнянні виду cosx \u003d m / sinx \u003d n, якщо | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• в системі рівнянь з фігурними дужками, якщо хоча б одне рівняння не має коренів, і з квадратними дужками, якщо всі рівняння не мають коренів.

Після того, як ми вивчили поняття рівності, а саме один з їхніх видів - числові рівності, можна перейти до ще одного важливого виду - рівнянням. В рамках даного матеріалу ми пояснимо, що таке рівняння і його корінь, сформулюємо основні визначення і наведемо різні приклади рівнянь і знаходження їх коріння.

Yandex.RTB R-A-339285-1

поняття рівняння

Зазвичай поняття рівняння вивчається на самому початку шкільного курсу алгебри. Тоді воно визначається так:

визначення 1

рівнянням називається рівність з невідомим числом, яке потрібно знайти.

Прийнято позначати невідомі маленькими латинськими буквами, наприклад, t, r, m ін., Але частіше за все використовуються x, y, z. Іншими словами, рівняння визначає форма його записи, тобто рівність буде рівнянням тільки тоді, коли буде приведений до певного виду - в ньому повинна бути буква, значення яке треба знайти.

Наведемо кілька прикладів найпростіших рівнянь. Це можуть бути рівності виду x \u003d 5, y \u003d 6 і т.д., а також ті, що включають в себе арифметичні дії, наприклад, x + 7 \u003d 38, z - 4 \u003d 2, 8 · t \u003d 4, 6: x \u003d 3.

Після того, як вивчено поняття дужок, з'являється поняття рівнянь з дужками. До них відносяться 7 · (x - 1) \u003d 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) \u003d 3 і ін. Буква, яку треба знайти, може зустрічатися не один раз, а кілька, як, наприклад, в рівнянні x + 2 + 4 · x - 2 - x \u003d 10. Також невідомі можуть бути розташовані не тільки зліва, а й справа або в обох частинах одночасно, наприклад, x · (8 + 1) - 7 \u003d 8, 3 - 3 \u003d z + 3 або 8 · x - 9 \u003d 2 · (x + 17).

Далі, після того, як учні знайомляться з поняттям цілих, дійсних, раціональних, натуральних чисел, а також логарифмами, корінням і ступенями, з'являються нові рівняння, що включають в себе всі ці об'єкти. Прикладів таких виразів ми присвятили окрему статтю.

У програмі за 7 клас вперше виникає поняття змінних. Це такі літери, які можуть приймати різні значення (докладніше див. У статті про числових, буквених виразах і виразах зі змінними). Грунтуючись на цьому понятті, ми можемо дати нове визначення рівняння:

визначення 2

рівняння - це рівність, що включає в себе змінну, значення якої потрібно обчислити.

Тобто, наприклад, вираз x + 3 \u003d 6 · x + 7 - це рівняння зі змінною x, а 3 · y - 1 + y \u003d 0 - рівняння зі змінною y.

В одному рівнянні може бути не одна змінна, а дві і більше. Їх називають відповідно рівняннями з двома, трьома змінними і ін. Запишемо визначення:

визначення 3

Рівняннями з двома (трьома, чотирма і більше) змінними називають рівняння, які включають в себе відповідну кількість невідомих.

Наприклад, рівність виду 3, 7 · x + 0, 6 \u003d 1 є рівнянням з однієї змінної x, а x - z \u003d 5 - рівнянням з двома змінними x і z. Прикладом рівняння з трьома змінними може бути вираз x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 \u003d 26.

Корінь рівняння

Коли ми говоримо про зрівняння, відразу виникає необхідність визначитися з поняттям його кореня. Спробуємо пояснити, що воно означає.

приклад 1

Нам дано якесь рівняння, що включає в себе одну змінну. Якщо ми підставимо замість невідомої букви число, то рівняння стане числовим рівністю - вірним або невірним. Так, якщо в рівнянні a + 1 \u003d 5 ми замінимо букву числом 2, то рівність стане невірним, а якщо 4, то вийде вірне рівність 4 + 1 \u003d 5.

Нас більше цікавлять саме ті значення, з якими змінна звернеться в правильне рівність. Вони і називаються корінням або рішеннями. Запишемо визначення.

визначення 4

коренем рівняння називають таке значення змінної, яке звертає дане рівняння в правильну рівність.

Корінь також можна назвати рішенням, або навпаки - обидва ці поняття означають одне і те ж.

приклад 2

Візьмемо приклад для пояснення цього визначення. Вище ми наводили рівняння a + 1 \u003d 5. Згідно з визначенням, коренем в даному випадку буде 4, тому що при підстановці замість букви воно дає вірну числову рівність, а двійка не буде вирішенням, оскільки їй відповідає невірне рівність 2 + 1 \u003d 5.

Скільки коренів може мати одне рівняння? Будь-яке чи рівняння має корінь? Відповімо на ці питання.

Рівняння, що не мають жодного кореня, теж існують. Прикладом може бути 0 · x \u003d 5. Ми можемо підставити в нього нескінченно багато різних чисел, але жодне з них не перетворить його в правильне рівність, оскільки множення на 0 завжди дає 0.

Також бувають рівняння, що мають кілька коренів. У них може бути як кінцеве, так і нескінченно велика кількість коренів.

приклад 3

Так, в рівнянні x - 2 \u003d 4 є тільки один корінь - шість, в x 2 \u003d 9 два кореня - три і мінус три, в x · (x - 1) · (x - 2) \u003d 0 три кореня - нуль, один і два, в рівнянні x \u003d x коренів нескінченно багато.

Тепер пояснимо, як правильно записувати коріння рівняння. Якщо їх немає, то ми так і пишемо: «рівняння коренів не має». Можна також в цьому випадку вказати знак порожнього безлічі ∅. Якщо коріння є, то пишемо їх через кому або вказуємо як елементи множини, уклавши у фігурні дужки. Так, якщо у будь-якого рівняння є три кореня - 2, 1 і 5, то пишемо - 2, 1, 5 або (- 2, 1, 5).

Допускається запис коренів у вигляді найпростіших рівностей. Так, якщо невідома в рівнянні позначена буквою y, а корінням є 2 і 7, то ми пишемо y \u003d 2 і y \u003d 7. Іноді до букв додаються нижні індекси, наприклад, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Таким чином ми вказуємо на номери коренів. Якщо рішень у рівняння нескінченно багато, то ми записуємо відповідь як числовий проміжок або використовуємо загальноприйняті позначення: безліч натуральних чисел позначається N, цілих - Z, дійсних - R. Скажімо, якщо нам треба записати, що рішенням рівняння буде будь-яке ціле число, то ми пишемо, що x ∈ Z, а якщо будь-яка дійсна від одиниці до дев'яти, то y ∈ 1, 9.

Коли у рівняння два, три кореня або більше, то, як правило, говорять не про коріння, а про рішення рівняння. Сформулюємо визначення рішення рівняння з багатьма змінними.

визначення 5

Рішення рівняння з двома, трьома і більше змінними - це два, три і більше значення змінних, які звертають дане рівняння в правильну числову рівність.

Пояснимо визначення на прикладах.

приклад 4

Припустимо, у нас є вираз x + y \u003d 7, що представляє із себе рівняння з двома змінними. Підставами замість першої одиницю, а замість другої двійку. У нас вийде невірне рівність, значить, ця пара значень не буде вирішенням даного рівняння. Якщо ж ми візьмемо пару 3 і 4, то рівність стане вірним, значить, ми знайшли рішення.

Такі рівняння теж можуть не мати коренів або мати нескінченне їх кількість. Якщо нам треба записати два, три, чотири і більше значень, то ми пишемо їх через кому в круглих дужках. Тобто в прикладі вище відповідь буде виглядати як (3, 4).

На практиці найчастіше доводиться мати справу з рівняннями, що містять одну змінну. Алгоритм їх вирішення ми детально розглянемо в статті, присвяченій рішенню рівнянь.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter