Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės šaknys(1) nustatomi pagal šias formules:
; .
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio polinomas gali būti pavaizduotas kaip veiksnių sandauga (suskirstyta į faktorius):
.

Darome prielaidą, kad tai yra realūs skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinis diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas tikrąsias šaknis:
; .
Tada kvadrato trinomo faktorius yra:
.
Jei diskriminantas yra lygus nuliui, tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugybines (lygias) tikrąsias šaknis:
.
Faktoravimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, tada kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ,;
ir - tikros ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis aiškinimas

Jei braižote funkciją
,
kuri yra parabolė, tada grafiko ir ašies susikirtimo taškai bus lygties šaknys
.
Kai grafikas dviem taškais kerta abscisės ašį (ašį).
Kai grafikas paliečia abscisės ašį viename taške.
Kada grafikas nekerta abscisės ašies.

Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.

Naudingos kvadratinės lygtys

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir pritaikome formules (f.1) ir (f.3):




,
Kur
; .

Taigi, mes gavome antrojo laipsnio polinomo formos formulę:
.
Taigi matyti, kad lygtis

yra atliekama
ir.
Tai yra, jie yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

.
Lyginant su mūsų (1.1) lygtimi, randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi tikras šaknis:
;
;
.

Iš to gauname kvadratinio trinomo faktorių:

.

Funkcijų grafikas y = 2 x 2 + 7 x + 3 kerta abscisės ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta abscisės ašį (ašį) dviem taškais:
ir.
Šie taškai yra pradinės (1.1) lygties šaknys.

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Parašykime kvadratinę lygtį bendra forma:
.
Lyginant su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra lygus nuliui, lygtis turi dvi daugybines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinomo faktorius yra:
.

Funkcijų grafikas y = x 2 - 4 x + 4 paliečia abscisės ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia abscisės ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis į faktorizaciją patenka du kartus:
,
tada tokia šaknis paprastai vadinama daugkartine. Tai yra, jie mano, kad yra dvi lygios šaknys:
.

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Parašykime kvadratinę lygtį bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Lyginant su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Mes randame diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas. Todėl nėra galiojančių šaknų.

Sudėtingų šaknų galima rasti:
;
;

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės ašies (ašies). Todėl nėra galiojančių šaknų.

Nėra galiojančių šaknų. Kompleksinės šaknys:
;
;
.

Ypatingą vietą užima matematikos lygčių sprendimas. Prieš šį procesą vyksta daug valandų teorijos studijų, kurių metu studentas mokosi būdų, kaip išspręsti lygtis, nustatyti jų tipą ir suteikti įgūdžiui užbaigti automatizmą. Tačiau šaknų paieškos ne visada yra prasmingos, nes jų gali tiesiog nebūti. Yra specialios šaknų paieškos metodikos. Šiame straipsnyje analizuosime pagrindines funkcijas, jų apibrėžimo sritis, taip pat atvejus, kai nėra jų šaknų.

Kuri lygtis neturi šaknų?

Lygtis neturi šaknų, jei nėra realių argumentų x, kuriems lygybė būtų identiška. Pasauliečiui ši formuluotė, kaip ir dauguma matematinių teoremų ir formulių, atrodo labai miglota ir abstrakti, tačiau taip yra teoriškai. Praktiškai viskas tampa nepaprastai paprasta. Pavyzdžiui: 0 * x = -53 lygtis neturi sprendimo, nes nėra tokio skaičiaus x, kurio sandauga su nuliu duotų ką nors kita, išskyrus nulį.

Dabar mes apžvelgsime pagrindinius lygčių tipus.

1. Tiesinė lygtis

Lygtis vadinama tiesine, jei jos dešinioji ir kairioji pusės pateikiamos kaip tiesinės funkcijos: ax + b = cx + d arba apibendrinta forma kx + b = 0. Kur a, b, c, d yra žinomi skaičiai, o x yra an nežinoma vertė ... Kuri lygtis neturi šaknų? Linijinių lygčių pavyzdžiai pateikti toliau pateiktoje iliustracijoje.

Iš esmės tiesinės lygtys sprendžiamos tiesiog perkeliant skaitinę dalį į vieną dalį, o turinį su x į kitą. Gaunama mx = n formos lygtis, kur m ir n yra skaičiai, o x nežinoma. Norint rasti x, pakanka abi dalis padalyti iš m. Tada x = n / m. Apskritai linijinės lygtys turi tik vieną šaknį, tačiau yra atvejų, kai šaknų yra be galo daug arba jų nėra. Jei m = 0 ir n = 0, lygtis įgauna formą 0 * x = 0. Tokios lygties sprendimas bus visiškai bet koks skaičius.

Tačiau kuri lygtis neturi šaknų?

Jei m = 0 ir n = 0, lygtis neturi šaknų realiųjų skaičių aibėje. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - šios lygtys neturi šaknų.

2. Kvadratinė lygtis

Kvadratinė lygtis yra formos ax 2 + bx + c = 0 lygtis, kai a = 0. Dažniausias sprendimas yra per diskriminantą. Kvadratinės lygties diskriminanto radimo formulė: D = b 2 - 4 * a * c. Toliau yra dvi šaknys x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Jei D> 0, lygtis turi dvi šaknis, D = 0 - vieną šaknį. Bet kokia kvadratinė lygtis neturi šaknų? Lengviausias būdas stebėti kvadratinės lygties šaknų skaičių yra naudoti funkcijos grafiką, kuris yra parabolė. Jei a> 0, šakos nukreiptos į viršų, už a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Taip pat galite vizualiai nustatyti šaknų skaičių, neskaičiuodami diskriminanto. Norėdami tai padaryti, turite rasti parabolės viršūnę ir nustatyti, kuria kryptimi šakos yra nukreiptos. Viršūnės x koordinatę galite nustatyti naudodami formulę: x 0 = -b / 2a. Šiuo atveju viršūnės y koordinatė randama paprasčiausiai pakeičiant x 0 į pradinę lygtį.

Kvadratinė lygtis x 2 - 8x + 72 = 0 neturi šaknų, nes ji turi neigiamą diskriminantą D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Tai reiškia, kad parabolė neliečia abscisės ašies ir funkcija niekada nesiekia vertės 0, todėl lygtis neturi tikrųjų šaknų.

3. Trigonometrinės lygtys

Trigonometrinės funkcijos laikomos trigonometriniu ratu, tačiau jas taip pat galima pavaizduoti Dekarto koordinačių sistemoje. Šiame straipsnyje mes apžvelgsime dvi pagrindines trigonometrines funkcijas ir jų lygtis: sinx ir cosx. Kadangi šios funkcijos sudaro trigonometrinį apskritimą, kurio spindulys yra 1, | sinx | ir | cosx | negali būti didesnis nei 1. Taigi kuri lygtis sinxo neturi šaknų? Apsvarstykite žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą sinxo funkcijos grafiką.

Matome, kad funkcija yra simetriška ir turi 2pi pasikartojimo periodą. Remdamiesi tuo galime pasakyti, kad didžiausia šios funkcijos reikšmė gali būti 1, o mažiausia -1. Pavyzdžiui, išraiška cosx = 5 neturės šaknų, nes modulis yra didesnis nei vienas.

Tai paprasčiausias trigonometrinių lygčių pavyzdys. Tiesą sakant, jas išspręsti gali prireikti daugybės puslapių, kurių pabaigoje supranti, kad pasirinkai neteisingą formulę ir reikia pradėti iš naujo. Kartais, net tinkamai suradus šaknis, galite pamiršti atsižvelgti į LDZ apribojimus, todėl atsakyme atsiranda papildoma šaknis ar intervalas, o visas atsakymas virsta klaidingu. Todėl griežtai laikykitės visų apribojimų, nes ne visos šaknys patenka į užduoties sritį.

4. Lygčių sistemos

Lygčių sistema yra lygčių rinkinys, kurį vienija garbanotieji arba laužtiniai skliaustai. Garbanotieji skliaustai žymi bendrą visų lygčių vykdymą. Tai yra, jei bent viena iš lygčių neturi šaknų arba prieštarauja kitai, visa sistema neturi sprendimo. Laužtiniai skliaustai žymi žodį „arba“. Tai reiškia, kad jei bent viena iš sistemos lygčių turi sprendimą, tai visa sistema turi sprendimą.

Atsakymas į c sistemą yra visų atskirų lygčių šaknų rinkinys. Garbanotosios petnešos turi tik bendras šaknis. Lygčių sistemos gali apimti absoliučiai įvairias funkcijas, todėl toks sudėtingumas neleidžia iš karto pasakyti, kuri lygtis neturi šaknų.

Probleminėse knygose ir vadovėliuose yra skirtingų tipų lygčių: turinčių šaknis ir neturinčių. Visų pirma, jei nerandate šaknų, nemanykite, kad jų apskritai nėra. Galbūt kažkur padarėte klaidą, tada pakanka tik atidžiai dar kartą patikrinti savo sprendimą.

Mes apsvarstėme pagrindines lygtis ir jų rūšis. Dabar galite pasakyti, kuri lygtis neturi šaknų. Daugeliu atvejų tai visai nesunku. Sėkmė sprendžiant lygtis reikalauja tik dėmesio ir susikaupimo. Praktikuok daugiau, tai padės daug geriau ir greičiau naršyti medžiagą.

Taigi, lygtis neturi šaknų, jei:

• tiesinėje lygtyje mx = n reikšmė m = 0 ir n = 0;
• kvadratinėje lygtyje, jei diskriminantas yra mažesnis už nulį;
• trigonometrinėje lygtyje formos cosx = m / sinx = n, jei | m | > 0, | n | > 0;
• lygčių sistemoje su garbanotais skliaustais, jei bent viena lygtis neturi šaknų, ir su laužtiniais skliaustais, jei visos lygtys neturi šaknų.

Išnagrinėję lygybės sąvoką, būtent vieną iš jų tipų - skaitines lygybes, galime pereiti prie kito svarbaus tipo - lygčių. Šios medžiagos rėmuose paaiškinsime, kas yra lygtis ir jos šaknis, suformuluosime pagrindinius apibrėžimus ir pateiksime įvairius lygčių pavyzdžius ir surasime jų šaknis.

„Yandex.RTB R-A-339285-1“

Lygties samprata

Paprastai lygties sąvoka nagrinėjama pačioje mokyklos algebros kurso pradžioje. Tada jis apibrėžiamas taip:

1 apibrėžimas

Lygtis vadinama lygybe, kurios skaičius nežinomas.

Nežinomus įprasta žymėti mažomis lotyniškomis raidėmis, pavyzdžiui, t, r, m ir kt., Tačiau dažniausiai naudojami x, y, z. Kitaip tariant, lygtis nustato jos rašymo formą, tai yra, lygybė bus lygtis tik tada, kai ji bus sumažinta iki tam tikros formos - joje turi būti raidė, vertė, kurią reikia rasti.

Štai keletas paprasčiausių lygčių pavyzdžių. Tai gali būti formos x = 5, y = 6 ir t. T., Taip pat tos, kurios apima aritmetines operacijas, pavyzdžiui, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Ištyrus skliaustų sąvoką, atsiranda lygčių su skliaustais sąvoka. Tai apima 7 (x - 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) = 3 ir kt. Laiškas, kurį reikia rasti, gali atsirasti ne vieną, o kelis kartus, pavyzdžiui, lygtis x + 2 + 4 x - 2 - x = 10. Taip pat nežinomieji gali būti ne tik kairėje, bet ir dešinėje arba abiejose dalyse vienu metu, pavyzdžiui, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 arba 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Toliau, studentams susipažinus su sveikųjų skaičių, realiųjų, racionaliųjų, natūraliųjų skaičių, logaritmų, šaknų ir galių sąvoka, atsiranda naujos lygtys, apimančios visus šiuos objektus. Tokių posakių pavyzdžiams skyrėme atskirą straipsnį.

7 klasių programoje pirmiausia atsiranda kintamųjų sąvoka. Tai raidės, kurios gali įgauti skirtingą reikšmę (daugiau informacijos rasite straipsnyje apie skaitines, pažodines ir kintamąsias išraiškas). Remdamiesi šia koncepcija, galime iš naujo apibrėžti lygtį:

2 apibrėžimas

Lygtis Ar lygybė apima kintamąjį, kurio vertę norite įvertinti.

Tai yra, pavyzdžiui, išraiška x + 3 = 6 x + 7 yra lygtis su kintamuoju x, o 3 y - 1 + y = 0 yra lygtis su kintamuoju y.

Vienoje lygtyje gali būti ne vienas kintamasis, bet du ar daugiau. Jie vadinami atitinkamai lygtimis su dviem, trim kintamaisiais ir tt Parašykime apibrėžimą:

3 apibrėžimas

Dviejų (trijų, keturių ar daugiau) kintamųjų lygtys yra lygtys, į kurias įeina atitinkamas nežinomųjų skaičius.

Pavyzdžiui, formos 3, 7 x + 0, 6 = 1 lygybė yra lygtis su vienu kintamuoju x, o x - z = 5 yra dviejų kintamųjų x ir z lygtis. Trijų kintamųjų lygties pavyzdys būtų x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Lygties šaknis

Kai kalbame apie lygtį, iškart reikia apibrėžti jos šaknies sąvoką. Pabandykime paaiškinti, ką tai reiškia.

1 pavyzdys

Mums pateikiama kažkokia lygtis, apimanti vieną kintamąjį. Jei nežinomą raidę pakeisime skaičiumi, tada lygybė taps skaitine lygybe - teisinga arba klaidinga. Taigi, jei lygtyje a + 1 = 5 raidę pakeisime skaičiumi 2, lygybė taps neteisinga, o jei 4, tada teisingą lygybę gausime 4 + 1 = 5.

Mus labiau domina būtent tos vertės, su kuriomis kintamasis virs teisinga lygybe. Jie vadinami šaknimis arba sprendimais. Parašykime apibrėžimą.

4 apibrėžimas

Lygties šaknis vadinama kintamojo verte, kuri paverčia pateiktą lygtį tikra lygybe.

Šaknis taip pat gali būti vadinama sprendimu arba atvirkščiai - abi šios sąvokos reiškia tą patį.

2 pavyzdys

Paimkime pavyzdį, kad paaiškintume šį apibrėžimą. Aukščiau pateikėme lygtį a + 1 = 5. Pagal apibrėžimą šaknis šiuo atveju bus 4, nes pakeičiant vietoj raidės, ji suteikia teisingą skaitinę lygybę, o dvi nebus sprendimas, nes ji atitinka neteisingą lygybę 2 + 1 = 5.

Kiek šaknų gali turėti viena lygtis? Ar kuri nors lygtis turi šaknį? Atsakykime į šiuos klausimus.

Taip pat egzistuoja lygtys, neturinčios vienos šaknies. Pavyzdys galėtų būti 0 x = 5. Į jį galime pakeisti be galo daug skirtingų skaičių, tačiau nė vienas iš jų nepadarys tikros lygybės, nes padauginus iš 0, visada gaunama 0.

Taip pat yra lygčių, turinčių kelias šaknis. Jie gali turėti tiek baigtinį, tiek be galo daug šaknų.

3 pavyzdys

Taigi lygtyje x - 2 = 4 yra tik viena šaknis - šeši, x 2 = 9 yra dvi šaknys - trys ir atėmus tris, x (x - 1) (x - 2) = 0 yra trys šaknys - nulis, viena ir dvi, lygtyje x = x yra be galo daug šaknų.

Dabar paaiškinkime, kaip teisingai užrašyti lygties šaknis. Jei jų nėra, tada rašome taip: „lygtis neturi šaknų“. Tokiu atveju galima nurodyti ir tuščios aibės the ženklą. Jei yra šaknys, tada jas rašome atskirtus kableliais arba nurodome kaip aibės elementus, apgaubdami juos garbanotaisiais petnešomis. Taigi, jei kuri nors lygtis turi tris šaknis - 2, 1 ir 5, tada rašome - 2, 1, 5 arba (- 2, 1, 5).

Leidžiama rašyti šaknis paprasčiausių lygybių pavidalu. Taigi, jei nežinomoji lygtyje žymima raide y, o šaknys yra 2 ir 7, tada mes rašome y = 2 ir y = 7. Kartais prie raidžių pridedami prenumeratos, pavyzdžiui, x 1 = 3, x 2 = 5. Taigi mes nurodome šaknų skaičius. Jei lygtyje yra be galo daug sprendimų, tada atsakymą rašome kaip skaitinį intervalą arba naudojame visuotinai priimtą žymėjimą: natūraliųjų skaičių aibė žymima N, sveikieji skaičiai - Z, realieji - R. Tarkime, jei turime užrašyti, kad lygties sprendimas bus bet koks sveikasis skaičius, tada parašysime, kad x ∈ Z, o jei realus yra nuo vieno iki devynių, tada y ∈ 1, 9.

Kai lygtyje yra dvi, trys ar daugiau šaknų, tada paprastai kalbama ne apie šaknis, bet apie lygties sprendimus. Suformuluokime lygties sprendimo apibrėžimą keliais kintamaisiais.

5 apibrėžimas

Dviejų, trijų ar daugiau kintamųjų lygties sprendimas yra dvi, trys ar daugiau kintamųjų reikšmių, kurios paverčia pateiktą lygtį tikra skaitine lygybe.

Paaiškinkime apibrėžimą pavyzdžiais.

4 pavyzdys

Tarkime, kad turime išraišką x + y = 7, kuri yra dviejų kintamųjų lygtis. Pakeiskime vieną vietoj pirmojo ir du vietoj antrojo. Mes gausime neteisingą lygybę, o tai reiškia, kad ši reikšmių pora nebus šios lygties sprendimas. Jei paimsime porą 3 ir 4, lygybė taps tiesa, o tai reiškia, kad mes radome sprendimą.

Tokios lygtys taip pat gali neturėti šaknų arba turėti jų begalinį skaičių. Jei mums reikia parašyti dvi, tris, keturias ar daugiau reikšmių, tada jas rašome atskyrus kableliais skliausteliuose. Tai yra, aukščiau pateiktame pavyzdyje atsakymas atrodys taip (3, 4).

Praktiškai dažniausiai tenka spręsti lygtis, kuriose yra vienas kintamasis. Straipsnyje, skirtame lygtims spręsti, išsamiai apsvarstysime jų sprendimo algoritmą.

Jei pastebite klaidą tekste, pasirinkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter