Il segno del modulo, forse, è uno dei fenomeni più famosi in matematica. A zv'yazku z tsim a ricchi scolari postano la nutrizione, come programmi buduvat di funzioni, scho per vendicare il modulo. Facciamo rapporto sulla catena alimentare.

1. Funzioni grafiche Pobudova, cosa sostituire il modulo

Esempio 1.

Indurre il grafico della funzione y = x 2 - 8 | x | + 12.

Soluzione.

La parità della funzione è significativa. I valori per y(-x) sono presi dai valori per y(x), quindi la funzione è accoppiata. Todi її programma simmetrico shdo osі Oy. Sarà il grafico della funzione y = x 2 - 8x + 12 per x ≥ 0, e il grafico di Oy sarà visualizzato simmetricamente per x negativo (Fig. 1).

culo 2.

Pianificazione imminente mind y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Qual è lo scopo della funzione proposta? (y ≥ 0).

- Come viene ridisegnato il programma? (Sopra la parte superiore dell'ascissa o sporgente її).

Tse significa che il grafico della funzione ha il seguente ordine: il grafico della funzione y \u003d x 2 - 8x + 12 riempirà la parte del grafico, che si trova sopra la linea Ox, senza cambiare, e la parte del grafico, che si trova sotto la linea dell'ascissa, lo mostra simmetricamente all'asse Ox (Fig. 2).

Esempio 3.

Per incoraggiare il grafico della funzione y = | x 2 - 8 | x | + 12 | eseguire una combinazione di trasformazioni:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Suggerimento: Figura 3.

Guarda la trasformazione della fiera in tutti i tipi di funzioni. Facciamo una tabella:

2. Grafici di funzioni di Pobudova, come nella formula "inserisci moduli"

Abbiamo già imparato a conoscere i mozziconi della funzione quadratica, come vendicare il modulo, nonché le regole di base per creare grafici di funzioni della forma y = f (| x |), y = | f(x) | e y = |f(|x|)|. La trasformazione del Qi ci aiuterà per un'ora a guardare il calcio offensivo.

Esempio 4.

Osserviamo una funzione di tipo y = |2 – |1 – |x|||. Viraz, che imposta la funzione, rimuove l'inserimento del modulo.

Soluzione.

Accelerazione con il metodo delle trasformazioni geometriche.

Annotiamo le lanterne delle ultime modifiche e zrobimo al centro della poltrona (Fig. 4):

y=x → y=| x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Diamo un'occhiata al vipadki, se la trasformazione della simmetria e del transfert parallelo è la tecnica principale per incoraggiare gli orari.

Esempio 5.

Induci il grafico della funzione nella forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Soluzione.

La prima volta sarà il programma, rifaremo la formula, che è la funzione data, che viene tolta, altrimenti viene data la funzione analitica (Fig. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Rozkriёmo al banner del modulo:

Per x > -2, y = x - 2 e per x< -2, y = -(x – 2).

Area di destinazione D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Area dei valori E(y) = (-4; +∞).

Punti, in cui il grafico cambia lungo gli assi delle coordinate: (0; -2) e (2; 0).

La funzione cambia su tutti gli intervalli x (-∞; -2), cresce in x out -2 a +∞.

Qui abbiamo avuto la possibilità di decifrare il segno del modulo e di sviluppare un grafico della funzione dell'eruzione cutanea.

Esempio 6.

Diamo un'occhiata alla funzione y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Soluzione.

Esplorando il segno del modulo, è necessario osservare la diversa combinazione di segni dei versi del sottomodulo.

Forse alcuni vipadki:

(x + 1 - x + 2 = 3, con x ≥ -1 e x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, con x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, per x ≥ -1 i x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, con x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Stessa funzione look matime look:

(3, per x ≥ 2;

y = (-3, in x< -1;

(2x – 1, con -1 ≤ x< 2.

Abbiamo tolto la funzione lump-set, il cui grafico è raffigurato come un piccolo 6.

3. Algoritmo per indurre grafici di funzioni nella forma

y = un 1 | x - x 1 | + un 2 | x - x 2 | + … + una n | x - x n | + ascia + b.

Sul calcio anteriore, è facile aprire i segni del modulo. Se la somma dei moduli è maggiore, è problematico esaminare tutte le combinazioni di segni dei sottomoduli. Come posso indurre il programma di una funzione in chi?

È importante che il grafico abbia un laman, con vertici in punti, che le ascisse possano essere -1 e 2. A x = -1 e x = 2, i sottomoduli sono uguali a zero. In modo pratico, ci siamo avvicinati alla regola di incoraggiare tali orari:

Grafico della funzione nella forma y = a 1 | x - x 1 | + un 2 | x - x 2 | + … + una n | x - x n | + ascia + b є laman con inesauribili lanci estremi. Per indurre un tale laman, è sufficiente conoscere tutti i vertici її (ascisse dei vertici є zero pіdmodulnyh virazіv) e un punto di controllo a sinistra ea destra dei lankas non scuoiati.

Manager.

Indurre il grafico della funzione y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | e sapere è il meno importante.

Soluzione:

Zero virus submodulari: 0; -1; 1. Cime di lamanoi (0; 2); (-13); (13). Punto di controllo destro (2; 6), malvagio (-2; 6). Ci sarà un programma (Fig. 7). minimo f(x) = 2.

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Il modulo è uno di quei discorsi silenziosi, su tutti i chules, ma in verità, normalmente nessuno capisce. Fino ad oggi ci sarà una grande lezione, assegnazioni al top della linea dai moduli.

Te lo dico subito: la lezione sarà imbarazzante. І moduli vzagalі argomento vzagalі è particolarmente goffo. “Quindi, ovviamente, imbarazzante! Il mio cervello sta crescendo! - per dire un sacco di apprendimento, ma tutti i cervelli vengono esplorati attraverso quelli che la maggior parte delle persone non ha conoscenza in testa, ma come merda. La prima lezione è trasformare la merda in conoscenza.

Teoria di Trochi

Quindi andiamo. Cominciamo con la cosa più importante: cos'è un modulo? Immagino che il modulo del numero sia proprio lo stesso numero, ma prendilo senza il segno meno. Tobto, ad esempio, $ \ sinistra | -5 \destra | = $5. Abo $\sinistra | -129,5\destra | = $ 129,5.

È tutto semplice? Sì, semplice. E perché vale il modulo di un numero positivo? Qui è ancora più semplice: il modulo di un numero positivo è uguale al numero stesso: $ \ left | 5\destra | = $ 5; $\sinistra| 129,5\destra | = $ 129,5 ecc.

Esci da tsіkava ricco: numeri diversi possono essere lo stesso modulo. Ad esempio: $ \ sinistra | -5 \destra|=\sinistra| 5\destra | = $ 5; $\sinistra| -129,5 \destra|=\sinistra| 129,5\destra | = $ 129,5. Non importa se i numeri sono gli stessi per alcuni moduli: i numeri sono gli stessi. Inoltre, è importante notare che il modulo dei numeri opposti è uguale:

\[\sinistra| -a \destra|=\sinistra| a\giusto|\]

Altro fatto importante: il modulo non è affatto negativo. Hanno preso il numero mi - anche se è positivo, se è negativo - il modulo yogo sarà sempre positivo (o all'estremo sarà zero). Per questo motivo, il modulo è spesso chiamato il valore assoluto di un numero.

Inoltre, poiché è possibile assegnare un modulo per un numero positivo e uno negativo, è necessario assegnare un modulo globale per tutti i numeri. E se stesso: il modulo del numero è uguale al numero stesso, se il numero è positivo (o zero), o se il numero è uguale al numero opposto, se il numero è negativo. Puoi scrivere la stessa formula:

Più è il modulo di zero, ma vin zavzhdi è uguale a zero. Inoltre, lo zero è solo, poiché non c'è opposto.

In questo modo, diamo un'occhiata a $ y = \ left | x \right|$ e proviamo a disegnare il programma її, allora vedremo questo “daw”:

Grafico del modulo e calcio di perfezione

Dalla parte inferiore dell'immagine puoi vedere chiaramente che $ \ left | -m \destra|=\sinistra| m \right|$, e il grafico del modulo non scende al di sotto dell'asse x. Eppure, non tutto: la linea rossa segna la retta $y=a$, quindi con $a$ positivo ci dà due radici: $((x)_(1))$ і $((x)_(2)) $, ma ne parliamo dopo. :)

La crema di un design puramente algebrico è più geometrica. È possibile che ci siano due punti sulla linea dei numeri: $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$. І qui viraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ - non spostarti solo tra punti designati. Abo, come sempre, un buon vіdrіzka, scho zadnuє tsі indica:

Di cui si pronuncia anche la designazione, che il modulo è sempre negativo. Passiamo agli uguali giusti.

Formula di base

Bene, Harazd, sono usciti dagli appuntamenti. Ale non si sentiva meglio. Come controllare il livello, cosa si dovrebbe fare su questo modulo stesso?

Calmo ma calmo. Iniziamo con i discorsi più semplici. Diamo un'occhiata a qualcosa del genere:

\[\sinistra| x\destra|=3\]

Quindi, aggiungi $x$ modulo 3. A cosa puoi aggiungere $x$? Bene, a giudicare dalla nomina, siamo totalmente al potere $x=3$. Diyno:

\[\sinistra| 3\destra|=3\]

Quali sono gli altri numeri? Cap nibi tira, scho є. Ad esempio, $ x = -3 $ - per il nuovo $ \ left | -3 \destra | = 3 $, quindi. vince l'equanimità necessaria.

Quindi, forse, per scherzo, pensa, conosciamo i numeri? E l'asse è rotto: non ci sono più numeri. Rivnyannia $ \ sinistra | x \right|=3$ può avere solo due radici: $x=3$ e $x=-3$.

Ora i troch possono essere messi in ordine. Lascia che la funzione $f\left(x \right)$ cambi sotto il segno del modulo, e il sostituto destro della terzina può essere impostato a un numero sufficiente $a$. Prendiamo uguale:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=a\]

Bene, e come si virishuvate? Indovina: $f\left(x \right)$ è piuttosto una funzione, $a$ è un numero. Tobto. vzagali be-yak! Per esempio:

\[\sinistra| 2x+1 \destra|=5\]

\[\sinistra| 10x-5 \destra|=-65\]

Il miglior rispetto reciproco è uguale. Si può dire del nuovo occhio: non c'è radice in quello nuovo. Perché? Tutto è corretto: ciò che è necessario nel nuovo, in modo che il modulo sia aggiunto a un numero negativo, che non sappiamo mai, sappiamo già che il modulo è un numero positivo, o zero all'estremo.

E l'asse dal primo uguale è più divertente. Ci sono due opzioni qui: o sotto il segno del modulo per essere positivo, e poi $ \ left | 2x+1 \right|=2x+1$, altrimenti ce viraz è ancora negativo, quindi $\left| 2x+1 \destra|=-\sinistra(2x+1 \destra)=-2x-1$. A prima vista, il nostro uguale verrà riscritto così:

\[\sinistra| 2x+1 \destra|=5\Frecciadestra 2x+1=5\]

Ed è facile scoprire che la virasi submodulare $2x+1$ è effettivamente positiva - al numero 5. Tutto qui. possiamo tranquillamente virishuvati tse rivnyannia - togliere le radici sarà shmatkom vіdpovіdі:

Particolarmente diffidenti, possono provare a mettere la conoscenza delle radici dell'altro lato dell'equazione e cambiarla, che sarà un numero positivo nel modulo corretto.

Ora diamo un'occhiata alla virusasi submodulare negativa:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Ops! So tutto chiaramente: abbiamo permesso che $2x+1 \lt 0$, e di conseguenza abbiamo tolto $2x+1=-5$ — ce viraz meno di zero. Virishuemo otrimane uguale, con il quale sai già per certo che la conoscenza è la radice di noi:

Allo stesso tempo, abbiamo tolto di nuovo i due ritorni: $ x = 2 $ і $ x = 3 $. Quindi, il costo totale era tre volte maggiore, inferiore al semplice uguale $\left| x \right|=3$, ma non è cambiato nulla. Allora, forse, esiste un algoritmo universale?

Quindi, un tale algoritmo è noto. І subito mi yogo razberemo.

Zvіlnennya secondo il segno del modulo

Diamoci uguale $ \ sinistra | f\left(x \right) \right|=a$, e $a\ge 0$ (ora, come già sappiamo, non c'è radice). Quindi puoi omettere il segno del modulo dietro questa regola:

\[\sinistra| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

In questo rango, il nostro allineamento con il modulo si divide in due, ma anche senza un modulo. Asse e tutta l'espansione! Proviamo virishiti kіlka rivnyan. Tiriamo fuori l'asse da questo

\[\sinistra| 5x+4 \destra|=10\Frecciadestra 5x+4=\pm 10\]

Okremo razglyanaem, se la destra è una dozzina con un più, e okremo se con un meno. Memo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Freccia destra 5x=-14\Freccia destra x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\end(align)\]

Da tutti! Hanno vinto due radici: $ x = $ 1,2 e $ x = -2,8 $. Tutte le soluzioni richiedevano letteralmente due righe.

Ok, niente cibo, diamo un'occhiata un po' più seriamente:

\[\sinistra| 7-5x \destra|=13\]

Sto riaprendo il modulo con più e meno:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Freccia destra -5x=-20\Freccia destra x=4. \\end(align)\]

Sto iniziando un paio di righe e il turnaround è pronto! Come ho detto, non c'è nulla di pieghevole nei moduli. È meglio ricordare le regole dello spratto. A ciò abbiamo dato e proceduto ai giusti compiti di piegatura.

Vipadok zminnoy parte destra

E ora diamo un'occhiata a questa equalizzazione:

\[\sinistra| 3x-2 \destra|=2x\]

Tse uguale in linea di principio vіdrіznyaєtsya con pperednіh. Chim? E noi, che siamo destrimani nel segno dell'equivalenza del costo di $2x$, non possiamo sapere per molto tempo quale sia più positivo e quale sia negativo.

Come ti piace questa volta? Innanzitutto, devi capire una volta per tutte cosa se i diritti di una parte dell'uguale appaiono negativi, allora l'uguale non è una radice- sappiamo già che il modulo non può essere uguale a un numero negativo.

E in modo diverso, se la parte destra è ancora positiva (altrimenti è uguale a zero), allora puoi lavorare come prima: basta espandere il modulo con un segno più e un segno meno.

In questo modo formuliamo una regola per le funzioni aggiuntive $f\left(x \right)$ e $g\left(x \right)$ :

\[\sinistra| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Eliminiamo la nostra gelosia:

\[\sinistra| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Beh, forse $2x\ge 0$ sembra che ci stiamo riposando. Mi dispiace, puoi stupidamente immaginare la radice, mentre togliamo dal primo uguale e lo giriamo: qual è la differenza tra loro.

A ciò slegheremo la stessa gelosia:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Freccia destra 3x=0\Freccia destra x=0. \\end(align)\]

Bene, yak z tsikh dvoh korenіv soddisfacente forse $ 2x \ ge 0 $? Quindi entrambi! Ecco perché hai due numeri: $ x = (4) / (3) \; $ io $ x = 0 $. Asse e tutte le soluzioni.

Sospetto che alcuni degli studenti abbiano già iniziato a sentirsi male? Bene, diamo un'occhiata a più piegature:

\[\sinistra| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Anche se sembra dannoso, infatti, sono tutti uguali al tipo "modulo di buone funzioni":

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=g\sinistra(x \destra)\]

E si scopre proprio così:

\[\sinistra| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \ giusto.\]

Dal mio nervosismo, allora lo scopriremo - è come se dovesse essere malvagio (è davvero semplice, ma non violeremo lo yoga). Per il momento, occupiamoci di otrimanimy uguali. Possiamo vedere la prima goccia - se il modulo viene aperto con un segno più:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ebbene, qui ho capito che è necessario che tutti i fratelli siano cattivi, portino simili e si meraviglino di ciò che vediamo. E guarda l'asse:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\end(align)\]

Dai la colpa al moltiplicatore alto $((x)^(2))$ per il grillo e prendi ancora più semplice uguale:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Qui siamo stati onorati dall'importante potere della creazione, per amore del quale abbiamo disposto il ricco termine in multipli: tvir uguale a zero, se vuoi uno dei moltiplicatori uguale a zero.

Ora lo scopriremo da soli con altri pari, cosa inserire quando si apre il modulo con un segno "meno":

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\sinistra(-3x+2 \destra)=0. \\end(align)\]

Lo so lo stesso: tvir è uguale a zero, se è uguale a zero, voglio uno dei moltiplicatori. Memo:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bene, tre radici sono state tolte da mi: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ i $ x = (2) / (3) \; Bene, e per quanto riguarda il set di pide a vіdpovіd? Per chi, indoviniamo cosa possiamo fareatkove obezhennya alla vista dell'irregolarità:

Come vrahuvati tsiu vimogu? È così facile immaginare che la radice sia trovata e sia verificabile: c'è una differenza nel caso di tsikh $x$ chi ni. Memo:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Freccia destra x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27) ge 0; \\end(align)\]

In questo rango, la radice $ x = $ 1,5 non ci appartiene. Ho solo due radici:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Come una bachite, non avevo niente di coerente nella mia mente: l'equalizzazione dei moduli dipende sempre dall'algoritmo. Occorre essere più istruiti sui membri ricchi e sulle incongruenze. Passiamo alle attività di piegatura: non ci saranno già uno, ma due moduli.

Allineamento con due moduli

Dosі mi vyvchali meno del più semplice rіvnyannya - c'è solo un modulo e altro. Abbiamo corretto il "proprio ora" nell'altra parte dell'irregolarità, archiviato un modulo, in modo che il risultato fosse tutto uguale a $ \ left | f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o andare oltre il semplice $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=a$.

Ale, il giardino infantile è finito: è giunta l'ora di guardare più seriamente. Diamo un'occhiata a questo tipo:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|\]

Il valore della mente "il modulo è uguale al modulo". Un momento di fondamentale importanza è la presenza di altre aggiunte e multipli: un solo modulo mancino, un altro modulo destro - e niente di più.

Pensa subito che una tale variabilità uguale è peggiore, inferiore a quelle che abbiamo raggiunto. E l'asse io nі: tsі rivnyannya virіshuyusya navіt più semplice. Formula dell'asse:

\[\sinistra| f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Baffi! Confrontiamo semplicemente i virazi submodulari, mettendo un segno più o meno davanti a uno di essi. E poi porteremo via due uguali - e la radice è pronta! Ogni giorno dodatkovyh obmezhen, zhestnyh nerіvnosti solo. Tutto è semplice.

Proviamo questo compito:

\[\sinistra| 2x+3 \destra|=\sinistra| 2x-7 \destra|\]

Elementare, Watson! Moduli di apertura:

\[\sinistra| 2x+3 \destra|=\sinistra| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Diamo un'occhiata alla skin vapadok:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\sinistra(2x-7 \destra)\Destrafreccia 2x+3=-2x+7. \\end(align)\]

Il primo uguale non ha radice. Perché se $3=-7$? Per quali valori di $x$? “Cosa cazzo è $x$? Sei fatto? Non c'è molto $ x $ lì dentro ", dici. avrò ragione. Abbiamo ottenuto l'equivalenza in modo che non possiamo mettere da parte sotto forma di $x$ scambiabili, e con questa stessa equivalenza è sbagliato. Ecco perché non c'è radice.

Con altri uguali, tutti i troch sono cіkavіshe, ma anche sempre più semplicemente:

Come Bachimo, tutto è andato letteralmente in un paio di righe: non abbiamo contato l'altra riga di riga.

Il risultato ha un valore residuo: $ x = $1.

Beh, sai? Importante? Ovviamente no. Proviamo di nuovo:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \destra|\]

So che siamo uguali alla mente di $ \ sinistra | f\sinistra(x \destra) \destra|=\sinistra| g\sinistra(x \destra) \destra|$. A questo, riscriviamo immediatamente lo yoga, rivelando il segno del modulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \sinistra(x-1 \destra)\]

È possibile, qualcuno chiede subito: “Ehi, che razza di faro è questo? Perché "più-meno" è sul lato destro e non sul lato sinistro? Lascia che ti spieghi tutto in un attimo. In senso buono, siamo colpevoli di riscrivere i nostri uguali in questo modo:

Quindi dovremo aprire gli archi, trasferire tutte le aggiunte in un blocco con il segno di uguaglianza (i frammenti di uguaglianza, ovviamente, saranno quadrati in entrambe le direzioni), quello e lontano la radice. Ma aspetta un attimo: se "più-meno" si trova di fronte a tre dodank (specialmente se uno di loro è un viraz quadrato), sembra una situazione più pieghevole, più bassa, se "più-meno" è meno probabile che si trovi di fronte a due dodank.

Eppure, non ci interessa riscrivere la giornata in questo modo:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \destra|=\sinistra| x-1 \destra|\]

Quello che è successo? Non è niente di speciale: hanno solo ricordato il leone e la parte giusta delle missioni. Dribnitsa, come un troch per perdonarci la vita. :)

In un lampo, è uguale, guardando le opzioni con più e meno:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\sinistra(x-1 \destra)\Freccia destra ((x)^(2))-2x+1=0. \\end(align)\]

La prima radice uguale è $x=3$ e $x=1$. Un altro vzagalі є quadrato esatto:

\[((x)^(2))-2x+1=((\sinistra(x-1 \destra))^(2))\]

C'è solo una radice per questo: $x=1$. Le radici di Ale tse erano già state tagliate prima. In questo ordine, il pіdsumkov vіdpovіd avrà solo due numeri:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Signorina Vikonan! Puoi prendere una torta dalla polizia e prenderla. Ce ne sono 2, la tua media.

Rispettoso rispetto. La presenza della stessa radice con diverse varianti dell'espansione del modulo significa che i segmenti ricchi esterni sono divisi in moltiplicatori e il centro di questi moltiplicatori sarà luminoso. Diyno:

\[\begin(align)& \left| x-1 \destra|=\sinistra| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\end(align)\]

Uno dei poteri del modulo: $ \left | acdot b \destra|=\sinistra| a \right|\cdot \left| b \right|$ (in modo che il modulo sia più simile alla creazione di moduli), altrimenti può essere riscritto in questo modo:

\[\sinistra| x-1 \destra|=\sinistra| x-1 \destra|\cdot \sinistra| x-2 \destra|\]

Yak bachimo, abbiamo il doppio moltiplicatore vinico giusto. Ora, per raccogliere tutti i moduli da un lato, puoi incolpare l'intero moltiplicatore per l'arco:

\[\begin(align)& \left| x-1 \destra|=\sinistra| x-1 \destra|\cdot \sinistra| x-2 \destra|; \\&\sinistra| x-1 \destra|-\sinistra| x-1 \destra|\cdot \sinistra| x-2 \destra|=0; \\&\sinistra| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\end(align)\]

Bene, ora cerchiamo di capire qual è l'addizione a zero, se vogliamo che uno dei moltiplicatori raggiunga lo zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \destra|=1. \\\end(align) \right.\]

In questo grado, il livello di due moduli era fino a due dei livelli più semplici, ne hanno parlato all'inizio della lezione. Tali uguaglianze sono letteralmente in un paio di righe.

Dane è rispettato, è possibile, essere arrogantemente pieghevole e inarrestabile in pratica. Tuttavia, in verità, puoi essere informato su dove sono le attività piegate, abbassa quelle, come possiamo ragionevolmente capire. Questi moduli possono essere combinati anche con polinomi, radici aritmetiche e logaritmi. E in tali situazioni, è possibile ridurre l'ardente lacerato dal sentiero della colpa di qualcosa per il ceppo, può apparire sempre più del fiume.

Ora vorrei disegnarne uno più uguale, come se a prima vista potessi sembrare confuso. Sui nuovi studenti ricchi "appiccicosi", navit te, yak vvazhayut, sho ben sistemati nei moduli.

Prote tse rіvnyannya vіrishuєtsya navіt più semplice, abbassa quelli che abbiamo visto prima. Non appena capisci qualcosa, prendi un altro trucco per ottenere una corrispondenza perfetta con i moduli.

Otzhe, Rivnyanya:

\[\sinistra| x-((x)^(3)) \destra|+\sinistra| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Hі, tse not drukarska pardon: i moduli mizh stessi sono un vantaggio. E dobbiamo sapere, per tali $x$ la somma di due moduli è uguale a zero. :)

Chi ha un problema? E il problema è che il modulo skin è un numero positivo, ma all'estremo è zero. Che ne dici di sommare due numeri positivi insieme? Ovviamente, sto rivisitando un numero positivo:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Il resto della riga può essere pensato: una singola goccia, se la somma dei moduli è uguale a zero, allora il modulo della pelle è uguale a zero:

\[\sinistra| x-((x)^(3)) \destra|+\sinistra| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0.\\\end(align) \right.\]

E se il modulo è uguale a zero? Solo in una direzione - se pіdmodulny vіraz dоrіvnyuє zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

In questo ordine abbiamo tre punti, in cui il primo modulo viene azzerato: 0, 1 e −1; e anche due punti, in cui un altro modulo è posto a zero: −2 e 1. Tuttavia, è necessario per noi che i moduli siano posti a zero contemporaneamente, quindi tra i numeri noti è necessario scegliere t, che comprende fino a entrambi gli insiemi. Ovviamente, esiste più di un numero di questo tipo: $x=1$ — sarà un valore residuo.

metodo di scissione

Ebbene, abbiamo già visto la coppia del giorno prima e inventato i ricevimenti impersonali. Perché pensi tutto? E l'asse i ni! Subito possiamo guardare all'accoglienza finale - e allo stesso tempo la più importante. Sii consapevole della scissione del modulo rivnyan іz. Di cosa stai parlando? Torniamo un po 'indietro e sembriamo un semplice pari. Ad esempio, tse:

\[\sinistra| 3x-5\destra|=5-3x\]

In linea di principio, sappiamo già come agire in questo modo, perché la costruzione standard della forma $\left| f\sinistra(x \destra) \destra|=g\sinistra(x \destra)$. Ale prova a meravigliarsi della qualità del troch sotto un altro cappuccio. Più precisamente, diamo un'occhiata al viraz, cosa stare sotto il segno del modulo. Immagino che il modulo di qualsiasi numero possa essere uguale al numero stesso, oppure può essere l'opposto di questo numero:

\[\sinistra| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Vlasne, questa ambiguità ha l'intero problema: il numero di sottomoduli cambia (vale la pena cambiare), non ci è chiaro se sia positivo o negativo.

Ma se, invece, vimagati, in modo che il numero fosse positivo? Ad esempio, diciamo $3x-5 \gt 0$ - per quale modo siamo sicuri di prendere un numero positivo sotto il segno del modulo e quale modulo stesso può essere chiamato di nuovo:

In questo rango, il nostro zelo per fingere di essere su una linea lineare, come è facile giurare:

È vero, tutto ciò che pensi può essere sensato solo per la mente $3x-5 \gt 0$ - noi stessi l'abbiamo presentato al meglio, in modo che il modulo possa essere sbloccato in modo inequivocabile. Quindi mettiamo nella mente la conoscenza di $x=\frac(5)(3)$ e riverberiamola:

Per uscire, il nostro aiuto non vince sul valore assegnato di $x$, perché Viraz sembrava essere uguale a zero, ma abbiamo bisogno che sia strettamente maggiore di zero. Zhurbinka. :(

Ale non è un grosso problema! Un'altra opzione è $3x-5 \lt 0$. Di più: un altro punto $3x-5=0$ — è necessario vederla in questo modo, altrimenti la decisione sarà incomprensibile. Diamo un'occhiata al vipadok $3x-5 \lt 0$:

Ovviamente il modulo è contrassegnato dal segno meno. Ma poi di nuovo, la situazione è meravigliosa: sono mancino e destro allo stesso tempo lo stesso viraz:

Tsikavo, con tali $x$, $5-3x$ saranno più costosi di $5-3x$? In presenza di tali pari, il Capitano è ovvio, soffocando sul tallone, ma sappiamo: la cerimonia è uguale a quella, tobto. vono vіrne per qualunque sia il significato del cambiamento!

E tse significa che siamo governati da $x$. Vodnocha abbiamo є obmezhennya:

In altre parole, non sarà un numero breve, ma un intero intervallo:

Nareshti ha perso un'altra prospettiva: $3x-5=0$. Tutto è semplice qui: il modulo sarà zero e il modulo zero sarà uguale a zero (non è pronunciato direttamente):

Ale todі vhіdne rіvnyannya $ \ sinistra | 3x-5 \right|=5-3x$ riscrivi così:

Questa radice era già stata portata più in alto, se osservassimo il calo di $3x-5\gt 0$. Inoltre, il prezzo della radice per le soluzioni è pari a $3x-5=0$ - il valore dello scambio, come abbiamo inserito noi stessi, per resettare il modulo.

In questo ordine, l'intervallo crim è il numero dominante per noi, che si trova proprio alla fine dell'intervallo:

Consistenza residua: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Non è troppo rumoroso fare questo tipo di merda in vіdpovіdі fino a un semplice (essenzialmente - lineare) allineamento con il modulo. dpovіdі in tali uguaglianze può apparire assolutamente irriproducibile.

Dove altro è più importante: abbiamo sviluppato con cura un algoritmo universale per risolvere il problema con il modulo! І l'intero algoritmo è formato dai passaggi successivi:

1. Equiparare il modulo skin, che è uguale, a zero. Portiamo via gli spratti uguali;
2. Metti tutti i numeri uguali e metti la radice sulla retta dei numeri. Di conseguenza, c'è un aumento diretto degli intervalli, sulla pelle, tutti i moduli sono sviluppati in modo inequivocabile;
3. Virishiti vihіdne іvnyannja per l'intervallo dermico e ob'єdnati otrimaniі vіdpovіdі.

Da tutti! È rimasto meno di un alimento: dove dovrebbero andare le radici, tagliate al 1° uncinetto? Supponiamo di avere due radici: $ x = 1 $ i $ x = 5 $. La puzza è aumentata numericamente dritta per 3 pezzi:

Bene, quali sono gli intervalli qui? Mi sono reso conto che ce ne sono tre:

1. Naylivishy: $x \lt 1$ — il singolo elemento stesso non è incluso nell'intervallo;
2. Centrale: $1\le x \lt 5$ - l'asse qui è uno nell'intervallo per entrare, prote non entrare cinque;
3. Quello giusto: $x\ge 5$ - Cinque giorni per entrare qui!

Immagino tu abbia già capito la legge. L'intervallo di pelle include l'estremità sinistra e non include la destra.

A prima vista, un record di questo tipo può sembrare non gestito, illogico e confuso. Ale turn: dopo un po 'di allenamento, scoprirai che un tale pidkhid stesso è il più superiore e, del resto, non sviluppi inequivocabilmente moduli. È meglio vincere un tale schema, quindi pensaci: fai una svolta a sinistra / destra all'intervallo corrente o lancia lo yoga all'offensiva.

Su quale lezione finirà. Assumersi il compito di autosufficienza, allenarsi, competere con le influenze - e lavoreremo nella prossima lezione, che sarà assegnata al nervosismo dei moduli.

Funzione immagine y=|x|.
Il grafico della funzione y = -x.

Diamo un'occhiata al modo più semplice: la funzione y=|x|. Ai fini del modulo è possibile:

Quindi, per x≥0 la funzione y=|x| zbіgaєtsya con la funzione y \u003d x, a x x | (Fig. 1).

È facile notare che questo grafico è all'incirca la stessa parte del grafico della funzione y = x, quindi non si trova più in basso dell'asse OX e la linea, che è tolta dalle immagini speculari dell'asse OX, la terza parte, che giace più in basso della linea asse OX.
Questo metodo è avventizio per richiamare il grafico della funzione y=|kx+b|.
Sebbene il grafico della funzione y=kx+b sia mostrato in Fig. 2, il grafico della funzione y=|kx+b| є linea, mostrata in Fig.3.

Culo 1. Indurre il grafico della funzione y=||1-x 2 |-3|.
Chiamiamo il grafico della funzione y=1-x 2 ed eseguiamo l'operazione “modulo” (la parte del grafico, disegnata sotto l'asse OX, viene spostata simmetricamente lungo l'asse OX).

La grafica di Vikonaemo zsuv è diminuita di 3.

Abbiamo bisogno dell'operazione “modulo” e togliamo il grafico residuo della funzione y=||1-x 2 |-3|

culo 2. Indurre il grafico della funzione y=||x2-2x|-3|.
Come risultato della trasformazione, prendiamo y=|x2-2x|=|(x-1)2-1|. Facciamo il grafico della funzione y = (x-1) 2 -1: facciamo una parabola y = x 2 e giriamo a destra di 1 e giù di 1.

È necessario eseguire un nuovo “modulo” di operazione (una parte del grafico, espansa sotto l'asse OX, viene spostata simmetricamente lungo l'asse OX).

Riduciamo la pianificazione di 3 ed eseguiamo l'operazione "modulo", di conseguenza rimuoviamo la pianificazione residua.

Esempio 3. Indurre il programma della funzione.
Per aprire il modulo, devi guardare due viste:
1)x>0, allora il modulo verrà aperto con il segno "+" =
2) x =

Facciamo un programma per il primo incontro.

Vіdkinemo parte della grafica, de x

Facciamo un programma per un'altra vista, e analogamente alla parte, dove x>0, il risultato viene tolto.

Prendiamo due grafici e prendiamo il restante.

Esempio 4. Indurre il programma della funzione.
Cominciamo con il programma della funzione. Per chi è facile vedere tutta la parte, toglila. Dietro il tavolo c'è il valore, noi prendiamo il programma.

È necessario eseguire l'operazione del modulo (una parte del grafico, espansa sotto l'asse OX, viene visualizzata simmetricamente lungo l'asse OX). Accettiamo il programma residuo

Esempio 5. Indurre il grafico della funzione y=|-x2+6x-8|. Iniziamo con una semplice funzione fino a y=1-(x-3) 2 e avremo bisogno di una schedulazione

Ora possiamo eseguire l'operazione “modulo” e vedere parte del grafico sotto l'asse OX e lungo l'asse OX

Esempio 6. Indurre il grafico della funzione y=-x2+6|x|-8. Inoltre, possiamo facilmente funzionare fino a y=1-(x-3) 2 e avremo bisogno di un programma

Ora possiamo eseguire l'operazione "modulo" e, a quanto pare, la parte del grafico è a destra dell'asse oY, a sinistra

Esempio 7. Indurre il programma della funzione . Programmiamo una funzione

Programmiamo una funzione

Sembra essere un trasferimento parallelo a 3 giri singoli a destra e 2 in salita. Vedrò il programma in futuro:

Possiamo eseguire l'operazione “modulo” e immaginare una parte del grafico a destra della retta x=3 nel semipiano sinistro.

Il segno del modulo, forse, è uno dei fenomeni più famosi in matematica. A zv'yazku z tsim a ricchi scolari postano la nutrizione, come programmi buduvat di funzioni, scho per vendicare il modulo. Facciamo rapporto sulla catena alimentare.

1. Funzioni grafiche Pobudova, cosa sostituire il modulo

Esempio 1.

Indurre il grafico della funzione y = x 2 - 8 | x | + 12.

Soluzione.

La parità della funzione è significativa. I valori per y(-x) sono presi dai valori per y(x), quindi la funzione è accoppiata. Todi її programma simmetrico shdo osі Oy. Sarà il grafico della funzione y = x 2 - 8x + 12 per x ≥ 0, e il grafico di Oy sarà visualizzato simmetricamente per x negativo (Fig. 1).

culo 2.

Pianificazione imminente mind y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Qual è lo scopo della funzione proposta? (y ≥ 0).

- Come viene ridisegnato il programma? (Sopra la parte superiore dell'ascissa o sporgente її).

Tse significa che il grafico della funzione ha il seguente ordine: il grafico della funzione y \u003d x 2 - 8x + 12 riempirà la parte del grafico, che si trova sopra la linea Ox, senza cambiare, e la parte del grafico, che si trova sotto la linea dell'ascissa, lo mostra simmetricamente all'asse Ox (Fig. 2).

Esempio 3.

Per incoraggiare il grafico della funzione y = | x 2 - 8 | x | + 12 | eseguire una combinazione di trasformazioni:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Suggerimento: Figura 3.

Guarda la trasformazione della fiera in tutti i tipi di funzioni. Facciamo una tabella:

2. Grafici di funzioni di Pobudova, come nella formula "inserisci moduli"

Abbiamo già imparato a conoscere i mozziconi della funzione quadratica, come vendicare il modulo, nonché le regole di base per creare grafici di funzioni della forma y = f (| x |), y = | f(x) | e y = |f(|x|)|. La trasformazione del Qi ci aiuterà per un'ora a guardare il calcio offensivo.

Esempio 4.

Osserviamo una funzione di tipo y = |2 – |1 – |x|||. Viraz, che imposta la funzione, rimuove l'inserimento del modulo.

Soluzione.

Accelerazione con il metodo delle trasformazioni geometriche.

Annotiamo le lanterne delle ultime modifiche e zrobimo al centro della poltrona (Fig. 4):

y=x → y=| x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Diamo un'occhiata al vipadki, se la trasformazione della simmetria e del transfert parallelo è la tecnica principale per incoraggiare gli orari.

Esempio 5.

Induci il grafico della funzione nella forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Soluzione.

La prima volta sarà il programma, rifaremo la formula, che è la funzione data, che viene tolta, altrimenti viene data la funzione analitica (Fig. 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Rozkriёmo al banner del modulo:

Per x > -2, y = x - 2 e per x< -2, y = -(x – 2).

Area di destinazione D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Area dei valori E(y) = (-4; +∞).

Punti, in cui il grafico cambia lungo gli assi delle coordinate: (0; -2) e (2; 0).

La funzione cambia su tutti gli intervalli x (-∞; -2), cresce in x out -2 a +∞.

Qui abbiamo avuto la possibilità di decifrare il segno del modulo e di sviluppare un grafico della funzione dell'eruzione cutanea.

Esempio 6.

Diamo un'occhiata alla funzione y = | x + 1 | - | x - 2 |.

Soluzione.

Esplorando il segno del modulo, è necessario osservare la diversa combinazione di segni dei versi del sottomodulo.

Forse alcuni vipadki:

(x + 1 - x + 2 = 3, con x ≥ -1 e x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, con x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, per x ≥ -1 i x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, con x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Stessa funzione look matime look:

(3, per x ≥ 2;

y = (-3, in x< -1;

(2x – 1, con -1 ≤ x< 2.

Abbiamo tolto la funzione lump-set, il cui grafico è raffigurato come un piccolo 6.

3. Algoritmo per indurre grafici di funzioni nella forma

y = un 1 | x - x 1 | + un 2 | x - x 2 | + … + una n | x - x n | + ascia + b.

Sul calcio anteriore, è facile aprire i segni del modulo. Se la somma dei moduli è maggiore, è problematico esaminare tutte le combinazioni di segni dei sottomoduli. Come posso indurre il programma di una funzione in chi?

È importante che il grafico abbia un laman, con vertici in punti, che le ascisse possano essere -1 e 2. A x = -1 e x = 2, i sottomoduli sono uguali a zero. In modo pratico, ci siamo avvicinati alla regola di incoraggiare tali orari:

Grafico della funzione nella forma y = a 1 | x - x 1 | + un 2 | x - x 2 | + … + una n | x - x n | + ascia + b є laman con inesauribili lanci estremi. Per indurre un tale laman, è sufficiente conoscere tutti i vertici її (ascisse dei vertici є zero pіdmodulnyh virazіv) e un punto di controllo a sinistra ea destra dei lankas non scuoiati.

Manager.

Indurre il grafico della funzione y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | e sapere è il meno importante.

Soluzione:

Zero virus submodulari: 0; -1; 1. Cime di lamanoi (0; 2); (-13); (13). Punto di controllo destro (2; 6), malvagio (-2; 6). Ci sarà un programma (Fig. 7). minimo f(x) = 2.

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