Tipiškos geometrinės plokštumos ir trimatės erdvės problemos yra skirtingų formų paviršių plotų nustatymo problemos. Šiame straipsnyje pateikiame taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę.

Kas yra piramidė?

Čia yra griežtas geometrinis piramidės apibrėžimas. Tarkime, kad yra koks nors daugiakampis, kurio n kraštai ir n kampai. Pasirinkite bet kokį erdvės tašką, kuris nebus nurodyto n-gono plokštumoje, ir prijunkite jį prie kiekvienos daugiakampio viršūnės. Gauname tam tikro tūrio figūrą, kuri vadinama n-pusė piramidė. Pavyzdžiui, žemiau esančiame paveikslėlyje parodykime, kaip atrodo penkiakampė piramidė.

Du svarbūs bet kurios piramidės elementai yra jos pagrindas (n-gon) ir viršus. Šie elementai yra sujungti n trikampiais, kurie paprastai nėra lygūs vienas kitam. Iš viršaus į pagrindą nuleistas statmenas vadinamas figūros aukščiu. Jei jis kerta pagrindą geometriniame centre (sutampa su daugiakampio masės centru), tai tokia piramidė vadinama tiesia. Jei be šios sąlygos pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, tada visa piramidė vadinama taisyklingąja. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kaip atrodo taisyklingos piramidės su trikampiu, keturkampiu, penkiakampiu ir šešiakampiu pagrindu.

Piramidės paviršius

Prieš pereinant prie taisyklingos keturkampės piramidės šoninio paviršiaus ploto, reikėtų išsamiau apsistoti ties paties paviršiaus samprata.

Kaip minėta pirmiau ir parodyta paveiksluose, bet kurią piramidę sudaro veidų arba šonų rinkinys. Viena pusė yra pagrindas, o n kraštai yra trikampiai. Visos figūros paviršius yra kiekvienos pusės plotų suma.

Paviršių patogu ištirti naudojant figūros išskleidimo pavyzdį. Plokščias taisyklingos keturkampės piramidės modelis parodytas toliau pateiktuose paveiksluose.

Matome, kad jo paviršiaus plotas yra lygus keturių vienodų lygiašonių trikampių plotų ir kvadrato ploto sumai.

Visų trikampių, sudarančių šonines figūros puses, bendras plotas paprastai vadinamas šoniniu paviršiaus plotu. Toliau mes parodysime, kaip jį apskaičiuoti taisyklingai keturkampei piramidei.

Keturkampės taisyklingos piramidės šoninis paviršiaus plotas

Norėdami apskaičiuoti nurodytos formos šoninį paviršiaus plotą, grįžkite į aukščiau pateiktą plokščią schemą. Tarkime, kad mes žinome kvadrato pagrindo šoną. Pažymėkime jį simboliu a. Galima pastebėti, kad kiekvienas iš keturių vienodų trikampių turi a ilgio pagrindą. Norėdami apskaičiuoti bendrą jų plotą, turite žinoti šią vieno trikampio vertę. Iš geometrijos kurso žinoma, kad trikampio S t plotas yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, kurią reikia padalyti per pusę. T.y:

Kur h b yra lygiakraščio trikampio, nubrėžto į pagrindą a, aukštis. Piramidės atveju šis aukštis yra apothem. Dabar lieka padauginti gautą išraišką iš 4, kad gautume nagrinėjamos piramidės šoninio paviršiaus plotą S b:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

Ši formulė turi du parametrus: apotemą ir pagrindo šoną. Jei pastarasis yra žinomas daugeliu problemų sąlygų, tada pirmasis turi būti apskaičiuojamas žinant kitus kiekius. Pateikiame apotemos h b apskaičiavimo formules dviem atvejais:

• kai žinomas šoninio šonkaulio ilgis;
• kai žinomas piramidės aukštis.

Jei šoninio krašto ilgį (lygiašonio trikampio kraštinę) žymime simboliu L, tada apotema h b nustatoma pagal formulę:

h b = √ (L 2 - a 2/4).

Ši išraiška yra Pitagoro teoremos pritaikymo šoninio paviršiaus trikampiui rezultatas.

Jei žinomas piramidės aukštis h, apotemą h b galima apskaičiuoti taip:

h b = √ (h 2 + a 2/4).

Taip pat nesunku gauti šią išraišką, jei piramidės viduje laikysime stačiakampį trikampį, kurį sudaro kojos h ir a / 2 bei hipotenuzė h b.

Parodykime, kaip pritaikyti šias formules, išsprendžiant dvi įdomias problemas.

Žinoma paviršiaus problema

Yra žinoma, kad keturkampio šoninio paviršiaus plotas yra 108 cm 2. Būtina apskaičiuoti jo apotemos ilgio h b vertę, jei piramidės aukštis yra 7 cm.

Parašykime šoninio paviršiaus ploto S b formulę pagal aukštį. Mes turime:

S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.

Čia mes tiesiog pakeitėme atitinkamą apotemos formulę S b išraiškoje. Kvadratizuokime abi lygybės puses:

S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Norėdami rasti a vertę, pakeiskime kintamuosius:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Dabar mes pakeičiame žinomas vertes ir išsprendžiame kvadratinę lygtį:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Išrašėme tik teigiamą šios lygties šaknį. Tada piramidės pagrindo kraštinės bus lygios:

a = √t = √47.8355 ≈ 6.916 cm.

Norint gauti apotemos ilgį, pakanka naudoti formulę:

h b = √ (h 2 + a 2/4) = √ (7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.

Cheopso piramidės šoninis paviršius

Nustatykime didžiausios Egipto piramidės šono vertę. Yra žinoma, kad jo pagrinde yra kvadratas, kurio kraštinės ilgis yra 230,363 metrai. Iš pradžių pastato aukštis siekė 146,5 metro. Pakeisdami šiuos skaičius į atitinkamą S b formulę, gausime:

S b = 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a = 2 * √ (146,5 2 +230,363 2/4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Rasta vertė yra šiek tiek didesnė nei 17 futbolo aikščių ploto.

Savavališkos piramidės šoninis paviršiaus plotas yra lygus jos šoninių paviršių plotų sumai. Tikslinga pateikti specialią formulę šiai sričiai išreikšti taisyklingos piramidės atveju. Taigi leiskite duoti taisyklingą piramidę, kurios pagrinde yra taisyklingas n-gonas, kurio kraštinė lygi a. Tegu h yra šoninio veido aukštis, dar vadinamas apothem piramidės. Vieno šoninio paviršiaus plotas yra lygus 1 / 2ah, o viso šoninio piramidės paviršiaus plotas lygus n / 2ha. Kadangi na yra piramidės pagrindo perimetras, galime parašyti rastą formulę formoje:

Šoninio paviršiaus plotas taisyklingos piramidės yra lygus jos apotemos sandaugai ir pusei pagrindo perimetro.

Susirūpinimas viso paviršiaus ploto, tada tiesiog pridėkite pagrindo plotą į šoną.

Užrašyta ir aprašyta sfera ir rutulys... Reikėtų pažymėti, kad į piramidę įrašyto sferos centras yra piramidės vidinių dvikampių kampų pusiaukelės plokštumų sankirtoje. Prie piramidės aprašytos sferos centras yra plokštumų, einančių per piramidės kraštų vidurinius taškus ir statmenos joms, sankirtoje.

Nukirsta piramidė. Jei piramidė yra supjaustyta plokštuma, lygiagrečia jos pagrindui, vadinama ta dalis, uždara tarp antrosios plokštumos ir pagrindo nupjauta piramidė. Paveikslėlyje parodyta piramidė, išmetus jos dalį, esančią virš pjovimo plokštumos, gauname nupjautą piramidę. Akivaizdu, kad maža išmesta piramidė yra homotetiška didelei piramidei, kurios viršūnėje yra homotetikos centras. Panašumo koeficientas yra lygus aukščių santykiui: k = h 2 / h 1, arba šoniniai kraštai, arba kiti atitinkami tiesiniai abiejų piramidžių matmenys. Mes žinome, kad tokių figūrų plotai yra susiję kaip tiesinių matmenų kvadratai; taigi abiejų piramidžių pagrindų plotai (t. y. nupjautos piramidės pagrindų plotas) yra susiję kaip

Čia S 1 yra apatinio pagrindo plotas, o S 2 - nupjautos piramidės viršutinio pagrindo plotas. Šoniniai piramidžių paviršiai yra tame pačiame santykyje. Yra panaši taisyklė ir tomams.

Panašių kūnų tūriai nurodykite kubeliais jų linijinius matmenis; pavyzdžiui, piramidžių tūriai yra susiję kaip jų aukščio sandauga bazių plote, iš kur iškart gaunama mūsų taisyklė. Jis turi visiškai bendrą pobūdį ir tiesiogiai išplaukia iš to, kad tūris visada turi trečiosios ilgio galios matmenį. Naudodamiesi šia taisykle, mes gauname formulę, išreiškiančią nupjautos piramidės tūrį pagal pagrindų aukštį ir plotą.

Pateikiama nupjauta piramidė, kurios aukštis h ir pagrindo plotai S 1 ir S 2. Jei įsivaizduosime, kad jis tęsiamas iki visos piramidės, tada visos piramidės ir mažos piramidės panašumo koeficientą galima lengvai rasti kaip santykio S 2 / S 1 šaknį. Nupjautos piramidės aukštis išreiškiamas h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Dabar turime nupjautos piramidės tūrį (V 1 ir V 2 žymi pilnų ir mažų piramidžių tūrį)

sutrumpintos piramidės tūrio formulė

Išveskime taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto S formulę per pagrindų perimetrus P 1 ir P 2 ir apotemos a ilgį. Mes ginčijamės lygiai taip pat, kaip ir išvedant tūrio formulę. Mes papildome piramidę viršutine dalimi, mes turime P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, kur k yra panašumo koeficientas, P 1 ir P 2 yra pagrindų perimetrai, o S 1 ir S 2 yra atitinkamai visos gautos piramidės ir jos viršaus šoniniai paviršiai. Šoniniam paviršiui randame (a 1 ir 2 yra piramidžių apotemai, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė

Piramidė- viena iš daugiakampio atmainų, susiformavusių iš daugiakampių ir trikampių, kurie guli prie pagrindo ir yra jo veidai.

Be to, piramidės viršuje (t. Y. Viename taške) visi veidai yra sujungti.

Norint apskaičiuoti piramidės plotą, verta nustatyti, kad jos šoninis paviršius susideda iš kelių trikampių. Taikydami galime lengvai rasti jų sritis

įvairios formulės. Atsižvelgdami į tai, kokius trikampio duomenis žinome, ieškome jų ploto.

Pateikime keletą formulių, pagal kurias galite rasti trikampių plotą:

1. S = (a * h) / 2 ... Šiuo atveju mes žinome trikampio aukštį h kuris nuleistas į šoną a .
2. S = a * b * sinβ ... Čia trikampio kraštinės a , b , o kampas tarp jų yra β .
3. S = (r * (a + b + c)) / 2 ... Čia trikampio kraštinės a, b, c ... Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys yra r .
4. S = (a * b * c) / 4 * R ... Apriboto apskritimo, esančio aplink trikampį, spindulys yra R .
5. S = (a * b) / 2 = r² + 2 * r * R ... Ši formulė turėtų būti taikoma tik tada, kai trikampis yra stačiakampis.
6. S = (a² * √3) / 4 ... Šią formulę taikome lygiakraščiam trikampiui.

Tik apskaičiavę visų trikampių, kurie yra mūsų piramidės paviršiai, plotus, galime apskaičiuoti jo šoninio paviršiaus plotą. Tam naudosime aukščiau pateiktas formules.

Norint apskaičiuoti piramidės šoninio paviršiaus plotą, nekyla jokių sunkumų: reikia išsiaiškinti visų trikampių plotų sumą. Išreikškime formulę:

Sп = ΣSi

Čia Si yra pirmojo trikampio plotas ir S P - piramidės šoninio paviršiaus plotas.

Pažvelkime į pavyzdį. Pateikiama taisyklinga piramidė, jos šoninius paviršius sudaro keli lygiakraščiai trikampiai,

« Geometrija yra galingiausia priemonė, galinti sustiprinti mūsų protinius sugebėjimus.».

Galileo Galilei.

o kvadratas yra piramidės pagrindas. Be to, piramidės krašto ilgis yra 17 cm. Raskime šios piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Mes ginčijamės taip: žinome, kad piramidės veidai yra trikampiai, jie yra lygiakraščiai. Mes taip pat žinome, kiek yra tam tikros piramidės šonkaulis. Iš to išplaukia, kad visi trikampiai turi vienodas šonines kraštus, jų ilgis yra 17 cm.

Norėdami apskaičiuoti kiekvieno iš šių trikampių plotą, galite naudoti šią formulę:

S = (17² * √3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 cm²

Kadangi mes žinome, kad kvadratas yra piramidės pagrinde, paaiškėja, kad turime keturis lygiakraščius trikampius. Tai reiškia, kad piramidės šoninio paviršiaus plotą galima lengvai apskaičiuoti pagal šią formulę: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Mūsų atsakymas yra toks: 500,548 cm² - tai yra šios piramidės šoninio paviršiaus plotas.

Jūsų privatumas mums yra svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kuriuos galima naudoti norint nustatyti konkretų asmenį ar susisiekti su juo.

Jums gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisieksite su mumis.

Toliau pateikiami keli asmeninės informacijos tipų, kuriuos galime rinkti, pavyzdžiai ir kaip mes galime naudoti tokią informaciją.

Kokią asmeninę informaciją mes renkame:

• Kai paliksite užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. Pašto adresą ir kt.

Kaip mes naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir pranešti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidaus tikslams, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami patobulinti mūsų teikiamas paslaugas ir pateikti jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašiame reklaminiame renginyje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos tretiesiems asmenims.

Išimtys:

• Jei būtina - vadovaujantis įstatymais, teismo nutartimi, teismo procese ir (arba) remiantis viešais klausimais ar vyriausybės institucijų Rusijos Federacijos teritorijoje prašymais, atskleisti savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nustatysime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų socialiai svarbių priežasčių.
• Pertvarkymo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai - teisių perėmėjai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, kad apsaugotume jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir piktnaudžiavimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Gerbkite savo privatumą įmonės lygiu

Siekdami įsitikinti, kad jūsų asmeninė informacija yra saugi, savo darbuotojams pateikiame konfidencialumo ir saugumo taisykles ir griežtai stebime konfidencialumo priemonių įgyvendinimą.

Yra daugiakampė figūra, kurios pagrinde yra daugiakampis, o likusius veidus vaizduoja trikampiai su bendra viršūne.

Jei pagrinde yra kvadratas, vadinama piramidė keturkampis, jei trikampis - tada trikampis... Piramidės aukštis brėžiamas nuo jos viršaus statmenai pagrindui. Taip pat naudojamas apskaičiuojant plotą apothem- šoninio veido aukštis nukrito nuo viršaus.
Piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos šoninių paviršių plotų, kurie yra lygūs vienas kitam, suma. Tačiau šis skaičiavimo metodas naudojamas labai retai. Iš esmės piramidės plotas apskaičiuojamas per pagrindo ir apotemos perimetrą:

Panagrinėkime piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Tegul bus suteikta piramidė su pagrindu ABCDE ir viršumi F. AB = BC = CD = DE = EA = 3 cm. Apothem a = 5 cm. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Suraskime perimetrą. Kadangi visi pagrindo paviršiai yra vienodi, penkiakampio perimetras bus lygus:
Dabar galite rasti piramidės šoninį plotą:

Taisyklingos trikampės piramidės plotas

Taisyklinga trikampė piramidė susideda iš pagrindo, kuriame yra taisyklingas trikampis, ir trijų šoninių paviršių, kurių plotas yra lygus.
Taisyklingos trikampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę galima apskaičiuoti įvairiai. Galite taikyti įprastą formulę skaičiuojant perimetrą ir apotemą, arba galite rasti vieno veido plotą ir padauginti iš trijų. Kadangi piramidės veidas yra trikampis, taikysime trikampio ploto formulę. Tam reikės apothemo ir pagrindo ilgio. Panagrinėkime taisyklingos trikampės piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Jums suteikiama piramidė, kurios apotemas yra a = 4 cm, o pagrindo kraštas b = 2 cm. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Pirmiausia randame vieno šoninio paviršiaus plotą. Šiuo atveju tai bus:
Vertes pakeiskite į formulę:
Kadangi taisyklingoje piramidėje visos kraštinės yra vienodos, piramidės šoninio paviršiaus plotas bus lygus trijų veidų plotų sumai. Atitinkamai:

Sutrumpinta piramidės sritis

Sutrumpinta Piramidė yra daugiakampis, kurį suformuoja piramidė ir jos pjūvis lygiagretus pagrindui.
Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra labai paprasta. Plotas lygus apothemo pusės pagrindų perimetrų sumos sandaugai: