NASA pradės ekspediciją į Marsą 2020 m. Liepos mėn. Erdvėlaivis į Marsą pristatys elektroninį nešiklį su visų registruotų ekspedicijos narių pavardėmis.

Jei šis įrašas išsprendė jūsų problemą arba jums tai tiesiog patiko, pasidalykite nuoroda į jį su draugais socialiniuose tinkluose.

Vienas iš šių kodų variantų turi būti nukopijuotas ir įklijuotas į jūsų tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos ... Pagal pirmąją parinktį „MathJax“ įkeliama greičiau ir mažiau sulėtėja puslapis. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias „MathJax“ versijas. Jei įvesite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įvesite antrąjį kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti „MathJax“ naujinių.

Paprasčiausias būdas prisijungti prie „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: savo svetainės informacijos suvestinėje pridėkite valdiklį trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto pakrovimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau šablono pradžios (beje, to visai nereikia, nes „MathJax“ scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Išmokite „MathML“, „LaTeX“ ir „ASCIIMathML“ žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematikos formules į savo svetainės tinklalapius.

Dar viena Naujųjų metų išvakarės ... šalnas oras ir snaigės ant lango ... Visa tai paskatino mane vėl parašyti apie ... fraktalus ir tai, ką apie tai žino „Wolfram Alpha“. Apie tai yra įdomus straipsnis, kuriame yra dviejų matmenų fraktalų struktūrų pavyzdžiai. Čia apžvelgsime sudėtingesnius 3D fraktalų pavyzdžius.

Fraktalą galima vizualizuoti (apibūdinti) kaip geometrinę figūrą ar kūną (tai reiškia, kad abu yra rinkinys, šiuo atveju - taškų rinkinys), kurio detalės turi tokią pačią formą kaip pati pradinė figūra. T. y., Tai yra į save panaši struktūra, atsižvelgiant į detales, kurios padidinus matysime tą pačią formą kaip ir be didinimo. Taisyklingos geometrinės formos (ne fraktalo) atveju, kai priartinsime, pamatysime detales, kurių forma yra paprastesnė nei pačios pradinės formos. Pavyzdžiui, esant pakankamai dideliam padidinimui, dalis elipsės atrodo kaip linijos segmentas. Su fraktalais taip nenutinka: bet kokiam jų padidėjimui vėl pamatysime tą pačią sudėtingą formą, kuri kartosis dar kartą su kiekvienu padidėjimu.

Fraktalų mokslo įkūrėjas Benoitas Mandelbrotas savo straipsnyje „Fraktalai ir menas mokslui“ rašė: „Fraktalai yra geometrinės figūros, kurios yra tokios sudėtingos savo detalėmis, kaip ir bendra forma. Fraktalo dalis bus padidinta iki visuma, ji atrodys kaip visuma, tiksliai, o gal su nežymia deformacija “.

Ir norint ją išspręsti, jums reikia minimalių žinių apie temą. Kiti mokslo metai eina į pabaigą, visi nori atostogauti, o norėdamas priartinti šią akimirką, aš iškart kibiu į reikalus:

Pradėkime nuo srities. Sąlygoje nurodytas plotas yra ribotas uždaryta plokštumos taškų rinkinys. Pavyzdžiui, taškų rinkinys, kurį riboja trikampis, įskaitant VISĄ trikampį (jei nuo ribos„Išgręžkite“ bent vieną tašką, tada sritis nustos būti uždaryta)... Praktiškai taip pat yra stačiakampių, apvalių ir šiek tiek sudėtingesnių formų plotai. Pažymėtina, kad griežti apibrėžimai pateikiami matematinės analizės teorijoje apribojimai, izoliacija, ribos ir kt., bet manau, kad visi supranta šias sąvokas intuityviu lygiu, ir daugiau jų dabar nereikia.

Plokščias plotas dažniausiai žymimas raide, ir paprastai jis nustatomas analitiškai - keliomis lygtimis (nebūtinai linijinis); rečiau nelygybė. Tipinė apyvarta: „uždara teritorija, ribojama linijomis“.

Neatsiejama nagrinėjamos užduoties dalis yra brėžinyje esančio ploto statyba. Kaip tai padaryti? Būtina nubrėžti visas išvardytas linijas (šiuo atveju 3 tiesiai) ir išanalizuoti, kas nutiko. Norima sritis paprastai yra šiek tiek išbrėžta, o jos kraštas paryškinamas paryškinta linija:


Tą pačią sritį galima nustatyti ir tiesinės nelygybės:, kurie dėl kažkokių priežasčių dažniau rašomi kaip išvardytas sąrašas, o ne sistema.
Kadangi riba priklauso regionui, visos nelygybės, žinoma, atsainiai.

Ir dabar problemos esmė. Įsivaizduokite ašį, besitęsiančią nuo pradžios tiesiai į save. Apsvarstykite funkciją nepertraukiamas kiekviename srities taškas. Šios funkcijos grafikas rodo kai kuriuos paviršius, ir nedidelė laimė slypi tame, kad norint išspręsti šiandienos problemą, mums nereikia žinoti, kaip atrodo šis paviršius. Jis gali būti aukščiau, žemiau, kirsti plokštumą - visa tai nėra svarbu. Ir svarbu tai: pagal Weierstrasso teoremos, nepertraukiamasį ribotas uždaras ploto, funkcija pasiekia maksimalų (aukščiausias") ir mažiausias (mažiausias") vertybes, kurias norite rasti. Tokios vertės pasiekiamos arbaį stacionarūs taškai, priklausantis regionuiD , arba taškuose, esančiuose prie šios zonos ribos. Iš to seka paprastas ir skaidrus sprendimo algoritmas:

1 pavyzdys

Ribotoje uždaroje teritorijoje

Sprendimas: Visų pirma, jūs turite pavaizduoti plotą piešinyje. Deja, man techniškai sunku sukurti interaktyvų problemos modelį, todėl tuoj pateiksiu paskutinę iliustraciją, kurioje bus parodyti visi tyrimo metu rasti „įtartini“ taškai. Paprastai jie tvirtinami vienas po kito, kai jie randami:

Remiantis preambule, patogu padalyti sprendimą į du punktus:

I) Raskite stacionarius taškus. Tai yra standartinis veiksmas, kurį mes ne kartą atlikome pamokoje. kelių kintamųjų kraštutinumas:

Rastas stacionarus taškas priklauso sritys: (pažymėkite piešinyje), o tai reiškia, kad šiuo metu turėtume apskaičiuoti funkcijos vertę:

- kaip straipsnyje Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės segmente, Svarbius rezultatus paryškinsiu paryškintu šriftu. Juos patogu nupiešti sąsiuvinyje su pieštuku.

Atkreipkite dėmesį į mūsų antrąją laimę - nėra prasmės tikrintis pakankama ekstremumo būklė... Kodėl? Net jei funkcija tam tikru momentu pasiekia, pavyzdžiui, vietinis minimumas, tada JIS NETURI REIKŠMIO, kad gaunama vertė bus minimalus visame regione (žr. pamokos pradžią apie besąlygišką kraštutinumą) .

Ką daryti, jei stacionarus taškas NE priklauso vietovei? Beveik nieko! Reikėtų pažymėti, kad ir pereikite prie kito punkto.

II) Ištirkite regiono ribą.

Kadangi kraštas susideda iš trikampio kraštinių, patogu tyrimą padalyti į 3 poskyrius. Bet geriau to nedaryti. Mano požiūriu, iš pradžių yra naudingiau atsižvelgti į segmentus, lygiagrečius koordinačių ašims, o pirmiausia - gulėti ant pačių ašių. Norėdami suvokti visą veiksmų seką ir logiką, pabandykite ištirti pabaigą „vienu ypu“:

1) Susipažinkime su apatine trikampio puse. Norėdami tai padaryti, mes tiesiogiai pakeičiame funkciją:

Arba galite tai sutvarkyti taip:

Geometriškai tai reiškia, kad koordinačių plokštuma (kurį taip pat pateikia lygtis)„Iškirpti“ paviršius„Erdvinė“ parabolė, kurios viršūnė iškart kyla įtarimų. Išsiaiškinkime kur ji:

- gauta vertė „pateko“ į plotą, ir gali būti, kad toje vietoje (pažymėkite piešinyje) funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią vertę visoje srityje. Vienaip ar kitaip atliekame skaičiavimus:

Kiti „kandidatai“, žinoma, yra segmento galai. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes taškuose (pažymėkite piešinyje):

Čia, beje, galite atlikti žodinį mini patikrinimą naudodami „nuplėštą“ versiją:

2) Norėdami ištirti dešiniąją trikampio pusę, mes ją pakeičiame funkcija ir „ten sutvarkome daiktus“:

Čia mes nedelsdami atliksime apytikslį patikrinimą, "skambindami" jau apdorotą segmento galą:
, puikus.

Geometrinė situacija yra susijusi su ankstesniu tašku:

- gauta vertė taip pat yra „įtraukta į mūsų interesų sferą“, o tai reiškia, kad turime apskaičiuoti, kokia funkcija lygi pasirodžiusiame taške:

Panagrinėkime antrąjį segmento galą:

Funkcijos naudojimas , patikrinkime:

3) Tikriausiai visi žino, kaip ištirti likusią pusę. Mes pakeičiame funkciją ir atliekame supaprastinimus:

Segmentas baigiasi jau tyrėme, bet juodraštyje vis tiek tikriname, ar tinkamai radome funkciją :
- sutapo su 1 pastraipos rezultatu;
- sutapo su 2 pastraipos rezultatu.

Belieka sužinoti, ar segmente yra kažkas įdomaus:

- yra! Pakeitę tiesę į lygtį, gauname šio „įdomumo“ ordinatą:

Brėžinyje pažymime tašką ir randame atitinkamą funkcijos vertę:

Patikrinkime skaičiavimus pagal „biudžeto“ versiją :
, įsakymas.

Ir paskutinis žingsnis: ATSARGIAI peržiūrime visus „paryškintus“ skaičius, pradedantiesiems rekomenduoju sudaryti net vieną sąrašą:

iš kurių parenkame didžiausias ir mažiausias reikšmes. Atsakymas surašymo problemos stilistikoje užrašome didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės segmente:

Tik tuo atveju pakomentuosiu dar kartą geometrinė reikšmė rezultatas:
- čia yra aukščiausias paviršiaus taškas šioje srityje;
- čia yra žemiausias paviršiaus taškas šioje srityje.

Nagrinėjant problemą, mes nustatėme 7 „įtartinus“ taškus, tačiau jų skaičius kiekvienoje užduotyje skiriasi. Trikampio srityje minimalus „tyrimų rinkinys“ yra trys taškai. Tai atsitinka, kai nustatoma, pavyzdžiui, funkcija lėktuvas- visiškai aišku, kad nėra stacionarių taškų, o funkcija gali pasiekti didžiausias / mažiausias reikšmes tik trikampio viršūnėse. Tačiau tokių pavyzdžių yra labai daug vieną ar du kartus - dažniausiai tenka susidurti su kai kuriais 2-ojo laipsnio paviršius.

Jei šiek tiek išspręsite tokias užduotis, galva gali apeiti nuo trikampių, todėl paruošiau jums neįprastų pavyzdžių, kad padarytumėte kvadratą :))

2 pavyzdys

Raskite didžiausias ir mažiausias funkcijų reikšmes uždaroje zonoje, kurią riboja linijos

3 pavyzdys

Raskite didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes uždaroje uždaroje srityje.

Ypatingą dėmesį skirkite racionaliai regiono ribos tyrinėjimo tvarkai ir technikai, taip pat tarpinių patikrinimų grandinei, kuri beveik visiškai išvengs skaičiavimo klaidų. Paprastai tariant, jūs galite tai išspręsti taip, kaip jums patinka, tačiau kai kuriose problemose, pavyzdžiui, tame pačiame 2 pavyzdyje, yra visos galimybės gerokai apsunkinti savo gyvenimą. Apytikslis užduočių užbaigimo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Susisteminkime sprendimo algoritmą, kitaip, mano, kaip voro, kruopštumu jis kažkaip pasimetė ilgoje 1-ojo pavyzdžio komentarų gijoje:

- Pirmame žingsnyje mes pastatome plotą, pageidautina, kad jis būtų atspalvis, o paryškinta linija paryškinkite sieną. Sprendimo eigoje atsiras taškų, kuriuos reikia padėti ant piešinio.

- Raskite nejudančius taškus ir apskaičiuokite funkcijos reikšmes tik tuose iš jų kurie priklauso vietovei. Gautas vertes parenkame tekste (pavyzdžiui, piešiame pieštuku). Jei stacionarus taškas NE priklauso regionui, tada šį faktą pažymime piktograma arba žodžiu. Jei apskritai nėra stacionarių taškų, tada darome rašytinę išvadą, kad jų nėra. Bet kokiu atveju šio elemento negalima praleisti!

- Patyrinėkime vietovės sieną. Pirma, naudinga spręsti tiesias linijas, lygiagrečias koordinačių ašims (jei bet kuris)... Mes taip pat išryškiname funkcijos reikšmes, apskaičiuotas „įtartinuose“ taškuose. Apie sprendimo techniką buvo pasakyta daug anksčiau, o toliau bus pasakyta kažkas kita - skaitykite, skaitykite iš naujo, gilinkitės!

- Iš pasirinktų skaičių pasirinkite didžiausią ir mažiausią reikšmę ir atsakykite. Kartais nutinka taip, kad funkcija pasiekia tokias reikšmes keliuose taškuose vienu metu - šiuo atveju visi šie taškai turėtų atsispindėti atsakyme. Tegul, pavyzdžiui, ir tai pasirodė mažiausia vertė. Tada mes tai parašome

Paskutiniai pavyzdžiai skirti kitoms naudingoms idėjoms, kurios pravers praktiškai:

4 pavyzdys

Raskite didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes uždaroje srityje .

Aš pasilikau autoriaus formuluotę, kurioje regionas pateikiamas kaip dviguba nelygybė. Ši sąlyga gali būti parašyta lygiaverte sistema arba tradicine šios problemos forma:

Primenu, kad nuo tada netiesiniai nelygybės, su kuriomis susidūrėme, ir jei jūs nesuprantate geometrinės žymėjimo prasmės, tada neatidėkite ir nepaaiškinkite situacijos dabar ;-)

Sprendimas, kaip visada, jis pradedamas statyti teritoriją, kuri yra tam tikras „padas“:

Hmm, kartais reikia graužti ne tik mokslo granitą ...

I) Raskite stacionarius taškus:

Sistemos-idioto svajonė :)

Stacionarus taškas priklauso regionui, būtent jis yra ant jo ribos.

Taigi, nieko nėra ... pamoka praėjo linksmai - tai reiškia gerti tinkamą arbatą =)

II) Ištirkite regiono ribą. Be papildomų problemų pradėkime nuo abscisos:

1) Jei, tada

Raskite, kur yra parabolės viršūnė:
- vertink tokias akimirkas - „pataikyk“ tiesiai į tą vietą, nuo kurios viskas jau aišku. Tačiau vis tiek nepamirštame patikrinti:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmes segmento galuose:

2) Su apatine „pado“ dalimi susitvarkysime „vienu prisėdimu“ - be jokių kompleksų pakeisime ją į funkciją, be to, mus domins tik segmentas:

Kontrolė:

Tai jau šiek tiek atgaivina monotonišką važiavimą raižyta trasa. Raskime kritinius taškus:

Mes išsprendžiame kvadratinė lygtis, prisimenate dar šį tą? ... Tačiau atminkite, žinoma, kitaip nebūtumėte perskaitę šių eilučių =) Jei dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose būtų patogu skaičiuoti dešimtainėmis trupmenomis (kas, beje, yra retenybė), čia mes laukiame įprastos paprastos trupmenos. Mes randame „x“ šaknis ir pagal lygtį nustatome atitinkamas „kandidato“ taškų „žaidimo“ koordinates:


Apskaičiuokime funkcijos reikšmes rastuose taškuose:

Patikrinkite funkciją patys.

Dabar atidžiai nagrinėjame iškovotus trofėjus ir užrašome atsakyti:

Tai „kandidatai“, taigi „kandidatai“!

Norėdami gauti nepriklausomą sprendimą:

5 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmę uždaroje zonoje

Įrašas su garbanotais petnešomis skamba taip: „taškų rinkinys, toks, koks yra“.

Kartais tokiuose pavyzdžiuose jie naudojasi Lagrange'o daugiklio metodas, bet vargu ar kils būtinybė jį taikyti. Taigi, pavyzdžiui, jei funkcija suteikiama tuo pačiu domenu „de“, tai po pakeitimo į ją - su jokių sunkumų dariniu; be to, viskas nubrėžta „vienoje linijoje“ (su ženklais), nereikia atskirai atsižvelgti į viršutinius ir apatinius puslankius. Bet, žinoma, yra ir sudėtingesnių atvejų, kai be Lagrange'o funkcijos (kur, pavyzdžiui, ta pati apskritimo lygtis) sunku valdyti - kaip sunku apsieiti be gero poilsio!

Gera visiems praeiti sesiją ir iki pasimatymo netrukus kitame sezone!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: pavaizduokite plotą piešinyje:

Naudodamiesi šia paslauga galite rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos vertę vienas kintamasis f (x) su „Word“ sprendimo dizainu. Jei pateikiama funkcija f (x, y), reikia rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą. Taip pat galite rasti funkcijos didinimo ir mažinimo intervalus.

Funkcijos įvedimo taisyklės:

Būtina vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlyga

Pakanka vieno kintamojo funkcijos galūnių būklės

F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)> 0

Tada taškas x * yra vietinio (globalaus) funkcijos minimumo taškas.

Jei x * taške tenkinama ši sąlyga:

F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)< 0

Tada taškas x * yra vietinis (globalus) maksimumas.

1 pavyzdys. Raskite didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes: segmente.
Sprendimas.

Vienas kritinis taškas x 1 = 2 (f '(x) = 0). Šis taškas priklauso tiesių segmentui. (Taškas x = 0 nėra kritinis, nes 0∉).
Skaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose ir kritiniame taške.
f (1) = 9, f (2) = 5/2, f (3) = 3 8/81
Atsakymas: f min = 5/2, kai x = 2; f max = 9, kai x = 1

2 pavyzdys. Naudodami aukštesnių eilių išvestinius, raskite funkcijos y = x-2sin (x) galūnę.
Sprendimas.
Raskite funkcijos darinį: y ’= 1-2cos (x). Raskite kritinius taškus: 1-cos (x) = 2, cos (x) = ½, x = ± π / 3 + 2πk, k∈Z. Mes randame y ’’ = 2sin (x), apskaičiuojame, taigi x = π / 3 + 2πk, k∈Z yra mažiausi funkcijos taškai; , taigi x = - π / 3 + 2πk, k∈Z yra didžiausi funkcijos taškai.

3 pavyzdys. Naršykite funkcijos kraštutinumą šalia taško x = 0.
Sprendimas. Čia būtina rasti funkcijos kraštutinumą. Jei kraštutinumas yra x = 0, tada sužinokite jo tipą (mažiausias arba didžiausias). Jei tarp rastų taškų nėra x = 0, tada apskaičiuokite funkcijos f (x = 0) vertę.
Pažymėtina, kad kai išvestinė kiekvienoje duoto taško pusėje nekeičia savo ženklo, galimos situacijos nėra išnaudojamos net ir diferencijuojamoms funkcijoms: gali atsitikti taip, kad savavališkai mažai kaimynystei vienoje taško pusėje x 0 arba iš abiejų pusių išvestinių pokyčių ženklas. Šiose vietose reikia taikyti kitus metodus ekstremumo funkcijoms tirti.

4 pavyzdys. Padalinkite skaičių 49 į dvi dalis, kurių sandauga bus didžiausia.
Sprendimas. Pažymėkime x kaip pirmąjį terminą. Tada (49-x) yra antroji kadencija.
Produktas bus didžiausias: x (49-x) → maks

Pažiūrėkime, kaip ištirti funkciją naudojant diagramą. Pasirodo, žiūrėdami į diagramą, galite sužinoti viską, kas mus domina, būtent:

• funkcijos sritis
• funkcijų diapazonas
• funkcijos nuliai
• didėjimo ir mažėjimo intervalai
• maksimalus ir mažiausias balai
• didžiausia ir mažiausia funkcijos vertė segmente.

Patikslinkime terminologiją:

Abscissa yra horizontali taško koordinatė.
Įšventinti yra vertikali koordinatė.
Abscisos ašis- horizontali ašis, dažniausiai vadinama ašimi.
Y ašis- vertikali ašis arba ašis.

Argumentas yra nepriklausomas kintamasis, nuo kurio priklauso funkcijos reikšmės. Dažniausiai nurodoma.
Kitaip tariant, mes patys pasirenkame, pakeičiame funkcijas į formulę ir gauname.

Domenas funkcijos - tų (ir tik tų) argumento, kuriam egzistuoja funkcija, reikšmių rinkinys.
Tai žymima: arba.

Mūsų paveiksle funkcijos sritis yra segmentas. Būtent šiame segmente braižomas funkcijos grafikas. Tik čia ši funkcija egzistuoja.

Funkcijų diapazonas yra kintamojo reikšmių rinkinys. Mūsų paveikslėlyje tai yra segmentas - nuo mažiausios iki didžiausios vertės.

Funkcijos nuliai- taškai, kur funkcijos reikšmė lygi nuliui, t. Mūsų paveiksle tai yra taškai ir.

Funkcijų vertės yra teigiamos kur. Mūsų paveiksle tai yra spragos ir.
Funkcijos vertės yra neigiamos kur. Mes turime šį intervalą (arba intervalą) nuo iki.

Svarbiausios sąvokos yra didėjanti ir mažėjanti funkcija ant kai kurių rinkinių. Kaip rinkinį galite paimti segmentą, intervalą, intervalų sąjungą arba visą skaičių eilutę.

Funkcija didėja

Kitaip tariant, kuo daugiau, tuo daugiau, tai yra, diagrama eina į dešinę ir į viršų.

Funkcija mažėja rinkinyje, jei jis yra ir priklauso rinkiniui, nelygybė kyla iš nelygybės.

Mažėjančiai funkcijai didesnė reikšmė atitinka mažesnę vertę. Grafikas eina į dešinę ir žemyn.

Mūsų paveiksle funkcija didėja intervale ir mažėja intervalais ir.

Apibrėžkime, kas yra maksimalus ir mažiausias funkcijos balai.

Didžiausias taškas- tai vidinis apibrėžimo srities taškas, toks, kad funkcijos vertė jame yra didesnė nei visuose taškuose, kurie yra pakankamai arti jo.
Kitaip tariant, maksimalus taškas yra taškas, kuriame funkcijos reikšmė daugiau nei kaimyninėse. Tai vietinis „piliakalnis“ diagramoje.

Mūsų paveiksle - maksimalus taškas.

Minimalus taškas- apibrėžimo srities vidinis taškas, kad funkcijos vertė joje būtų mažesnė nei visuose taškuose, kurie yra pakankamai arti jo.
Tai yra, minimalus taškas yra toks, kad funkcijos vertė jame yra mažesnė nei kaimyninėse. Tai yra vietinė „skylė“ diagramoje.

Mūsų paveikslėlyje - minimalus taškas.

Esmė yra riba. Tai nėra apibrėžimo srities vidinis taškas, todėl neatitinka maksimalaus taško apibrėžimo. Juk kairėje ji neturi kaimynų. Lygiai taip pat tai negali būti minimalus taškas mūsų diagramoje.

Didžiausias ir mažiausias balai yra vadinami bendrai funkcijos galiniai taškai... Mūsų atveju tai yra ir.

Ką daryti, jei reikia rasti, pavyzdžiui, minimali funkcija segmente? Šiuo atveju atsakymas yra. nes minimali funkcija yra jo vertė minimaliame taške.

Lygiai taip pat maksimali mūsų funkcija yra. Jis pasiekiamas taške.

Galime sakyti, kad funkcijos kraštutinumai yra lygūs ir.

Kartais atliekant užduotis reikia rasti didžiausios ir mažiausios funkcijos vertės tam tikrame segmente. Jie nebūtinai sutampa su kraštutinumais.

Mūsų atveju mažiausia funkcijos reikšmė segmente yra lygus ir sutampa su funkcijos minimumu. Tačiau didžiausia jo vertė šiame segmente yra lygi. Jis pasiekiamas kairiajame linijos gale.

Bet kokiu atveju didžiausios ir mažiausios nepertraukiamos funkcijos vertės segmente pasiekiamos arba ekstremumo taškuose, arba segmento galuose.

Didžiausia funkcijos reikšmė vadinama daugiausia, mažiausia reikšmė yra mažiausia iš visų jos reikšmių.

Funkcija gali turėti tik vieną didžiausią ir tik vieną mažiausią vertę, arba ji gali jų visai neturėti. Didžiausių ir mažiausių nenutrūkstamų funkcijų verčių nustatymas pagrįstas šiomis šių funkcijų savybėmis:

1) Jei tam tikru intervalu (baigtinė ar begalinė) funkcija y = f (x) yra tęstinė ir turi tik vieną galūnę, o jei tai yra didžiausia (mažiausia), tai ji bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė šiuo intervalu.

2) Jei funkcija f (x) yra tęstinė tam tikrame segmente, tai ji būtinai turi didžiausią ir mažiausią reikšmę šiame segmente. Šios vertės pasiekiamos arba kraštutiniuose taškuose, esančiuose segmente, arba šio segmento ribose.

Norint rasti didžiausias ir mažiausias segmento reikšmes, rekomenduojama naudoti šią schemą:

1. Raskite darinį.

2. Raskite kritinius funkcijos taškus, kuriuose = 0 arba jų nėra.

3. Raskite funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir segmento galuose ir iš jų pasirinkite didžiausią f naib ir mažiausią f naim.

Sprendžiant taikomas problemas, ypač optimizavimo problemas, svarbu rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę (globalus maksimalus ir globalus minimumas) intervalo X kintamajame. Tada raskite norimą didžiausią ar mažiausią gautos funkcijos vertę. Šiuo atveju iš problemos teiginio taip pat nustatomas nepriklausomo kintamojo, kuris gali būti baigtinis arba begalinis, variacijos intervalas.

Pavyzdys. Cisterną, kurios forma yra stačiakampio gretasienio formos, o viršuje yra atviras kvadratinis dugnas, reikia išgauti iš alavo viduje. Kokie turėtų būti bako matmenys, kai jo talpa yra 108 litrai. vandens, kad jo skardinimo išlaidos būtų kuo mažesnės?

Sprendimas. Cisternos padengimas alavu bus mažiausias, jei jo paviršius yra minimalus tam tikram pajėgumui. Pažymėkime dm - pagrindo šoną, b dm - bako aukštį. Tada jo paviršiaus plotas S yra lygus

IR

Gautas ryšys nustato santykį tarp bako S paviršiaus (funkcija) ir pagrindo pusės a (argumentas). Panagrinėkime ekstremumo funkciją S. Raskite pirmąjį darinį, prilyginkite jį nuliui ir išspręskite gautą lygtį:

Taigi a = 6. (a)> 0 a> 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Pavyzdys... Raskite didžiausias ir mažiausias funkcijų reikšmes tarp.

Sprendimas: Nurodyta funkcija yra tęstinė visoje skaitinėje ašyje. Funkcijos vedinys

Išvestinė at ir at. Apskaičiuokime funkcijos reikšmes šiuose taškuose:

.

Funkcijos reikšmės nurodyto intervalo galuose yra lygios. Vadinasi, didžiausia funkcijos reikšmė lygi at, mažiausia funkcijos reikšmė lygi at.

Patikrinimo klausimai

1. Suformuluokite „L'Hôpital“ taisyklę, kad atskleistumėte formos neapibrėžtumus. Išvardykite įvairius neapibrėžtumų tipus, kuriuos galima išspręsti taikant „L'Hôpital“ taisyklę.

2. Suformuluokite didėjančių ir mažėjančių funkcijų ženklus.

3. Pateikite maksimalios ir mažiausios funkcijos apibrėžimą.

4. Suformuluokite būtiną ekstremumo egzistavimo sąlygą.

5. Kokios argumento reikšmės (kurie taškai) vadinami kritiniais? Kaip rasti šiuos dalykus?

6. Kokie yra pakankami kriterijai, norint egzistuoti funkcijos kraštutinumui? Apibūdinkite ekstremumo funkcijos tyrimo schemą naudodami pirmąjį darinį.

7. Apibūdinkite ekstremumo funkcijos tyrimo schemą naudojant antrąjį darinį.

8. Pateikite kreivės išgaubtumo, įgaubtumo apibrėžimą.

9. Kas vadinama funkcijos grafo linksniu? Nurodykite būdą, kaip rasti šiuos dalykus.

10. Suformuluokite reikiamus ir pakankamus kreivės išgaubtumo ir įdubimo kriterijus tam tikrame segmente.

11. Pateikite kreivės asimptotės apibrėžimą. Kaip rasti funkcijos grafiko vertikalius, horizontalius ir įstrižus asimptotus?

12. Apibūdinkite bendrą funkcijos tyrimo schemą ir jos grafiko konstrukciją.

13. Suformuluokite taisyklę, kaip rasti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes tam tikrame segmente.