Виберемо на площині прямокутну систему координат і будемо відкладати на осі абсцис значення аргументу х, А на осі ординат - значення функції у \u003d f (х).

графіком функції y \u003d f (x) називається безліч всіх точок, у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

Іншими словами, графік функції y \u003d f (х) - це множина всіх точок площини, координати х, у яких задовольняють співвідношенню y \u003d f (x).

На рис. 45 і 46 наведені графіки функцій у \u003d 2х + 1 і у \u003d х 2 - 2х.

Строго кажучи, слід розрізняти графік функції (точне математичне визначення якого було дано вище) і накреслену криву, яка завжди дає лише більш-менш точний ескіз графіка (та й то, як правило, не тільки графіка, а лише його частини, розташованого в кінцевій частини площині). Надалі, проте, ми зазвичай будемо говорити «графік», а не «ескіз графіка».

За допомогою графіка можна знаходити значення функції в точці. Саме, якщо точка х \u003d а належить області визначення функції y \u003d f (x), То для знаходження числа f (а) (Т. Е. Значення функції в точці х \u003d а) Слід вчинити так. Потрібно через точку з абсцисою х \u003d а провести пряму, паралельну осі ординат; ця пряма перетне графік функції y \u003d f (x) в одній точці; ордината цієї точки і буде, в силу визначення графіка, дорівнює f (а) (Рис. 47).

Наприклад, для функції f (х) \u003d х 2 - 2x за допомогою графіка (рис. 46) знаходимо f (-1) \u003d 3, f (0) \u003d 0, f (1) \u003d -l, f (2) \u003d 0 і т. д.

Графік функції наочно ілюструє поведінку і властивості функції. Наприклад, з розгляду рис. 46 ясно, що функція у \u003d х 2 - 2х набуває додатних значень при х< 0 і при х\u003e 2, Негативні - при 0< x < 2; наименьшее значение функция у \u003d х 2 - 2х приймає при х \u003d 1.

Для побудови графіка функції f (x)потрібно знайти всі крапки площині, координати х, у яких задовольняють рівняння y \u003d f (x). У більшості випадків це зробити неможливо, так як таких точок нескінченно багато. Тому графік функції зображають приблизно - з більшою чи меншою точністю. Найпростішим є метод побудови графіка по декількох точках. Він полягає в тому, що аргументу х надають кінцеве число значень - скажімо, х 1, х 2, x 3, ..., х k і складають таблицю, в яку входять обрані значення функції.

Таблиця виглядає наступним чином:

Склавши таку таблицю, ми можемо намітити кілька точок графіка функції y \u003d f (x). Потім, поєднуючи ці точки плавною лінією, ми і отримуємо приблизний вигляд графіка функції y \u003d f (x).

Слід, однак, зауважити, що метод побудови графіка по декількох точках дуже ненадійний. Справді поведінку графіка між наміченими точками і поведінку його поза відрізка між крайніми з узятих точок залишається невідомим.

приклад 1. Для побудови графіка функції y \u003d f (x) хтось склав таблицю значень аргументу і функції:

Відповідні п'ять точок показані на рис. 48.

На підставі розташування цих точок він зробив висновок, що графік функції являє собою пряму (показану на рис. 48 пунктиром). Чи можна вважати цей висновок надійним? Якщо немає додаткових міркувань, що підтверджують цей висновок, його навряд чи можна вважати надійним. надійним.

Для обґрунтування свого твердження розглянемо функцію

.

Обчислення показують, що значення цієї функції в точках -2, -1, 0, 1, 2 якраз описуються наведеною вище таблицею. Однак графік цієї функції зовсім не є прямою лінією (він показаний на рис. 49). Іншим прикладом може служити функція y \u003d x + l + sinπx; її значення теж описуються наведеною вище таблицею.

Ці приклади показують, що в «чистому» вигляді метод побудови графіка по декількох точках ненадійний. Тому для побудови графіка заданої функції, як правило, надходять у такий спосіб. Спочатку вивчають властивості даної функції, за допомогою яких можна побудувати ескіз графіка. Потім, обчислюючи значення функції в декількох точках (вибір яких залежить від встановлених властивостей функції), знаходять відповідні точки графіка. І, нарешті, через побудовані точки проводять криву, використовуючи властивості даної функції.

Деякі (найбільш прості і часто використовувані) властивості функцій, що застосовуються для знаходження ескізу графіка, ми розглянемо пізніше, а зараз розберемо деякі часто вживані способи побудови графіків.

Графік функції у \u003d | f (x) |.

Нерідко доводиться будувати графік функції y \u003d | f (x)|, Де f (х) -задана функція. Нагадаємо, як це робиться. За визначенням абсолютної величини числа можна написати

Це означає, що графік функції y \u003d | f (x) | можна отримати з графіка, функції y \u003d f (x) наступним чином: всі точки графіка функції у \u003d f (х), У яких ординати невід'ємні, слід залишити без зміни; далі, замість точок графіка функції y \u003d f (x), Що мають негативні координати, слід побудувати відповідні точки графіка функції у \u003d -f (x) (Т. Е. Частина графіка функції
y \u003d f (x), Яка лежить нижче осі х, слід симетрично відобразити відносно осі х).

Приклад 2. Побудувати графік функції у \u003d | х |.

Беремо графік функції у \u003d х(Рис. 50, а) і частина цього графіка при х< 0 (Що лежить під віссю х) Симетрично відображаємо щодо осі х. В результаті ми і отримуємо графік функції у \u003d | х | (Рис. 50, б).

приклад 3. Побудувати графік функції y \u003d | x 2 - 2x |.

Спочатку побудуємо графік функції y \u003d x 2 - 2x. Графік цієї функції - парабола, гілки якої спрямовані вгору, вершина параболи має координати (1; -1), її графік перетинає вісь абсцис в точках 0 і 2. На проміжку (0; 2) фукция приймає негативні значення, тому саме цю частину графіка симетрично відіб'ємо щодо осі абсцис. На малюнку 51 побудований графік функції у \u003d | х 2 2х |, Виходячи з графіка функції у \u003d х 2 - 2x

Графік функції y \u003d f (x) + g (x)

Розглянемо задачу побудови графіка функції y \u003d f (x) + g (x). якщо задані графіки функцій y \u003d f (x) і y \u003d g (x).

Зауважимо, що областю визначення функції y \u003d | f (x) + g (х) | є безліч всіх тих значень х, для яких визначені обидві функції y \u003d f (x) і у \u003d g (х), т. е. ця область визначення є перетин областей визначення, функцій f (x) і g (x).

нехай точки (Х 0, y 1) і (Х 0, у 2) Відповідно належать графіками функцій y \u003d f (x) і y \u003d g (х), Т. Е. Y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (х 0). Тоді точка (x0 ;. y1 + y2) належить графіку функції у \u003d f (х) + g (х) (бо f (х 0) + g (x 0) \u003d Y 1 + y2) ,. причому будь-яка точка графіка функції y \u003d f (x) + g (x) може бути отримана таким чином. Отже, графік функції у \u003d f (х) + g (x) можна отримати з графіків функцій y \u003d f (x). і y \u003d g (х) заміною кожної точки ( х n, у 1) графіка функції y \u003d f (x) точкою (Х n, y 1 + y 2), де у 2 \u003d g (x n), Т. Е. Зрушенням кожної точки ( х n, у 1) Графіка функції y \u003d f (x) вздовж осі у на величину y 1 \u003d g (х n). При цьому розглядаються тільки такі точки х n для яких визначені обидві функції y \u003d f (x) і y \u003d g (x).

Такий метод побудови графіка функції y \u003d f (x) + g (х) Називається складанням графіків функцій y \u003d f (x)і y \u003d g (x)

приклад 4. На малюнку методом складання графіків побудований графік функції
y \u003d x + sinx.

При побудові графіка функції y \u003d x + sinx ми вважали, що f (x) \u003d x,а g (x) \u003d sinx.Для побудови графіка функції виберемо точки з aбціссамі -1,5π ,, -0,5, 0, 0,5 ,, 1,5, 2. Значення f (x) \u003d x, g (x) \u003d sinx, y \u003d x + sinxобчислимо в обраних точках і результати помістимо в таблиці.

Урок на тему: "Графік і властивості функції $ y \u003d x ^ 3 $. Приклади побудови графіків"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник для 7 класу "Алгебра за 10 хвилин"
Освітній комплекс 1С "Алгебра, 7-9 класи"

Властивості функції $ y \u003d x ^ 3 $

Давайте опишемо властивості даної функції:

1. x - незалежна змінна, y - залежна змінна.

2. Область визначення: очевидно, що для будь-якого значення аргументу (x) можна обчислити значення функції (y). Відповідно, область визначення даної функції - вся числова пряма.

3. Область значень: y може бути будь-яким. Відповідно, область значень - також вся числова пряма.

4. Якщо x \u003d 0, то і y \u003d 0.

Графік функції $ y \u003d x ^ 3 $

1. Складемо таблицю значень:

2. Для позитивних значень x графік функції $ y \u003d x ^ 3 $ дуже схожий на параболу, гілки якої більш "притиснуті" до осі OY.

3. Оскільки для від'ємних значень x функція $ y \u003d x ^ 3 $ має протилежні значення, то графік функції симетричний відносно початку координат.

Тепер відзначимо точки на координатній площині і побудуємо графік (див. Рис. 1).

Ця крива називається кубічної параболою.

приклади

I. На невеликому кораблі повністю закінчилася прісна вода. Необхідно привезти достатню кількість води з міста. Вода замовляється заздалегідь і оплачується за повний куб, навіть якщо залити її трохи менше. Скільки кубів треба замовити, що б не переплачувати за зайвий куб і повністю заповнити цистерну? Відомо, що цистерна має однакові довжину, ширину і висоту, які дорівнюють 1,5 м. Вирішимо цю задачу, не виконуючи обчислень.

Рішення:

1. Побудуємо графік функції $ y \u003d x ^ 3 $.
2. Знайдемо точку А, координата x, якої дорівнює 1,5. Ми бачимо, що координата функції знаходиться між значеннями 3 і 4 (див. Рис. 2). Значить треба замовити 4 куба.

«Натуральний логарифм» - 0,1. Натуральні логарифми. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенева функція 9 клас» - У. Кубічна парабола. У \u003d х3. 9 клас вчитель Ладошкіна І.А. У \u003d х2. Гіпербола. 0. У \u003d хn, у \u003d хn де n - задане натуральне число. Х. Показник - парне натуральне число (2n).

«Квадратична функція» - 1 Визначення квадратичної функції 2 Властивості функції 3 Графіки функції 4 Квадратичні нерівності 5 Висновок. Властивості: Нерівності: Підготував учень 8А класу Герліц Андрій. План: Графік: -Промежуткі монотонності при а\u003e 0 при а< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Квадратична функція і її графік» - Решеніе.у \u003d 4x А (0,5: 1) 1 \u003d 1 А-належить. При а \u003d 1 формула у \u003d ах набирає вигляду.

«8 клас квадратична функція» - 1) Побудувати вершину параболи. Побудова графіка квадратичної функції. x. -7. Побудувати графік функції. Алгебра 8 клас Учитель 496 школи Вовина Т. В. -1. План побудови. 2) Побудувати вісь симетрії x \u003d -1. y.

побудувати функцію

Ми пропонуємо вашій увазі сервіс по потроенію графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтеся лівої колонкою. Вводити можна вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, так і віртуальну клавіатуру.

Переваги побудови графіків онлайн

• Візуальне відображення вводяться функцій
• Побудова дуже складних графіків
• Побудова графіків, заданих неявно (наприклад еліпс x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
• Можливість зберігати графіки і отримувати на них посилання, яка стає доступною для всіх в інтернеті
• Управління масштабом, кольором ліній
• Можливість побудови графіків по точках, використання констант
• Побудова одночасно декількох графіків функцій
• Побудова графіків в полярній системі координат (використовуйте r і θ (\\ theta))

З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова проводиться миттєво. Сервіс затребуваний для знаходження точок перетину функцій, для зображення графіків для подальшого їх переміщення в Word документ в якості ілюстрацій при вирішенні завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на даній сторінці сайту є Google Chrome. При використанні інших браузерів коректність роботи не гарантовано.

Побудова графіків функцій, що містять модулі, зазвичай викликає чималі труднощі у школярів. Однак, все не так погано. Досить запам'ятати кілька алгоритмів рішення таких задач, і ви зможете без праці побудувати графік навіть самої на вигляд складної функції. Давайте розберемося, що ж це за алгоритми.

1. Побудова графіка функції y \u003d | f (x) |

Зауважимо, що безліч значень функцій y \u003d | f (x) | : Y ≥ 0. Таким чином, графіки таких функцій завжди розташовані повністю у верхній півплощині.

Побудова графіка функції y \u003d | f (x) | складається з наступних простих чотирьох етапів.

1) Побудувати акуратно і уважно графік функції y \u003d f (x).

2) Залишити без зміни всі крапки графіка, які знаходяться вище осі 0x або на ній.

3) Частина графіка, яка лежить нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.

Приклад 1. Зобразити графік функції y \u003d | x 2 - 4x + 3 |

1) Будуємо графік функції y \u003d x 2 - 4x + 3. Очевидно, що графік даної функції - парабола. Знайдемо координати всіх точок перетину параболи з осями координат і координати вершини параболи.

x 2 - 4x + 3 \u003d 0.

x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1.

Отже, парабола перетинає вісь 0x в точках (3, 0) і (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 · 0 + 3 \u003d 3.

Отже, парабола перетинає вісь 0y в точці (0, 3).

Координати вершини параболи:

x в \u003d - (- 4/2) \u003d 2, y в \u003d 2 2 - 4 · 2 + 3 \u003d -1.

Отже, точка (2, -1) є вершиною даної параболи.

Малюємо параболу, використовуючи отримані дані (Рис. 1)

2) Частина графіка, що лежить нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо осі 0x.

3) Отримуємо графік вихідної функції ( мал. 2, Зображений пунктиром).

2. Побудова графіка функції y \u003d f (| x |)

Зауважимо, що функції виду y \u003d f (| x |) є парними:

y (-x) \u003d f (| -x |) \u003d f (| x |) \u003d y (x). Значить, графіки таких функцій симетричні відносно осі 0y.

Побудова графіка функції y \u003d f (| x |) складається з наступної нескладної ланцюжка дій.

1) Побудувати графік функції y \u003d f (x).

2) Залишити ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану в правій півплощині.

3) Показати зазначену в пункті (2) частину графіка симетрично осі 0y.

4) Як остаточного графіка виділити об'єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3).

Приклад 2. Зобразити графік функції y \u003d x 2 - 4 · | x | + 3

Так як x 2 \u003d | x | 2, то вихідну функцію можна переписати в наступному вигляді: y \u003d | x | 2 - 4 · | x | + 3. А тепер можемо застосовувати запропонований вище алгоритм.

1) Будуємо акуратно і уважно графік функції y \u003d x 2 - 4 · x + 3 (див. Також мал. 1).

2) Ми залишаємо ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану в правій півплощині.

3) Відображаємо праву частину графіка симетрично осі 0y.

(Рис. 3).

Приклад 3. Зобразити графік функції y \u003d log 2 | x |

Застосовуємо схему, дану вище.

1) Будуємо графік функції y \u003d log 2 x (Рис. 4).

3. Побудова графіка функції y \u003d | f (| x |) |

Зауважимо, що функції виду y \u003d | f (| x |) | теж є парними. Дійсно, y (-x) \u003d y \u003d | f (| -x |) | \u003d Y \u003d | f (| x |) | \u003d Y (x), і тому, їх графіки симетричні щодо осі 0y. Безліч значень таких функцій: y ≥ 0. Значить, графіки таких функцій розташовані повністю у верхній півплощині.

Щоб побудувати графік функції y \u003d | f (| x |) |, необхідно:

1) Побудувати акуратно графік функції y \u003d f (| x |).

2) Залишити без змін ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.

4) Як остаточного графіка виділити об'єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3).

Приклад 4. Зобразити графік функції y \u003d | -x 2 + 2 | x | - 1 |.

1) Зауважимо, що x 2 \u003d | x | 2. Значить, замість вихідної функції y \u003d -x 2 + 2 | x | - 1

можна використовувати функцію y \u003d - | x | 2 + 2 | x | - 1, так як їх графіки збігаються.

Будуємо графік y \u003d - | x | 2 + 2 | x | - 1. Для цього застосовуємо алгоритм 2.

a) Будуємо графік функції y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Рис. 6).

b) Ми залишаємо ту частину графіка, яка розташована в правій півплощині.

c) Відображаємо отриману частину графіка симетрично осі 0y.

d) Отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (Рис. 7).

2) Вище осі 0х точок немає, точки на осі 0х залишаємо без зміни.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо 0x.

4) Отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (Рис. 8).

Приклад 5. Побудувати графік функції y \u003d | (2 | x | - 4) / (| x | + 3) |

1) Спочатку необхідно побудувати графік функції y \u003d (2 | x | - 4) / (| x | + 3). Для цього повертаємося до алгоритму 2.

a) Акуратно будуємо графік функції y \u003d (2x - 4) / (x + 3) (Рис. 9).

Зауважимо, що дана функція є дрібно-лінійної і її графік є гіпербола. Для побудови кривої спочатку необхідно знайти асимптоти графіка. Горизонтальна - y \u003d 2/1 (відношення коефіцієнтів при x в чисельнику і знаменнику дробу), вертикальна - x \u003d -3.

2) Ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній, залишимо без змін.

3) Частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразимо симетрично щодо 0x.

4) Остаточний графік зображений на малюнку (Рис. 11).

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.