Rispetto in anticipo

1. La stereometria comprende solidi geometrici e figure spaziose, i cui punti non giacciono tutti sullo stesso piano. Le figure espansive sono raffigurate sulla poltrona dietro i più piccoli, che guardano negli occhi all'incirca con la stessa ostilità della figura stessa. Questi piccoli seguono le regole del canto che si fondano sull'autorità geometrica delle figure.
Di seguito verrà mostrato uno dei modi per rappresentare figure spaziose su un quadrato (§ 54-66).

ROZDIL PRIMA DRITTA E PIATTA

I. VALORE DELLA POSIZIONE DEL PIANO

2. Rappresentazione dell'aereo. Nella vita di tutti i giorni ci sono molti oggetti la cui superficie mostra la superficie geometrica, formando la forma di una taglierina dritta: la tavolozza di un libro, un insetto, il piano di uno scrittoio, ecc. Quando li guardi oggetti da sotto e da una grande distanza, allora puoi vedere che siamo così disegnando una forma a parallelogramma. Pertanto, è consuetudine rappresentare l'area della sedia come un parallelogramma 1. Quest'area è talvolta designata da una lettera, ad esempio “Ploshchina M” (Grafico 1).

1 L'ordine delle immagini designate dell'area è possibile allo stesso modo delle sedie 15-17 e in.
(Nota dell'editore)

3. Caratteristiche fondamentali della superficie.È possibile che tali poteri del piano, accettati senza prova, siano allora assiomi:

1) Se due punti diritti giacciono su un piano, allora il punto pelle giace direttamente su un piano.

2) Se due piani toccano un punto in fiamme, la puzza si muove in linea retta attraverso quel punto.

3) Attraverso tre punti qualsiasi che non giacciono sulla stessa retta si può tracciare un piano, o anche solo uno.

4. Eredità. Dalla restante proposizione si può ricavare quanto segue:

1) Attraverso una linea retta e un punto è possibile disegnare con essa un piano (o più di uno). In effetti, un punto di una linea retta, insieme a circa due punti su una linea retta, sommano tre punti attraverso i quali è possibile tracciare un piano (e anche uno).

2) Attraverso due linee rette che si sovrappongono si può disegnare un piano (o soltanto uno). È facile prendere il punto trasversale e un altro punto sulla linea della pelle, quindi hai tre punti attraverso i quali puoi disegnare un piano (e poi uno).

3) Attraverso due linee parallele è possibile tracciare un solo piano. È corretto che le linee parallele dietro quelle indicate giacciono sullo stesso piano; Questo piano è uno, quindi attraverso uno dei paralleli e qualsiasi punto dell'altro non si può tracciare più di un piano.

5. Avvolgere una superficie piana attorno a una linea retta. Attraverso la pelle, direttamente nello spazio aperto, non è possibile disegnare quasi nessuna superficie.

Davvero, lascia che sia chiaro UN (Diavolo 2).

Prendiamo il punto A e poniamolo. Attraverso il punto A e dritto UN attraversare un'unica zona (§ 4). Chiamiamolo piano M. Prendiamo un nuovo punto con il piano M. Attraverso il punto B e dritto UN attraversa la pianura con il tuo blackwood. Lo chiameremo piano N. Può coincidere con M, poiché ha un punto Y, che giace sul piano M. Possiamo inoltre ricavare dallo spazio un nuovo punto Z, la posizione dei piani M e N. Attraverso il punto Z e dritto UN passare la nuova superficie. Lo chiamiamo R. Vaughn non evita né la M né la N, perché in esso c'è un punto C, che non si trova né sul piano M né sul piano N. Continuando fratelli nello spazio, sempre più nuovi punti, saremo tali un percorso rimuove tutti i nuovi e nuovi aerei che lo attraversano direttamente UN . Non ci saranno tali piattezza. Tutti questi piani possono essere visti come posizioni diverse di uno stesso piano che avvolge una linea retta UN .

Possiamo rivelare un altro potere di un piano: un piano può avvolgersi attorno a qualsiasi linea retta che si trova vicino a questo piano.

6. Zavdannya su pobudova nello spazio aperto. Tutti gli oggetti che funzionavano in planimetria venivano disegnati sullo stesso piano con l'aiuto di strumenti da poltrona. Per stare all'aria aperta, gli strumenti della sedia diventano inutili, quindi è impossibile presiedere le figure all'aria aperta. Inoltre, quando lo spazio si apre, appare un nuovo elemento: una superficie che, per quanto riguarda lo spazio, non può essere trasformata in un tavolo in modo semplice, come se fosse direttamente sulla superficie.

Pertanto, quando si parla di spazio, è necessario definire con precisione cosa significa liberare quell’altro spazio, zokrema, che significa creare piattezza nello spazio. In tutte le occasioni, all'aperto, permettiamo:

1) che si può creare un piano, una volta trovati gli elementi che ne indicano la posizione nello spazio (§ 3 e 4), allora si può far passare un piano per tre punti dati, per una retta e per un punto dietro di essa, attraverso due linee si nascondono o qualcosa del genere due linee parallele;

2) se ci sono dati due piani che si intrecciano, allora è data anche la linea della loro traversa, in modo che possiamo trovare la linea della traversa dei due piani;

3) poiché nello spazio esiste una data area, allora possiamo costruire in essa tutte le funzioni che erano state costruite in planimetria.

Vikonati dovrebbe stare all'aria aperta - questo significa informarti fino alla fine della giornata sui compiti più importanti. Con l'aiuto di questi comandi di base puoi sbloccare i comandi di piegatura.

Queste parole hanno problemi con la stereometria.

7. Il compito quotidiano all'aperto.
Zavdannya. Trovare il punto d'intersezione di una determinata retta UN (Fig. 3) a causa dell'area R.

Prendi il punto A sull'aereo, attraversa il punto A e prosegui dritto UN conduce l'area Q. Vaughn attraversa l'area P lungo una linea retta B . Nel piano Q conosciamo il punto 3 della campata delle rette UN і B . Questo è il punto e sarà shukana. È dritto? UN і B appaiono parallele, allora la decisione non è la stessa decisione.

Il livello è diritto come una linea tra due piani:

Attraverso la pelle, direttamente nello spazio aperto, attraversa le pianure senza volto. Sia da loro, spostandosi, significali allo scoperto. Ebbene, l'allineamento di due qualsiasi di tali pianure, che può essere visto chiaramente, è un allineamento dell'intera cosa.

Apparvero due piani non paralleli definiti dai piani paralleli

indicare direttamente la loro sezione trasversale. Questa si chiama rivalità Zagalnym Rivnyany Dritto.

Esiste una retta che passa per due punti:

Prendi i punti dati A(x 1 ;y 1) e B(x 2 ;y 2). La retta passante per i punti A(x 1 ;y 1) e B(x 2 ;y 2) si presenta così:

Se i punti A e B giacciono su una linea retta, parallela all'asse O x (y 2 - y 1 = 0) o all'asse O y (x 2 - x 1 = 0), allora l'allineamento della linea retta sarà essere simile a quello di y = y 1 o x =x 1

Esempio 4. Le pendenze sono allineate con una retta che passa per i punti A(1;2) e B(-1;1).

Soluzione: sostituzione dei valori (8) x 1 =1, y 1 =2, x 2 =-1; y 2 =1 viene eliminato:
stelle 2y-4=x-1, oppure il resto è x-2y+3=0

Retta canonica:

Sia fissato sul piano un sistema di coordinate cartesiane rettangolari Ossi. Poniamoci un obiettivo: togliere la retta UN, yakscho - deyaka punta dritto UN io - vettore diretto UN.

Andiamo: la virgola mobile è dritta UN. Lo stesso vettore è un vettore diretto UN e coordinate della mappa (se necessario, controlla lo stato della ricerca delle coordinate del vettore attraverso le coordinate del punto). Ovviamente, qualsiasi punto su un piano significa una linea retta, e per il punto passa un vettore rettilineo e lo stesso solo se i vettori sono colineari.

Scriviamo la colinearità mentale necessaria e sufficiente dei vettori: . La gelosia rimanente appare nella forma coordinata.

Se io, allora possiamo scrivere

Si chiama gelosia della specie Otriman pianure canoniche direttamente in pianura nel sistema di coordinate rettilinee Ossi. Viene anche chiamato Rivnyannya linee rette dallo sguardo canonico.

Inoltre, l'allineamento canonico di una linea retta su un piano è determinato dal sistema di coordinate rettilinee Ossi una retta che passa per un punto e porta un vettore diretto.

Posizioniamo il calcio della retta canonica sul quadrato.

Ad esempio, lo strass è dritto nell'aspetto canonico. La retta che dimostra questo allineamento passa per il punto e - її è un vettore diretto. Di seguito è riportata un'illustrazione grafica.

Sono significativi i seguenti fatti importanti:

· se un vettore diretto è retto e una retta passa sia per un punto che per un punto, allora il suo uguale canonico si può scrivere così;

· se è un vettore diretto di una retta, allora qualunque vettore è anche un vettore diretto della retta data, e inoltre qualunque retta nella forma canonica somiglia a questa retta.

Allineamento parametrico di rette:

Teorema. Esiste un sistema di allineamenti con allineamenti parametrici e linee rette:

dove sono le coordinate di un certo punto fisso di una data linea, sono le coordinate corrispondenti di un certo vettore diretto di una data linea, t è un parametro.

Prova. È necessario assicurarsi che gli allineamenti (7) soddisfino tutti i punti della retta L e non soddisfino invece le coordinate del punto che non giace sulla retta.

Facciamo un punto felice. Questi vettori seguono anche la colinearità stabilita e i teoremi sulla collinearità di due vettori traccia, che sono quindi espressi linearmente attraverso l'altro. Potrebbe esserci un numero del genere. L'uguaglianza dei vettori mostra l'uguaglianza delle loro coordinate:

Eccetera.

Torna indietro, andiamo. Quindi, secondo il teorema sulla collinearità dei vettori, essi possono essere espressi linearmente attraverso l'altro. E vorrei che una delle gelosie (7) non finisse. In questo modo i parenti (7) si accontentano delle coordinate di punti molto tranquilli, come ad esempio giacere su una retta L e solo qualche puzza, ecc.

Il teorema è stato dimostrato.

Livello normale della superficie:

IN forma vettoriale La pianura della zona assomiglia

Poiché il vettore normale dell'area è singolo,

Quindi il livello dell'area può essere scritto come

(livello normale della superficie).

– posizionarsi di fronte alle coordinate dell’aereo, , , – normali coseno dirette

dove tra la normale del piano e gli assi delle coordinate è coerente.

Il livello finale dell'area (8) può essere ridotto alla forma normale moltiplicando il moltiplicatore normale, il segno davanti alla frazione è prossimale al segno del membro libero (8).

Alzati dal punto all'aereo(8) si trova dietro la formula, rimossa sostituendo un punto nell'equazione normale

Il livello esterno dell'area, l'indagine del livello esterno dell'area:

Poiché allo spazio banale è assegnato un sistema di coordinate rettilinee Oxyz, quindi i piani del piano in questo sistema di coordinate dello spazio banale sono chiamati tali piani con tre incognite X, sìі z, Che è soddisfatto delle coordinate di tutti i punti del piano e non soddisfatto delle coordinate di tutti gli altri punti. In altre parole, sostituendo le coordinate di un singolo punto del piano si toglie l'identità del piano, mentre sostituendo le coordinate di qualsiasi altro punto si ottiene l'identità.

Innanzitutto si scriva la linea del piano, che si suppone sia retta perpendicolare al piano: la retta è perpendicolare al piano, come è perpendicolare a qualsiasi retta che giaccia su questo piano. Ciò significa che qualsiasi vettore normale del piano è perpendicolare a qualsiasi vettore diverso da zero che si trova vicino a questo piano. Ci basiamo su questo fatto per dimostrare il prossimo teorema, che specifica l'aspetto della superficie.

Teorema.

Sii geloso della vista, de UN, B, Cі D- Numeri attivi, e UN, INі C contemporaneamente diverso da zero, indica l'area in un dato sistema di coordinate rettilinee Oxyz nello spazio banale e qualunque sia l'area in un sistema di coordinate rettilinee Oxyz in uno spazio banale appare uguale allo stesso tipo con un dato insieme di numeri UN, B, Cі D.

Prova.

Come vedi il teorema si compone di due parti. Nella prima parte ci viene dato un livello e la necessità di sollevarlo, il che significa planarità. Dall'altra parte ci viene dato uno spessore e dobbiamo capire cosa può essere rispetto agli uguali quando si scelgono i numeri UN, IN, Zі D.

Concludiamo con la conferma della prima parte del teorema.

Frammenti numerici UN, INі Z Se allo stesso tempo non sono uguali a zero, allora c'è un punto le cui coordinate soddisfano l'equazione, allora l'equazione è valida. È chiaro che le parti sinistra e destra delle uguaglianze estratte sono simili alle parti sinistra e destra delle uguaglianze, in cui le uguaglianze ottenute sono equivalenti alle uguaglianze di output. Ora che abbiamo stabilito che il piano significa l’area, allora si mostrerà che, equivalentemente, il piano significa anche l’area di un dato sistema di coordinate rettangolari nello spazio banale.

La gelosia è necessaria e sufficiente a causa della perpendicolarità mentale dei vettori. In altre parole, le coordinate della virgola mobile sono uguali o solo uguali ai vettori ad esse perpendicolari. Pertanto, come fatto medico, prima del teorema, possiamo confermare che se l'equazione è vera, allora un punto impersonale significa un piano, il cui vettore normale è , e questo piano passa attraverso il punto. In altre parole, allineamento significa in un sistema di coordinate rettilineo Oxyz Alla banale distesa viene assegnata un'area maggiore. Ebbene, il livello equivalente indica la planarità stessa. La prima parte del teorema è completata.

Procediamo finché non sarà confermata l'altra parte.

Diamo un piano che passa per un punto il cui vettore normale è . Mostriamo che il sistema di coordinate rettilinee Oxyz Stabilisce un livello di rispetto per la specie.

Per cui prendiamo un punto sufficiente di questo piano. Lascia che questo sia un punto. Questi vettori saranno perpendicolari, quindi la loro solidità scalare è pari a zero: . Avendo accettato, vedrò la gelosia in futuro. Questo livello significa anche la nostra piattezza. Ebbene, il teorema è completamente confermato. (con valori di brani di numeri UN, IN, Zі D), e questo livello è confermato dall'area di un dato sistema di coordinate rettangolari nello spazio banale.

Indichiamo il calcio che illustra il resto della frase.

Lasciati stupire dai più piccoli dalle immagini dell'aereo in uno spazio banale in un sistema di coordinate rettilinee fisse Oxyz. Questo piano è coerente con l'allineamento, quindi siamo soddisfatti delle coordinate di qualsiasi punto sul piano. D'altra parte, per allineamento si intende un dato sistema di coordinate Oxyz un punto inutile, in cui è raffigurata una piccola area.

Livello dell'area ai talei:

Possa la banale distesa avere un sistema di coordinate rettilinee Oxyz.

In un sistema di coordinate rettilineo Oxyz la banale distesa ha eguale visuale, UN, Bі C– numeri sostituibili da zero, chiamati al livello dell'area in corrispondenza dei talei. Questo nome non è univoco. Valori assoluti dei numeri UN, Bі C pari alle discese dei tagli, che riducono l'area sugli assi coordinati Bue, OHі Oz Ovviamente, sta urlando all'inizio delle coordinate. Segno di numeri UN, Bі C mostra se le linee rette (positive o negative) hanno tagli sugli assi delle coordinate. Sì, le coordinate dei punti soddisfano il livello dell'area nelle sezioni:

Lasciati stupire dai piccoli che spiegano questo momento.

Il piano del piano che passa per il punto è perpendicolare al vettore: Assegnamo alla banale distesa un sistema di coordinate cartesiane rettilinee. Formuliamo questo compito:

I pendii della pianura che attraversano questo punto
M(X 0 , sì 0 , z 0) perpendicolare al vettore dato →N = {UN, B, C} .

Decisione. Andiamo P(X, sì, z) - un punto sufficiente per lo spazio. Punto, granello P per posizionare la planarità e anche di più, se il vettore
deputato = {X − X 0 , sì − sì 0 , z − z 0 ) vettore ortogonale → N = {UN, B, C) (Fig. 1).

Avendo scritto l’ortogonalità mentale di questi vettori (→ N, deputato) = 0 per la forma delle coordinate, può essere rifiutato.

LA ZONA.

Viznachennya. Viene chiamato qualsiasi vettore perpendicolare al piano diverso da zero vettore normale, ed è indicato.

Viznachennya. Il livello dell'area sotto forma di decoefficiente: vengono chiamati più numeri attivi che non sono uguali a zero allo stesso tempo alle pianure esterne della piazza.

Teorema. Per livello si intende l'area attraverso la quale il vettore normale può passare attraverso il punto.

Viznachennya. Vista sulla piazza Rivnyannaya

de - vengono chiamati i numeri reali maggiori di zero al livello dell'area in corrispondenza dei talei.

Teorema. Lascia che sia il livello dell'area vicino alle talee. Todi: coordina il punto e la traversa con gli assi delle coordinate.

Viznachennya. Il livello sotterraneo della piazza è denominato standardizzare o altro normale le pianure della piazza, come

ta.

Teorema. Il livello normale di un piano può essere scritto sotto forma di una linea di coordinate rispetto a un dato piano, coseni rettilinei di un vettore normale ).

Viznachennya. Moltiplicatore normale Il livello glaciale dell'area è chiamato numero dove il segno viene scelto per essere prossimale al segno del membro attivo D.

Teorema. Lascia che sia - un moltiplicatore, che è normale, il livello dell'area. Questo livello corrisponde ai livelli standardizzati dell'area data.

Teorema. Vidstan D tipo di speck all'appartamento .

Rotazione reciproca di due piani.

I due piani o si uniscono, oppure sono paralleli, oppure si intrecciano con una linea retta.

Teorema. Lascia che i compiti di superficie siano impostati da zagalny rivnyannyas: . Todi:

1) yakscho poi le pianure sono coperte;

2) yakscho allora i piani sono paralleli;

3) se i piani si muovono lungo linee rette, i livelli fungono da sistema di livelli: .

Teorema. Nehay – i vettori normali di due piani, quindi uno dei due angoli tra questi piani è normale:.

Nasledok. Andiamo ,- Vettori normali di due piani dati. Poiché è data l'addizione scalare, l'area è perpendicolare.

Teorema. Fornire dati sulle coordinate di tre diversi punti nello spazio delle coordinate:

Todi Rivnyanya –e aree di livello che passano per tre punti.

Teorema. Fateci conoscere il livello parallelo delle due pianure che si stanno spostando: perché. Todi:

– livello del piano bisettoriale di una cresta diedrale affilata, realizzato con la retina di queste pianure;

– livello del piano bisettoriale di una cresta diedrale ottusa.

La connessione è un mucchio di appartamenti.

Viznachennya. Il collegamento tra gli appartamenti si chiama assenza di tutti i piani che segnano un punto nascosto, che si chiama il centro della connessione.

Teorema. Lasciamo che ci siano tre piani che formano un unico punto, quindi uguali allo stesso: i parametri più efficaci non sono uguali a zero allo stesso tempo, e collegamento a livello delle pianure.

Teorema. Parametri uguali e più efficaci non sono allo stesso tempo uguali a zero, ad es Le pianure sono collegate al centro dalle pianure. al punto.

Teorema. Fateci conoscere gli omaggi delle tre piazze:

-i loro vettori normali. Affinché tre aree di dati si intersechino in un unico punto è necessario e sufficiente che la miscela dei loro vettori normali non sia uguale a zero:

In questo caso le coordinate del loro unico punto di riferimento corrispondono alle stesse decisioni del sistema di livellamento:

Viznachennya. Un mucchio di appartamenti si chiama assenza di tutti i piani che si muovono lungo la stessa linea retta, detta mazzo intero.

Teorema. Lasciamo che due aerei si muovano in linea retta. Anche i parametri uguali e più efficaci non sono uguali a zero allo stesso tempo, e valle di un mucchio di appartamenti da tutto il gruppo

DRITTO.

Viznachennya. Qualsiasi vettore diverso da zero viene chiamato quello collineare di questa retta vettore diretto, ed è designato

Teorema. rette parametriche nello spazio: dove sono le coordinate di un certo punto fisso di una data retta, e le corrispondenti coordinate di un certo vettore diretto di un dato parametro diretto.

Nasledok. Ora esiste un sistema di ranghi e gradi direttamente nello spazio e si chiama alle linee canoniche nello spazio: dove - le coordinate di un punto sufficientemente fisso di una data retta, - le corrispondenti coordinate di un vettore sufficientemente diretto di una data retta.

Viznachennya. Rispetto canonico per la visione diretta - chiamato rette canoniche che passano per due punti diversi

Rotazione reciproca di due rette nello spazio aperto.

Possibili 4 tipologie di espansione di due linee rette nello spazio aperto. Le linee rette possono incontrarsi, essere parallele, intersecarsi in un punto o intersecarsi.

Teorema. Diamo il canonico omaggio a due linee dirette:

dove i loro vettori diretti sono punti sufficientemente fissi che giacciono sulle rette. Todi:

і ;

e anche una delle gelosie non è compromessa

;

, Poi.

4) incontrarsi direttamente, come , Poi.

Teorema. Andiamo

– altre due linee rette nello spazio, definite da livelli parametrici. Todi:

1) qual è il sistema di gradi

Se c'è un'unica decisione, allora le linee rette cambieranno in un punto;

2) poiché il sistema delle classifiche non ha soluzione, allora ci saranno rapporti diretti e paralleli.

3) se il sistema di allineamento prevede più di un disaccoppiamento, allora viene direttamente evitato.

Mettiti in mezzo a loro due, dritto nello spazio aperto.

Teorema.(Formula per stare tra due linee parallele.): Stare tra due linee parallele

De – їх il vettore diretto, – i punti delle rette, possono essere calcolati utilizzando la formula:

o altro

Teorema.(Formula per stare tra due linee rette per incontrarsi.): Stare tra due linee rette per incontrarsi.

può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

de – modulo di vettori diretti creativi misti і vettori, modulo per la creazione vettoriale di vettori diretti.

Teorema. Lascia che sia: l'allineamento di due pianure che si muovono. Esiste poi un sistema di allineamenti con linee rette, mediante cui si disegnano le superfici: . Un vettore diretto può fungere da vettore , de ,- Vettori normali di questi piani.

Teorema. Sia data alla retta canonica: de. Esiste poi un sistema di allineamenti basato sugli allineamenti di una data retta, definita dalla campata di due piani: .

Teorema. Livello della perpendicolare sceso da un punto direttamente sembra dove - le coordinate del vettore, - le coordinate del vettore diretto data la retta. La lunghezza di una perpendicolare può essere trovata utilizzando la formula:

Teorema. L'allineamento della perpendicolare opposta di due rette che si incontrano è simile a: de.

Espansione reciproca di rette e pianure nello spazio.

Esistono tre possibili tipi di espansione reciproca dello spazio diretto e della planarità:

Teorema. Lasciamo che l'area sia assegnata ai piani esterni, ma assegnata direttamente ai piani canonici o parametrici abo, de vettore – vettore normale del piano – coordinate di un certo punto fisso di una linea retta, – coordinate simili di un vettore diretto sufficiente di una linea retta. Todi:

1) se, allora la retta interseca l'area del punto, le cui coordinate possono essere trovate dal sistema di allineamento

2) se i, allora sdraiati dritto sull'aereo;

3) se i, allora è direttamente parallelo al piano.

Nasledok. Se il sistema (*) ha un'unica soluzione, esce direttamente dal piano; Se il sistema (*) non ha soluzioni, allora è direttamente parallelo al piano; Se il sistema (*) ha una soluzione impersonale, giace direttamente sul piano.

Virishennya degli ordini tipici.

Zavdannya №1 :

Le pendenze sono il piano del piano che passa per il punto parallelo ai vettori.

Conosciamo il vettore normale dell'area:

= =

Come normale vettore dell'area, puoi prendere il vettore in modo che la superficie assomigli a questa:

Per scoprirlo è necessario sostituire le coordinate dei punti che giacciono sul piano.

Zavdannya №2 :

Le due facce del cubo giacciono su piani e calcolano il totale del cubo.

Puoi vedere che i piani sono paralleli. La lunghezza del bordo del cubo è compresa tra i piani. Selezioniamo un punto sufficiente sul primo piano: scopriamolo.

Sappiamo come stare tra i piani mentre ti trovi da un punto a un altro piano:

Ebbene, il volume del cubo è antico ()

Zavdannya №3 :

Scopri dove tra le facce, le piramidi e i vertici

Taglia tra piani: taglia tra i vettori normali a questi piani. Conosciamo il vettore normale dell'area: [,];

, O

Simile

Zavdannya №4 :

Le piste sono canoniche e diritte .

Otje,

Il vettore è perpendicolare alla linea, quindi

Bene, la gelosia canonica è semplice.

Zavdannya №5 :

Scopri dove posizionarti tra le linee rette

і .

Direttamente parallelo, perché I loro vettori diretti sono uguali. Andiamo punto e basta giacciono sulla prima retta e il punto giace sull'altra retta. Conosciamo l'area di un parallelogramma in base ai vettori.

[,];

L'altezza del parallelogramma si abbassa dal punto:

Zavdannya №6 :

Calcola la distanza più breve tra le linee rette:

Mostriamo allora cosa accadrà. vettori che non giacciono sullo stesso piano: ≠ 0.

1 modo:

Per mezzo di un'altra retta tracciamo un piano parallelo alla prima retta. Per l'area cercata, vedere quelle che si trovano sul suo vettore. Un vettore normale è un quadrato e un vettore è solido, quindi .

Ora, poiché il vettore normale dell'area può essere preso come vettore, il livello dell'area si potrà vedere in futuro: sapendo che verrà trovato il punto sovrapposto all'area e scriveremo il livello:

Shukana alzarsi - questo alzarsi dal punto della prima linea retta all'aereo secondo la formula:

13.

Metodo 2:

Sui vettori i creeremo un parallelepipedo.

Shukana si alza: questa è l'altezza del parallelepipedo, abbassato da un punto alla sua base, in base ai vettori.

Versione: 13 unità.

Zavdannya №7 :

Trovare la proiezione di un punto su un piano

Il vettore normale dell'area è un vettore diretto di una retta:

Conosciamo il punto della traversa della retta

e la zona:

.

Dopo averlo posizionato in una zona pianeggiante, lo scopriremo, e poi

Rispetto. Per trovare un punto simmetrico al punto del piano, è necessario (analogamente al compito precedente) conoscere la proiezione del punto sul piano, quindi osservare la fetta con le creste al centro, utilizzando le formule.

Zavdannya №8 :

Trovare il livello di una perpendicolare lasciata da un punto su una linea .

1 modo:

Metodo 2:

Si ritiene che Zavodannya venga fatto in un altro modo:

L'area è perpendicolare ad una linea data, quindi il vettore diretto della linea è il vettore normale dell'area. Conoscendo il vettore normale del piano e il punto sul piano, lo scriviamo come segue:

Conosciamo il punto della traversa del piano e della retta, scritti parametricamente:

,

Creiamo una retta che passa per i punti i:

.

Soggetto: .

Lo stesso metodo può essere applicato a quanto segue:

Zavdannya №9 :

Trova un punto simmetrico a un punto dritto .

Zavdannya №10 :

Tricutnik danese con picchi Trova il livello di altezza abbassato dall'alto verso il lato.

L'avanzamento è assolutamente simile ai precedenti.

Soggetto: .

Zavdannya №11 :

Il significato dell'allineamento della perpendicolare arcale a due rette è: .

0.

Per garantire che l'area passi per un punto, scriviamo il valore dell'area:

Il punto è stendersi, così posso vedere il livello del quadrato:

Soggetto:

Zavdannya №12 :

I pendii sono rettilinei e passano per un punto e intersecano linee rette. .

La prima retta che passa per il punto è il vettore diretto; amico – passare attraverso i punti e c'è un vettore diretto

Mostriamo che queste linee rette sono tali da essere combinate, per cui l'origine piegata, le cui righe sono le coordinate dei vettori ,, ,i vettori non giacciono sullo stesso piano.

Disegniamo una linea attraverso i granelli e dritta:

Sia - un punto sufficiente del piano del vettore e complanare. La pianura della pianura si presenta così:.

In modo simile, possiamo creare una superficie piana che possa passare attraverso i bordi e altre linee rette: 0.

Lo shukana è dritto e la traversa dei bemolli, quindi.

Il risultato evidente dopo la trasformazione di questi dati è la formazione delle componenti dichiarate in entrata, l'insieme delle competenze (nobili, rappresentanti, volontari) su due livelli: soglia e superamento. Il livello di soglia riflette le valutazioni di "soddisfacente", il livello spinto mostra le valutazioni di "buono" ed "eccellente", a seconda dei risultati dell'attività del caso.

Per diagnosticare in modo indipendente questi componenti, sarà necessario conoscere le condizioni attuali.

ISCRIZIONE

Capitolo 1. Spazio vicino allo spazio

1 La punta della traversa è diritta e piatta

1 Massacri di posizione diretta nello spazio

2 Taglia tra dritto e piatto

VISNOVOK

ELENCO DEI JERELS DEL VICORISTAN

ISCRIZIONE

Se il livello del primo stadio deve essere coordinato x, y, z

Per + Cz + D = 0

specifica l'area e inoltre: qualsiasi area può essere rappresentata da piani, che sono chiamati piani d'area.

Il vettore n (A, B, C), ortogonale all'area, è chiamato vettore normale dell'area. I coefficienti uguali A, B, C non raggiungono immediatamente 0. Tipi particolari di uguaglianze

D = 0, Ax+By+Cz = 0 – il piano passa per la radice delle coordinate.

C = 0, Ax+By+D = 0 – il piano è parallelo all'asse Oz.

C = D = 0, Ax + By = 0 – l'aereo attraversa l'intero Oz.

B = C = 0, Ax + D = 0 – il piano è parallelo al piano Oyz.

Livello dei piani di coordinate: x=0, y=0, z=0.

È possibile specificare direttamente nello spazio:

) poiché la linea si estende su due piani, quindi. sistema di classificazione:

UN 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1= 0, A 2 x+B 2 y+C 2z+D 2 = 0;

) due dei loro punti M 1(X 1, sì 1, z 1) a M 2(X 2, sì 2, z 2), allora è semplice attraversarli, è una questione di gelosia:

=;

) punto M 1(X 1, sì 1, z 1), che gli appartiene, è il vettore a (m, n, p), che è colineare. Questo è direttamente indicato da uguale:

Rivnyannya è chiamata rivnyannya canonica.

Il vettore a è detto vettore diretto.

L'allineamento parametrico della linea diretta può essere rimosso equiparando la relazione pelle con il parametro t:

X 1+mt, y = y 1+nt, z = z1 + Pt.

Disaccoppiando il sistema come sistema di allineamenti lineari quasi sconosciuti xey, arriviamo ad allineamenti rettilinei nelle proiezioni o prima degli allineamenti diretti:

Mz + a, y = nz + b

Dal livello si può passare al livello canonico, conoscendo z dal livello skin e uguale allo stesso significato:

Dai livelli originali (3.2) si può passare a quello canonico in altro modo, per trovare ogni punto della retta e il vettore diretto n = , dove n 1(UN 1, B 1, C 1) In 2(UN 2, B 2, C 2) – vettori normali di determinati piani. Se uno dei significanti m, n e p degli uguali (3.4) risulta essere uguale a zero, allora il numero della frazione di supporto deve essere posto uguale a zero, allora. sistema

uguale al sistema ; Questa linea è perpendicolare all'asse del bue.

Sistema equivalente al sistema x = x 1,y = y 1; direttamente parallelo all'asse Oz.

Lo scopo del lavoro del corso:confrontare la planarità direttamente con lo spazio.

Dipartimento di lavoro del corso:guarda l'area vicino alla distesa, a livello, e poi guarda l'area vicino alla distesa.

Struttura dei corsi:voce, 2 capitoli, visnovok, elenco delle voci vittoriose.

Capitolo 1. Spazio vicino allo spazio

.1 Punto della traversa di una retta con un piano

Sia data l'area Q al tipo lineare: Ax+By+Cz+D=0, e la retta L alla vista parametrica: x=x 1+mt, y=y 1+nt, z=z 1+pt, allora per conoscere il punto della traversa della retta L e del piano Q occorre conoscere il valore del parametro t per cui punto della retta giace sul piano. Sostituendo i valori di x, y, z, del livello dell'area ed esprimendo t, possiamo rimuovere

I valori di t saranno gli stessi, poiché le rette non sono parallele.

Le menti del parallelismo e della perpendicolarità delle rette e dei piani

Diamo un'occhiata direttamente L:

e planarità?

La retta L è un'area? :

a) perpendicolare all'uno e all'altro, se il vettore diretto è rettilineo un vettore normale I piani sono quindi colineari.

b) parallelo ad uno e più di uno, se vettori і perpendicolare, quindi.

y Am + Bn + Ср = 0.

.2 Taglio tra dritto e piatto

Kut ?tra il vettore normale dell'area è vettore diretto diretto calcolato utilizzando la seguente formula:

Grappolo di appartamenti

L'insieme di tutti i piani che passano per una data retta L si chiama fascio di piani, e la retta L si chiama fascio intero. Lascia che l'intero gruppo sia pieno di gelosie

Moltiplichiamo ogni altro livello del sistema termine per termine e sommiamolo con il primo livello:

UN 1x+B 1y+C 1z+D 1+ ?(UN 2x+B 2y+C2 z+D 2)=0.

La cerimonia è il primo passo secondo x, y, z i, quindi, per qualsiasi valore numerico ?significa planarità. Poiché questo livello è il successore di due livelli, allora le coordinate del punto che soddisfano questi livelli soddisferanno anche questo livello. Bene, per qualunque valore numerico ?dati un piano e un piano d'area passante per una data retta. Otrimana è uguale valle di un mucchio di appartamenti.

culo.Scrivi il piano del piano che passa per il punto M 1(2, -3, 4) parallela alla retta

Decisione.Annotiamo l'allineamento dei collegamenti delle pianure da passare per il punto M1 :

A (x – 2) + B (y + 3) + C (z – 4) = 0.

Se l'area richiesta è parallela a queste rette, allora il vettore normale è perpendicolare ai vettori rette. molto dritto. Pertanto, poiché il vettore N può essere preso come vettore di vettori:

Inoltre, A = 4, B = 30, C = - 8. Presentando i valori trovati di A, B, Z, viene rimosso il livello della connessione tra i piani

4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 oppure 2x + 15y - 4z + 57 = 0.

culo.Trova il punto della traversa della retta e l'area è 2x + 3y-2z + 2 = 0.

Decisione.Scriviamo il confronto di questa retta con la vista parametrica:

Sostituiamo le espressioni per il livello x, y, z dell'area:

(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.

Sostituiamo t = 1 allineamento parametrico della retta. Non può essere rifiutato

Bene, quel piano è dritto nel punto M(3, 2, 7).

culo.Conosci il taglio ?tra la linea retta quell'area è 4x-2y-2z+7=0. Decisione.Formuliamo la formula (3.20). Quindi sì

Quello

Ozhe,? = 30°.

La linea retta dello spazio è infinita, quindi devi chiederla con molta attenzione. Nel corso scolastico di geometria euclidea c’è un assioma: “attraverso due punti nello spazio si può tracciare una linea retta e, prima di questa, una sola”. Inoltre, sul diagramma una linea retta può essere definita da due proiezioni frontali e due orizzontali di punti. Se una linea retta non è una linea retta (e non è una curva), allora da una base solida possiamo collegare i punti in una linea retta e disegnare una proiezione frontale e orizzontale della linea retta (Fig. 13).

Prova della svolta: i piani di proiezione V e N hanno due proiezioni a" b" e ab (Fig. 14). Disegniamo dei piani attraverso di essi, perpendicolari ai piani di proiezione V e H (Fig. 14), la linea della traversa dei piani sarà diritta AB.

.1 Massacro della posizione della posizione diretta nello spazio aperto

Nei casi da noi esaminati, le rette non erano né parallele né perpendicolari ai piani di proiezione V, H, W. La maggior parte delle rette occupano tale posizione nello spazio e sono chiamate rette dello spazio esterno. La puzza può essere ascendente o discendente (risultato da solo).

Nella fig. La Figura 17 mostra la linea retta della cornice frontale, definita da tre sporgenze. Diamo uno sguardo alla famiglia delle linee che incombono sulle autorità importanti: linee rette, parallele a qualunque piano di proiezione.

Nella fig. La Figura 17 mostra la linea retta della cornice frontale, definita da tre sporgenze.

Diamo uno sguardo alla famiglia delle linee che incombono su importanti autorità: linee rette, parallele a qualunque piano di proiezione.

a) Retta orizzontale (nota anche come retta orizzontale, retta orizzontale). Questa è quella che viene chiamata una linea retta parallela al piano orizzontale di proiezione. Le immagini dello spazio sul diagramma sono mostrate in Fig. 18.

La linea orizzontale è facilmente riconoscibile sul diagramma “in apparenza”: la sua proiezione frontale è sempre parallela all'asse del BUE. La potenza più importante dell’orizzontale è formulata come segue:

In orizzontale, la proiezione frontale è parallela all'asse del BUE e la proiezione orizzontale è a grandezza naturale. Un'adeguata proiezione orizzontale della linea orizzontale sul diagramma consente di determinare il taglio e la pendenza rispetto alla zona V (taglio b) e alla zona W (y) - Fig. 18.

b) Retta frontale (frontale, linea retta del livello frontale) - è diritta, parallela al piano frontale della proiezione. Non li illustriamo con immagini reali, ma li mostriamo come diagrammi (Fig. 19).

Il diagramma frontale è caratteristico in quanto le proiezioni orizzontali e del profilo sono parallele agli assi X e Z, e la proiezione frontale è sufficientemente ampliata e mostra la dimensione naturale della parte anteriore. È utile sul diagramma avere una proiezione da dritta a orizzontale (a) e di profilo (piano). Bene, ancora una volta:

Nella parte anteriore: la proiezione orizzontale è parallela all'asse del BUE e la proiezione frontale è a grandezza naturale

c) Profilo dritto. Ovviamente questo è rettilineo, parallelo al piano del profilo della proiezione (Fig. 20). È anche ovvio che la dimensione naturale della retta del profilo è sul piano del profilo della proiezione (proiezione a “b” - Fig. 20) e qui si possono aumentare gli spigoli ai piani H (a) e V (b ).

Sta arrivando una famiglia di linee rette, che vogliono essere importanti quanto le linee rette, non proiettare linee rette.

Le linee rette, perpendicolari ai piani di proiezione, sono chiamate linee proiettanti (per analogia con le linee proiettanti - Fig. 21).

AB pl. H - sporgenza orizzontale diritta; per favore V - dritto sporgente in avanti; per favore W - proiezione del profilo dritto.

2.2 Taglio tra dritto e piatto

trikutnik piatto a taglio dritto

Metodo tricutaneo a taglio dritto

La linea retta dell'accampamento, come ci è stato detto, è costruita fino al livello della proiezione sotto una copertura piuttosto ampia.

Il kut tra la retta e il piano è indicato dal kut piegato dalla retta e dalla sua proiezione su questo piano (Fig. 22). Kut a significa kut nahilu vidrezka AB al pl. NW fig. 22: Lab1 | 1pl. N; Sib1 = Sib – Laa = Z Fig. 22

Nella fresa diritta ABb1, la gamba Ab1 ha la stessa proiezione orizzontale di ab; e l'altra gamba Bb1 ha la stessa differenza tra i punti A e B del quadrato. N. Se dai punti sulla proiezione orizzontale si traccia perpendicolare la retta ab e si pone su un nuovo valore Z, allora, collegando il punto a con il punto disegnato b0, si sottrae l'ipotenusa ab0, pari alla grandezza naturale della sezione AB. Nel diagramma appare così (piccolo 23):

La proiezione (b) è mostrata in modo simile – fig. 24.

Ritorniamo all'attenzione: quando si lavora su una proiezione diretta orizzontale, aggiungiamo un ulteriore valore diretto di Z; per le visite giornaliere sulla proiezione frontale - il valore Y.

Il metodo esaminato è chiamato metodo tricutaneo a taglio dritto. Con questo aiuto è possibile calcolare la dimensione naturale di qualsiasi tipo di ritaglio di cui stiamo parlando, nonché come raggiungere le superfici di proiezione.

Diventando reciprocamente etero

In precedenza, abbiamo esaminato il potere di appartenenza di un punto a una retta: se un punto giace su una retta, le sue proiezioni giacciono sulle stesse proiezioni di una retta (regola di appartenenza, div. Fig. 14). In un corso di geometria scolastica puoi indovinare: due rette si intersecano in un punto (oppure: se due rette toccano un punto, allora si intersecano in quel punto).

Le proiezioni delle rette che attraversano la retta mostrano un segno ben visibile sul diagramma: le proiezioni del punto trasversale giacciono sulla stessa retta (Fig. 25). Efficace: punto K per posizionare i AB e CD; nel diagramma il punto k si trova sulla stessa linea del punto k.

Dritto AB e CD: riproduzione casuale

Nel caso di possibile espansione reciproca di due rette nello spazio, le rette si incontreranno. È possibile disgregarsi se le linee rette non sono parallele e non si spostano. Tali linee rette possono essere posizionate su due superfici parallele (Fig. 26). Ciò non significa affatto che due rette che si incontrano, giacciano strettamente insieme su due piani paralleli; e soprattutto quelli che attraverso di essi è possibile tracciare due piani paralleli.

Le proiezioni di due rette che si incontrano possono sovrapporsi, a meno che i punti della loro intersezione non giacciano sulla stessa linea di collegamento (Fig. 27).

È preferibile nutrirsi in punti concorrenti (Fig. 27). Nella proiezione orizzontale ci sono due punti (e, f), ma nella vista frontale si fondono in uno solo (e "f"), e non è chiaro quale punto sia visibile e quale non sia visibile (punti concorrenti).

Due punti le cui proiezioni frontali si uniscono sono detti concorrenti frontalmente.

Abbiamo visto una caduta del genere in precedenza (Fig. 11), in modo che “si spostano reciprocamente due punti”. Ecco perché vale la regola:

Tra due punti concorrenti quello visibile è quello la cui coordinata è maggiore.

3 fig. 27 si vede che la proiezione orizzontale del punto E (e) è distante dall'asse OX, il punto inferiore è f. Inoltre, la coordinata Y del punto “e” è maggiore, inferiore al punto f; Quindi sarà visibile il punto E. Nella proiezione frontale, il punto f" è posizionato tra i braccioli come se fosse invisibile.

Ancora una eredità: il punto e giace sulla proiezione della retta ab, e t significa che sulla proiezione frontale la retta a"b" è stesa "sopra" la retta c"d".

Linee parallele

Le linee parallele sul diagramma sono facili da riconoscere nel loro aspetto, poiché sono le stesse proiezioni di due linee parallele - parallele.

Riacquistare il rispetto: è la stessa cosa! Tobto. le proiezioni frontali sono parallele tra loro e quelle orizzontali sono parallele tra loro (Fig. 29).

Dimostrazione: in Figura 28 ci sono due rette parallele AB e CD. Disegniamo attraverso di essi i piani sporgenti Q e T: appariranno paralleli (poiché due linee rette si intersecano, un piano parallelo a due interseca con un altro piano, allora tali piani sono paralleli).

Nel diagramma 3a sono specificate rette parallele, nel diagramma 30b le rette si incontrano, sebbene in entrambi i casi le proiezioni frontale e orizzontale siano tra loro parallele.

Risulta però che è possibile determinare le posizioni relative delle due rette del profilo senza entrare nelle terze proiezioni. Per fare ciò è sufficiente collegare le estremità della proiezione con ulteriori linee rette, come mostrato in Fig. 30. Apparirà che i punti incrociati di queste linee rette giacciono sulla stessa linea di collegamento - le rette del profilo sono parallele tra loro - Fig. . Z0a. Come si intersecano le linee rette del profilo (Fig. 306).

Tipi particolari di rette:

Proiezioni del taglio diretto

Poiché due rette si intersecano con una retta, le loro proiezioni creano una retta che non è uguale a 90° (Fig. 31).

Quando i frammenti vengono trasferiti tra due piani paralleli, il terzo della tessitura esce parallelo a linee rette, quindi le proiezioni orizzontali ab e cd sono parallele.

Se ripetiamo l'operazione e proiettiamo AB e CD diretti sul piano di proiezione frontale, annulleremo lo stesso risultato.

Una caduta speciale è costituita da due linee di profilo, definite da proiezioni frontali e orizzontali (Fig. 30). Come si è detto le rette di profilo hanno proiezioni frontali e orizzontali parallele tra loro, tuttavia è impossibile giudicare il parallelismo di due rette di profilo senza una terza proiezione.

Zavdannya. Posizionare la tricutula equilatera ABC, la cui gamba BC giace sulla retta MN (Fig. 34).

Decisione. Il diagramma mostra che la retta MN è orizzontale. E dietro il bagno c'è un tricutnik: taglio dritto.

La potenza accelerata della proiezione del taglio diretto si abbassa dal punto “a” perpendicolare alla proiezione mn (sul quadrato H il nostro taglio diretto viene proiettato senza interferenze) - fig. 35.

Oltre alla linea retta tracciata dall'estremità del taglio sotto il taglio dritto a questo, vikoristeremo parte della proiezione orizzontale della linea retta e bm stessa (Fig. 36). Inseriamo su di esso il valore della differenza delle coordinate Z, prese dalla proiezione frontale, e colleghiamo il punto “a” alla fine della sezione tagliata. Rifiutiamo il valore naturale della gamba AB (ab ; ab).

Le Figure 31 e 32 mostrano due angoli retti che si allineano tra loro a 90° (nella Figura 32 queste rette giacciono nello stesso piano P). Come Bachimo, sugli schemi le creazioni sono realizzate con proiezioni dritte, non pari a 90°.

Riassumiamo la nutrizione guardando le proiezioni della fonte diretta della causa immediata:

Se un lato del taglio dritto è parallelo a qualsiasi piano di proiezione, il taglio dritto viene proiettato su quel piano senza alcuna confusione (Fig. 33).

Non spiegheremo questa posizione (la proporremo in autonomia), ma vediamo i vantaggi che possono derivare da questa regola.

Davanti a noi è significativo che dietro la testa uno dei lati del taglio dritto sia parallelo a un qualsiasi piano di proiezione, quindi uno dei lati sarà o quello frontale o quello orizzontale (magari una retta di profilo) - Fig . 33.

E il frontale e l'orizzontale sul diagramma sono facilmente riconoscibili “in apparenza” (una delle proiezioni è parallela all'asse del OX), oppure possono essere facilmente sostituiti se necessario. Inoltre, i piani frontale e orizzontale hanno il potere più importante: una delle loro proiezioni riflette compiacente

In base alla regola del potere, conosciamo la proiezione frontale del punto b" dietro la linea aggiuntiva di connessione. Abbiamo una gamba AB (a" b "; ab).

Per posizionare la gamba BC sul lato MN, occorre prima calcolare la dimensione effettiva del taglio AB (a D ; ab). A questo scopo la velocità è già conforme alla regola del tricut rettilineo.

VISNOVOK

Zagalnya direttamente dallo spazio aperto

La linea retta può essere vista come la linea retta tra due piani. Una volta esaminato l'oggetto, l'area della forma vettoriale può essere assegnata ai piani:

× + D = 0, de

Superficie normale; - il raggio è il vettore di un punto significativo del piano.

Supponiamo che lo spazio abbia due piani: × +D 1= 0 t.a × +D 2= 0, vettori normali e coordinate: (UN 1, B 1, C 1), (UN 2, B 2, C 2); (x, y, z). Ecco una linea diretta in forma vettoriale:

Allineamento diretto in forma di coordinate:

A questo scopo è necessario conoscere il punto completo della retta e i numeri m, n, p. In questo caso, il vettore diretto può essere trovato come addizione vettoriale di vettori normali a determinati piani.

Livello della piazza vicino alla distesa

Diamo un punto è un vettore diverso da zero (Poi , de

A proposito è il vettore normale.

Yakshcho , , , ... poi la gelosia puoi cambiarlo a vista . Numeri , і , і

Andiamo - come la punta dell'aereo, - Vettore perpendicolare al piano. Todi Rivnyanya Rende la superficie uniforme.

Coefficienti , ; in piazza Rivnyanna є coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Come dividere il livello dell'area per il numero uguale al valore del vettore , quindi togliamo la planarità della forma normale.

Piazza Rivnyannya, come passare attraverso il punto sembra che sia perpendicolare a un vettore diverso da zero .

Se è uguale alla prima fase definisce un'unica area per lo spazio delle coordinate, che è perpendicolare al vettore con coordinate.

Rivnyannya є aree piane per passare attraverso il punto è perpendicolare a un vettore diverso da zero.

Planarità della pelle è specificato nel sistema di coordinate rettilinee , , ai nostri coetanei.

per le menti che tra i coefficienti , , є diverso da zero, imposta l'area dello spazio nel sistema di coordinate rettilinee. L'area dello spazio è specificata nel sistema di coordinate rettilinee , , uguale in mente , per la mente, scho.

Quella svolta è più corretta: il rispetto della mente A proposito specifica l'area dello spazio nel sistema di coordinate rettilinee.

De , , , , ,

L'area della distesa è impostata al livello , de , , , - numeri attivi, e , , contemporaneamente diverso da 0 e impostare le coordinate del vettore , perpendicolare a questo piano e chiamato vettore normale.

Diamo un punto è un vettore diverso da zero (Poi ). Il vettore Todi non è a livello dell'area , de - punto del piano sufficiente) appare in apparenza - il livello dell'area dietro il punto e il vettore normale.

Prima fase della cura della pelle A proposito posto nel sistema di coordinate rettilinee un'area per ciascun vettore è il vettore normale.

Yakshcho , , , , poi gelosia puoi cambiarlo a vista . Numeri , і pari ai dovzhin delle talee, che aumentano lo spessore sugli assi , і ovviamente. Ecco perché sono geloso è chiamato il livello del piano "ai tagli".

ELENCO DEI JERELS DEL VICORISTAN

1.Stereometria. Geometria nello spazio. Alexandrov A.D., Werner A.L., Rizhik V.I.

2.Alexandrov P. S. Corso di geometria analitica e algebra lineare. – Redazione principale della letteratura fisica e matematica, 2000. – 512 p.

.Beklemishev D.V. Corso di geometria analitica e algebra lineare, 2005. – 304 p.

.Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometria analitica: Navch. per le università. – 7a edizione, ster., 2004. – 224 p. - (Corso di matematica avanzata e fisica matematica.)

.Efimov N.V. Corso breve di geometria analitica: Beg. ulteriore aiuto. - 13 visualizzazioni, stereo. –, 2005. – 240 pag.

.Kanatnikov O.M., Krischenko O.P. Geometria analitica. -2a vista. -, 2000, 388 s (Ser. Matematica presso l'Università Tecnica

.Kadomtsev SB. Geometria analitica e algebra lineare, 2003. – 160 p.

.Fedorchuk V.V. Corso di geometria analitica e algebra lineare: Beg. Pos_bnik, 2000. – 328 pag.

.Geometria analitica (dispense di E.V. Troitsky, 1° anno, 1999/2000) – 118 p.

.Bortakovsky, A.S. Geometria analitica in applicazioni e problemi: Navch. Pos_bnik/O.S. Bortakovsky, A.V. Panteleev. -Visch. scuola, 2005. – 496 z: ill. - (Serie "Matematica applicata").

.Morozova E.A., Sklyarenko E.G. Geometria analitica. Manuale metodologico 2004. – 103 p.

.Istruzioni metodiche e programma di lavoro per il corso “Vishcha Mathematics” – 55 p.

Le due linee sono parallele nello spazio, quindi gli odori giacciono sullo stesso piano e non si spostano.

Due linee rette si incontrano nello spazio aperto, come se non esistesse uno spazio dove sdraiarsi, un tale fetore.

Il segno è quello di incontrare linee rette. Se una delle due rette si trova vicino all'azione e alla latitudine, e l'altra retta attraversa questo piano in un punto che non si sovrappone alla prima retta, allora queste rette si incontrano.

Il piano è dritto, per non sovrapporsi al piano, parallelo, in modo che l'odore non tocchi i punti dormienti.

Segno di parallelismo di una retta e di un piano. Ogni retta che non giace su un piano è parallela ad un piano.

Potenza di un piano e di un piano rettilineo parallelo:

1) se il piano è posto su una linea retta, parallela ad un altro piano, e attraversa questo piano, allora la linea della croce dei piani è parallela a queste rette;

2) se attraverso la pelle passano due rette parallele che si incrociano, allora la linea della loro incrocio è parallela a queste rette.

I due piani sono paralleli, in modo che la puzza non permei i punti di riposo.

Segno di parallelismo dei piani, poiché due piani rettilinei dello stesso piano, che si intrecciano, sono paralleli a due, e gli altri piani sono paralleli tra loro.

Direttamente perpendicolare al piano, poiché è perpendicolare a qualsiasi retta che giace sul piano.

Segno di perpendicolarità di una retta e di un piano: se una retta è perpendicolare a due rette che si sovrappongono e giacciono vicine ad un piano, allora è perpendicolare al piano.

La potenza è diritta, perpendicolare al piano.

1) se una delle due rette parallele è perpendicolare ad un piano, allora l'altra retta è perpendicolare a quel piano;

2) rettilineo, perpendicolare ad uno dei due piani paralleli, perpendicolare all'altro piano.

Segno di perpendicolarità dei piani. Se il piano è perpendicolare ad un altro piano, è perpendicolare a questo piano.

Una retta che attraversa un piano ma non è perpendicolare ad esso si dice retta al piano.

Teorema sulle tre perpendicolari. Affinché la retta giacente sul piano sia perpendicolare alla superficie, è necessario e sufficiente che sia perpendicolare alla proiezione del piano sul piano.

Diretto al bambino 1 B− rapito al livello, dritto C- proiezione del valore su superficie e frammenti UN┴ H, Quello UN┴ B

L'area tra la superficie e l'area è chiamata area tra l'area e la proiezione sull'area. Diretto al bambino 2 B- rapito nell'appartamento, dritto UN- proiezione dell'intera superficie sulla superficie, α - la distanza tra l'intera e il piano.

La cresta diedrale si forma come risultato dell'incrocio tra due piani. Il dritto, tagliato dopo la traversa di due piani, è chiamato bordo di un taglio diedrico. I due piani con il controspigolo si chiamano facce del taglio diedro.

La superficie tra la quale incontra il bordo del bordo diedro e divide il bordo diedro in due parti uguali è chiamata piano senza settori.

Il taglio diedro appare come un taglio lineare simile. Il taglio lineare di un taglio diedro è chiamato taglio tra le perpendicolari tracciate dal bordo della pelle al bordo.

Prisma

Ricca sfaccettatura, due facce della stessa cosa N- kosintsi, che si trovano vicino a pianure parallele, e reshta N facce - parallelogrammi, chiamati N- un prisma vugulare.

Due N- la treccia ha basi prismatiche, parallelogrammi – facce laterali. I lati delle facce sono chiamati bordi del prisma e le estremità dei bordi sono chiamati vertici del prisma.

L'altezza di un prisma è la sezione della perpendicolare compresa tra le basi del prisma.

La diagonale di un prisma si chiama sezione che collega due vertici delle basi in modo che non giacciano sulla stessa faccia.

Un prisma diritto è un prisma le cui nervature laterali sono perpendicolari ai piani delle basi (Fig. 3).

Un prisma sottile è un prisma le cui nervature laterali sono sottili rispetto ai piani di base (Fig. 4).

L'area e la superficie del prisma di altezza possono essere trovate utilizzando le formule:

L'area della superficie della canna di un prisma dritto può essere calcolata utilizzando la formula.

Volume e superficie di un prisma sottile (Fig. 4) si calcola allo stesso modo: dove ΔPNK è un taglio perpendicolare allo spigolo l.

Un prisma corretto è chiamato prisma dritto, la cui base è un corpo ricco e corretto.

Un prisma si chiama parallelepipedo; tutte le sue facce si chiamano parallelogrammi.

Un parallelepipedo dritto è un parallelepipedo le cui nervature laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.

Un paralelepipedo dritto è chiamato parallelepipedo dritto, la cui base è il retto.

Potenza delle diagonali di un parallelepipedo rettilineo

Il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettilineo è uguale alla somma dei quadrati di tre mondi: D² = UN² + B² + C², de a,b,c- costole dozhin che emergono da un vertice, D- diagonale del parallelepipedo (Fig. 3).

Il volume di un parallelepipedo rettangolare è determinato dalla formula V = abc.

Un cubo è un parallelepipedo rettangolare con gli spigoli diritti. Tutte le facce del cubo sono quadrate.

Il volume, la superficie e la diagonale di un cubo con uno spigolo possono essere trovati utilizzando le formule:

V = UN³, S = 6UN² D² = 3 UN².

Piramide

Una faccia ricca, di cui una è ricca di cuticola e le altre facce sono tricutanee con apice laterale, è chiamata piramide. La tricutanea è chiamata base della piramide e le tricutanee sono chiamate facce laterali.

L'altezza della piramide è la sezione della perpendicolare tracciata dalla sommità della piramide alla superficie del supporto.

Poiché tutte le nervature laterali della piramide sono livellate o allungate rispetto al piano della base proprio sotto questo palo, l'altezza scende al centro del paletto descritto.

Poiché i bordi laterali della piramide sono costruiti fino al piano della base sotto il paletto stesso (bordi diedrali alla base del livello), l'altezza scende al centro del paletto inscritto.

La piramide è detta regolare perché la sua base è l'ornato regolare, e l'altezza cade al centro del paletto dell'ornato inscritto e descritto, che sta alla base della piramide. L'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, calcolata a partire dal vertice, è detta apotema.

Ad esempio, il bambino 5 mostra una piramide regolare composta da tre pezzi SABC(tetraedro): AB= AVANTI CRISTO.= AC.= UN, DE = r- raggio del paletto inscritto nel tricut ABC, O.A.=R- raggio del paletto descritto dal dotto biliare ABC, COSÌ=H- Altezza

piramidi, SD = io- apotema, - kut nahilu bichnogo

costolette SA al piano di base, - tagliare al bordo laterale SBC al piano della base della piramide.

La piramide tricutanea è chiamata tetraedro. Un tetraedro si dice regolare perché i suoi bordi sono uguali.

Osserva la piramide e l'area della superficie utilizzando le formule:

De H- Altezza della piramide.

L'area della superficie della canna di una piramide regolare conoscere la formula, de – apotema della piramide.

Una piramide tronca è chiamata poliedro, i cui vertici sono i vertici della base della piramide e i suoi vertici tagliati da un piano parallelo alla base della piramide. Immagina una piramide tronca, simile ai ricchi cespugli.

È necessario seguire la formula di una piramide tronca , dove è l'area della base, h è l'altezza del tronco di piramide.

Richedri corretti

Un agiedro regolare è un agiedro convesso, in cui tutte le facce sono agiedri regolari con lo stesso numero di lati e lo stesso numero di spigoli convergono nel vertice esterno dell'agiedro.

Le facce di un poliedro regolare possono essere tricubitule con lati uguali, oppure quadrati, o pendenticoli regolari.

Poiché un richahedro regolare ha facce tricutanee regolari, i richahedri corrispondenti sono un tetraedro regolare (ha 4 facce), un ottaedro regolare (ha 8 facce) e un icosaedro regolare (ha 20 facce).

Poiché un poliedro regolare ha facce quadrate, il poliedro è chiamato cubo o esaedro (ha 6 facce).

Poiché un richahedro regolare ha facce esagonali regolari, il richahedro è chiamato dodecaedro (ha 12 facce).

Cilindro

Un cilindro è una figura creata avvolgendo un rettangolo attorno a un lato.

Direttamente al bambino 6 - tutta la confezione; - Altezza, l- Conferma; ABCD- sezione assiale del cilindro, tagliata lateralmente dagli involucri della taglierina diritta. Il volume e la superficie del cilindro possono essere trovati utilizzando le formule:

, , ... de R- raggio di base, H- Altezza, l- chiude il cilindro.

Cono

Un cono è una figura ricavata dall'avvolgimento di un tricubito rettilineo vicino a una delle gambe. Diretto al bambino 7 O.B.- tutto l'avvolgimento; O.B. = H- Altezza, l- approvare;Δ ABC- sezione assiale del cono, recisa dagli involucri della tricutanea rettocutanea OBC vicino alla gamba O.B..