Eserin metni, resim ve formüller olmadan yerleştirilmiştir.
Çalışmanın tam sürümü "Çalışma dosyaları" sekmesinde PDF formatında mevcuttur.

Giriş

6. sınıf öğrencisiyim. Geçen yıldan beri geometri çalışmaya başladım çünkü okulda “Matematik” ders kitabına göre çalışıyorum. Aritmetik. Geometri "Ye.A. Bunimoviç, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ve diğerleri.

Dikkatimi en çok "Rakamların kareleri", "Formüllerin çizilmesi" konuları çekti. Aynı şekillerdeki alanların farklı şekillerde bulunabileceğini fark ettim. Günlük yaşamda, genellikle bir alan bulma görevleriyle karşı karşıya kalırız. Örneğin, boyanacak zeminin alanını bulun. Ne de olsa, yenileme için gerekli miktarda duvar kağıdı satın almak için odanın boyutunu bilmeniz gerekir, yani. duvar alanı. Bir kare, dikdörtgen ve dik açılı üçgenin alanını hesaplamak benim için kolaydı.

Bu konuyla ilgilenmeye başladıktan sonra İnternette ek materyal aramaya başladım. Arama sonucunda Pick'in formülüne rastladım - bu, kareli kağıda çizilmiş bir çokgenin alanını hesaplamak için bir formül. Bu formülü kullanarak alanı hesaplamak bana her öğrenci için erişilebilir görünüyordu. Bu yüzden biraz araştırma yapmaya karar verdim.

Konunun alaka düzeyi:

Bu konu, geometri dersi çalışmasının bir ilavesi ve derinleştirilmesidir.

Bu konuyu incelemek, olimpiyatlara ve sınavlara daha iyi hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

İşin amacı:

Pick'in formülüne bakın.

Pick formülünü kullanarak geometrik problemleri çözme tekniklerinde ustalaşın.

Teorik ve pratik materyalleri sistematize edin ve özetleyin.

Araştırma hedefleri:

Problem çözmede formülü kullanmanın etkinliğini ve uygulanabilirliğini kontrol edin.

Peak formülünü değişen karmaşıklıktaki problemlerde uygulamayı öğrenin.

Pick formülü ve geleneksel yöntem kullanılarak çözülen sorunları karşılaştırın.

Ana bölüm

1.1. Tarihsel referans

Georg Alexander Pick, 10 Ağustos 1859 doğumlu Avusturyalı bir matematikçidir. Özel bir enstitüye başkanlık eden babası tarafından öğretilen yetenekli bir çocuktu. Georg, 16 yaşında liseden mezun oldu ve Viyana Üniversitesi'ne girdi. 20 yaşında fizik ve matematik öğretme hakkını aldı. Bir çokgen kafesinin alanını belirleme formülü ona dünya çapında ün kazandırdı. Formülünü 1899'da bir makalede yayınladı. Polonyalı bilim adamı Hugo Steinhaus 1969'da matematiksel fotoğrafların yayınlanmasına dahil ettiğinde popüler oldu.

Georg Pick, Viyana Üniversitesi'nde eğitim gördü ve 1880'de doktorasını savundu. Doktorasını tamamladıktan sonra Prag'daki Sherl-Ferdinand Üniversitesi'nde Ernest Mach'ın asistanlığına atandı. Orada da öğretmen oldu. 1927'de emekli olana kadar Prag'da kaldı ve ardından Viyana'ya döndü.

Peak, 1911'de matematiksel fizik bölümünde Einstein'ı profesör olarak atayan Prag Alman Üniversitesi'nde bir komiteye başkanlık etti.

Çek Sanat ve Bilim Akademisi üyeliğine seçildi, ancak Nazilerin Prag'ı ele geçirmesinden sonra ihraç edildi.

Naziler 12 Mart 1938'de Avusturya'ya girdiğinde Prag'a döndü. Mart 1939'da Naziler Çekoslovakya'yı işgal etti. 13 Temmuz 1942'de Peak, Naziler tarafından kuzey Bohemya'da kurulan Theresienstadt kampına sürüldü ve iki hafta sonra 82 yaşında öldü.

1.2. Araştırma ve kanıt

Araştırma çalışmalarıma şu soruyu açıklayarak başladım: Hangi rakamların alanlarını bulabilirim? Çeşitli üçgenlerin ve dörtgenlerin alanını hesaplamak için bir formül bulabilirdim. Peki ya beş, altı ve genel olarak çokgenlerle?

Çeşitli sitelerde araştırma yaparken, beş, altı ve diğer çokgenlerin alanını hesaplama problemlerine çözümler gördüm. Bu sorunları çözmenizi sağlayan formüle Pick formülü adı verildi. Şuna benziyor: S = B + G / 2-1 nerede İÇİNDE- poligonun içinde bulunan düğüm sayısı, D- poligonun sınırında yatan düğüm sayısı. Bu formülün özelliği, sadece kareli kağıda çizilen çokgenler için kullanılabilmesidir.

Bu tür herhangi bir çokgen, kafes düğümlerinde köşeleri olan ve içte veya yanlarda düğümler içermeyen üçgenlere kolayca bölünebilir. Tüm bu üçgenlerin alanlarının aynı ve ½'ye eşit olduğu ve bu nedenle çokgenin alanının sayısının yarısının olduğu gösterilebilir. T.

Bu sayıyı bulmak için çokgenin kenar sayısını n ile, İÇİNDE- içindeki düğüm sayısı, D- köşeler dahil, kenarlardaki düğüm sayısı. Tüm üçgenlerin iç açıları toplamı 180° dir. T.

Şimdi toplamı farklı bir şekilde bulalım.

Herhangi bir iç düğümde apeks ile açıların toplamı 2.180 ° 'dir, yani. açıların toplamı 360 ° dir. İÇİNDE; köşelerdeki değil, kenarlardaki düğümlerdeki açıların toplamı, ( G-n) 180° ve çokgenin köşelerindeki açıların toplamı ( G-2) 180°. Böylece, T = 2.180 °. B + (G-n) 180° + (n -2)180 °. Köşeli parantezleri genişletip 360°'ye böldükten sonra, bir çokgenin S alanı için Pick formülü olarak bilinen bir formül elde ederiz.

2. Pratik kısım

Bu formülü OGE-2017 koleksiyonundaki görevlerde kontrol etmeye karar verdim. Bir üçgen, dörtgen ve beşgenin alanını hesaplamak için görevler aldım. Cevapları karşılaştırmaya karar verdim, iki şekilde çözdüm: 1) Rakamları dikdörtgene ekledim ve ortaya çıkan dikdörtgenin alanından dik üçgenlerin alanını çıkardım; 2) Pick'in formülünü uyguladı.

S = 18-1.5-4.5 = 12 ve S = 7 + 12 / 2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 ve S = 7 + 12 / 2-1 = 12

Ö = 77-7.5-12-4.5-4 = 49 ve Ö = 43 + 14 / 2-1 = 49

Alınanları karşılaştırarak, her iki formülün de aynı cevabı verdiği sonucuna varıyorum. Peak formülünü kullanarak bir şeklin alanını bulmak, daha az hesaplama olduğu için daha hızlı ve daha kolay olduğu ortaya çıktı. Çözüm kolaylığı ve hesaplamalarda zamandan tasarruf, gelecekte OGE'yi geçerken benim için faydalı olacaktır.

Bu, Pick'in formülünü daha karmaşık şekillere uygulama olasılığını test etmemi istedi.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5 + 11 / 2-1 = 9,5

S = 4 + 16 / 2-1 = 1

Sonuç

Peak'in formülünün anlaşılması ve kullanılması kolaydır. Öncelikle sayabilmeniz, 2'ye bölmeniz, toplamanız ve çıkarmanız yeterlidir. İkincisi, çok fazla zaman harcamadan bir alan ve karmaşık bir şekil bulabilirsiniz. Üçüncüsü, bu formül herhangi bir çokgen için çalışır.

Dezavantajı ise Pick Formülünün sadece kareli kağıda çizilen şekiller için geçerli olması ve köşelerin hücrelerin düğümleri üzerinde bulunmasıdır.

Final sınavlarını geçerken, rakamların alanını hesaplama sorunlarının zorluklara neden olmayacağından eminim. Sonuçta, Pick'in formülünü zaten biliyorum.

bibliyografya

Bunimoviç E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. ve diğer Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. sınıf: eğitici. genel eğitim için. kuruluşlar elektrona. taşıyıcı-3. baskı -M.: Eğitim, 2014.- 223, s. : hasta. -(Küreler).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. ve diğer Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için. kuruluşlar-5. baskı.-M.: Eğitim, 2016.-240s. : hasta - (Küreler).

Vasilyev N.B. Pick'in formülü etrafında. // Miktar - 1974.-№2. -s.39-43

Rassolov V.V. Planimetri görevleri. / 5. baskı, Rev. Ve Ekle. - E.: 2006.-640'lar.

IV. Yashchenko, OGE. Matematik: tipik sınav seçenekleri: O-39 36 seçenek - M.: "Milli Eğitim" Yayınevi, 2017. -240 s. - (OGE. FIPI-okulu).

"OGE'yi çözeceğim": matematik. Dmitry Gushchin'in eğitim sistemi. OGE-2017: görevler, cevaplar, çözümler [Elektronik kaynak]. Erişim modu: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (tedavi tarihi 04/02/2017)

Bir figürün alanını hesaplama.

Seçim yöntemi

Irkutsk'ta 5B MBOU ortaokulu №23. sınıf öğrencisinin çalışması

Balsukova Alexandra

Başkan: T.G. Khodyreva

2014

Bir figürün alanını hesaplama. Seçim yöntemi

Çalışmanın amacı : kareli kağıt üzerindeki görevler

Çalışma konusu : kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanını hesaplama görevleri, çözümleri için yöntemler ve teknikler.

Araştırma Yöntemleri : karşılaştırma, genelleme, analojiler, literatür ve İnternet kaynakları çalışması, bilgi analizi.

Bu çalışmanın amacı:

ana, ilginç, anlaşılır bilgileri seçin

Alınan bilgileri analiz edin ve düzenleyin

Damalı kağıt üzerinde sorunları çözmek için farklı yöntem ve teknikler bulun

Pick formülünü kullanarak geometrik şekillerin alanlarını hesaplamak için formülleri kontrol edin

Toplanan materyali sunmak için çalışmanın elektronik bir sunumunu oluşturun

Geometri, zihinsel yeteneklerimizi keskinleştirmek için en güçlü araçtır ve doğru düşünmemizi ve akıl yürütmemizi sağlar.

(G. Galilei)

Konunun alaka düzeyi

Matematik tutkusu genellikle bir problem hakkında düşünmekle başlar. Bu nedenle, "Çokgen alanları" konusunu incelerken, ders kitabında tartışılan görevlerden farklı görevlerin olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Bu görevler, kareli kağıt üzerindeki görevleri içerir. Bu tür görevlerin özelliği nedir, kareli kağıt üzerinde problemleri çözmek için özel yöntem ve teknikler var mı? Matematik dersinde öğretmen bizi çokgenleri hesaplamak için ilginç bir yöntemle tanıştırdı. Bu konuyla ilgili literatürü, İnternet kaynaklarını incelemeye başladım. Damalı bir düzlemde, yani aynı karelerle kaplı sonsuz bir kağıt parçasında büyüleyici bir şey bulunabilir gibi görünüyor. Damalı kağıtla ilgili görevlerin oldukça çeşitli olduğu ortaya çıktı. Damalı bir kağıda çizilen çokgenlerin alanlarını nasıl hesaplayacağımı öğrendim. Kafesteki kağıt üzerindeki birçok problemin çözümü için genel bir kural, özel yöntem ve teknikler yoktur. Bu, belirli bir eğitimsel yetenek veya becerinin değil, genel olarak düşünme, yansıtma, analiz etme, analoji arama yeteneğinin geliştirilmesi için değerlerini belirleyen özellikleridir, yani bu görevler en geniş anlamda düşünme becerilerini geliştirir.

Ayrıca, Devlet Teftiş Kurumu ve Birleşik Devlet Sınavının kontrol ve ölçüm malzemelerinde bu tür görevlerin dikkate alındığını da öğrendim. Bu nedenle, bu materyalin incelenmesinin yalnızca ileri eğitim sürecinde değil, aynı zamanda standart olmayan Olimpiyat problemlerini çözmek için de uygulanması için yararlı olduğunu düşünüyorum.

2.Kare konsept

Alan- bu şeklin boyutunu gösteren iki boyutlu bir geometrik şeklin sayısal bir özelliği. Tarihsel olarak, alan hesaplaması denirdi . Alanı olan bir şekle denir kare .

Geometri açısından düz bir figürün alanı

1. Alan-Bir kenarı uzunluk birimine eşit olan bir kare olan standart bir şekle göre düz bir şeklin ölçüsü.

2. Alan- belirli bir sınıfın düz rakamlarına (örneğin, çokgenler) atfedilen sayısal bir özellik. Bir kenarı uzunluk birimine eşit olan bir karenin alanı, bir alan birimine eşit alındığında

3. Alan- sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip pozitif bir değer:

 Eşit parçalar eşit alanlara sahiptir;

 Bir şekil, basit şekiller olan parçalara bölünürse (yani, sonlu sayıda düz üçgene bölünebilenler), bu şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamına eşittir;

 Bir kenarı ölçü birimine eşit olan karenin alanı bire eşittir.

Böylece, alanın belirli bir değer olmadığı, ancak herhangi bir düz şeklin yalnızca bazı koşullu özelliklerini verdiği sonucuna varabiliriz. Rastgele bir şeklin alanını bulmak için, bir kenar uzunluğuna eşit kaç karenin tutabileceğini belirlemek gerekir. Örneğin, bir santimetre karenin tam olarak 6 kez sığdığı bir dikdörtgen alalım. Bu, dikdörtgenin alanının 6 cm2 olduğu anlamına gelir.

Tüm alanlar için minimum ölçü birimi olarak bir kenarı ölçü birimine eşit olan bir karenin alanının seçimi tesadüfi değildir. Bu, yüzyıllarca süren "doğal" seçilim sürecinde ortaya çıkan insanlar arasındaki bir anlaşmanın sonucudur. Ayrıca, ölçü birimi için başka öneriler de olmuştur. Bu nedenle, örneğin, bir eşkenar üçgenin alanının böyle bir birim olarak alınması önerildi (yani, herhangi bir düzlem figürü belirli sayıda eşkenar üçgenin “toplamı” olarak gösterilebilir), bu da alanların sayısal temsilinde bir değişiklik.

Böylece, alanları hesaplamak için formüller matematikte ortaya çıktı ve bir kişi tarafından hemen gerçekleştirilmedi - bu farklı dönemlerde ve farklı ülkelerde yaşayan birçok bilim insanı. (Hatalı formüller bilimde yer bulamamış ve unutulup gitmiştir). Gerçek formüller, modern görünümlerinde bize ulaşana kadar binlerce yıl boyunca desteklendi, düzeltildi ve doğrulandı.

çok aynı alan ölçümü verilen şeklin alanını, bir ölçü birimi olarak alınan şeklin alanıyla karşılaştırmaktan ibarettir. Karşılaştırma sonucunda, bu rakamın alanının belirli bir sayı-sayısal değeri elde edilir. Bu sayı, belirli bir şeklin alanının, alan için bir ölçü birimi olarak alınan şeklin alanından kaç kez daha büyük (veya daha az) olduğunu gösterir.

T Böylece, alanın, düz bir figürün bazı özelliklerini ölçmek için bir kişi tarafından tarihsel olarak tanıtılan yapay bir miktar olduğu sonucuna varabiliriz. Böyle bir değer girme ihtiyacı, belirli bir bölgenin ne kadar büyük olduğunu, bir tarlayı ekmek için ne kadar tahıl gerektiğini veya dekoratif karoları süslemek için zemin yüzey alanını hesaplamak için artan ihtiyaçtan kaynaklanıyordu.

tepe formülü

Kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanını tahmin etmek için, bu çokgenin kaç hücreyi kapsadığını hesaplamak yeterlidir (hücrenin alanını bir olarak alıyoruz). Daha doğrusu, eğerS Çokgenin alanıdır, B, tamamen çokgenin içinde bulunan hücre sayısıdır ve G, iç kısmı olan hücre sayısıdır. Yalnızca tüm köşeleri kareli kağıdın düğümlerinde bulunan çokgenleri - çokgen ızgara çizgilerinin en az bir ortak noktayla kesiştiği yerlerde - ele alacağız.

Kareli kağıda çizilen herhangi bir üçgenin alanı, kenarları çizilen üçgenin köşelerinden geçen ızgara çizgilerini takip eden dik üçgen ve dikdörtgenlerin alanlarının toplamı veya farkı olarak sunularak kolayca hesaplanabilir. .

Böyle bir çokgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki teoremi kullanabilirsiniz:

teorem . İzin vermek - çokgenin içindeki tam sayı noktalarının sayısı, - sınırındaki tamsayı noktalarının sayısı, - onun alanı. O zaman adilSeçim formülü:

Misal. Şekildeki çokgen içinL = 7 (kırmızı noktalar), 9 (yeşil noktalar), yaniS = 7+ 9/2 -1 = 10,5 kare birimler.

seçim teoremi- klasik sonuç ve .

Düğümlerinde köşeleri olan ve ne içte ne de kenarlarda (köşeler hariç) düğüm içermeyen bir üçgenin alanı 1/2'dir. Bu gerçek.

3. Tarih

Pick'in formülü Avusturyalı matematikçi Georg Alexander (1859-1942) tarafından St. ... Georg, 16 yaşında liseden mezun oldu ve... 20 yaşında fizik ve matematik öğretme hakkını aldı. 1884'te zirve için ayrıldı için ... Orada Klein'ın başka bir öğrencisiyle tanıştı.... Daha sonra, 1885'te geri döndü., bilimsel kariyerinin geri kalanını burada geçirdi.

Georg Pick, Einstein ile arkadaştı. Peak ve Einstein yalnızca bilimsel ilgi alanlarını paylaşmakla kalmadı, aynı zamanda müzik konusunda da tutkuluydu. Üniversite profesörlerinden oluşan bir dörtlüde çalan Pick, Einstein'ı Prag'daki bilim ve müzik topluluğuyla tanıştırdı.

Pick'in matematiksel ilgi alanları son derece genişti. Özellikle 50'den fazla bilimsel makalesi bulunmaktadır. Peak'in 1899'da keşfettiği bir çokgenin alanını hesaplamak için teoremi yaygın olarak bilinmektedir. Almanya'da bu teorem okul ders kitaplarında yer almaktadır.

4.Pick formülünün uygulamaları

Pick formülü sadece çokgenlerin alanlarını hesaplamak için değil, aynı zamanda Olimpiyat seviyesindeki birçok problemi çözmek için de kullanılır.

Sorunları çözmek için Tepe formülünü kullanmanın bazı örnekleri:

1) Satranç kralı, her birini ziyaret eden 8 × 8 hücrenin etrafında yürüdü

alanı tam olarak bir kez ve son hamle orijinaline geri dönecek şekilde yerleştirin

alan. Alanların merkezlerini seri olarak bağlayan kesik bir çizgi.

geçti kral, kendi kendine kesişme noktası yok. Hangi alan olabilir

bu çoklu çizgiyi sınırla? (Hücrenin kenarı 1'dir.)

Pick'in formülünden hemen şu sonuç çıkar:

mana, 64/2'ye eşittir - 1 = 31; burada kafesin merkezleri 64

alanlar ve koşul olarak hepsi çokgenin sınırında bulunur. Yani

Bu nedenle, kralın bu tür birçok "yörüngesi" olmasına rağmen, hepsi

eşit alanların çokgenlerini sınırlayın.

Kontrol ve ölçüm malzemeleri GIA ve USE'den görevler

B3'e meydan oku

1 cm 1 cm hücre boyutunda kareli kağıt üzerinde gösterilen şeklin alanını bulun (şekle bakın). Cevabınızı santimetre kare olarak veriniz.

4. Sonuç

Araştırma sürecinde referans, popüler bilim literatürü okudum. Izgara düğümlerinde köşeleri olan bir çokgenin alanını bulma probleminin, Pick'in olağanüstü formülünü kanıtlamak için 1899'da Avusturyalı matematikçi Pick'ten ilham aldığını öğrendim.

Çalışmalarım sonucunda damalı kağıt üzerinde problem çözme bilgimi genişlettim, kendim için incelenen problemlerin sınıflandırmasını belirledim ve çeşitliliklerine ikna oldum.

Damalı bir kağıda çizilen çokgenlerin alanlarını nasıl hesaplayacağımı öğrendim.Değerlendirilen görevlerin farklı zorluk seviyeleri var - basitten Olimpiyat'a. Herkes, aralarında, daha zor olanları çözmeye devam etmenin mümkün olacağı, uygulanabilir bir karmaşıklık seviyesindeki görevleri bulabilir.

Beni ilgilendiren konunun oldukça çok yönlü olduğu, kareli kağıt üzerindeki görevlerin çeşitli olduğu, çözüm yöntem ve tekniklerinin de çeşitli olduğu sonucuna vardım. Bu nedenle bizimkilerde bu yönde çalışmaya devam etme kararı aldım.

5. Kullanılan literatür:

(1) N.B. Vasil'ev, Pik formülü etrafında, Kvant. - 1974. - No. 12

2.Kökse Prasolov V.V. Planimetri görevleri. - M.: MTsNMO, 2006. ter G. S.M. Geometriye giriş. - Moskova: Nauka, 1966

3.Roslova L.O., Sharygin I.F. Ölçümler. - M.: İzd. Açık Dünya, 2005.

İnternet kaynakları:

:

İş için geri bildirim

“Düz rakamların alanlarının hesaplanması. Yöntemi Seç "

Bu konunun dikkate alınması, daha sonra geometri derslerinde çizimin uyumunu görmeye başlayacak ve geometriyi (ve genel olarak matematiği) sıkıcı bir bilim olarak algılamayı bırakacak olan öğrencinin bilişsel aktivitesini artıracaktır.

Bir matematik öğretmeni tarafından gözden geçirildi

Khodyreva Tatyana Georgievna

Sunumların önizlemesini kullanmak için kendinize bir Google hesabı (hesabı) oluşturun ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Ortaokul öğrencisi tarafından №7 8 "A" sınıfı Yunosheva Ksenia Öğretmen: Babina Natalya Alekseevna Salsk 2011 "Formula Pika"

Çalışmanın amaçları: Bir kafes çokgeninin alanını bulmak için okul müfredatından farklı bir formülün varlığının açıklanması. Aranan formülün uygulama alanları.

Giriş. Genel eğitim okullarında alınan matematik eğitimi, modern bir insanın genel eğitiminin ve genel kültürünün önemli bir bileşenidir. Bu aşamada, okul sistemi on bir yıllık eğitim için tasarlanmıştır. On birinci sınıfın sonundaki tüm öğrenciler, okul boyunca kazandıkları bilgi düzeyini gösterecek olan Birleşik Devlet Sınavına girmek zorunda kalacaklar. Ancak okul müfredatı, herhangi bir sorunu çözmek için her zaman en rasyonel yolları sağlamaz. Örneğin, 2010 yılındaki sınav sonuçlarına baktığınızda, birçok öğrencinin B6 görevi nedeniyle puan kaybettiğini görebilirsiniz. Kendime nasıl zamandan tasarruf edebileceğinizi ve bu görevi doğru bir şekilde nasıl çözebileceğinizi hedef koydum.

Görev B6. Şekiller kareli kağıt üzerinde 1 cm x 1 cm boyutlarında hücrelerle gösterilmiştir (şekle bakınız). Alanlarını santimetre kare olarak bulun.

Bu yüzden, bu sorunu çözmek için 8. sınıfta çalıştığımız alanı bulmak için formülleri uygulamam gerekiyor. Ama çok zaman alacak ve sorulan soruyu olabildiğince çabuk cevaplamam gerekiyor, çünkü sınav süresi kesinlikle sınırlıdır. Bu nedenle, araştırma yaptıktan sonra, okul müfredatında işlenmeyen ancak görevle daha hızlı başa çıkmama yardımcı olacak Pick teoremi olduğunu öğrendim.

Tarihsel referans. Georg Alexander Pick (10 Ağustos 1859 - 26 Temmuz 1942) Avusturyalı bir matematikçiydi. Terezin toplama kampında öldü. Bugün, bir çokgen kafesinin alanını belirlemek için Peak formülü ile bilinir. Formülünü 1899'da bir makalede yayınladı ve Hugo Steinhaus'un 1969'da matematiksel bir fotoğraf yayınına dahil etmesiyle popüler oldu. Peak, Viyana Üniversitesi'ne girdi ve 1880'de doktorasını tamamladı. Doktorasını tamamladıktan sonra Prag'daki Sherl-Ferdinand Üniversitesi'nde Ernest Mach'ın asistanlığına atandı. 1881'de orada öğretmen oldu. 1884 yılında üniversiteden tatil alarak Leipzig Üniversitesi'nde Felix Klein ile çalışmaya başladı. 1927'de emekli olana kadar Prag'da kaldı ve ardından Viyana'ya döndü. Peak, (o zamanki) Prag Alman Üniversitesi'nde, Albert Einstein'ı 1911'de matematiksel fizik bölümünde profesör olarak atayan bir komiteye başkanlık etti. Pik, Çek Sanat ve Bilim Akademisi üyeliğine seçildi, ancak Nazilerin Prag'ı ele geçirmesinden sonra ihraç edildi. 1927'de emekli olduktan sonra Peak, doğduğu şehir olan Viyana'ya döndü. Anschluss'tan sonra, Naziler 12 Mart 1938'de Avusturya'ya girdiğinde Peak Prag'a döndü. Mart 1939'da Naziler Çekoslovakya'yı işgal etti. Georg, 13 Temmuz 1942'de Terezin toplama kampına gönderildi. İki hafta sonra öldü.

Pick teoremi. Pick teoremi, sayıların kombinatoryal geometrisi ve geometrisinin klasik bir sonucudur. Tamsayı köşeleri olan bir çokgenin alanı, B + G / 2 - 1 toplamına eşittir, burada B, çokgenin içindeki tamsayı noktalarının sayısıdır ve G, çokgenin sınırındaki tamsayı noktalarının sayısıdır.

Pick teoreminin gururunun kanıtı. Bu tür herhangi bir çokgen, kafes düğümlerinde köşeleri olan ve içte veya yanlarda düğümler içermeyen üçgenlere kolayca bölünebilir. Tüm bu üçgenlerin alanlarının aynı ve 1/2'ye eşit olduğu ve bu nedenle çokgenin alanının T sayısının yarısı olduğu gösterilebilir. Bu sayıyı bulmak için, n sayısını gösteririz. çokgenin kenarları, i - içindeki düğüm sayısı ve b - köşeler dahil kenarlardaki düğüm sayısı. Tüm üçgenlerin açılarının toplamı πТ'dir. Şimdi bu miktarı farklı bir şekilde bulalım. Herhangi bir iç düğümde tepe noktası olan açıların toplamı 2 π'dir, yani bu tür açıların toplamı 2 π i'dir; köşelerdeki değil kenarlardaki düğümlerdeki açıların toplamı (b - n) π'dir ve çokgenin köşelerindeki açıların toplamı (n - 2) π'dir. Böylece, π T = 2i π + (b - n) π + (n - 2) π, buradan çokgenin S alanı için Pick formülü olarak bilinen bir ifade elde ederiz. Örneğin, şekilde b = 9, i = 24 ve bu nedenle çokgenin alanı 27,5'tir.

Uygulama. Yani, görev B6'ya dönelim. Şimdi yeni formülü bildiğimize göre bu dörtgenin alanını kolayca bulabiliriz. B - 5'ten beri; Г - 14, sonra 5 + 14: 2-1 = 11 (cm kare) Bu dörtgenin alanı 11 cm karedir.

Aynı formülü kullanarak bir üçgenin alanını bulabiliriz. B-14, G-10 olduğundan, 14 + 10: 2-1 = 18 (cm kare) Bu üçgenin alanı 18 cm karedir.

B-9, G-12 ise, o zaman: 9 + 12: 2-1 = 14 (cm kare) Bu dörtgenin alanı 14 cm karedir.

Formülün uygulama alanları. Formülün çeşitli sınavlarda, ödevlerde vb. kullanılmasının yanı sıra etrafımızdaki tüm dünyaya eşlik etmektedir.

Tepe formülüne göre S = B + ½ G-1 1) gövde B = 9, G = 26, S = 9 + ½ 26-1 = 9 + 13-1 = 21 2) kuyruk B = 0, G = 8 , S = 0 + ½ 8 -1 = 3 3) S = 21 + 3 = 24

Tepe formülüne göre S = B + ½ G-1 B = 36, G = 21 S = 36 + ½ · 21 -1 = 36 + 10.5-1 = 45,5

Sonuç. Sonuç olarak, okul müfredatında işlenmeyen bir alanı bulma problemlerini çözmenin birçok farklı yolu olduğu sonucuna vardım ve bunları Pick formülü örneğini kullanarak gösterdim.

Dizin. Kendinden kesişimi olmayan bir çokgene, tüm köşeleri tamsayı koordinatlarına sahip noktalarda ise (Kartezyen koordinat sisteminde) kafes denir. Her iki koordinatı da tamsayıysa, koordinat düzleminin bir noktasına tamsayı denir.