NASAは2020年7月に火星への遠征を開始します。 宇宙船は火星に遠征の登録されたすべてのメンバーの名前で電子キャリアを届けます。

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これらのコードバリアントの1つをコピーして、Webページのコードに、できればタグ間で貼り付ける必要があります。 とまたはタグの直後 ..。 最初のオプションによると、MathJaxは読み込みが速く、ページの速度が遅くなります。 ただし、2番目のオプションは、MathJaxの最新バージョンを自動的に追跡してロードします。 最初のコードを挿入する場合は、定期的に更新する必要があります。 2番目のコードを挿入すると、ページの読み込みが遅くなりますが、MathJaxの更新を常に監視する必要はありません。

MathJaxに接続する最も簡単な方法は、BloggerまたはWordPressを使用することです。サイトのダッシュボードに、サードパーティのJavaScriptコードを挿入するように設計されたウィジェットを追加し、上記の読み込みコードの第1バージョンまたは第2バージョンをコピーして、ウィジェットをより近くに配置します。テンプレートの先頭（ちなみに、MathJaxスクリプトは非同期で読み込まれるため、これはまったく必要ありません）。 それで全部です。 これで、MathML、LaTeX、およびASCIIMathMLマークアップ構文を学習し、数式をWebサイトのWebページに埋め込む準備が整いました。

別の大晦日...窓ガラスの霜の降りる天気と雪片...これはすべて私に...フラクタルとWolframAlphaがそれについて知っていることについてもう一度書くように促しました。 これに関する興味深い記事があり、2次元フラクタル構造の例が含まれています。 ここでは、3Dフラクタルのより複雑な例を見ていきます。

フラクタルは、幾何学的図形またはボディ（両方がセット、この場合はポイントのセットであることを意味します）として視覚化（記述）でき、その詳細は元の図形自体と同じ形状です。 つまり、それは自己相似構造であり、拡大すると細部を考慮すると、拡大しない場合と同じ形状が表示されます。 通常の幾何学的形状（フラクタルではない）の場合、ズームインすると、元の形状自体よりも単純な形状の詳細が表示されます。 たとえば、十分に高い倍率では、楕円の一部が線分のように見えます。 これはフラクタルでは発生しません。フラクタルが増加すると、同じ複雑な形状が再び表示され、増加するたびに何度も繰り返されます。

フラクタルの科学の創設者であるブノワ・マンデルブロは、彼の記事「フラクタルと科学のための芸術」に次のように書いています。全体として、全体のように見えるか、正確に、またはわずかに変形している可能性があります。」

そしてそれを解決するには、トピックに関する最小限の知識が必要です。 次の学年が終わりに近づいており、誰もが休暇に行きたいと思っています。この瞬間を近づけるために、私はすぐに仕事に取り掛かります。

エリアから始めましょう。 条件で言及されているエリアは 限定 閉まっている 平面上の点のセット。 たとえば、三角形全体を含む、三角形で囲まれた点のセット （からの場合 境界少なくとも1つのポイントを「ガウジ」すると、そのエリアは閉鎖されなくなります）..。 実際には、長方形、円形、および少し複雑な形状の領域もあります。 数学分析の理論では厳密な定義が与えられていることに注意する必要があります 制限、分離、境界など。、しかし、私は誰もが直感的なレベルでこれらの概念を認識していると思います、そして今はそれ以上は必要ありません。

平らな領域は通常文字で表され、原則として、いくつかの方程式によって分析的に設定されます （必ずしも線形である必要はありません）; 不平等はあまりありません。 典型的な売上高：「線で囲まれた閉じた領域」。

検討中のタスクの不可欠な部分は、図面内の領域の構築です。 どうやってするの？ リストされているすべての線を描画する必要があります（この場合、3 真っ直ぐ）そして何が起こったのかを分析します。 通常、目的の領域はわずかにハッチングされ、その境界は太線で強調表示されます。


同じエリアを設定でき、 線形不等式：、これは何らかの理由で列挙リストとして記述されることが多く、 システム.
境界は地域に属しているので、もちろん、すべての不等式は、 ゆるい.

そして今、問題の本質。 原点から直接あなたに向かって伸びる軸を想像してみてください。 次のような関数を考えてみましょう 連続 それぞれにエリアのポイント。 この関数のグラフはいくつかを表しています 水面、そして小さな幸福は、今日の問題を解決するために、この表面がどのように見えるかを知る必要がないという事実にあります。 それはより高く、より低く、平面と交差するように配置することができます-これはすべて重要ではありません。 そして、以下が重要です。 ワイエルシュトラスの定理, 連続 NS 限定閉店面積、関数が最大に達する （最高"）そして最小 （「最低」）あなたが見つけたい値。 そのような値は達成されます また NS 停留点, 地域に属するNS , またこのエリアの境界にあるポイントで。 シンプルで透過的なソリューションアルゴリズムに従うものから：

例1

限られた閉鎖区域で

解決：まず、図面内の領域を描く必要があります。 残念ながら、問題のインタラクティブなモデルを作成することは技術的に難しいため、調査中に見つかったすべての「疑わしい」ポイントを示す最終的な図をすぐに示します。 通常、それらは見つかったときに次々に貼り付けられます。

前文に基づいて、決定を2つのポイントに分割すると便利です。

I）停留点を見つけます。 これは、レッスンで繰り返し実行した標準的なアクションです。 いくつかの変数の極値:

停留点が見つかりました 所属エリア： （図面にマークを付けてください）、これは、この時点で関数の値を計算する必要があることを意味します。

-記事のように セグメント上の関数の最大値と最小値、重要な結果を太字で強調します。 鉛筆でノートに輪郭を描くと便利です。

私たちの2番目の幸せに注意してください-チェックする意味はありません 極値の十分条件..。 どうして？ たとえば、ある時点で関数が到達したとしても、 極小値、その後、結果の値が次のようになることを意味しません 最小限地域全体 （レッスンの冒頭を参照してください 無条件の極値について) .

停留点がそのエリアに属していない場合はどうなりますか？ ほとんど何もありません！ なお、次のポイントに進んでください。

II）地域の境界を探索します。

境界線は三角形の辺で構成されているため、調査を3つのサブセクションに分割すると便利です。 しかし、とにかくそれをしない方が良いです。 私の観点からは、最初は座標軸に平行なセグメントを検討する方が有利です。まず、軸自体にあるセグメントを検討する方が有利です。 アクションのシーケンス全体とロジックを把握するには、「一度に」エンディングを調べてみてください。

1）三角形の下側を扱いましょう。 これを行うには、関数に直接代入します。

または、次のように配置することもできます。

幾何学的に、これは座標平面を意味します （これも方程式で与えられます）「彫る」 水面「空間的」放物線。その頂点はすぐに疑われます。 確認してみましょう 彼女はどこ:

-得られた値はその領域に「入り込んだ」、そしてそれはその時点でそれである可能性が高い （図面のマーク）関数は、領域全体で最高値または最低値に達します。 何らかの方法で、計算を実行します。

もちろん、他の「候補」はセグメントの終わりです。 点で関数の値を計算します （図面のマーク）:

ここでは、ちなみに、「取り除いた」バージョンを使用して、口頭でのミニチェックを実行できます。

2）三角形の右側を調べるために、それを関数に代入し、「そこに物事を整理する」：

ここでは、すぐに大まかなチェックを実行し、すでに処理されたセグメントの終わりを「呼び出し」ます。
、 完全。

幾何学的な状況は前のポイントに関連しています：

-取得した値も「関心のある領域に含まれます」。これは、表示されるポイントで関数が何に等しいかを計算する必要があることを意味します。

セグメントの2番目の端を調べてみましょう。

関数の使用 、 それをチェックしよう：

3）おそらく誰もが残りの側面を探索する方法を知っています。 関数を代入して簡略化を実行します。

セグメント終了 すでに調査済みですが、ドラフトでは、関数が正しく見つかったかどうかを確認しています。 :
-最初のサブパラグラフの結果と一致しました。
-2番目のサブパラグラフの結果と一致しました。

セグメント内に何か面白いものがあるかどうかを確認する必要があります。

- がある！ 方程式に直線を代入すると、この「面白さ」の縦座標が得られます。

図面内の点をマークし、関数の対応する値を見つけます。

「予算」バージョンに従って計算を確認します :
、 注文。

そして最後のステップ：すべての「太った」数字を注意深く調べます。初心者でも1つのリストを作成することをお勧めします。

そこから最大値と最小値を選択します。 答え私たちは見つける問題の様式を書きます セグメント上の関数の最大値と最小値:

念のため、またコメントします 幾何平均結果：
-これがそのエリアの表面の最高点です。
-これがそのエリアの表面の最低点です。

分析した問題では、7つの「疑わしい」ポイントを特定しましたが、その数はタスクごとに異なります。 三角形の領域の場合、最小の「リサーチセット」は3ポイントです。 これは、たとえば、関数が設定するときに発生します 飛行機-停留点がないことは非常に明白であり、関数は三角形の頂点でのみ最大/最小値に達することができます。 しかし、そのような例は1回か2回たくさんあります-通常はいくつかに対処する必要があります 二次の表面.

このようなタスクを少し解決すると、頭が三角形から一周する可能性があるため、正方形にするための珍しい例を用意しました:)）

例2

最大および最小の関数値を見つける 線で囲まれた閉じた領域で

例3

有界の閉じた領域で関数の最大値と最小値を見つけます。

領域境界を探索する合理的な順序と手法、および計算エラーをほぼ完全に回避する一連の中間チェックに特に注意してください。 一般的に言って、あなたはそれを好きなように解決することができますが、いくつかの問題、例えば同じ例2では、​​あなたの人生を著しく複雑にする可能性があります。 レッスン終了時の課題の終了のおおよその例。

ソリューションアルゴリズムを体系化しましょう。そうしないと、スパイダーとしての私の勤勉さで、最初の例からのコメントの長いスレッドでどういうわけか失われました：

-最初のステップでは、領域を作成します。領域をシェーディングし、太線で境界線を強調表示することが望ましいです。 ソリューションの過程で、図面に配置する必要のあるポイントが表示されます。

-停留点を見つけて、関数の値を計算します それらの中でのみその地域に属するもの。 テキストで取得した値を選択します（たとえば、鉛筆で輪郭を描きます）。 停留点がその地域に属していない場合は、この事実をアイコンまたは口頭でマークします。 停留点がまったくない場合は、停留点がないという結論を書面で引き出します。 いずれにせよ、このアイテムはスキップできません！

-エリアの境界を探検しましょう。 まず、座標軸に平行な直線を扱うことは有益です （もしあれば）..。 また、「疑わしい」ポイントで計算された関数の値を強調表示します。 解決手法については上記で多くのことが述べられていますが、以下で別のことが述べられます-読んで、再読して、掘り下げてください！

-選択した数値から、最大値と最小値を選択して答えを出します。 関数が一度にいくつかのポイントでそのような値に達することが時々あります-この場合、これらのポイントはすべて答えに反映されるべきです。 たとえば、 そしてそれが最小値であることが判明しました。 それから私たちはそれを書きます

最後の例は、実際に役立つ他の有用なアイデアに専念しています。

例4

閉じた領域で関数の最大値と最小値を見つける .

私は、領域が二重不等式として与えられる著者の定式化を維持しました。 この条件は、同等のシステムで作成することも、この問題の従来の形式で作成することもできます。

それ以来、私はあなたに思い出させます 非線形私たちが遭遇した不平等、そして表記の幾何平均を理解していない場合は、今すぐ状況を延期して明確にしないでください;-)

解決、いつものように、それは一種の「唯一」であるエリアを構築することから始まります：

うーん、時々あなたは科学の花崗岩だけでなくかじる必要があります…。

I）停留点を見つける：

システム-馬鹿の夢:)

停留点はその領域に属します。つまり、その境界上にあります。

そして、それは、何もありません...レッスンは元気に進みました-それは正しいお茶を飲むことを意味します=）

II）地域の境界を探索します。 さらに面倒なことはせずに、横軸から始めましょう。

1）の場合、

放物線の頂点がどこにあるかを見つけます。
-そのような瞬間に感謝します-すべてがすでに明確になっている時点で「ヒット」します。 しかし、私たちはまだチェックすることを忘れないでください：

セグメントの終わりにある関数の値を計算してみましょう：

2）「ソール」の下部を「一度に」処理します。複合体を使用せずに関数に置き換えます。さらに、次のセグメントのみに関心があります。

制御：

これはすでに、ぎざぎざのあるトラックでの単調な運転にいくらかの復活をもたらしています。 重要なポイントを見つけましょう：

解決します 二次方程式、これをもう1つ覚えていますか？ ...ただし、もちろん、そうでなければ、これらの行を読んでいないことを覚えておいてください=）前の2つの例で、小数での計算が便利だった場合（ちなみに、これはまれです）、ここで待っています通常の通常の分数。 「x」の根を見つけ、方程式を使用して、「候補」ポイントの対応する「ゲーム」座標を決定します。


見つかったポイントでの関数の値を計算してみましょう：

自分で機能を確認してください。

今、私たちは獲得したトロフィーを注意深く研究し、書き留めます 答え:

これらは「候補者」なので、「候補者」です！

独立したソリューションの場合：

例5

関数の最小値と最大値を見つける 閉ざされた場所で

中括弧付きのエントリは、「そのようなポイントのセット」のようになります。

時々そのような例で彼らは使用します ラグランジュ乗数法、しかしそれを適用する本当の必要性は起こりそうにありません。 したがって、たとえば、関数が同じ定義域「de」で与えられた場合、その定義域に代入した後、問題のない導関数を使用します。 さらに、上半円と下半円を別々に考慮する必要なしに、すべてが「1行で」（記号付きで）作成されます。 しかし、もちろん、ラグランジュ関数なしで、より複雑なケースがあります （たとえば、円の同じ方程式）管理するのは難しいです-十分な休息なしで行うのはどれほど難しいですか！

みんながセッションに合格して、来シーズンすぐにお会いできるのは良いことです！

ソリューションと回答：

例2： 解決：図面内の領域を描写します：

このサービスであなたはすることができます 最大および最小の関数値を見つける Wordのソリューションの設計による1つの変数f（x）。 したがって、関数f（x、y）が与えられた場合、2つの変数の関数の極値を見つける必要があります。 また、関数の増加と減少の間隔を見つけることができます。

関数入力ルール:

1つの変数の関数の極値に必要な条件

1つの変数の関数の極値の十分条件

F "0（x *）= 0
f "" 0（x *）> 0

その場合、点x *は、関数のローカル（グローバル）最小値の点です。

ポイントx *で、次の条件が満たされている場合：

F "0（x *）= 0
f "" 0（x *）< 0

その場合、点x *はローカル（グローバル）最大値です。

例1。 関数の最大値と最小値を見つけます：セグメント上。
解決。

1つの臨界点x1 = 2（f '（x）= 0）。 この点は線分に属します。 （0∉なので、点x = 0は重要ではありません）。
セグメントの終わりと臨界点で関数の値を計算します。
f（1）= 9、f（2）= 5/2、f（3）= 3 8/81
回答：x = 2でfmin = 5/2; x = 1でfmax = 9

例2。 高次の導関数を使用して、関数y = x-2sin（x）の極値を見つけます。
解決。
関数の導関数を見つけます：y ’= 1-2cos（x）。 臨界点を見つけます：1-cos（x）= 2、cos（x）=½、x =±π/ 3 +2πk、k∈Z。 y ’’ = 2sin（x）を見つけて計算するので、x =π/ 3 +2πk、k∈Zは関数の最小点です。 、したがって、x =-π/ 3 +2πk、k∈Zは関数の最大点です。

例3。 点x = 0の近くで関数の極値を調べます。
解決。 ここで、関数の極値を見つける必要があります。 極値がx = 0の場合、そのタイプ（最小または最大）を調べます。 見つかった点の中にx = 0がない場合は、関数f（x = 0）の値を計算します。
与えられた点の両側の導関数がその符号を変えないとき、微分可能な関数でさえ可能な状況が尽きないことに注意する必要があります：点x0の片側の任意の小さな近傍に対してまたは両側で導関数の符号が変わります。 これらの時点で、極値の機能を研究するために他の方法を適用する必要があります。

例4。 数49を2つの項に分割し、その積が最大になります。
解決。 xを最初の項としましょう。 次に、（49-x）は第2項です。
製品は最大になります：x（49-x）→max

グラフを使用して関数を探索する方法を見てみましょう。 グラフを見ると、私たちが興味を持っているすべてのものを見つけることができます。

• 機能ドメイン
• 機能範囲
• 関数の零点
• 増加と減少の間隔
• 最大点と最小点
• セグメント上の関数の最大値と最小値。

用語を明確にしましょう：

横座標ポイントの水平座標です。
座標-垂直座標。
横軸-水平軸。ほとんどの場合、軸と呼ばれます。
Y軸-垂直軸、または軸。

口論関数の値が依存する独立変数です。 最も頻繁に示されます。
言い換えれば、私たち自身が選択し、関数を数式に代入して取得します。

ドメイン関数-関数が存在する引数のそれらの（そしてそれらだけの）値のセット。
またはで示されます。

この図では、関数の定義域はセグメントです。 関数のグラフが描かれるのはこのセグメントです。 ここにのみこの機能が存在します。

機能範囲変数が取る値のセットです。 私たちの写真では、これは最小値から最大値までのセグメントです。

関数の零点-関数の値がゼロに等しいポイント、つまり。 私たちの図では、これらはポイントとです。

関数値は正ですどこ 。 私たちの図では、これらはギャップとです。
関数値は負ですどこ 。 からまでのこの間隔（または間隔）があります。

最も重要な概念は 増減機能いくつかのセットで。 セットとして、セグメント、間隔、間隔の和集合、または数直線全体を取ることができます。

関数 増加しています

言い換えれば、より多く、つまり、チャートは右と上に移動します。

関数 減少しますセット上で、セットに属している場合、不等式は不等式から生じます。

減少関数の場合、値が大きいほど値は小さくなります。 グラフは右下に移動します。

この図では、関数は区間で増加し、区間とで減少します。

何であるかを定義しましょう 関数の最大点と最小点.

最大点-これは定義域の内部ポイントであり、その中の関数の値は、それに十分に近いすべてのポイントよりも大きくなります。
言い換えれば、最大点はそのような点、つまり関数の値である もっと隣のものより。 これはチャート上のローカルの「マウンド」です。

私たちの図では-最大点。

最小点-定義域の内部点。その中の関数の値は、定義域に十分に近いすべての点よりも小さくなります。
つまり、最小点は、その中の関数の値が隣接する関数の値よりも小さくなるようなものです。 これはチャート上のローカルの「穴」です。

私たちの写真では-最小点。

ポイントは境界です。 これは定義域の内部ポイントではないため、最大ポイントの定義に適合しません。 結局のところ、彼女は左側に隣人がいません。 同様に、それは私たちのチャートの最小点になることはできません。

最大点と最小点をまとめて呼びます 関数の極値点..。 私たちの場合、これはとです。

そして、たとえば、見つける必要がある場合はどうすればよいですか？ 最小機能セグメント上？ この場合、答えはです。 なぜなら 最小機能は最小点での値です。

同様に、私たちの関数の最大値はです。 ある時点で到達します。

関数の極値はとに等しいと言えます。

時々あなたが見つける必要があるタスクで 最大および最小の関数値特定のセグメントで。 それらは必ずしも極端と一致するわけではありません。

私たちの場合には 最小関数値セグメント上のは、関数の最小値と等しく、一致します。 ただし、このセグメントでの最大値はに等しくなります。 線分の左端に到達します。

いずれの場合も、セグメントの連続関数の最大値と最小値は、極値点またはセグメントの端のいずれかで達成されます。

関数の最大値は最大値と呼ばれ、最小値はそのすべての値の中で最小です。

関数は、最大値と最小値を1つだけ持つことも、まったく持たないこともあります。 連続関数の最大値と最小値を見つけることは、これらの関数の次のプロパティに基づいています：

1）ある区間（有限または無限）で関数y = f（x）が連続であり、極値が1つしかない場合、これが最大（最小）である場合、関数の最大（最小）値になります。この間隔で。

2）関数f（x）がいくつかのセグメントで連続している場合、それは必然的にこのセグメントで最大値と最小値を持ちます。 これらの値は、セグメント内にある極値点、またはこのセグメントの境界のいずれかで到達します。

セグメントの最大値と最小値を見つけるには、次のスキームを使用することをお勧めします：

1.導​​関数を見つけます。

2. = 0または存在しない関数の臨界点を見つけます。

3.臨界点とセグメントの端で関数の値を見つけ、それらから最大のfnaibと最小のfnaimを選択します。

適用された問題、特に最適化問題を解くときは、区間X変数で関数の最大値と最小値（グローバル最大値とグローバル最小値）を見つけることが重要です。 次に、結果の関数の目的の最大値または最小値を見つけます。 この場合、独立変数の変動間隔（有限または無限）も問題ステートメントから決定されます。

例。四角い底が上に開いた長方形の平行六面体の形をしたタンクは、内部にスズを入れて騙す必要があります。 108リットルの容量を持つタンクの寸法はどうあるべきですか。 錫メッキのコストが可能な限り低くなるように水？

解決。タンクの表面が所定の容量に対して最小である場合、スズでタンクをコーティングするコストは最小になります。 dm-ベースの側面、bdm-タンクの高さで表します。 その場合、その表面の面積Sは次のようになります。

と

結果として得られる関係は、タンクSの表面積（関数）とベース側a（引数）の間の関係を確立します。 極値の関数Sを調べてみましょう。 一次導関数を見つけ、それをゼロに等しくして、結果の方程式を解きます。

したがって、a = 6です。（a）> 6の場合は> 0、（a）< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

例..。 最大および最小の関数値を見つける 間に。

解決：指定された関数は、数値軸全体で連続しています。 関数の導関数

とでの導関数。 これらのポイントで関数の値を計算してみましょう：

.

指定された間隔の終わりでの関数の値は等しいです。 したがって、関数の最大値はatに等しく、関数の最小値はatに等しくなります。

セルフテストの質問

1.フォームの不確実性を開示するためのロピタルの規則を策定します。 ロピタルの定理を使用して対処できるさまざまなタイプの不確実性をリストします。

2.関数の増加と減少の兆候を定式化します。

3.関数の最大値と最小値を定義します。

4.極値が存在するために必要な条件を定式化します。

5.引数のどの値（どのポイント）がクリティカルと呼ばれますか？ これらのポイントをどのように見つけますか？

6.関数の極値が存在するための十分な基準は何ですか？ 一次導関数を使用して極値の関数を研究するためのスキームの概要を説明します。

7.2次導関数を使用して極値の関数を研究するためのスキームを説明します。

8.曲線の凸面、凹面の定義を与えます。

9.関数グラフの変曲点とは何ですか？ これらのポイントを見つける方法を示してください。

10.与えられたセグメントの曲線の凸面と凹面の必要十分基準を定式化します。

11.曲線の漸近線の定義を示します。 関数のグラフの垂直、水平、斜めの漸近線を見つける方法は？

12.関数の研究の一般的なスキームとそのグラフの構築の概要を説明します。

13.特定のセグメントで関数の最大値と最小値を見つけるためのルールを作成します。