NASA, Temmuz 2020'de Mars'a bir keşif seferi başlatacak. Uzay aracı, Mars'a, keşif gezisinin tüm kayıtlı üyelerinin isimleriyle birlikte bir elektronik taşıyıcı teslim edecek.

Bu gönderi sorununuzu çözdüyse veya beğendiyseniz, bağlantıyı sosyal ağlarda arkadaşlarınızla paylaşın.

Bu kod türevlerinden biri kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasına yapıştırılmalıdır. ve veya etiketten hemen sonra ... İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı daha az yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek, MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu eklerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli olarak izlemeniz gerekmez.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'te: sitenizin kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir pencere öğesi ekleyin, yukarıda sunulan yükleme kodunun birinci veya ikinci sürümünü ona kopyalayın ve pencere öğesini yakına yerleştirin. şablonun başlangıcı (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML biçimlendirme sözdizimini öğrenin ve web sitenizin web sayfalarına matematik formülleri yerleştirmeye hazırsınız.

Başka bir Yeni Yıl Arifesi ... soğuk hava ve pencere camında kar taneleri ... Bütün bunlar beni tekrar ... fraktallar ve Wolfram Alpha'nın bildikleri hakkında yazmaya sevk etti. Bununla ilgili iki boyutlu fraktal yapıların örneklerini içeren ilginç bir makale var. Burada daha karmaşık 3B fraktal örneklerine bakacağız.

Bir fraktal, ayrıntıları orijinal şeklin kendisiyle aynı şekle sahip olan geometrik bir şekil veya gövde (her ikisinin de bir küme olduğu, bu durumda bir nokta kümesi olduğu anlamına gelir) olarak görselleştirilebilir (tanımlanabilir). Yani, büyütme ile aynı şekli göreceğimiz, detayları göz önüne alındığında, kendine benzer bir yapıdır. Normal bir geometrik şekil (fraktal değil) durumunda ise, yakınlaştırdığımızda, orijinal şeklin kendisinden daha basit bir şekle sahip olan detayları göreceğiz. Örneğin, yeterince yüksek bir büyütmede, elipsin bir kısmı bir çizgi parçası gibi görünür. Bu, fraktallarda olmaz: Onlardaki herhangi bir artışla, her artışta tekrar tekrar tekrar edecek olan aynı karmaşık şekli tekrar göreceğiz.

Fraktal biliminin kurucusu Benoit Mandelbrot, Fraktallar ve Bilim için Sanat adlı makalesinde şunları yazdı: bütün, bir bütün gibi ya da tam olarak ya da belki hafif bir deformasyonla görünecek."

Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız var. Bir sonraki okul yılı sona eriyor, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı daha da yakınlaştırmak için hemen işe koyuluyorum:

Alanla başlayalım. Koşulda belirtilen alan, sınırlı kapalı uçaktaki noktalar kümesi. Örneğin, BÜTÜN üçgeni de dahil olmak üzere bir üçgenle sınırlanan bir dizi nokta (eğer sınırlar En az bir noktayı "çıkartın", daha sonra alan kapanacaktır)... Uygulamada ayrıca dikdörtgen, yuvarlak ve biraz daha karmaşık şekillerde alanlar da vardır. Matematiksel analiz teorisinde katı tanımların verildiğine dikkat edilmelidir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ama bence herkes bu kavramların sezgisel düzeyde farkında ve şimdi daha fazlasına gerek yok.

Düz bir alan genellikle bir harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak ayarlanır - birkaç denklemle (doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik ciro: "çizgilerle sınırlanmış kapalı alan."

Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki bir alanın inşasıdır. Nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgilerin çizilmesi gerekir (bu durumda, 3 Düz) ve ne olduğunu analiz edin. İstenen alan genellikle hafifçe taranır ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulanır:


Aynı alan ayarlanabilir ve doğrusal eşitsizlikler:, nedense daha sık olarak numaralandırılmış bir liste olarak yazılır ve sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan, tüm eşitsizlikler elbette, gevşek.

Ve şimdi sorunun özü. Orijinden doğrudan size doğru uzanan bir eksen hayal edin. bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde bölgenin noktası. Bu fonksiyonun grafiği bazı yüzey, ve bugünün sorununu çözmek için bu yüzeyin nasıl göründüğünü bilmemize gerek olmadığı gerçeğinde küçük bir mutluluk yatıyor. Daha yükseğe, daha aşağıya yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - tüm bunlar önemli değildir. Ve şu önemlidir: göre Weierstrass teoremleri, sürekli içinde sınırlı kapalı alan, fonksiyon maksimuma ulaşır (en yüksek") ve en küçüğü (en düşük") bulmak istediğiniz değerler. Bu tür değerler elde edilir veya içinde sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu alanın sınırında yatan noktalarda. Basit ve şeffaf bir çözüm algoritmasını izleyenlerden:

örnek 1

Sınırlı bir kapalı alanda

Karar: Her şeyden önce, çizimdeki alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Ne yazık ki, problemin etkileşimli bir modelini yapmak benim için teknik olarak zor ve bu nedenle, çalışma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son örneği hemen vereceğim. Genellikle bulundukları gibi birbiri ardına yapıştırılırlar:

Önsöze dayanarak, kararı iki noktaya bölmek uygundur:

I) Durağan noktaları bulun. Bu, derste tekrar tekrar yaptığımız standart bir eylemdir. birkaç değişkenin ekstremi:

Sabit nokta bulundu ait alanlar: (çizimde işaretleyin), bu, fonksiyonun değerini bu noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:

- makaledeki gibi Segment üzerindeki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, önemli sonuçları kalın harflerle vurgulayacağım. Bunları bir defterde kalemle özetlemek uygundur.

İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok ekstremum için yeterli koşul... Neden? Bir noktada fonksiyon ulaşsa bile, örneğin, yerel minimum, o zaman HALA elde edilen değerin olacağı ANLAMINA GELMİYOR en az bölge genelinde (dersin başlangıcına bakın koşulsuz ekstrema hakkında) .

Ya durağan nokta alana ait DEĞİLSE? Hemen hemen hiçbir şey! Unutulmamalı ve bir sonraki noktaya geçilmelidir.

II) Bölgenin sınırlarını keşfedin.

Bordür bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt bölüme ayırmakta yarar vardır. Ama hiçbir şekilde yapmamak daha iyidir. Benim bakış açıma göre, ilk başta koordinat eksenlerine paralel olan segmentleri ve her şeyden önce - eksenlerin üzerinde bulunanları düşünmek daha avantajlıdır. Tüm sırayı ve eylemlerin mantığını kavramak için, "tek seferde" bitişi incelemeye çalışın:

1) Üçgenin alt tarafıyla ilgilenelim. Bunu yapmak için, doğrudan işlevin yerine geçeriz:

Alternatif olarak, bunu şu şekilde düzenleyebilirsiniz:

Geometrik olarak bu, koordinat düzleminin (ki bu da denklem tarafından verilir)"Oymak" yüzey Köşesi hemen şüphe altına giren bir "uzaysal" parabol. Hadi bulalım O nerede:

- elde edilen değer alana "girdi" ve bu noktada olabilir (çizimde işaretleyin) fonksiyon, tüm alandaki en yüksek veya en düşük değere ulaşır. Öyle ya da böyle, hesaplamalar yapıyoruz:

Diğer "adaylar", elbette, segmentin sonlarıdır. Fonksiyonun değerlerini noktalarda hesaplıyoruz (çizimde işaretleyin):

Bu arada, "soyulmuş" versiyonu kullanarak sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz:

2) Üçgenin sağ tarafını incelemek için, onu işlevin yerine koyarız ve "oradaki şeyleri sıraya koyarız":

Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çıkararak" hemen kaba bir kontrol yapacağız:
, iyi.

Geometrik durum bir önceki noktayla ilgilidir:

- elde edilen değer de "ilgi alanlarımıza dahildir", bu da görünen noktada fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:

Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:

işlevi kullanma , Hadi kontrol edelim:

3) Muhtemelen herkes kalan tarafı nasıl keşfedeceğini biliyor. Fonksiyonda yerine koyarız ve basitleştirmeler yaparız:

Segment biter zaten araştırdık, ancak taslakta işlevi doğru bulup bulmadığımızı hala kontrol ediyoruz :
- 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
- 2. alt paragrafın sonucu ile çakıştı.

Segmentin içinde ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalır:

- var! Denklemde düz bir çizgi koyarak, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:

Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:

Hesaplamaları "bütçe" versiyonuna göre kontrol edelim :
, sipariş.

Ve son adım: DİKKATLİCE tüm "şişman" sayılara bakıyoruz, yeni başlayanlara tek bir liste bile yapmalarını tavsiye ediyorum:

içinden en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap bulma probleminin üslubunda yazıyoruz segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:

Her ihtimale karşı tekrar yorum yapacağım geometrik anlam sonuç:
- işte bölgedeki yüzeyin en yüksek noktası;
- işte bölgedeki yüzeyin en alçak noktası.

Analiz edilen problemde 7 "şüpheli" nokta belirledik, ancak sayıları görevden göreve değişiyor. Üçgen bir alan için minimum "araştırma seti" üç noktadır. Bu, örneğin bir işlev ayarlandığında olur. uçak- Durağan noktaların olmadığı oldukça açıktır ve fonksiyon sadece üçgenin köşelerinde en büyük/en küçük değerlere ulaşabilir. Ancak bir veya iki kez bu tür birçok örnek var - genellikle bazılarıyla uğraşmak zorundasınız. 2. sıranın yüzeyi.

Bu tür görevleri biraz çözerseniz üçgenler başınızı döndürebilir ve bu yüzden size kare yapmak için sıra dışı örnekler hazırladım :))

Örnek 2

En Büyük ve En Küçük Fonksiyon Değerlerini Bulun çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda

Örnek 3

Sınırlı bir kapalı alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Bölge sınırlarını keşfetmenin rasyonel düzenine ve tekniğine ve ayrıca hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek ara kontroller zincirine özellikle dikkat edin. Genel olarak konuşursak, istediğiniz gibi çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin aynı Örnek 2'de, hayatınızı önemli ölçüde karmaşıklaştırma şansı vardır. Dersin sonunda bitirme ödevlerine yaklaşık bir örnek.

Çözüm algoritmasını sistematize edelim, aksi takdirde, bir örümcek olarak titizliğimle, bir şekilde 1. örnekteki uzun yorum dizisinde kayboldu:

- İlk adımda, bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelendirmek ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamak isteniyor. Çözüm sırasında, çizime yerleştirilmesi gereken noktalar görünecektir.

- Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlarda alana ait olanlar. Metinde elde edilen değerleri seçiyoruz (örneğin, bunları bir kalemle çiziyoruz). Eğer durağan nokta bölgeye ait DEĞİLSE, bu durumu bir simge veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç durağan nokta yoksa, onların bulunmadığına dair yazılı bir sonuç çıkarıyoruz. Her durumda, bu öğe atlanamaz!

- Bölgenin sınırını keşfedelim. İlk olarak, koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgilerle uğraşmak faydalıdır. (varsa)... Ayrıca "şüpheli" noktalarda hesaplanan fonksiyonun değerlerini de vurguluyoruz. Yukarıda çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey söylenecek - okuyun, tekrar okuyun, araştırın!

- Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçip cevabı veriniz. Bazen, fonksiyonun bu değerlere aynı anda birkaç noktada ulaştığı olur - bu durumda, tüm bu noktalar cevaba yansıtılmalıdır. Örneğin, ve en küçük değer olduğu ortaya çıktı. O zaman şunu yazarız

Son örnekler, pratikte kullanışlı olacak diğer faydalı fikirlere ayrılmıştır:

Örnek 4

Kapalı bir alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun .

Bölgenin çift eşitsizlik olarak verildiği yazarın formülasyonunu tuttum. Bu koşul, bu problem için eşdeğer bir sistem veya daha geleneksel bir biçimde yazılabilir:

sana hatırlatırım o zamandan beri doğrusal olmayanüzerinde eşitsizlikler ile karşılaştık ve eğer notasyonun geometrik anlamını anlamadıysanız lütfen ertelemeyin ve durumu hemen netleştirin ;-)

Karar, her zaman olduğu gibi, bir tür "taban" olan bir alan inşa etmekle başlar:

Hmm, bazen sadece bilimin granitini kemirmen gerekir….

I) Durağan noktaları bulun:

Sistem aptalının rüyası :)

Bölgeye ait sabit bir nokta, yani sınırında yer alır.

Ve öyle değil, hiçbir şey ... ders neşeyle geçti - doğru çayı içmenin anlamı bu =)

II) Bölgenin sınırlarını keşfedin. Lafı fazla uzatmadan apsis ile başlayalım:

1) Eğer, o zaman

Parabolün tepe noktasının nerede olduğunu bulun:
- böyle anları takdir edin - her şeyin zaten açık olduğu noktada "vurun". Ama yine de kontrol etmeyi unutmuyoruz:

Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

2) "Tek" "tek oturuşta" alt kısmı ile ilgileneceğiz - herhangi bir kompleks olmadan, onu fonksiyona değiştiriyoruz, ayrıca sadece segmentle ilgileneceğiz:

Kontrol:

Bu, tırtıllı pistte monoton sürüşe şimdiden bir miktar canlanma getiriyor. Kritik noktaları bulalım:

Çözeriz ikinci dereceden denklem, bunu bir daha hatırladın mı? ... Ancak, elbette, unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Önceki iki örnekte ondalık kesirlerdeki hesaplamalar uygun olsaydı (bu arada, nadirdir), burada bekliyoruz olağan sıradan kesirler. “X” köklerini buluyoruz ve “aday” noktaların ilgili “oyun” koordinatlarını belirlemek için denklemi kullanıyoruz:


Bulunan noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

Fonksiyonu kendiniz kontrol edin.

Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz Cevap:

Bunlar "adaylar", yani "adaylar"!

Bağımsız bir çözüm için:

Örnek 5

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun kapalı bir alanda

Kıvrımlı parantezli bir giriş şöyledir: "bir dizi nokta, öyle ki".

Bazen bu tür örneklerde kullandıkları Lagrange çarpanı yöntemi, ancak gerçek uygulama ihtiyacının ortaya çıkması olası değildir. Bu nedenle, örneğin, aynı "de" etki alanı ile bir fonksiyon verilirse, o zaman ikame edildikten sonra - zorluk olmayan bir türevle; üstelik, üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı düşünmeye gerek kalmadan her şey "tek bir satırda" (işaretlerle) çizilir. Ancak, elbette, Lagrange fonksiyonunun olmadığı daha karmaşık durumlar da vardır. (örneğin, dairenin aynı denklemi) yönetmek zor - iyi bir dinlenmeden yapmak ne kadar zor!

Herkesin seansı geçmesi ve önümüzdeki sezon yakında görüşürüz!

Çözümler ve Cevaplar:

Örnek 2: Karar: çizimdeki alanı tasvir edin:

Bu hizmet ile şunları yapabilirsiniz: en büyük ve en küçük fonksiyon değerini bulun Word'deki çözümün tasarımı ile bir değişken f (x). f (x, y) fonksiyonu verilmişse, bu nedenle, iki değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Ayrıca fonksiyonun artan ve azalan aralıklarını da bulabilirsiniz.

İşlev giriş kuralları:

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli bir koşul

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)> 0

O zaman x* noktası, fonksiyonun yerel (küresel) minimumunun noktasıdır.

x * noktasında ise aşağıdaki koşul karşılanır:

F "0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)< 0

O zaman x * noktası yerel (küresel) maksimumdur.

Örnek 1. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun: segmentte.
Karar.

Bir kritik nokta x 1 = 2 (f '(x) = 0). Bu nokta doğru parçasına aittir. (0∉ olduğundan x = 0 noktası kritik değildir).
Segmentin uçlarında ve kritik noktada fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz.
f (1) = 9, f (2) = 5/2, f (3) = 3 8/81
Cevap: x = 2'de f min = 5/2; x = 1'de f max = 9

Örnek 2. Daha yüksek dereceli türevleri kullanarak, y = x-2sin (x) fonksiyonunun ekstremumunu bulun.
Karar.
Fonksiyonun türevini bulun: y '= 1-2cos (x). Kritik noktaları bulun: 1-cos (x) = 2, cos (x) = ½, x = ± π / 3 + 2πk, k∈Z. y '' = 2sin (x) buluyoruz, hesaplıyoruz, yani x = π / 3 + 2πk, k∈Z fonksiyonun minimum noktalarıdır; , yani x = - π / 3 + 2πk, k∈Z fonksiyonun maksimum noktalarıdır.

Örnek No. 3. x = 0 noktasının yakınında fonksiyonun ekstremumunu keşfedin.
Karar. Burada fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Ekstremum x = 0 ise, türünü (minimum veya maksimum) bulun. Bulunan noktalar arasında x = 0 yoksa, f (x = 0) fonksiyonunun değerini hesaplayın.
Belirli bir noktanın her iki tarafındaki türev işaretini değiştirmediğinde, türevlenebilir fonksiyonlar için bile olası durumlar tükenmez: x 0 noktasının bir tarafında keyfi olarak küçük bir komşuluk için veya her iki tarafta türev işareti değişir. Bu noktalarda ekstremum fonksiyonlarını incelemek için başka yöntemler uygulamak gerekir.

4. Örnek. 49 sayısını, çarpımı en büyük olacak şekilde iki terime bölün.
Karar. İlk terim olarak x'i gösterelim. O halde (49-x) ikinci terimdir.
Ürün maksimum olacaktır: x (49-x) → maks

Bir grafiği kullanarak bir fonksiyonu nasıl keşfedeceğimizi görelim. Grafiğe bakarak bizi ilgilendiren her şeyi bulabileceğiniz ortaya çıktı, yani:

• fonksiyon alanı
• fonksiyon aralığı
• fonksiyon sıfırları
• artan ve azalan aralıklar
• maksimum ve minimum puan
• segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri.

Terminolojiyi açıklığa kavuşturalım:

apsis noktanın yatay koordinatıdır.
ordinate dikey koordinattır.
apsis ekseni- çoğunlukla eksen olarak adlandırılan yatay bir eksen.
Y ekseni- dikey eksen veya eksen.

argüman fonksiyonun değerlerinin bağlı olduğu bağımsız değişkendir. Çoğu zaman belirtilir.
Başka bir deyişle, biz kendimiz seçeriz, formüle fonksiyonları koyarız ve alırız.

Alan adı işlevler - işlevin bulunduğu bağımsız değişkenin bu (ve yalnızca bu) değerlerinin kümesi.
Şununla gösterilir: veya.

Şeklimizde, fonksiyonun etki alanı bir segmenttir. Bu segment üzerinde fonksiyonun grafiği çizilir. Sadece burada bu fonksiyon var.

Fonksiyon aralığı bir değişkenin aldığı değerler kümesidir. Resmimizde, bu bir segmenttir - en düşük değerden en yüksek değere.

fonksiyon sıfırları- fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu noktalar, yani. Bizim şeklimizde bunlar noktalar ve.

Fonksiyon değerleri pozitiftir nerede . Figürümüzde bunlar boşluklar ve.
Fonksiyon değerleri negatif nerede . Şu aralığa (veya aralığa) sahibiz.

En önemli kavramlar şunlardır artan ve azalan fonksiyon bazı sette. Bir küme olarak, bir segment, bir aralık, bir aralık birleşimi veya tüm sayı doğrusu alabilirsiniz.

fonksiyon artıyor

Başka bir deyişle, ne kadar çok, yani grafik sağa ve yukarı gider.

fonksiyon azalır kümede, varsa ve kümeye aitse, eşitsizlik eşitsizlikten çıkar.

Azalan bir fonksiyon için, daha büyük bir değer daha küçük bir değere karşılık gelir. Grafik sağa ve aşağı gidiyor.

Şeklimizde, fonksiyon aralıkta artar ve aralıklarda azalır.

Ne olduğunu tanımlayalım fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

Maksimum nokta- bu, tanım alanının dahili bir noktasıdır, öyle ki, içindeki fonksiyonun değeri, ona yeterince yakın olan tüm noktalardan daha büyüktür.
Başka bir deyişle, maksimum nokta böyle bir noktadır, fonksiyonun değeri Daha komşularından daha. Bu, grafikte yerel bir "höyük".

Bizim şeklimizde - maksimum nokta.

Asgari puan- tanım alanının bir iç noktası, öyle ki içindeki fonksiyonun değeri, ona yeterince yakın olan tüm noktalardan daha azdır.
Yani, minimum nokta, içindeki fonksiyonun değeri komşu olanlardan daha az olacak şekildedir. Bu, grafikte yerel bir “delik”.

Resmimizde - minimum nokta.

Nokta sınırdır. Tanım alanının bir iç noktası değildir ve bu nedenle maksimum nokta tanımına uymaz. Sonuçta, solda komşusu yok. Aynı şekilde, grafiğimizde minimum bir nokta olamaz.

Maksimum ve minimum noktalar topluca denir fonksiyonun uç noktaları... Bizim durumumuzda, bu ve.

Ve örneğin bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız? minimum fonksiyon segmentte mi? Bu durumda, cevap. Çünkü minimum fonksiyon minimum noktadaki değeridir.

Aynı şekilde, fonksiyonumuzun maksimumu. Bir noktada ulaşılır.

Fonksiyonun ekstremalarının ve'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Bazen görevlerde bulmanız gereken en büyük ve en küçük fonksiyon değerleri belirli bir segmentte. Mutlaka aşırı uçlarla çakışmazlar.

bizim durumumuzda en küçük fonksiyon değeri segmentteki, fonksiyonun minimumuna eşittir ve onunla çakışır. Ancak bu segmentteki en büyük değeri eşittir. Doğru parçasının sol ucundan ulaşılır.

Her durumda, bir segment üzerindeki sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, segmentin uç noktalarında veya uçlarında elde edilir.

Bir fonksiyonun en büyük değerine en büyük, en küçük değerine tüm değerlerinden en küçüğü denir.

Bir fonksiyon yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değere sahip olabilir veya hiç sahip olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulmak, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y = f (x) fonksiyonu sürekli ise ve sadece bir ekstremumu varsa ve bu bir maksimum (minimum) ise, o zaman fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) f (x) fonksiyonu bir segmentte sürekli ise, bu segmentte mutlaka en büyük ve en küçük değerlere sahiptir. Bu değerlere ya segment içinde kalan uç noktalarda veya bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemayı kullanmanız önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun = 0 veya olmadığı kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyonun değerlerini kritik noktalarda ve segmentin uçlarında bulun ve bunlardan en büyük f naib ve en küçük f naimi seçin.

Uygulamalı problemleri, özellikle optimizasyon problemlerini çözerken, X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (global maksimum ve global minimum) bulma problemleri önemlidir.Bu tür problemleri çözmek için, koşul, bağımsız bir değişken seçin ve araştırılan değeri bu değişken cinsinden ifade edin. Ardından, elde edilen fonksiyonun istenen en büyük veya en küçük değerini bulun. Bu durumda bağımsız değişkenin sonlu veya sonsuz olabilen varyasyon aralığı da problem ifadesinden belirlenir.

Misal. Dikdörtgen paralelyüzlü, üstü açık kare tabanlı olan tankın içi kalay ile dışarı çıkarılması gerekiyor. 108 litre kapasiteli tankın boyutları ne olmalıdır. su böylece kalaylama maliyeti minimumdur?

Karar. Belirli bir kapasite için yüzeyi minimum ise, bir tankı kalay ile kaplamanın maliyeti en düşük olacaktır. Bir dm - tabanın yanını, b dm - tankın yüksekliğini gösterelim. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

VE

Ortaya çıkan ilişki, tank S'nin (fonksiyon) yüzey alanı ile taban tarafı a (argüman) arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu inceleyelim. İlk türevi bulun, sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün:

Dolayısıyla a = 6. (a)> 0 için a> 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Misal... En Büyük ve En Küçük Fonksiyon Değerlerini Bulun arasında.

Karar: Belirtilen fonksiyon tüm sayısal eksende süreklidir. Bir fonksiyonun türevi

Türev ve at. Fonksiyonun değerlerini şu noktalarda hesaplayalım:

.

Verilen aralığın uçlarındaki fonksiyonun değerleri eşittir. Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri at, en küçük değeri ise attır.

Kendi kendine test soruları

1. Formun belirsizliklerini açıklamak için L'Hôpital kuralını formüle edin. L'Hôpital kuralının ele almak için kullanılabilecek farklı belirsizlik türlerini listeleyin.

2. Artan ve azalan fonksiyonun işaretlerini formüle edin.

3. Fonksiyonun maksimum ve minimum tanımını verin.

4. Bir ekstremumun varlığı için gerekli koşulu formüle edin.

5. Argümanın hangi değerlerine (hangi noktalara) kritik denir? Bu noktaları nasıl buluyorsunuz?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için yeterli kriterler nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir ekstremum fonksiyonunu incelemek için şemayı ana hatlarıyla belirtin.

7. İkinci türevi kullanarak bir ekstremum için fonksiyonu inceleme şemasını açıklayın.

8. Bir eğrinin dışbükeylik, içbükeylik tanımını verin.

9. Fonksiyon grafiğinin bükülme noktasına ne denir? Bu noktaları bulmanın bir yolunu belirtin.

10. Verilen bir parça üzerinde bir eğrinin dışbükeyliği ve içbükeyliği için gerekli ve yeterli kriterleri formüle edin.

11. Eğri asimptotunun tanımını verin. Bir fonksiyonun grafiğinin dikey, yatay ve eğik asimptotları nasıl bulunur?

12. Fonksiyon çalışmasının genel şemasını ve grafiğinin yapımını ana hatlarıyla belirtin.

13. Belirli bir segmentte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural formüle edin.