Znak modula je morda eden najbolj znanih pojavov v matematiki. Na zv'yazku z tsim pri bogatih šolarjih post prehrana, kot buduvat urniki funkcij, scho za maščevanje modula. Poročajmo o prehranski verigi.

1. Pobudova grafične funkcije, kaj zamenjati modul

primer 1.

Inducirajte graf funkcije y = x 2 - 8 | x | + 12.

rešitev.

Pariteta funkcije je pomembna. Vrednosti za y(-x) so ustvarjene iz vrednosti za y(x), ki jim je podana funkcija para. Todi njen urnik simetričen shdo osí Oy. To bo graf funkcije y = x 2 - 8x + 12 za x ≥ 0, graf Oy pa bo simetrično prikazan za negativni x (slika 1).

rit 2.

Prihodnji urnik misli y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Kakšen je obseg predlagane funkcije? (y ≥ 0).

- Kako poteka preoblikovanje urnika? (Nad vrhom abscise ali štrli iz nje).

To pomeni, da ima graf funkcije naslednji vrstni red: graf funkcije y \u003d x 2 - 8x + 12 bo zapolnil del grafa, ki leži nad črto Ox, ne da bi se spremenil, in del graf, ki leži pod abscisno črto, to simetrično prikazuje na os Ox (slika 2).

Primer 3.

Za spodbujanje grafa funkcije y = | x 2 - 8 | x | + 12 | izvedite kombinacijo transformacij:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Predlog: slika 3.

Poglejte preoblikovanje pravičnega za vse vrste funkcij. Naredimo tabelo:

2. Pobudova grafi funkcij, kot v formuli "vstavi module"

Spoznali smo že zadnjice kvadratne funkcije, kako maščevati modul, pa tudi osnovna pravila za izdelavo grafov funkcij oblike y = f(|x|), y = |f(x)| in y = |f(|x|)|. Preoblikovanje Qi nam bo pomagalo eno uro pogledati žaljivo zadnjico.

Primer 4.

Oglejmo si funkcijo tipa y = |2 – |1 – |x|||. Viraz, ki nastavlja funkcijo, odstranite modulski vložek.

rešitev.

Pospeševanje z metodo geometrijskih transformacij.

Zapišimo lučke zadnjih sprememb in zrobimo na sredino fotelja (slika 4):

y=x → y=| x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Poglejmo vipadke, če je preoblikovanje simetrije in vzporednega prenosa glavna tehnika za spodbujanje urnikov.

Primer 5.

Inducirajte graf funkcije v obliki y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

rešitev.

Prvič bo urnik, predelali bomo formulo, ki je dana funkcija, ki je odvzeta, sicer pa je podana analitična funkcija (slika 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Rozkriёmo na pasici modula:

Za x > -2 je y = x - 2 in za x< -2, y = -(x – 2).

Ciljno območje D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Območje vrednosti E(y) = (-4; +∞).

Točke, v katerih se graf spreminja vzdolž koordinatnih osi: (0; -2) in (2; 0).

Funkcija se spreminja v vseh intervalih x (-∞; -2), raste pri x od -2 do +∞.

Tukaj smo imeli priložnost dešifrirati znak modula in razviti graf funkcije za kožni izpuščaj.

Primer 6.

Oglejmo si funkcijo y = | x + 1 | - | x - 2 |.

rešitev.

Pri raziskovanju znaka modula je treba pogledati različne kombinacije znakov podmodulnih verzov.

Mogoče kakšen vipadki:

(x + 1 - x + 2 = 3, pri čemer je x ≥ -1 in x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, z x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, za x ≥ -1 i x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, z x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Funkcija istega videza matičnega videza:

(3, za x ≥ 2;

y = (-3, pri x< -1;

(2x – 1, pri čemer je -1 ≤ x< 2.

Odvzeli smo funkcijo pavšalnega niza, katere graf je prikazan kot majhna 6.

3. Algoritem za indukcijo grafov funkcij v obliki

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sekira + b.

Na sprednji zadnjici je bilo enostavno odpreti znake modula. Če je vsota modulov večja, potem je problematično pogledati vse kombinacije predznakov podmodulov. Kako lahko komu posredujem urnik funkcije?

Pomembno je, da ima graf lamano, z oglišči v točkah, da sta lahko abscisi -1 in 2. Pri x = -1 in x = 2 so podmoduli enaki nič. Na praktičen način smo se približali pravilu spodbujanja takih urnikov:

Graf funkcije v obliki y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sekira + b є laman z neizčrpnimi ekstremnimi lanki. Da bi sprožili tak laman, je dovolj poznati vse njene tocke (abscis tock je nič pídmodulnyh virazіv) in eno kontrolno točko na levi in ​​desni strani neokrnjenih lank.

Vodja.

Inducirajte graf funkcije y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | in vedeti je najmanj pomembno.

rešitev:

Ničelni submodularni virusi: 0; -1; 1. Vrhovi lamanoi (0; 2); (-13); (13). Kontrolna točka desno (2; 6), zlo (-2; 6). Tam bo razpored (slika 7). min f(x) = 2.

Vam je zmanjkalo hrane? Ne veste, kako načrtovati funkcijo z modulom?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.

mestu, s celotno ali zasebno kopijo gradiva, poslano na izvirno obov'yazkove.

Lekcija 5

Cilj: obvladati osnovne veščine pretvorbe grafike iz modulov.

I. Obvestijo tisti, ki označujejo lekcijo

II . Ponavljanje in utrjevanje obravnavane snovi

1. Vídpovіdí na zapovіdnja schodo zavdannya (analiza nekršenih nalog).

2. Kontrola privzeta gradivu (pisemski pregled).

Možnost 1

f (x), inducira graf funkcije y = f(-x) + 2?

2. Oglejte si razpored dogodkov:

Možnost 2

1. Yak, poznavanje grafa funkcije y = f (x), inducirajte graf funkcije y \u003d - f(x) - 1?

2. Oglejte si razpored dogodkov:

III. Uvajanje novega materiala

Iz materiala prejšnje lekcije je razvidno, da bi morali narediti preoblikovanje grafike na prevelik način, ko se zbudite. Zato si poglejmo glavne načine pretvorbe grafike za zamenjavo modulov. Načini Qi so univerzalni in dodatki za vse funkcije. Za poenostavitev razmislite o schmatkovo-linearni funkciji f (x) s področjem imenovanja D(f ), urnik nastopov mal. Oglejmo si tri standardne transformacije grafike z moduli.

1) Pobudov graf funkcije y = | f(x) |

f /(x), yaksho Dx)>0,

Za namen modula vzamemo:Tse pomeni, da je graf funkcije y = | f(x )| moramo shraniti del grafa funkcije y = f(x ), za katerega velja y ≥ 0. Tisti del grafa funkcije y = f (x), za katerega y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Pobudova graf funkcije y = f(|x|)

G / O), yakscho Dx)\u003e 0,

Prepoznajte modul in vzemite:Zato spodbudite graf funkcije y \u003d f(|x |) moramo shraniti del grafa funkcije y = f (x), za katero je x ≥ 0. Poleg tega mora biti prvi del prikazan simetrično levo vzdolž osi y.

3) Izravnava urnika Pobudova |y| = f(x)

Za namen modula je možno, da za f (x) ≥ 0 zahteva grafa dveh funkcij: y = f(x) in y = - f (X). Tse pomeni, scho s pobudovi grafično izravnavo | = f (x) potrebno je shraniti del grafa funkcije y = f (x), za ikoї ≥ 0. Poleg tega mora biti ta del prikazan simetrično navzdol vzdolž osi x.

Spoštovani, zalezhnist |y| = f (x) ne podaja funkcije, potem za x∈ (-2,6; 1,4) vrednosti kože x sta podani dve vrednosti y. Tisti malenkosti od samih predstavitev je urnik enak |y| = f(x).

Vikoristujom je proučila načine pretvorbe grafike z moduli za spodbujanje funkcij zgibanja in poravnave grafike.

rit 1

Prosimo, dovolite nam razpored funkcije

Vidimo, da ima ta funkcija cel delTakšen graf se bo pojavil, ko bo graf funkcije y \u003d -1 / x 2 enoti v desno in 1 enota navzdol. Graf tsієї funkcije je hiperbola.

rit 2

Prosimo, dovolite nam razpored funkcije

Pred metodo 1 shranimo del grafa iz zadnjice 1, za katerega je y ≥ 0. Tisti del grafa, za katerega je y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

rit 3

Prosimo, dovolite nam razpored funkcije

Vikoristovuyuchi metodo 2, shranimo del grafa zadnjico 1, za x ≥ 0. Shranim del, poleg tega se zrcali v levo vzdolž osi y. Odstranite graf funkcije, simetričen vzdolž osi y.

rit 4

Imejmo urnik

Vídpovіdno k metodi 3 shranite del grafa iz zadnjice 1, za katerega je ≥ 0. Poleg tega je del, ki ga je treba shraniti, simetrično predvidoma navzdol vzdolž osi abscise. Odvzamemo urnik thogo enakega.

Očitno je mogoče pregledane metode in preoblikovanje grafike oceniti naenkrat.

rit 5

Prosimo, dovolite nam razpored funkcije

Vykoristovuemo funkcijo urnikaspodbuda na zadnjici 3. Za spodbujanje datumov razporeda shranite dele razporeda 3 za tiste pri ≥ 0. Tisti deli razporeda 3 za tiste pri< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

V mirnih situacijah, če moduli ležijo v nižjem rangu (nižje pri metodah 1-3), je potrebno module odpreti.

rit 6

Prosimo, dovolite nam razpored funkcije

Virazi x - 1 taksa x + 2, za vnos pod znake modulov spremenite njihove znake v točkah x = 1 i x = -2 je razumno. Bistveno qi točke na koordinatni premici. Smrad jo razdeli na tri intervale. Vykoristovuyuchi oznako modula, rozkriёmo module v predelu kože.

Vzamemo:

1. Kdaj

2. Kdaj

3. Kdaj

Naredimo grafe teh funkcij, intervale vrtenja za spremembo x, odstranimo znake modula. Pojdi laman naravnost.

Če želite pogosto zaključiti s pomočjo urnikov, izravnajte z moduli za prihodnjo odprtino zmagovalne koordinatne ravnine. Naj pojasnimo s primerom.

rit 7

Imejmo urnik

Viraz y - x spremeni znak v ravno črto y \u003d x. Imenujmo premico - simetralo prvega in tretjega koordinatnega reza. Tsya naravnost razdeli točke ravnine na dve območji: 1 - točke, razporejene po ravni črti y - x; 2 - točke, roztashovaní pod tsіêyu ravno črto. Rozkriёmo modul na takih območjih. V območju 1 vzemite na primer kontrolno točko (0; 5). Bachimo, scho za tsíêí točke viraz y - x\u003e 0. Krivljenje modula vzamemo: y - x + y + x \u003d 4 ali l = 2. To bo tik ob mejah prve regije. Očitno v regiji 2 virase y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Oglejte si graf linearne funkcije udarca in poravnave:

4. Poglejte urnik delovanja, poravnavo, neenakomernost:

VIII. P_dbitya p_dbag_v lekcija

Znak modula je morda eden najbolj znanih pojavov v matematiki. Na zv'yazku z tsim pri bogatih šolarjih post prehrana, kot buduvat urniki funkcij, scho za maščevanje modula. Poročajmo o prehranski verigi.

1. Pobudova grafične funkcije, kaj zamenjati modul

primer 1.

Inducirajte graf funkcije y = x 2 - 8 | x | + 12.

rešitev.

Pariteta funkcije je pomembna. Vrednosti za y(-x) so ustvarjene iz vrednosti za y(x), ki jim je podana funkcija para. Todi njen urnik simetričen shdo osí Oy. To bo graf funkcije y = x 2 - 8x + 12 za x ≥ 0, graf Oy pa bo simetrično prikazan za negativni x (slika 1).

rit 2.

Prihodnji urnik misli y = | x 2 - 8x + 12 |.

– Kakšen je obseg predlagane funkcije? (y ≥ 0).

- Kako poteka preoblikovanje urnika? (Nad vrhom abscise ali štrli iz nje).

To pomeni, da ima graf funkcije naslednji vrstni red: graf funkcije y \u003d x 2 - 8x + 12 bo zapolnil del grafa, ki leži nad črto Ox, ne da bi se spremenil, in del graf, ki leži pod abscisno črto, to simetrično prikazuje na os Ox (slika 2).

Primer 3.

Za spodbujanje grafa funkcije y = | x 2 - 8 | x | + 12 | izvedite kombinacijo transformacij:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8 | + 12 → y = | x 2 - 8 | x | + 12 |.

Predlog: slika 3.

Poglejte preoblikovanje pravičnega za vse vrste funkcij. Naredimo tabelo:

2. Pobudova grafi funkcij, kot v formuli "vstavi module"

Spoznali smo že zadnjice kvadratne funkcije, kako maščevati modul, pa tudi osnovna pravila za izdelavo grafov funkcij oblike y = f(|x|), y = |f(x)| in y = |f(|x|)|. Preoblikovanje Qi nam bo pomagalo eno uro pogledati žaljivo zadnjico.

Primer 4.

Oglejmo si funkcijo tipa y = |2 – |1 – |x|||. Viraz, ki nastavlja funkcijo, odstranite modulski vložek.

rešitev.

Pospeševanje z metodo geometrijskih transformacij.

Zapišimo lučke zadnjih sprememb in zrobimo na sredino fotelja (slika 4):

y=x → y=| x | → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1 | + 2 → y = | 2 - | 1 - | x | | |.

Poglejmo vipadke, če je preoblikovanje simetrije in vzporednega prenosa glavna tehnika za spodbujanje urnikov.

Primer 5.

Inducirajte graf funkcije v obliki y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

rešitev.

Prvič bo urnik, predelali bomo formulo, ki je dana funkcija, ki je odvzeta, sicer pa je podana analitična funkcija (slika 5).

y = (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 = (x - 2) (x + 2) / | x + 2 |.

Rozkriёmo na pasici modula:

Za x > -2 je y = x - 2 in za x< -2, y = -(x – 2).

Ciljno območje D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Območje vrednosti E(y) = (-4; +∞).

Točke, v katerih se graf spreminja vzdolž koordinatnih osi: (0; -2) in (2; 0).

Funkcija se spreminja v vseh intervalih x (-∞; -2), raste pri x od -2 do +∞.

Tukaj smo imeli priložnost dešifrirati znak modula in razviti graf funkcije za kožni izpuščaj.

Primer 6.

Oglejmo si funkcijo y = | x + 1 | - | x - 2 |.

rešitev.

Pri raziskovanju znaka modula je treba pogledati različne kombinacije znakov podmodulnih verzov.

Mogoče kakšen vipadki:

(x + 1 - x + 2 = 3, pri čemer je x ≥ -1 in x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, z x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, za x ≥ -1 i x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, z x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Funkcija istega videza matičnega videza:

(3, za x ≥ 2;

y = (-3, pri x< -1;

(2x – 1, pri čemer je -1 ≤ x< 2.

Odvzeli smo funkcijo pavšalnega niza, katere graf je prikazan kot majhna 6.

3. Algoritem za indukcijo grafov funkcij v obliki

y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sekira + b.

Na sprednji zadnjici je bilo enostavno odpreti znake modula. Če je vsota modulov večja, potem je problematično pogledati vse kombinacije predznakov podmodulov. Kako lahko komu posredujem urnik funkcije?

Pomembno je, da ima graf lamano, z oglišči v točkah, da sta lahko abscisi -1 in 2. Pri x = -1 in x = 2 so podmoduli enaki nič. Na praktičen način smo se približali pravilu spodbujanja takih urnikov:

Graf funkcije v obliki y = a 1 | x - x 1 | + a 2 | x - x 2 | + … + a n | x - x n | + sekira + b є laman z neizčrpnimi ekstremnimi lanki. Da bi sprožili tak laman, je dovolj poznati vse njene tocke (abscis tock je nič pídmodulnyh virazіv) in eno kontrolno točko na levi in ​​desni strani neokrnjenih lank.

Vodja.

Inducirajte graf funkcije y = | x | + | x - 1 | + | x + 1 | in vedeti je najmanj pomembno.

rešitev:

Ničelni submodularni virusi: 0; -1; 1. Vrhovi lamanoi (0; 2); (-13); (13). Kontrolna točka desno (2; 6), zlo (-2; 6). Tam bo razpored (slika 7). min f(x) = 2.

Vam je zmanjkalo hrane? Ne veste, kako načrtovati funkcijo z modulom?
Pomagal vam bom pomagati učitelju -.

blog.spletna stran, z novo ali zasebno kopijo gradiva, poslano v originalno vezavo.

Pobudova grafične funkcije, scho za zamenjavo znaka modula.

Strinjam se, spoštljivo ste prebrali odstavek 23 in razumeli, kako funkcija izgleda kot funkcija. Zdaj pa si oglejmo še nekaj aplikacij, ki so odgovorne za pomoč pri vaših urnikih.

Primer 1. Inducirajte urnik funkcije

Naj funkcija uma, de.

1. Začnimo urnik submodularne funkcije, nato pa funkcijo. Za katerega vidimo cel del posnetka. Zanima me, kaj lahko storite na dva načina: tako, da številko na transparentu razdelite "na štoru" ali pa številko napišete tako, da se na novem, večkratniku transparenta, pojavi viraz. Celoten del lahko vidimo na drugačen način.

Otzhe, submodularna funkcija je vidna . Torej, njen urnik je hiperbola, premaknjena za 1 enoto v desno in 3 enote navzgor.

Oglejmo si vaš urnik.

2. Za zajem grafa trenutne funkcije je potrebno nespremenjeno odstraniti del generiranega grafa funkcije, ki leži višje od osi Ox, ter del grafa, ki leži pod osjo Ox. , je prikazano simetrično blizu zgornje ravnine. Preobrazba Vikonaemo qi.

Urnik bujenja.

Abscisa točke premice grafa od premice

y = 0, torej. Odnesimo ga.

Zdaj lahko za grafom določite vso moč funkcije, poiščete najmanjšo in najpomembnejšo funkcijo za interval ter rešite naloge s parametrom.

Na primer, lahko vodpovisti na takšno ponudbo. »Za vse vrednosti parametra A lahko sprejmem eno odločitev?

Izvaja se neposredno y=a z različnimi vrednostmi parametra A. (tanke rdeče črte naravnost na stopajočem malčku)

Vidi se, da a<0 , potem je graf inducirane funkcije in ni neposrednih vročih točk, zato ni enake rešitve.

Yakscho 0< a<3 oz a>3, nato naravnost y=a in spodbujanje razporeda, da naredi dve svetli točki, tako da sta lahko enaki dve rozv'azki.

Yakshcho a = 0 oz a = 3, potem je rešitev samo ena, torej do. pri teh vrednostih A da je graf funkcije raven, lahko natanko eno točko.

rit 2. Izvedite razpored funkcij

rešitev

Začnimo graf funkcije z negativnimi vrednostmi x. Torej, tudi takrat je naša funkcija očem vidna, vendar je potrebna funkcija – funkcija uma.

Graf funkcije - glava parabole je "ravna" v levo, premaknjena za 4 enote desničar. (T. do. lahko pokažemo ).

Imejmo urnik funkcij

In pogledali bomo samo ta del joga, saj je strgan v desno za os Oy. Reshta trioma.

Bodite pozorni na to, da smo zanemarili ordinatne vrednosti točke grafa, ki leži na osi y. Za kar zadostuje izračun vrednosti funkcije pri x = 0. Po našem mnenju x = 0 vzel y=2.

Zdaj bomo pozvali urnik funkcije, kdaj X< 0 . Za katerega bomo ustvarili črto, simetrično, ki smo jo že ustvarili, kot je os Oy.

Na ta način smo podprli urnik funkcije šukano.

Primer 3. Inducirajte urnik funkcije

Naloga ni več lahka. Bachimo, kaj je narobe z ogledom funkcij z modulom: i , i . Gremo po vrsti:

Začnimo z dodajanjem razporeda funkcij brez zahtevanih modulov: Dodajmo modul argumenta kože. Odvzamemo funkcijo umu, tj. Za spodbujanje takšnega grafa je potrebno popraviti simetrijo osi Oy. Dodajanje novega starega modula. Odpelji, nareshti, potreboval bom funkcijo. Ker je ta funkcija odstranjena s sprednje strani klicnega modula, lahko vidimo funkcijo, zato je treba blokirati simetrijo Oh.

Zdaj poročaj.

To je linearna funkcija posnetka, za spodbujanje grafike je treba videti celoten del, spodnji del je prevzet.

Torej je graf funkcij hiperbola, pomaknjena za 2 v desno in 4 navzdol.

Izračunajmo koordinate in točko prečnice s koordinatnimi osemi.

y = 0 pri x = 0, bo graf šel tudi skozi koordinato.

2. Zdaj pokličimo razpored funkcij.

Za to, na koncu grafikona, zadnji del glave zítremo ta yogo del, kot da roztashovuєtsya levoruch víd osí Oy:

, nato pa si jo lahko predstavljamo simetrično okoli osi Oy. Spoštovanje, tudi asimptote so prikazane simetrično!

Zdaj pa poglejmo preostali urnik funkcije: . Za kateri del sprednjega grafa, ki leži višje od osi Ox, ostane nespremenjen, tisti, ki se nahajajo pod osjo Ox, pa so simetrično vidni blizu zgornje ravnine. Še enkrat, ne pozabite, da se asimptote pojavijo istočasno iz grafa!

Urnik bujenja.

Primer 4

Schos je popolnoma zvit in zložen! Kup modulov! In kvadrat x nima modula! Nemogoče se je zbuditi!

Torej chi je približno tako sposoben demistificirati povprečnega statističnega študenta 8. razreda, neznanega iz tehnike sufliranja grafov.

Ale, ne jaz! K temu poznamo različne načine preoblikovanja urnika funkcij in poznamo tudi različno moč modula.

Pa pojdimo po vrstnem redu.

Prvi problem je prisotnost modula v x v kvadratu. Ni slabo. Vemo kaj. Dobre. Tudi našo funkcijo lahko zapišemo kot . Tse je že lepše, to je podobno.

Dali. Funkcija je morda najpomembnejši modul, ki bo, kot kaže, moral slediti pravilom urnika funkcije. Poglejmo to, kar je submodularni viraz. Glej funkcijo . Yakby ni -2, potem bo funkcija ponastavila trenutni modul in vedela, kako inducirati graf funkcije za pomoč pri simetriji. Aha! Ale, če bo mi yogo naročen, potem, ko bomo yogo zamenjali za 2 enoti navzdol, bomo vzeli shukane!

Otzhe, schos začnejo vimalovuvatsya. Poskusimo sestaviti algoritem za spodbujanje grafike.

1.

5. jaz na primer, . Vse tiste, ki ležijo pod osjo Ox, se zdijo simetrične blizu zgornje ravnine.

Hura! Urnik pripravljen!

Vso srečo pri težki nalogi pridobivanja urnika!