Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння (1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна об'єднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відомі, то многочлен другого ступеня можна представити у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що - дійсні числа.
Розглянемо дискриминант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний,, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю,, то квадратне рівняння (1) має два кратних (рівних) дійсних кореня:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант від'ємний,, то квадратне рівняння (1) має два комплексно сполучених корені:
;
.
Тут - уявна одиниця,;
і - дійсна і уявна частини коренів:
; .
тоді

.

графічна інтерпретація

Якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При, графік перетинає вісь абсцис (вісь) в двох точках.
При, графік стосується осі абсцис в одній точці.
При, графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наводяться приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Висновок формули для коренів квадратного рівняння

Виконуємо перетворення і застосовуємо формули (f.1) і (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для многочлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
і.
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

приклад 1

(1.1) .

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний,, то рівняння має два дійсних кореня:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 перетинає вісь абсцис в двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) в двох точках:
і.
Ці точки є коріннями вихідного рівняння (1.1).

;
;
.

приклад 2

Знайти корені квадратного рівняння:
(2.1) .

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю,, то рівняння має два кратних (рівних) кореня:
;
.

Тоді розкладання трехчлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y \u003d x 2 - 4 x + 4 стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить в розкладання на множники два рази:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівних кореня:
.

;
.

приклад 3

Знайти корені квадратного рівняння:
(3.1) .

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний,. Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексні корені:
;
;

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

Дійсних коренів немає. Коріння комплексні:
;
;
.

Отримавши загальне уявлення про равенствах, і познайомившись з одним з їх видів - числовими рівностями, можна почати розмову ще про один дуже важливий з практичної точки зору вигляді рівності - про рівняння. У цій статті ми розберемо, що таке рівняння, І що називають коренем рівняння. Тут ми дамо відповідні визначення, а також наведемо різноманітні приклади рівнянь і їх коренів.

Навігація по сторінці.

Що таке рівняння?

Цілеспрямоване знайомство з рівняннями зазвичай починається на уроках математики у 2 класі. В цей час дається наступне визначення рівняння:

Визначення.

рівняння - це рівність, що містить невідоме число, яке треба знайти.

Невідомі числа в рівняннях прийнято позначати за допомогою маленьких латинських літер, наприклад, p, t, u і т.п., але найбільш часто використовуються літери x, y і z.

Таким чином, рівняння визначається з позиції форми запису. Іншими словами, рівність є рівнянням, коли підпорядковується зазначеним правилам запису - містить букву, значення якої потрібно знайти.

Наведемо приклади найперших і найпростіших рівнянь. Почнемо з рівнянь виду x \u003d 8, y \u003d 3 і т.п. Трохи складніше виглядають рівняння, що містять разом з числами і буквами знаки арифметичних дій, наприклад, x + 2 \u003d 3, z-2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2.

Різноманітність рівнянь зростає після знайомства зі - починають з'являтися рівняння з дужками, наприклад, 2 · (x-1) \u003d 18 і x + 3 · (x + 2 · (x-2)) \u003d 3. Невідома буква в рівнянні може бути присутнім кілька разів, наприклад, x + 3 + 3 · x-2-x \u003d 9, також букви можуть бути в лівій частині рівняння, в його правій частині, або в обох частинах рівняння, наприклад, x · (3 + 1) -4 \u003d 8, 7-3 \u003d z + 1 або 3 · x-4 \u003d 2 · (x + 12).

Далі після вивчення натуральних чисел відбувається знайомство з цілими, раціональними, дійсними числами, вивчаються нові математичні об'єкти: ступеня, коріння, логарифми і т.д., при цьому з'являються все нові і нові види рівнянь, що містять ці речі. Їх приклади можна подивитися в статті основні види рівнянь, Що вивчаються в школі.

У 7 класі поряд з буквами, під якими мають на увазі деякі конкретні числа, починають розглядати літери, які можуть набувати різних значень, їх називають змінними (дивіться статтю). При цьому в визначення рівняння впроваджується слово «змінна», і воно стає таким:

Визначення.

рівнянням називають рівність, що містить змінну, значення якої потрібно знайти.

Наприклад, рівняння x + 3 \u003d 6 · x + 7 - рівняння зі змінною x, а 3 · z-1 + z \u003d 0 - рівняння зі змінною z.

На уроках алгебри в тому ж 7 класі відбувається зустріч з рівняннями, що містять у своєму записі не одну, а дві різні невідомі змінні. Їх називають рівняннями з двома змінними. Надалі допускають присутність в запису рівнянь трьох і більшої кількості змінних.

Визначення.

Рівняння з однією, двома, трьома і т.д. змінними - це рівняння, що містять у своєму записі одну, дві, три, ... невідомі змінні відповідно.

Наприклад, рівняння 3,2 · x + 0,5 \u003d 1 - це рівняння з однією змінною x, в свою чергу рівняння виду x-y \u003d 3 - це рівняння з двома змінними x і y. І ще один приклад: x 2 + (y-1) 2 + (z + 0,5) 2 \u003d 27. Зрозуміло, що таке рівняння - це рівняння з трьома невідомими змінними x, y і z.

Що таке корінь рівняння?

З визначенням рівняння безпосередньо пов'язано визначення кореня цього рівняння. Проведемо деякі міркування, які нам допоможуть зрозуміти, що таке корінь рівняння.

Припустимо, перед нами знаходиться рівняння з однією буквою (змінної). Якщо замість букви, що входить в запис цього рівняння, підставити деяке число, то рівняння звернутися в числове рівність. Причому, отримане рівність може бути як вірним, так і невірним. Наприклад, якщо замість літери a в рівняння a + 1 \u003d 5 підставити число 2, то вийде невірне числове рівність 2 + 1 \u003d 5. Якщо ж ми в це рівняння підставимо замість a число 4, то вийде вірне рівність 4 + 1 \u003d 5.

На практиці в переважній більшості випадків інтерес представляють такі значення змінної, підстановка яких у рівняння дає вірне рівність, ці значення називають корінням або рішеннями даного рівняння.

Визначення.

Корінь рівняння - це таке значення букви (змінної), при підстановці якого рівняння звертається в правильне числове рівність.

Відзначимо, що корінь рівняння з однією змінною також називають рішенням рівняння. Іншими словами, рішення рівняння і корінь рівняння - це одне і те ж.

Пояснимо це визначення на прикладі. Для цього повернемося до записаного вище рівняння a + 1 \u003d 5. Згідно озвученим визначенню кореня рівняння, число 4 є корінь цього рівняння, так як при підстановці цього числа замість літери a отримуємо правильне рівність 4 + 1 \u003d 5, а число 2 не є його коренем, так як йому відповідає невірне рівність виду 2 + 1 \u003d 5.

На цей момент виникає ряд природних питань: «Будь-яке чи рівняння має корінь, і скільки коренів має задане рівняння»? Відповімо на них.

Існують як рівняння, що мають коріння, так і рівняння, що не мають коренів. Наприклад, рівняння x + 1 \u003d 5 має корінь 4, а рівняння 0 · x \u003d 5 не має коренів, так як будь-яке число ми не підставили в це рівняння замість змінної x, ми отримаємо невірне рівність 0 \u003d 5.

Що стосується числа коренів рівняння, то існують як рівняння, що мають деякий кінцеве число коренів (один, два, три і т.д.), так і рівняння, що мають нескінченно багато коренів. Наприклад, рівняння x-2 \u003d 4 має єдиний корінь 6, корінням рівняння x 2 \u003d 9 є два числа -3 і 3, рівняння x · (x-1) · (x-2) \u003d 0 має три корені 0, 1 і 2, а рішенням рівняння x \u003d x є будь-яке число, тобто, воно має безліч коренів.

Пару слів варто сказати про прийняту записи коренів рівняння. Якщо рівняння не має коренів, то зазвичай так і пишуть «рівняння не має коренів», або застосовують знак порожнього безлічі ∅. Якщо рівняння має коріння, то їх записують через кому, або записують як елементи безлічі в фігурних дужках. Наприклад, якщо корінням рівняння є числа -1, 2 і 4, то пишуть -1, 2, 4 або (-1, 2, 4). Припустимо також записувати коріння рівняння у вигляді найпростіших рівностей. Наприклад, якщо в рівняння входить буква x, і корінням цього рівняння є числа 3 і 5, то можна записати x \u003d 3, x \u003d 5, також змінної часто додають нижні індекси x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5, як би вказуючи номера коренів рівняння. Нескінченна безліч коренів рівняння зазвичай записують у вигляді, також при можливості використовують позначення множин натуральних чисел N, цілих чисел Z, дійсних чисел R. Наприклад, якщо коренем рівняння зі змінною x є будь-яке ціле число, то пишуть, а якщо корінням рівняння зі змінною y є будь-яке дійсне число від 1 до 9 включно, то записують.

Для рівнянь з двома, трьома і великою кількістю змінних, як правило, не застосовують термін «корінь рівняння», в цих випадках говорять «рішення рівняння». Що ж називають рішенням рівнянь з декількома змінними? Дамо відповідну ухвалу.

Визначення.

Рішенням рівняння з двома, трьома і т.д. змінними називають пару, трійку і т.д. значень змінних, звертає це рівняння в правильну числову рівність.

Покажемо пояснюють приклади. Розглянемо рівняння з двома змінними x + y \u003d 7. Підставами в нього замість x число 1, а замість y число 2, при цьому маємо рівність 1 + 2 \u003d 7. Очевидно, воно невірне, тому, пара значень x \u003d 1, y \u003d 2 не є рішенням записаного рівняння. Якщо ж взяти пару значень x \u003d 4, y \u003d 3, то після підстановки в рівняння ми прийдемо до вірного рівності 4 + 3 \u003d 7, отже, ця пара значень змінних за визначенням є рішенням рівняння x + y \u003d 7.

Рівняння з багатьма змінними, як і рівняння з однією змінною, можуть не мати коренів, можуть мати кінцеве число коренів, а можуть мати і нескінченно багато коренів.

Пари, трійки, четвірки і т.д. значень змінних часто записують коротко, перераховуючи їх значення через кому в круглих дужках. При цьому записані числа в дужках відповідають змінним в алфавітному порядку. Пояснимо цей момент, повернувшись до попереднього рівняння x + y \u003d 7. Рішення цього рівняння x \u003d 4, y \u003d 3 коротко можна записати як (4, 3).

Найбільшу увагу в шкільному курсі математики, алгебри і початків аналізу приділяється знаходженню коренів рівнянь з однією змінною. Правила цього процесу ми дуже детально розберемо в статті рішення рівнянь.

Список літератури.

• Математика. 2 кл. Учеб. для загальноосвіт. установ з дод. на електрон. носії. У 2 ч. Ч. 1 / [М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М .: Просведеніе, 2012. - 96 с .: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• алгебра: навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 240 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Рішення рівнянь в математиці займає особливе місце. Цьому процесу передує безліч годин вивчення теорії, в ході яких учень дізнається способи розв'язання рівнянь, визначення їх виду і доводить навик до повного автоматизму. Однак далеко не завжди пошук коренів має сенс, тому що їх може просто не бути. Існують особливі прийоми знаходження коренів. У даній статті ми розберемо основні функції, їх області визначення, а також випадки, коли їх коріння відсутні.

Яке рівняння не має коренів?

Рівняння не має коренів в тому випадку, якщо не існує таких дійсних аргументів х, при яких рівняння тотожне вірно. Для неспеціаліста це формулювання, як і більшість математичних теорем і формул, виглядає дуже розмитою і абстрактної, однак це в теорії. На практиці все стає гранично просто. Наприклад: рівняння 0 * х \u003d -53 не має рішення, тому що не знайдеться такого числа х, твір якого з нулем дало б щось, крім нуля.

Зараз ми розглянемо базові типи рівнянь.

1. Лінійне рівняння

Рівняння називається лінійним, якщо його права і ліва частини представлені у вигляді лінійних функцій: ax + b \u003d cx + d або в узагальненому вигляді kx + b \u003d 0. Де а, b, с, d - відомі числа, а х - невідома величина . Яке рівняння не має коренів? Приклади лінійних рівнянь представлені на ілюстрації нижче.

В основному лінійні рівняння вирішуються простим перенесенням числовий частини в одну частину, а вмісту з х - в іншу. Виходить рівняння виду mx \u003d n, де m і n - числа, а х - невідоме. Щоб знайти х, досить розділити обидві частини на m. Тоді х \u003d n / m. В основному лінійні рівняння мають тільки один корінь, проте бувають випадки, коли коріння або нескінченно багато, або немає зовсім. При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння набирає вигляду 0 * х \u003d 0. Рішенням такого рівняння буде абсолютно будь-яке число.

Однак яке рівняння не має коренів?

При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння не має коренів з безлічі дійсних чисел. 0 * х \u003d -1; 0 * х \u003d 200 - ці рівняння не мають коренів.

2. Квадратне рівняння

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0 при а \u003d 0. Найпоширенішим є рішення через дискримінант. Формула знаходження дискримінанту квадратного рівняння: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Далі знаходиться два кореня х 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

При D\u003e 0 рівняння має два кореня, при D \u003d 0 - корінь один. Але яке квадратне рівняння не має коренів? Поспостерігати кількість коренів квадратного рівняння найпростіше за графіком функції, що представляє собою параболу. При а\u003e 0 гілки спрямовані вгору, при а< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Також можна визначити візуально кількість коренів, що не обчислюючи дискриминант. Для цього потрібно знайти вершину параболи і визначити в який бік спрямовані гілки. Визначити координату x вершини можна за формулою: х 0 \u003d -b / 2a. В цьому випадку координата y вершини знаходиться простий підстановкою значення х 0 в початкове рівняння.

Квадратне рівняння x 2 - 8x + 72 \u003d 0 не має коренів, так як має негативний дискриминант D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. Це означає, що парабола не стосується осі абсцис і функція ніколи не приймає значення 0, отже, рівняння не має дійсних коренів.

3. Тригонометричні рівняння

Тригонометричні функції розглядаються на тригонометричної окружності, проте можуть бути представлені і в декартовій системі координат. У даній статті ми розглянемо дві основні тригонометричні функції і їх рівняння: sinx і cosx. Так як дані функції утворюють тригонометричну окружність з радіусом 1, | sinx | і | cosx | не можуть бути більше 1. Отже, яке рівняння sinx не має коренів? Розглянемо графік функції sinx, представлений на зображенні нижче.

Ми бачимо, що функція є симетричною і має період повторення 2pi. Виходячи їх цього, можна говорити, що максимальним значенням цієї функції може бути 1, а мінімальним -1. Наприклад, вираз cosx \u003d 5 не матиме коріння, так як по модулю воно більше одиниці.

Це найпростіший приклад тригонометричних рівнянь. Насправді їх рішення може займати безліч сторінок, в кінці яких ви усвідомлюєте, що використовували неправильну формулу і все потрібно починати спочатку. Часом навіть при правильному знаходженні коренів ви можете забути врахувати обмеження по ОПЗ, через що у відповіді з'являється зайвий корінь або інтервал, і вся відповідь звертається в помилковий. Тому строго стежте за всіма обмеженнями, адже не всі корені вписуються в рамки завдання.

4. Системи рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність рівнянь, об'єднаних фігурною або квадратної дужками. Фігурні дужки позначають спільне виконання всіх рівнянь. Тобто якщо хоча б одне з рівнянь не має коренів або суперечить іншому, вся система не має рішення. Квадратні дужки позначають слово "або". Це означає, що якщо хоча б одне з рівнянь системи має рішення, то вся система має рішення.

Відповіддю системи з є сукупність всіх коренів окремих рівнянь. А системи з фігурним дужками мають тільки спільне коріння. Системи рівнянь можуть включати абсолютно різноманітні функції, тому така складність не дозволяє сказати відразу, яке рівняння не має коренів.

У задачниках і підручниках зустрічаються різні типи рівнянь: такі, які маю коріння, і не мають їх. В першу чергу, якщо у вас не виходить знайти коріння, не думайте, що їх немає зовсім. Можливо, ви зробили десь помилку, тоді досить лише уважно перевірити ваше рішення.

Ми розглянули базові рівняння та їх види. Тепер ви можете сказати, яке рівняння не має коренів. У більшості випадків зробити це зовсім не важко. Для досягнення успіху у вирішенні рівнянь потрібно лише увагу і зосередженість. Практикуйтеся більше, це допоможе вам орієнтуватися в матеріалі набагато краще і швидше.

Отже, рівняння не має коренів, якщо:

• в лінійному рівнянні mx \u003d n значення m \u003d 0 і n \u003d 0;
• в квадратному рівнянні, якщо дискримінант менше нуля;
• в тригонометричному рівнянні виду cosx \u003d m / sinx \u003d n, якщо | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• в системі рівнянь з фігурними дужками, якщо хоча б одне рівняння не має коренів, і з квадратними дужками, якщо всі рівняння не мають коренів.