У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій з іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями в соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-станиці, бажано між тегами і або ж відразу після тега . За першим варіантом MathJax подгружается швидше і менше гальмує сторінку. Зате другий варіант автоматично відстежує і підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, то його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки будуть завантажуватися повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі управління сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант коду завантаження, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX і ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Черговий напередодні Нового Року ... морозна погода і сніжинки на віконному склі ... Все це спонукало мене знову написати про ... фракталах, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. З цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо більш складні приклади тривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що і те і інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку ж форму, як і сама вихідна фігура. Тобто, це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми будемо бачити ту ж саму форму, що й без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури (НЕ фрактала), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають більш просту форму, ніж сама вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає, як відрізок прямої. З фракталами такого не відбувається: при будь-якому їх збільшенні ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням буде повторюватися знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактали, в своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які в рівній мірі складні в своїх деталях, як і в своїй загальній формі. Тобто, якщо частина фрактала буде збільшена до розміру цілого, вона буде виглядати, як ціле, або в точності, або, можливо, з невеликою деформацією ".

І для її вирішення потрібно мінімальне знання теми. Закінчується черговий навчальний рік, всім хочеться на канікули, і щоб наблизити цей момент я відразу ж переходжу до справи:

Почнемо з області. Область, про яку йде мова в умови, являє собою обмежене замкнутий безліч точок площині. Наприклад, безліч точок, обмежене трикутником, включаючи ВЕСЬ трикутник (Якщо з межі «Виколоти» хоча б одну точку, то область перестане бути замкнутої). На практиці також зустрічаються області прямокутної, круглої і трохи складніших форм. Слід зазначити, що в теорії математичного аналізу даються строгі визначення обмеженості, замкнутості, кордони і т.д., Але, думаю, все усвідомити ці поняття на інтуїтивному рівні, а більшого зараз і не треба.

Плоска область стандартно позначається буквою, і, як правило, задається аналітично - декількома рівняннями (Не обов'язково лінійними); рідше нерівностями. Типовий словесний оборот: «замкнута область, обмежена лініями».

Невід'ємною частиною даного завдання є побудова області на кресленні. Як це зробити? Потрібно накреслити всі перераховані лінії (в даному випадку 3 прямі) І проаналізувати, що ж вийшло. Шукану область зазвичай злегка штрихують, а її кордон виділяють жирною лінією:


Цю ж область можна задати і лінійними нерівностями:, Які чомусь частіше записують перечислительного списком, а не системою.
Так як межа належить області, то все нерівності, зрозуміло, несуворі.

А тепер суть завдання. Уявіть, що з початку координат прямо на вас виходить вісь. Розглянемо функцію, яка неперервна в кожній точці області. Графік цієї функції є деякою поверхню, І маленьке щастя полягає в тому, що для вирішення сьогоднішньої завдання нам зовсім не обов'язково знати, як ця поверхня виглядає. Вона може розташовуватися вище, нижче, перетинати площину - все це не важливо. А важливо наступне: згідно теорем Вейерштрасса, безперервна в обмеженій замкненійобласті функція досягає в ній найбільшого (Самого «високого») і найменшого (Самого «низького») значень, які і потрібно знайти. Такі значення досягаються або в стаціонарних точках, що належать областіD , абов точках, які лежать на кордоні цієї області. З чого випливає простий і прозорий алгоритм рішення:

приклад 1

В обмеженій замкненій області

Рішення: Перш за все, потрібно зобразити область на кресленні. На жаль, мені технічно важко зробити інтерактивну модель завдання, і тому я відразу наведу фінальну ілюстрацію, на якій зображено все «підозрілі» точки, знайдені в ході дослідження. Зазвичай вони проставляються одна за одною по мірі їх виявлення:

Виходячи з преамбули, рішення зручно розбити на два пункти:

I) Знайдемо стаціонарні точки. Це стандартне дію, які ми неодноразово виконували на уроці про екстремуми декількох змінних:

Знайдена стаціонарна точка належить області: (Відзначаємо її на кресленні), А значить, нам слід обчислити значення функції в даній точці:

- як і в статті Найбільше і найменше значення функції на відрізку, Важливі результати я буду виділяти жирним шрифтом. У зошиті їх зручно обводити олівцем.

Зверніть увагу на наше друге щастя - немає ніякого сенсу перевіряти достатня умова екстремуму. Чому? Навіть якщо в точці функція досягає, наприклад, локального мінімуму, То це ЩЕ НЕ ОЗНАЧАЄ, що отримане значення буде мінімальним у всій області (Див. Початок уроку про безумовних екстремуму) .

Що робити, якщо стаціонарна точка НЕ \u200b\u200bналежить області? Майже нічого! Потрібно відзначити, що і перейти до наступного пункту.

II) Досліджуємо кордон області.

Оскільки межа складається з сторін трикутника, то дослідження зручно розбити на 3 підпункту. Але краще це зробити не аби як. З моєї точки зору, спочатку вигідніше розглянути відрізки, паралельні координатним осях, і в першу чергу - лежать на самих осях. Щоб вловити всю послідовність і логіку дій постарайтеся вивчити кінцівку «на одному диханні»:

1) Розберемося з нижньою стороною трикутника. Для цього підставимо безпосередньо в функцію:

Як варіант, можна оформити і так:

Геометрично це означає, що координатна площину (Яка теж задається рівнянням) «Висікає» з поверхні «Просторову» параболу, вершина якої негайно потрапляє під підозру. з'ясуємо, де вона знаходиться:

- отримане значення «попало» в область, і цілком може статися, що в точці (Відзначаємо на кресленні) функція досягає найбільшого або найменшого значення у всій області. Так чи інакше, проводимо обчислення:

Інші «кандидати» - це, звичайно ж, кінці відрізка. Обчислимо значення функції в точках (Відзначаємо на кресленні):

Тут, до речі, можна виконати усну міні-перевірку по «урізаною» версією:

2) Для дослідження правого боку трикутника підставляємо у функцію і «наводимо там порядок»:

Тут відразу ж виконаємо чорнову перевірку, «прозванивая» вже оброблений кінець відрізка:
, Відмінно.

Геометрична ситуація споріднена попереднього пункту:

- отримане значення теж «увійшло в сферу наших інтересів», а значить, потрібно обчислити, чому дорівнює функція в з'явилася точці:

Досліджуємо другий кінець відрізка:

використовуючи функцію , Виконаємо контрольну перевірку:

3) Напевно, всі здогадуються, як досліджувати залишилася сторону. Підставляємо у функцію і проводимо спрощення:

кінці відрізка вже досліджені, але на чернетці все одно перевіряємо, чи правильно ми знайшли функцію :
- співпав з результатом 1-го підпункту;
- співпав з результатом 2-го підпункту.

Залишилося з'ясувати, чи є щось цікаве всередині відрізка:

- є! Підставляючи в рівняння прямої, отримаємо ординату цієї «цікавинки»:

Відзначаємо на кресленні точку і знаходимо відповідне значення функції:

Проконтролюємо обчислення по «бюджетної» версії :
, Порядок.

І заключний крок: УВАЖНО переглядаємо всі «жирні» числа, початківцям рекомендую навіть скласти єдиний список:

з якого вибираємо найбільше і найменше значення. відповідь запишемо в стилістиці завдання знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку:

Про всяк випадок ще раз закоментуйте геометричний сенс результату:
- тут найвища точка поверхні в області;
- тут найнижча точка поверхні в області.

У розібраної задачі у нас виявилося 7 «підозрілих» точок, але від завдання до завдання їх кількість варіюється. Для трикутної області мінімальний «дослідницький набір» складається з трьох точок. Таке буває, коли функція, наприклад, задає площину - абсолютно зрозуміло, що стаціонарні точки відсутні, і функція може досягати найбільшого / найменшого значень тільки в вершинах трикутника. Але подібних прикладів раз, два та й усе - зазвичай доводиться мати справу з якоюсь поверхнею 2-го порядку.

Якщо ви трохи повирішувати такі завдання, то від трикутників голова може піти обертом, і тому я приготував для вас незвичайні приклади щоб вона стала квадратної :))

приклад 2

Знайти найбільше і найменше значення функції в замкнутій області, обмеженої лініями

приклад 3

Знайти найбільше і найменше значення функції в обмеженій замкненій області.

Особливу увагу зверніть на раціональний порядок і техніку дослідження кордону області, а також на ланцюжок проміжних перевірок, яка майже повністю дозволить уникнути обчислювальних помилок. Взагалі кажучи, вирішувати можна як завгодно, але в деяких завданнях, наприклад, в тому ж Прімері 2, є всі шанси значно ускладнити собі життя. Зразок чистового оформлення завдань в кінці уроку.

Систематизуємо алгоритм рішення, а то з моєї старанністю павука він якось загубився в довгій нитці коментарів 1-го прикладу:

- На першому етапі будуємо область, її бажано заштрихувати, а кордон виділити жирною лінією. В ході вирішення з'являтимуться точки, які потрібно проставляти на кресленні.

- Знайдемо стаціонарні точки і обчислимо значення функції тільки в тих з них, Які належать області. Отримані значення виділяємо в тексті (наприклад, обводимо олівцем). Якщо стаціонарна точка НЕ \u200b\u200bналежить області, то відзначаємо цей факт значком або словесно. Якщо ж стаціонарних точок немає зовсім, то робимо письмовий висновок про те, що вони відсутні. У будь-якому випадку даний пункт пропускати не можна!

- Досліджуємо кордон області. Спочатку вигідно розібратися з прямими, які паралельні координатним осях (Якщо такі є взагалі). Значення функції, обчислені в «підозрілих» точках, також виділяємо. Про техніку рішення дуже багато сказано вище і ще дещо буде сказано нижче - читайте, перечитуйте, вникати!

- З виділених чисел вибираємо найбільше і найменше значення і даємо відповідь. Іноді буває, що такі значення функція досягає відразу в декількох точках - в цьому випадку всі ці точки слід відобразити у відповіді. Нехай, наприклад, і виявилося, що це найменше значення. Тоді записуємо, що

Прикінцеві приклади присвячені іншим корисним ідеям, які стануть в нагоді на практиці:

приклад 4

Знайти найбільше і найменше значення функції в замкненій області .

Я зберіг авторську формулювання, в якій область задана у вигляді подвійного нерівності. Цю умову можна записати еквівалентною системою або ж в більш традиційному для даного завдання вигляді:

Нагадую, що з нелінійними нерівностями ми стикалися на, і якщо вам не зрозумілий геометричний сенс записи, то, будь ласка, не зволікайте і проясніть ситуацію прямо зараз ;-)

Рішення, Як завжди, починається з побудови області, яка представляє собою своєрідну «підошву»:

Мда, іноді доводиться гризти не тільки граніт науки ....

I) Знайдемо стаціонарні точки:

Система-мрія ідіота :)

Стаціонарна точка належить області, а саме, лежить на її кордоні.

А так, воно, нічого ... весело урок пішов - ось що означає попити правильного чаю \u003d)

II) Досліджуємо кордон області. Не мудруючи лукаво, почнемо з осі абсцис:

1) Якщо, то

Знайдемо, де вершина параболи:
- цінуєте такі моменти - «потрапили» прямо в точку, з якої вже все ясно. Але про перевірку все одно не забуваємо:

Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

2) З нижньою частиною «підошви» розберемося «за один присід» - без жодних комплексів підставляємо у функцію, причому, цікавити нас буде лише відрізок:

контроль:

Ось це вже вносить деяке пожвавлення в монотонну їзду по накатаній колії. Знайдемо критичні точки:

вирішуємо квадратне рівняння, Пам'ятайте ще про таке? ... Втім, пам'ятайте, звичайно, інакше б не читали ці рядки \u003d) Якщо в двох попередніх прикладах були зручні обчислення в десяткових дробах (що, до речі, рідкість), то тут нас чекають звичні звичайні дроби. Знаходимо «іксові» коріння і по рівнянню визначаємо відповідні «ігрековие» координати точок- «кандидатів»:


Обчислимо значення функції в знайдених точках:

Перевірку по функції проведіть самостійно.

Тепер уважно вивчаємо завойовані трофеї і записуємо відповідь:

Ось це «кандидати», так «кандидати»!

Для самостійного рішення:

приклад 5

Знайти найменше та найбільше значення функції в замкнутій області

Запис з фігурними дужками читається так: «безліч точок, таких, що».

Іноді в подібних прикладах використовують метод множників Лагранжа, Але реальна необхідність його застосовувати навряд чи виникне. Так, наприклад, якщо дана функція з тієї ж областю «де», то після підстановки в неї - з похідною від ніяких труднощів; причому оформляється все «одним рядком» (зі знаками) без потреби розглядати верхню і нижню півкола окремо. Але, звичайно, бувають і більш складні випадки, де без функції Лагранжа (Де, наприклад, той же рівняння кола) обійтися важко - як важко обійтися і без хорошого відпочинку!

Всім добре здати сесію і до швидких зустрічей в наступному сезоні!

Рішення і відповіді:

Приклад 2: Рішення: Зобразимо область на кресленні:

За допомогою даного сервісу можна знайти найбільше та найменше значення функції однієї змінної f (x) з оформленням рішення в Word. Якщо ж задана функція f (x, y), отже, необхідно знайти екстремум функції двох змінних. Також можна знайти інтервали зростання і спадання функції.

Правила введення функцій:

Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

Достатня умова екстремуму функції однієї змінної

F "0 (x *) \u003d 0
f "" 0 (x *)\u003e 0

Те точка x * є точкою локального (глобального) мінімуму функції.

Якщо в точці x * виконується умова:

F "0 (x *) \u003d 0
f "" 0 (x *)< 0

Те точка x * - локальний (глобальний) максимум.

Приклад №1. Знайти найбільше і найменше значення функції: на відрізку.
Рішення.

Критична точка одна x 1 \u003d 2 (f '(x) \u003d 0). Ця точка належить відрізку. (Точка x \u003d 0 не є критичною, тому що 0∉).
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в критичній точці.
f (1) \u003d 9, f (2) \u003d 5/2, f (3) \u003d 3 8/81
Відповідь: f min \u003d 5/2 при x \u003d 2; f max \u003d 9 при x \u003d 1

Приклад №2. За допомогою похідних вищих порядків знайти екстремум функції y \u003d x-2sin (x).
Рішення.
Знаходимо похідну функції: y '\u003d 1-2cos (x). Знайдемо критичні точки: 1-cos (x) \u003d 2, cos (x) \u003d ½, x \u003d ± π / 3 + 2πk, k∈Z. Знаходимо y '' \u003d 2sin (x), обчислюємо, значить x \u003d π / 3 + 2πk, k∈Z - точки мінімуму функції; , Значить x \u003d - π / 3 + 2πk, k∈Z - точки максимуму функції.

Приклад №3. Дослідити на екстремум фцнкцію в околицях точки x \u003d 0.
Рішення. Тут необхідно знайти екстремуми функції. Якщо екстремум x \u003d 0, то з'ясувати його тип (мінімум або максимум). Якщо серед знайдених точок немає x \u003d 0, то обчислити значення функції f (x \u003d 0).
Слід звернути увагу, що коли похідна з кожного боку від даної точки не змінює свого знака, не вичерпуються можливі ситуації навіть для диференційовних функцій: може статися, що для як завгодно малій околиці по одну зі сторін від точки x 0 або по обидва боки похідна змінює знак. У цих точках доводиться застосовувати інші методи для дослідження функцій на екстремум.

Приклад №4. Розбити число 49 на два доданки, твір яких буде найбільшим.
Рішення. Позначимо x - перший доданок. Тоді (49-x) - другий доданок.
Твір буде максимальним: x · (49-x) → max

Подивимося, як досліджувати функцію за допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися все, що нас цікавить, а саме:

• область визначення функції
• область значень
• нулі функції
• проміжки зростання та спадання
• точки максимуму і мінімуму
• найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Уточнимо термінологію:

абсциса - це координата точки по горизонталі.
ордината - координата по вертикалі.
вісь абсцис - горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
вісь ординат - вертикальна вісь, або вісь.

аргумент - незалежна змінна, від якої залежать значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо, підставляємо в формулу функції і отримуємо.

Область визначення функції - безліч тих (і тільки тих) значень аргументу, при яких функція існує.
Позначається: або.

На нашому малюнку область визначення функції - це відрізок. Саме на цьому відрізку намальований графік функції. Тільки тут дана функція існує.

Область значень функції - це безліч значень, які приймає змінна. На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до найвищого значення.

нулі функції - точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто. На нашому малюнку це точки і.

Значення функції позитивні там де . На нашому малюнку це проміжки і.
Значення функції негативні там де . У нас це проміжок (або інтервал) від до.

Найважливіші поняття - зростання і спадання функції на деякій множині. Як безлічі можна взяти відрізок, інтервал, об'єднання проміжків або всю числову пряму.

функція зростає

Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо і вгору.

функція убуває на безлічі, якщо для будь-яких і, що належать безлічі, з нерівності слід нерівність.

Для спадної функції більшому значенню відповідає менше значення. Графік йде вправо і вниз.

На нашому малюнку функція зростає на проміжку і убуває на проміжках і.

Визначимо, що таке точки максимуму і мінімуму функції.

точка максимуму - це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній більше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, Ніж в сусідніх. Це локальний «горбок» на графіку.

На нашому малюнку - точка максимуму.

точка мінімуму - внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції в ній менше, ніж в сусідніх. На графіку це локальна «ямка».

На нашому малюнку - точка мінімуму.

Точка - гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить під визначення точки максимуму. Адже у неї немає сусідів зліва. Точно так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.

Точки максимуму і мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.

А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функції на відрізку? В даному випадку відповідь:. Тому що мінімум функції - це її значення в точці мінімуму.

Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.

Можна сказати, що екстремуми функції рівні і.

Іноді в завданнях потрібно знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку. Вони не обов'язково збігаються з екстремумами.

У нашому випадку найменше значення функції на відрізку одно і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку одно. Воно досягається в лівому кінці відрізка.

У будь-якому випадку найбільше та найменше значення неперервної функції на відрізку досягаються або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

Найбільшим значенням функції називається найбільше, найменшим значенням - найменше з усіх її значень.

Функція може мати тільки одне найбільше і тільки одне найменше значення або може не мати їх зовсім. Знаходження найбільшого і найменшого значень безперервних функцій грунтується на наступних властивостях цих функцій:

1) Якщо в деякому інтервалі (кінцевому або нескінченному) функція y \u003d f (x) неперервна і має тільки один екстремум і якщо це максимум (мінімум), то він буде найбільшим (найменшим) значенням функції в цьому інтервалі.

2) Якщо функція f (x) неперервна на деякому відрізку, то вона обов'язково має на цьому відрізку найбільше та найменше значення. Ці значення досягаються її або в точках екстремуму, що лежать всередині відрізка, або на кордонах цього відрізка.

Для відшукання найбільшого і найменшого значень на відрізку рекомендується користуватися наступною схемою:

1. Знайти похідну.

2. Знайти критичні точки функції, в яких \u003d 0 або не існує.

3. Знайти значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка і вибрати з них найбільше f наиб і найменшу f найменувань.

При вирішенні прикладних задач, зокрема оптимізаційних, важливе значення мають завдання на знаходження найбільшого і найменшого значень (глобального максимуму і глобального мінімуму) функції на проміжку Х. Для вирішення таких завдань слід, виходячи з умови, вибрати незалежну змінну і виразити досліджувану величину через цю змінну. Потім знайти шукане найбільше або найменше значення отриманої функції. При цьому інтервал зміни незалежної змінної, який може бути кінцевим або нескінченним, також визначається з умови задачі.

Приклад. Резервуар, що має форму відкритого зверху прямокутного паралелепіпеда з квадратним дном, потрібно вилудіть всередині оловом. Якими мають бути розміри резервуара при його ємності 108 л. води, щоб витрати на його лудіння були найменшими?

Рішення. Витрати на покриття резервуара оловом будуть найменшими, якщо при даній місткості його поверхня буде мінімальною. Позначимо через а дм - сторону підстави, b дм - висоту резервуара. Тоді площа S його поверхні дорівнює

І

Отримане співвідношення встановлює залежність між площею поверхні резервуара S (функція) і стороною підстави а (аргумент). Досліджуємо функцію S на екстремум. Знайдемо першу похідну, прирівняємо її до нуля і вирішимо отримане рівняння:

Звідси а \u003d 6. (а)\u003e 0 при а\u003e 6, (а)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на проміжку.

Рішення: Задана функція неперервна на всій числовій осі. Похідна функції

Похідна при і при. Обчислимо значення функції в цих точках:

.

Значення функції на кінцях заданого проміжку рівні. Отже, найбільше значення функції одно при, найменше значення функції одно при.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте правило Лопіталя для розкриття невизначеностей виду. Перерахуйте різні типи невизначеностей, для розкриття яких може бути використано правило Лопіталя.

2. Сформулюйте ознаки зростання і спадання функції.

3. Дайте визначення максимуму і мінімуму функції.

4. Сформулюйте необхідна умова існування екстремуму.

5. Які значення аргументу (які точки) називаються критичними? Як знайти ці точки?

6. Які достатні ознаки існування екстремуму функції? Викладіть схему дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної.

7. Викладіть схему дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.

8. Дайте визначення опуклості, угнутості кривої.

9. Що називається точкою перегину графіка функції? Вкажіть спосіб знаходження цих точок.

10. Сформулюйте необхідний і достатній ознаки опуклості і угнутості кривої на заданому відрізку.

11. Дайте визначення асимптоти кривої. Як знайти вертикальні, горизонтальні і похилі асимптоти графіка функції?

12. Викладіть загальну схему дослідження функції та побудови її графіка.

13. Сформулюйте правило знаходження найбільшого і найменшого значень функції на заданому відрізку.