Bu formülü henüz ayrıntılı olarak tartışmayacağız. Ayrıca, ezberlemesi oldukça zor. Belirleyicileri tanıdıktan sonra bu noktaya geri döneceğiz.

Genel gelişim için, elde edilen vektörün uzunluğunun, vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşit olduğunu bilmek faydalıdır. bir ve b.

vektör normalleştirme

Normalleştirilmiş bir vektör, uzunluğu bir olan bir vektördür.

Normalleştirilmiş vektörü bulma formülü aşağıdaki gibidir - vektörün tüm bileşenleri uzunluğuna bölünmelidir:

v n = v/ |v | =

son söz

Muhtemelen görmüş olduğunuz gibi, vektörleri anlamak zor değildir. Bir dizi vektör işlemini ele aldık.

"Matematik" bölümünün sonraki makalelerinde matrisleri, determinantları, lineer denklem sistemlerini tartışacağız. Bunların hepsi teori.

Bundan sonra matris dönüşümlerine bakacağız. İşte o zaman bilgisayar oyunları yaratmada matematiğin ne kadar önemli olduğunu anlayacaksınız. Bu konu sadece önceki tüm konular için bir uygulama haline gelecektir.

VEKTÖR
Fizik ve matematikte vektör, sayısal değeri ve yönü ile karakterize edilen bir niceliktir. Fizikte vektör olan birçok önemli nicelik vardır, örneğin kuvvet, konum, hız, ivme, tork, momentum, elektrik ve manyetik alanların gücü. Kütle, hacim, basınç, sıcaklık ve yoğunluk gibi olağan sayılarla tanımlanabilen diğer niceliklerle karşılaştırılabilirler ve bunlara "skaler" denir. Sıradan sayılar kullanılarak tam olarak belirlenemeyen değerlerle çalışırken vektör gösterimi kullanılır. Örneğin, belirli bir noktaya göre bir nesnenin konumunu tanımlamak istiyoruz. Bir cismin bir noktadan kaç kilometre olduğunu söyleyebiliriz, ancak bulunduğu yönü bilmeden konumunu tam olarak belirleyemeyiz. Böylece, bir nesnenin konumu, sayısal değer (kilometre cinsinden mesafe) ve yön ile karakterize edilir. Grafiksel olarak, vektörler, Şekil 2'de olduğu gibi belirli bir uzunlukta yönlendirilmiş düz çizgi parçaları olarak tasvir edilir. 1. Örneğin, beş kilogramlık bir kuvveti grafiksel olarak temsil etmek için, kuvvet yönünde beş birim uzunluğunda düz bir çizgi parçası çizmeniz gerekir. Ok, kuvvetin A'dan B'ye etki ettiğini gösterir; kuvvet B'den A'ya etki ediyorsa, o zaman şunu yazardık veya Kolaylık olması için vektörler genellikle kalın büyük harflerle gösterilir (A, B, C, vb.); A ve -A vektörleri eşit sayısal değerlere sahiptir, ancak yönleri zıttır. A vektörünün sayısal değerine modül veya uzunluk denir ve A veya |A | ile gösterilir. Bu miktar elbette bir skalerdir. Başı ve sonu çakışan bir vektöre sıfır denir ve O ile gösterilir.

Modülleri ve yönleri çakışıyorsa iki vektöre eşit (veya serbest) denir. Ancak mekanik ve fizikte bu tanım dikkatli kullanılmalıdır, çünkü genel durumda vücudun farklı noktalarına uygulanan iki eşit kuvvet farklı sonuçlara yol açacaktır. Bu bağlamda, vektörler aşağıdaki gibi "bağlı" veya "kayan" olarak sınıflandırılır: Bağlantılı vektörlerin sabit uygulama noktaları vardır. Örneğin, bir yarıçap vektörü, bir noktanın sabit bir orijine göre konumunu belirtir. İlgili vektörler, yalnızca aynı modüllere ve yönlere sahip değiller, aynı zamanda ortak bir uygulama noktasına sahiplerse eşit kabul edilir. Kayan vektörler, bir düz çizgi üzerinde bulunan eşit vektörlerdir.
Vektörlerin eklenmesi. Vektör ekleme fikri, diğer iki vektörle aynı etkiye sahip tek bir vektörü bir arada bulabilmemiz gerçeğinden ortaya çıktı. Belli bir noktaya ulaşmak için önce bir yönde A kilometre, sonra diğer yönde B kilometre yürümemiz gerekiyorsa, üçüncü yönde C kilometreyi geçtikten sonra son noktamıza ulaşabiliriz (Şekil 2). . Bu anlamda şunu söyleyebiliriz.

Herhangi bir sayıda vektör ekleyebiliriz ve terimlerin sırası sonucu etkilemez. Bunun tersi de doğrudur: herhangi bir vektör iki veya daha fazla "bileşene" ayrıştırılır; eklendiğinde sonuç olarak orijinal vektörü verecek olan iki veya daha fazla vektöre bölünür. Örneğin, Şekil. 2, A ve B C bileşenleridir. Vektör, birbirine dik üç yönde üç bileşene ayrıştırılırsa, vektörlerle birçok matematiksel işlem basitleştirilir. Şekilde gösterildiği gibi Ox, Oy ve Oz eksenlerine sahip sağ el Kartezyen koordinat sistemini seçelim. 5. Sağ koordinat sistemi ile x, y ve z eksenlerinin sırasıyla sağ elin başparmak, işaret ve orta parmaklarının konumlanabileceği şekilde konumlandırılmasını kastediyoruz. Sağ elini kullanan bir koordinat sisteminden, onu uygun şekilde döndürerek her zaman başka bir sağ elini kullanan koordinat sistemi elde edebilirsiniz. İncirde. Şekil 5'te, A vektörünün üç bileşene ayrıştırılması gösterilmiştir ve bunlar A vektörüne eklenir, çünkü

Bu nedenle,

Ayrıca, A vektörünün üç koordinat ekseni üzerindeki İzdüşümlerine ilk önce ekleme ve alma ve daha sonra ekleme yapılabilir, Ax, Ay ve Az ile gösterilen A vektörünün "skaler bileşenleri" olarak adlandırılır:

burada a, b ve g, A ile üç koordinat ekseni arasındaki açılardır. Şimdi, karşılık gelen x, y ve z eksenleriyle aynı yöne sahip, i, j ve k (birim vektörler) birim uzunluğundaki üç vektörü tanıtıyoruz. Ardından, Ax i ile çarpılırsa, elde edilen ürün ve

İki vektör, ancak ve ancak karşılık gelen skaler bileşenleri eşitse eşittir. Böylece A = B, ancak ve ancak Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz ise. Bileşenleri eklenerek iki vektör eklenebilir:

Ayrıca Pisagor teoremi ile:

Doğrusal fonksiyonlar. a ve b'nin skaler olduğu aA + bB ifadesine, A ve B vektörlerinin doğrusal bir fonksiyonu denir. Bu, A ve B ile aynı düzlemde bulunan bir vektördür; A ve B paralel değilse, a ve b değiştiğinde, aA + bB vektörü tüm düzlem üzerinde hareket edecektir (Şekil 6). A, B ve C aynı düzlemde değilse, o zaman aA + bB + cC vektörü (a, b ve c değişir) uzay boyunca hareket eder. A, B ve C'nin i, j ve k birim vektörleri olduğunu varsayalım. ai vektörü x ekseni üzerinde yer alır; ai + bj vektörü tüm xy düzlemi boyunca hareket edebilir; ai + bj + ck vektörü uzay boyunca hareket edebilir.

Beş, altı veya herhangi bir sayıda boyuta kadar devam edilebilir. Böyle bir vektörü görselleştirmek imkansız olsa da, burada matematiksel zorluklar ortaya çıkmaz. Böyle bir kayıt genellikle yararlıdır; örneğin, hareketli bir parçacığın durumu, bileşenleri uzaydaki konumu (x, y, z) ve momentum olan altı boyutlu bir vektör P (x, y, z, px, py, pz) ile tanımlanır. (px, py, pz). Bu uzaya "faz uzayı" denir; iki parçacığı ele alırsak, o zaman faz uzayı 12 boyutludur, eğer üç ise 18, vb. Boyutların sayısı süresiz olarak artırılabilir; bununla birlikte, ele alacağımız miktarlar, bu makalenin geri kalanında ele alacağımız miktarlarla, yani üç boyutlu vektörlerle hemen hemen aynı şekilde davranır.
İki vektörün çarpımı. Vektör toplama kuralı, vektörlerle temsil edilen niceliklerin davranışı incelenerek elde edildi. İki vektörün hiçbir şekilde çarpılmaması için görünür bir neden yoktur, ancak bu çarpma ancak matematiksel tutarlılığını gösterebilirseniz anlamlı olacaktır; ek olarak, eserin belirli bir fiziksel anlamının olması arzu edilir. Bu koşulları karşılayan vektörleri çarpmanın iki yolu vardır. Bunlardan birinin sonucu bir skalerdir, böyle bir ürüne iki vektörün "nokta çarpımı" veya "iç çarpımı" denir ve ABB veya (A, B) olarak yazılır. Başka bir çarpma, "vektör çarpımı" veya "dış çarpım" olarak adlandırılan bir vektörle sonuçlanır ve A * B veya [] olarak yazılır. Nokta ürünler bir, iki veya üç boyut için fiziksel anlam taşırken, vektör ürünleri yalnızca üç boyut için tanımlanır.
Skaler ürünler. Bir F kuvvetinin etkisi altında, uygulandığı nokta bir r mesafesi hareket ettiriyorsa, yapılan iş r'nin çarpımına ve r yönündeki F bileşenine eşittir. Bu bileşen, F cos bF, rc'ye eşittir, burada bF, rc, F ve r arasındaki açıdır, yani. Yapılan iş = Fr cos bF, rc. Bu, formül aracılığıyla herhangi iki A, B vektörü için tanımlanan nokta çarpımının fiziksel gerekçesine bir örnektir.
A * B = AB cos bA, Bc.
Denklemin sağ tarafındaki tüm nicelikler skaler olduğundan, A * B = B * A; dolayısıyla skaler çarpma değişmeli. Skaler çarpma ayrıca dağılabilirlik özelliğine de sahiptir: A * (B + C) = A * B + A * C. A ve B vektörleri dik ise, o zaman cos bA, Bc sıfıra eşittir ve dolayısıyla A * B = 0, ne A ne de B sıfıra eşit olsa bile. Bu yüzden vektöre bölemeyiz. Diyelim ki A * B = A * C denkleminin her iki tarafını A'ya böldük. Bu, B = C'yi verirdi ve bölme yapılabilirse, bu eşitlik mümkün olan tek sonuç olurdu. Ancak, A * B = A * C denklemini A * (B - C) = 0 olarak yeniden yazarsak ve (B - C)'nin bir vektör olduğunu hatırlarsak, (B - C)'nin mutlaka sıfır olmadığı açıktır. ve bu nedenle, B, C'ye eşit olmak zorunda değildir. Bu çelişkili sonuçlar, vektör bölünmesinin imkansız olduğunu göstermektedir. Nokta çarpım, bir vektörün sayısal değerini (modülü) yazmanın başka bir yolunu verir: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
yani

Nokta çarpım başka bir şekilde yazılabilir. Bunu yapmak için şunu unutmayın: A = Ax i + Ayj + Azk. dikkat, ki

Sonra,

Son denklem alt simge olarak x, y ve z'yi içerdiğinden, denklem görünüşte seçilen belirli koordinat sistemine bağlıdır. Ancak, seçilen koordinat eksenlerinden bağımsız olan tanımdan da anlaşılacağı gibi durum böyle değildir.
Vektör sanat eserleri. Bir vektör veya vektörlerin dış çarpımı, modülü, orijinal vektörlere dik bir açının sinüsü ile modüllerinin çarpımına eşit olan ve onlarla birlikte sağ üçlüyü oluşturan bir vektördür. Bu ürünü, hız ve açısal hız arasındaki ilişkiyi göz önünde bulundurarak tanıtması en kolay olanıdır. Birincisi bir vektördür; şimdi ikincisinin bir vektör olarak da yorumlanabileceğini göstereceğiz. Dönen bir cismin açısal hızı şu şekilde belirlenir: cisim üzerinde herhangi bir nokta seçin ve bu noktadan dönme eksenine bir dik çizin. O halde cismin açısal hızı, bu çizginin birim zamanda döndüğü radyan sayısıdır. Açısal hız bir vektörse, sayısal bir değeri ve yönü olmalıdır. Sayısal değer radyan/saniye cinsinden ifade edilir, yön dönme ekseni boyunca seçilebilir, vektörü gövde ile dönerken sağ vidanın hareket edeceği yöne yönlendirerek belirleyebilirsiniz. Bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesini düşünün. Bu ekseni, başka bir halkanın içine yerleştirilmiş bir eksene sabitlenmiş bir halkanın içine yerleştirirsek, birinci halkanın içindeki gövdeyi w1 açısal hızında döndürebilir ve ardından iç halkayı (ve gövdeyi) bir eksende döndürebiliriz. açısal hız w2. Şekil 7 noktayı göstermektedir; dairesel oklar dönüş yönlerini gösterir. Bu cisim O merkezli ve r yarıçaplı katı bir küredir.

İncir. 7. O MERKEZİ OLAN BİR KÜRE, bir BC halkasının içinde w1 açısal hızıyla dönmekte ve bu da, DE halkasının içinde w2 açısal hızıyla dönmekte. Küre, açısal hızların toplamına eşit bir açısal hızla döner ve POP "düz çizgisi üzerindeki tüm noktalar anlık durma durumundadır.

Bu mesafe sıfır ise

Bu durumda, P noktası anlık bir durgunluk durumundadır ve aynı şekilde POP çizgisi üzerindeki tüm noktalar. "Kürenin geri kalanı hareket halinde olacaktır (diğer noktaların hareket ettiği daireler birbirine değmez, Böylece POPў, yol boyunca yuvarlanan bir tekerleğin zamanın her anında en alt noktası etrafında dönmesi gibi, kürenin dönme ekseninin anlık halidir. Kürenin açısal hızı nedir? Basitlik için, noktayı seçiyoruz. w1 ekseninin yüzeyle kesiştiği A. Düşündüğümüz zamanda, Dt zamanında belli bir mesafede hareket ediyor.

Yarıçapı r sin w1 olan bir dairenin etrafında. Tanım olarak, açısal hız

Bu formül ve bağıntıdan (1), elde ederiz

Başka bir deyişle, sayısal bir değer yazarsanız ve yukarıda açıklandığı gibi açısal hızın yönünü seçerseniz, bu miktarlar vektör olarak eklenir ve bu şekilde kabul edilebilir. Artık çapraz ürünü girebilirsiniz; açısal hızı w ile dönen bir cisim düşünün. Gövde üzerindeki herhangi bir P noktasını ve dönme ekseninde bulunan herhangi bir O koordinatının orijinini seçelim. r, O'dan P'ye yönlendirilmiş bir vektör olsun. P noktası bir daire içinde V = w r sin (w, r) hızıyla hareket eder. Hız vektörü V daireye teğettir ve Şekil 2'de gösterilen yönü gösterir. sekiz.

Çapraz çarpımın bileşenler ve birim vektörler açısından nasıl yazıldığını görelim. Her şeyden önce, herhangi bir A vektörü için, A * A = AA sin 0 = 0.
Bu nedenle, birim vektörler söz konusu olduğunda, i * i = j * j = k * k = 0 ve i * j = k, j * k = i, k * i = j. Sonra,

Bu eşitlik determinant olarak da yazılabilir:

A * B = 0 ise, A veya B'den biri 0'dır veya A ve B eşdoğrusaldır. Bu nedenle, nokta çarpım durumunda olduğu gibi, bir vektöre bölme mümkün değildir. A * B değeri, A ve B kenarları olan bir paralelkenarın alanına eşittir. B sin bA olduğundan, Bc yüksekliği ve A tabanı olduğu için görmek kolaydır. Vektör ürünleri olan başka birçok fiziksel büyüklük vardır. En önemli vektör ürünlerinden biri elektromanyetizma teorisinde ortaya çıkar ve Poyting vektörü P olarak adlandırılır. Bu vektör şu şekilde verilir: P = E * H, burada E ve H sırasıyla elektrik ve manyetik alanların vektörleridir. Vektör P, herhangi bir noktada metrekare başına watt cinsinden verilen bir enerji akışı olarak düşünülebilir. İşte birkaç örnek daha: yarıçap vektörü r r * F olarak tanımlanan bir noktaya etki eden koordinatların orijine göre kuvvet momenti F (tork); r noktasında bulunan bir parçacık, kütle m ve hız V, orijine göre mr * V açısal momentuma sahiptir; B manyetik alanından V hızıyla q elektrik yükü taşıyan bir parçacığa etkiyen kuvvet qV * B'dir.
Üçlü çalışır.Üç vektörden aşağıdaki üçlü ürünleri oluşturabiliriz: vektör (A * B) * C; vektör (A * B) * C; skaler (A * B) * C. İlk tip, C vektörü ile A * B skalerinin çarpımıdır; zaten bu tür çalışmalardan bahsetmiştik. İkinci tip çift vektör çarpımı olarak adlandırılır; A * B vektörü, A ve B'nin bulunduğu düzleme diktir ve bu nedenle (A * B) * C, A ve B düzleminde uzanan ve C'ye dik bir vektördür. Bu nedenle, genel olarak, (A * B) * C, A * (B * C)'ye eşit değildir. A, B ve C'yi x, y ve z eksenleri boyunca koordinatları (bileşenleri) cinsinden yazıp çarparak, A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * olduğunu gösterebilirsiniz. B). Katı hal fiziğinde bir kafes hesaplanırken ortaya çıkan üçüncü ürün türü, A, B, C kenarları olan bir paralelyüzün hacmine sayısal olarak eşittir. (A * B) * C = A * (B * C) olduğundan , skaler ve vektör çarpımlarının işaretleri değiştirilebilir ve parça genellikle (ABC) olarak yazılır. Bu çarpım determinanta eşittir

Üç vektörün tümü aynı düzlemdeyse veya A = 0 veya (ve) B = 0 veya (ve) C = 0 ise (A B C) = 0 olduğuna dikkat edin.
VEKTÖRÜN FARKLILIĞI
U vektörünün bir skaler değişken t'nin bir fonksiyonu olduğunu varsayalım. Örneğin, U başlangıç ​​noktasından hareket eden bir noktaya çizilen bir yarıçap vektörü olabilir ve t zaman olabilir. t'nin küçük bir miktar Dt kadar değişmesine izin verin, bu da DU tarafından U'da bir değişikliğe yol açacaktır. Bu, şekilde gösterilmiştir. 9. DU / Dt oranı, DU ile aynı yöne yönlendirilmiş bir vektördür. U'nun t'ye göre türevini şu şekilde tanımlayabiliriz:

böyle bir sınırın olması şartıyla. Öte yandan, U'yu üç eksen boyunca bileşenlerin toplamı olarak temsil edebilir ve yazabilirsiniz.

U yarıçap vektörü r ise, dr / dt zamanın bir fonksiyonu olarak ifade edilen noktanın hızıdır. Zamanda tekrar farklılaşarak, bir ivme elde ederiz. Şekilde gösterilen eğri boyunca bir noktanın hareket ettiğini varsayalım. 10. Eğri boyunca bir noktanın kat ettiği mesafe olsun. Küçük bir Dt zaman aralığı boyunca, nokta eğri boyunca Ds mesafesini kat edecektir; yarıçap vektörünün konumu Dr. Dolayısıyla Dr / Ds, Dr. gibi yönlendirilmiş bir vektördür. Daha ileri

eğriye teğet birim vektördür. Bu, Q noktası P noktasına yaklaştıkça, PQ tanjanta ve Dr, Ds'ye yaklaştığından görülebilir. Bir ürünün türevini alma formülleri, skaler fonksiyonların bir ürününün türevini alma formüllerine benzer; ancak, çapraz çarpım anti-değişmeli olduğundan, çarpma sırası korunmalıdır. Bu nedenle,

Böylece, eğer vektör bir skaler değişkenin fonksiyonuysa, türevi skaler bir fonksiyonda olduğu gibi temsil edebileceğimizi görüyoruz.
Vektör ve skaler alanlar. Gradyan. Fizikte, genellikle belirli bir alanda noktadan noktaya değişen vektör veya skaler niceliklerle uğraşmanız gerekir. Bu tür alanlara "alanlar" denir. Örneğin, bir skaler sıcaklık veya basınç olabilir; vektör, hareketli bir sıvının hızı veya bir yükler sisteminin elektrostatik alanı olabilir. Bir koordinat sistemi seçtiysek, verilen alandaki herhangi bir P (x, y, z) noktası, bir r yarıçap vektörüne (= xi + yj + zk) ve ayrıca vektör miktarı U (r) veya onunla ilişkili skaler f (r). U ve f'nin etki alanında benzersiz olarak tanımlandığını varsayalım; şunlar. her nokta U veya f'nin bir ve yalnızca bir değerine karşılık gelir, ancak farklı noktalar elbette farklı değerlere sahip olabilir. Bu alanda hareket ederken U ve f'nin değişme hızını tanımlamak istediğimizi varsayalım. dU / dx ve df / dy gibi basit kısmi türevler, seçilen belirli koordinat eksenlerine bağlı oldukları için bize uymuyor. Ancak, koordinat eksenlerinin seçiminden bağımsız bir vektör diferansiyel operatörünü tanıtmak mümkündür; bu operatöre "gradyan" denir. Bir skaler alan f ile uğraştığımızı varsayalım. İlk olarak, örnek olarak bir ülke alanının anahat haritasını düşünün. Bu durumda f, deniz seviyesinden yüksekliğidir; kontur çizgileri aynı f değerine sahip noktaları birbirine bağlar. Bu çizgilerden herhangi biri boyunca hareket ederken f değişmez; bu doğrulara dik hareket edersek f'nin değişim hızı maksimum olur. Her noktayı f hızındaki maksimum değişimin büyüklüğünü ve yönünü gösteren bir vektörle ilişkilendirebiliriz; böyle bir harita ve bu vektörlerin bazıları Şekil 2'de gösterilmektedir. 11. Bunu alanın her noktası için yaparsak, f skaler alanıyla ilişkili bir vektör alanı elde ederiz. Bu, "gradyan" f olarak adlandırılan ve grad f veya Cf olarak yazılan bir vektörün alanıdır (C sembolüne "nabla" da denir).

burada noktalar daha yüksek dereceli terimleri gösterir. Bu ifade nokta çarpım olarak yazılabilir.

Bu eşitliğin sağ ve sol taraflarını Ds'ye böleriz ve Ds'nin sıfıra yönelmesine izin veririz; sonra

burada dr / ds seçilen yöndeki birim vektördür. Parantez içindeki ifade, seçilen noktaya bağlı bir vektördür. Böylece, df / ds bir maksimum değere sahiptir, dr / ds aynı yönü gösterdiğinde, parantez içindeki ifade gradyandır. Böylece,

- koordinatlara göre f'nin maksimum değişim hızıyla aynı doğrultuda ve büyüklükte eşit bir vektör. Gradyan f genellikle şu şekilde yazılır:

Bu, operatör C'nin kendi başına var olduğu anlamına gelir. Çoğu durumda bir vektör gibi davranır ve aslında bir "vektör diferansiyel operatörüdür" - fizikteki en önemli diferansiyel operatörlerden biridir. C'nin i, j ve k birim vektörlerini içermesine rağmen, fiziksel anlamı seçilen koordinat sistemine bağlı değildir. Cf ve f arasındaki ilişki nedir? Her şeyden önce, herhangi bir noktadaki potansiyeli f'nin belirlediğini varsayalım. Herhangi bir küçük yer değiştirme Dr için, f değeri şu şekilde değişecektir:

Eğer q, Dr'a taşınan bir miktar (örneğin kütle, yük) ise, q'yu Dr'a hareket ettirerek yapılan iş eşittir

Dr - yer değiştirme olduğundan, o zaman qСf - kuvvet; -Cf - f ile ilişkili gerilim (birim miktar başına kuvvet). Örneğin, elektrostatik potansiyel U olsun; o zaman E, E = -CU formülüyle verilen elektrik alan şiddetidir. U'nun, orijine yerleştirilmiş q coulomb cinsinden bir nokta elektrik yükü tarafından yaratıldığını varsayalım. Yarıçap vektörü r ile P (x, y, z) noktasındaki U değeri formülle verilir.

Burada e0, boş alanın dielektrik sabitidir. bu nedenle

buradan E'nin r yönünde hareket ettiği ve değerinin q / (4pe0r3) olduğu sonucu çıkar. Skaler alanı bilerek, ilişkili vektör alanını belirleyebilirsiniz. Bunun tersi de mümkündür. Matematiksel işleme açısından bakıldığında, skaler alanların çalıştırılması vektör olanlardan daha kolaydır, çünkü bunlar tek bir koordinat işleviyle belirlenirken, bir vektör alanı, bir vektörün bileşenlerine üç yönde karşılık gelen üç işlev gerektirir. Böylece şu soru ortaya çıkıyor: Bir vektör alanı verildiğinde, ilişkili skaler alanı yazabilir miyiz?
Diverjans ve rotor. Skaler bir fonksiyona etki eden C'nin sonucunu gördük. Bir vektöre C uygulanırsa ne olur? İki olasılık vardır: U (x, y, z) bir vektör olsun; daha sonra vektör ve skaler ürünleri aşağıdaki gibi oluşturabiliriz:

Bu ifadelerden ilki, diverjans U (divU ile gösterilir) olarak adlandırılan bir skalerdir; ikincisi rotor U olarak adlandırılan bir vektördür (rotU ile gösterilir). Bu diferansiyel fonksiyonlar, diverjans ve rotor, matematiksel fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. U'nun bir vektör olduğunu ve onun ve birinci türevlerinin bazı bölgelerde sürekli olduğunu hayal edin. P, DV hacmini sınırlayan küçük bir kapalı yüzey S ile çevrili bu bölgede bir nokta olsun. n, her noktada bu yüzeye dik bir birim vektör olsun (n, yüzey etrafında hareket ederken yön değiştirir, ancak her zaman bir birim uzunluğa sahiptir); n dışarıyı göstersin. bunu gösterelim

Burada S, bu integrallerin tüm yüzey üzerinde alındığını gösterir, da, S yüzeyinin bir elemanıdır. Basitlik için, kenarları Dx olan küçük bir paralelyüz (Şekil 12'de gösterildiği gibi) şeklinde uygun bir S şekli seçeceğiz. , Dy ve Dz; P noktası paralel borunun merkezidir. İlk önce paralel yüzün bir yüzü boyunca denklem (4)'ten integrali hesaplayalım. Ön yüz için, n = i (birim vektör, x eksenine paraleldir); Da = DyDz. Ön yüzden integrale katkısı,

Karşı tarafta n = -i; bu yüz integrale katkıda bulunur

Taylor teoremini kullanarak iki yüzden toplam katkıyı elde ederiz.

DxDyDz = DV olduğuna dikkat edin. Benzer şekilde, diğer iki yüz çiftinin katkısını hesaplayabilirsiniz. Tam integral

ve DV (r) 0 koyarsak, yüksek dereceli terimler ortadan kalkar. Formül (2)'ye göre parantez içindeki ifade divU'dur ve bu eşitlik (4)'ü kanıtlar. Eşitlik (5) de aynı şekilde kanıtlanabilir. Tekrar kullanalım şek. 12; o zaman ön yüzden integrale katkı şuna eşit olacaktır:

Ve Taylor teoremini kullanarak, iki yüzden integrale toplam katkının şu şekilde olduğunu buluruz:

şunlar. bunlar denklem (3)'teki rotU ifadesinden iki terimdir. Diğer dört terim, diğer dört yüzün katkıları dikkate alınarak elde edilecektir. Özünde, bu oranlar ne anlama geliyor? Eşitliği düşünün (4). U'nun hız olduğunu varsayalım (örneğin bir sıvının). O zaman nЧU da = Un da, burada Un, U vektörünün yüzeye olan normal bileşenidir. Bu nedenle, Un da ​​birim zamanda da içinden akan sıvının hacmidir ve birim zamanda S içinden akan sıvının hacmidir. Bu nedenle,

Bir hacim biriminin P noktası etrafındaki genişleme hızı. Bu nedenle, diverjans adını aldı; akışkanın P'den genişlediği (yani uzaklaştığı) hızı gösterir. Rotor U'nun fiziksel anlamını açıklamak için, P noktasını çevreleyen h yüksekliğinde küçük bir silindirik hacim üzerinde başka bir yüzey integralini düşünün; düzlem-paralel yüzeyler istediğimiz yöne yönlendirilebilir. Her yüzeye dik birim vektör k olsun ve her yüzeyin alanı DA olsun; daha sonra toplam hacim DV = hDA (Şekil 13). Şimdi integrali düşünün

VEKTÖRLER... HAREKETLERBİTMİŞVEKTÖRLER. SKALAR,

VEKTÖR, VEKTÖRLERİN KARIŞIK ÜRÜNÜ.

1. VEKTÖRLER, VEKTÖRLER ÜZERİNDEKİ EYLEMLER.

Temel tanımlar.

Tanım 1. Seçilen birim sistemindeki sayısal değeri ile tam olarak karakterize edilen bir niceliğe denir. skaler veya skaler .

(Vücut ağırlığı, hacim, süre vb.)

Tanım 2. Sayısal bir değer ve yön ile karakterize edilen bir niceliğe denir. vektör veya vektör .

(Yer değiştirme, güç, hız vb.)

Tanımlamalar: veya,.

Geometrik bir vektör, yönlü bir çizgidir.

Bir vektör için - bir nokta FAKAT- başlangıç ​​noktası İÇİNDE- vektörün sonu.

Tanım 3.Modül vektör AB doğru parçasının uzunluğudur.

Tanım 4. Modülü sıfıra eşit olan vektöre denir. sıfır , ile belirtilir.

Tanım 5. Paralel doğrular veya bir doğru üzerinde bulunan vektörlere denir. doğrusal ... İki doğrusal vektör aynı yöne sahipse, bunlara denir. birlikte yönetilen .

Tanım 6.İki vektör kabul edilir eşit , Eğer onlar birlikte yönetilen ve mutlak değerde eşittir.

Vektörler üzerinde eylemler.

1) Vektörlerin eklenmesi.

Def. 6.Toplam iki vektör ve uygulamalarının ortak noktasından başlayarak bu vektörler üzerine kurulan paralelkenarın köşegenidir. (paralelkenar kuralı).

1.

Def. 7.Üç vektörün toplamına, bu vektörler üzerine kurulmuş paralelyüzün köşegeni denir. (kutu kuralı).

Def. sekiz. Eğer bir FAKAT, İÇİNDE, DAN İsteğe bağlı noktalar, o zaman + = (üçgen kuralı).

incir. 2

Ekleme özellikleri.

1 hakkında . + = + (transpozisyon yasası).

2 hakkında . + (+) = (+) + = (+) + (kombinasyon yasası).

3 hakkında . + (– ) + .

2) Vektörlerin çıkarılması.

Def. dokuz. Altında fark vektörler ve anlama vektörü = - öyle ki + = .

Paralelkenarda, bu başka diyagonal SD (bkz. Şekil 1).

3) Bir vektörü bir sayı ile çarpmak.

Def. 10. Ürüne göre skaler başına vektörler k vektör denir

= k = k ,

uzun ka , ve yönü:

1. vektörün yönü ile çakışıyorsa k > 0;

2. Vektörün yönünün tersi ise k < 0;

3. keyfi olarak k = 0.

Bir vektörü bir sayı ile çarpmanın özellikleri.

1 hakkında . (k + ben ) = k + ben .

k ( + ) = k + k .

2 Ö . k (ben ) = (kl ) .

3 Ö . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Vektör özellikleri.

Def. on bir.İki vektör ve denir doğrusal üzerinde yer alırlarsa paralel çizgiler veya bir düz çizgi.

Boş bir vektör, herhangi bir vektöre eşdoğrusaldır.

Teorem 1. Sıfır olmayan iki vektör ve doğrusal,  orantılı olduklarında, yani

= k , k Bir skalerdir.

Def. 12.Üç vektör, denir aynı düzlemde bir düzleme paralellerse veya içinde yatıyorlarsa.

Teorem 2.Üç sıfır olmayan vektör, aynı düzlemde,  bunlardan biri diğer ikisinin doğrusal bir birleşimi olduğunda, yani

= k + ben , k , ben - skaler.

Vektörün eksene izdüşümü.

Teorem 3. Bir vektörün bir eksene izdüşümü (yönlendirilmiş düz çizgi) ben vektörün uzunluğunun ürününe ve vektörün yönü ile eksen yönü arasındaki açının kosinüsüne eşittir, yani. = bir  c işletim sistemi  ,  = ( , ben).

2. VEKTÖR KOORDİNATLARI

Def. 13. Eksenleri koordine etmek için vektör projeksiyonları Ah, kuruluş birimi, Oz arandı vektör koordinatları. Tanım:  bir x , bir y , bir z .

Vektör uzunluğu:

Misal: Vektörün uzunluğunu hesaplayın.

Karar:

Noktalar arasındaki mesafe ve formülle hesaplanır: .

Misal: M (2,3, -1) ve K (4,5,2) noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

Koordinat biçiminde vektörler üzerindeki eylemler.

Verilen vektörler =  bir x , bir y , bir z ve =  b x , b y , b z .

1. (  )= bir x  b x , bir y  b y , bir z  b z .

2.  =   bir x ,  bir y ,  bir z, nerede  Bir skalerdir.

Vektörlerin nokta çarpımı.

Tanım:İki vektörün nokta çarpımı altında ve

bu vektörlerin uzunluklarının, aralarındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşit bir sayı olarak anlaşılır, yani. = , vektörler ve arasındaki açıdır.

Nokta ürün özellikleri:

1.  =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , skaler nerede.

6.iki vektör diktir (ortogonal), eğer .

7.if ve sadece eğer .

Koordinat biçimindeki nokta çarpımı: , Nerede ve .

Misal: Vektörlerin nokta çarpımını bulun ve

Karar:

Vektör tutan vektörler.

Tanım: İki vektörün vektör çarpımı, aşağıdakiler için bir vektör olarak anlaşılır:

Modül, bu vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşittir, yani. , vektörler arasındaki açı ve

Bu vektör, çarpılmakta olan vektörlere diktir, yani.

Vektörler doğrusal değilse, sağ vektör üçlüsünü oluştururlar.

Vektör ürün özellikleri:

(1) Faktörlerin sırası değiştirildiğinde, vektör çarpımı modülünü koruyarak işaretini tersine değiştirir, yani.

2 .Vektör karesi sıfır vektörüne eşittir, yani.

3 Skaler faktör vektör ürününün işaretinin dışına taşınabilir, yani.

4 Herhangi üç vektör için eşitlik

5 İki vektörün doğrusallığı için gerekli ve yeterli bir koşul ve:

Koordinat biçiminde vektör ürünü.

Vektörlerin koordinatları ve , daha sonra çapraz ürünleri aşağıdaki formülle bulunur:

.

Daha sonra, bir vektör ürününün tanımından, vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Misal: Köşeleri (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1) olan bir üçgenin alanını hesaplayın.

Karar: .

Daha sonra ABC üçgeninin alanı aşağıdaki gibi hesaplanacaktır:

,

Vektörlerin karışık çarpımı.

Tanım: Vektörlerin karışık (vektör-skaler) çarpımı, aşağıdaki formülle belirlenen bir sayıdır: .

Karışık çalışma özellikleri:

1. Karışık ürün, faktörlerinin döngüsel permütasyonu altında değişmez, yani. .

2. İki bitişik faktörün permütasyonu üzerine, karışık ürün işaretini tersine değiştirir, yani. ...

3 Üç vektörün eş düzlemliliği için gerekli ve yeterli bir koşul : =0.

4 Üç vektörün karışık çarpımı, bu vektörler üzerine inşa edilen paralelyüzün hacmine eşittir, bu vektörler sağ üçlü oluşturuyorsa artı işaretiyle, sol üçlü oluşturuyorsa eksi işaretiyle alınır, yani. .

biliniyorsa koordinatlar vektörler , daha sonra karma iş şu formülle bulunur:

Misal: Vektörlerin karışık çarpımını hesaplayın.

Karar:

3. Vektör sisteminin temeli.

Tanım. Bir vektör sistemi, aynı uzaya ait birkaç vektör olarak anlaşılır. $.

Yorum Yap. Sistem sonlu sayıda vektörden oluşuyorsa, bunlar farklı indislerle aynı harfle gösterilir.

Misal.

Tanım. Formun herhangi bir vektörü = vektörlerin lineer kombinasyonu denir. Sayılar lineer kombinasyonun katsayılarıdır.

Misal. .

Tanım... Vektör, vektörlerin doğrusal bir birleşimiyse , o zaman vektörün vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edildiği söylenir. .

Tanım. vektör sistemi denir Doğrusal bağımsız sistemin vektörlerinden hiçbiri diğer vektörlerin lineer birleşimi gibi olamazsa. Aksi takdirde, sistem lineer bağımlı olarak adlandırılır.

Misal... vektör sistemi vektörden beri lineer bağımlı .

Temelin belirlenmesi. Bir vektör sistemi aşağıdaki durumlarda bir temel oluşturur:

1) lineer bağımsızdır,

2) herhangi bir uzay vektörü, onun içinden doğrusal olarak ifade edilir.

Örnek 1. Uzay temeli:.

2. Vektörler sisteminde vektörler temeldir: vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edilir.

Yorum Yap. Belirli bir vektör sisteminin temelini bulmak için yapmanız gerekenler:

1) vektörlerin koordinatlarını matrise yazın,

2) matrisi üçgen bir forma getirmek için temel dönüşümleri kullanmak,

3) matrisin sıfır olmayan satırları sistemin temeli olacaktır,

4) tabandaki vektörlerin sayısı matrisin rankına eşittir.

Vektör gibi bir kavram neredeyse tüm doğa bilimlerinde düşünülür ve tamamen farklı anlamlara sahip olabilir, bu nedenle tüm alanlar için net bir vektör tanımı vermek imkansızdır. Ama anlamaya çalışalım. Yani bir vektör - nedir?

Klasik geometride vektör kavramı

Geometride bir vektör, hangi noktalarının başlangıç, hangisinin son olduğunun belirtildiği bir segmenttir. Yani, daha basit bir ifadeyle, bir vektör yönlendirilmiş bir segmenttir.

Buna göre, bir vektör (yukarıda tartışılan) bir segment gibi, yani üstte sağa dönük bir çizgi veya ok eklenmesiyle Latin alfabesinin iki büyük harfi ile gösterilir. Latin alfabesinin küçük (küçük) harfi ile bir çizgi veya ok ile de imzalanabilir. Ok her zaman sağa yönlendirilir ve vektörün konumuna bağlı olarak değişmez.

Yani bir vektörün bir yönü ve bir uzunluğu vardır.

Vektör ataması aynı zamanda yönünü de içerir. Bu, aşağıdaki resimdeki gibi ifade edilir.

Yönü değiştirmek, vektörün değerini tersine çevirir.

Bir vektörün uzunluğu, oluşturulduğu segmentin uzunluğudur. Bir vektörün modülü olarak belirlenir. Bu, aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Buna göre vektör, uzunluğu sıfır olan sıfırdır. Bundan, sıfır vektörünün bir nokta olduğu ve başlangıç ​​ve bitiş noktalarının onun içinde çakıştığı sonucu çıkar.

Vektör uzunluğu - değer her zaman negatif değildir. Başka bir deyişle, bir doğru parçası varsa, o zaman mutlaka belirli bir uzunluğa sahiptir veya bir nokta ise, uzunluğu sıfırdır.

Nokta kavramının kendisi temeldir ve tanımı yoktur.

Vektör ilavesi

Toplama yapmak için kullanabileceğiniz vektörler için özel formüller ve kurallar vardır.

Üçgen kuralı. Bu kurala göre vektörler eklemek için, ilk vektörün sonunu ve ikincinin başlangıcını paralel çeviri kullanarak birleştirmek ve bağlamak yeterlidir. Ortaya çıkan üçüncü vektör, diğer ikisinin eklenmesine eşit olacaktır.

Paralelkenar kuralı. Bu kurala göre toplama yapmak için bir noktadan her iki vektörü de çizmek ve ardından her birinin sonundan başka bir vektör çizmek gerekir. Yani, ikincisi birinci vektörden, birincisi ikinciden çekilecektir. Sonuç, yeni bir kesişme noktası ve bir paralelkenardır. Vektörlerin başlangıç ​​ve bitişlerinin kesişim noktalarını birleştirirseniz, elde edilen vektör toplamanın sonucu olacaktır.

Çıkarma da benzer şekilde mümkündür.

fark vektörleri

Vektörlerin toplanmasına benzer şekilde, çıkarmalarını yapmak da mümkündür. Aşağıdaki şekilde gösterilen prensibe dayanmaktadır.

Yani çıkarılacak vektörü karşısında bir vektör olarak göstermek ve toplama ilkelerine göre hesaplamak yeterlidir.

Ayrıca, kesinlikle sıfır olmayan herhangi bir vektör herhangi bir k sayısı ile çarpılabilir, bu onun uzunluğunu k kez değiştirir.

Bunlara ek olarak, başka vektör formülleri de vardır (örneğin, bir vektörün uzunluğunu koordinatları cinsinden ifade etmek için).

Konumlandırma vektörleri

Elbette birçok kişi, doğrusal bir vektör gibi bir kavramla karşılaştı. Doğrusallık nedir?

Vektörlerin doğrusallığı, doğruların paralelliğine eşdeğerdir. İki vektör birbirine paralel olan doğrular üzerinde veya bir doğru üzerinde bulunuyorsa, bu vektörlere eşdoğrusal denir.

yön. Birbirlerine göre doğrusal vektörler eş yönlü veya zıt yönlü olabilir, bu vektörlerin yönü ile belirlenir. Buna göre, bir vektör bir başkasıyla birlikte yönlendiriliyorsa, karşısındaki vektör zıt yönlüdür.

İlk şekil, iki zıt yönlü vektörü ve üçüncüsü, onlar için doğrusal olmayan vektörleri göstermektedir.

Yukarıdaki özelliklerin tanıtılmasından sonra, eşit vektörlere bir tanım vermek mümkündür - bunlar bir yöne yönlendirilen ve oluşturuldukları bölümlerin aynı uzunluğuna sahip vektörlerdir.

Birçok bilimde yarıçap vektörü kavramı da kullanılır. Böyle bir vektör, düzlemdeki bir noktanın başka bir sabit noktaya göre konumunu tanımlar (genellikle bu orijindir).

Fizikte vektörler

Diyelim ki, sorunu çözerken bir durum ortaya çıktı: vücut 3 m / s hızında hareket ediyor. Bu, cismin bir düz çizgi boyunca belirli bir yönde hareket ettiği anlamına gelir, dolayısıyla bu değişken bir vektör değeri olacaktır. Çözüm için hem değeri hem de yönü bilmek önemlidir, çünkü dikkate bağlı olarak hız hem 3 m / s hem de -3 m / s'ye eşit olabilir.

Genel olarak, fizikte bir vektör, bir cisme etki eden kuvvetin yönünü belirtmek ve sonucu belirlemek için kullanılır.

Bu kuvvetler şekilde gösterildiğinde, üzerinde vektörün imzası olan oklarla gösterilmiştir. Klasik olarak, okun uzunluğu da aynı derecede önemlidir, yardımı ile hangi kuvvetin daha güçlü olduğunu gösterirler, ancak bu özellik ikincildir, ona güvenmemelisiniz.

Lineer cebir ve matematiksel analizde vektör

Doğrusal uzayların elemanlarına vektörler de denir, ancak bu durumda bunlar bazı elemanları tanımlayan sıralı bir sayı sistemidir. Bu nedenle, bu durumda yönün artık bir önemi yoktur. Klasik geometride ve matematiksel analizde bir vektörün tanımı çok farklıdır.

vektörleri yansıtma

Öngörülen vektör - nedir bu?

Oldukça sık, doğru ve uygun bir hesaplama için, koordinat eksenleri boyunca iki boyutlu veya üç boyutlu uzayda bulunan bir vektörü ayrıştırmak gerekir. Bu işlem, örneğin mekanikte bir cisme etki eden kuvvetleri hesaplarken gereklidir. Vektör, fizikte oldukça sık kullanılır.

Bir izdüşüm gerçekleştirmek için, vektörün başlangıcından ve sonundan dikleri koordinat eksenlerinin her birine bırakmak yeterlidir, üzerlerinde elde edilen segmentlere vektörün eksene izdüşümü denir.

Projeksiyonun uzunluğunu hesaplamak için, bir mini problem çözülürken elde edilen belirli bir trigonometrik fonksiyon ile başlangıç ​​uzunluğunu çarpmak yeterlidir. Aslında, hipotenüsün orijinal vektör olduğu, bacaklardan birinin izdüşüm olduğu ve diğer bacağın dikey düştüğü bir dik açılı üçgen vardır.

Tanım Sıralı bir koleksiyona (x 1, x 2, ..., x n) n gerçek sayı denir n-boyutlu vektör, ve x i (i = 1, ..., n) sayıları bileşenler, veya koordinatlar,

Misal. Örneğin bir otomobil fabrikasının vardiya başına 50 araba, 100 kamyon, 10 otobüs, 50 takım araba yedek parça ve 150 takım kamyon ve otobüs üretmesi gerekiyorsa, bu fabrikanın üretim programı şu şekilde yazılabilir: beş bileşeni olan vektör (50, 100 , 10, 50, 150).

Notasyon. Vektörler, kalın küçük harflerle veya üstte bir çubuk veya ok bulunan harflerle gösterilir, örneğin, bir veya . iki vektör denir eşit aynı sayıda bileşene sahiplerse ve karşılık gelen bileşenleri eşitse.

Vektör bileşenleri değiştirilemez, örneğin (3, 2, 5, 0, 1) ve (2, 3, 5, 0, 1) farklı vektörlerdir.
Vektörler üzerinde işlemler.Ürüne görex= (x 1, x 2, ..., x n) λ gerçek sayısına göre bir vektör λ olarak adlandırılır x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Toplamx= (x 1, x 2, ..., xn) ve y= (y 1, y 2, ..., y n) vektörü olarak adlandırılır x + y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Vektörlerin uzayı. N-boyutlu vektör uzayı $ n, gerçek sayılarla çarpma ve toplama işlemlerinin tanımlandığı tüm n boyutlu vektörlerin kümesi olarak tanımlanır.

Ekonomik illüstrasyon. n-boyutlu vektör uzayının ekonomik gösterimi: mal alanı (mal). Altında emtia belli bir yerde belli bir zamanda satışa sunulan bazı mal veya hizmetleri anlayacağız. Elinizde sonlu sayıda öğe olduğunu varsayalım, n; tüketici tarafından satın alınan her birinin miktarları bir dizi mal ile karakterize edilir.

x= (x 1, x 2, ..., xn),

burada x i, tüketici tarafından satın alınan i-inci malın miktarını gösterir. Tüm malların keyfi bölünebilme özelliğine sahip olduğunu varsayacağız, böylece her birinin negatif olmayan herhangi bir miktarı satın alınabilir. O zaman tüm olası mal kümeleri, mal uzayının vektörleridir C = ( x= (x 1, x 2, ..., x n) x ben ≥ 0, ben = 1, ..., n).

Doğrusal bağımsızlık. sistem e 1 , e 2 , ... , e m n boyutlu vektörlere denir lineer bağımlıλ 1, λ 2, ..., λ m sayıları varsa, bunlardan en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde λ 1 e 1 + λm e m = 0; aksi takdirde, bu vektör sistemine denir Doğrusal bağımsız, yani, belirtilen eşitlik yalnızca tüm λ 1 = λ 2 = ... = λ m = 0 olduğunda mümkündür. Vektörlerin doğrusal bağımlılığının geometrik anlamı $ 3 yönlendirilmiş segmentler olarak yorumlanarak aşağıdaki teoremleri açıklayınız.

Teorem 1. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektör sıfır ise lineer bağımlıdır.

Teorem 2. İki vektörün lineer bağımlı olabilmesi için lineer (paralel) olmaları gerekli ve yeterlidir.

Teorem 3 ... Üç vektörün lineer olarak bağımlı olması için aynı düzlemde olmaları (aynı düzlemde olmaları) gerekli ve yeterlidir.

Vektörlerin sol ve sağ üçlüleri. Üç düzlemsel olmayan vektör bir, b, c aranan sağ gözlemci ortak kökenlerinden vektörlerin uçlarını geçerse bir, b, c gösterilen sırada, saat yönünde görünüyor. Aksi takdirde bir, b, c -sol üçlü... Vektörlerin tüm sağ (veya sol) üçlülerine denir eşit olarak odaklı.

Temel ve koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 eş düzlemsel olmayan vektör $ 3 denir temel ve vektörlerin kendileri e 1, e 2 , e 3 - temel... herhangi bir vektör bir temel vektörler cinsinden benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani şu şekilde temsil edilir

fakat= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

açılımında (1.1) x 1, x 2, x 3 sayılarına denir koordinatlarbir temelde e 1, e 2 , e 3 ve belirtilen bir(x 1, x 2, x 3).

Ortonormal taban. vektörler e 1, e 2 , e 3 çift diktir ve her birinin uzunluğu bire eşittir, o zaman taban denir ortonormal, ve koordinatlar x 1, x 2, x 3 - dikdörtgen. Ortonormal tabanın temel vektörleri ile gösterilecektir. ben, j, k.

uzayda olduğunu varsayacağız $ 3, Kartezyen dikdörtgen koordinatlarının doğru sistemi seçilir (0, ben, j, k}.

Vektör ürün.vektör ürünfakat vektör başına b vektör denir c, aşağıdaki üç koşul tarafından belirlenir:

1. Vektör uzunluğu c vektörler üzerine kurulmuş bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir bir ve b, yani
c= | bir || b | günah ( bir^b).

2. Vektör c vektörlerin her birine dik bir ve b.

3. Vektörler bir, b ve c belirtilen sırada alınan bir sağ üçlü oluşturur.

Vektör ürün için c notasyon tanıtıldı c =[ab] veya
c = bir × b.

vektörler bir ve b doğrusal, sonra günah ( bir ^ b) = 0 ve [ ab] = 0, özellikle, [ aa] = 0. Birim vektörlerin vektör ürünleri: [ ij]=k, [jk] = ben, [ki]=j.

vektörler bir ve b temelinde verilen ben, j, k koordinatlar bir(a 1, 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), sonra

Karışık iş. İki vektörün çapraz çarpımı ise fakat ve büçüncü vektörle çarpılan skaler c, o zaman üç vektörün böyle bir ürününe denir karışık iş ve sembolü ile gösterilir bir M.Ö.

vektörler bir, b ve c temelde ben, j, k koordinatları tarafından verilen
bir(a 1, 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), sonra

.

Karışık ürünün basit bir geometrik yorumu vardır - bu üç vektör üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacmine mutlak değerde eşit bir skalerdir.

Vektörler bir sağ üçlü oluşturuyorsa, bunların karışık çarpımı, belirtilen hacme eşit pozitif bir sayıdır; eğer üç a, b, c - sol, o zaman bir bc<0 и V = - bir bc, bu nedenle V = | bir b c |.

Birinci bölümdeki problemlerde karşılaşılan vektörlerin koordinatlarının sağ ortonormal tabana göre verildiği varsayılmıştır. Birim vektörden vektöre eş yönlü fakat, sembolü ile gösterilir fakat hakkında. Sembol r=OM M noktasının yarıçap vektörü ile gösterilir, semboller a, AB veya |a |, |AB | vektör modülleri fakat ve AB.

Misal 1.2. Vektörler arasındaki açıyı bulun bir= 2m+4n ve b= m-n nerede m ve n - birim vektörler ve aralarındaki açı m ve n 120 p'ye eşittir.

Karar... elimizde: çünkü φ = ab/ ab, ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2milyon=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; bir = ; bir 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16milyon+16n 2 = 4 + 16 (-0,5) + 16 = 12, yani a =. b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2milyon+n 2 = 1-2 (-0,5) +1 = 3, yani b =. Son olarak: cos φ == -1/2, φ = 120 o.

Örnek 1.3. vektörleri bilmek AB(-3, -2.6) ve M.Ö(-2,4,4), ABC üçgeninin AD yüksekliğinin uzunluğunu hesaplayın.

Karar... ABC üçgeninin alanını S ile göstererek, şunu elde ederiz:
S = 1/2 M.Ö. O zaman AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB ×klima |. AC = AB + BC, bu nedenle, vektör AC koordinatları var
.