Напред уважение

1. Стереометрията има геометрични тела и обемни фигури, не всички точки от които лежат в една равнина. На фотьойла са изобразени обширни фигури за помощ на малките, сякаш ревът на окото е приблизително същият като самата фигура. Малките Qi следват правилата за пеене, които се основават на геометричната сила на фигурите.
Един от начините за изобразяване на просторни фигури върху плоскостта ще бъде посочен далеч (§ 54-66).

РОЗДИЛ ПЪРВО ПРАВ И РАВЕН

I. ПОЗИЦИЯ В РАВНИНАТА

2. Изображение на района.В ежедневието има много обекти, върху някаква геометрична равнина, за да образуват правоъгълна форма: палитра на книга, грешка, върху маса за писане и т.н., начертайте формата на успоредник. Ето защо е обичайно равнината да се изобразява на фотьойла като успоредник 1. Звукът Tsyu area означава една буква, например "област M" (Диаграма 1).

1 Редът на присвоените изображения на зоната е възможен и същият, както на кресла 15-17 и в.
(бел. ред.)

3. Основните характеристики на повърхността.Да кажем, че силата на плоскостта, която се приема без доказателство, трябва да бъде аксиома:

1) Ако две точки от права линия лежат на равнина, тогава една точка на кожата на права линия лежи на равнина.

2) Ако два апартамента образуват точка на горене, тогава вонята се движи по права линия през тази точка.

3) През дали има три точки, които не лежат на една права линия, е възможно да се начертае равнина, а преди това има само една.

4. Наследство.От останалата част от предложението можете да въведете следното:

1) Чрез права линия и точка зад нея можете да начертаете равнина (и повече от една). Всъщност точката на позата е права наведнъж с няколко две точки по правата линия, добавят се три точки, през яка е възможно да се начертае равнина (и преди това една).

2) Чрез две прави линии, които се преплитат, е възможно да се начертае плосък (и само един). Ефективно, като вземете точката на напречната греда и още една точка върху правата линия на кожата или три точки, през яки е възможно да начертаете равнина (и преди това една).

3) Чрез две успоредни прави е възможно да се начертае само една равнина. Наистина, успоредни на правите линии зад назначенията, лежат в една и съща равнина; Тази равнина е една, така че през един от паралелите и като точка на друг е възможно да се начертае не повече от една равнина.

5. Увийте областта около правата линия. Чрез кожата направо в откритото пространство е възможно да се начертае безкрайна площ.

Наистина, нека бъде направо а (дявол 2).

Нека вземем точка А зад него. През точка А и направо а преминават през една равнина (§ 4). Наричаме я равнина M. Вземете нова точка след равнината M. През точка B и правата а да мине през апартамента с чернотата си. Нарича се равнина N. Тя може да sp_vpada z M, скалите в нея лежат в точката Y, така че равнината M. а преминете нова повърхност. Наричаме го R. Вон не излиза от M, N от N, защото в него има точка C, така че не лежи нито до областта M, нито до областта N. отнеме всички нови и нови равнини, които преминават през правата линия а . Няма да има такива зони. Всички тези равнини могат да се разглеждат като различни позиции на една и съща равнина, която се увива около правата а .

Можем да покажем още една сила на равнината: равнината може да се увие около, било то права, която лежи близо до тази равнина.

6. Уговорка за посещение на открития космос.Мустаци, които се бъркаха в планиметрията, победиха в същата равнина зад помощта на инструменти за кресло. За pobudov близо до откритото пространство, инструментите за кресло вече стават неприемливи, така че е невъзможно да се столират фигурите близо до откритото пространство. Освен това, когато има нов елемент в пространството, има нов елемент - апартаментът, който, ако е в пространството, не може да се постави на пода с прости ключалки, като права линия върху апартамента.

Ето защо, когато pobudov близо до откритото пространство, е необходимо точно да се определи какво означава да vikonate това chi іnsha pobudovu това, zokrema, което означава да събудите апартамента близо до откритото пространство. По всяко време в космоса ние позволяваме:

1) че равнината може да бъде индуцирана, че са намерени елементи, които означават тези позиции в пространството (§ 3 и 4), така че можем да индуцираме равнината, която минава през три дадени точки, през права линия и точка зад нея , или през две две успоредни прави;

2) ако са дадени две равнини, които се припокриват, тогава е дадена линия на тяхната лента, така че можем да знаем линията на лентата на две равнини;

3) тъй като една равнина е дадена в пространството, тогава можем да спечелим в нея, да останем, сякаш сме бити от планиметрията.

Vikonati yak-nebudova pobudova в пространството - tse означава да се обадите на yogo до края на деня на основните срещи. С помощта на тези основни задачи можете да развържете задачите за сгъване.

В тези изказвания се нарушават заповедите за оставане в стереометрия.

7. Задницата на задача да остане на открито.
Управител. Намерете пресечната точка на дадена права линия а (Диаграма 3) от центъра на R.

Вземете равнината P като точка A. През точката A и права линия а проводящо равнината Q. Тя пресича равнината P по действащата права b . В равнината Q знаем точка 3 от обхвата на правите линии а і b . Tsya dot i ще бъде шукана. Колко направо а і b изглеждат успоредни, тогава задачата не е решение.

Подравняване на права линия като линия на перетина от две равнини:

През кожата направо в откритото пространство, за да премине безлична област. Be-yakí от тях, променяйки се, те я означават в пространството. Отже, ако имаше две равни плоскости, които се гледат заедно, те са равни на правите.

Vzagali е като две неуспоредни равнини

обозначават права линия. Qi равни се наричат дива ревностправ.

Подравняване на права линия, която минава през две точки:

Дайте дадените точки A(x 1 ;y 1) и B(x 2 ;y 2). Подравняването на права линия, минаваща през точките A (x 1; y 1) и B (x 2; y 2), може да изглежда така:

Ако дадени точки A и B лежат на права линия, успоредна на оста O x (y 2 -y 1 \u003d 0) или на оста O y (x 2 - x 1 \u003d 0), тогава подравняването на правата линията ще бъде подобна на майката, гледаща \u003d y 1 или x \u003d x 1

Пример 4. Прокарайте прави линии, които да минават през точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Заместване на подравняване (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 \u003d 1
звезди или 2y-4=x-1, или иначе x-2y+3=0

Канонично прави линии:

Нека декартовата координатна система е фиксирана върху равнината Окси. Нека да си поставим собствените цели: да вземем права линия а, якщо - Деяк точка на права линия а i - директен вектор а.

Nehai - плаваща запетая е права а. Тогава векторът е директен вектор на права линия аи maє координати (ако е необходимо, чудете се на състоянието на координатите на вектора през координатните точки). Очевидно е, че на безлична точка в равнина е приписана права линия, така че директен вектор може да премине през точка i може само и само ако векторите са колинеарни.

Нека запишем необходимата и достатъчна колинарност на векторите за ума: . Останалата част от равенството на координатната форма може да се види.

Yakscho i , тогава можем да запишем

Отримане равно на ум се вика канонични линии направо върху плоскияв правоъгълна координатна система Окси. Ривняния също се нарича равна на правата линия при каноничен вид.

Отново, каноничното подравняване на права линия на равнина на съзнанието е дадено от правоъгълна координатна система Оксиправа линия, която минава през точка и може да бъде пряк вектор.

Ще насочим дупето на каноничната права линия върху плоскостта.

Например, равен на правата линия на каноничния вид. Правата линия, която позволява преминаването през точката , и - я е директен вектор. По-долу има графична илюстрация.

Много важни факти:

· yakscho-директни векторни прави линии и прави линии минават като през точка, така че и през точка, тогава нейното канонично равно може да бъде написано като, така че и;

· ако е директен вектор на права линия, тогава дали някой от векторите също е директен вектор на дадена права линия, тогава, ако е равен на права линия по каноничен начин да се гледа на права линия.

Параметрично подравняване на права линия:

Теорема. Системата от прави линии напредва с параметрични прави линии:

de – координати на сравнително фиксирана точка на дадена права линия, – общи координати на сравнително директен вектор на дадена права линия, t – параметър.

Доказателство. Vidpovidno до vyznachennya равномерност, независимо дали става дума за умножаване на точките на координатното пространство, ние сме отговорни да донесем, че е равно на (7) отговарят на всички точки на правата линия L i, от другата страна, не отговарят на координатите на точката , които не лежат на права линия.

Нека имаме добра гледна точка. Същите вектори и е за целите на колинеарни и теореми за колинеарността на два вектора, следващи, които са линейно изразени през другия, че. има такъв номер, какво. Равенството на векторите и точността на координатите:

ч.т.д.

Назад, хайде на точка. Тогава, според теоремата за колинеарността на векторите, може да има линейни изрази през друг, тогава. Искам едно от равенствата (7) да не спечели. В този ред равните (7) се задоволяват с координатите на по-малко тихи точки, като лежане на правата линия L и само малко смрад и т.н.

Теоремата е завършена.

Нормално подравняване на зоната:

AT векторна формаможе да изглежда плоскост на зоната

По същия начин нормалният вектор на областта е единичен,

дори равнинността на зоната може да бъде записана като

(нормална плоскост).

– преместване от кочана на координатите към равнината, , , – пряк косинус от нормалата

de - разрязване между нормалата на равнината и координатните оси по същия начин.

Плоската равнина (8) може да се доведе до нормална форма чрез умножаване по нормален коефициент, като знакът пред дробта е противоположен на знака на правилния член (8).

V_dstan v_d сочи към равнината(8) да бъде зад формулата, взета чрез заместване на точката в нормално подравняване

Дълбоката плоскост на равнината, след дълбоката плоскост на плоскостта:

Що се отнася до тривиалното пространство, дадена е правоъгълна координатна система Oxyz, тогава равните равнини в координатната система на тризвичния свят се наричат ​​еднакви равни на тройната х, гі z, доволен съм от координатите на всички точки от равнината и не съм доволен от координатите на други точки. С други думи, при обосноваване на координатите на първата точка от равнината се отнема равенството на равнината, а при заместване на равната равнина на координатите, независимо дали е другата точка, равенството е неправилно.

Първо, запишете централната равнина на равнината, като познаете правата линия, перпендикулярна на равнината: правата линия е перпендикулярна на равнината, сякаш е перпендикулярна на правата линия, която лежи в тази равнина. От кое обозначение става ясно дали има нормален вектор на равнината на перпендикулярите към всеки ненулев вектор, който лежи близо до тази равнина. Този факт имитира доказателството на атакуващата теорема, тъй като създава външния вид на дивата равнина на зоната.

Теорема.

Бъди като равен на ума, де А, б, ° Сі д- Deyakі dіysní номера, освен това НО, ATі ° Сне е равно на нула наведнъж, обозначавайки площта в дадена правоъгълна координатна система Oxyzблизо до тривиалното пространство и дали е равнина близо до правоъгълна координатна система Oxyzв едно тривиално пространство те са равни на ума с определен набор от числа А, б, ° Сі д.

Доказателство.

Подобно на Бахите, теоремата се състои от две части. В първата част ни беше дадено ниво и трябва да го извадим на повърхността. От друга страна ни беше дадена двойка плоскост и е необходимо да приведем това, което можем да присвоим на равни с прост избор на числа НО, AT, Уі д.

Нека просто потвърдим първата част от теоремата.

Цифрови фрагменти НО, ATі Уза една нощ не е равна на нула, тогава е точка , чиито координати са удовлетворени от еквивалентността, така че равенството е справедливо. Vіdnіmemo lvu и дясната част на otrimanoї іvnosti vіdpovіdno іnіd livoї і pravaі ї части іvnyannya, vіdnіmemo imaєmo іvnyannya в натура, еквивалентна на vihіdnymi іvnyanniu. Сега, както знаем, това изравнява равнината, тогава ще бъде приведено, което е еквивалентно на равното, също маркира равнината на дадената правоъгълна координатна система в тривимерното пространство.

Справедливостта е необходимата и достатъчна умствена перпендикулярност на векторите и . С други думи, координатите на плаваща запетая се удовлетворяват равномерно и само ако векторите са перпендикулярни. Така че, нарушавайки факта, индукции преди теоремата, можем да потвърдим, че равенството е вярно, тогава безлична точка определя равнина, нормален вектор като є, освен това тази равнина минава през точка. С други думи, подравняването е показателно за правоъгълна координатна система Oxyzв близост до тривимирската шир се отрежда по-голяма площ. Otzhe, еквивалентно, изравнява самата площ. Първата част на теоремата е завършена.

Да преминем към потвърждението на другата част.

Нека ни е дадена равнина, която да минава през точка, с нормален вектор, който е є. Уведомете ни, че правоъгълна координатна система Oxyzя определя нивото на ума.

За което вземаме достатъчна точка от равнината. Нека аз бъда точката. Тогава векторите i ще бъдат перпендикулярни, тогава техният скаларен twіr ще бъде равен на нула: . След като приех, ще чакам с нетърпение. Це е равно и означава нашата област. Отново, теоремата се потвърждава отново. (за първите стойности на числата НО, AT, Уі д);

Нека се прицелим в задника, за да илюстрираме останалата част от фразата.

Чудете се на малките от изображенията на района близо до тривиалната шир близо до фиксираната правоъгълна координатна система Oxyz. Tsіy ploshchiní vіdpovіdaє rіvnyannya, за това, че сте доволни от координатите на всяка точка на площада. От друга страна, трасето се определя от дадената координатна система Oxyzбезлична точка, чийто образ е малък плосък.

Равност на площта при валовете:

Нека тривиалното пространство има правоъгълна координатна система Oxyz.

За правоъгълна координатна система Oxyzв тривиална шир, равна на ума, де а, bі ° С– под формата на нула се извиква текущото число равна на площта при ветрозащитните прегради. Такова име не е vipadkova. Абсолютни стойности на числата а, bі ° Сравна на vídrіzkіv vídzhina, yakі vіdsіkaє равнината на координатните оси вол, Охі Оз vіdpovіdno, rahuyuchi víd cob на координати. Знак за число а, bі ° Споказва, в права линия (положителна и отрицателна) има скоби на координатните оси. Определено координатните точки отговарят на равнината на ветровете:

Вижте малките, което обяснява момента.

Нивото на равнината, минаваща през точката, е перпендикулярно на вектора:Нека тривиалното пространство има правоъгълна декартова координатна система. Формулираме следната задача:

Сгънете плоски равнини, за да преминете през тази точка
М(х 0 , г 0 , z 0) перпендикулярен на дадения вектор →н = {А, б, ° С} .

Решение.Хайде П(х, г, z) - достатъчно точка до интервал. Точка, на петна Пнад плоския тоди и по-малко тоди, ако векторът
MP = {х − х 0 , г − г 0 , z − z 0 ) ортогонален вектор → н = {А, б, ° С) (Фиг. 1).

След като написах умствената ортогоналност на тези вектори (→ н, MP) = 0 за координатната форма, по избор.

■ ПЛОЩ.

Назначаване.Всеки ненулев вектор, перпендикулярен на равнината, се нарича ней нормален вектор, и е посочено.

Назначаване.Равен на повърхността на ума де коефициент - достатъчни ефективни числа, които не са равни на нула в същото време, се нарича zagalnym апартаменти на района.

Теорема.Нивелирането определя площта, която нормалният вектор може да премине през точката.

Назначаване.Плоскост на областта на ума

де - достатъчни, неравни на нула, действителни числа, извик равна на площта при ветрозащитните прегради.

Теорема.Хайде - равнината на равнината при ветрозащитните прегради. Todi - координатна точка нейната напречна греда с координатни оси.

Назначаване.Дълбоката заравненост на района се нарича нормиранеили нормалноравно на площта, например

че .

Теорема.Обикновено подравняването на равнината може да се запише под формата на - в колоната с координати към дадената област, - директния косинус на нормалния вектор ).

Назначаване. Нормализиращ множителсе нарича номерът на равната площ de sign се избира от противоположния знак на свободния член д.

Теорема.Айде - множител, който нормализира, дива плоскост на площта. Todi rivnyannya е нормиране на rivnyannyam дадена област.

Теорема.Видстан дтип петна до апартамента .

Взаимно роташуване на два апартамента.

Две равнини или вървят, или са успоредни, или се преплитат в права линия.

Теорема.Нека повърхностните задачи са над главата: . Тоди:

1) якщо след това апартаментите zbígayutsya;

2) якщо тогава равнините са успоредни;

3) в противен случай равнините са оцветени по прави линии, равни на които служи равната система: .

Теорема.Хайде - нормални вектори на две равнини, тогава едно от двете разрязвания между дадени равнини е повече:.

последно.Хайде ,- Нормални вектори на две дадени области. Като скаларно събиране дадените площи са перпендикулярни.

Теорема.Дайте дадените координати на три различни точки от координатното пространство:

река Тоди –е равни равнини, които минават през qi три точки.

Теорема.Нека данните на бурята на двата апартамента, които се припокриват: освен това. Тоди:

– изравняване на двусекторната зона на gostry duhedral kut, обсипана с ператин на тези апартаменти;

– изравняване на двусекторната зона на тъп двустенен разрез.

Zv'yazuvannya този лъч от апартаменти.

Назначаване. Zv'yazuvannyam апартаментибезличността на всички равнини се нарича, че може да се види една светла точка, както се нарича център за свързване.

Теорема.Да тръгваме - три апартамента, които правят една гореща точка изравняване на zv'yazuvannya на апартаменти.

Теорема. Rivnyannya, de dovilní deisní параметри, които не са равни на нула в същото време, е равен на връзката на равнините с центъра на връзкатав точката

Теорема.Нека ви дам данните за ледниковото ниво на три равнини:

-их vidpovіdní нормални вектори. За да се припокриват три дадени равнини в една точка, е необходимо и достатъчно разликата между двата нормални вектора да не достига нула:

По този начин координатите на единичната централна точка са единичните решения на системата за изравняване:

Назначаване. Един куп апартаментинаричат ​​се безличните равнини, които са преплетени по една и съща права линия, заглавието на целия лъч.

Теорема.Нека два апартамента, които се преплитат в права линия. Todí vnyannja, de dovílní dіisnі параметри наведнъж не са равни на нула, е подравняване на лъч от равниниот върха на гредата

ДИРЕКТЕН.

Назначаване.Независимо дали е ненулев вектор, дадена колинеарна права линия се нарича ней директен вектор, и е посочено

Теорема. параметрични прави линиив пространството: de координати на сравнително фиксирана точка на дадена права линия и общи координати на сравнително директен вектор на даден параметър на права линия.

последно.Системата на равните напредва, равните направо в простора и се наричат канонично е равно на правв космоса: de - координати на сравнително фиксирана точка на дадена права линия, - общи координати на сравнително директен вектор на дадена права линия.

Назначаване.Каноничен еквивалент на директен изглед - Наречен канонични подравнявания на прави линии, които минават през две различни дадени точки

Взаимно roztashuvannya две прави линии в откритото пространство.

Възможно е да има 4 склона на гниещи две прави линии близо до откритото пространство. Те могат да се изправят, да са успоредни, да се пресичат в една точка или да се пресичат.

Теорема.Нека дам каноничното изравняване на две прави линии:

de - техните прави вектори, - достатъчно фиксирани точки, които лежат на прави линии. Тоди:

і ;

и не печели само едно от равенствата

;

, тобто.

4) директно пресичат, като , тобто.

Теорема.Хайде

– две доста прави линии в близост до откритото пространство, зададени от параметрични подравнения. Тоди:

1) как е системата за изравняване

ако има едно решение, тогава те са директно преплетени в една точка;

2) ако системата е равна, няма решение, тогава тя се пресича директно паралелно.

3) ако системата е равна на повече от една rozvyazku, тогава направо zbígayutsya.

Застанете между две прави линии в откритото пространство.

Теорема.(Формула между две успоредни прави.): Придвижване между две успоредни прави

De - техните надземни директни вектори, - точки на тези прави линии, могат да бъдат изчислени по формулата:

или

Теорема.(Формула между две прави линии за пресичане.): Застанете между две прави линии за пресичане.

може да се изчисли по тази формула:

де – модул за смесено създаване на директни вектори і і вектор, модул за векторно създаване на директни вектори.

Теорема.Хайде - подравняването на два апартамента, които се припокриват. След това идва системата за подравняване и подравняване на прави линии, които се преплитат с равнини: . Директен вектор може да служи като вектор , де ,- Нормални вектори на дадени области.

Теорема.Нека му бъде дадена канонична права линия: де . След това се появява системата на равните и на равните са дадени прави линии, дадени от обхвата на две равнини: .

Теорема.Подравняване на перпендикуляр, спуснат от точка прав може да гледа de - координати на създаване на вектор, - координати на директен вектор, даден на правата линия. Дължината на перпендикуляра може да бъде известна по формулата:

Теорема.Вижда се подравняване на перпендикулярния перпендикуляр на две прави линии, които могат да се пресичат: де.

Взаимно roztashuvannya прави линии и апартаменти близо до откритото пространство.

Има три възможни начина за взаимно разширяване на права линия в близост до пространството на тази област:

Теорема.Нека равнината е дадена на правите линии, а правата е дадена на каноничните или параметричните линии abo, de вектор е нормалният вектор на областта – координати на сравнително фиксирана точка на права линия, – общи координати на сравнително директен вектор на права линия. Тоди:

1) yakscho, тогава директно пресичаме равнината на точката, чиито координати могат да бъдат известни от системата за изравняване

2) ако i, тогава легнете прав върху плоското;

3) ако i, тогава правата е успоредна на равнината.

последно.Ако системата (*) има едно единствено решение, тогава тя е директно преливаща от плоскостта; ако системата (*) няма решение, то тя е права, успоредна на равнината; ако системата (*) може да бъде безлично решение, тогава е направо да лежи в самолета.

Virishennya типични задачи.

мениджър №1 :

Сгънете плоските равнини, за да преминат през точката, успоредна на векторите.

Знаем нормалния вектор на областта:

= =

Като нормален вектор на площта можете да вземете вектора на същата глобално равна площ в бъдеще, когато погледнете:

За да се знае, е необходимо да се заменят координатите на точките, с които лежи равнината.

мениджър №2 :

Две лица на куба лежат върху равнините и броят общия куб.

Очевидно равнините са успоредни. Dovzhina ръб на куба е vídstan mіzh апартаменти. Vibero на първия самолет до точка: да не знаем.

Ние знаем как да вървим между равнините, как да вървим от една точка до друга равнина:

Otzhe, обемът на куба е добър ()

мениджър №3 :

Познайте разреза между лицата и пирамидните върхове

Разрез между равнини – се разрез между нормални вектори до тези равнини. Знаем нормалния вектор на областта: [,];

, или

по същия начин

мениджър №4 :

Поставете канонично равни прави линии .

Отже,

Векторът е перпендикулярен на правата, до

Otzhe, канонично равен, ще гледам право напред.

мениджър №5 :

Знайте разликата между правите линии

і .

Пряко успоредно, т.к техните директни вектори и иравни. Хайде точка лежи на първия ред, а точката лежи на другия ред. Знаем площта на успоредника въз основа на вектори.

[,];

Shukanoi vídstannyu е височината на успоредника, пропусната от точките:

мениджър №6 :

Изчислете най-късото разстояние между прави линии:

Ще се покаже, че е направо за преминаване, tobto. вектори и те лежат в една и съща равнина: ≠ 0.

1 начин:

През друга права линия начертаваме равнина, успоредна на първата права линия. За зоната на shukano v_domі tі, scho да лежи й векторії. Вектор с нормална площ е вектор tvir векторив, .

Също така, като нормален вектор на областта, можете да вземете вектора на подравняването на тази област в бъдеще, ако знаете, че точката, която трябва да лежи върху областта, може да бъде намерена и да запишете подравняването:

Shukana v_dstan - tsya vídstan от точката на първата права линия до равнината е известна по формулата:

13.

2 начина:

Върху векторите i ще създадем паралелепипед.

Shukana vídstan' - височината на паралелепипеда, пропусната от точките на основата на його, въз основа на вектори.

Резултат: 13 сингъла.

мениджър №7 :

Познайте проекцията на точка върху равнина

Нормалният вектор на площта е директният вектор на правата линия:

Знаем пресечната точка на правата линия

тази област:

.

Заместване в плоска равнина, знаем, и след това

уважение.За да се знае точка, която е симетрична на точка, подобна на равнината, е необходимо (подобно на предните задачи) да се знае проекцията на точката върху равнината, след което погледнете vіdіzok с vіdomimikobkami средата, бързайки с формулите,,.

мениджър №8 :

Намерете подравняването на перпендикуляр, пуснат от точка на права линия .

1 начин:

2 начина:

Задачите са написани по различен начин:

Площта е перпендикулярна на дадената права, така че директният вектор на правата е нормалният вектор на областта. Познавайки нормалния вектор на равнината и точка от равнината, ние я пишем равна:

Знаем пресечната точка на равнината и правата, записана параметрично:

,

Нека направим права линия, която да минава през точките i:

.

Внушение: .

По същия начин, можете да virishity и същата задача:

мениджър №9 :

Намерете точка, която е симетрична на точка като права линия .

мениджър №10 :

Датско трико с горнища Познайте нивото на височина, спуснато отгоре до гърба.

Заглавието е абсолютно аналогично на предишните задачи.

Внушение: .

мениджър №11 :

Обозначете подравняването на перпендикуляра перпендикулярно на две прави линии: .

0.

Vrakhovuchi, scho преминава през точка, записваме подравняването на равнината:

Въпросът е да легна, ще видя, че равното на площта ще изглежда:.

Внушение:

мениджър №12 :

Сгънете прави линии, за да минат през точка и пресечете прави линии .

Първата права линия, минаваща през точката, която може да бъде пряк вектор; друго - да преминава през точки и може да насочва вектор

Показано е, че линиите qi са такива, че могат да се пресичат, за което сгъваме арбитъра, чиито редове са координатите на вектори ,, ,векторите не се припокриват в една и съща равнина.

Нека начертаем равнина през петната и да продължим право напред:

Хайде - достатъчна точка от равнината на същите вектори и компланарна. Равнината на зоната може да изглежда:.

По същия начин можем да сгънем плоскостта на равнината, която може да премине през петната и другата права: 0.

Shukana е права е педя от апартаменти, tobto.

Осветеният резултат от последствията, дадени от тях, е формирането на компонентите, изявленията на входа, съвкупността от компетенции (благородство, ум, сила) на две нива: праг и просунитет. Праговият ривен дава оценка „предполагаемо“, фиксиращият ривен дава оценките „добър“ или „забележителен“, в резултат на резултатите от казуса-задача.

За самодиагностика на тези компоненти ще ви бъдат показани следващите стъпки.

INSTUP

Глава 1

1 Пресечна точка на права с равнина

1 Вариации в положението на правата линия в пространството

2 Кът между прави и плоски

ВЪШНОВОК

СПИСЪК НА ПОБЕДИТЕ НА ДЖЕРЕЛ

INSTUP

Be-yaké изравняване на първия етап на координатите x, y, z

Чрез + Cz + D = 0

задава площта и сега: независимо дали площта може да бъде представена с равни, както се нарича равни на площта.

Векторът n (A, B, C), ортогонален на равнината, се нарича нормален вектор на равнината. Еднаквите коефициенти A, B, C не са равни едновременно на 0.

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – равнината преминава през кочана от координати.

C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - равнината е успоредна на оста Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 – площта, която трябва да премине през цялата Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 – равнината е успоредна на равнината Oyz.

Подравняване на координатните равнини: x=0, y=0, z=0.

Може да се даде права линия в пространството:

) като линия за пресичане на две равнини, tobto. ривнянска система:

А 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, А 2 x+B 2 y+C 2z + D 2 = 0;

) със своите две точки М 1(х 1,г 1, z 1) и М 2(х 2,г 2, z 2), дори да е прав, това, което трябва да премине през тях, се дава от равни:

=;

) точка М 1(х 1,г 1, z 1), която ї th лежи, че вектор a (m, n, p), ї th е колинеарен. Тоди се приписва директно на равни:

Уравненията се наричат ​​канонични прави.

Векторът a се нарича пряк вектор на правата.

Параметричното подравняване на правата линия се отнема, приравнявайки кожата от окото към параметъра t:

х 1+mt, y = y 1+ nt, z = z1 + Пт.

Разв'азючи система като система от линейни подравнявания, където неизвестните x и y, стигат до прави линии в проекции или до сочещи прави линии:

Mz + a, y = nz + b

Можете да преминете към каноничните рангове, като знаете z от дермалния ранг и добавите стойността:

В горните нива (3.2) може да се премине към каноничното по друг начин, за да се знае дали точката на правата и правият вектор n = , de n 1(А 1, Б 1, ° С 1) и n 2(А 2, Б 2, ° С 2) са нормални вектори на дадени области. Ако един от знаците m, n и r в равни (3.4) е равен на нула, то числото на двойната дроб трябва да се постави равно на нула, т.е. система

равна система ; такава линия е перпендикулярна на оста Ox.

Система системата е еднакво силна x = x 1,y=y 1; права линия, успоредна на оста Oz.

Цел на курсовата работа:право нагоре по онази плоска площ до откритото пространство.

Ръководител на курсовата работа:погледнете зоната близо до откритото пространство, тя е равна, и погледнете апартамента близо до откритото пространство.

Структурата на курсовата работа:влизане, 2 глави, висновок, списък на използваните джерел.

Глава 1

.1 Точка на пресичане на права линия с равнина

Нека площта Q е дадена на извития тип: Ax+By+Cz+D=0, а линията L на параметричния тип: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, в противен случай, за да се знае пресечната точка на правата L и равнината Q, е необходимо да се знае стойността на параметъра t, за който точката на правата лежи на равнината. Чрез заместване на стойностите на x, y, z, равнината е равна и чрез извличане на t изваждаме

Стойността на t ще бъде същата, тъй като равнината не е права и успоредна.

Измийте успоредността и перпендикулярността на правата и равнината

Гледайки директно към L:

и плоскост?

Права L и равнина? :

а) перпендикулярно на едно към едно или по-малко към едно, ако правият вектор е прав и нормален вектор колинеарни равнини, tobto.

б) успоредни на едно към същото и по-малко към същото, ако векторите і перпендикулярно, т.е.

i Am + Bn + Ср = 0.

.2 Кът миж прав и равен

кут ?между нормалния вектор на областта i чрез директен вектор се изчислява по следната формула:

Греда от апартаменти

Съвкупността от всички равнини, които минават през дадена права L, се нарича сноп от равнини, а правата L се нарича цял сноп. Нека целият лъч е даден от равни

Умножаваме ранга на другата система по термин по термин и го съхраняваме с първите рангове:

А 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(А 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

Ако е равно, първата стъпка трябва да бъде x, y, z i, след това за произволна числова стойност ?определете района. Така че, тъй като дадено изравняване е последното от две равенства, тогава координатите на точката, които са удовлетворени от тези равенства, са удовлетворени от това равенство. Татко, независимо от числовата стойност ?предвид подравняването на равнините, които минават през дадената права линия. Otrimane rivnyannia є подравняване на лъч от равнини.

дупето.Напишете равнината равнина, минаваща през точка М 1(2, -3, 4) успоредни на прави

Решение.Записваме подравняването на връзката на равнините, които минават през точката M1 :

A (x - 2) + B (y + 3) + C (z - 4) = 0.

Тъй като равнината е необходима, но е успоредна на тези линии, тогава нормалният вектор се дължи на двете перпендикулярни на линиите. цих прави линии. Следователно като вектор N можете да вземете вектор tv_r vector_v:

Също така A \u003d 4, B \u003d 30, C \u003d - 8. Заместване на известните стойности на A, B, Z

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) = 0 или 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

дупето.Намерете точката на правата тази площ 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Решение.Нека запишем подравняването на тази права линия с параметричния изглед:

Нека си представим qi vrazi за x, y, z изравняване на равнината:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Представете си t = 1 параметрично подравняване на правата линия. За вкъщи

Освен това правата се пресича в точка M(3, 2, 7).

дупето.Знай кут ?между права линия тази площ е 4x-2y-2z+7=0. Решение.Нека коригираме формулата (3.20). така як

тогава

татко, = 30°.

Правата линия в откритото пространство не е тясна, така че можете да я зададете по-лесно с помощта на приятел. От училищния курс по евклидова геометрия има аксиома, „през две точки в пространството можете да начертаете права линия i, преди това само една.“ Също така на диаграмата правата линия може да бъде дадена от две фронтални и две хоризонтални проекции на точки. Но ако това е права линия - това е права линия (а не крива), тогава с пълна основа можем да комбинираме точки в права линия и да вземем фронтална и хоризонтална проекция на права линия (фиг. 13).

Доказателството е обърнато: в равнините на проекциите V и H са дадени две проекции a "b" и ab (фиг. 14). Начертаваме през тях равнината, перпендикулярна на равнините на проекциите V и H (фиг. 14), линията на перетината на равнините ще бъде права линия AB.

.1 Различни наклони

На склоновете, които разгледахме, правите линии не бяха нито успоредни, нито перпендикулярни на проекционните равнини V, H, W. Вонята може да бъде vishіdnimi или ниска (rozíbratisya независимо).

На фиг. 17 показва правата линия на дъгата, поставена от три издатини. Нека да разгледаме семейството от прави линии, които може да са важни авторитети - правите линии да са успоредни на проекционната равнина.

На фиг. 17 показва правата линия на дъгата, поставена от три издатини.

Нека да разгледаме семейството от прави линии, които може да са важни авторитети - правите линии да са успоредни на проекционната равнина.

а) Хоризонтална права линия (накше - хоризонтална, права хоризонтална линия). Това е името на правата линия, успоредна на хоризонталната равнина на проекциите. Изображението й близо до пространството на графиката е показано на фиг. осемнадесет.

Хоризонталът е лесен за разпознаване на сюжета "в прикритието": нейната фронтална проекция винаги е успоредна на оста ОХ. Като цяло най-важната хоризонтална мощност се формулира по следния начин:

По хоризонтала - челната проекция е успоредна на оста ОХ, а хоризонталната проекция е в естествен размер. За предпочитане хоризонталната проекция на хоризонталата върху диаграмата ви позволява да обозначите разреза й към равнината V (разрез b) и към равнината W (y) - фиг.18.

б) Фронтална права линия (фронтална, права линия на фронталното подравняване) - не е права, успоредна на фронталната равнина на проекциите. Ние не сме илюстративни за действителните изображения, но сме показани от epures (фиг. 19).

Характерна е фронталната диаграма, която е хоризонтална и профилни проекции, успоредни на осите X и Z, като фронталната проекция се разширява доста и показва естествения размер на фронтала. За предпочитане на диаграмата изрежете право напред до хоризонтални (a) и профилни (плоски) проекции. Отже, още веднъж:

При фронталната хоризонтална проекция е успоредна на оста ОХ, а фронталната проекция е в естествен размер.

в) Профилна права линия. Очевидно тя е права, успоредна на профилната равнина на издатините (фиг. 20). Също така е очевидно, че естествената стойност на профилната права линия е върху профилната равнина на проекциите (проекция a "b" - фиг. 20) и тук можете да бачите кути я нахилу към равнините H (a) и V ( б).

Идва семейство от прави линии, искащо и важно полагане, като прави линии - не проектиращи прави линии.

Правите линии, перпендикулярни на равнините на проекциите, се наричат ​​​​проектиращи (по аналогия с проектиращите промени - фиг. 21).

АВ кв. H - прав хоризонтално издаден; кв. V - прав фронтално издаден; кв. W - прав профил-изпъкнал.

2.2 Кът миж прав и плосък

плосък квадратен трикутник

Метод на правоъгълен триаут

Прав zagalnogo лагер, както казахме, наклонен към равнините на проекциите под един вид пълен кут.

Разрезът между правата линия и тази равнина се проектира от разреза, ние добавяме правата линия към тази проекция върху равнината (фиг. 22). Kut a vyznaê kut nakhily vіdrízka AB до pl. H. W фиг. 22: Ab1 | 1пл. H; Bb1 = Bb – Aa = Z 22

В трико ABb1 с права кройка кракът Ab1 има нормална хоризонтална проекция ab; а другият крак Bb1 е най-скъпата търговска точка A и B на площада. H. Тъй като точките на хоризонталната проекция на правата линия ab са начертани перпендикулярно на новата стойност на Z, тогава, като вземем точката a с взетата точка b0, вземаме хипотенузата ab0, равна на естествената стойност на AB. На диаграмата изглежда така (мал. 23):

По подобен начин правата се простира до фронталната равнина на проекциите (b) - фиг. 24.

За да отдадем уважение: в случай на постройка върху хоризонталната директна проекция, добавяме към допълнителната директна стойност Z; когато е на предната проекция - стойността на Y.

Методът за гледане напред се нарича трикутник с права кройка. С помощта на йога можете да определите естествения размер на всякакъв вид пукнатина, която ни плаче, както и да изрежете йога болезнено до равнините на проекциите.

Взаимно права линия

Преди това разгледахме хранителната стойност на точка от права линия: ако точка лежи на права линия, тогава проекциите лежат върху едномерни проекции на права линия (правилото за принадлежност, разд. Фиг. 14). От гимназиалния курс по геометрия е възможно да се познае: две прави линии се преплитат в една точка (в противен случай: ако две прави правят една двойна точка, тогава миризмите се преплитат в другата точка).

Проекциите на правите линии, които са преплетени, на диаграмата могат да имат ясно изразен знак: проекциите на точката на протектора лежат на една и съща линия на връзката (фиг. 25). Ясно е: точка K лежи и AB и CD; на графиката точка k лежи на една и съща линия, свързваща точка k.

Прави AB и CD - преоформяне

Идвайки от възможните взаимни roztashuvannyah две прави линии на открито - прави кръстосани. Възможно е падане, ако правите линии не са успоредни, но не се застъпват. Такива прави линии могат да бъдат положени в две успоредни равнини (фиг. 26). Това дори не означава, че две са прави, че се пресичат, лежат об'язково в две успоредни равнини; а още по-малко тези, през които могат да се прекарат две успоредни равнини.

Проекциите на две прави, които се пресичат, могат да се припокриват, но точките на тяхното припокриване не лежат на една и съща линия на връзката (фиг. 27).

Важно е да се види храненето на конкуриращите се точки (фиг. 27). На хоризонталната проекция има две точки (e, f), но в челната воня те се превръщат в една (e "f"), освен това е неразумно, тъй като точката се вижда, тъй като не се вижда (конкуриращи се точки ).

Две точки, чиито фронтални проекции се срутват, се наричат ​​фронтално-конкуриращи се.

Видяхме такъв обрат по-рано (фиг. 11), но от онези, които „взаимно поставят две точки“. Следователно правилото е в застой:

От две конкуриращи се точки се вижда тази, чиято координата е по-голяма.

3 фиг. 27 се вижда, че хоризонталната проекция на точка E (e) е далеч от оста OX, долната точка е f. Отново Y координатата на точката "e" е по-голяма, по-ниска в точка f; по-късно ще се вижда точка E. На предната проекция точка f "е поставена в арките като невидима.

Още нещо: точката e лежи върху проекцията на правата ab, а tse означава, че на фронталната проекция правата a "b" е начертана "отгоре" на правата c "d".

Паралелни линии

Паралелните линии на графиката са лесни за разпознаване на външен вид, но едномерните проекции на две успоредни линии са успоредни.

Да отдам уважение: същото! Тобто. фронталните проекции са успоредни помежду си, а хоризонталните проекции са помежду си (фиг. 29).

Доказателство: на фигура 28 в пространството са дадени две успоредни прави AB и CD. Нека начертаем през тях проектиращите равнини Q и T - те ще изглеждат успоредни (защото като две прави линии, които се припокриват, една равнина, успоредна на две, се припокрива с права линия, другата равнина, тогава тези равнини са успоредни).

На диаграма 30а задачите са успоредни на прави линии, на диаграма 30b правите се пресичат, въпреки че в тази и в друга посока фронталната и хоризонталната проекция са взаимно успоредни.

Използвам обаче един трик, с помощта на който е възможно да се зададат взаимно позициите на две профилни прави, без да се навлиза в третите проекции. За което е достатъчно да има две проекции с допълнителни линии, както е показано на фигура 30. Ще изглежда, че пресечните точки на тези линии лежат на една и съща линия на свързване - профилните линии са успоредни една на друга - фиг. 30а. Yakshcho nі - пресичане на профилни прави линии (фиг. 306).

Характеристики на падането на правата линия:

Проекции на директен разрез

Сякаш две прави линии на дъгата са подпъхнати под прав срез, техните издатини правят срез не равен на 90° (фиг. 31).

Части в напречната греда на две успоредни равнини на третата в напречната греда изглеждат успоредни на прави линии, тогава хоризонталните проекции ab и cd са успоредни.

За да повторим операцията и да проектираме прави линии AB и CD върху фронталната равнина на проекциите, ще вземем същия резултат.

Специален наклон е две профилни прави линии, зададени от фронтални и хоризонтални проекции (фиг. 30). Както беше казано, за профилните линии фронталната и хоризонталната проекции са взаимно успоредни, но за този знак е невъзможно да се прецени паралелността на двете профилни линии, без да се предизвика третата проекция.

Управител. Опитайте с правоъгълен трикон ABC с крак BC, лежащ на права MN (фиг. 34).

Решение. От диаграмата се вижда, че правата MN е хоризонталната. И зад ума трикутникът е с права кройка.

Скоростта на мощността на проекцията на директния kut е пропусната от точката "а" перпендикулярна на проекцията mn (върху квадрат H, нашата директна кута се проектира без създаване) - фиг. 35.

Като допълнителна права линия, която трябва да се проведе от края на среза под директния срез до тази точка, печелим частта от хоризонталната проекция на правата линия и самата bm (фиг. 36). Нека да разгледаме стойността на разликата в Z координатите, взета от предната проекция, и да вземем точката "а" от края на премахнатия венец. Взимаме действителния размер на крака AB (ab ; аб).

Фигури 31 и 32 показват две прави линии с ъглово положение, които правят 90 ° разрез между тях (на фиг. 32 правите линии лежат в една и съща равнина P). Yak bachimo, на диаграми на kut, проекции на прави линии, не до 90 °.

Нека ценим силата на света, като погледнем проекцията на директна кута от обидна кауза:

Тъй като едната страна на правата кута е успоредна на равнината на проекцията, тогава правата кута се проектира върху тази равнина без проблем (фиг. 33).

Ние не водим до една и съща позиция (произвеждаме я независимо), но можем да разгледаме шансовете, сякаш можете да следвате това правило.

Освен това, важно е, че зад ума едната страна на директната кута е успоредна на това дали е равнина на проекция, тогава едната страна ще бъде или фронтална, или хоризонтална (може би профилна права линия) - фиг. 33.

А фронталното и хоризонталното на диаграмата лесно се разпознават „прикрито“ (една от проекциите е успоредна на оста ОХ) или лесно можете да го индуцирате, ако е необходимо. В допълнение, челната линия има най-важната сила: една от проекциите на езика на obov изглежда като

Според правилото на влагата, ние знаем фронталната проекция на точка b "зад връзката на спомагателната линия. Имаме крака AB (a" b "; ab).

За да поставите крака BC от страната MN, на гърба е необходимо да посочите естествения размер на ръката AB (a д ; аб). За кой е бърз, вече имаме правилото на трикутника с права кройка.

ВЪШНОВОК

Zagalni rívnyannya право напред

Подравняването на правата линия може да се разглежда като подравняването на линията на перетина на две равнини. Както беше разгледано повече, площта на векторната форма може да бъде зададена равна:

× + D = 0, де

Нормална повърхност; - радиус - векторът на малка точка от равнината.

Нека пространството определя две равнини: × +D 1= 0 и × +D 2= 0, нормални вектори и координати: (А 1, Б 1, ° С 1), (А 2, Б 2, ° С 2); (x, y, z). Подобни криви за прави линии във векторна форма:

Zagalní vnyannya права линия в координатна форма:

За което трябва да знаете пълната точка на правата линия на числата m, n, p. Ако е така, директният вектор може да бъде известен като векторно разширение на вектор в нормалата към дадени равнини.

Равност на зоната в близост до пространството

Изпратете точки от данни и ненулев вектор (тобто , де

измивам е нормалният вектор.

Якщо , , , ..., тогава равно може да се промени, за да изглежда . Числа , і , і

Хайде - като точка от равнината, - Вектор, перпендикулярен на равнината. река Тоди е изравняване на повърхността.

Коефициент , ; близо до равна площ е координатите на вектора, перпендикулярен на равнината.

Как да разделим равнината на число, равно на дължината на вектора , тогава отнемаме плоскостта на областта на нормалната форма.

Равнина на равнината, като преминаване през точка i е перпендикулярен на ненулев вектор, .

Be-yak равен на първата стъпка задава координатното пространство на една равнина, която е перпендикулярна на вектора с координати .

Ривняния е равна на равнината, която минава през точката i перпендикулярно на ненулев вектор.

Зона на кожата зададен в система от правоъгълни координати , , равен на ума.

имайте предвид, какви са средните коефициенти , , е ненула, задава пространството за зоната на системата от правоъгълни координати. Областта в близост до пространството е зададена в системата от правоъгълни координати , , равен на ума , имайте предвид, шо.

Правилно е това връщане на твърдостта: равно на ума измивам задайте пространството за системата от правоъгълни координати.

Де , , , , ,

Площта в близост до интервала се присвоява на равни , де , , , - десетични числа, освен това , , не е равно на 0 и задайте координатите на вектора наведнъж , перпендикулярен на тази равнина и наречен нормален вектор.

Изпратете точки от данни и ненулев вектор (тобто ). Същата векторна плоска област , де - достатъчна точка на равнината) изглежда - подравняване на областта зад точката и нормалния вектор.

Изравняване на кожата на първата стъпка измивам поставени в правоъгълна координатна система една равнина, за която векторът е нормалният вектор.

Якщо , , , , след това равно може да се промени, за да изглежда . Числа , і rivní vídzhina vídrіzkіv, yakí vіdsіkayut плосък на осите , і очевидно. На това равно наречена равна на площта "при ветровете".

СПИСЪК НА ПОБЕДИТЕ НА ДЖЕРЕЛ

1.Стереометрия. Геометрия в космоса. Александров A.D., Werner A.L., Rizhik V.I.

2.Александров П. С. Курс по аналитична геометрия и линейна алгебра. - Главно издание на физико-математическата литература, 2000. - 512 с.

.Беклемишев Д.В. Курс по аналитична геометрия и линейна алгебра, 2005. – 304 с.

.Илин В. А., Позняк Е. Г. Аналитична геометрия: Навч. за университети. - 7-ми изглед., Sr., 2004. - 224 с. - (Курс по математика за напреднали и математическа физика.)

.Ефимов Н. В. Кратък курс по аналитична геометрия: Навч. помогне. - 13-ти изглед., стерео. –, 2005. – 240 с.

.Канатников О.М., Крищенко О.П. Аналитична геометрия. -2-ри изглед. -, 2000, 388 s (Сер. Математика в Техническия университет

.Кадомцев SB. Аналитична геометрия и линейна алгебра, 2003. – 160 с.

.Федорчук В. В. Курс по аналитична геометрия и линейна алгебра: Навч. пособник, 2000. - 328 с.

.Аналитична геометрия (записки от Ю.В. Троицки, 1 курс, 1999/2000) – 118 с.

.Бортаковски, A.S. Аналитичната геометрия в приложения и задачи: Навч. Посибник/О.С. Бортаковски, А.В. Пантелиев. - Вищ. училище, 2005. - 496 с. : ил. - (Поредица "Приложна математика").

.Морозова Е.А., Скляренко Е.Г. Аналитична геометрия. Методическо ръководство 2004. - 103 с.

.Методически указания и работна програма за курса "Вища математика" - 55 с.

Двама са прави в успоредната шир, сякаш вонята от лежане в един апартамент не се припокрива.

Две прави линии се пресичат в пространството, сякаш няма такава област, в която смрад да легне.

Знаци за пресичане на прави линии. Ако една от двете прави линии лежи на deakíy и lagnosti, а друга права линия пресича равнината в точка, ако първата права линия не се припокрива, тогава правите линии се пресичат.

Равнината е права, така че равнината, успоредна, да не се застъпва, така че вонята да не заглушава спалните точки.

Знак за успоредност на правата и равнината. Ако е права, ако не припокрива равнината, ако е успоредна, ако е права, ако припокрива равнината, тя е успоредна на равнината.

Сила на равнината и правата, успоредна на равнината:

1) ако равнината трябва да се движи направо, успоредно на другата равнина, и ако пресича равнината, тогава линията на равнините е успоредна на тази права линия;

2) ако през кожата от две успоредни прави линии, равнините, които се припокриват, тогава линията на тяхната линия е успоредна на тези прави линии.

Две равнини са успоредни, сякаш вонята не може да бъде спящи точки.

Признаци за паралелност на равнините, сякаш две прави равнини от една и съща равнина, които се припокриват, изглеждат успоредни на две прави равнини, тогава две равнини са успоредни.

Правата е перпендикулярна на равнината, както ако е перпендикулярна на правата, така че равнината лежи.

Признаци за перпендикулярност на права линия и равнина: ако права линия е перпендикулярна на две прави линии, които се припокриват, лежат близо до равнината, тогава тя е перпендикулярна на равнината.

Силата на правата, перпендикулярна на равнината.

1) ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнината, то другата права е перпендикулярна на центъра на равнината;

2) права, перпендикулярна на една от двете успоредни равнини, перпендикулярна на другата равнина.

Знак за перпендикулярност на равнините. Ако равнината трябва да се движи перпендикулярно на другата равнина, тя е перпендикулярна на тази равнина.

Права линия, която пресича равнината, но не е перпендикулярна на нея, се нарича крехкост на равнината.

Теорема за три перпендикуляра. За да бъде права, която лежи близо до плоската, булата е перпендикулярна на болестта, е необходимо и достатъчно, така че тя да е перпендикулярна на проекцията на болната върху плоската.

На бебето 1 направо b− кхила на плоскост, направо ° С- проекция а┴ ч, тогава а┴ b

Кутом между крехкостта и плоскостта се нарича разрез между крехкостта и проекцията върху плоскостта. На малката 2 направо b- похила до плоското, направо а- проекция на чилоя върху плоското, α - разрез между чилоя и плоското.

Двулицевият kutvoryutsya в миналото peretina на две равнини. Правата линия, отрязана от края на обхвата на две равнини, се нарича ръб на двустранния разрез. Две pіvploschini іz zagalny ребро се наричат ​​лицата на двулицев кут.

Napіvní зоната, между която zbіgaєtsya с ръба на двустранната кута и как да се раздели двустранната кута на две равни кути, се нарича двусекторна плоска.

Двулицевата кройка се свежда до подобна линейна кройка. Линейният разрез на двустранен разрез се нарича разрез между перпендикуляри, изтеглени от лицето на кожата към ръба.

Призма

Багатоедър, две страни на река н- косинци, които лежат близо до успоредни равнини, и реща нлица - успоредници, нар н- Vugílnoy призма.

две н- kosintsya е podstavami призма, паралелограми - bíchnymi лица. Страните на лицата се наричат ​​ръбове на призмата, а краищата на ръбовете се наричат ​​върхове на призмата.

Височината на призмата се нарича височина на перпендикуляра, разположението между основите на призмата.

Диагоналът на призмата се нарича кръст, който свързва два върха на основите, които не лежат на едно и също лице.

Правата призма е призма, чиито ребра са перпендикулярни на равнините на основите (фиг. 3).

Крехка призма се нарича призма, чиито ребра са крехки до плоскостта на основите (фиг. 4).

Obsyag и площта на повърхността на призмата на височината са известни по формулите:

Площта на страничната повърхност на правата призма може да се изчисли по формулата.

Обем на тази повърхносткрехките призми (фиг. 4) също могат да се изчислят по същия начин: de ΔPNK - надрязване, перпендикулярно на ръба l.

Правата призма се нарича права призма, основата на която е правилен bagatokutnik.

Призмата се нарича паралелепипед, а всичките й лица се наричат ​​успоредници.

Правият паралелепипед е паралелепипед, чиито ребра са перпендикулярни на равнините на основите.

Прав паралелепипед се нарича прав паралелепипед, чиято основа е прав разрез.

Степен на диагонала на правоъгълен паралелепипед

Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е сумата от квадратите на три його вимирива: д² = а² + b² + ° С², де а, б, в-Дожина ребра, които излизат от един връх, д- диагонал на паралелепипеда (фиг. 3).

Обемът на правоъгълен паралелепипед е известен от формулата V=abc.

Куб се нарича правоъгълен паралелепипед с еднакви ребра. Всички лица на куба са квадрати.

Обем, повърхност и диагонал на куб с ръб се познават по формулите:

V = а³, С = 6а² д² = 3 а².

пирамида

Багатоедър, едната страна на който е многокутник, а другите лица са трикутници от стръмен връх, се наричат ​​пирамида. Багатокутникът се нарича основата на пирамидата, а трикутниците се наричат ​​бични лица.

Височината на пирамидата се нарича височината на перпендикуляра, прекаран от върха на пирамидата към повърхността на основата.

Ако всички странични ребра на пирамидата са равномерни или ако са наклонени до равнината на основата под същия ъгъл, тогава височината се спуска до центъра на описания кол.

Ако страните на пирамидата са наклонени до равнината на основата под един и същ кут (двустранни кути, когато стоят равни), тогава височината пада до центъра на вписания кол.

Пирамидата се нарича правилна, тъй като нейната основа е правилният многокутник, а височината попада в центъра на вписаната описана колба на многокутника, която лежи в основата на пирамидата. Височината на бичния аспект на правилната пирамида, изтеглена от нейните върхове, се нарича апотема.

Например на малката 5 е изобразена правилната пирамида от трико SABC(тетраедър): AB= пр.н.е= AC= а, OD=r- радиусът на колчето, вписано в трикутника ABC, ОА=Р- радиуса на колчето, описаното бяло на трико ABC, ТАКА=ч- Висота

пирамиди, SD = аз-апотема, - кут нахили

ребра SAкъм равнината на основата, - изрязване на наклона на страничната повърхност SBCдо основата на пирамидата.

Трикотажната пирамида се нарича тетраедър. Тетраедърът се нарича правилен, сякаш ръбовете му са равни.

Obsyag piramidi тази област я повърхностно познавам по формулите:

Де ч- Височината на пирамидата.

Площта на квадрата на повърхността на правилната пирамидада знаете зад формулата, де - апотемата на пирамидата.

Пресечена пирамида се нарича многоедър, чиито върхове служат като върхове на основата на пирамидата, а върховете на нейната част се нарязват напречно на равнината, успоредна на основата на пирамидата. Представете пресечена пирамида - като bagatokutniki.

Obsyag пресечени piramidi знам зад формулата , de - площта на основата, h - височината на пресечената пирамида.

Правилни многоедри

Правилен bagatohedron се нарича пухкав bagatohedron, който има всички лица - редовни bagatokutniki с един и същи брой страни и същия брой ребра се събират в кожата на върха на bagatohedron.

Лицата на правилния многоедър могат да бъдат равностранни трикутници, или квадрати, или правилни пятикутници.

Точно както обикновеният многоедър има лица - правилни триъгълници, тогава обикновените многоедри имат правилен тетраедър (vin maє 4 лица), правилен октаедър (vin maє 8 лица), правилен икосаедър (vin maє 20 лица).

Ако правилният многоедър има квадратни лица, тогава многоедърът се нарича куб или хексаедър (може да има 6 лица).

Ако правилният многоедър има лица с правилни п'ятикутници, тогава многоедърът се нарича додекаедър (може да има 12 лица).

цилиндър

Фигура се нарича цилиндър, отрязан в резултат на обвиване на правоъгълник от едната страна.

На малката 6 е права - цялата обвивка; - Висота, л- Задоволителен; ABCD- аксиален разрез на цилиндъра, отрязан от обвивката на правоъгълника отстрани. Обемът на тази повърхност на цилиндъра е известен по формулите:

, , , , де Р-радиус на основата, ч- Висота, л- фиксирайте цилиндъра.

Конус

Фигура се нарича конус, а обвивката на право изрязано трико се отрязва до един от катетрите. На малката 7 прави ОВ- всички опаковки; ОВ = ч- Висота, л- удовлетворяващо;Δ ABC- аксиален разрез на конуса, отрежете обвивките на правоскроения трикутник OBCдо крака ОВ.