Знак модуля, мабуть, одне з найцікавіших явищ у математиці. У зв'язку з цим у багатьох школярів постає питання, як будувати графіки функцій, що містять модуль. Давайте докладно розберемо це питання.

1. Побудова графіків функцій, що містять модуль

приклад 1.

Побудувати графік функції y = x 2 - 8 | x | + 12.

Рішення.

Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається із значенням для y(x), тому дана функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1).

приклад 2.

Наступний графік виду y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Яка область значень запропонованої функції? (y ≥ 0).

- Як розташований графік? (Над віссю абсцис або торкаючись її).

Це означає, що графік функції одержують таким чином: будують графік функції y = x 2 – 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, що лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (Рис. 2).

Приклад 3.

Для побудови графіка функції y = | x 2 - 8 | x | + 12 | проводять комбінацію перетворень:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Відповідь: рисунок 3.

Розглянуті перетворення справедливі всім видів функцій. Складемо таблицю:

2. Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі»

Ми вже познайомилися з прикладами квадратичної функції, що містить модуль, а також із загальними правилами побудови графіків функцій виду y = f(|x|), y = |f(x)| та y = |f(|x|)|. Ці перетворення допоможуть нам під час розгляду наступного прикладу.

Приклад 4.

Розглянемо функцію типу y = |2 – |1 – |x|||. Вираз, що задає функцію, містить вкладені модулі.

Рішення.

Скористаємося методом геометричних перетворень.

Запишемо ланцюжок послідовних перетворень і зробимо відповідне креслення (рис. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Розглянемо випадки, коли перетворення симетрії та паралельного перенесення є основним прийомом при побудові графіків.

Приклад 5.

Побудувати графік функції виду y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 .

Рішення.

Перш ніж будувати графік, перетворимо формулу, якою задана функція, та отримаємо інше аналітичне завдання функції (рис. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Розкриємо у знаменнику модуль:

За x > -2, y = x – 2, а за x< -2, y = -(x – 2).

Область визначення D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значень E(y) = (-4; +∞).

Точки, в яких графік перетинає з осі координат: (0; -2) та (2; 0).

Функція зменшується за всіх x з інтервалу (-∞; -2), зростає при x від -2 до +∞.

Тут нам довелося розкривати знак модуля та будувати графік функції для кожного випадку.

Приклад 6.

Розглянемо функцію y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Рішення.

Розкриваючи знак модуля, необхідно розглянути різноманітну комбінацію знаків підмодульних виразів.

Можливі чотири випадки:

(x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 та x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, при x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 і x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, при x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тоді вихідна функція матиме вигляд:

(3, при x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, при -1 ≤ x< 2.

Отримали кусково-задану функцію, графік якої зображено малюнку 6.

3. Алгоритм побудови графіків функцій виду

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b.

У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції?

Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 та 2. При x = -1 та x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхом ми наблизилися до правила побудови таких графіків:

Графіком функції виду y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) та по одній контрольній точці на лівому та правому нескінченних ланках.

Завдання.

Побудувати графік функції y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | та знайти її найменше значення.

Рішення:

Нулі підмодульних виразів: 0; -1; 1. Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольна точка праворуч (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7). min f(x) = 2.

Залишились питання? Не знаєте, як збудувати графік функції з модулем?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Урок 5. Перетворення графіків із модулями (факультативне заняття)

Ціль: освоїти основні навички перетворення графіків із модулями.

I. Повідомлення теми та мети уроку

II . Повторення та закріплення пройденого матеріалу

1. Відповіді на запитання щодо домашнього завдання (розбір невирішених завдань).

2. Контроль засвоєння матеріалу (писемне опитування).

Варіант 1

f (х), побудувати графік функції у = f(-х) + 2?

2. Побудуйте графік функції:

Варіант 2

1. Як, знаючи графік функції у = f (х), побудувати графік функції у = - f(х) - 1?

2. Побудуйте графік функції:

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

З матеріалу попереднього уроку видно, що засоби перетворення графіків надзвичайно корисні при їх побудові. Тому розглянемо основні способи перетворення графіків, що містять модулі. Ці способи є універсальними та придатні для будь-яких функцій. Для простоти побудови розглядатимемо шматково-лінійну функцію f (х) з областю визначення D (f ), графік якої представлений малюнку. Розглянемо три стандартні перетворення графіків з модулями.

1) Побудова графіка функції у = | f(x) |

f /(x), якщо Дх)>0,

За визначенням модуля отримаємо:Це означає, що з побудови графіка функції у = | f (x )| треба зберегти частину графіка функції у = f (x ), для якої у ≥ 0. Ту частину графіка функції у = f (х), для якої у< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Побудова графіка функції у = f(|x|)

Г/О), якщо Дх)>0,

Розкриємо модуль та отримаємо:Тому для побудови графіка функції у = f(|x |) треба зберегти частину графіка функції у = f (х), для якої х ≥ 0. Крім того, цю частину треба симетрично відобразити вліво щодо осі ординат.

3) Побудова графіка рівняння |у| = f(x)

За визначенням модуля маємо, що за f (х) ≥ 0 треба побудувати графіки двох функцій: у = f(х) та у = - f (х). Це означає, що з побудови графіка рівняння |у| = f (х) треба зберегти частину графіка функції у = f (х), для якої ≥ 0. Крім того, цю частину треба симетрично відобразити вниз щодо осі абсцис.

Зауважимо, залежність |у| = f (х) не задає функцію, тобто при х∈ (-2,6; 1,4) кожному значенню х відповідають два значення у. Тому малюнку представлений саме графік рівняння |у| = f(х).

Використовуємо розглянуті способи перетворення графіків з модулями для побудови графіків складніших функцій та рівнянь.

Приклад 1

Побудуємо графік функції

Виділимо у цій функції цілу частинуТакий графік виходить при зміщенні графіка функції у = -1/ x на 2 одиниці вправо та на 1 одиницю вниз. Графіком цієї функції є гіпербола.

Приклад 2

Побудуємо графік функції

Відповідно до способу 1 збережемо частину графіка з прикладу 1, для якої у ≥ 0. Ту частину графіка, для якої у< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Приклад 3

Побудуємо графік функції

Використовуючи спосіб 2, збережемо частину графіка прикладу 1, для якої х ≥ 0. Цю збережену частину, крім того, дзеркально відобразимо вліво щодо осі ординат. Отримаємо графік функції, симетричний щодо осі ординат.

Приклад 4

Побудуємо графік рівняння

Відповідно до способу 3 збережемо частину графіка з прикладу 1, для якої ≥ 0. Крім того, цю збережену частину симетрично відобразимо вниз щодо осі абсцис. Отримаємо графік цього рівняння.

Вочевидь, розглянуті методи перетворення графіків можна використовувати разом.

Приклад 5

Побудуємо графік функції

Використовуємо графік функціїпобудований у прикладі 3. Щоб побудувати даний графік, збережемо частини графіка 3, для яких у ≥ 0. Ті частини графіка 3, для яких у< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

У тих випадках, коли модулі залежать іншим чином (ніж у способах 1-3), необхідно ці модулі розкрити.

Приклад 6

Побудуємо графік функції

Вирази х - 1 та x + 2, що входять під знаки модулів, змінюють свої знаки у точках х = 1 і x = -2 відповідно. Зазначимо ці точки на координатній прямій. Вони розбивають її на три інтервали. Використовуючи визначення модуля, розкриємо модулі у кожному проміжку.

Отримаємо:

1. При

2. При

3. При

Побудуємо графіки цих функцій, враховуючи інтервали для змінної х, де розкривалися знаки модуля. Отримаємо ламану пряму.

Досить часто при побудові графіків рівнянь з модулями для їхнього розкриття використовують координатну площину. Пояснимо це наступним прикладом.

Приклад 7

Побудуємо графік рівняння

Вираз у - х змінює свій знак на прямий у = х. Побудуємо цю пряму - бісектрису першого та третього координатних кутів. Ця пряма розбиває точки площини на дві області: 1 – точки, розташовані над прямою у – х; 2 - точки, розташовані під цією прямою. Розкриємо модуль у таких областях. В області 1 візьмемо, наприклад, контрольну точку (0; 5). Бачимо, що для цієї точки вираз у - х > 0. Розкриваючи модуль, отримаємо: у - х + у + х = 4 або y = 2. Будуємо таку пряму у межах першої області. Очевидно, в області 2 вираз у - х< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Побудуйте графік дробово-лінійної функції та рівняння:

4. Побудуйте графік функції, рівняння, нерівності:

VIII. Підбиття підсумків уроку

Знак модуля, мабуть, одне з найцікавіших явищ у математиці. У зв'язку з цим у багатьох школярів постає питання, як будувати графіки функцій, що містять модуль. Давайте докладно розберемо це питання.

1. Побудова графіків функцій, що містять модуль

приклад 1.

Побудувати графік функції y = x 2 - 8 | x | + 12.

Рішення.

Визначимо парність функції. Значення для y(-x) збігається із значенням для y(x), тому дана функція парна. Тоді її графік симетричний щодо осі Oy. Будуємо графік функції y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 та симетрично відображаємо графік щодо Oy для негативних x (рис. 1).

приклад 2.

Наступний графік виду y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Яка область значень запропонованої функції? (y ≥ 0).

- Як розташований графік? (Над віссю абсцис або торкаючись її).

Це означає, що графік функції одержують таким чином: будують графік функції y = x 2 – 8x + 12, залишають частину графіка, що лежить над віссю Ox, без змін, а частина графіка, що лежить під віссю абсцис, симетрично відображають щодо осі Ox (Рис. 2).

Приклад 3.

Для побудови графіка функції y = | x 2 - 8 | x | + 12 | проводять комбінацію перетворень:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Відповідь: рисунок 3.

Розглянуті перетворення справедливі всім видів функцій. Складемо таблицю:

2. Побудова графіків функцій, які у формулі «вкладені модулі»

Ми вже познайомилися з прикладами квадратичної функції, що містить модуль, а також із загальними правилами побудови графіків функцій виду y = f(|x|), y = |f(x)| та y = |f(|x|)|. Ці перетворення допоможуть нам під час розгляду наступного прикладу.

Приклад 4.

Розглянемо функцію типу y = |2 – |1 – |x|||. Вираз, що задає функцію, містить вкладені модулі.

Рішення.

Скористаємося методом геометричних перетворень.

Запишемо ланцюжок послідовних перетворень і зробимо відповідне креслення (рис. 4):

y = x → y = | x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Розглянемо випадки, коли перетворення симетрії та паралельного перенесення є основним прийомом при побудові графіків.

Приклад 5.

Побудувати графік функції виду y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 .

Рішення.

Перш ніж будувати графік, перетворимо формулу, якою задана функція, та отримаємо інше аналітичне завдання функції (рис. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Розкриємо у знаменнику модуль:

За x > -2, y = x – 2, а за x< -2, y = -(x – 2).

Область визначення D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значень E(y) = (-4; +∞).

Точки, в яких графік перетинає з осі координат: (0; -2) та (2; 0).

Функція зменшується за всіх x з інтервалу (-∞; -2), зростає при x від -2 до +∞.

Тут нам довелося розкривати знак модуля та будувати графік функції для кожного випадку.

Приклад 6.

Розглянемо функцію y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Рішення.

Розкриваючи знак модуля, необхідно розглянути різноманітну комбінацію знаків підмодульних виразів.

Можливі чотири випадки:

(x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 та x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, при x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 і x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, при x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тоді вихідна функція матиме вигляд:

(3, при x ≥ 2;

y = (-3, при x< -1;

(2x – 1, при -1 ≤ x< 2.

Отримали кусково-задану функцію, графік якої зображено малюнку 6.

3. Алгоритм побудови графіків функцій виду

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b.

У попередньому прикладі було легко розкрити знаки модуля. Якщо сум модулів більше, то розглянути всілякі комбінації знаків підмодульних виразів проблематично. Як у цьому випадку побудувати графік функції?

Зауважимо, що графіком є ​​ламана, з вершинами в точках, що мають абсциси -1 та 2. При x = -1 та x = 2 підмодульні вирази дорівнюють нулю. Практичним шляхом ми наблизилися до правила побудови таких графіків:

Графіком функції виду y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + ax + b є ламана з нескінченними крайніми ланками. Щоб побудувати таку ламану, достатньо знати всі її вершини (абсциси вершин є нулі підмодульних виразів) та по одній контрольній точці на лівому та правому нескінченних ланках.

Завдання.

Побудувати графік функції y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | та знайти її найменше значення.

Рішення:

Нулі підмодульних виразів: 0; -1; 1. Вершини ламаної (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольна точка праворуч (2; 6), зліва (-2; 6). Будуємо графік (рис. 7). min f(x) = 2.

Залишились питання? Не знаєте, як збудувати графік функції з модулем?
Щоб отримати допомогу репетитора – .

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Побудова графіків функцій, що містять знак модуля.

Сподіваюся, ви уважно вивчили пункт 23 і розумієте чим відрізняється функція виду від функції . Тепер розберемо ще кілька прикладів, які повинні вам допомогти при побудові графіків.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Маємо функцію виду, де.

1. Побудуємо спочатку графік підмодульної функції, тобто функції. Для цього виділимо цілу частину цього дробу. Нагадую, що це можна зробити двома способами: розділивши чисельник на знаменник «у стовпчик» або розписавши чисельник так, щоб у ньому з'явився вираз, кратний знаменнику. Виконаємо виділення цілої частини другим способом.

Отже, підмодульна функція має вигляд . Значить, її графіком є ​​гіпербола виду, зміщена на 1 одиницю вправо та 3 одиниці вгору.

Збудуємо цей графік.

2. Щоб одержати графік шуканої функції , необхідно частину побудованого графіка функції , що лежить вище осі Ох, залишити без змін, а частина графіка, що лежить нижче за осю Ох, відобразити симетрично у верхню півплощину. Виконаємо ці перетворення.

Графік збудований.

Абсцис точки перетину графіка з віссю Ох можна обчислити, вирішивши рівняння

y = 0, тобто. Отримуємо, що .

Тепер за графіком можна визначати всі властивості функції, знаходити найменше та найбільше значення функції на проміжку, вирішувати задачі з параметром.

Наприклад, можна відповісти на таке запитання. «При яких значеннях параметра арівняння має одне рішення?»

Проведемо прямі y =aпри різних значеннях параметра а. (Тонкі червоні прямі на наступному малюнку)

Видно, що якщо a<0 , то графік побудованої функції і пряма немає загальних точок, отже, рівняння немає жодного рішення.

Якщо 0< a<3 або a>3, то пряма y =aі побудований графік мають дві загальні точки, тобто рівняння має два розв'язки.

Якщо ж а = 0або а = 3, то рівняння має одно рішення, т. до. при цих значеннях апряма та графік функції мають рівно одну загальну точку.

приклад 2.Побудувати графік функції

Рішення

Побудуємо спочатку графік функції при негативних значеннях х. Якщо , то й тоді наша функція набуває вигляду , а потрібна функція -- це функція виду .

Графіком функції є гілка параболи «спрямована» вліво, зміщена на 4 одиниці праворуч. (Т. до. ми можемо уявити ).

Побудуємо графік цієї функції

і будемо розглядати тільки ту його частину, яка розташована правіше за осю Оy. Решта трьома.

Зверніть увагу, що ми вирахували значення ординати точки графіка, що лежить на осі ординат. Для цього достатньо обчислити значення функції при х = 0. У нашому випадку х = 0отримали y = 2.

Тепер побудуємо графік функції при х< 0 . Для цього збудуємо лінію, симетричну тій, що ми вже збудували, щодо осі Оу.

Таким чином, ми побудували графік шуканої функції.

Приклад 3. Побудувати графік функції

Це завдання вже зовсім непросте. Бачимо, що тут є обидва види функцій з модулем: і , і . Будуватимемо по порядку:

Спочатку побудуємо графік функції без усіх модулів: Потім додамо модуль кожного аргументу. Отримаємо функцію виду, тобто. Для побудови такого графіка необхідно застосувати симетрію щодо осі Оy. Додамо ще й зовнішній модуль. Отримаємо, нарешті, потрібну функцію . Так як ця функція отримана з попередньої застосуванням зовнішнього модуля, то ми маємо функцію виду, а значить, необхідно застосувати симетрію щодо Ох.

Тепер докладніше.

Це дробово-лінійна функція, для побудови графіка необхідно виділити цілу частину, ніж ми й займемося.

Значить, графіком цієї функції є гіпербола виду, зміщена на 2 вправо та 4 вниз.

Обчислимо координати точок перетину з осями координат.

y = 0 при х = 0, отже графік пройде через початок координат.

2. Тепер побудуємо графік функції.

Для цього у вихідному графіку спочатку зітремо ту його частину, яка розташовується ліворуч від осі Оy:

, а потім відобразимо її симетрично щодо осі Оy. Зверніть увагу, асимптоти також симетрично відображаються!

Тепер збудуємо остаточний графік функції: . Для цього частину попереднього графіка, що лежить вище осі Ох, залишимо без зміни, а те, що знаходиться нижче за осю Ох, симетрично відобразимо у верхню півплощину. Знову-таки не забувайте, що асимптоти відображаються разом із графіком!

Графік збудований.

Приклад 4. Використовуючи різні перетворення графіків, побудуйте графік функції

Щось абсолютно накручене та складне! Купа модулів! А у квадрата ікса модуля немає! Це неможливо збудувати!

Так чи приблизно так може розмірковувати середньостатистичний учень 8 класу, незнайомий із технікою побудови графіків.

Але ж не ми! Тому що ми знаємо різні способи перетворення графіків функцій і ще знаємо різні властивості модуля.

Тож почнемо по порядку.

Перша проблема – відсутність модуля у ікса у квадраті. Не біда. Знаємо, що . Добре. Отже, наша функція може бути записана як . Це вже краще, тому що схоже на .

Далі. Функція має зовнішній модуль, тому, схоже, доведеться користуватися правилами побудови графіка функції . Подивимося тоді, що є подмодульное вираз. Це функція виду . Якби не -2, то функція знову містила б зовнішній модуль і знаємо, як побудувати графік функції за допомогою симетрії. Ага! Але якщо ми його побудуємо, то, змістивши його на 2 одиниці вниз, отримаємо шукане!

Отже, щось починає вимальовуватись. Спробуємо скласти алгоритм побудови графіка.

1.

5. І наприкінці, . Все те, що лежить нижче за осю Ох, відобразимо симетрично у верхню півплощину.

Ура! Графік готовий!

Успіхів вам у нелегкій справі побудови графіків!