Vektörlerin karışık çarpımı. Vektörlerin vektör çarpımı. Vektörlerin karışık ürünü Vektör bir paralelkenarın alanını bulur

Sitenin bölümleri

Editörün Seçimi:

reklam

ana - Kalp ve kan damarlarının hastalıkları

Vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın alanı, bu vektörlerin uzunluklarının, aralarındaki açının açısı ile çarpımına eşittir.

Koşullara göre aynı vektörlerin uzunluklarının verilmesi iyidir. Bununla birlikte, vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenar alanı formülünün ancak koordinatlarla yapılan hesaplamalardan sonra uygulanabileceği de olur.
Şanslıysanız ve koşullara göre vektörlerin uzunlukları verilmişse, o zaman makalede ayrıntılı olarak analiz ettiğimiz formülü uygulamanız yeterlidir. Alan, modüllerin çarpımına, aralarındaki açının sinüsüne eşit olacaktır:

Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Bir görev: paralelkenar vektörler üzerine kuruludur ve. Eğer alanı ve aralarındaki açının 30 ° olduğunu bulun.
Vektörleri değerlerine göre ifade edelim:

Belki bir sorunuz var - sıfırlar nereden geldi? Vektörlerle çalıştığımızı hatırlamakta fayda var ve onlar için ... ayrıca sonucun bir ifade olması durumunda dönüştürüleceğini de unutmayın. Şimdi son hesaplamaları yapıyoruz:

Vektör uzunlukları koşullarda belirtilmediğinde probleme dönelim. Paralelkenarınız bir Kartezyen koordinat sisteminde bulunuyorsa, aşağıdakileri yapmanız gerekir.

Koordinatlarla verilen bir şeklin kenar uzunluklarının hesaplanması

İlk olarak, vektörlerin koordinatlarını buluyoruz ve başlangıcın karşılık gelen koordinatlarını sonun koordinatlarından çıkarıyoruz. a (x1; y1; z1) vektörünün ve b (x3; y3; z3) vektörünün koordinatlarını varsayalım.
Şimdi her vektörün uzunluğunu buluyoruz. Bunu yapmak için, her koordinatın karesi alınmalı, ardından sonuçları toplanmalı ve sonlu sayıdan kök çıkarılmalıdır. Vektörlerimize göre aşağıdaki hesaplamalar yapılacaktır:

Şimdi vektörlerimizin nokta çarpımını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, karşılık gelen koordinatları çarpılır ve eklenir.

Vektörlerin uzunluklarını ve nokta çarpımlarını alarak, aralarındaki açının kosinüsünü bulabiliriz. .
Şimdi aynı açının sinüsünü bulabiliriz:
Artık gerekli tüm miktarlara sahibiz ve zaten bilinen bir formülü kullanarak vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanını kolayca bulabiliriz.

Başta çapraz çarpımın ne olduğunu hatırlayalım.

Açıklama 1

vektör ürün$ \ vec (a) $ ve $ \ vec (b) $ için $ \ vec (c) $'dır, bu da üçüncü bir vektör $ \ vec (c) = || $'dır ve bu vektörün özel özellikleri vardır:

Elde edilen vektörün skaleri $ | \ vec (a) | $ ve $ | \ vec (b) | $'ın $ \ vec (c) = || = | \ vec (a) açısının sinüsü ile çarpımıdır. ) | \ cdot | \ vec (b) | \ cdot \ sin α \ sol (1 \ sağ) $;
$ \ vec (a), \ vec (b) $ ve $ \ vec (c) $'ın tümü bir sağ üçlü oluşturur;
Elde edilen vektör $ \ vec (a) $ ve $ \ vec (b) $'a diktir.

Vektörler için bazı koordinatlar varsa ($ \ vec (a) = \ (x_1; y_1; z_1 \) $ ve $ \ vec (b) = \ (x_2; y_2; z_2 \) $), o zaman bunların çapraz çarpımı Kartezyen koordinat sistemi aşağıdaki formülle belirlenebilir:

$ = \ (y_1 \ cdot z_2 - y_2 \ cdot z_1; z_1 \ cdot x_2 - z_2 \ cdot x_1; x_2 \ cdot y_2 - x_2 \ cdot y_1 \) $

Bu formülü hatırlamanın en kolay yolu, onu bir determinant şeklinde yazmaktır:

$ = \ başlangıç (dizi) (| ccc |) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \ end (dizi) $.

Bu formülün kullanımı çok uygundur, ancak nasıl kullanılacağını anlamak için önce matrisler ve belirleyicileri konusuna aşina olmalısınız.

paralelkenar alanı kenarları $ \ vec (a) $ ve $ vec (b) $ iki vektörü tarafından belirlenen $ eşittir verilen iki vektörün çapraz çarpımının skaleri.

Bu oranı elde etmek zor değildir.

Onu oluşturan $ a $ ve $ b $ segmentleri ile karakterize edilebilen sıradan bir paralelkenarın alanını bulma formülünü hatırlayalım:

$ S = a \ cdot b \ cdot \ günah α $

Bu durumda kenar uzunlukları bizim için oldukça uygun olan $\vec(a)$ ve $\vec(b)$ vektörlerinin skaler değerlerine eşittir, yani bu vektörlerin vektör çarpımı, söz konusu şeklin alanı olacaktır.

örnek 1

Kartezyen koordinatlarda $ \ (5; 3; 7 \) $ koordinatlarıyla $ \ vec (c) $ vektörleri ve $ \ (3; 7; 10 \) $ koordinatlarıyla $ \ vec (g) $ vektörleri verildi. $ \ vec (c) $ ve $ \ vec (g) $ tarafından oluşturulan paralelkenarın alanını bulun.

Karar:

Bu vektörlerin çarpımını bulalım:

$ = \ start (dizi) (| ccc |) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \ end (dizi) = i \ cdot \ start (dizi) (| cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \ end (dizi) - j \ cdot \ start (dizi) (| cc |) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \ end (dizi) + k \ cdot \ start (dizi) (| cc |) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \ end (dizi) = i \ cdot (3 \ cdot 10 - 49) - j \ cdot (50 -21) + k \ cdot (35-9) = -19i -29j + 26k = \ (- 19; 29; 26 \) $.

Şimdi elde edilen yönlendirilmiş segment için modüler değeri bulacağız, bu, oluşturulan paralelkenar alanının değeridir:

$ S = \ sqrt (| 19 | ^ 2 + | 29 | ^ 2 + | 26 | ^ 2) = \ sqrt (1878) ≈ 43, 34 $.

Bu akıl yürütme çizgisi sadece 3 boyutlu uzayda alanı bulmak için değil, iki boyutlu uzay için de geçerlidir. Bu konuyla ilgili bir sonraki bulmacaya göz atın.

Örnek 2

Üreten segmentleri $ \ vec (m) $ vektörleri ile $ \ (2; 3 \) $ ve $ \ vec (d) $ koordinatları ile $ \ (- 5; 6 \) $.

Karar:

Bu problem, yukarıda çözülen problem 1'in özel bir örneğidir, ancak her iki vektör de aynı düzlemde bulunur, bu da üçüncü koordinatın, $ z $'ın sıfır olarak alınabileceği anlamına gelir.

Yukarıdakileri özetlemek gerekirse, paralelkenar alanı şöyle olacaktır:

$ S = \ start (dizi) (|| cc ||) 2 & 3 \\ -5 & 6 \\ \ end (dizi) = \ sqrt (12 + 15) = 3 \ sqrt3 $.

Örnek 3

Verilen vektörler $ \ vec (a) = 3i - j + k; \ vec (b) = 5i $. Oluşturdukları paralelkenarın alanını belirleyin.

$ [\ vec (a) \ kez \ vec (b)] = (3i - j + k) \ kez 5i = 15 - 5 + $

Birim vektörler için verilen tabloya göre sadeleştirelim:

Şekil 1. Bir vektörün tabana göre ayrıştırılması. Author24 - öğrenci belgelerinin çevrimiçi değişimi

$ [\ vec (a) \ kez \ vec (b)] = 5 k + 5 j $.

Hesaplama süresi:

$ S = \ kare (| -5 | ^ 2 + | 5 | ^ 2) = 5 \ kare (2) $.

Önceki problemler, koordinatları Kartezyen koordinat sisteminde verilen vektörlerle ilgiliydi, ancak temel vektörler arasındaki açının 90 ° $'dan farklı olması durumunu da göz önünde bulundurun:

Örnek 4

Vektör $ \ vec (d) = 2a + 3b $, $ \ vec (f) = a - 4b $, $ \ vec (a) $ ve $ \ vec (b) $ uzunlukları birbirine ve eşittir bir ve $ \ vec (a) $ ile $ \ vec (b) $ arasındaki açı 45 ° 'dir.

Karar:

$ \ vec (d) \ times \ vec (f) $ çapraz çarpımını hesaplıyoruz:

$ [\ vec (d) \ kez \ vec (f)] = (2a + 3b) \ kez (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Vektör ürünler için özelliklerine göre şu doğrudur: $$ ve $$ eşittir sıfır, $ = - $.

Bunu basitleştirmek için kullanalım:

$ [\ vec (d) \ kez \ vec (f)] = -8 + 3 = -8 - 3 = -11 $.

Şimdi $ (1) $ formülünü kullanalım:

$ [\ vec (d) \ kez \ vec (f)] = | -11 | = 11 \ cdot | bir | \ cdot |b | \ cdot \ günah α = 11 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot \ frac12 = 5,5 $.

Bu derste iki vektör işlemine daha bakacağız: vektörlerin vektör çarpımı ve vektörlerin karışık çarpımı (hemen bağlantı, kimin ihtiyacı var)... Sorun değil, bazen tam bir mutluluk için olur, buna ek olarak vektörlerin nokta çarpımı, giderek daha fazla alır. Vektör bağımlılığı böyledir. Analitik geometri ormanına girdiğimiz izlenimi edinilebilir. Bu doğru değil. Yüksek matematiğin bu bölümünde, Buratino için yeterli olması dışında, hiç yeterli yakacak odun yoktur. Aslında, malzeme çok yaygın ve basittir - aynısından neredeyse daha karmaşıktır. skaler ürün, tipik görevler bile daha küçük olacaktır. Analitik geometride asıl mesele, birçoklarının inanacağı veya zaten inanmış olduğu gibi, HESAPLARDA HATA YAPILMAMAKTIR. Bir büyü olarak tekrarlayın ve mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzak bir yerde parlıyorsa, ufuktaki şimşek gibi, önemli değil, dersle başlayın Aptallar için vektörler vektörlerin temel bilgilerini kurtarmak veya yeniden kazanmak. Daha hazırlıklı okuyucular seçici olarak bilgilerle tanışabilir, pratik çalışmalarda sıklıkla bulunan en eksiksiz örnekler koleksiyonunu toplamaya çalıştım.

Sizi hemen nasıl memnun edersiniz? Küçükken iki hatta üç topla oynamayı biliyordum. Ustalıkla ortaya çıktı. Şimdi dikkate alacağımız için hiç hokkabazlık yapmanıza gerek kalmayacak. sadece uzaysal vektörler, ve iki koordinatlı düzlem vektörleri dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektörlerin vektör ve karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Bu zaten daha kolay!

Bu işlem, nokta çarpımdakiyle aynı şekilde şunları içerir: iki vektör... Bunlar bozulmaz harfler olsun.

Eylemin kendisi belirtilen Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var ama ben vektörlerin vektör çarpımını aynen böyle köşeli parantez içinde çarpı işaretiyle belirtirdim.

Ve derhal soru: varsa vektörlerin nokta çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada da iki vektör çarpılır, sonra fark ne? Bariz fark, her şeyden önce, SONUÇ'tadır:

Vektörlerin nokta çarpımının sonucu NUMBER'dir:

Vektörlerin vektör ürünü bir VEKTÖR ile sonuçlanır: yani vektörleri çarparız ve tekrar bir vektör elde ederiz. Kapalı kulüp. Aslında, operasyonun adı buradan geliyor. Farklı eğitim literatüründe, atamalar da değişebilir, mektubu kullanacağım.

Çapraz ürünün tanımı

Önce resimli bir tanım, ardından yorumlar olacak.

Tanım: Vektör ürüne göre doğrusal olmayan vektörler, bu sırayla alınan VEKTÖR denilen, uzunluk sayısal olarak hangisi paralelkenarın alanına eşit bu vektörler üzerine kurulu; vektör vektörlere dik, ve temelin doğru bir yönelime sahip olması için yönlendirilir:

Tanımı kemiklere göre ayrıştırıyoruz, çok ilginç şeyler var!

Bu nedenle, aşağıdaki temel noktalar vurgulanabilir:

1) Tanım olarak kırmızı oklarla gösterilen orijinal vektörler doğrusal değil... Doğrusal vektörlerin durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) vektörler alınır kesin olarak tanımlanmış bir sırayla: – "A", "bh" ile çarpılır, ve "a" yerine "bae" değil. Vektör çarpmasının sonucu mavi ile işaretlenmiş VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa, uzunluk olarak eşit ve zıt yönde (kızıl renk) bir vektör elde ederiz. Yani eşitlik doğrudur .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kıpkırmızı vektörün) UZUNLUĞU, vektörler üzerine kurulmuş paralelkenarın ALANına sayısal olarak eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyah renkle gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve elbette çapraz ürünün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Geometrik formüllerden birini hatırlıyoruz: paralelkenarın alanı, aralarındaki açının sinüsü ile bitişik kenarların ürününe eşittir... Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör ürününün UZUNLUĞUNU hesaplama formülü geçerlidir:

Formülde vektörün kendisi hakkında değil, vektörün UZUNLUĞU hakkında konuştuğumuzu vurguluyorum. Pratik nokta nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde, bir paralelkenarın alanı genellikle bir vektör ürünü kavramıyla bulunur:

Gelelim ikinci önemli formülü. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler (kırmızı gölgeleme) üzerine kurulu bir üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

4) Eşit derecede önemli bir gerçek, vektörün vektörlere dik olmasıdır, yani ... Elbette, zıt yönlü vektör (kızıl ok) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör öyle yönlendirilir ki temel sahip sağ oryantasyon. hakkında derste yeni bir temele geçiş hakkında yeterince ayrıntılı konuştum düzlem yönelimi, ve şimdi uzayın yönünün ne olduğunu anlayacağız. parmaklarında açıklayacağım sağ el ... Zihinsel olarak birleştir işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve pembemsi avucunuzun içine bastırın. Sonuç olarak başparmak - çapraz ürün yukarı bakacaktır. Bu, doğru yönelimli temeldir (şekilde öyledir). Şimdi vektörleri değiştirin ( indeks ve orta parmaklar ) yerlerde, sonuç olarak, başparmak açılacak ve çapraz ürün zaten aşağı bakacak. Bu aynı zamanda hak odaklı bir temeldir. Belki bir sorunuz var: sol yönelimin temeli nedir? Aynı parmaklara "atama" sol el vektörler ve uzayın sol tabanını ve sol yönelimini alın (bu durumda başparmak alt vektör yönünde yer alacaktır)... Mecazi olarak konuşursak, bu tabanlar alanı farklı yönlerde "büker" veya yönlendirir. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak düşünülmemelidir - örneğin, uzayın yönü en sıradan ayna tarafından değiştirilir ve “yansıyan nesneyi aynadan çekerseniz”, o zaman genel olarak olacaktır. “orijinal” ile birleştirmek mümkün değildir. Bu arada, aynaya üç parmağınızı getirin ve yansımayı analiz edin ;-)

...şimdi bunu bilmek ne kadar iyi sağ ve sol yönlü bazı öğretim elemanlarının oryantasyon değişikliği ile ilgili açıklamaları korkunç olduğu için =)

Doğrusal vektörlerin çapraz çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak analiz edildi, vektörler doğrusal olduğunda ne olduğunu bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgi üzerine yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgiye "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi, böyle bir alan, dejenere paralelkenar sıfırdır. Aynısı formülden de gelir - sinüs sıfır veya 180 derece sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir.

Böylece, eğer öyleyse ve ... Çapraz ürünün kendisinin sıfır vektörüne eşit olduğuna dikkat edin, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel bir durum, bir vektörün kendi başına vektör çarpımıdır:

Çapraz çarpımı kullanarak, üç boyutlu vektörlerin doğrusallığını kontrol edebilirsiniz ve diğerlerinin yanı sıra bu sorunu da analiz edeceğiz.

Çözümler için pratik örneklerİhtiyacı olabilir trigonometrik tablo ondan sinüs değerlerini bulmak için.

Peki, bir ateş yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz.

b) Vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın alanını bulun:

Karar: Hayır, bu bir yazım hatası değil, tümcelerdeki ilk verileri kasten aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Koşulla, bulunması gerekir uzunluk vektör (vektör çarpımı). İlgili formüle göre:

Cevap:

Soru uzunluk hakkında sorulduğundan, cevapta boyut - birimleri belirtiyoruz.

b) Koşulla, bulunması gerekir alan vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı, vektör ürününün uzunluğuna sayısal olarak eşittir:

Cevap:

Lütfen vektör ürünüyle ilgili cevabın söz konusu olmadığını, bize sorulduğuna dikkat edin. şekil alanı, sırasıyla, boyut kare birimlerdir.

Her zaman koşul tarafından bulunması gereken NE'ye bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. açık Cevap. Gerçekçilik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında yeterince gerçekçi var ve iyi şansa sahip görev gözden geçirilmek üzere geri dönecek. Bu özellikle gergin bir dırdır olmasa da - cevap yanlışsa, kişinin basit şeyleri anlamadığı ve / veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Bu an her zaman kontrol altında tutulmalı, yüksek matematikteki ve diğer derslerdeki herhangi bir problemi çözmelidir.

Büyük harf "en" nereye gitti? Prensip olarak, çözüme ek olarak takılabilir, ancak kaydı kısaltmak için yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve aynı şeyin bir tanımıdır.

Kendin yap çözümü için popüler örnek:

Örnek 2

Vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun

Çapraz ürün boyunca bir üçgenin alanını bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Uygulamada, görev gerçekten çok yaygındır, üçgenler genellikle size işkence edebilir.

Diğer sorunları çözmek için şunlara ihtiyacımız var:

Vektör ürün özellikleri

Çapraz ürünün bazı özelliklerini zaten düşündük, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

İsteğe bağlı vektörler ve isteğe bağlı bir sayı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1) Diğer bilgi kaynaklarında, bu öğe genellikle özelliklerde vurgulanmaz, ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) - mülk yukarıda da tartışılır, bazen denir antikomütativite... Başka bir deyişle, vektörlerin sırası önemlidir.

3) - kombinasyon veya ilişkisel bir vektör ürününün yasaları. Sabitler, vektör çarpımından sorunsuz bir şekilde çıkarılır. Gerçekten, orada ne yapmalılar?

4) - dağıtım veya dağıtıcı bir vektör ürününün yasaları. Parantez genişlemesinde de herhangi bir sorun yoktur.

Bir gösteri olarak, kısa bir örnek düşünün:

Örnek 3

Eğer bulun

Karar: Koşullara göre yine çapraz çarpım uzunluğunun bulunması gerekir. Küçük resmimizi yazalım:

(1) Birleştirici yasalara göre, vektör ürününün yeniden dağılımından sabitleri çıkarıyoruz.

(2) Modül eksi işaretini "yerken" sabiti modülün dışına taşıyın. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Bundan sonrası açıktır.

Cevap:

Ateşe biraz odun koymanın zamanı geldi:

Örnek 4

Vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın, eğer

Karar: Üçgenin alanı formülle bulunur. ... Buradaki yakalama, "tse" ve "de" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak temsil edilmesidir. Buradaki algoritma standarttır ve dersin 3. ve 4. örneklerini biraz anımsatır. Vektörlerin nokta çarpımı... Netlik için çözümü üç aşamaya ayıralım:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı cinsinden ifade ediyoruz, aslında, vektörü vektör cinsinden ifade edin... Henüz uzunluklar hakkında bir kelime yok!

(1) Yerine vektör ifadeleri.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak, parantezleri polinomların çarpma kuralına göre genişletiriz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak, tüm sabitleri vektör çarpımlarının dışına taşırız. Biraz tecrübe ile 2. ve 3. eylemler aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Hoş bir özellik nedeniyle ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektör) eşittir. İkinci terimde, vektör ürününün anti-değişmezlik özelliğini kullanırız:

(5) Benzer terimler sunuyoruz.

Sonuç olarak vektör, elde edilmesi gereken şey olan vektör cinsinden ifade edildi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu eylem Örnek 3'e benzer:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Aşamalar 2-3 kararlar tek satırda tamamlanabilir.

Cevap:

Göz önünde bulundurulan sorun, test kağıtlarında oldukça yaygındır, işte bağımsız bir çözüm için bir örnek:

Örnek 5

Eğer bulun

Eğitimin sonunda kısa bir çözüm ve cevap. Önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davrandığınızı görelim ;-)

Koordinatlarda vektörlerin vektör çarpımı

ortonormal bazda verilen, formülle ifade edilir:

Formül gerçekten basit: determinantın en üst satırına koordinat vektörlerini yazıyoruz, ikinci ve üçüncü satırlara vektörlerin koordinatlarını “koyuyoruz” ve sıkı bir şekilde- önce "ve" vektörünün koordinatları, ardından "double-ve" vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırada çarpılması gerekiyorsa, satırlar da değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
fakat)
b)

Karar: Kontrol, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: vektörler eşdoğrusal ise, çapraz çarpımları sıfıra eşittir (sıfır vektör): .

a) Çapraz ürünü bulun:

Bu nedenle vektörler doğrusal değildir.

b) Çapraz ürünü bulun:

Cevap: a) doğrusal değil, b)

Burada, belki de vektörlerin vektör çarpımı hakkındaki tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Karışık vektör çarpımının kullanıldığı birkaç görev olduğundan bu bölüm çok büyük olmayacaktır. Aslında, her şey tanıma dayanacak, geometrik anlam ve birkaç çalışma formülü.

Vektörlerin karışık çarpımı, üç vektörün çarpımıdır.:

Bu yüzden küçük bir trenle sıraya girdiler ve bekliyorlar, anlaşılmak için sabırsızlanıyorlar.

İlk olarak, yine tanım ve resim:

Tanım: Karma çalışma eş düzlemli olmayan vektörler, bu sırayla alınan denir paralel yüzlü hacim, verilen vektörler üzerine kurulu, temel doğruysa “+” işaretiyle, temel solsa “-” işaretiyle sağlanır.

Çizimi tamamlayalım. Bize görünmeyen çizgiler noktalı bir çizgi ile çizilir:

Tanıma geçelim:

2) vektörler alınır belirli bir sırayla, yani, tahmin edebileceğiniz gibi, üründeki vektörlerin permütasyonu sonuçsuz geçmez.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce, bariz bir gerçeği not edeceğim: vektörlerin karışık ürünü bir NUMBER'dir:. Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir, karışık bir çalışmayı ve "pe" harfiyle yapılan hesaplamaların sonucunu belirtmek için kullanılırım.

A-manastırı karışık ürün, paralel borunun hacmidir. vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani, sayı bu paralelyüzün hacmine eşittir.

Not : çizim şematiktir.

4) Kaide ve mekan oryantasyonu kavramı ile tekrar ter dökmeyelim. Son kısmın anlamı, hacme bir eksi işareti eklenebilir olmasıdır. Basit bir deyişle, karma bir çalışma olumsuz olabilir:

Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacmini hesaplama formülü, doğrudan tanımdan gelir.

Okuyun:

kement - ters çevrilmiş anlam Beyaz sardunya neden rüya görüyor? Çevrimiçi aşk ve ilişkiler için kehanet Kartın değeri doğru konumda Tahıl neden rüya görüyor? Sürtükler için rüya yorumu. Tahıl neden rüya görüyor?