Kol kas šios formulės detaliau neaptarsime. Be to, tai gana sunku įsiminti. Grįšime į šį tašką susipažinę su lemiančiais veiksniais.

Na, bendram vystymuisi naudinga žinoti, kad gauto vektoriaus ilgis yra lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotui a ir b.

Vektorių normalizavimas

Normintas vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas.

Normalizuoto vektoriaus radimo formulė yra tokia - visi vektoriaus komponentai turi būti padalyti iš jo ilgio:

v n = v/ | v | =

Posakis

Kaip tikriausiai matėte, vektorius nėra sunku suprasti. Mes apėmė daugybę vektorinių operacijų.

Kituose „matematikos“ skyriaus straipsniuose aptarsime matricas, determinantus, tiesinių lygčių sistemas. Visa tai yra teorija.

Po to mes pažvelgsime į matricos transformacijas. Tada suprasite, kokia svarbi matematika yra kuriant kompiuterinius žaidimus. Ši tema tiesiog taps visų ankstesnių temų praktika.

VEKTORIUS
Fizikoje ir matematikoje vektorius yra dydis, kuriam būdinga jo skaitinė vertė ir kryptis. Fizikoje yra daug svarbių dydžių, kurie yra vektoriai, pavyzdžiui, jėga, padėtis, greitis, pagreitis, sukimo momentas, impulsas, elektrinių ir magnetinių laukų stiprumas. Juos galima palyginti su kitais dydžiais, tokiais kaip masė, tūris, slėgis, temperatūra ir tankis, kuriuos galima apibūdinti įprastu skaičiumi, ir jie vadinami „skalarais“. Vektorių žymėjimas naudojamas dirbant su reikšmėmis, kurių negalima iki galo nurodyti naudojant įprastus skaičius. Pavyzdžiui, mes norime apibūdinti objekto padėtį tam tikro taško atžvilgiu. Mes galime pasakyti, kiek kilometrų yra nuo taško iki objekto, tačiau negalime iki galo nustatyti jo vietos, kol nežinome, kokia kryptimi jis yra. Taigi objekto vietai būdinga skaitinė vertė (atstumas kilometrais) ir kryptis. Grafiškai vektoriai vaizduojami kaip nukreipti tam tikro ilgio tiesios linijos segmentai, kaip pav. 1. Pavyzdžiui, norint grafiškai pavaizduoti penkių kilogramų jėgą, reikia nupiešti penkių vienetų ilgio tiesios atkarpą jėgos kryptimi. Rodyklė rodo, kad jėga veikia nuo A iki B; jei jėga veiktų nuo B iki A, tada mes rašytume arba Kad būtų patogiau, vektoriai paprastai žymimi paryškintomis didžiosiomis raidėmis (A, B, C ir kt.); vektoriai A ir -A turi vienodas skaitines reikšmes, bet priešinga kryptimi. Vektoriaus A skaitinė vertė vadinama moduliu arba ilgiu ir žymima A arba | A | Šis kiekis, žinoma, yra skalaras. Vektorius, kurio pradžia ir pabaiga sutampa, vadinamas nuliu ir žymimas O.

Du vektoriai vadinami vienodais (arba laisvaisiais), jei jų moduliai ir kryptys sutampa. Tačiau mechanikoje ir fizikoje šis apibrėžimas turi būti vartojamas atsargiai, nes dviem skirtingais kūno taškais veikiamos vienodos jėgos paprastai duos skirtingus rezultatus. Šiuo atžvilgiu vektoriai skirstomi į „susietus“ arba „slenkančius“ taip: Susieti vektoriai turi fiksuotus taikymo taškus. Pavyzdžiui, spindulio vektorius nurodo taško padėtį, palyginti su tam tikra pradine pradžia. Susiję vektoriai laikomi lygiais, jei jie turi ne tik tuos pačius modulius ir kryptis, bet ir turi bendrą taikymo tašką. Stumdomi vektoriai yra lygūs vektoriai, esantys vienoje tiesėje.
Vektorių pridėjimas. Idėja pridėti vektorius kilo dėl to, kad galime rasti vieną vektorių, kuris turi tą patį poveikį kaip ir kiti du vektoriai kartu. Jei, norėdami patekti į tam tikrą tašką, pirmiausia turime nueiti A kilometrus viena kryptimi, o paskui B kilometrus kita kryptimi, tai mes galėtume pasiekti savo galutinį tašką perėję C kilometrus trečiąja kryptimi (2 pav.) . Šia prasme galime tai pasakyti

Mes galime pridėti bet kokį vektorių skaičių, o terminų tvarka neturi įtakos rezultatui. Taip pat yra atvirkščiai: bet kuris vektorius yra skaidomas į du ar daugiau „komponentų“; į du ar daugiau vektorių, kuriuos pridėjus rezultatas bus pirminis vektorius. Pavyzdžiui, pav. 2, A ir B yra C. Daugelis matematinių operacijų su vektoriais yra supaprastintos, jei vektorius suskaidomas į tris komponentus trimis abipus statmenomis kryptimis. Pasirinkite dešiniąją Dekarto koordinačių sistemą su ašimis Ox, Oy ir Oz, kaip parodyta fig. 5. Tinkama koordinačių sistema turime omenyje, kad x, y ir z ašys yra išdėstytos taip, kaip atitinkamai gali būti dešinės rankos nykštis, rodyklė ir vidurinis pirštai. Iš vienos dešiniarankės koordinačių sistemos, atitinkamai pasukdami, visada galite gauti kitą dešiniarankių koordinačių sistemą. Fig. 5, parodyta vektoriaus A skaidymas į tris komponentus ir jie sudeda į vektorių A, nes

Taigi,

Taip pat pirmiausia galima pridėti ir gauti, tada pridėti prie vektoriaus A projekcijų ant trijų koordinačių ašių, pažymėtų Ax, Ay ir Az, vadinamos vektoriaus A "skaliariniais komponentais":

kur a, b ir g yra kampai tarp A ir trijų koordinačių ašių. Dabar pristatome tris vieneto ilgio i, j ir k vektorius (vieneto vektorius), kurių kryptis yra tokia pati kaip ir atitinkamų ašių x, y ir z. Tada, jei Ax padauginamas iš i, gautas produktas yra vektorius, lygus ir

Du vektoriai yra lygūs tik tada, jei jų atitinkami skaliariniai komponentai yra vienodi. Taigi A = B tik tada, jei Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Du vektorius galima pridėti pridedant jų komponentus:

Be to, pagal Pitagoro teoremą:

Linijinės funkcijos. Išraiška aA + bB, kur a ir b yra skaliarai, vadinama linijine vektorių A ir B funkcija. Tai vektorius, esantis vienoje plokštumoje su A ir B; jei A ir B nėra lygiagretūs, tada, kai pasikeičia a ir b, vektorius aA + bB judės per visą plokštumą (6 pav.). Jei visi A, B ir C nėra vienoje plokštumoje, tada vektorius aA + bB + cC (a, b ir c keičiasi) juda visoje erdvėje. Tarkime, kad A, B ir C yra vienetiniai vektoriai i, j ir k. Vektorius ai guli ant x ašies; vektorius ai + bj gali judėti išilgai visos xy plokštumos; vektorius ai + bj + ck gali judėti visoje erdvėje.

Galima tęsti iki penkių, šešių ar bet kokio matmenų skaičiaus. Nors tokio vektoriaus neįmanoma vizualizuoti, matematinių sunkumų čia nekyla. Toks įrašas dažnai yra naudingas; pavyzdžiui, judančios dalelės būseną apibūdina šešių dimensijų vektorius P (x, y, z, px, py, pz), kurio komponentai yra jos padėtis erdvėje (x, y, z) ir impulsas (px, py, pz). Ši erdvė vadinama „fazine erdve“; jei atsižvelgsime į dvi daleles, tada fazių erdvė yra 12 dimensijų, jei trys, tada 18 ir kt. Dimensijų skaičių galima padidinti neribotą laiką; tačiau kiekiai, su kuriais susidursime, elgsis panašiai kaip tie, kuriuos apsvarstysime kitame šio straipsnio straipsnyje, būtent - erdviniai vektoriai.
Dviejų vektorių dauginimas. Vektorių pridėjimo taisyklė buvo gauta tiriant vektorių vaizduojamų dydžių elgesį. Nėra aiškios priežasties, kodėl dviejų vektorių jokiu būdu negalima padauginti, tačiau šis dauginimas bus prasmingas tik tuo atveju, jei galėsite parodyti jo matematinį nuoseklumą; be to, pageidautina, kad kūrinys turėtų tam tikrą fizinę prasmę. Yra du būdai, kaip padauginti vektorius, kurie atitinka šias sąlygas. Vieno iš jų rezultatas yra skaliarinis, toks sandauga vadinama dviejų vektorių „taškiniu sandaugu“ arba „vidiniu sandaugu“ ir rašoma ABB arba (A, B). Dar kartą padauginus gaunamas vektorius, vadinamas „vektoriniu sandaugu“ arba „išoriniu sandaugu“ ir užrašomas A * B arba []. Taškiniai produktai turi fizinę reikšmę vienai, dviem ar trims dimensijoms, o vektoriniai gaminiai yra apibrėžti tik trims dimensijoms.
Scalar produktai. Jei veikiant tam tikrai jėgai F, taškas, kuriam jis taikomas, perkelia atstumą r, tada atliktas darbas yra lygus r ir komponento F sandaugai r kryptimi. Šis komponentas yra lygus F cos bF, rc, kur bF, rc yra kampas tarp F ir r, t. Atliktas darbas = Fr cos bF, rc. Tai yra taškinio produkto, apibrėžto bet kuriam dviem vektoriui A, B, fizinės pagrindimo pavyzdys pagal formulę
A * B = AB cos bA, Bc.
Kadangi visi dydžiai dešinėje lygties pusėje yra skaliarai, tada A * B = B * A; taigi skaliarinis dauginimas yra komutacinis. Skaliarinis dauginimas taip pat turi skirstomumo savybę: A * (B + C) = A * B + A * C. Jei vektoriai A ir B yra statmeni, tada cos bA, Bc yra lygus nuliui ir todėl A * B = 0, net jei nei A, nei B nėra lygūs nuliui. Štai kodėl negalime dalytis iš vektoriaus. Tarkime, abi A * B = A * C lygties puses padalijome iš A. Tai gautų B = C, ir jei būtų galima padalyti, tai ši lygybė būtų vienintelis galimas rezultatas. Tačiau jei perrašysime lygtį A * B = A * C kaip A * (B - C) = 0 ir prisiminsime, kad (B - C) yra vektorius, tada akivaizdu, kad (B - C) nebūtinai yra nulis ir todėl B neturi būti lygus C. Šie prieštaringi rezultatai rodo, kad vektoriaus dalijimasis yra neįmanomas. Taškų sandauga suteikia dar vieną būdą užrašyti vektoriaus skaitinę vertę (modulį): A * A = AA * cos 0 ° = A2;
taip

Taškinį produktą galima parašyti kitu būdu. Norėdami tai padaryti, nepamirškite: A = Ax i + Ayj + Azk. pastebėti, kad

Tada

Kadangi paskutinėje lygtyje yra x, y ir z kaip prenumeratos, panašu, kad lygtis priklauso nuo konkrečios pasirinktos koordinačių sistemos. Tačiau taip nėra, kaip matyti iš apibrėžimo, kuris nepriklauso nuo pasirinktų koordinačių ašių.
Vektoriniai meno kūriniai. Vektorius arba išorinis vektorių sandauga yra vektorius, kurio modulis yra lygus jų modulių sandaugai iš kampo, statmeno pradiniams vektoriams, sinuso ir sudarantis teisingą trigubą kartu su jais. Šį produktą lengviausia pristatyti, atsižvelgiant į greičio ir kampinio greičio ryšį. Pirmasis yra vektorius; mes dabar parodysime, kad pastarasis taip pat gali būti interpretuojamas kaip vektorius. Besisukančio kūno kampinis greitis nustatomas taip: pasirinkite bet kurį kūno tašką ir iš šio taško nubrėžkite statmeną sukimosi ašiai. Tada kūno kampinis greitis yra radianų skaičius, kuriuo ši linija pasisuko per laiko vienetą. Jei kampinis greitis yra vektorius, jis turi turėti skaitinę vertę ir kryptį. Skaitinė vertė išreiškiama radianais per sekundę, kryptį galima pasirinkti išilgai sukimosi ašies, ją galite nustatyti nukreipdami vektorių ta kryptimi, kuria judėtų dešiniarankis varžtas sukdamasis su kūnu. Apsvarstykite kūno pasisukimą aplink fiksuotą ašį. Jei mes nustatysime šią ašį žiedo viduje, kuri savo ruožtu yra pritvirtinta prie ašies, įterptos į kito žiedo vidų, mes galime pasukti kūną pirmojo žiedo viduje kampiniu greičiu w1 ir priversti vidinį žiedą (ir kūną) pasukti kampu. kampinis greitis w2. 7 paveiksle pavaizduotas taškas; apskritos rodyklės rodo sukimosi kryptis. Šis kūnas yra tvirta sfera, kurios centras O ir spindulys r.

Pav. 7. Rutulio centrinis O, sukasi kampiniu greičiu w1 žiedo BC viduje, kuris, savo ruožtu, sukasi DE žiedo, kurio kampinis greitis w2, viduje. Sfera sukasi kampiniu greičiu, lygiu kampinių greičių sumai, o visi tiesiosios POP taškai yra momentinio poilsio būsenoje.

Šis atstumas yra lygus nuliui, jei

Šiuo atveju taškas P yra momentinio poilsio būsenoje ir tokiu pačiu būdu visi taškai tiesėje POP. "Likusi sferos dalis bus judama (apskritimai, kuriais juda kiti taškai, neliečia, bet susikerta). Taigi POPў yra momentinė sferos sukimosi ašis, kaip ir ratas, riedantis keliu kiekvienu laiko momentu, sukasi apie žemiausią tašką. Koks yra sferos kampinis greitis? Kad būtų paprasčiau, mes pasirenkame tašką A, kurioje ašis w1 kerta paviršių., Ji juda laike Dt per atstumą

Aplink spindulio r sin w1 apskritimą. Pagal apibrėžimą kampinis greitis

Iš šios formulės ir santykio (1) gauname

Kitaip tariant, jei užsirašote skaitinę vertę ir pasirenkate kampinio greičio kryptį, kaip aprašyta aukščiau, tada šie dydžiai pridedami kaip vektoriai ir gali būti laikomi tokiais. Dabar galite įvesti kryžminį produktą; laikykime kūną, besisukantį kampiniu greičiu w. Pasirinkime bet kurį kūno tašką P ir bet kurią koordinačių O pradžią, esančią sukimosi ašyje. Tegul r yra vektorius, nukreiptas iš O į P. Taškas P juda ratu, kurio greitis V = w r sin (w, r). Greičio vektorius V liečia apskritimą ir nukreiptas kryptimi, parodyta fig. aštuoni.

Pažiūrėkime, kaip kryžminis produktas yra parašytas komponentų ir vienetų vektorių atžvilgiu. Visų pirma, bet kuriam vektoriui A, A * A = AA sin 0 = 0.
Todėl vienetinių vektorių atveju i * i = j * j = k * k = 0 ir i * j = k, j * k = i, k * i = j. Tada

Ši lygybė taip pat gali būti parašyta kaip lemiamas veiksnys:

Jei A * B = 0, tada A arba B yra 0, arba A ir B yra kolinearūs. Taigi, kaip ir taškinio sandaugos atveju, dalytis su vektoriu negalima. A * B vertė yra lygi lygiagretainio, kurio kraštinės A ir B, plotas. Tai lengva pamatyti, nes B sin bA, Bc yra jo aukštis ir A yra pagrindas. Yra daugybė kitų fizinių dydžių, kurie yra vektoriniai produktai. Vienas iš svarbiausių vektorinių produktų atsiranda elektromagnetizmo teorijoje ir vadinamas Poyting vektoriu P. Šis vektorius pateikiamas taip: P = E * H, kur E ir H yra atitinkamai elektrinio ir magnetinio lauko vektoriai. Vektorius P gali būti laikomas nurodytu energijos srautu vatais kvadratiniam metrui bet kuriame taške. Štai dar keli pavyzdžiai: jėgos momentas F (sukimo momentas), palyginti su koordinačių, veikiančių tašką, kurio spindulio vektorius r apibrėžiamas kaip r * F, pradžia; dalelė, esanti taške r, masė m ir greitis V, turi kampinį impulsą mr * V, palyginti su pradžia; jėga, veikianti dalelę, pernešančią elektrinį krūvį q per magnetinį lauką B, kurio greitis V, yra qV * B.
Trigubi darbai. Iš trijų vektorių galime suformuoti tokius trigubus sandaugas: vektorius (A * B) * C; vektorius (A * B) * C; skaliarinis (A * B) * C. Pirmasis tipas yra vektoriaus C ir skaliaro A * B sandauga; mes jau kalbėjome apie tokius kūrinius. Antrasis tipas vadinamas dvigubo vektoriaus produktu; vektorius A * B yra statmenas plokštumai, kurioje yra A ir B, todėl (A * B) * C yra vektorius, esantis plokštumose A ir B ir statmenas C. Todėl apskritai (A * B) * C yra ne yra lygus A * (B * C). Parašę A, B ir C pagal jų koordinates (komponentus) išilgai x, y ir z ašių ir padauginę, galite parodyti, kad A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * B). Trečiasis produkto tipas, atsirandantis skaičiuojant groteles kietojo kūno fizikoje, skaitmeniniu požiūriu lygus gretasienio, kurio kraštai yra A, B, C. tūris. , skaliarų ir vektorių daugybos ženklus galima sukeisti, o kūrinys dažnai rašomas kaip (ABC). Šis produktas yra lygus determinantui

Atkreipkite dėmesį, kad (A B C) = 0, jei visi trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba jei A = 0 arba (ir) B = 0 arba (ir) C = 0.
VEKTORIAUS DIFERENCIJA
Tarkime, kad vektorius U yra vieno skaliarinio kintamojo t funkcija. Pvz., U gali būti spindulio vektorius, nubrėžtas nuo pradžios iki judančio taško, o t - laikas. Tegul t keičiasi nedidele Dt suma, dėl kurios DU pasikeis U. Tai parodyta pav. 9. Santykis DU / Dt yra vektorius, nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir DU. Galime apibrėžti U išvestinę t atžvilgiu

jei tokia riba egzistuoja. Kita vertus, galite nurodyti U kaip komponentų sumą išilgai trijų ašių ir rašyti

Jei U yra spindulio vektorius r, tada dr / dt yra taško greitis, išreikštas laiko funkcija. Vėl diferencijuojant laike, gauname pagreitį. Tarkime, kad taškas juda išilgai kreivės, parodytos fig. 10. Leiskite s būti atstumu, kurį nuvažiavo taškas palei kreivę. Per mažą laiko intervalą Dt taškas įveiks atstumą Ds išilgai kreivės; spindulio vektoriaus padėtis pasikeis į Dr. Taigi Dr / Ds yra vektorius, nukreiptas kaip Dr. Toliau

yra kreivės liestinės vieneto vektorius. Tai matyti iš to, kad kai taškas Q artėja prie taško P, PQ artėja prie liestinės, o Dr - prie Ds. Produkto diferenciacijos formulės yra panašios į skaliarinių funkcijų sandaugos diferenciacijos formules; tačiau, kadangi kryžminis produktas neveikia, dauginimo tvarka turi būti išlaikyta. Todėl,

Taigi matome, kad jei vektorius yra vieno skaliarinio kintamojo funkcija, tai darinį galime pavaizduoti panašiai kaip ir skaliarinės funkcijos atveju.
Vektoriniai ir skaliariniai laukai. Gradientas. Fizikoje dažnai tenka susidurti su vektoriniais arba skaliariniais dydžiais, kurie tam tikroje srityje kinta iš taško į tašką. Tokie plotai vadinami „laukais“. Pavyzdžiui, skaliaras gali būti temperatūra arba slėgis; vektorius gali būti judančio skysčio greitis arba krūvių sistemos elektrostatinis laukas. Jei pasirinkome kokią nors koordinačių sistemą, tai bet kuris taškas P (x, y, z) duotame plote atitinka tam tikrą spindulio vektorių r (= xi + yj + zk) ir vektoriaus dydžio U (r) arba su juo susijęs skaliarinis f (r). Tarkime, kad U ir f yra unikaliai apibrėžti toje srityje; tie. kiekvienas taškas atitinka vieną ir tik vieną U arba f reikšmę, nors skirtingi taškai, žinoma, gali turėti skirtingas reikšmes. Tarkime, mes norime apibūdinti greitį, kuriuo keičiasi U ir f, kai judame šioje srityje. Paprasti daliniai dariniai, tokie kaip dU / dx ir df / dy, mums netinka, nes jie priklauso nuo pasirinktų konkrečių koordinačių ašių. Tačiau galima įvesti vektorinį diferencialo operatorių, nepriklausantį nuo koordinačių ašių pasirinkimo; šis operatorius vadinamas „gradientu“. Tarkime, kad mes susiduriame su skaliariniu lauku f. Pirmiausia apsvarstykite pavyzdinį šalies teritorijos žemėlapį. Šiuo atveju f yra aukštis virš jūros lygio; kontūro linijos sujungia taškus su ta pačia f verte. Judant bet kuria iš šių linijų, f nesikeičia; jei judėsime statmenai šioms tiesėms, tai f pokyčio greitis bus didžiausias. Kiekvieną tašką galime susieti su vektoriu, nurodančiu maksimalaus greičio f pokyčio dydį ir kryptį; toks žemėlapis ir kai kurie iš šių vektorių parodyti pav. 11. Jei tai padarysime kiekvienam lauko taškui, tada gausime vektorinį lauką, susietą su skaliariniu lauku f. Tai yra vektoriaus, vadinamo „gradientu“ f, laukas, kuris rašomas kaip grad f arba Cf (simbolis C taip pat vadinamas „nabla“).

kur taškai žymi aukštesnės eilės terminus. Ši išraiška gali būti parašyta kaip taškinis produktas

Dešinę ir kairę šios lygybės puses padalijame iš Ds, o Ds leidžiame nuliui; tada

kur dr / ds yra vieneto vektorius pasirinkta kryptimi. Išraiška skliaustuose yra vektorius, priklausantis nuo pasirinkto taško. Taigi, df / ds turi didžiausią vertę, kai dr / ds nukreipia ta pačia kryptimi, skliaustuose išraiška yra gradientas. Šiuo būdu,

- vektorius, kurio dydis lygus ir kryptimi sutampa su didžiausiu f pokyčio greičiu, palyginti su koordinatėmis. Gradientas f dažnai rašomas taip

Tai reiškia, kad operatorius C egzistuoja pats. Daugeliu atvejų jis elgiasi kaip vektorius ir iš tikrųjų yra „vektorinis diferencialo operatorius“ - vienas iš svarbiausių diferencinių operatorių fizikoje. Nepaisant to, kad C yra vienetiniai vektoriai i, j ir k, jo fizinė reikšmė nepriklauso nuo pasirinktos koordinačių sistemos. Koks yra santykis tarp Cf ir f? Pirmiausia tarkime, kad f bet kuriuo metu apibrėžia potencialą. Bet kokio mažo poslinkio Dr atveju f reikšmė pasikeis

Jei q yra dydis, pvz., Masė, krūvis, perkeltas į Dr, tada darbas, atliktas perkeliant q į Dr, yra lygus

Kadangi Dr - poslinkis, tada qСf - jėga; -Cf - įtampa (jėga kiekio vienetui), susijusi su f. Pavyzdžiui, tegul U yra elektrostatinis potencialas; tada E yra elektrinio lauko stipris, pateiktas pagal formulę E = -CU. Tarkime, kad U sukuria taškinis elektros krūvis q kulonose, išdėstytose prie pradžios. U reikšmė taške P (x, y, z) su spindulio vektoriu r pateikiama pagal formulę

Kur e0 yra laisvosios vietos dielektrinė konstanta. todėl

iš kur seka, kad E veikia r kryptimi, o jo vertė yra q / (4pe0r3). Žinodami skaliarinį lauką, galite nustatyti susietą vektorinį lauką. Taip pat įmanoma ir priešingai. Matematinio apdorojimo požiūriu skaliarinius laukus lengviau valdyti nei vektorinius, nes juos nurodo viena koordinačių funkcija, o vektoriaus laukui reikalingos trys funkcijos, atitinkančios vektoriaus komponentus trimis kryptimis. Taigi kyla klausimas: ar turėdami vektorinį lauką, ar galime užrašyti susietą skaliarinį lauką?
Divergencija ir rotorius. Mes matėme, kaip C veikia skaliarinę funkciją. Kas atsitiks, jei vektoriui pritaikoma C? Yra dvi galimybės: tegul U (x, y, z) yra vektorius; tada vektorinius ir skaliarinius sandaugas galime suformuoti taip:

Pirmasis iš šių posakių yra skalaras, vadinamas divergencija U (žymimas divU); antrasis yra vektorius, vadinamas rotoriumi U (žymimas rotU). Šios diferencinės funkcijos, divergencija ir rotorius, plačiai naudojamos matematinėje fizikoje. Įsivaizduokite, kad U yra tam tikras vektorius ir kad jis bei jo pirmieji dariniai yra tęstiniai tam tikrame regione. Tegul P yra taškas šiame regione, kurį supa mažas uždaras paviršius S, kuris riboja tūrį DV. Tegul n yra vieneto vektorius, statmenas šiam paviršiui kiekviename taške (n juda kryptimi, kai juda aplink paviršių, bet visada turi vieneto ilgį); tegul n rodo į išorę. Parodykime tai

Čia S rodo, kad šie integralai yra perimami visame paviršiuje, da yra paviršiaus S elementas. Paprastumui mes pasirinksime patogią formą S mažo gretasienio (kaip parodyta 12 pav.), Kurio kraštinės Dx, formą. , Dy ir Dz; taškas P yra gretasienio centras. Apskaičiuokime integralą iš (4) lygties pirmiausia palei vieną gretasienio kraštą. Priekiniam veidui n = i (vieneto vektorius yra lygiagretus x ašiai); Da = DyDz. Indėlis į integralą iš priekinio veido yra

Priešingoje pusėje n = -i; šis veidas prisideda prie integralo

Naudodamiesi Tayloro teorema, gauname bendrą indėlį iš dviejų veidų

Atkreipkite dėmesį, kad DxDyDz = DV. Panašiai galite apskaičiuoti indėlį iš kitų dviejų veidų porų. Visiškas integralas yra

ir jei mes įdėsime DV (r) 0, tada aukštesnės eilės terminai išnyks. Pagal formulę (2) skliaustuose išraiška yra divU, o tai įrodo lygybę (4). Lygumą (5) galima įrodyti tuo pačiu būdu. Panaudokime dar kartą pav. 12; tada priekinio veido indėlis į integralą bus lygus

Naudodamiesi Tayloro teorema, mes pastebime, kad bendras dviejų veidų indėlis į integralą turi formą

tie. tai yra du terminai iš 3 lygties rotU išraiškos. Kiti keturi terminai bus gauti atsižvelgiant į kitų keturių veidų indėlį. Ką iš esmės reiškia šie santykiai? Apsvarstykite lygybę (4). Tarkime, kad U yra greitis (pavyzdžiui, skysčio). Tada nЧU da = Un da, kur Un yra normalus vektoriaus U komponentas į paviršių. Todėl Un da ​​yra skysčio, tekančio per da, tūris per laiko vienetą, ir yra skysčio, tekančio per S, per laiko vienetą. Taigi,

Tūrio vieneto plėtimosi greitis aplink tašką P. Taigi divergencija gavo savo pavadinimą; jis rodo greitį, kuriuo skystis plečiasi (ty skiriasi nuo) P. Norėdami paaiškinti fizinę rotoriaus U reikšmę, apsvarstykite kitą paviršiaus integralą, esantį mažam cilindriniam aukščio h tūriui, supančiam tašką P; plokštumos lygiagrečiai paviršiai gali būti orientuoti bet kuria mūsų pasirinkta kryptimi. Tegul k yra vienetinis vektorius, statmenas kiekvienam paviršiui, ir tegul kiekvieno paviršiaus plotas DA; tada bendras tūris DV = hDA (13 pav.). Apsvarstykite dabar integralą

VEKTORIAI... VEIKSMAIPERVEKTORIAI. SCALAR,

VEKTORIUS, MIŠRUS VEKTORIŲ PRODUKTAS.

1. VEKTORIAI, VEKTORIŲ VEIKSMAI.

Pagrindiniai apibrėžimai.

1 apibrėžimas. Vadinamas kiekis, kuriam visiškai būdinga skaitinė vertė pasirinktoje vienetų sistemoje skaliarinis arba skaliarinis .

(Kūno svoris, tūris, laikas ir kt.)

2 apibrėžimas. Kviečiamas dydis, kuriam būdinga skaitinė reikšmė ir kryptis vektorius arba vektorius .

(Poslinkis, stiprumas, greitis ir kt.)

Pavadinimai :, arba ,.

Geometrinis vektorius yra kryptinė linija.

Vektoriui - taškas BET- pradžia, taškas IN- vektoriaus pabaiga.

3 apibrėžimas.Modulis vektorius yra segmento AB ilgis.

4 apibrėžimas. Vadinamas vektorius, kurio modulis lygus nuliui nulis , nurodyta.

5 apibrėžimas. Vadinami vektoriai, esantys lygiagrečiose arba vienoje tiesėje koliniarinis ... Jei du koliniariniai vektoriai turi tą pačią kryptį, tada jie vadinami kartu režisuotas .

6 apibrėžimas. Svarstomi du vektoriai lygus , jeigu jie kartu režisuotas ir yra lygūs absoliučia verte.

Veiksmai per vektorius.

1) Vektorių pridėjimas.

Def. 6.Suma du vektorius ir yra ant šių vektorių pastatyto lygiagretainio įstrižainė, pradedant nuo bendro jų taikymo taško (lygiagretainio taisyklė).

1 pav.

Def. 7. Trijų vektorių suma vadinama ant šių vektorių pastatyto gretasienio įstrižainės (langelio taisyklė).

Def. aštuoni. Jeigu BET, IN, NUO Ar savavališki taškai, tada + = (trikampio taisyklė).

2 pav

Papildymo ypatybės.

1 apie . + = + (perkėlimo įstatymas).

2 apie . + (+) = (+) + = (+) + (derinio dėsnis).

3 apie . + (– ) + .

2) vektorių atimimas.

Def. devyni. Pagal skirtumas vektorius ir suprasti vektorių = - toks, kad + = .

Lygiagretainyje tai dar vienas įstrižai SD (žr. 1 paveikslą).

3) Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus.

Def. 10. Pagal produktą vektoriai skaliarui k vadinamas vektoriu

= k = k ,

ilgas ka , ir kurios kryptis:

1. sutampa su vektoriaus kryptimi, jei k > 0;

2. Priešinga vektoriaus krypčiai, jei k < 0;

3. savavališkai, jei k = 0.

Vektoriaus padauginimo iš skaičiaus savybės.

1 apie . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Vektorių savybės.

Def. vienuolika. Du vektoriai ir yra vadinami koliniarinis jei jie yra lygiagrečios linijos arba viena tiesi linija.

Nulinis vektorius yra kolinearus bet kuriam vektoriui.

1 teorema. Du nulio vektoriai ir koliniarinis,  kai jie proporcingi t.y.

= k , k Ar skaliarinis.

Def. 12. Trys vektoriai ,, vadinami koplanarinis jei jie yra lygiagretūs kokiai nors plokštumai arba joje guli.

2 teorema. Trys nulio vektoriai ,, koplanarinis,  kai vienas iš jų yra linijinis kitų dviejų derinys, t.y.

= k + l , k , l - skaliarai.

Vektoriaus projekcija į ašį.

3 teorema. Vektoriaus projekcija ant ašies (nukreipta tiesia linija) l yra lygus vektoriaus ilgio ir kampo tarp vektoriaus krypties ir ašies kryžiaus kosinuso sandaugai, t. = a  c os  ,  = ( , l).

2. VEKTORIAUS KOORDINAVIMAI

Def. 13. Vektorinės projekcijos ašims koordinuoti Oi, OU, Оz yra vadinami vektoriaus koordinatės. Pavadinimas:  a x , a y , a z .

Vektoriaus ilgis:

Pavyzdys: Apskaičiuokite vektoriaus ilgį.

Sprendimas:

Atstumas tarp taškų ir apskaičiuojamas pagal formulę: .

Pavyzdys: Raskite atstumą tarp taškų M (2,3, -1) ir K (4,5,2).

Veiksmai vektoriais koordinatės pavidalu.

Duoti vektoriai =  a x , a y , a z ir =  b x , b y , b z .

1. (  )= a x  b x , a y  b y , a z  b z .

2.  =   a x ,  a y ,  a z, kur  Ar skaliarinis.

Taškinis vektorių sandauga.

Apibrėžimas: Pagal dviejų vektorių taškinį sandaugą ir

suprantamas kaip skaičius, lygus šių vektorių ilgių sandaugai pagal kampo tarp jų kosinusą, t. = , yra kampas tarp vektorių ir.

Taškinės produkto savybės:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , kur skaliarai.

6.dvi vektoriai yra statmeni (stačiai), jei .

7.jeigu ir tik tuo atveju .

Taškinis produktas koordinačių pavidalu yra: , kur ir .

Pavyzdys: Raskite vektorių taškų sandaugą ir

Sprendimas:

Vektorius laikantys vektoriai.

Apibrėžimas Dviejų vektorių vektoriaus sandauga suprantama kaip vektorius, kuriam:

Modulis yra lygus lygiagretainio plotui, pastatytam ant šių vektorių, t. , kur kampas tarp vektorių ir

Šis vektorius yra statmenas dauginamiems vektoriams, t.y.

Jei vektoriai nėra kolinearūs, tada jie sudaro tinkamą vektorių trigubą.

Vektorinės produkto savybės:

(1) Kai keičiama veiksnių tvarka, vektoriaus produktas pakeičia savo ženklą į priešingą, išsaugodamas modulį, t.

2 Vektoriaus kvadratas yra lygus nulio vektoriui, t.y.

3 Skaliarinis faktorius gali būti perkeltas už vektorinio sandaugos ženklo ribų, t.

4 Bet kokių trijų vektorių atveju lygybė

5 Būtina ir pakankama sąlyga dviejų vektorių kolinearumui ir:

Vektorinis produktas koordinačių pavidalu.

Jei vektorių ir , tada jų kryžminis produktas randamas pagal formulę:

.

Tada iš vektorinio produkto apibrėžimo išplaukia, kad lygiagretainio plotas, pastatytas ant vektorių, apskaičiuojamas pagal formulę:

Pavyzdys: Apskaičiuokite trikampio su viršūnėmis (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1) plotą.

Sprendimas: .

Tada trikampio ABC plotas bus apskaičiuojamas taip:

,

Mišrus vektorių produktas.

Apibrėžimas: Mišrus (vektoriaus-skaliarinis) vektorių produktas yra skaičius, nustatytas pagal formulę: .

Mišrios darbo savybės:

1. Mišrus produktas nesikeičia cikliniu jo veiksnių permutavimu, t. .

2. Permutavus du gretimus veiksnius, sumaišytas produktas keičia savo ženklą į priešingą, t. ...

3 Būtina ir pakankama trijų vektorių koplanarumo sąlyga : =0.

4 Sumaišytas trijų vektorių sandauga lygi gretasienio, pastatyto ant šių vektorių, tūriui, paimtam su pliuso ženklu, jei šie vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, ir su minuso ženklu, jei jie sudaro kairįjį trigubą, t. .

Jei žinoma koordinatės vektoriai , tada mišrus darbas randamas pagal formulę:

Pavyzdys: Apskaičiuokite mišrų vektorių sandaugą.

Sprendimas:

3. Vektorių sistemos pagrindas.

Apibrėžimas. Vektorių sistema suprantama kaip keli vektoriai, priklausantys tai pačiai erdvei R.

Komentuoti. Jei sistema susideda iš baigtinio skaičiaus vektorių, tada jie žymimi ta pačia raide su skirtingais rodikliais.

Pavyzdys.

Apibrėžimas. Bet kuris formos vektorius = vadinamas linijiniu vektorių deriniu. Skaičiai yra tiesinio derinio koeficientai.

Pavyzdys. .

Apibrėžimas... Jei vektorius yra tiesinis vektorių derinys , tada sakoma, kad vektorius yra tiesiškai išreikštas vektoriais .

Apibrėžimas. Vadinama vektorių sistema tiesiškai nepriklausomi jei nė vienas iš sistemos vektorių negali būti panašus į linijinį kitų vektorių derinį. Priešingu atveju sistema vadinama tiesiškai priklausoma.

Pavyzdys... Vektorių sistema tiesiškai priklauso, nes vektorius .

Pagrindo nustatymas. Vektorių sistema yra pagrindas, jei:

1) jis yra tiesiškai nepriklausomas,

2) per ją tiesiškai išreiškiamas bet kuris erdvės vektorius.

1 pavyzdys. Kosmoso pagrindas:

2. Vektorių sistemoje vektoriai yra pagrindas: yra tiesiškai išreikštas vektoriais.

Komentuoti. Norėdami rasti tam tikros vektorinės sistemos pagrindą, turite:

1) užrašykite vektorių koordinates į matricą,

2) naudojant elementarias transformacijas, kad matrica taptų trikampio formos,

3) ne nulinės matricos eilutės bus sistemos pagrindas,

4) vektorių skaičius bazėje yra lygus matricos rangui.

Tokia sąvoka kaip vektorius yra laikoma beveik visuose gamtos moksluose ir gali reikšti visiškai skirtingas reikšmes, todėl neįmanoma vienareikšmiškai apibrėžti vektoriaus visoms sritims. Bet pabandykime tai išsiaiškinti. Taigi vektorius - kas tai?

Vektoriaus samprata klasikinėje geometrijoje

Geometrijos vektorius yra segmentas, kuriam nurodoma, kuris iš jo taškų yra pradžia, o kuris - pabaiga. Tai yra, paprasčiau tariant, vektorius yra nukreiptas segmentas.

Atitinkamai žymimas vektorius (kas tai - aptarta aukščiau), kaip segmentas, tai yra dvi lotyniškos abėcėlės didžiosios raidės, pridėjus tiesę arba rodyklę, nukreiptą į dešinę viršuje. Jis taip pat gali būti pasirašytas mažąja (maža) lotyniškos abėcėlės raide su linija ar rodykle. Rodyklė visada nukreipta į dešinę ir nesikeičia, priklausomai nuo vektoriaus vietos.

Taigi vektorius turi kryptį ir ilgį.

Vektoriaus žymėjime taip pat yra jo kryptis. Tai išreiškiama taip, kaip pavaizduota žemiau.

Keičiant kryptį vektoriaus vertė pasikeičia.

Vektoriaus ilgis yra segmento, iš kurio jis susidaro, ilgis. Jis skiriamas kaip vektoriaus modulis. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.

Atitinkamai vektorius yra lygus nuliui, kurio ilgis yra lygus nuliui. Iš to išplaukia, kad nulio vektorius yra taškas, o jo pradžios ir pabaigos taškai sutampa.

Vektoriaus ilgis - vertė visada nėra neigiama. Kitaip tariant, jei yra segmentas, jis būtinai turi tam tikrą ilgį arba yra taškas, tada jo ilgis yra lygus nuliui.

Pati taško sąvoka yra pagrindinė ir neturi apibrėžimo.

Vektoriaus papildymas

Yra specialios vektorių formulės ir taisyklės, kurias galite naudoti pridėdami.

Trikampio taisyklė. Norėdami pridėti vektorius pagal šią taisyklę, pakanka sujungti pirmojo vektoriaus galą ir antrojo pradžią, naudojant lygiagrečią vertimą, ir juos sujungti. Gautas trečiasis vektorius bus lygus kitų dviejų pridėjimui.

Lygiagretainio taisyklė. Norėdami pridėti pagal šią taisyklę, reikia nubrėžti abu vektorius iš vieno taško, o tada iš kiekvieno jų pabaigos atkreipti kitą vektorių. Tai yra, antrasis bus ištrauktas iš pirmojo vektoriaus, o pirmasis - iš antrojo. Rezultatas yra naujas sankirtos taškas ir lygiagretainis. Jei sujungsite vektorių pradų ir galų susikirtimo tašką, gautas vektorius bus pridėjimo rezultatas.

Panašu galima ir atimti.

Skirtumo vektoriai

Panašiai kaip pridėjus vektorius, galima atlikti ir jų atimimą. Jis pagrįstas principu, parodytu žemiau esančiame paveikslėlyje.

Tai yra, pakanka atimti vektorių, kuris yra atimamas, kaip priešingą vektorių, ir apskaičiuoti pagal pridėjimo principus.

Be to, absoliučiai bet kokį nulio vektorių galima padauginti iš bet kurio skaičiaus k, tai pakeis jo ilgį k kartus.

Be šių, yra ir kitų vektorių formulių (pavyzdžiui, vektoriaus ilgiui išreikšti jo koordinatėmis).

Pozicionavimo vektoriai

Tikrai daugelis susidūrė su tokia sąvoka kaip koliniarinis vektorius. Kas yra kolinearumas?

Vektorių kolinearumas prilygsta tiesių linijų lygiagretumui. Jei du vektoriai guli tiesiose linijose, kurios yra lygiagrečios viena kitai, arba vienoje tiesėje, tai tokie vektoriai vadinami kolineariais.

Kryptis. Koliniariniai vektoriai vienas kito atžvilgiu gali būti krypties arba priešingi, tai lemia vektorių kryptis. Atitinkamai, jei vektorius nukreiptas kartu su kitu, tada priešingas vektorius yra nukreiptas priešingai.

Pirmajame paveiksle pavaizduoti du priešingai nukreipti vektoriai ir trečiasis, kuris jiems nėra kolinearus.

Įvedus minėtas savybes, galima apibrėžti vienodus vektorius - tai vektoriai, nukreipti viena kryptimi ir turintys tą patį segmentų, iš kurių jie susidaro, ilgį.

Daugelyje mokslų taip pat naudojama spindulio vektoriaus sąvoka. Toks vektorius apibūdina vieno taško padėtį plokštumoje kito fiksuoto taško atžvilgiu (dažnai tai yra kilmė).

Vektoriai fizikoje

Tarkime, sprendžiant problemą, atsirado sąlyga: kūnas juda 3 m / s greičiu. Tai reiškia, kad kūnas juda tam tikra kryptimi išilgai vienos tiesės, taigi šis kintamasis bus vektorinė reikšmė. Sprendimui svarbu žinoti tiek vertę, tiek kryptį, nes, atsižvelgiant į aplinkybes, greitis gali būti lygus 3 m / s ir -3 m / s.

Apskritai fizikoje naudojamas vektorius, nurodantis kūną veikiančios jėgos kryptį ir nustatant rezultatą.

Kai šios jėgos nurodomos paveiksle, jos nurodomos rodyklėmis su virš jo esančio vektoriaus parašu. Klasikiniu požiūriu rodyklės ilgis yra toks pat svarbus, jo pagalba jie nurodo, kuri jėga veikia stipriau, tačiau ši savybė yra antrinė, neturėtumėte ja pasikliauti.

Vektorius tiesinėje algebroje ir matematinė analizė

Linijinių erdvių elementai taip pat vadinami vektoriais, tačiau šiuo atveju tai yra sutvarkyta skaičių sistema, apibūdinanti kai kuriuos elementus. Todėl kryptis šiuo atveju nebeturi jokios reikšmės. Vektoriaus apibrėžimas klasikinėje geometrijoje ir matematinėje analizėje yra labai skirtingas.

Projektuojantys vektoriai

Projektuojamas vektorius - kas tai?

Gana dažnai norint teisingai ir patogiai apskaičiuoti, būtina suskaidyti vektorių, esantį dvimatėje ar trimatėje erdvėje palei koordinačių ašis. Ši operacija yra būtina, pavyzdžiui, mechanikoje, skaičiuojant kūną veikiančias jėgas. Vektorius fizikoje naudojamas gana dažnai.

Norint atlikti projekciją, pakanka statmenų nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos nuleisti į kiekvieną iš koordinačių ašių, juose gauti segmentai bus vadinami vektoriaus projekcija ant ašies.

Norint apskaičiuoti projekcijos ilgį, pakanka jos pradinį ilgį padauginti iš tam tikros trigonometrinės funkcijos, kuri gaunama sprendžiant mini problemą. Tiesą sakant, yra stačiakampis trikampis, kuriame hipotenuzė yra pradinis vektorius, viena iš kojų yra projekcija, o kita koja yra statmena.

Apibrėžimas Iškviečiama užsakyta kolekcija (x 1, x 2, ..., x n) n realieji skaičiai n matmenų vektorius, o skaičiai x i (i = 1, ..., n) yra komponentai, arba koordinatės,

Pavyzdys. Pavyzdžiui, jei tam tikra automobilių gamykla per pamainą turi pagaminti 50 lengvųjų automobilių, 100 sunkvežimių, 10 autobusų, 50 atsarginių automobilių dalių ir 150 sunkvežimių ir autobusų komplektų, tada šios gamyklos gamybos programą galima parašyti vektoriaus forma (50, 100, 10, 50, 150), turinti penkis komponentus.

Žymėjimas. Vektoriai žymimi paryškintomis mažosiomis raidėmis arba raidėmis, kurių viršuje yra juosta arba rodyklė, pavyzdžiui, a arba. Du vektoriai vadinami lygus jei jie turi tą patį komponentų skaičių ir jų atitinkami komponentai yra vienodi.

Vektorių komponentų negalima sukeisti, pavyzdžiui, (3, 2, 5, 0, 1) ir (2, 3, 5, 0, 1) yra skirtingi vektoriai.
Vektorių operacijos. Pagal produktąx= (x 1, x 2, ..., x n) realiuoju skaičiumi λ vadinamas vektoriu λ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Sumax= (x 1, x 2, ..., x n) ir y= (y 1, y 2, ..., y n) vadinamas vektoriu x + y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Vektorių erdvė. N-matmenų vektorinė erdvė R n apibrėžiamas kaip visų n dimensijų vektorių rinkinys, kuriam apibrėžtos dauginimo iš realiųjų skaičių ir sudėties operacijos.

Ekonominė iliustracija. Ekonominė n matmenų vektorinės erdvės iliustracija: prekių erdvė (prekės). Pagal prekė suprasime kai kurias prekes ar paslaugas, kurios buvo parduotos tam tikru laiku tam tikroje vietoje. Tarkime, kad po ranka yra ribotas daiktų skaičius, n; kiekvieno iš jų vartotojo perkamiems kiekiams būdingas prekių rinkinys

x= (x 1, x 2, ..., x n),

kur x i žymi vartotojo perkamos i-osios prekės kiekį. Darysime prielaidą, kad visos prekės turi savavališko dalijimosi savybę, todėl galima nusipirkti bet kokią negatyvią kiekvieno iš jų sumą. Tada visi galimi prekių rinkiniai yra prekių erdvės vektoriai C = ( x= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = 1, ..., n).

Tiesinė nepriklausomybė. Sistema e 1 , e 2 , ... , e vadinami m n matmenų vektoriai tiesiškai priklauso jei yra skaičiai λ 1, λ 2, ..., λ m tokie, kad bent vienas iš jų yra nulis toks, kad λ 1 e 1 + λ m e m = 0; kitaip ši vektorių sistema vadinama tiesiškai nepriklausomi, tai yra, nurodyta lygybė yra įmanoma tik tuo atveju, kai visi λ 1 = λ 2 = ... = λ m = 0. Geometrinė vektorių tiesinės priklausomybės reikšmė R 3, aiškinant kaip nukreiptus segmentus, paaiškinkite šias teoremas.

1 teorema. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tik tada, jei šis vektorius yra nulis.

2 teorema. Kad du vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų kolinearūs (lygiagretūs).

3 teorema ... Norint, kad trys vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų lygiagretūs (gulėtų toje pačioje plokštumoje).

Kairysis ir dešinysis vektorių trynukai. Trys nekoplaniniai vektoriai a, b, c paskambino teisingai jei stebėtojas iš jų bendros kilmės kerta vektorių galus a, b, c rodoma tvarka atrodo, kad laikrodžio rodyklė. Kitaip a, b, c -liko trigubas... Vadinami visi dešinieji (arba kairieji) vektorių trynukai vienodai orientuotas.

Pagrindas ir koordinatės. Troika e 1, e 2 , e 3 nekoplanariniai vektoriai R 3 vadinamas pagrindu ir patys vektoriai e 1, e 2 , e 3 - pagrindinis... Bet koks vektorius a gali būti unikaliai išplėstas bazinių vektorių požiūriu, tai yra, pavaizduotas forma

bet= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

vadinami skaičiai x 1, x 2, x 3 plėtinyje (1.1) koordinatėsa pagrindu e 1, e 2 , e 3 ir žymima a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormalinis pagrindas. Jei vektoriai e 1, e 2 , e 3 yra poromis statmenai, o kiekvieno iš jų ilgis yra lygus vienam, tada vadinamas pagrindas ortonormalas ir koordinatės x 1, x 2, x 3 - stačiakampis. Ortonormalaus pagrindo vektoriai bus žymimi i, j, k.

Manysime, kad kosmose R 3 parenkama tinkama stačiakampių stačiakampių koordinačių sistema (0, i, j, k}.

Vektorinis produktas.Vektorinis produktasbet vienam vektoriui b vadinamas vektoriu c, kurį lemia šios trys sąlygos:

1. Vektoriaus ilgis c yra skaitmenine prasme lygus lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotui a ir b, t.y.
c= | a || b | nuodėmė ( a^b).

2. Vektorius c statmenas kiekvienam iš vektorių a ir b.

3. Vektoriai a, b ir c paimta nurodyta tvarka sudaro dešinės rankos trigubą.

Vektoriniam produktui cįvesta žymėjimas c =[ab] arba
c = a × b.

Jei vektoriai a ir b kolinearus, tada nuodėmė ( a ^ b) = 0 ir [ ab] = 0, visų pirma, aa] = 0. Vienetinių vektorių vektoriniai sandauga: [ t]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jei vektoriai a ir b duota pagrinde i, j, k koordinatės a(a 1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), tada

Mišrus darbas. Jei kryžminis dviejų vektorių sandauga bet ir b skaliaris padaugintas iš trečiojo vektoriaus c, tada vadinamas toks trijų vektorių sandauga mišrus darbas ir žymimas simboliu a b c.

Jei vektoriai a, b ir c pagrindu i, j, k pateikiamos pagal jų koordinates
a(a 1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), tada

.

Mišrus produktas turi paprastą geometrinę interpretaciją - tai skaliarus, absoliutine verte lygus gretasienio, pastatyto ant šių trijų vektorių, tūriui.

Jei vektoriai sudaro dešiniosios rankos trigubą, tai jų sumaišytas produktas yra teigiamas skaičius, lygus nurodytam tūriui; jei trys a, b, c - tada liko a b c<0 и V = - a b c, todėl V = | a b c |.

Manoma, kad vektorių, su kuriais susiduriama pirmojo skyriaus uždaviniuose, koordinatės pateikiamos lyginant su dešiniuoju ortonormaliu pagrindu. Vieneto vektorius, nukreiptas į vektorių bet,žymimas simboliu bet apie. Simbolis r=OM taško M spindulio vektorius žymimas simboliais a, AB arba | a |, |AB | vektorių moduliai bet ir AB.

Pavyzdys 1.2. Raskite kampą tarp vektorių a= 2m+4n ir b= m-n kur m ir n - vieneto vektoriai ir kampas tarp m ir n yra lygus 120 p.

Sprendimas... Mes turime: cos φ = ab/ ab, ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4 + 16 (-0,5) + 16 = 12, taigi a =. b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2 (-0,5) +1 = 3, taigi b =. Galiausiai turime: cos φ == -1/2, φ = 120 o.

1.3 pavyzdys.Žinant vektorius AB(-3, -2,6) ir Pr. Kr(-2,4,4), apskaičiuokite trikampio ABC aukščio AD ilgį.

Sprendimas... Žymėdami trikampio ABC plotą per S, gauname:
S = 1/2 m. Pr. Kr. Tada AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC |. AC = AB + BC, taigi vektorius AC turi koordinates
.